Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 21 Statistik€ Basik ...

Εισαγωγή Εκτιμήτριες ΕΜΠ Ασκήσεις Μελέτη

Πιθανότητες και Στατιστική

Διάλεξη 21

Στατιστική

Βασική εκτιμητική

Αντώνης Οικονόμου

Τμήμα Μαθηματικών

Πανεπιστήμιο Αθηνών

8 Ιανουαρίου 2015

Α. Οικονόμου - aeconom@math.uoa.gr Πιθανότητες - Στατιστική - Διάλ. 21

Εισαγωγή Εκτιμήτριες ΕΜΠ Ασκήσεις Μελέτη Πλαίσιο Παράδ Προβλήματα

Κλασική στατιστική συμπερασματολογία

Μελετάμε κάποιο μέγεθος X (τ.μ.).

Η σμπ pX(x) (ή η σππ fX(x)) εξαρτάται από κάποιασταθερή αλλά άγνωστη παράμετρο θ:pX(x) = pX(x; θ) (ή fX(x) = fX(x; θ)).

Παρατηρούμε το μέγεθος X (τ.μ.) πραγματοποιώνταςένα πείραμα τύχης (συλλογή δεδομένου (-ων) ):

x: Η τιμή της τ.μ. X που προέκυψε.

Συνάγουμε την πιθανή τιμή της παραμέτρου θ (σημειακήεκτίμηση, διάστημα εμπιστοσύνης) ή κάποια πληροφορία

γι αυτή (έλεγχος υποθέσεων).

Η σμπ pX(x) (ή η σππ fX(x)) εξαρτάται από κάποιασταθερή αλλά άγνωστη παράμετρο θ:

pX(x) = pX(x; θ) (ή fX(x) = fX(x; θ)).

Παράδειγμα: Χρόνος ζωής εξαρτημάτων

Βιομηχανία προμηθεύεται εξαρτήματα.

Γνωρίζει ότι λόγω της φύσης τους ο χρόνος ζωής Xακολουθεί την εκθετική κατανομή:

fX(x; θ) = θe−θx, x ≥ 0. Η θ είναι άγνωστη.

Δείγμα από n εξαρτήματα - Παρατήρηση χρόνου ζωής.

x1, x2, . . . , xn οι παρατηρηθείσες τιμές (δεδομένα).

Ποιά είναι η πιθανή τιμή της θ (εκτίμηση).

Η μέχρι σήμερα πεποίθηση ήταν ότι θ = θ0, αλλά μια νέαμελέτη υποστηρίζει ότι θ = θ1.Ποιά υπόθεση να αποδεχθεί η βιομηχανία (έλεγχος

υποθέσεων);

fX(x; θ) = θe−θx, x ≥ 0.

Η θ είναι άγνωστη.

Η μέχρι σήμερα πεποίθηση ήταν ότι θ = θ0, αλλά μια νέαμελέτη υποστηρίζει ότι θ = θ1.

Ποιά υπόθεση να αποδεχθεί η βιομηχανία (έλεγχος

Βασικά προβλήματα

Με βάση τα δεδομένα:

(Σημειακή) εκτίμηση παραμέτρου:

Να βρεθεί η «πιό πιθανή» τιμή της θ.

Διάστημα εμπιστοσύνης:

Να βρεθεί διάστημα τιμών που να περιέχει τη θ μεδεδομένη πιθανότητα (επίπεδο εμπιστοσύνης).

΄Ελεγχος υποθέσεων:

Αν υπάρχουν m ≥ 2 εναλλακτικές υποθέσεις για τη θ,ποιά να αποδεχτώ;

΄Ελεγχος σημαντικότητας:

Αν υπάρχει μια υπόθεση για τη θ, να τη δεχτώ ή να τηναπορρίψω;

Εισαγωγή Εκτιμήτριες ΕΜΠ Ασκήσεις Μελέτη Ορισμοί

Βασικές έννοιες

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ. .

θ: Παράμετρος - άγνωστος αριθμός.

pX(x1, x2, . . . , xn; θ) (fX(x1, x2, . . . , xn; θ)): Μοντέλο.

