ÚČJF MFF UK 15. dubna 2006

SSpontánní narušení symetrie a počítání pontánní narušení symetrie a počítání Goldstoneových bosonů v relativistických Goldstoneových bosonů v relativistických

systémech při konečné hustotěsystémech při konečné hustotě

Tomáš Brauner

ÚJF AV ČR Řež

ÚČJF MFF UK 25. dubna 2006

ProgramProgram

Spontánní narušení symetrie.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.

Lineární σ-model s chemickým potenciálem.

Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.

Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK 35. dubna 2006

ProgramProgram

Spontánní narušení symetrie.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.

Lineární σ-model s chemickým potenciálem.

Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.

Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK 45. dubna 2006

Spontánní narušení symetrieSpontánní narušení symetrie

Nastává, když základní stav mánižší symetrii než lagrangián.

Symetrie není realizována unitárními operátory.

Degenerované, unitárně neekvivalentní základní stavy.

Nehmotné módy jako dlouhovlnné fluktuace parametru uspořádání.

ÚČJF MFF UK 55. dubna 2006

PPříkladyříklady

Feromagnetismus: spontánně narušené rotace spinů.

Supravodivost, supratekutost: fázové transformace vlnové funkce.

Silná interakce: chirální symetrie existencelehkých pseudoskalárních mezonů.

Elektroslabá interakce: Higgsův mechanismus vznik hmot elementárních částic.

Relativistické mnohočásticové systémy:barevná supravodivost.

ÚČJF MFF UK 65. dubna 2006

GoldstoneGoldstoneův teorémův teorém

Spontánní narušení spojité globální symetrie implikuje existenci nehmotného módu ve spektru teorie.

Nerelativistická verze: existence excitace, pro niž .

Goldstoneovy bosony = dlouhovlnné fluktuace parametru(ů) uspořádání.

ÚČJF MFF UK 75. dubna 2006

Nízkoenergetické vlastnosti GBNízkoenergetické vlastnosti GB

Disperzní relace Goldstoneova bosonu?

Limita jednoduchá, popsatelná nízkoenergetickou efektivní teorií pole.

Vysokoenergetické chování závisí na detailech fyziky na malých vzdálenostech.

Ne univerzální, ale ne nezajímavé.

ÚČJF MFF UK 85. dubna 2006

Počítání Goldstoneových bosonůPočítání Goldstoneových bosonů

Původní Goldstoneův teorém předpovídá alespoň jeden Goldstoneův boson.

Počítání triviální pro vnitřní symetrie v Lorentz invariantních teoriích.

Prostoročasové symetrie: viz Low a Manohar.

Zde: vnitřní symetrie v nerelativistických systémech.

Těžký problém, dosud neexistuje obecné řešení.

ÚČJF MFF UK 95. dubna 2006

ProgramProgram

Spontánní narušení symetrie.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.

Lineární σ-model s chemickým potenciálem.

Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.

Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK 105. dubna 2006

NielsenNielsenovoovo-Chadh-Chadhovoovo pravidlopravidlo

H. B. Nielsen and S. Chadha, Nucl. Phys. B105, 445 (1976)

Mocninná závislost energie na impulsu.

Goldstoneovy bosony I. typu: .

Goldstoneovy bosony II. typu: .

# GB typu I + 2 £ # GB typu II ¸ # narušených generátorů

Důkaz využívá analytických vlastností Goldstoneova komutátoru. Velmi obecný výsledek: libovolná mocnina impulsu v disperzní relaci a nerovnost pro počet Goldstoneových bosonů.

ÚČJF MFF UK 115. dubna 2006

NielsenNielsenovoovo-Chadh-Chadhovoovo pravidlopravidlo

ÚČJF MFF UK 125. dubna 2006

NielsenNielsenovoovo-Chadh-Chadhovoovo pravidlopravidlo

H. B. Nielsen and S. Chadha, Nucl. Phys. B105, 445 (1976)

Mocninná závislost energie na impulsu.

Goldstoneovy bosony I. typu: .

Goldstoneovy bosony II. typu: .

# GB typu I + 2 £ # GB typu II ¸ # narušených generátorů

Důkaz využívá analytických vlastností Goldstoneova komutátoru. Velmi obecný výsledek: libovolná mocnina impulsu v disperzní relaci a nerovnost pro počet Goldstoneových bosonů.

ÚČJF MFF UK 135. dubna 2006

PříkladyPříklady

Antiferomagnet: dva narušené generátory SU(2) spinových rotací, dva GB – magnony.

Feromagnet: dva narušené generátory SU(2) spinových rotací, jeden magnon s .

V čem je rozdíl?

