Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg¨ · Identischer Preis fur¨ beide Markte¨ Markt 1 Markt 2...

UnternehmensinteraktionAbdolkarim SadriehOtto-von-Guericke-Universitat Magdeburg

Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 1

Monopol

Annahmen

• Ein Produzent (Monopolist)• Preis p, Menge q• Erlosfunktion: Erlos = Preis × Menge (≡ R(q,p))

• Kostenfunktion: K (q,p)

• Gewinnfunktion: π(q,p) = R(q,p)−K (q,p)

MonopolEin-Markt-Fall

Annahmen

• Ein Absatzmarkt• Beziehung zwischen Menge und Preis

• Nachfragefunktion: q(p) = α−βp• Preisabsatzfunktion: p(q) = α/β −q/β ≡ a−bq• Parameterkonstellation:

α = a/b, β = 1/b, a = α/β , b = 1/β

PreisabsatzfunktionMaximaler Preis a

PreisabsatzfunktionSteigungsparameter b

Annahmen

Zielsetzung: Maximierung des Gewinns

• Preiswahl• Mengenwahl

Kosten

• Annahme: Lineare KostenK (q) = kq → K (p) = k(α−βp)

Preiswahl

• Gewinnfunktion:

π(p) = p(α−βp)︸︷︷︸Erlos

−k(α−βp)︸︷︷︸Kosten

• Notwendige Bedingung:

0 = α−2βp + βk

Preiswahl

• Ergebnis: Preis, Menge, Gewinn

p =α + βk

q =α−βk

π =(α−βk)2

Mengenwahl

Annahme: K (q) = kq• Gewinnfunktion:

π(q) = (a−bq)q︸︷︷︸Erlos

− kq︸︷︷︸Kosten

0 = a−2bq−k

a−2bq︸︷︷︸Grenzerlos

= k︸︷︷︸Grenzkosten

Mengenwahl

• Ergebnis: Menge, Preis, Gewinn

q =a−k2b

p =a + k

π =(a−k)2

Grafische Analysep(q) = a-bqGrenzerlöse PStückkosten ka

a/ba/2b

popt. Preis-Mengen-Kombination

GE = GKq

Wichtiger Hinweis!

Bei der Optimierung einer Gewinnfunktion gilt ”Grenzerlos= Grenzkosten”! Aber:

• Mengenwahl:

a−2bq︸︷︷︸Grenzerlos

= k︸︷︷︸Grenzkosten

• Gilt nicht fur die Preiswahl:

α−2βp = βk

Kosten

• Annahme: Quadratische KostenK (q) = kq2 → K (p) = k(α−βp)2

Quadratische Kosten

Preiswahl• Gewinnfunktion:

π(p) = p(α−βp)−k(α−βp)2

0 = α−2βp + 2βk(α−βp)

Quadratische Kosten

• Ergebnis: Preis, Menge, Gewinn

p =α(1 + 2βk)

2β (1 + βk)

2(1 + βk)

π =α2

4β (1 + βk)

Quadratische Kosten

Mengenwahl• Gewinnfunktion:

π(q) = (a−bq)q−kq2

dπ(q)

dq= 0 = a−2bq−2kq

Quadratische Kosten

2(b + k)

p =a(b + 2k)

2(b + k)

π =a2

4(b + k)

MonopolZwei-Markte-Fall

Annahmen

• Zwei Absatzmarkte (i = 1,2)• Beziehung zwischen Menge und Preis

• Preisabsatzfunktion: pi(qi) = ai −biqi• Annahme: a1 > a2

Annahmen

Zielsetzung: Maximierung des Gewinns

• Identischer Preis fur beide Markte (IP)• Differenzierte Preise (DP)

Annahmen

• Erlosfunktion:IP R(q1) + R(q2) = pq1 + pq2

DP R(q1) + R(q2) = p1q1 + p2q2

• Kostenfunktion (keine Fixkosten): K (q1 +q2) = kq1 +kq2

• Gewinnfunktion: π = R(q1) + R(q2)−K (q1 + q2)

Identischer Preis fur beide Markte

Aggregation der Preisabsatzfunktionen (PAF)• Aggregierte PAF P(q1,q2)• Zusammengesetzt aus zwei Intervallen

Intervall I Es fragen nur Konsumenten aus Markt 1, d.h. mit einerZahlungsbereitschaft zwischen a1 und a2, nach.

Intervall II Es fragen Konsumenten aus beiden Markten, d.h.auch mit einer Zahlungsbereitschaft kleiner als a2,nach.

Markt 1 Markt 2

400500600700800900

Markt 1

PAF1400500600700800900

Markt 2

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

Aggregierter Markt

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

Aggregierter Markt

Interval I Interval II

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

Aggregierter Markt

PAF_II

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

Aggregierter Markt

PAF_II

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Aggregierter Markt

PAF_II

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 1

0100200300400500600700800900

0 1000 2000 3000 4000

Markt 2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Aggregierter Markt

PAF_II

Intervall I: Nur ein Markt fragt nach• Die PAF fur dieses Intervall ist pI(q) = a1−b1q.• Es fragen nur Konsumenten nach die eine

Zahlungsbereitschaft uber a2 haben.• Im Intervall [0, q] werden nur Konsumenten aus Markt

1 berucksichtigt.

pI(q)≡ a2 = a1−b1q → q =a1

b1− a2

Identischer Preis fur beide MarkteIntervall II: Beide Markte fragen nach• Es fragen ebenfalls Konsumenten aus Markt 2 nach.• Die gemeinsame Nachfragefunktion fur Intervall II

betragt QII = q1 + q2• Die einzelnen Nachfragefunktionen sind

pi(qi) = ai −biqi → qi(pi) =ai

bi− pi

• Demnach ergibt sich die aggregierteNachfragefunktion fur Intervall II zu

QII(p) =a1

b1− p

b2− p

=a1b2 + a2b1

b1b2− b1 + b2

b1b2p.

Intervall II: Beide Markte fragen nach (Fortsetzung)• Die gemeinsame PAF ist demnach die Inverse von

QII(p)

pII(Q) =a1b2 + a2b1

b1 + b2− b1b2

b1 + b2Q.

Aggregierte Preisabsatzfunktion

{a1−b1Q, Q ≤ qa1b2+a2b1

b1+b2− b1b2

b1+b2Q, Q > q

Gewinnmaximierung fur Intervall I• Gewinnfunktion:

π(QI) = (a1−b1QI)QI−kQI

0 = a1−2b1QI−k

QI =a1−k2b1

pI =a1 + k

πI =(a1−k)2

Gewinnmaximierung fur Intervall II• Gewinnfunktion:

maxQII

π(QII) = (a1b2 + a2b1

b1 + b2− b1b2

b1 + b2QII)QII−kQII

≡ (A−BQII)QII−kQII

0 = A−2BQII−k

QII =A−k

pII =A + k

πII =(A−k)2

• Wobei gilt:

A =a1b2 + a2b1

b1 + b2und B =

b1 + b2

• bzw. Menge, Preis, Gewinn

QII =a1b2 + a2b1− (b1 + b2)k

pII =a1b2 + a2b1 + (b1 + b2)k

2(b1 + b2)

πII =(b1 + b2)(a1b2 + a2b1− (b1 + b2)k)2

Entscheidung:• Fur πI > πII : wahle Preis pI und Menge qI .• Fur πI < πII : wahle Preis pII und Menge qII .

