Presentation16 05 11
description
Transcript of Presentation16 05 11
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Εαρινό εξάμηνο 201116.05.11
Χ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Έως το τέλος του 18ου αιώνα, άλγεβρα ήταν η μελέτηπολυωνυμικών εξισώσεων (κλασσική άλγεβρα).
Το 20ο αιώνα η άλγεβρα έγινε η μελέτη αφηρημένωνσυστημάτων, συστημάτων που καθορίζονται από αξιώματα(μοντέρνα άλγεβρα).
Η μετάβαση έγινε τον 19ο αιώνα. Τότε εμφανίστηκαν καιαναγνωρίσθηκαν οι δομές για ομάδες, για αντιμεταθετικούς καιμη δακτυλίους, για σώματα και για διανυσματικούς χώρους.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Οι τομείς αυτοί αναπτύχθηκαν παράλληλα καιαλληλοεπιρρεάζοντας ο ένας τον άλλον.
Για παράδειγμαη θεωρία Galois αφορά ομάδες και σώματα.η αλγεβρική θεωρία αριθμών εμπλέκει ομάδες, αντιμεταθετικούς δακτυλίους, σώματα.η θεωρία αναπαραστάσεων συνδυάζει ομάδες, μηαντιμεταθετικούς δακτυλίους, γραμμική άλγεβρα.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Η θεωρία ομάδων οφείλει την εξέλιξή της στις επόμενεςπηγές:
Κλασσική άλγεβρα (Lagrange 1770) *Θεωρία αριθμών (Gauss, 1801)*Γεωμετρία (Klein, 1874, πρόγραμμα του Erlangen)Ανάλυση (Lie 1874, Poincare και Klein, 1876)
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Joseph-Louis Lagrange1736-1813
Carl Friedrich Gauss1777-1855
Felix Klein1777-1855
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Henri Poincare1854-1912
Marius Sophus Lie1842-1899
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Κλασσική Άλγεβρα και Lagrange
Μέθοδοι για την εύρεση ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων. όταν ο βαθμός του πολυωνύμου είναι:
2: μέθοδοι ήταν γνωστές από την εποχή των Βαβυλωνίων(1600 π.Χ.)3 και 4: μέθοδοι δόθηκαν στα μισά του 16ου αιώνα. 5: ένα από τα κύρια προβλήματα για τους επόμενους δύοαιώνας ήταν η εύρεση αλγεβρικής λύσης.
To θέμα της εργασίας «Reflexions sur la resolution algebriquesdes equations» Lagrange (1770)
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Ο Lagrange ανέλυσε τις διάφορες μεθόδους για την αλγεβρικήεπίλυση των πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού 3 και 4 πουείχαν δοθεί (πέρα από τους Ιταλούς) από τους Viete, Descartes, Euler, Bezout.
Αντιλήφθηκε ότι το κοινό στοιχείο αυτών των μεθόδων είναι ηαναγωγή του προβλήματος σε ένα πρόβλημα εύρεσης ριζώνμίας βοηθητικής πολυωνυμικής εξίσωσης: όταν η αρχική εξίσωση έχει βαθμό 3 η βοηθητική επιλύουσαεξίσωση έχει βαθμό 2.όταν η αρχική εξίσωση έχει βαθμό 4 η βοηθητική επιλύουσαεξίσωση έχει βαθμό 3.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Ο Lagrange απέδειξε ότι ο βαθμός k της επιλύουσαςδιαιρεί το n!. (αντιστοιχεί στο Θεώρημα τουLagrange.)
Επίσης απέδειξε ότι αναγκαία συνθήκη για την επίλυσητης εξίσωσης βαθμού n είναι η ύπαρξη κάποιαςεπιλύσουσας βαθμού <n.
Όταν επιχείρησε για την εξίσωση βαθμού 5 βρήκε μόνοεπιλύουσες βαθμού 6.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Θεωρία Αριθμών και Gauss
Στο έργο του «Disquisitions…» βρίσκονται οι απαρχέςτης θεωρίας των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων.
Οι ομάδες εμφανίζονται σε 4 μορφές:ακέραιοι modulo mακέραιοι που είναι πρώτοι προς το m, modulo mκλάσεις ισοδυναμίας διγραμμικών συναρτήσεωνβαθμού 2το σύνολο των n-στών ριζών της μονάδας
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Ο Gauss δεν φαίνεται να είχε την έννοια τηςαφηρημένης ομάδας.
Παρόλο που οι τεχνικές του ήταν γενικές, αντιμετώπισετη κάθε περίπτωση ομάδας (από τις 4 πουεμφανίζονται στη δουλειά του) χωριστά.
Δεν είχε μία μέθοδο που να εφαρμόζεται σε όλες τιςπεριπτώσεις.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Paolo Ruffini1765-1822
Niels Abel1802-1829
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Μετασχηματισμοί ριζών, η συνέχεια .
Ο Ruffini (1799) και ο Abel (1824) έδειξαν ότι δενυπάρχουν επιλύουσες εξισώσεις μικρότερου βαθμούόταν ο βαθμός της αρχικής εξίσωσης είναι >4. Τοέργο τους συνέβαλλε στην ανάπτυξη της θεωρίαςτων μετασχηματισμών.
Για τον Galois το κύριο ζήτημα ήταν να καταλάβει τιςγενικές αρχές. Θεωρούσε ότι οι υπολογιστικέςμέθοδοι είχαν γίνει τόσο περίπλοκες που πρόοδος μεαυτόν τον τρόπο ήταν αδύνατη.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Ο Galois αναγνώρισε τον διαχωρισμό ανάμεσα στην
αντιστοιχία ομάδων και σωμάτων(θεωρία Galois)
και στιςεφαρμογές για την επίλυση των εξισώσεων,το πότε δηλαδή υπάρχει αλγεβρική λύση.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Ο Galois πρώτος χρησιμοποίησε τον όρο ομάδα:μία συλλογή από μεταθέσεις που το γινόμενο τους ανήκεισε αυτή τη συλλογή.
