INTERFAZ GRÁFICA: CRITERIO MOHR – COULOMB

Ernesto Guadalupe López Briceño

Posgrado en Ciencias de la Tierra, UNAM

Resumen

Se han desarrollado algunas interfaces gráficas del usuario (GUI) en MATLAB, con el objetivo de analizar los datos obtenidos durante las pruebas triaxiales. Éstas solo requieren de entrada los esfuerzos principales σ1, σ3 y el ángulo de ruptura θ de cada prueba. Posteriormente, la GUI dará de salida el criterio Mohr-Coulomb; es decir, estimará una envolvente mediante una regresión tomando en cuenta datos estadísticos y asignando un error en la estimación. La envolvente informará sobre la cohesión del material, más un error estadístico y a su vez se obtendrá el ángulo de fricción interna. Las principales interfaces están preparadas para estimar el criterio Mohr-Coulomb para tres y cinco pruebas triaxiales mediante una regresión lineal simple y asignándole una incertidumbre. Sin embargo, también se han preparado programas que utilizan una regresión lineal ponderada con el objetivo de asignar menos peso a pruebas que tuvieron algún error durante su proceso, y de este modo no descartarlas de los cálculos.

Motivación

La necesidad de realizar cálculos automáticos con herramientas fáciles de manejar ha sido en gran medida una de mis principales motivaciones para la programación de estas interfaces, aunado al interés de integrar la interpretación cuantitativa y cualitativa. Sin embargo, de una forma más profunda, dentro del campo de la investigación en México la innovación y desarrollo de software es un tema que pocos abordan, pero sin duda es un escalón necesario para poder crecer en este ámbito.

Introducción El Criterio Mohr-Coulomb, también conocido como Criterio de Fricción Interna (Jaeger et. al., 2007) predice que un materia fallará si el esfuerzo cortante en un plano potencial de fractura excede un valor dado por el producto del esfuerzo normal y un coeficiente conocido como fricción interna más un cierto valor inicial (cohesión del material). Expresado como una recta, la ecuación indica que todos los valores que excedan el valor crítico, estarán en la zona de ruptura:

𝜏 = 𝜏𝑜 − 𝑛𝜎 Donde: 𝜏 : Esfuerzo de corte crítico 𝜏𝑜 : Cohesión 𝑛: Coeficiente de fricción interna 𝜎: Esfuerzo normal

Fig. 1.- Criterio Mohr-Coulomb.

En el Laboratorio de Mecánica Multiescalar de Geositemas (LAMG) del Centro de Geociencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) Campus Juriquilla se cuenta con una cámara triaxial para hacer pruebas de ruptura a diferentes esfuerzos de carga. Por lo tanto, se realizaron dos interfaces gráficas en código de MATLAB, capaces de estimar el criterio Mohr-Coulomb tomando parámetros estadísticos para asignarle una incertidumbre.

Funcionamiento Instalación Para poder utilizar estos programas es necesario seguir estos sencillos pasos: 1.- Tener o instalar el programa MATLAB. 2.- Copiar la carpeta del paquete de programas realizados (GUI) en la carpeta principal de MATLAB.

Fig. 2.- Copiar la carpeta GUI en la carpeta principal de MATLAB.

3.- Llamar a la interfaz requerida desde el “Command Window” de MATLAB, simplemente escribiendo el nombre de la interfaz.

Fig. 3.- Llamar a la interfaz desde la Command Window de MATLAB.

Aunque también es posible acceder a la interfaz desde el “Editor”. Sólo se requiere ingresar al programa dándole doble click y se abrirá el código del programa:

Fig. 4.- Acceder al Editor de MATLAB.

Accediendo al Editor, solo es necesario ir a: Debug/Run (nombre de la interfaz), o presionando F5.

Fig. 5.- Llamar a la interfaz desde el Editor de MATLAB.