Differenzierte PreiseGewinnmaximierung• Gewinnfunktion:

maxq1,q2

π(q1,q2) = (a1−b1q1)q1 + (a2−b2q2)q2

−kq1−kq2

• Notwendige Bedingungen:

∂π(q1)

∂q1= 0 = a1−2b1q1−k

∂π(q2)

∂q2= 0 = a2−2b2q2−k

Differenzierte Preise

• Ergebnis: Mengen, Preise

q1 =a1−k2b1

, p1 =a1 + k

q2 =a2−k2b2

, p2 =a2 + k

• Ergebnis: Gewinn

πDP =(a1−k)2

(a2−k)2

Vergleich zwischen DP und IP

• Fur πI > πII ist sofort ersichtlich, dass auch πDP > πI gilt.D.h. der Gewinn aus zwei Markten ist hoher als derGewinn aus einem Markt alleine. Demnach werden indiesem Fall differenzierte Preise verwendet.

• Fur πI < πII ist zu prufen, ob πDP > πII gilt. Tatsachlich istdas der Fall.

⇒ Der Gewinn unter differenzierten Preisen ist mindestensso hoch wie der Gewinn mit einem gemeinsamen Preis.

Duopol

Annahmen

• Zwei Firmen (i = 1,2)• Unterscheidung zwischen Produkten

• Homogene Guter• Heterogene Guter

• Unterscheidung der Entscheidungssituation• Simultane Entscheidung• Sequenzielle Entscheidung

• Unterscheidung der Entscheidungsvariable• Preiswahl• Mengenwahl

Simultane EntscheidungHomogene Guter

Annahmen

• Produkte sind nicht unterscheidbar• Konsumenten kaufen immer zum niedrigeren Preis• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktion: Q(p) = α−β ∗p• Preisabsatzfunktion: p(q) = a−bQ mit Q = q1 + q2

• Kostenfunktion: Ki = kiqi

• Gewinnfunktion: πi = piqi −Ki

Homogene GuterMengenwahl (Cournot)

Mengenwahl• Maximierung des Gewinns

π1(q1) = (a−b(q1 + q2))q1−k1q1

0 = a−2bq1−bq2−k1.

• Aufgrund der Symmetrie ergeben sich dieReaktionsfunktionen

q1(q2) =a−k1

2b− q2

q2(q1) =a−k2

2b− q1

Schnittpunkt der ReaktionsfunktionenAnnaherung ans Cournot Gleichgewicht

Reaktionsfunktion 2

Reaktionsfunktion 1

Mengenwahl• Gleichgewicht im Schnittpunkt der

Reaktionsfunktionen

q1(q2) =a−k1

2b− 1

(a−k2

2b− q1

• Aufgrund der Symmetrie ergeben sichGleichgewichtsmengen

q1 =a−2k1 + k2

3b; q2 =

a−2k2 + k1

• Gesamtmenge

Q =2a−k1−k2

Mengenwahl

• Gleichgewichtspreis

p =a + k1 + k2

• Gleichgewichtsgewinn

π1 =(a−2k1 + k2)2

9b; π2 =

(a + k1−2k2)2

Mengenwahl

Ergebnis im Cournot-Wettbewerb• Marktpreis und Gesamtmenge

pC =a + k1 + k2

3; QC =

2a−k1−k2

• Firmen

a−2ki + kj

3b; π

(a−2ki + kj)2

Strategische Substitute

• Im Cournot Modell werden dieEntscheidungsvariablen (Mengen) als strategischeSubstitute bezeichnet.

• In dem Fall ist die beste Antwort auf eine Erhohungder Produktionsmenge des Konkurrenten eineMinderung der eigenen Produktion.

Siehe Pepall et al. (2005, 241-243).

Homogene GuterPreiswahl (Bertrand)

Preiswahl

Uberlegung• Konsumenten kaufen zum gunstigsten Preis• Der Stuckkostenfaktor liegt bei ki

• Die Nachfrage hangt vom Preis ab:

0, wenn pi >

βoder pi > pj ;

12(α−βpi), wenn pi = pj <

α−βpi , wenn pi < pj und pi <α

PreiswahlGleichgewicht• Gegenseitiges unterbieten bis der Stuckkostenfaktor

erreicht ist• ki = kj = k

Bertrand Paradox: pi = pj = k . Ein Wettberwerb mitzwei Firmen fuhrt zum gleichen Ergebnis wie imvollkommenen Wettbewerb

• ki < kji unterbietet j knapp und bedient die gesamteNachfrage: p = kj − ε (ε → 0)

• ki > kji wird im Preis unterboten und kann aufgrund derStuckkosten nicht weiter im Preis reduzieren. Daherwird i nicht produzieren.

PreiswahlErgebnis im Bertrand-Wettbewerb• Marktpreis und Gesamtmenge

pB = max{ki ,kj}; QB = α−β max{ki ,kj}

• Firmen

0, wenn ki >

βoder ki > kj ;

12(α−βki), wenn ki = kj <

α−βkj , wenn ki < kj und ki <α

πBi =

{0, wenn ki >

βoder ki ≥ kj ;

(α−βkj)(kj −ki), wenn ki < kj und ki <α

Schnittpunkt der ReaktionsfunktionenAnnaherung ans Bertrand Gleichgewicht

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

p2(p1)

p1(p2)

Gleichgewicht

Strategische Komplemente

• Im Bertrand Modell werden dieEntscheidungsvariablen (Preise) als strategischeKomplemente bezeichnet.

• In dem Fall ist die beste Antwort auf eine Erhohungder Preises des Konkurrenten eine Erhohung deseigenen Preises.

Siehe Pepall et al. (2005, 241-243).

Heterogene Guter

Annahmen

• 2 Produkte sind Quasi-Substitute• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktionen:

q1 = α−βp1 + γp2, q2 = α−βp2 + γp1

• Preisabsatzfunktionen:p1 = a−bq1−dq2, p2 = a−bq2−dq1

• Es gilt

α =a(b−d)

b2−d2 , β =b

b2−d2 , γ =d

b2−d2

Annahmen

• Eigenpreiseffekt (b) vs. Kreuzpreiseffekt (d)• b2 > d2 und b > 0• Produkte sind perfekte Substitute fur b2 = d2.• Produkte sind unabhangig voneinander fur d2 = 0.

Heterogene GuterMengenwahl

Mengenwahl• Maximierung des Gewinns

π1(q1) = (a−bq1−dq2)q1−k1q1

0 = a−2bq1−dq2−k1.

q1(q2) =a−dq2−k1

q2(q1) =a−dq1−k2

Mengenwahl

• Gleichgewicht im Schnittpunkt derReaktionsfunktionen

q1(q2) =a−d

(a−dq1−k2

)−k1

• Aufgrund der Symmetrie ergeben sichGleichgewichtsmengen

q1 =(2b−d)a−2bk1 + dk2

4b2−d2

q2 =(2b−d)a−2bk2 + dk1

4b2−d2 .

