Post on 14-Jan-2016
description
Projekt 5.3Gilpins och Ayalas θ-logistiska modell
A Course in Mathematical Modeling
- Mooney & Swift
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
2
Projekt 5.3
Projektet går ut på att undersöka θ-logistikekvationen:
K
xxr
dt
dx1
Uppgifter:
1. Ekvationen i sig
2. Ekvationen med konstant skörd (harvesting), H(x)=h
3. Ekvationen med “skörd-funktionen” H(x)=hx
4. θ-logistisk ekvation jämfört med logistisk ekvation för ‘spruce-budworm’
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
3
1 θ-logistisk ekvation))(1(
K
xxr
dt
dx
Figuren visar kurvor för dx/dt mot x, för ett antal olika värden på θ, då r=0,1 och K=3.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
4
1 θ-logistisk ekvation))(1(
K
xxr
dt
dx
Figuren är gjord i matlab:
Vx=[0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3];r=0.1; K=3; h=0; % h=theta
for m=1:5 if m==1 u=0.3; elseif m==2 u=0.5; elseif m==3 u=1; elseif m==4 u=3; elseif m==5 u=5; end
x=0; for n=1:13 Vxdot(n,1)=r*x*(1-(x/K)^u); x=x+0.25; end
Wxdot(:,m)=(Vxdot);end
plot(Vx,Wxdot)
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
5
1 θ-logistisk ekvation
I figuren nedan är x “plottad” mot t, för samma θ-värden som i föregående figur.
))(1(
K
xxr
dt
dx
Ju större värde på θ desto snabbare når populationen sin bärförmåga, K.
K=3r=0,1x(0)=1
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
6
1 θ-logistisk ekvation))(1(
K
xxr
dt
dx
Inflektionspunkt:
Den punkt där derivatan av ekvationen är noll, dvs där populationens tillväxt börjar avta.
För θ=5 beräknas inflektionspunkten:
2431,0
6
5
5 rxx
K
rxxrx
dt
dx
1,261,0
2431,0
61,0
2431,0
0243
61,01,0
5
1
5
155
5
xxx
xderivata
r=0,1 K=3
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
7
1 θ-logistisk ekvation))(1(
K
xxr
dt
dx
Samtliga inflektionspunkter är markerade:
θ=5→x=2,1θ=3→x=1,9θ=1→x=1,5θ=0,5→x=1,33θ=0,3→x=1,25
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
8
Före-gående figur är också gjord i matlab.
1 θ-logistisk ekvation))(1(
K
xxr
dt
dx
global hh=0.3; % h=theta
for m=1:5 if m==2 h=0.5; elseif m==3 h=1; elseif m==4 h=3; elseif m==5 h=5; end
[t,x]=ode45('theta',[0,500],1);size(x); % för att se hur många x man fårV=x(1:49); W(:,m)=V;T(:,m)=t(1:49);end
plot(T,W)
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
9
Före-gående figur är också gjord i matlab.
1 θ-logistisk ekvation))(1(
K
xxr
dt
dx
global hh=0.3; % h=theta
for m=1:5 if m==2 h=0.5; elseif m==3 h=1; elseif m==4 h=3; elseif m==5 h=5; end
[t,x]=ode45('theta',[0,500],1);size(x); % för att se hur många x man fårV=x(1:49); W(:,m)=V;T(:,m)=t(1:49);end
plot(T,W)
Funktionsfilen “theta.m”:
function xdot=theta(t,x)K=3;r=0.1;
global h% h=theta
xdot=r*x*(1-(x/K)^h);
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
10
2 Konstant skörd, H(x)=h))(1(
K
xxr
dt
dx
Säg att man har en population som i verkligheten följer en θ-logistisk ekvation. Man räknar dock på den som om den följde en “vanlig” logistisk modell.
Vilka felaktiga slutsatser kan då dras när man dessutom inför en konstant skörd av populationen i fråga?
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
11
2 Konstant skörd, H(x)=h))(1(
K
xxr
dt
dx
K
xxrxF 1)(
Jämför alltså:
“vanlig” logistisk modell:
med
θ-logistisk modell, då θ=5:
5
1)(K
xxrxF
)()( xHxFdt
dx hxH )(Konstant skörd:
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
12
2 Konstant skörd; phase line analysis ))(1(
K
xxr
dt
dx
Populationens jämviktspunkter är i korsningarna mellan F(x) och H(x).
Jämviktspunkten är stabil om “phase-line-analysis-pilarna” pekar mot varandra.
(Pilarna pekar åt höger om F(x)>H(x), annars åt vänster.)
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
13
2 Konstant skörd; phase line analysis ))(1(
K
xxr
dt
dx
Om H(x) ökar kommer jämviktspunkterna röra sig in mot varandra. De möts i den punkt där H(x) precis tangerar F(x)-kurvan.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
14
2 Konstant skörd; phase line analysis ))(1(
K
xxr
dt
dx
Vi denna punkt finns ‘maximum sustainable yield’, dvs den maximala skörd man kan plocka ut utan att populationen kollapsar.
