Scientific Philosophy

Gustavo E. Romero

IAR-CONICET/UNLP, Argentina

FCAGLP, UNLP, 2018

La Naturaleza del Infinito

GustavoE.Romero

FCAG-UNLP/IAR-CONICET

romero@fcaglp.unlp.edu.ar

¿Quéeselinfinito?

• Nuestra experiencia es finita, por lo que tendemos a definir lo infinito como la negación de lo finito.

Anaximandro postula la existencia de unasubstancia llamada apeiron (απειρον),término que suele traducirse como “loinfinito”,“loindefinido”,“loilimitado”.

ParaAnaximandro,loinfinitoesloque“carecedelímites”.

Zenón de Elea: Contradicciones del infinito.

Escribió un libro con 40 paradojas. Sólo 4 han llegado a nosotros.

Aquiles y la tortuga:

Paradojas del infinito

• Sistema solar infinitamente viejo

JúpiterAño:11años315días1hora.

• La barra

Labarra finitade longitud l≠0es la sumade dos mitades finitas. O de 4 cuartosfinitos. O de 8 octavos finitos…o deinfinitos segmentos finitos o de infinitossegmentosde longitudcero: luegoobiensu tamaño es infinito o bien es cero. Loque contradice el supuesto inicial de quemedíal≠0.

• La parálisis de Aquiles

• La mafia infinitamente cobarde pero matemáticamente astuta.

TheAssassinationofJesseJamesbytheCowardRobertFord(2007)

¿Cuándo empezó? …7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

TERMINÉ!!!!!

Aristóteles rechaza la idea de un infinito real

Distingue dos tipos de infinito; el infinito potencial y el infinito actual. El primero es un concepto, y el segundo no existe.

Elinfinitoactualfueadoptadoenteología,alconsiderarseelinfinitocomopropiedad

privilegiadadelamajestaddivinadeDios.

SanAgustíncreíaquesóloDiosysuspensamientossoninfinitos

Santo Tomás de Aquinopensaba que aunque Diosesilimitado,nopuedecrearco sas abso lu tamentelimitadas,yaqueestoseríauna imperfección. Hay,concluía,algodeinfinitoentodoloqueexiste.

¿Un universo infinito?

• Giordano Bruno (1548 – 1600), un astrónomo y matemático italiano, pensaba que el universo es infinito en tamaño y edad.

• La Iglesia Católica lo quemó

vivo: para la iglesia la única cosa infinita era Dios.

Para 1600, Galileo Galilei con apreciaciones algo ambiguas, rechazo la idea del infinito como paradójica, ya que atentaba contra la razón.

SeatribuyeaJohnWallis(s.XVII)haber

sidoelprimeroenutilizarelsímbolo∞

paraelinfinitoensusobras.

Kant, en el siglo XVIII,coincidíaconAristótelesals e ñ a l a r q u e n u n c apodemosllegaralconcebirinfinitoactual.

En 1831 el matemático KarlFriedrich Gauss, enfatizaba suprotesta contra el uso del infinitocomoalgoreal.

Elinfinitoessolounaformadehablar.

Nuncasepuedepermitirenmatemática

Los pioneros

• Dos hombres se propusieron entender el infinito e incluirlo en los fundamentos de las matemáticas:

David Hilbert y Georg Cantor

• Uno de ellos terminó en un asilo de locos y el otro con su sueño destrozado.

Hilbert propone unametáfora con hechosparadójicosquepermiteentender algunas cosassobreelinfinito:Elhotelinfinito.

(deacuerdoaunamemoriadeG.Gamow)

Hilbert’s Hotel

• El hotel de Hilbert tiene infinitas habitaciones: cada una con un número natural1, 2, 3, 4, etc.

• Todas las habitaciones están llenas.

1 2 3 4 5 6

Problema 1

• Llega un nuevo huésped. ¿Es posible

acomodarlo?

¿Cómo alojarlo?

1 2 3 4 5 6

Conclusión

∞ + 1 = ∞

Problema 2

• Llega un autobús con…¡infinitos turistas! ¿Se los puede acomodar?

Alojando infinitos turistas

1 2 3 4 5 6

Conclusión

∞ + ∞ = ∞

Problema 3 • Llaman por teléfono avisando que vienen en camino

infinitos autobuses con… ¡¡¡infinitos turistas cada uno!!.