Mengenwahl• Gleichgewichtspreise

p1 =b(2b−d)a + (2b2−d2)k1 + bdk2

4b2−d2

p2 =b(2b−d)a + (2b2−d2)k2 + bdk1

4b2−d2 ,

π1 = b(

(2b−d)a−2bk1 + dk2

4b2−d2

π2 = b(

(2b−d)a−2bk2 + dk1

4b2−d2

Komparative Statik

• Fur k1 = k2 = 0 ergeben sich folgende Marktergebisse

a2b + d

; pCi =

ab2b + d

; πCi =

a2b(2b + d)2

• Parametervariation• Ein hoheres a verschiebt die Nachfrage nach außen

und fuhrt zu hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen.• Eine hohere Differenzierung (b2−d2 steigt) fuhrt zu

hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen (extremsteDifferenzierung: 2 Monopole).

Heterogene GuterPreiswahl

Preiswahl• Maximierung des Gewinns

π1(p1) = (p1−k1)(α−βp1 + γp2)

0 = α−βp1 + γp2−βp1 + βk1

p1(p2) =α + βk1

p2(p1) =α + βk2

Preiswahl

• Gleichgewicht im Schnittpunkt derReaktionsfunktionen

p1(p2) =α + βk1

(α + βk2

• Aufgrund der Symmetrie ergeben sichGleichgewichtspreise

p1 =α

2β − γ+

β (2βk1 + γk2)

4β 2− γ2

p2 =α

2β − γ+

β (2βk2 + γk1)

4β 2− γ2 .

Preiswahl• Gleichgewichtsmengen

q1 =αβ

2β − γ+ β

βγk2− (2β 2− γ2)k1

4β 2− γ2

q2 =αβ

2β − γ+ β

βγk1− (2β 2− γ2)k2

4β 2− γ2

πB1 = β

2β − γ+

βγk2− (2β 2− γ2)k1

4β 2− γ2

πB2 = β

2β − γ+

βγk1− (2β 2− γ2)k2

4β 2− γ2

Komparative Statik• Fur k1 = k2 = 0 ergeben sich folgende Marktergebisse 1

a(b−d)

2b−d; qB

(2b−d)(b + d)

πB1 =

a2b(b−d)

(2b−d)2(b + d)

• Parametervariation• Ein hoheres a verschiebt die Nachfrage nach außen

und fuhrt zu hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen.• Eine hohere Differenzierung (b2−d2 steigt) fuhrt zu

hoheren Mengen, Preisen und Gewinnen (extremsteDifferenzierung: 2 Monopole).

1Zur Berechnung dieser Ergebnisse mussen die Annahmen von Folie58 berucksichtigt werden

Cournot vs. Bertrand

Preise• Preise in Cournot sind hoher als in Bertrand

pC−pB =ab

2b + d− a(b−d)

2b−d=

4b2−d2 > 0

Mengen• Mengen in Cournot sind geringer als in Bertrand

qC−qB =a

2b + d− ab

(2b−d)(b + d)

=−ad2

(4b2−d2)(b + d)< 0

Gewinne• Gewinne in Cournot sind hoher als in Bertrand

πC−π

B =a2b

(2b + d)2 −a2b(b−d)

(2b−d)2(b + d)

=2a2bd3

(4b2−d2)(b + d)> 0

Vergleich des Gesamtgewinns2

Monopol

Mengenwahl mit heterogenen Gütern

Preiswahl mit heterogenen Gütern

Vollkommener Wettbewerb/

Mengenwahl mit homogenen Gütern (Cournot)

Vollkommener Wettbewerb/Bertrand mit homogenen Gütern und gleichen Kosten

Die Reihenfolge ist korrekt dargestellt der Abstand und die Lage der einzelnen Kombinationen kann variieren QKombinationen kann variieren.

2Die Reihenfolge zwischen”Preiswahl mit heterogenen Gutern“ und

”Mengenwahl mit homogenen

Gutern (Cournot)“ ist nicht eindeutig bestimmt. Es gibt Faktorkombinationen fur die”Preiswahl mit

heterogenen Gutern“ zu einem niedrigeren Gewinn fuhren kann als”Mengenwahl mit homogenen

Gutern“.

Sequenzielle EntscheidungHomogene Guter

Annahmen (wie im simultanen Spiel)

• Produkte sind nicht unterscheidbar• Konsumenten kaufen immer fur den niedrigeren Preis• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktion: Q(p) = α−β ∗p• Preisabsatzfunktion: p(q) = a−bQ mit Q = q1 + q2

• Kostenfunktion: Ki = kqi

Entscheidung

• Sequenzielle Entscheidung• Stufe 1: Firma 1 entscheidet• Stufe 2: Firma 2 entscheidet• Losung durch Ruckwartsinduktion

Homogene GuterMengenwahl (Stackelberg)

Mengenwahl

• Maximierung des Gewinns in Stufe 2 gegeben derEntscheidung aus Stufe 1

π2(q2) = (a−b(q1 + q2))q2−k2q2

0 = a−2bq2−bq1−k2.

• Reaktionsfunktion von Firma 2

q2(q1) =a−k2

2b− q1

Mengenwahl• Maximierung des Gewinns in Stufe 1 gegeben der

zukunftigen Entscheidung aus Stufe 2

π1(q1) = (a−b(q1 +a−k2

2b− q1

2)q1−k1q1

0 = a−2bq1−a−k2

2+ bq1−k1.

• Gleichgewichtsmenge fur Firma 1

q1 =a−2k1 + k2

MengenwahlSubstitution in q2(q1) fuhrt zu den weiteren Ergebnissen• Mengen

q2 =a + 2k1−3k2

4b; Q =

3a−2k1−k2

• Preise

p =a + 2k1 + k2

• Gewinne

πS1 =

(a−2k1 + k2)2

8b; π

(a + 2k1−3k2)2

Mengenwahl

• Im Gleichgewicht ist die Menge desStackelbergfuhrers (leader) großer als die Menge desStackelbergnachfolgers (follower).

Mengenwahl

Komparative Statik• Preise sind niederiger als a. Es gilt 3a > 2k1 + k2 (sonst

qi < 0). Ein steigendes a erhoht die Mengen, diePreise und die Gewinne.

• Ein steigendes b verringert die Mengen beikonstantem Preis. Demnach sinken die Gewinne.

Vergleich zu simultanen Entscheidungen

k1 = k2 = 0• Preise (C=Cournot, S= Stackelberg)

pC−pS =a3− a

Niedrigere Preise in Stackelberg.

Vergleich zu simultanen Entscheidungenk1 = k2 = 0• Mengen

QC−QS =2a3b− 3a

4b=−a12b

Hohere Gesamtmengen in Stackelberg.• Mengen

qC1 −qS

1 =a3b− a

2b=−a6b

qC2 −qS

2 =a3b− a

Menge des Fuhrers liegen uber der Cournot Mengeund Menge des Nachfolgers unter der CournotMenge.

k1 = k2 = 0• Gewinne

πC1 −π

9b− a2

8b=−a2

πC2 −π

9b− a2

Gewinn des Fuhrers liegt uber dem Cournot Gewinnund Gewinn des Nachfolgers unter dem CournotGewinn.

Homogene GuterPreiswahl

Preiswahl

• Losung durch Ruckwartsinduktion.• Firma 2 unterschreitet Preis 1 geringfugig, solange

seine Stuckkosten Preis 1 unterschreiten.• Preis 1 unterschreitet die Stuckosten von Firma 2,

solange diese uber den Stuckkosten von Firma 1liegen

• Ergebnis wie im simultanen Bertrand.