Nenulová spinová hustota ve feromagnetickém stavu, narušená invariance vůči časové inverzi.

ÚČJF MFF UK 145. dubna 2006

Počítání GBPočítání GB a hustota nábojůa hustota nábojů

Modifikace počítání GB

Nelineární disperzní zákon

Nenulováhustota nábojů

Nielsen & Chadha

Leutwyler

???

Leutwyler: nenulová hustota neabelovských nábojů GB II. typu s kvadratickou disperzní relací.

Schäfer et al.: nulová hustota všech noetherovských nábojů obvyklý počet GB.

ÚČJF MFF UK 155. dubna 2006

Efektivní teorie poleEfektivní teorie pole

Leutwyler: nejobecnější řešení Wardových identit, efektivní lagrangián ve vedoucím řádu.

Nenulová husota náboje člen s první mocninou časové derivace kvadratická disperzní relace GB a narušení časové inverze.

Efektivní lagrangián invariantní až na úplnou derivaci.

Přímočarý popis GB s lineární nebo kvadratickou disperzní relací.

Vyšší mocniny impulsu: Realizují se vůbec?

ÚČJF MFF UK 165. dubna 2006

Efektivní teorie poleEfektivní teorie pole

ÚČJF MFF UK 175. dubna 2006

Efektivní teorie poleEfektivní teorie pole

Leutwyler: nejobecnější řešení Wardových identit, efektivní lagrangián ve vedoucím řádu.

Nenulová husota náboje člen s první mocninou časové derivace kvadratická disperzní relace GB a narušení časové inverze.

Efektivní lagrangián invariantní až na úplnou derivaci.

Přímočarý popis GB s lineární nebo kvadratickou disperzní relací.

Vyšší mocniny impulsu: Realizují se vůbec?

ÚČJF MFF UK 185. dubna 2006

IntuitivIntuitivní obrázek počítání GBní obrázek počítání GB

Jeden narušený generátor jedna reálná souřadnice na kosetovém prostoru.

Lineární disperzní relace se objevuje ve tvaru .

Řešení s kladnou i zápornou energií lze z nich vytvořit jedno reálné pole.

Kvadratická disperzní relace se objevuje jako .

Jen řešení s kladnou energií potřebujeme komplexní pole, tj. dvě reálná pole.

1 kvadratický GB = 2 reálná pole = 2 narušené generátory.

ÚČJF MFF UK 195. dubna 2006

Goldstoneův komutátor neabelovských nábojůGoldstoneův komutátor neabelovských nábojů

Noetherovský náboj jako parametr uspořádání.

Nutná neabelovská struktura grupy symetrie.

Jeden GB se váže na dva narušené proudy modifikované počítání Goldstoneových bosonů.

ÚČJF MFF UK 205. dubna 2006

ProgramProgram

Spontánní narušení symetrie.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.

Lineární σ-model s chemickým potenciálem.

Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.

Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK 215. dubna 2006

Relativistické systémy při konečné hustotěRelativistické systémy při konečné hustotě

Mikroskopická dynamika Lorentz invariantní, makroskopické narušení přítomností média.

Aplikace na fázový diagram QCD.

Cíl: zesílit Nielsenovo-Chadhovo pravidlo za cenu omezení rozsahu platnosti.

Standardně používané modely:

Nambu & Jona-Lasinio (střední pole), Blaschke et al.

Lineární sigma model (stromová úroveň), Miransky a Shovkovy, Schäfer et al.

ÚČJF MFF UK 225. dubna 2006

Lineární sigma modelLineární sigma model

Nejpoužívanější model pro popis spontánního narušení symetrie.

Potenciál „mexického klobouku“, SSB na stromové úrovni.

Poruchové výpočty nad základním stavem posunutým do minima klasického potenciálu.

Hlavní výsledek: přesná korespondence mezi počítáním GB, disperzní relací a hustotami noetherovských nábojů.

ÚČJF MFF UK 235. dubna 2006

LineLineáárrníní sigma model: SU(2) sigma model: SU(2) £ £ U(1)U(1)

Efekty nenulové hustoty zahrnuty prostřednictvím chemického potenciálu.

Výpočet na stromové úrovni: rozvoj skalárního pole kolem nového základního stavu, spektrum se získá z bilineární části lagrangiánu.

Relevantní pro kondenzaci kaonů v husté chladné QCD.

ÚČJF MFF UK 245. dubna 2006

SU(2) SU(2) ££ U(1) U(1) pokračovánípokračování

Exponenciální parametrizace.

Bilineární lagrangián.

Odkud pochází mixovací člen?

ÚČJF MFF UK 255. dubna 2006

BilineBilineáárrníní lagrangiánylagrangiány

Směšování dvou polí chemickým potenciálem.