Θ = g(X): Εκτιμήτρια της θ - τ.μ.

x = (x1, x2, . . . , xn): Παρατηρήσεις - αριθμοί.

θ = g(x): Εκτίμηση της θ με βάση τις συγκεκριμένεςπαρατηρήσεις - αριθμός.

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ. .

Συμβολισμοί

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

΄Οταν θέλουμε να δώσουμε έμφαση στον αριθμό n τωνπαρατηρήσεων γράφουμε:

Θn για μια εκτιμήτρια της θ

(Θn, n ≥ 1 ακολουθία εκτιμητριών)

Η μέση τιμή και η διασπορά μιας εκτιμήτριας Θn

εξαρτώνται από την αληθινή τιμή της παραμέτρου θ καιγι αυτό γράφουμε

Eθ[Θn] και V arθ[Θn].

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

Σφάλματα, μεροληψία

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

Θn = g(X): Εκτιμήτρια της θ - τ.μ.Η g ΔΕΝ εξαρτάται από τη θ.

Η κατανομή της Θn = g(X) εξαρτάται από τη θ.

Σφάλμα εκτίμησης: Θn = Θn − θ.Μέσο τετραγωνικό σφάλμα:

MSE(Θn) = Eθ[Θ2n] = Eθ[(Θn − θ)2].

Μεροληψία: bθ(Θn) = Eθ[Θn] = Eθ[Θn − θ].MSE(Θn) = bθ(Θn)2 + V ar[Θn].

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

Θn = g(X): Εκτιμήτρια της θ - τ.μ.

Η g ΔΕΝ εξαρτάται από τη θ.

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

Σφάλμα εκτίμησης: Θn = Θn − θ.

Μέσο τετραγωνικό σφάλμα:

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

Μεροληψία: bθ(Θn) = Eθ[Θn] = Eθ[Θn − θ].

MSE(Θn) = bθ(Θn)2 + V ar[Θn].

X = (X1, X2, . . . , Xn): Δείγμα - τ.μ.

Επιθυμητές ιδιότητες

Θn αμερόληπτη ⇔ bθ(Θn) = 0 ⇔ Eθ[Θn] = θ.

Θn αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιστης διασποράς ⇔bθ(Θn) = 0, (Eθ[Θn] = θ), V ar[Θn] ελάχιστο.

Θn ασυμπτωτικά αμερόληπτη ⇔ limn→∞ bθ(Θn) = 0

⇔ limn→∞Eθ[Θn] = θ.

Κλασικές εκτιμήτριες μέσου και διασποράς

X1, X2, . . . , Xn τ.δ.

E[Xi] = µ, V ar[Xi] = σ2.

Κλασική εκτιμήτρια για το µ:

∑ni=1Xi

ο δειγματικός μέσος.

Κλασική εκτιμήτρια για το σ2:

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2,

η αμερόληπτη δειγματική διασπορά.

Οι X και S2είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες των µ και σ2

X1, X2, . . . , Xn τ.δ.

∑ni=1Xi

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2,

X1, X2, . . . , Xn τ.δ.

∑ni=1Xi

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2,

X1, X2, . . . , Xn τ.δ.

∑ni=1Xi

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2,

X1, X2, . . . , Xn τ.δ.

∑ni=1Xi

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2,

X1, X2, . . . , Xn τ.δ.

∑ni=1Xi

n− 1

n∑i=1

(Xi − X)2,

Εισαγωγή Εκτιμήτριες ΕΜΠ Ασκήσεις Μελέτη ΄Εννοια Παράδειγμα

Εκτιμήτριες μέγιστης πιθανοφάνειας

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ): από κοινού σμπ. του X υπό την θ(fX(x; θ): από κοινού σππ. του X υπό την θ).

x = (x1, x2, . . . , xn): παρατήρηση (τιμή της X).

Η εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάν. της θ δεδομέν. της xείναι η τιμή του θ που μεγιστοπ. την pX(x; θ) (fX(x; θ)).