Heterogene Guter

Annahmen (wie im simultanen Spiel)

• 2 Produkte sind Quasi-Substitute• Firmen haben keine Kapazitatsbeschrankung• Keine Absprachen• Nachfragefunktionen:

q1 = α−βp1 + γp2, q2 = α−βp2 + γp1

• Preisabsatzfunktionen:p1 = a−bq1−dq2, p2 = a−bq2−dq1

• Es gilt

α =a(b−d)

b2−d2 , β =b

b2−d2 , γ =d

b2−d2

Annahmen

• Eigenpreiseffekt (b) vs. Kreuzpreiseffekt (d)• b2 > d2 und b > 0• Produkte sind perfekte Substitute fur b2 = d2.• Produkte sind unabhangig voneinander fur d2 = 0.

Heterogene GuterMengenwahlWird nicht betrachtet

Heterogene GuterPreiswahl

Preiswahl

• Vereinfachende Annahme: Kosten (Ki) sind gleich 0• Maximierung des Gewinns in Stufe 2 gegeben der

Entscheidung aus Stufe 1.• Reaktionsfunktion ergibt sich wie in der simultanen

Entscheidung.• Reaktionsfunktion von Firma 2

p2(p1) =1

2β(α + γp1).

Preiswahl• Maximierung des Gewinns in Stufe 1 gegeben der

zukunftigen Entscheidung aus Stufe 2

π1(p1) = p1(α−βp1 +γ

2β(α + γp1))

0 = p1(−β +γ2

2β) + (α−βp1 +

2β(α + γp1))

• Gleichgewichtspreis fur Firma 1

p1 =α(2β + γ)

2(2β 2− γ2).

PreiswahlSubstitution in p2(p1) fuhrt zu den weiteren Ergebnissen• Preis fur Firma 2

p2 =α(4β 2− γ2 + 2βγ)

(4β (2β 2− γ2))

• Mengen

q1 =α(2β + γ)

4β; q2 =

α(4β 2− γ2 + 2βγ)

(4(2β 2− γ2))

• Gewinne

π1 =α2(2β + γ)2

8β (2β 2− γ2); π2 =

α2(4β 2− γ2 + 2βγ)2

16β (2β 2− γ2)2

Anmerkungen

• Erhoht Firma 1 seinen Preis, erhoht Firma 2 ebenfallsseinen Preis.

• Demnach werden die Aktionen der Spieler alsstrategische Komplemente betrachtet.

• Firma 2 hat demnach einen geringeren Preis, einegroßere Menge und einen großeren Gewinn alsFirma 1.

• Die Situation fuhrt zu einem Second MoverAdvantage.

• Sequenzielle Entscheidungen fuhren zu hoherenPreisen fur beide Firmen.

• Sequenzielle Entscheidungen fuhren dazu, dass dieinsgesamt abgesetzte Menge sinkt.

Preiswahlmodell mit KapazitatsbeschrankungenKreps und Scheinkman 1983

Annahmen

• 2 symmetrische Firmen (i = 1,2) bieten einhomogenes Gut an

• 2 Stufen:• Stufe 1: Unternehmen wahlen Kapazitaten (xi)• Stufe 2: Unternehmen wahlen Verkaufspreise (pi)

• Keine Kosten• Losung durch Ruckwartsinduktion

Annahmen

• Die Nachfrage von Unternehmen i ist abhangig vonden Preisen und den Kapazitaten:

min(xi ,Q(pi)) , wenn pi < pj

xi ,Q(pi)

2 + max(

0, Q(pi)2 −xj

)), wenn pi = pj

min(xi ,max(0,Q(pi)−xj)

), wenn pi > pj

• Wobei folgende Nachfrage angenommen wird:

pi(Q) = a−bQ⇒Q(pi) =ab− pi

Stufe 2

• Unternehmen werden uber die vom Konkurrentengewahlte Kapazitat informiert.

• Ein Unternehmen kann maximal soviele Produkteverkaufen wie in Stufe 1 produziert wurden (qi ≤ xi).

• Unternehmen wahlen simultan ihre Preise.

Stufe 2• Bei einem marktraumenden Preis p(X) entspricht die

Nachfrage der Gesamtkapazitat X = x1 + x2.

p(X) = a−b(xi + xj)

• Die beiden Anbieter werden sich solange in denPreisen unterbieten, bis p(X) erreicht ist.

• Bei einem hoheren Preis pi > p(X) haben Anbieterden Anreiz den Konkurrenten marginal zu unterbieten,um die gesamte Kapazitat absetzen konnen.

• Vergleiche Preiswettbewerb mit homogenen Guternohne Kapazitatsbeschrankungen

• Ein niedrigerer Preis lohnt sich nicht, da ein Anbieternicht mehr als xi Einheiten vertreiben kann.

Stufe 1• Maximierung des Gewinns unter Berucksichtigung der

Ergebnisse aus Stufe 2:

πi(xi) = (a−b(xi + xj))xi .

0 = a−2bxi −bxj .

• Aufgrund der Symmetrie ergeben sich dieReaktionsfunktionen:

x1(x2) =a−bx2

x2(x1) =a−bx1

Stufe 1• Gleichgewicht im Schnittpunkt der

Reaktionsfunktionen:

x1 = x2 =a3b

• Marktpreis und Gesamtmenge:

; Q =2a3b

• Gewinn:

π1 = π2 =a2

Ergebnis

• Durch Kapaziatsbeschrankungen ergibt sich in einemPreiswahlmodell das Cournotgleichgewicht.

• Im Vergleich zu einem Preiswahlmodell ohneKapazitatsbeschrankungen

• steigt der Preis,• sinkt die angebotene Menge,• steigen die Gewinne beider Anbieter.

Supply Chains

Annahmen

• 2 Stufen• Ein homogenes Gut, ein Produzent• Stufe 1 (Produktion):

Ein Produkt wird produziert und an den/die Handlerzum Preis w verkauft.⇒ Der Produzent entscheidet uber denGroßhandelspreis w .

• Stufe 2 (Einzelhandler):Der/Die Handler bedienen die Nachfrage derKonsumenten zum Preis p.⇒ Der/Die Handler entscheiden uber die zubedienende Nachfragemenge q(w).

Annahmen

• Nachfragefunktion: p = a−bq• Produzent (M):

• Stuckkosten: c• Gewinn: πM = (w−c)q

• Handler (Ri)• Stucktransaktionskosten: k• Gewinn: πRi = (p−w−k)qi

Ubersicht

• Vertikale Separation - Ein Handler• Vertikale Separation - Zwei Handler• Vertikale Separation - Vollkommene Konkurrenz• Vertikale Integration• Verleich der Ergebnisse

Vertikale SeparationEin Handler(Carlton und Perloff 2000)

Annahmen

• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2: Gewinnmaximierung des Handlers,

Mengenwahl• Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,

Preiswahl

Stufe 2

• Maximierung der Gewinnfunktion:

πR = (a−bq− (w + k))q

0 = a−2bq− (w + k)

• Reaktionsfunktion

q(w) =a− (w + k)

Stufe 1Produzent antizipiert die Wahl des Handlers• Maximierung der Gewinnfunktion:

πM = (w−c)q(w) = (w−c)a− (w + k)

0 =a− (w + k)− (w−c)

• Großhandelspreis im Gleichgewicht

w =a + (c−k)

Gleichgewicht• Produktionsmenge

q =a− (c + k)