Sektor (H,3): jeden GB s

Sektor (1,2): jeden GB s

ÚČJF MFF UK 265. dubna 2006

Rovinné vlnyRovinné vlny

Rovinná vlna – řešení klasické pohybové rovnice:

Bilineární lagrangián pro kvadratický GB,

Noetherovské SU(2) £ U(1) proudy:

ÚČJF MFF UK 275. dubna 2006

Rovinné vlnyRovinné vlny II II

Izospinový vektor rotuje v rovině (1,2): rovinná vlna je kruhově polarizovaná.

Nenulový proud a hustota nenarušeného náboje: rovinná vlna nese nenarušený náboj.

ÚČJF MFF UK 285. dubna 2006

Obecný lineární sigma modelObecný lineární sigma model

Skalární teorie pole s kvartickou interakcí.

Do hamiltoniánu se přidají chemické potenciály pro sadu vzájemně komutujících nábojů.

Do lagrangiánu se zavedou kovariantní derivace.

Přesná globální symetrie .

ÚČJF MFF UK 295. dubna 2006

Obecný lineární sigma model IIObecný lineární sigma model II

Obecný lagrangián a parametrizace pole:

Bilineární lagrangián:

H- mixování lineární Goldstoneovy bosony.

- mixování kvadratické Goldstoneovy bosony, směšovací člen úměrný hustotě komutátoru dvou narušených generátorů.

ÚČJF MFF UK 305. dubna 2006

VýsledkyVýsledky

GBs mají buď lineární nebo kvadratickou disperzi.

Lineární GB vzniká mixováním Goldstoneova pole a Higgsova pole chemickým potenciálem.

Kvadratický GB vzniká mixováním dvou Goldstoneových polí chemickým potenciálem.

Ke každému páru generátorů, jejichž komutátor má nenulovou hustotu, existuje jeden kvadratický GB.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo je splněno.

ÚČJF MFF UK 315. dubna 2006

ProgramProgram

Spontánní narušení symetrie.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.

Lineární σ-model s chemickým potenciálem.

Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.

Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK 325. dubna 2006

Kondenzace Kondenzace SU(3)SU(3) sextetu sextetu

Model s globální SU(3) £ U(1) symetrií.

Symetrické maticové skalární pole, .

Dvě různé upořádané fáze v parametrovém prostoru.

Fázové rozhraní a=0: rozšířená SU(6) £ U(1) symetrie, narušená spontánně na SU(5) £ U(1).

ÚČJF MFF UK 335. dubna 2006

Fázový diagramFázový diagram

Boseho-Einsteinova kondenzace pro 2>M

Všechny fázové přechody jsou druhého druhu.

GB uspořádané do multipletů nenarušené symetrie.

Nižší nenarušená symetrie složitější struktura spektra.

ÚČJF MFF UK 345. dubna 2006

Spektrum excitacíSpektrum excitací

6 narušených generátorů6 lineárních GB

5 narušených generátorů1 lineární GB2 kvadratické GB

ÚČJF MFF UK 355. dubna 2006

ProgramProgram

Spontánní narušení symetrie.

Nielsenovo-Chadhovo pravidlo.

Lineární σ-model s chemickým potenciálem.

Příklad: kondenzace SU(3) sextetu.

Otevřené problémy.

ÚČJF MFF UK 365. dubna 2006

NielsenNielsenovo-Chadhovo pravidloovo-Chadhovo pravidlo

V lineárním σ modelu GB buď lineární nebo kvadratický.

# linearních GB + 2 £ # kvadratických GBs vždy = # narušených generátorů, až na fázová rozhraní, kde vymizí fázová rychlost lineárních GB.

Dosud jediný generický případ, kde v nastává ostrá nerovnost v Nielsenově-Chadhově pravidle.

Jediný další příklad explicitně zmiňují Sannino a Schäfer.

ÚČJF MFF UK 375. dubna 2006

Co dálCo dál

Spočítat smyčkové korekce v lineárním sigma modelu.

Vliv interakce v normální fázi.

Rozpad lineárních Goldsoneových bosonů.

Chování v okolí fázového přechodu.

Kontrola platnosti Nielsenova-Chadhova pravidla.

ÚČJF MFF UK 385. dubna 2006

Co dálCo dál II II

Rozšířit výsledky na širší třídu modelů.

Zobecnit výsledky na obecný relativický systém s chemickým potenciálem.

Velmi speciální způsob narušení Lorentz invariance.

Obnovit Lorentz invarianci zavedením vnějšího kalibračního pole pro chemický potenciál.

Wardovy identity – informace o disperzi GB?