θn : pX(x; θn) = maxθ pX(x; θ).

Στις περισσότερες εφαρμογές X1, X2, . . . , Xn

ανεξάρτητες, οπότε

pX(x; θ) =∏n

i=1 pXi(xi; θ) (fX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

Αντί για το maxθ pX(x; θ) συχνά θεωρούμε τοmaxθ log pX(x; θ) (λογαριθμική πιθανοφάνεια).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ): από κοινού σμπ. του X υπό την θ

(fX(x; θ): από κοινού σππ. του X υπό την θ).

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

X = (X1, X2, . . . , Xn): δείγμα.

pX(x; θ) =∏n

i=1 fXi(xi; θ)).

Διαισθητική ερμηνεία των εμπ

Μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας pX(x; θ) (fX(x; θ)).↓Ποιά είναι η τιμή της παραμέτρου θ υπό την οποία οιπαρατηρήσεις έχουν τη μεγαλύτερη πιθανότητα να

προκύψουν ;

Μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας pX(x; θ) (fX(x; θ)).

↓Ποιά είναι η τιμή της παραμέτρου θ υπό την οποία οιπαρατηρήσεις έχουν τη μεγαλύτερη πιθανότητα να

Μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας pX(x; θ) (fX(x; θ)).↓Ποιά είναι η τιμή της παραμέτρου θ υπό την οποία οιπαρατηρήσεις έχουν τη μεγαλύτερη πιθανότητα να

Παράδειγμα: Εξαγωγή σφαιριδίων από κάλπη

Κάλπη περιέχει λευκά και μαύρα σφαιρίδια.

Αναλογία χρωμάτων 3:1, χωρίς να ξέρουμε ποιό

υπερισχύει.

Εξάγουμε με επανάθεση 3 σφαιρίδια.

Δείγμα: X = αριθμός λευκών σφαιριδίων.

΄Αγνωστη παράμετρος: θ = ποσοστό λευκών σφαιριδίων.θ = 1/4 ή θ = 3/4.

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

΄Αγνωστη παράμετρος: θ = ποσοστό λευκών σφαιριδίων.

θ = 1/4 ή θ = 3/4.

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

ΕΜΠ ; ; ;

x 0 1 2 3

pX(x; 1/4) 27/64 27/64 9/64 1/64

pX(x; 3/4) 1/64 9/64 27/64 27/64

θ(x) 1/4 1/4 3/4 3/4

Εισαγωγή Εκτιμήτριες ΕΜΠ Ασκήσεις Μελέτη ΄Ασκ. 1 ΄Ασκ. 2 ΄Ασκ. 3 ΄Ασκ. 4 ΄Ασκ. 5 ΄Ασκ. 6

΄Ασκηση 1: ΕΜΠ από τ.δ. Διωνυμικής

X1, X2, . . . , Xn τ.δ. (= ανεξ. και ισόν.) από

Διωνυμική(N, p).

N : γνωστό, p: άγνωστη παράμετρος.

pXi(x; p) =(Nx

)px(1− p)N−x, x = 0, 1, . . . , N .

ΕΜΠ pn = pn(X1, X2, . . . , Xn)=;

Είναι η ΕΜΠ αμερόληπτη ;

pXi(x; p) =(Nx

)px(1− p)N−x, x = 0, 1, . . . , N .

ΕΜΠ pn = pn(X1, X2, . . . , Xn)=;

pXi(x; p) =(Nx

)px(1− p)N−x, x = 0, 1, . . . , N .

ΕΜΠ pn = pn(X1, X2, . . . , Xn)=;

pXi(x; p) =(Nx

)px(1− p)N−x, x = 0, 1, . . . , N .

ΕΜΠ pn = pn(X1, X2, . . . , Xn)=;

pXi(x; p) =(Nx

)px(1− p)N−x, x = 0, 1, . . . , N .

ΕΜΠ pn = pn(X1, X2, . . . , Xn)=;

pXi(x; p) =(Nx

)px(1− p)N−x, x = 0, 1, . . . , N .