I det här fallet kan man ‘skörda’ c:a 0,23 individer varje tidssteg och populationen kommer då att hållas konstant på 1,5 individer.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
15
2 Konstant skörd; phase line analysis))(1(
K
xxr
dt
dx
Om populationen egentligen följer en θ-logistisk ekvation, kommer man att plocka ut ett för litet antal individer om man tänkt ta ut maximalt antal.
Den här populationen kommer att ligga kvar på (eller växa tillbaka till) ungefär samma antal hela tiden, (dvs c:a 2,8) trots att man skördar.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
16
2 Konstant skörd; phase line analysis))(1(
K
xxr
dt
dx
Figuren är gjord i matlab:
Vx=[-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3];r=0.1; K=3; theta=5; h=0.18;
N=-0.25;for n=1:15 Ndot(n,1)=r*N*(1-(N/K)^theta); N=N+0.25;endM=-0.25;for m=1:15 Mdot(m,1)=r*M*(1-(M/K)); M=M+0.25;endfor j=1:15 O(j,1)=h;end
V=[Ndot,Mdot,O]; plot(Vx,V)
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
17
2 Konstant skörd))(1(
K
xxr
dt
dx
Om populationen egentligen istället följer en θ-logistisk ekvation där θ=0,5 får man följande figur:
Här kommer
man plocka ut en skörd som fullständigt kollapsar popula-tionen!
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
18
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(
K
xxr
dt
dx
Säg att man har en population som i verkligheten följer en θ-logistisk ekvation. Man räknar dock på den som om den följde en “vanlig” logistisk modell (som i uppg. 2).
Vilka felaktiga slutsatser kan då dras när man dessutom inför en skörd som följer funktionen H(x)=hx?
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
19
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(
K
xxr
dt
dx
Med ‘phase line analysis’ ser man att det finns en stabil jämviktspunkt (per F(x)-funktion).
θ=5K=3r=0,1h=0,18
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
20
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(
K
xxr
dt
dx
Jämviktspunkten vid MSY (maximum sustainable yield) är inritade med svart i figuren.
θ=5K=3r=0,1h=0,18
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
21
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx
θ=5K=3r=0,1h=0,18
Det behövs en större ansträngning (h) för att få ut maxskörd från θ-modellen. Å andra sidan får man ut fler individer och har samtidigt fler kvar vid jämvikt.
))(1(
K
xxr
dt
dx
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
22
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(
K
xxr
dt
dx
θ=5, K=3, r=0,1 och h=0,18
Naturlig population följer θ-modellen.
Man modellerar med den “vanliga” logistiska modellen.
Man kommer att ta ut en skörd som är mindre än MSY.
Man kommer att få fler individer kvar än vad man räknar med!
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
23
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(
K
xxr
dt
dx
θ=0,5K=3r=0,1h=0,18
Samma frågeställning som förut och samma data, utom för θ som är lägre:
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
24
3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(
K
xxr
dt
dx
Naturlig population följer θ-modellen, men man modellerar med “vanliga” logistiska modellen:
Populationens jämvikt kommer att ligga på ett lägre antal än vad man räknar med, och skörde-ansträngningen (h) blir onödigt stor.
θ=0,5, K=3, r=0,1 och h=0,18
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
25
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
Efter diverse förenklingar (se kursbok) landar exemplet med ‘Spruce budworm” i följande ekvation:
211
x
x
Q
xRx
d
dx
xGxFxd
dx
Denna ekvation har formen:
För en ‘phase-line’-analys kan man analysera endast F(x)-G(x) (eftersom man bara tittar på positiva x.)
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
26
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
211
x
x
Q
xRx
d
dx
x=antalτ=tid (ingen särskild enhet)R=ungefär tillväxtfaktorQ=ungefär bärförmåga
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
27
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
‘Phase-line’-analys:
Ju större R desto fler individer innehåller populationen vid jämvikt (t ex många habitat (träd) stort R och många budworms).
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
28
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
‘Phase-line’-analys:
När Q ökar, ökar antalet individer vid jämvikt. I början sker ökningen långsamt, men tar sedan ett skutt fram till ett mycket högre antal.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
29
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
Hur förändras de slutsatser man kan dra av ‘budworm’-modellen om man istället har en θ-ekvation?
211
x
x
Q
xRx
d
dx
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
30
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
‘Phase line’: vid relativt lågt Q, ingen större skillnad.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
31
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
‘Phase line’: endast θ-ekvationen har nått “skuttet”.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
32
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
‘Phase line’: θ-ekvationen når fortare till “skuttet”.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
33
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
Slutsats: Vid lågt Q och vid mycket högt Q “landar” individantalet vid jämvikt på ungefär samma antal oavsett vilken modell man använder. Däremot når θ-ekvationen fortare fram till “skuttet” (outbreak), dvs till 3 jämviktspunkter.
A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3
34
4 Spruce budworm))(1(
K
xxr
dt
dx
De tre budworm-figurerna är gjorda i matlab:
Vx=[0 0.25 0.5 0.75 1 osv till 11]';R=0.3; Q=11; theta=3;
x=0;for n=1:45 Ft(n,1)=R*(1-(x/Q)^theta); x=x+0.25;endx=0;for m=1:45 F(m,1)=R*(1-(x/Q)); x=x+0.25;endx=0;for j=1:45 G(j,1)=x/(1+x^2); x=x+0.25;end
V=[Ft,F,G];
plot(Vx,V)