Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Εαρινό εξάμηνο 201116.05.11

Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Έως το τέλος του 18ου αιώνα, άλγεβρα ήταν η μελέτηπολυωνυμικών εξισώσεων (κλασσική άλγεβρα).

Το 20ο αιώνα η άλγεβρα έγινε η μελέτη αφηρημένωνσυστημάτων, συστημάτων που καθορίζονται από αξιώματα(μοντέρνα άλγεβρα).

Η μετάβαση έγινε τον 19ο αιώνα. Τότε εμφανίστηκαν καιαναγνωρίσθηκαν οι δομές για ομάδες, για αντιμεταθετικούς καιμη δακτυλίους, για σώματα και για διανυσματικούς χώρους.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Οι τομείς αυτοί αναπτύχθηκαν παράλληλα καιαλληλοεπιρρεάζοντας ο ένας τον άλλον.

Για παράδειγμαη θεωρία Galois αφορά ομάδες και σώματα.η αλγεβρική θεωρία αριθμών εμπλέκει ομάδες, αντιμεταθετικούς δακτυλίους, σώματα.η θεωρία αναπαραστάσεων συνδυάζει ομάδες, μηαντιμεταθετικούς δακτυλίους, γραμμική άλγεβρα.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Η θεωρία ομάδων οφείλει την εξέλιξή της στις επόμενεςπηγές:

Κλασσική άλγεβρα (Lagrange 1770) *Θεωρία αριθμών (Gauss, 1801)*Γεωμετρία (Klein, 1874, πρόγραμμα του Erlangen)Ανάλυση (Lie 1874, Poincare και Klein, 1876)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Joseph-Louis Lagrange1736-1813

Carl Friedrich Gauss1777-1855

Felix Klein1777-1855

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Henri Poincare1854-1912

Marius Sophus Lie1842-1899

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Κλασσική Άλγεβρα και Lagrange

Μέθοδοι για την εύρεση ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων. όταν ο βαθμός του πολυωνύμου είναι:

2: μέθοδοι ήταν γνωστές από την εποχή των Βαβυλωνίων(1600 π.Χ.)3 και 4: μέθοδοι δόθηκαν στα μισά του 16ου αιώνα. 5: ένα από τα κύρια προβλήματα για τους επόμενους δύοαιώνας ήταν η εύρεση αλγεβρικής λύσης.

To θέμα της εργασίας «Reflexions sur la resolution algebriquesdes equations» Lagrange (1770)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Ο Lagrange ανέλυσε τις διάφορες μεθόδους για την αλγεβρικήεπίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού 3 και 4 πουείχαν δοθεί (πέρα από τους Ιταλούς) από τους Viete, Descartes, Euler, Bezout.

Αντιλήφθηκε ότι το κοινό στοιχείο αυτών των μεθόδων είναι ηαναγωγή του προβλήματος σε ένα πρόβλημα εύρεσης ριζώνμίας βοηθητικής πολυωνυμικής εξίσωσης: όταν η αρχική εξίσωση έχει βαθμό 3 η βοηθητική επιλύουσαεξίσωση έχει βαθμό 2.όταν η αρχική εξίσωση έχει βαθμό 4 η βοηθητική επιλύουσαεξίσωση έχει βαθμό 3.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Ο Lagrange απέδειξε ότι ο βαθμός k της επιλύουσαςδιαιρεί το n!. (αντιστοιχεί στο Θεώρημα τουLagrange.)

Επίσης απέδειξε ότι αναγκαία συνθήκη για την επίλυσητης εξίσωσης βαθμού n είναι η ύπαρξη κάποιαςεπιλύσουσας βαθμού <n.

Όταν επιχείρησε για την εξίσωση βαθμού 5 βρήκε μόνοεπιλύουσες βαθμού 6.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Θεωρία Αριθμών και Gauss

Στο έργο του «Disquisitions…» βρίσκονται οι απαρχέςτης θεωρίας των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων.

Οι ομάδες εμφανίζονται σε 4 μορφές:ακέραιοι modulo mακέραιοι που είναι πρώτοι προς το m, modulo mκλάσεις ισοδυναμίας διγραμμικών συναρτήσεωνβαθμού 2το σύνολο των n-στών ριζών της μονάδας

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Ο Gauss δεν φαίνεται να είχε την έννοια τηςαφηρημένης ομάδας.

Παρόλο που οι τεχνικές του ήταν γενικές, αντιμετώπισετη κάθε περίπτωση ομάδας (από τις 4 πουεμφανίζονται στη δουλειά του) χωριστά.

Δεν είχε μία μέθοδο που να εφαρμόζεται σε όλες τιςπεριπτώσεις.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Paolo Ruffini1765-1822

Niels Abel1802-1829

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Μετασχηματισμοί ριζών, η συνέχεια .

Ο Ruffini (1799) και ο Abel (1824) έδειξαν ότι δενυπάρχουν επιλύουσες εξισώσεις μικρότερου βαθμούόταν ο βαθμός της αρχικής εξίσωσης είναι >4. Τοέργο τους συνέβαλλε στην ανάπτυξη της θεωρίαςτων μετασχηματισμών.

Για τον Galois το κύριο ζήτημα ήταν να καταλάβει τιςγενικές αρχές. Θεωρούσε ότι οι υπολογιστικέςμέθοδοι είχαν γίνει τόσο περίπλοκες που πρόοδος μεαυτόν τον τρόπο ήταν αδύνατη.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Ο Galois αναγνώρισε τον διαχωρισμό ανάμεσα στην

αντιστοιχία ομάδων και σωμάτων(θεωρία Galois)

και στιςεφαρμογές για την επίλυση των εξισώσεων,το πότε δηλαδή υπάρχει αλγεβρική λύση.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Ο Galois πρώτος χρησιμοποίησε τον όρο ομάδα:μία συλλογή από μεταθέσεις που το γινόμενο τους ανήκεισε αυτή τη συλλογή.