• Marktpreis

p =3a + (c + k)

4• Gewinne

πR =(a− (c + k))2

πM =(a− (c + k))2

Grafische Analysep(q) = a-bqInverse Reaktionsfunktion w(Grenzerlöse PStückkosten ca

a/ba/2ba/4b

opt. Preis-Mengen-Kombination

GE = GK

qAbdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 115

Vertikale SeparationZwei Handler(Carlton und Perloff 2000)

Annahmen

• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2:

• Gewinnmaximierung der Handler R1,R2• Mengenwahl q1,q2 (Cournot)• Gesamtmenge q = q1 + q2

• Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,Preiswahl

Stufe 2

• Maximierung der Gewinnfunktion in Stufe 2 (AnalogR2)

πR1 = (a−b(q1 + q2))q1− (w + k)q1

• Notwendige Bedingung

0 = a−2bq1−bq2− (w + k)

• Reaktionsfunktion (Analog R2)

q1 =a−bq2− (w + k)

Stufe 2

• Schnittpunkt der Reaktionsfunktion ergibt Mengen derHandler

q1 =a− (w + k)

q2 =a− (w + k)

• und die Gesamtmenge

q(w) =2(a− (w + k))

Stufe 1Produzent antizipiert die Wahl der Handler• Maximierung der Gewinnfunktion:

πM = (w−c)q(w) = (w−c)2(a− (w + k))

0 =2(a−2w−k + c)

w =a + (c−k)

q =a− (c + k)

qi =a− (c + k)

6b• Marktpreis

p =2a + (c + k)

3• Gewinne

πRi =(a− (c + k))2

πM =(a− (c + k))2

Vertikale SeparationVollkommene Konkurrenz

Annahmen

• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2:

Vollkommene Konkurrenz, Preis = Grenzkosten• Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,

Preiswahl

Stufe 2

• Preis = Grenzkosten• Grenzkosten w + k• p = w + k• q(w) = α−β (w + k)

• q(w) = ab −

1b ∗ (w + k)

Stufe 1Produzent antizipiert die Wahl der Handler• Maximierung der Gewinnfunktion:

πM = (w−c)q(w) = (w−c)(α−β (w + k))

0 = α + β (c−k)−2βw

w =α + β (c−k)

a + (c−k)

(α−β (c + k))

• Marktpreis

p =α + β (c + k)

• Gewinne

πRi = 0

πM =(α−β (c + k))2

Vertikale IntegrationProduzent fusioniert mit den Handler/n

Annahmen

• Produzent wird Monopolist• Produzent auch = Handler• Stuckkosten: c + k• Standard-Monopolergebnis resultiert

Gleichgewicht

• Produktionsmenge

q =a− (c + k)

• Marktpreis

p =a + (c + k)

2• Gewinn

πM =(a− (c + k))2

Grafische Analysep(q) = a-bqGrenzerlöse PStückkosten ka

a/ba/2b

popt. Preis-Mengen-Kombination

GE = GKq

Vergleichder Supply Chains

Vergleich

• Vergleich der Ergebnisse• Vertikale Integration• Vertikale Separation - Vollkommene Konkurrenz• Vertikale Separation - Zwei Handler• Vertikale Separation - Ein Handler

Marktpreise

• Wettbewerb zwischen den Handlern mindert denMarktpreis.

pE =3a + (c + k)

>pZ =2a + (c + k)

>pK =a + (c + k)

2(= pV )

Großhandelspreis

• Der Produzent setzt immer den gleichen(Großhandels)Preis,unabhangig vom Wettbewerb der Handler.

wE = wZ = wK =a + (c−k)

2(= pV )

Mengen

• Wettbewerb zwischen den Handlern erhoht dieMenge.

qE =a− (c + k)

<qZ =a− (c + k)

<qK =a− (c + k)

2b(= qV )

Mengen

• Wettbewerb zwischen den Handlern mindert denGewinn jedes Handlers und die Summe der Gewinneuber alle Handler.

πER =

(a− (c + k))2

>2πZRi

=(a− (c + k))2

18b>∑π

Mengen

• Wettbewerb zwischen den Handlern erhoht denGewinn des Produzenten.

(a− (c + k))2

<πZ =

(a− (c + k))2

<πK =

(a− (c + k))2

4b(= π

Separation vs. Integration (Ein Handler)

a/ba/2ba/4b

wopt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Integration

opt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Seperation

a/ba/2ba/4b

opt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Integration

opt. Preis-Mengen-Kombination bei vertikaler Seperation

Vergleich des Gesamtgewinns

πVertikale Integration/Vertikale Separation mit vollkommener Konkurrenz unter den Händlern

Vertikale Separationzwei Einzelhändler

Vertikale Separationein Einzelhändler

QVollkommener Wettbewerb

Strategische Lagerhaltung in Supply ChainsAnand, Anupindi und Bassok 2008

Annahmen• 2 Perioden, 4 Stufen• Ein homogenes Gut, ein Produzent, ein Handler• Stufe 1 (Produzent Periode 1):

• Ein Produkt wird produziert und an den/die Handlerzum Preis w1 verkauft.

• Stufe 2 (Handler Periode 1):• Der Handler kauft Waren vom Produzenten und

entscheidet uber Verkaufsmenge (q1) undLagermenge (L).

• Stufe 3 (Produzent Periode 2):• Ein Produkt wird produziert und an den/die Handler

zum Preis w2 verkauft.• Stufe 4 (Handler Periode 4):

• Der Handler kauft Waren vom Produzenten undentscheidet uber Verkaufsmenge (q2).

Annahmen• Nachfragefunktion:

p1(q1) = a−bq1

p2(q2) = a−bq2

• Gewinnfunktionen:• Produzent

πM = w1(q1 + L) + w2(q2−L)

• Handler

πR = p1(q1)q1−w1(q1 + L)+p2(q2)q2−w2(q2−L)−hL

= [p1(q1)−w1]q1 +[p2(q2)−w2]q2− [w1−w2 +h]L

Annahmen• Losung durch Ruckwartsinduktion

Stufe 4: Gewinnmaximierung des Handlers,Mengenwahl (q2).

Stufe 3: Gewinnmaximierung des Produzenten,Preiswahl (w2).

Stufe 2: Gewinnmaximierung des Handlers,Mengenwahl (q1,L)

Stufe 1: Gewinnmaximierung des Produzenten,Preiswahl (w1).