Manejo de las Interfaces

Se desarrollaron dos interfaces gráficas para tres y cinco pruebas triaxiales. Éstas realizan una regresión lineal simple para ajustar la envolvente del criterio Mohr-Coulomb y utilizan parámetros estadísticos para validarla (desviación estándar, intervalos de confianza, coeficientes de correlación y determinación). Sin embargo, también se realizó una serie de programas extras que utilizan otros criterios numéricos para el ajuste de la envolvente, ésta es estimada mediante una regresión lineal ponderada. Aunque estos programas no poseen una interfaz gráfica, el funcionamiento es el mismo, ya que es el código fuente de las interfaces, y éste puede ser modificado al criterio del usuario de una forma más sencilla. Cabe mencionar que cada programa contiene al inicio una explicación de cómo trabaja y que se obtiene con éste, y durante el código contiene comentarios explicando que hace cada operación.

1.- Interfaz para tres pruebas triaxiales Nombre del programa: MohrCoulDatainput3C_gui.m

Como se mencionó, este programa realiza el cálculo de la envolvente mediante una regresión lineal simple y solo necesita de entrada los esfuerzos principales σ1, σ3 y el ángulo de ruptura θ, de cada prueba. En la figura 6 se presenta la interfaz que requiere las variables de entrada al momento de ser llamada de alguna de las formas en las que se explico anteriormente.

Fig. 6.- Interfaz gráfica para tres pruebas triaxiales.

Los recuadros verdes indican variables de entrada, mientras que los amarillos son para realizar el cálculo y cerrar la interfaz. Se observa que hay tres recuadros para cada prueba, en el que se requieren los esfuerzos σ1, σ3 y el ángulo de ruptura θ. Se ingresan los datos resultantes de las pruebas triaxiales de forma manual y se procede a dar click en “Calc”. En la figura 7 se muestra la figura de resultados, en los cuales se observa el dibujo de los tres círculos de Mohr correspondientes a cada prueba, y también se muestra la envolvente estimada mediante una regresión lineal simple.

xy 10

Fig. 7.- Resultados.

Se observa en la figura 7 los resultados numéricos, los cuales indican un valor de Cohesión +- una desviación estándar estimada mediante la regresión. Del mismo modo se observa un coeficiente de determinación, que indica la bondad de ajuste de la regresión; es decir, la variabilidad explicada por el regresor en el modelo (Montgomery et. al., 2005). Donde: SSR: Suma de cuadrados de la regresión SST: Suma total de cuadrados SSRes: Suma de cuadrados de los residuales. Para este caso (modelo lineal), el coeficiente de determinación es el cuadrado que el coeficiente de correlación (Montgomery et. al., 2005).

T

s

T

R

SS

SS

SS

SSR Re2 1

22 Rr

El error estándar de la cohesión es calculado mediante (Montgomery et. al., 2005): Donde: MSRes: Cuadrado medio de los residuales Sxx: Suma de los productos cruzados de la variable regresora. n: número de datos. x: vector de la variable regresora. Posteriormente se estimó un intervalo de confianza para la cohesión. Fue necesario realizar una prueba t-student. En la cual se observa que solo es el cociente del valor de cohesión y el error estándar (Montgomery et. al., 2005). Donde

0 : es la ordenada en el origen de la recta (cohesión)

Después, se procedió a estimar los intervalos. Éstos se estiman restando y sumando el valor de la cohesión al producto del error estándar y el valor crítico de la tabla t-student correspondiente al número de datos (Montgomery et. al., 2005). Cabe mencionar, que debido a que se tienen muy pocos datos, este resultado no informa mucho sobre el modelo, ya que se tienen intervalos del 99%, pero son demasiado grandes. Mientras que el ángulo de fricción interna Ø (Fi) se estima como la tangente inversa de la

pendiente de la recta (

1 ) (Jaeger et. al., 2007):

Ø=tan-1

1

0se

xx

sS

x

nMS

2

Re

1

0

00

se

t

02,2/0002,2/0 setset nn

2.- Interfaz para cinco pruebas triaxiales Nombre del programa: MohrCoulDatainput5C_gui.m

Esta interfaz contiene exactamente los mismos criterios numéricos que la anterior, pero el error es menor debido a que posee más datos. En la figura 8 se presenta la interfaz correspondiente y en la 9 la ventana de resultados.

Fig. 8.- Interfaz gráfica para cinco pruebas triaxiales.