• ¿Hay alguna manera de acomodar a toda esta gente?

Una solución (¡Hay muchas!)

1. Dejar libres todos los cuartos impares como antes.

2. Cada pasajero viene con un par de números: número de bus y número de asiento. E.g. el hombre del bus 7, asiento 3 es (7,3).

3. Hacer una grilla y un camino en ella que pase por cada pasajero una y sólo una vez, y que pase por todos.

La grilla

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ….

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) ….

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ….

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) ….

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) ….

…. …. …. …. …. ….

Conclusión

∞ × ∞ = ∞

Nota:recta,plano,espacio

• Porelargumentoanteriorsepuededemostrarqueunarectatienelamismacantidasdepuntosqueunplano.

• YqueelespacioR3…

• YqueRn…

• YqueR∞!!!!

Algebra del infinito

• Hilbert’s hotel nos muestra que:

– ∞ + 1 = ∞

– ∞ × 2 = ∞ + ∞ = ∞

– ∞ × ∞ = ∞

– ∞ - ∞ = ?

Cantor (1845 – 1918)

• Nació en St Petersburg y se doctoró en la Universidad de Berlin.

• Fue “full professor” en la Universidad de Halle a la edad de 34 años.

• Tuvo 6 hijos y gustaba de caminar por los Alpes.

Teoría de conjuntos

• Cantor creó la teoría de conjuntos, la rama más fundamental de las matemáticas.

• Un conjunto es una colección de objetos.

Cantor fue la primera persona en estudiar las propiedades de conjuntos infinitos.

El tamaño de un conjunto

• Pregunta: ¿Cómo determinamos si dos conjuntos tienen el mismo tamaño?

• Respuesta: se aparean los elementos, uno de cada conjunto, y se verifica que no quede ninguno sin aparear. Entonces los conjuntos tienen el mismo tamaño.

Conjuntos de diferente tamaño

!!

Conjuntosdelmismotamaño(cardinalidad)

Contar es aparear conjuntos: el conjunto contado y el de los números el naturales

1 2 3

¿Cuántos números pares hay?

• Contrariamente a la intuición, se puede mostrar que hay tantos números pares como naturales.

• Esto se debe a que los podemos aparear en forma exacta:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

¿Cuántos enteros hay?

1 23 45 67 89 1011

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ….

2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ….

3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ….

4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ….

5/1 5/2 5/3 5/4 5/5

¿Cuántas fracciones hay?

El número de los naturales, de los enteros y de los racionales… ¡es el mismo!

ElprimerAleph

Finalmente, los números reales

• ¿Cuántos números reales hay? Números como 5.9678401746283… o √2 ?

• ¿Es posible hacer una lista de ellos de forma tal que ninguno quede afuera?

• Sorprendentemente, la respuesta es NO. Cantor probó que hay más números reales de naturales.

• Supongamos que tratamos de contar los reales.

– 1) 0.100000…

– 2) 0.120000…

– 3) 0.146000…

– 4) 0.2235600…

….

• Siempre podemos escribir un número real que es diferente

de los de la lista:

– E.g. 0.2376…

¡Hay infinitos de diferentes tamaños!

• Este argumento se llama el argumento diagonal de Cantor.

• El argumento prueba que hay más números reales que números enteros y racionales

• El infinito de los números enteros es llamado “numerable”, mientras que el infinito de los reales es “inumerable”.

• De hecho, Cantor probó que …¡hay infinitos tamaños de números infinitos! Estos números son los números transfinitos.

Cantorprobóquesiempreelconjuntodelaspartesdeunconjuntoesmayorqueelconjuntooriginal.Oseaquesiempresepuedeobtenerunconjuntodemayorcardinalidad.

card (A) < card( P (A) )

||A|| = n ) ||P (A)|| = 2n

Ejemplos

Infinitos numerables

• Números enteros. • Fracciones. • Números primos. • Número de ejemplares

en la biblioteca de Babel. • Número de letras en los

ejemplares de la biblioteca de Babel.

Infinitos no-numerables

• Números irracionales. • Números reales entre

dos números reales cualesquiera.

• Puntos en un segmento cualquiera.

• Puntos dentro de un cuadrado o cubo cualquiera.

Númerostransfinitos

Númerostransfinitos

@0, 2@0 = @1, 2@1 = @2,...

||P (N)|| = @0

Objeciones a la prueba de Cantor

• Al principio la prueba diagonal de Cantor no fue universalmente aceptada.