Stufe 4: q2

• Maximierung der Gewinnfunktion des Handlers:

πR =[p1(q1)−w1]q1 +[a−bq2−w2]q2− [w1−w2 +h]L

δq2= a−2bq2−w2 ≡ 0

• Reaktionsfunktion Handler Periode 2:

q2(w2) =a−w2

Stufe 3: w2• Produzent antizipiert die Wahl des Handlers

• Maximierung der Gewinnfunktion des Produzenten:

πM = w1(q1 + L) + w2(q2−L)

= w1(q1 + L) + w2

(a−w2

2b−L)

a−2w2

2b−L ≡ 0

• Reaktionsfunktion Produzent Periode 2:

w2(L) =a2−bL

• Reaktionsfunktion Handler Periode 2:

q2(w2) =a−w2

Stufe 2: q1,L• Handler antizipiert die Wahl des Produzenten

πR =[a−bq1−w1]q1 +[a−bq2−w2]q2− [w1−w2 +h]L

=[a−bq1−w1]q1 +

]−[w1−

a2+bL+h

δq1= a−2bq1−w1 ≡ 0

• Reaktionsfunktion:

q1(w1) =a−w1

Stufe 2: q1,L• Handler antizipiert die Wahl des Produzenten

πR =[a−bq1−w1]q1 +[a−bq2−w2]q2− [w1−w2 +h]L

=[a−bq1−w1]q1 +

]−[w1−

a2+bL+h

+bL2−(

w1−a2

+ 2bL + h)≡ 0

• Reaktionsfunktion:

L(w1) =a2b− 2

3b(w1 + h)

→ großer 0 fur w1 <3a4−h

Stufe 1: w1

• Reaktionsfunktionen

L(w1) =a2b− 2

3b(w1 + h)

q1(w1) =a−w1

w2(w1) =23

(w1 + h)

q2(w1) =a2b−w1 + h

Stufe 1: w1• Produzent antizipiert die Wahl des Handlers

• Maximierung der Gewinnfunktion des Produzenten:

πM = w1(q1 + L) + w2(q2−L)

=−17wl2 + (18a−4h)wl + 4h2

118−34w1 + 18a−4h

• Reaktionsfunktion Produzent Periode 1:

17a− 2

Gleichgewicht und Vergleich

First Best statisch(Commitment)

dynamisch(h < 1

Großhandelspreis{w1 ,w2}

a2 , a

} {9a−2h

17 , 6a+10h17

}eingekaufte Menge{Q1,Q2}

{a2b , a

} {a4b , a

} {13a−18h

34b , 3a+5h17b

}Lager L 0 0 5(a−4h)

verkaufte Menge{q1 ,q2}

{a2b , a

} {a4b , a

} {4a+h17b , 11a−10h

}Endkundenpreis{p1 ,p2}

{a2 , a

} {3a4 , 3a

} {13a−h

17 , 23a+10h34

}Gewinn desProduzenten πM

- a24b

9a2−4ah+8h234b

Gewinn desHandlers πR

- a28b

155a2−118ah+304h21156b

Gewinn derSupply Chain πSC

461a2−254ah+576h21156b

*Lagerhaltung, wenn: a > 4h.

Entspricht einem Lagerwertkostensatz von ca. 27%.

Beispiel

• a = 140;b = 1;h = 1

First Best statisch dynamisch(Gleichgewicht)

GroßhandelspreisPeriode 1 (w1)

0 70 74

Lager L 0 0 20

GroßhandelspreisPeriode 2 (w2)

0 70 50

Gewinn desProduzenten (πM)

0 4900 5172

Gewinn desHandlers (πR)

9800 2450 2614

Gewinn derSuply Chain (πSC)

9800 7350 7786

Anreize fur ManagerFershtman and Judd 1987

Annahmen

• 2 Firmen (i=1,2)• Jeweils gibt es einen Eigner und einen Manager• Ziel des Eigners: Firmengewinn maximieren• Ziel des Managers: Gehalt maximieren• Preisabsatzfunktion: p = a−bq1−bq2

• Stuckkosten: ki

Ablauf

• Stufe 1: Eigner entscheiden simultan uber denAnreizparameter αi

• Stufe 2: Manager beobachten die Marktkonditionen(Preisabsatzfunktion, Kosten) und entscheidensimultan uber die Mengen

• Losung uber Ruckwartsinduktion

Stufe 2

• Manager kennen ihren Anreizvertrag Mi (Bi > 0):

Mi = Ai + BiOi ,

wobei der Vetrag vom Gewinn und vom Umsatzabhangt

Oi = αiπi + (1−αi)Si ,

• αi bezeichnet daher den Anteil des Gewinns• (1−αi) bezeichnet den Anteil des Umsatzes

Stufe 2

• Manager maximieren ihre Auszahlung (Mi) uber dieMenge (analog Firma 2)

Oi = αi(a−b(qi + qj)−ki)qi

+ (1−αi)(a−b(qi + qj))qi

• Notwendige Bedingung fur Firma 1

0 = a−bq2−α1k1−2bq1,

Stufe 2• Reaktionsfunktionen gegeben der αi’s

q1 =a−bq2−α1k1

q2 =a−bq1−α2k2

• Gleichgewicht fur Stufe 2

q1 =a−2α1k1 + α2k2

3b; q2 =

a−2α2k2 + α1k1

Q =2a−α1k1−α2k2

p =a + α1k1 + α2k2

Stufe 1

• Eigner maximieren ihren Gewinn uber den Anreiz(Analog Firma 2)

maxαi

(a + α1k1 + α2k2

3−k1

)a−2α1k1 + α2k2

0 = a−2α1k1 + α2k2−2a−2α1k1−2α2k2 + 6k1

Stufe 1

α1 =32− a

4k1− k2

4k1α2; α2 =

32− a

4k2− k1

4k2α1.

• Anreize im Gleichgewicht

α1 =8k1−a−2k2

5k1; α2 =

8k2−a−2k1

Gleichgewicht• Mengen

q1 =2(a−3k1 + 2k2)

5b; q2 =

2(a−3k2 + 2k1)

Q =2(2a−k1−k2)

• Preis

p =a + 2k1 + 2k2

• Gewinne

π1 =2

25b(a−3k1 + 2k2)2

π2 =2

25b(a−3k2 + 2k1)2 .

Anmerkungen

Anreize fur Manager fuhren zu• großeren Mengen• geringeren Gewinnen• niedrigerem Preis• einer effizienteren Allokation

als im gewohnlichen Cournot Spiel.

Vergleich zu gewohnlichem Cournot

Reaktionsfunktion von 2

Reaktionsfunktion von 1

• A: Mengen bei Cournot ohne Manageranreize• B: Mengen wenn Anbieter 1 Manageranreize setzt• C: Mengen wenn beide Manageranreize setzen

GefangenendilemmaFirmen 2

ohne Manager mit Manager

1ohne Manager Cournot Cournot Follower Leader

mit Manager Leader Follower Fershtman Judd Fershtman Judd

• Vergleich der Gewinne:Leader > Cournot > FershtmanJudd > Follower

• Es ist fur beide Firmen eine dominante StrategieManager einzustellen

• Im gewohnlichen Cournot wurden sich jedochhohere Auszahlungen ergeben

Monopol

Cournot (homogene Güter)

Fershtman and Judd (beide Firmen setzten Manageranreize)

QVollkommener Wettbewerb/

Terminmarkte(Allaz und Vila 1993)

TerminmarkteGrundlagen

Annahmen• 2 Firmen (i=1,2)• 2 Stufen• Stufe 1:

• Firmen wahlen Forwardmengen fi• Spekulanten und Arbitrageure bieten auf dem

Terminmarkt auf die Forwardmengen, Verkauf derForwards zum Preis pf(bindend, offentlich)

• Stufe 2:• Firmen produzieren qi ,• bedienen die Forwards und• verkaufen auf dem Kassamarkt zum Preis ps

(Forwards aus Stufe 1 sind bekannt)• Losung durch Ruckwartsinduktion

Annahmen

• Preisabsatzfunktion ps = a−b(q1 + q2)