Έδειξε ότι οι ιδιότητες μίας αλγεβρικής εξίσωσηςσυνδεόταν άμεσα με της ιδιότητες μία ομάδαςμεταθέσεων. Η ομάδα αυτή αποτελείται από εκείνες τιςμεταθέσεις ριζών που δεν αλλάζουν τις σχέσεις ανάμεσαστις ρίζες.

Για να περιγράψει αυτές τις ιδιότητες ανακάλυψε τηνέννοια των κανονικών υποομάδων και των ομάδωνπηλίκα.

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Παρατήρησε ότι η ύπαρξη επιλύουσας είναι ισοδύναμηςμε την ύπαρξη κανονικής υποομάδας με δείκτηπρώτο αριθμό.

Το έργο του γράφτηκε το 1830 και εμφανίστηκε το 1846 (Louiville).

(O Cayley το 1854 έδωσε τον πρώτοαφηρημένο ορισμό ομάδας .)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Evariste Galois

25 Oct 1811- 31 May 1832

Bourg-la-Reine

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Οι γονείς του: μορφωμένοι και σκεπτόμενοι: (φιλοσοφία, φιλολογία, θρησκευτικά)

πατέρας του: Δημοκρατικός και Δήμαρχοςτου Bourg-la-Reine 1814

μητέρα του: κόρη δικαστή, πρώτη τουδασκάλα (έως τα 12) ελληνικά, λατινικά, θρησκευτικά

1826: βιβλίο του Legendre «Στοιχεία της Γεωμετρίας»

«Είναι το πάθος των μαθηματικών που τον έχει καταλάβει. Πιστεύω ότι θα ήταν καλύτερα για αυτόν αν οι γονείς του τουεπέτρεπαν να μελετήσει μόνο τα μαθηματικά. Χάνει τον χρόνοτου εδώ και δεν κάνει τίποτα άλλο από το να παιδεύει τουςδασκάλους του και να τιμωρείται.»«παράξενος, κλειστός...»«πρωτότυπος, όχι μεθοδικός»

Καλός μαθητήςέως το 1825

Επανάληψη τάξης το 1826(έμεινε στα ρητορικά)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Νεανικά διαβάσματα‐Επιρροές

Legendre

1752 - 1833

Lagrange

1736 - 1813

Abel

1802 - 1829

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

École PolytechniqueΔιπλή αποτυχία....

το καλύτερο ανώτατο ίδρυματης εποχής,Μεγάλο πολιτικόφοιτητικό κίνημαπανεπιστήμιο

1828

1829 (τραγικόςθάνατος πατέρα του)

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Cauchy

1789 - 1857Fourier

1768 - 1830

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

1830:  Το μεγάλο βραβείοτης Ακαδημίας αποδίδεταιστον Abel  και στον Jacobi

Η εργασία του Galois δενβρέθηκε ποτέ.

1831, η δουλιά του Galois απορίφθηκε ακόμα μίαφορά από τον Poisson…

Poisson

1781 - 1840

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

ΦυλακήΜάιος 1831, λόγος: απειλή κατά του βασιλιά, χρόνος φυλάκισης: 1 μήνας

Ιούλιος 1831 (ημέρα της Bastille) λόγος: στολή τωνΔημοκρατικών φρουρών (και με πιστόλια, τουφέκι, σπαθί..)

χρόνος φυλάκισης: 6 μήνες

Αποβολή από την ENS: Δεκέμβρης1830, λόγος:πολιτικό γράμμα, υπογεγραμμένο, κατά του διευθυντή τηςΣχολής στο Gazette des Ecoles

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Στη φυλακή της Αγίας Πελαγίας ο Galoisέλαβε την απόριψη από τον Poisson:

«το επιχείρημα του συγγραφέα δεν είναι σαφές ούτεαρκετά ανεπτυγμένο για να αποφασίσουμε ως προςτην ισχύ του....

Προτείνουμε ο συγγραφέας να δημοσιεύσει το έργοτου στο σύνολό του για να μπορέσουμε ναδιαμορφώσουμε οριστική άποψη.»

Απόπειρα αυτοκτονίας....

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Ατυχoς ΈρωταςΑπρίλιο 1832, ανάρωσηαπό χολέρα

κόρη του γιατρού, Stephanie-Felice duMotel

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Θάνατος

30 Μαίου 1832: μονομαχία, έναν μήνα μετά τηναποφυλάκιση...

29 Μαίου 1832: ολονυκτία για το περίφημο γράμμαστον φίλο Chevalier

Τελευταία λόγια στον αδελφό του Alfred:

Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de toutmon courage pour mourir à vingt ans !

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Σημείωση στο γράμμα προς τον Chevalier

«Ρώτα τον Jacobi ή τον Gauss για την γνώμη τους, όχι ως προς την ισχύ τωνόσων γράφω, αλλά ως προς την σημασία αυτών των θεωρημάτων.

Αργότερα ελπίζω ότι θα υπάρξουν κάποιοι που θα θεωρήσουν καλό νααποσαφηνίσουν όλα αυτά.... »

«υπάρχει κάτι ναπροστεθεί για ναολοκληρωθεί αυτή ηαπόδειξη.Δεν προλαβαίνω.»

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011

Αναγνώριση1843: Liouville

1846: ΔημοσίευσηJournal desmathématiques pureset appliquées

Liouville

1809 - 1882