Έδειξε ότι οι ιδιότητες μίας αλγεβρικής εξίσωσηςσυνδεόταν άμεσα με της ιδιότητες μία ομάδαςμεταθέσεων. Η ομάδα αυτή αποτελείται από εκείνες τιςμεταθέσεις ριζών που δεν αλλάζουν τις σχέσεις ανάμεσαστις ρίζες.
Για να περιγράψει αυτές τις ιδιότητες ανακάλυψε τηνέννοια των κανονικών υποομάδων και των ομάδωνπηλίκα.
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Παρατήρησε ότι η ύπαρξη επιλύουσας είναι ισοδύναμηςμε την ύπαρξη κανονικής υποομάδας με δείκτηπρώτο αριθμό.
Το έργο του γράφτηκε το 1830 και εμφανίστηκε το 1846 (Louiville).
(O Cayley το 1854 έδωσε τον πρώτοαφηρημένο ορισμό ομάδας .)
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Evariste Galois
25 Oct 1811- 31 May 1832
Bourg-la-Reine
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Οι γονείς του: μορφωμένοι και σκεπτόμενοι: (φιλοσοφία, φιλολογία, θρησκευτικά)
πατέρας του: Δημοκρατικός και Δήμαρχοςτου Bourg-la-Reine 1814
μητέρα του: κόρη δικαστή, πρώτη τουδασκάλα (έως τα 12) ελληνικά, λατινικά, θρησκευτικά
1826: βιβλίο του Legendre «Στοιχεία της Γεωμετρίας»
«Είναι το πάθος των μαθηματικών που τον έχει καταλάβει. Πιστεύω ότι θα ήταν καλύτερα για αυτόν αν οι γονείς του τουεπέτρεπαν να μελετήσει μόνο τα μαθηματικά. Χάνει τον χρόνοτου εδώ και δεν κάνει τίποτα άλλο από το να παιδεύει τουςδασκάλους του και να τιμωρείται.»«παράξενος, κλειστός...»«πρωτότυπος, όχι μεθοδικός»
Καλός μαθητήςέως το 1825
Επανάληψη τάξης το 1826(έμεινε στα ρητορικά)
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Νεανικά διαβάσματα‐Επιρροές
Legendre
1752 - 1833
Lagrange
1736 - 1813
Abel
1802 - 1829
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
École PolytechniqueΔιπλή αποτυχία....
το καλύτερο ανώτατο ίδρυματης εποχής,Μεγάλο πολιτικόφοιτητικό κίνημαπανεπιστήμιο
1828
1829 (τραγικόςθάνατος πατέρα του)
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Cauchy
1789 - 1857Fourier
1768 - 1830
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
1830: Το μεγάλο βραβείοτης Ακαδημίας αποδίδεταιστον Abel και στον Jacobi
Η εργασία του Galois δενβρέθηκε ποτέ.
1831, η δουλιά του Galois απορίφθηκε ακόμα μίαφορά από τον Poisson…
Poisson
1781 - 1840
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
ΦυλακήΜάιος 1831, λόγος: απειλή κατά του βασιλιά, χρόνος φυλάκισης: 1 μήνας
Ιούλιος 1831 (ημέρα της Bastille) λόγος: στολή τωνΔημοκρατικών φρουρών (και με πιστόλια, τουφέκι, σπαθί..)
χρόνος φυλάκισης: 6 μήνες
Αποβολή από την ENS: Δεκέμβρης1830, λόγος:πολιτικό γράμμα, υπογεγραμμένο, κατά του διευθυντή τηςΣχολής στο Gazette des Ecoles
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Στη φυλακή της Αγίας Πελαγίας ο Galoisέλαβε την απόριψη από τον Poisson:
«το επιχείρημα του συγγραφέα δεν είναι σαφές ούτεαρκετά ανεπτυγμένο για να αποφασίσουμε ως προςτην ισχύ του....
Προτείνουμε ο συγγραφέας να δημοσιεύσει το έργοτου στο σύνολό του για να μπορέσουμε ναδιαμορφώσουμε οριστική άποψη.»
Απόπειρα αυτοκτονίας....
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Ατυχoς ΈρωταςΑπρίλιο 1832, ανάρωσηαπό χολέρα
κόρη του γιατρού, Stephanie-Felice duMotel
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Θάνατος
30 Μαίου 1832: μονομαχία, έναν μήνα μετά τηναποφυλάκιση...
29 Μαίου 1832: ολονυκτία για το περίφημο γράμμαστον φίλο Chevalier
Τελευταία λόγια στον αδελφό του Alfred:
Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de toutmon courage pour mourir à vingt ans !
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Σημείωση στο γράμμα προς τον Chevalier
«Ρώτα τον Jacobi ή τον Gauss για την γνώμη τους, όχι ως προς την ισχύ τωνόσων γράφω, αλλά ως προς την σημασία αυτών των θεωρημάτων.
Αργότερα ελπίζω ότι θα υπάρξουν κάποιοι που θα θεωρήσουν καλό νααποσαφηνίσουν όλα αυτά.... »
«υπάρχει κάτι ναπροστεθεί για ναολοκληρωθεί αυτή ηαπόδειξη.Δεν προλαβαίνω.»
Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2011
Αναγνώριση1843: Liouville
1846: ΔημοσίευσηJournal desmathématiques pureset appliquées
Liouville
1809 - 1882