• Kostenfunktion Ki = kiqi

• Fur fi < qi kann Firma iqi − fi in Stufe 2 verkaufen

• Fur fi > qi muss Firma ifi −qi in Stufe 2

1. von der Konkurrenz kaufen oder2. Forwards zuruckkaufen

Stufe 2

• Firma 1 maximiert seinen Gewinn aus dem Kassamarktgegeben der Forwards aus Stufe 1 (Analog Firma 2)

πs1(q1) = (a−bq1−bq2)(q1− f1)−k1q1

0 = a−2bq1−bq2 + bf1−k1,

Stufe 2• Reaktionsfunktionen gegeben der Forwards

q1 =a−k1 + bf1

2b− bq2

q2 =a−k2 + bf2

2b− bq1

• Gleichgewicht fur Stufe 2

q1 =a + 2bf1−bf2−2k1 + k2

q2 =a + 2bf2−bf1−2k2 + k1

ps =a−bf1−bf2 + k1 + k2

Stufe 1

• Der Gesamtgewinn gegeben der Forwards ist

πi = pf fi + ps(qi − fi)−kiqi ,

• umgeformt

πi = [pf −ps]fi + (ps−ki)qi ,

Teil 1 ist der Arbitragegewinn und Teil 2 ist der CournotGewinn

Arbitragegewinn

• Situation in Stufe 1• Angenommen 2 Spekulanten geben Kaufgebote in

Stufe 1 ab. Das hochste Gebot gewinnt und beigleichen Geboten gewinnt Spekulant 1. DerWettbewerb druckt den Preis auf den Preis imSpotmarkt (siehe Bertrand).

• Perfect Foresight Equilibrium: ps = pf• Falls ps > pf :

Spekulanten kaufen mehr Forwards→ pf ↑• Falls ps < pf :

Spekulanten machen Verluste→ pf ↓• Arbitragegewinn, (pf −ps)fi = 0!

Stufe 1

• Der verbleibende Gewinn wird uber die Menge derForwards maximiert

(a−bf1−bf2 + k1 + k2

3−k1

a + 2bf1−bf2−2k1 + k2

0 = a−4bf1−bf2−2k1 + k2

Stufe 1

f1 =a−2k1 + k2

4b− 1

f2 =a−2k2 + k1

4b− 1

• Forwards im Gleichgewicht

f1 =a−3k1 + 2k2

f2 =a−3k2 + 2k1

Gleichgewicht• Produktionsmengen

q1 =2(a−3k1 + 2k2)

q2 =2(a−3k2 + 2k1)

5b• Preise

ps = pf =a + 2k1 + 2k2

5• Gesamtgewinn

π1 =2

25b(a−3k1 + 2k2)2

π2 =2

25b(a−3k2 + 2k1)2

TerminmarkteStackelberg

Situation

• Firma 2 ist gezwungen keine Forwards zu verkaufen:f2 = 0

• Firma 1 wahlt f1 so, dass sein Gewinn maximiert wird,• d.h. Firma 2 wird in einen Stackelberg-Follower

gezwungen

Gleichgewicht

• Fur f2 = 0 und die Reaktionsfunktionaus Stufe 1 f1(f2 = 0) folgt

q1 =a + 2bf1−bf2−2k1 + k2

=a + 2b a−2k1+k2

4b −2k1 + k2

=a−2k1 + k2

• Dies entspricht der Menge des Stackelbergfuhrers.

Gleichgewicht• Forwards

f1 =a−2k1 + k2

4bf2 = 0

• Produktionsmengen

q1 =a−2k1 + k2

q2 =a−2k2 + k1

• Preise

pf = ps =a + 2k1 + k2

Gleichgewicht

• Gewinne

π1 =1

8b(a−2k1 + k2)2

π2 =1

16b(a−3k2 + 2k1)2.

Cournot

Situation

• Beide sind gezwungen keine Forwards zu verkaufen:f1 = f2 = 0

• Demnach ergeben sich die Standard Ergebnisse ausdem Cournot.

Gleichgewicht• Forwards f1 = f2 = 0• Produktionsmengen

q1 =a−2k1 + k2

3b; q2 =

a−2k2 + k1

• Preis

p =a + k1 + k2

• Gewinne

π1 =1

9b(a−2k1 + k2)2; π2 =

(a−2k2 + k1)2

TerminmarkteGefangenen Dilemma

Situation• Vergleich der Gewinne mit b = 1, k1 = k2 = k• Cournot

π1 = π2 =19

(a−k)2

• Stackelberg

πleader =18

(a−k)2

πfollower =1

16(a−k)2

• (positive) Forwards

π1 = π2 =2

25(a−k)2

Gefangenendilemma

Firmen 2f2 = 0 f2 > 0

1f1 = 0 (a−k)2

9(a−k)2

16(a−k)2

f1 > 0 (a−k)2

8(a−k)2

162(a−k)2

252(a−k)2

• Dominante Strategie fi > 0 zu spielen• Hohere Auszahlung fur fi = 0

Monopol

Cournot (homogene Güter)

Termingeschäfte (beide Firmen verkaufen Forwards)

QVollkommener Wettbewerb/

Hotelling Modelle

Lineares Hotelling Preismodell

Annahmen• Die Nachfrage fur ein homogenes Gut stammt aus

einer linearen Stadt• Lange: L > 0• An jeder Stelle der Stadt x ∈ [0,L] befindet sich genau

ein Konsument• Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach

• 2 Anbieter (A und B)• Vorgegebene Lokationen a und L−b• Es gilt a und (L−b) ∈ [0,L]• Symmetrische Kostenstruktur beider Anbieter

Ki = k ∗qi + F und i ∈ [A,B]

Annahmen

• Um zu Anbieter A zu gelangen, muss Konsument x dieStrecke |x−a| zurucklegen

• Um zu Anbieter B zu gelangen die Strecke |x− (L−b)|• Es entstehen lineare Entfernungskosten in Hohe von

t ∗ z• Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z die

Entfernung darstellt

Annahmen

• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 2: Kunden wahlen den Anbieter bei dem sie das

Gut kaufen mochten• Dabei berucksichtigen sie die Preise beider Anbieter

und die Entfernungskosten

• Stufe 1: Die Anbieter wahlen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren

Stufe 2

• Die Nutzenfunktion des Konsumenten x ist

{−pA− t |x−a| , falls x bei A kauft−pB− t |x− (L−b)| , falls x bei B kauft

• Konsument x ist zwischen A und B indifferent• Es gilt:

−pA− t(x−a) =−pB− t(L−b− x)

• Wenn sich A und B an der gleichen Stelle befindensetzt ein extremer Preiswettbewerb ein

• Es wird im Folgenden angenommen, dass A und B

”weit genug“ voneinander entfernt sind

Stufe 1

• Alle Kunden”links“ von x werden bei A kaufen, alle

”rechts“ von x werden bei B kaufen

• Durch Umformen der Indifferenzbedingung ergibt sichdie Nachfrage fur A

qA = x =pB−pA

L−b + a2

• Entsprechend ergibt sich die Nachfrage fur B

qB = L− x =pA−pB

L + b−a2

Stufe 1• Maximierung der Gewinnfunktion fur Anbieter A:

(pB−pA

L−b + a2

)(pA−k)−F

0 =pB−2pA + k

L−b + a2

• Reaktionsfunktion von Anbieter A

pA (pB) =pB + k

(L−b + a) t2

• Analog wird die Reaktionsfunktion fur Anbieter Bermittelt

pB (pA) =pA + k

(L + b−a) t2

Stufe 1• Gleichgewicht im Schnittpunkt der

Reaktionsfunktionen• Preise der Anbieter

pA =(3L−b + a) t

3+ k ; pB =

(3L + b−a) t3

• Gleichgewichtsmengen

qA = x =3L−b + a

6; qB = L− x =

3L + b−a6

πA =t (3L−b + a)2

18−F ; πB =

t (3L + b−a)2

18−F

Diskussion

• Der gleichgewichtige Gewinn von A steigt,• je hoher die Entfernungskosten t sind,• je kleiner b ist• je großer a ist.