Fig. 9.- Resultados.

Otras formas de ajustar la envolvente

Debido a que la regresión lineal simple considera que no existe error en la variable regresora “x”, es necesario considerar otro tipo regresión en la cual sea tomado en cuenta.

Fig. 10.- Regresión lineal ponderada. En ésta se considera error tanto en “x” como en “y”.

Este problema es resuelto considerando la variabilidad de la variable predictiva “y”. Se considera menor peso a cuando exista mayor variación en “y” (Montgomery et. al., 2005). Este método es de gran utilidad cuando existen pruebas que tuvieron algún error, ya que a ésta se le considera un menor peso y no es eliminada. 1.- Programa de regresión lineal ponderada para 3 pruebas triaxiales Nombre del programa: MohrEnvPon3S.m

En la figura 11 se presentan los resultados de la regresión lineal ponderada. Como se observa, este tipo de ajuste ayuda a darle menos peso a pruebas que tuvieron algún error durante su proceso, y de este modo no eliminarla u omitirla de los cálculos. Para este caso, es evidente que a la primera prueba es a la que se le asigna menor peso para la estimación de la envolvente. Cabe mencionar, que debido a que esta es otra forma de estimar el modelo, fue necesario aplicar otro criterio numérico para evaluar su calidad de ajuste. Éste fue estimado mediante (Hahn, 1973):

)(

1

i

iyVar

w

2

2

1

2

12 )(

xx

XX

S

SRE

Fig. 11.- Ajuste de la envolvente mediante una regresión lineal ponderada.

Como se mencionó, ya que está no es una interfaz gráfica, es necesario ingresar los datos directamente en el código. Esto se hace simplemente ingresando al “Editor” de MATLAB, como se explicó anteriormente (dándole doble click al nombre del programa, en este caso “MohrEnvPon3S.m”), para posteriormente ingresar los datos de la siguiente manera:

En las primeras líneas de código se encuentran las variables de entrada (figura 12), solo es necesario ingresar los datos necesarios (σ1, σ3 y el ángulo de ruptura θ).

Fig. 12.- Líneas de código para ingresar datos.

Se observa en la figura 12 que sólo es necesario cambiar los esfuerzos (S1 y S2) y el ángulo de ruptura (AngRup) para cada prueba.

2.- Programa de regresión lineal ponderada para 5 pruebas triaxiales Nombre del programa: MohrEnvPon5S.m

En este programa se consideran los mismos criterios numéricos. En la figura 13 se presenta la ventana de resultados. Como se observa, es evidente que la última prueba fue a la que se consideró con menor peso, ya que tenía mayor varianza.

Fig. 13.- Ajuste de la envolvente mediante una regresión lineal ponderada.

Del mismo modo, para ingresar datos desde el código se procede a entrar al Editor de MATLAB, para posteriormente realizar el nuevo cálculo.

Fig. 14.- Ajuste de la envolvente mediante una regresión lineal ponderada.

Otros programas Para la realización de las interfaces gráficas, se procedió antes a realizar únicamente el código que hiciera el cálculo, sin comenzar a programar la “forma” que tendría la GUI. Estos programas son:

MohrEnv2S.m

MohrEnv3S.m

MohrEnv5S.m Los cuales, realizan el cálculo de la envolvente para dos, tres y cinco pruebas triaxiales. Estos programas pueden ser modificados de forma sencilla dependiendo de las necesidades del usuario. Un problema evidente en este tipo de cálculos es sin duda la cantidad de datos, ya que máximo se tienen cinco datos, aunque en ocasiones es mucho peor, y las estimaciones estadísticas suelen a tener un error considerable. Considerando esto, se procedió a realizar nuevos experimentos, en los cuales se agregaba mayor cantidad de datos correspondientes a diferentes ángulos hasta llegar al límite (el ángulo de ruptura). Estos experimentos se realizaron para tres y cinco pruebas. Sin embargo, los resultados no son del todo realistas, aunque se considera un buen punto de partida para un nuevo experimento considerando más cantidad de datos. En la figura 15 se muestran los resultados:

Fig. 15.- Experimento con más cantidad de datos.