• Algunos matemáticos no creyeron que se pudiese formular una teoría autoconsistente de conjuntos infinitos.

• Otros argumentaron con razones religiosas o metafísicas: sólo Dios es infinito y hay un sólo Dios, luego hay un sólo infinito, por tanto la teoría de números transfinitos es falsa.

Criticas

• Uno de los matemáticos más críticos fue Leopold Kronecker, profesor de la Universidad de Berlin. Se opuso a la publicación del trabajo de Cantor y lo llamó

“un corruptor de la juventud”

y

“charlatán de la ciencia”

• Kronecker señaló

“No se que es lo que domina en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero estoy seguro de que allí no hay matemáticas.”

Kronecker evitó que Cantor consiguiera el trabajo que este tanto anhelaba de profesor en la prestigiosa Universidad de Berlin.

Más criticas• Poincaré escribió

“las futuras generaciones considerarán [el trabajo de Cantor] como una enfermedad de la habrán debido

recuperarse.”

• El filósofo Ludwig Wittgenstein señaló que la teoría de conjuntos era:

“puro sinsentido” y “risible”

• Incluso sus amigos trataron de disuadirlo de publicar sus resultados.

Uno de ellos le dijo:

“…es 100 años muy pronto”

• Sin embargo, Hilbert lo apoyó y se transformó en el paladín de su

defensa:

“¡Nadie nos sacará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros!”

El final

• Hacia 1884, a la edad de 39 años, Cantor cayó en una profunda depresión y ya no tuvo fuerzas para seguir su trabajo.

• Se dedicó al estudio de la literatura inglesa y trató de probar que Bacon había escrito las obras de Shakespeare.

• Volvería de tanto en tanto a las matemáticas, pero pasando más y más tiempo internado en un sanatorio para enfermos mentales.

• Hoy se cree que padeció de un trastorno bi-polar.

• Cantor murió en 1918, internado en un manicomio y desnutrido a causa del bloqueo inglés a Alemania durante el final de la Primera Guerra Mundial.

El legado: La Hipótesis del Continuo

• Luego de haber probado que los reales son más numerosos que los

naturales, Cantor postuló que el número de los reales es

y que no hay ningún número transfinito entre ellos:

• La Hipótesis no ha sido probada hasta la fecha….

2@0 = @1

Conclusiones

• El infinito es una propiedad de los conjuntos.

• Es posible formular un álgebra de infinitos.

• El infinito es útil para representar la realidad, pero en la realidad no hay infinitos. De la misma manera que en la realidad no hay triángulos o números.

No existe algo que pueda definirse

como el conjunto de todos los conjuntos.

No todos los infinitos matemáticos son igual de grandes

Ningún conjunto es tan grande como el

conjunto de sus subconjuntos

GeorgCantor

¡Gracias!

Wirmüssenwissen.Wirwerdenwissen.

UnconjuntoAesinfinitosiexisteunsubconjuntopropioBdeA,talqueexisteunabiyecciónf:AàBentreAyB.

The incompleteness theorem• In 1931, Gödel proved that, in any system

powerful enough to describe whole-number arithmetic,

– If the system is consistent, it cannot be complete. – The consistency of the axioms cannot be proven within

the system.

Thismeansthattheremustbesomestatementsinmathematicswhicharetruebutcanneitherbeprovednordisproved.

Gödel’s madness

• In 1933, two years after his incompleteness theorem, Gödel suffered a nervous breakdown. He spent several months in a sanatorium recovering from depression.

• Like Cantor, he had been trying to prove the Continuum Hypothesis…

Undecidable theorems

• In 1940 Gödel proved that the Continuum Hypothesis was a statement that could neither be proved nor disproved.

• The Axiom of Choice is another undecidable theorem. It states that, given any collection of sets, that we can choose one element from each set.

Axioma de la elección

The Axiom of Choice

• Most mathematicians use the axiom of choice in their work.

• It sounds very intuitive, but it also leads to some very strange conclusions!

• One of these is the Banach-Tarski paradox – A solid ball can be broken up and re-assembled to create

two balls identical to the first.

Gödel’s madness

• Had a fear of being poisoned and would only eat the food cooked for him by his wife.

• This eventually led him to starve himself to death when she was no longer well enough to cook for him.