• Das gilt analog fur den Gewinn von Anbieter B• Die hergeleiteten Gleichgewichte gelten nur,

• wenn Lokationen exogen vorgegeben sind und• wenn Entfernungskosten linear sind.

Endogene Lokationswahl• Es wird weiterhin ein lineares Hotelling Preismodell

angenommen• Bei endogener Lokationswahl optimiert der Anbieter

seinen Gewinn in zwei Stufen• Erste Stufe: Wahl der Lokationen• Zweite Stufe: Preissetzung

• Bei linearen Entfernungskosten gibt es keinGleichgewicht in reinen Strategien

• Wenn die Lokationen nahe aneinander liegen, habendie Anbieter Anreize auseinander zu gehen

• Wenn die Lokationen weit von einander entfernt sind,haben die Anbieter Anreize aufeinander zu zugehen

• Bei quadratischen Entfernungskosten wird derhochste Grad der Differenzierung gewahlt

Kreis Hotelling Modell

Annahmen

• Im Gegensatz zu dem linearen Hotelling Modell ist dieAnzahl der Anbieter (N) endogen

• Alle Anbieter 1...N sind symmetrisch• Symmetrische Kostenfunktion

Ki = k ∗qi + F und i ∈ [0...N]

• Anbieter sind gleichmaßig auf einem Kreis verteilt• Der Kreisumfang ist 1• Der Abstand zwischen zwei Anbietern ist 1

Annahmen• Es entstehen fur den Kunden lineare

Entfernungskosten in Hohe von t ∗ z• Entfernungskostenfaktor t , Entfernung z• Die Konsumenten sind gleichmaßig auf dem Kreis

verteilt• Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach• Aufgrund der Symmetrie kann angenommen werden,

dass p2 = pN = p

pN= p p2 = p

Käufer von Anbieter 1

Annahmen

• Losung durch Ruckwartsinduktion• Stufe 3: Kunden wahlen den Anbieter bei dem sie das

Gut kaufen mochten• Dabei berucksichtigen sie die Preise der Anbieter und

die Entfernungen

• Stufe 2: Die Anbieter wahlen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren

• Stufe 1: Markteintrittsentscheidung der Anbieter• Es werden so viele Anbieter in den Markt eintreten, bis

der Gewinn gleich 0 ist

Stufe 3• Der Kunde x wird ermittelt, der zwischen Anbieter 1

und Anbieter 2 indifferent ist• Fur den indifferenten Kunden x gilt:

p1 + t x = p + t(1N− x).

• Daraus folgt:

x =p−p1

• Alle Kunden links von x kaufen von Anbieter 1, alleKunden rechts von x kaufen bei Anbieter 2

• Analog kann der indifferente Kunde fur alle Anbieterermittelt werden

Stufe 2• Anbieter 1 bedient sowohl Kunden die links als auch

Kunden die rechts von ihm liegen• Die Nachfrage von Anbieter 1 ergibt sich als:

q1(p1,p) = 2x =p−p1

• Der Anbieter wahlt seinen Preis

π1 = (p1−k)(p−p1

0 =p−2p1 + k

Stufe 2

• In einem symmetrischen Gleichgewicht gilt:

p1 = p2 = ... = pN = p.

• Einsetzten in die notwendige Bedingung ergibt:

p = k +tN.

Stufe 1

• Im Gleichgewicht werden genau so viele Anbieter inden Markt eintreten, dass alle Anbieter Nullgewinnegenerieren

• Solange positive Gewinne generiert werden konnen,treten weitere Marktteilnehmer ein

• Bei negativen Gewinnen werden Anbieter aus demMarkt austreten

• Bei Nullgewinnen besteht weder ein Anreiz aus demMarkt auszutreten noch in den Markt einzutreten

Stufe 1• Die optimale Anzahl an Unternehmen wird ermittelt

indem der Gewinn eines einzelnen Anbieters inullgesetzt wird

πi = (p−k)1N−F =

tN2 −F !

• Damit ergibt sich die optimale Anzal von Anbietern Nals:

√tF.

• Das resultiert in folgenden gleichgewichtigen Preisenund Mengen:

p = k +√

tF , q =tF

− 12

Wohlfahrtseffekte

• Die optimale Anbieteranzahl N aus demHotelling-Modell ubersteigt dieWohlfahrtsmaximierenden Anzahl

• Um die Wohlfahrt zu maximieren wird die Summe ausden Transportkosten des durchschnittlichen Kunden1

4N und der insgesamt anfallenden Fixkosten Lminimiert

L(F , t ,N) = N ∗F +t

Wohlfahrtseffekte

0 = F − t4N2

• Daraus folgt, dass die Wohlfahrtsmaximierende Anzahlan Anbieter N kleiner ist als die Anbietermenge N imGleichgewicht des linearen Hotelling Modells

√tF<

Hotelling Modell mit sequentiellem Markteintritt

Annahmen

• Preise sind gleich und fix vorgegeben• Zur Vereinfachung wird p = 1 angenommen

• 3 Anbieter befinden sich in einer linearen Stadt• Lange der Stadt = 1• Sequentielle Positionswahl der Anbieter

Annahmen

• Losung per Ruckwartsinduktion• Stufe 3: Anbieter 3 Entscheidet uber seine Position• Stufe 2: Anbieter 2 Entscheidet uber seine Position• Stufe 1: Anbieter 1 Entscheidet uber seine Position

• Zur Vereinfachung wird angenommen, dass Anbieter 1die Position x1 = 1

4 wahlt

Stufe 3• Die Entscheidung von Anbieter 2 kann in 3 Intervallen

liegen:1. x2 = 1

4 − ε

2. 14 < x2 < 3

43. x2 ≥ 3

• Fur jedes Intervall ergibt sich eineBeste-Antwort-Funktion fur Anbieter 3

BA(Intervall1) : x3 =14

BA(Intervall2) : x3 = x2 + ε

BA(Intervall3) : x3 =x2 + x1

Stufe 2

x1x2 x3

π ≈ 334

π ≈1.

x1 x2 2

−π ≈ 3 21 xπ ≈ −

x1 x22 3

2 2x x1 x

π ≈ − +2

−π ≈

1/4 2 23/4

• Gegeben der Reaktion von Anbieter 3 wahlt Spieler 2seine Position

Stufe 2

• Anbieter 2 wahlt Intervall 3• Gewinn von Anbieter 2 in Intervall 3:

π2 = 1−x2 +x2−x3

• Innerhalb dieses Intervalls wahlt Anbieter 2 die Position

x2 =34

Gleichgewicht

• Im Gleichgewicht gilt:

x1 =14, π1 =

x2 =34, π2 =

x3 =12, π3 =

Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg¨ · Identischer Preis fur¨ beide Markte¨ Markt 1 Markt 2...

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