Estos programas fueron llamados como:

MohrEnvLimRup3S.m

MohrEnvLimRup5S.m Los cuales pueden ser modificados directamente desde su código de la misma forma que los anteriores. Por último, un programa en el que se está trabajando, con el objetivo de que cada vez la interfaz sea más sencilla de utilizar, es una GUI en la cual solo será necesario cargar la

base de datos resultante de las pruebas triaxiales para que ésta realice el cálculo automático. La GUI se llama:

MohrCoulLoadData3C_gui.m En la figura 16 se presenta la interfaz

Fig. 16.- Interfaz gráfica para tres pruebas triaxiales. Solo es necesario cargar los datos.

Paquete de programas realizados:

NOMBRE DEL PROGRAMA DESCRIPCIÓN

MohrEnv2S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal simple para dos pruebas.

MohrEnv3S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal simple para tres pruebas.

MohrEnv5S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal simple para cinco pruebas.

MohrEnvPon3S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal ponderada para tres pruebas.

MohrEnvPon5S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal ponderada para cinco pruebas.

MohrEnvLimRup3S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal simple para tres pruebas. Más cantidad de datos.

MohrEnvLimRup5S.m

Código fuente. Ajuste mediante regresión lineal simple para cinco pruebas. Más cantidad de datos.

MohrCoulDatainput3C_gui.m

Interfaz Gráfica del Usuario. Requiere ingresar datos manualmente. Ajuste mediante una regresión lineal simple para tres pruebas.

MohrCoulDatainput5C_gui.m

Interfaz Gráfica del Usuario. Requiere ingresar datos manualmente. Ajuste mediante una regresión lineal simple para cinco pruebas.

MohrCoulLoadData3C_gui.m

Interfaz Gráfica del Usuario. Requiere cargar los datos resultantes de las tres pruebas. En proceso…

Este paquete de programas realizados es de acceso libre y están disponibles en la siguiente liga: http://kuarakuni.geociencias.unam.mx/lamg/?p=462 También es posible descargar las interfaces directamente desde esta otra liga: http://kuarakuni.geociencias.unam.mx/lamg/wp-content/uploads/2012/10/GUI.rar

Conclusiones

La estimación numérica del proceso de ruptura en muestras de rocas y sedimentos es una herramienta útil para analizar problemas estructurales en geología e ingeniería.

La interfaz presentada realiza una estimación estadística considerando el modelo lineal propuesto por Coulomb (Criterio Mohr-Coulomb), además de que informa sobre la confiabilidad de los resultados, ya que asigna un valor de incertidumbre.

La variabilidad de la estimación tanto de la recta como del error se ven afectados en gran medida por un pequeño error durante el experimento triaxial, debido a que los datos que se utilizan para hacer este cálculo son pocos.

La regresión lineal ponderada resulta útil cuando existe un error durante alguna prueba triaxial, ya que este tipo de análisis al detectar una variación mayor con respecto a la media, asigna un peso menor al dato, encontrando otra envolvente sin la necesidad de eliminar de los cálculos la prueba que tuvo algún error.

La interfaz es de uso sencillo y facilita la interpretación de los datos arrojados por las pruebas triaxiales. Sin embargo, debido a que los resultados son puramente estadísticos y estimados con pocos datos, es recomendable complementar la información con el conocimiento y experiencia del usuario.

Bibliografía Jaeger J.C., Cook N. G. W., Zimmerman R. W (2007). Fundamentals of rock mechanics. By

Blackwell Publishing. Fourth edition. USA. 475 p.

Hahn G. J. 1973. The coefficient of determination exposed!. Chemical Technology, 3, 609-

614.

Montgomery D. C., Peck E. A. & Vining G. G. (2005). Introducción al análisis de regresión

lineal. Por V. González P. Compañía Editorial Continental. Primera reimpresión. México. D.

F. México. 588 p.

Agradecimientos

A los Doctores Fco. Ramón Zúñiga Dávila-Madrid y Luis Mariano Cerca Martínez por introducirme en la teoría geomecánica y posteriormente por sus valiosas sugerencias sobre la elaboración de este manual.