ΕΜΠ pn = pn(X1, X2, . . . , Xn)=;

΄Ασκηση 2: ΕΜΠ από τ.δ. Poisson

X1, X2, . . . , Xn τ.δ. (= ανεξ. και ισόν.) από Poisson(λ).

λ: άγνωστη παράμετρος.

pXi(x;λ) = e−λ λx

x!, x = 0, 1, . . ..

ΕΜΠ λn = λn(X1, X2, . . . , Xn)=;

x!, x = 0, 1, . . ..

ΕΜΠ λn = λn(X1, X2, . . . , Xn)=;

x!, x = 0, 1, . . ..

ΕΜΠ λn = λn(X1, X2, . . . , Xn)=;

x!, x = 0, 1, . . ..

ΕΜΠ λn = λn(X1, X2, . . . , Xn)=;

x!, x = 0, 1, . . ..

ΕΜΠ λn = λn(X1, X2, . . . , Xn)=;

x!, x = 0, 1, . . ..

ΕΜΠ λn = λn(X1, X2, . . . , Xn)=;

΄Ασκηση 3: ΕΜΠ από τ.δ. Κανονικής

X1, X2, . . . , Xn τ.δ. (= ανεξ. και ισόν.) από N (µ, v).

µ, v = σ2: παράμετροι.

fXi(x) = 1√2πve−

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ µ =; όταν v γνωστό.

ΕΜΠ v =; όταν µ γνωστό.

ΕΜΠ (µ, v) =;

Είναι οι ΕΜΠ αμερόληπτες ;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

(x−µ)22v , x ∈ R.

ΕΜΠ (µ, v) =;

΄Ασκηση 4: ΕΜΠ από τ.δ. Εκθετικής

Εκθετική(λ).

fXi(x;λ) = λe−λx, x > 0.

ΕΜΠ λ = λ(X1, X2, . . . , Xn)=;

΄Ασκηση 5: ΕΜΠ από τ.δ. Ομοιόμορφη Ι

Ομοιόμορφη([a, b]).

a, b: άγνωστες παράμετροι.

fXi(x; a, b) = 1b−a , x ∈ [a, b].

ΕΜΠ (a, b)=;

fXi(x; a, b) = 1b−a , x ∈ [a, b].

ΕΜΠ (a, b)=;

fXi(x; a, b) = 1b−a , x ∈ [a, b].

ΕΜΠ (a, b)=;

fXi(x; a, b) = 1b−a , x ∈ [a, b].

ΕΜΠ (a, b)=;

fXi(x; a, b) = 1b−a , x ∈ [a, b].

ΕΜΠ (a, b)=;

fXi(x; a, b) = 1b−a , x ∈ [a, b].

ΕΜΠ (a, b)=;

΄Ασκηση 6: ΕΜΠ από τ.δ. Ομοιόμορφη ΙΙ

Ομοιόμορφη([θ − 1/2, θ + 1/2]).

θ: άγνωστη παράμετρος.

fXi(x; θ) = 1, x ∈ [θ − 1/2, θ + 1/2].

ΕΜΠ θ=;

Ομοιόμορφη([θ − 1/2, θ + 1/2]).

fXi(x; θ) = 1, x ∈ [θ − 1/2, θ + 1/2].

ΕΜΠ θ=;

Ομοιόμορφη([θ − 1/2, θ + 1/2]).

fXi(x; θ) = 1, x ∈ [θ − 1/2, θ + 1/2].

ΕΜΠ θ=;

Ομοιόμορφη([θ − 1/2, θ + 1/2]).

fXi(x; θ) = 1, x ∈ [θ − 1/2, θ + 1/2].

ΕΜΠ θ=;

Ομοιόμορφη([θ − 1/2, θ + 1/2]).

fXi(x; θ) = 1, x ∈ [θ − 1/2, θ + 1/2].

ΕΜΠ θ=;

Μελέτη

Μπερτσεκάς, Δ.Π. και Τσιτσικλής, Γ.Ν. (2013) Εισαγωγή

στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα.

Θεωρία:

9.1 Κλασσική Στατιστική Συμπερασματολογία

Ασκήσεις:

Οι ασκήσεις που περιέχονται σε αυτές τις

διαφάνειες και δεν έγιναν στην τάξη.

Μελέτη

Μπερτσεκάς, Δ.Π. και Τσιτσικλής, Γ.Ν. (2013) Εισαγωγή

στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα.

Θεωρία:

9.1 Κλασσική Στατιστική Συμπερασματολογία

Ασκήσεις:

Οι ασκήσεις που περιέχονται σε αυτές τις

διαφάνειες και δεν έγιναν στην τάξη.

Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 21 Statistik€ Basik ...

Documents

Transcript of Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 21 Statistik€ Basik ...

Statistik Uji Normalitas Data : Chi-Square & Kolmogorov Smirnov

Statistik II f ür Studierende der Soziologie und ... · Statistik II f ür Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende 2.2 Punktsch ätzung 2.2 Punktsch ätzung Ziel:

Pijanìthtec kai ArqŁc Statistik€c (10h Di‹lexh) · Parametrik€ Statistik€ DÔo basiko— kl‹doi thc statistik€c: Mh parametrik€: h sun‹rthsh katanom€c Fe—nai

Pijanìthtec kai ArqŁc Statistik€c (4h Di‹lexh) · 2019-10-25 · \Pijanìthtec kai ArqŁc Statistik€c" (4h Di‹lexh) Swt€rhc NikoletsŁac, kajhght€c Tm€ma Mhqanik‚n

MEMBUAT TABEL STATISTIK DENGAN SPSSpspmat.stkipypmbangko.ac.id/wp-content/uploads/... · MEMBUAT TABEL STATISTIK DENGAN SPSS PERTEMUAN KE -14 MEMBUAT TABEL STATISTIK DENGAN SPSS Ringkasan

MEMBUAT TABEL STATISTIK DENGAN SPSS - …bolehsaja.net/wp-content/uploads/2015/09/P14_Membuat...APLIKASI KOMPUTER (SPSS)_M. JAINURI, S.PD 1 MEMBUAT TABEL STATISTIK DENGAN SPSS PERTEMUAN

Statistik kimia analitik

Analisa Data Statistik Chap 11: Regresi Linear

Angewandte Statistik II - TU Wien1 W. Timischl: AngStat_Bioengineering_II.doc 06.01.2014 Angewandte Statistik II Lernziele: 3 Parameterschätzung 3.1 Den Zweck der Parameterschätzung

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungenhebbeker/lectures/stat_fprakt_2.pdf · Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL II Vorbereitungskurs F-Praktikum

Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik€¦ · Version: 1.0. Vorwort Dieses Skript basiert auf der Vorlesung „Grundlagen der Quantenmechanik und Statistik“ aus den Sommersemestern

Saptawati Bardosono - Website Staff UIstaff.ui.ac.id/.../material/statistiknon-parametrik1.pdf · Uji statistik non-parametrik: ... Contoh: Ingin mengetahui apakah perbedaan dari

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik · Die deskriptive Statistik arbeitet mit anschaulichen Begriffen wie Population, Merkmal, (relative) Häufigkeit

Bahan Kuliah Uji Statistik Chi Square 1

Analisa Data Statistik - BolehSAJA.netbolehsaja.net/download/ilmiah/statistik/Materi_P3_Distribusi Normal... · 0,9931 maka dalam tabel dicari angka 0,9931 lalu menuju ke kiri sampai

Statistik – Lektion 2

Pijanìthtec kai Statistik€ Di‹lexh 5 Apar—jmhsh Sunduastik ...

Parameterschätzung für Poisson-Verteilungen bei ...de.saswiki.org/images/4/...Parameterschaetzung_Poisson-Verteilung.pdf · Statistik 369 Parameterschätzung für Poisson-Verteilungen

3 Multiple lineare Regression Modell und Statistik a Y X ... · PDF file3.1. MODELL UND STATISTIK 32 3 Multiple lineare Regression 3.1 Modell und Statistik a Zusammenhang zwischen

Statistik 2