ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΑΡΙΘΜΟΙ – ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Αριθμητικά συστήματα

123, 231, 312

Τι σημαίνουν;

Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο;

Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου;

Αριθμητικά συστήματα

123 = 1 (102) + 2 (101) + 3 (100)

231 = 2 (102) + 3 (101) + 1 (100)

312= 3 (102) + 1 (101) + 2 (100)

Αριθμητικά Συστήματα

Βάση Οργάνωση: ◦ Επαναληπτικό ◦ Θέσης ◦ Μικτό

Ψηφία Μηδέν ◦ Υπάρχει ◦ Λείπει

10, 5, 12, 60 Σύγχρονο: 10, θέσης,

ψηφία, 0 Αιγυπτιακό: 10,

επαναληπτικό, ιερογλυφικά, χωρίς 0

Βαβυλωνιακό: 60, μικτό, εικόνες, χωρίς 0

Κινεζικό: 10, μικτό, σχήματα, με θέση για το 0

Αιγυπτιακό σύστημα

Βαβυλωνιακό σύστημα

Ελληνικό σύστημα α 1 ι 10 ρ 100

β 2 κ 20 σ 200

γ 3 λ 30 τ 300

δ 4 μ 40 υ 400

ε 5 ν 50 φ 500

ϛ´(στ) 6 ξ 60 χ 600

ζ 7 ο 70 ψ 700

η 8 π 80 ω 800

θ 9 ϟ΄ (κόπα) 90 ϡ, (σαμπί) 900

Κινεζικό σύστημα

Oksampin-Παπούα, Νέα Γουινέα

Αριθμητικά συστήματα

Οι ώρες σε τι σύστημα εκφράζονται;

Τα λεπτά της ώρας σε τι σύστημα εκφράζονται;

Οι μοίρες (μονάδα γωνίας) σε τι σύστημα εκφράζονται;

Αριθμητικά συστήματα

Αριθμητικά συστήματα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Αριθμητικά μπλοκ του Dienes

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Τι τύπο αριθμητικού συστήματος δημιουργεί το εκπαιδευτικό υλικό των αριθμητικών μπλοκ;

Αιγυπτιακό σύστημα

Καταγραφή λαφύρων στην πέτρινη κεφαλή του βασιλιά Μήνη:

◦ 400.οοο βόδια

◦ 1.422.οοο κατσίκια

◦ 120.οοο αιχμάλωτοι

Πηγή: J.E. Quibell

Hierakonolopis,Λονδίνο 1900 σχεδίασμα της πλάκας 26Β

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Αιγυπτιακό σύστημα

Επαναληπτικό

Βάση 10

Αιγυπτιακό σύστημα

Πράξεις στο αιγυπτιακό σύστημα

Πρόσθεση

◦ Παράθεση αριθμών

◦ Αντικατάσταση κάθε δεκάδας ίδιων στοιχείων με μία ανώτερης τάξης

Ποιο χαρακτηριστικό είναι κοινό στην πρόσθεση στο αιγυπτιακό σύστημα και στο δικό μας σύστημα;

Τι είναι διαφορετικό;

Πράξεις στο αιγυπτιακό σύστημα

Αφαίρεση

◦ Παράθεση αριθμών

◦ Διαγραφή από τον μεγαλύτερο τόσων στοιχείων όσων και τα στοιχεία του μικρότερου

◦ Ανάλυση ενός στοιχείου μιας τάξης σε 10 της αμέσως μικρότερης

Ποιο χαρακτηριστικό είναι κοινό στην πρόσθεση στο αιγυπτιακό σύστημα και στο δικό μας σύστημα;

Τι είναι διαφορετικό;

Πρόσθεση

Αφαίρεση

Πράξεις στο αιγυπτιακό σύστημα

Πολλαπλασιασμός ◦ Διπλασιασμός των ενός όρου και της

μονάδας

◦ Επανάληψη μέχρι ο διπλασιασμός της αρχικής μονάδας να μην ξεπερνάει τον πολλαπλασιαστή

◦ Πρόσθεση των όρων εκείνων που στη στήλη των μονάδων δίνει τον πολλαπλασιαστή και το αποτέλεσμα στη στήλη του πολλαπλασιαστέου δίνει το γινόμενο

Πράξεις στο αιγυπτιακό σύστημα

Αιγυπτιακά Μαθηματικά

Ερώτημα 1

Μπορούμε πάντα να κάνουμε με αυτόν τον τρόπο ένα πολλαπλασιασμό;

Ερώτημα 2

Γιατί;

Ερώτημα 3

Το ήξεραν οι Αιγύπτιοι; Πώς;

Αιγυπτιακά Μαθηματικά

Απαντήσεις

1: Ναι

2:Γιατί κάθε αριθμός γράφεται ως συνδυασμός δυνάμεων του 2

3:Όχι (αποδείχθηκε τον 19ο αιώνα),

αλλά και

4: Ναι, γιατί ποτέ δεν βρήκαν περίπτωση όπου ο πολλαπλασιασμός να είναι αδύνατος (επαγωγική σκέψη)

Το παιχνίδι με…

…το διπλασιασμό και τον υποδιπλασιασμό δίνει και κάποια πολύ ενδιαφέροντα «κόλπα»

(τα οποία σήμερα διδάσκονται ως στρατηγικές

νοερού υπολογισμού) ◦ Αντί του 5x78, υπολογίζω το 10x78 και μετά

βρίσκω το μισό

◦ Αντί του 80:5, υπολογίζω το 80:10 και μετά βρίσκω το διπλάσιο Γενικεύονται και για το 50, 500, 5.000 κ.λπ.

Αιγυπτιακό σύστημα

Διαίρεση

Ως αντίστροφος πολλαπλασιασμός

Ερωτήματα

Τι χρειάζεται να ξέρει κάποιος σε ένα επαναληπτικό σύστημα για να κάνει τις 4 βασικές πράξεις;

Τι χρειάζεται να ξέρει κάποιος σε ένα σύστημα θέσης για να κάνει τις 4 βασικές πράξεις;

Πώς έκαναν πράξεις οι αρχαίοι έλληνες;

Πέρα από τους «φυσικούς», τι;

Αιγυπτιακά Μαθηματικά

Τα Αιγυπτιακά κλάσματα

Οι Αιγύπτιοι είχαν σύμβολα για πολύ συγκεκριμένα κλάσματα

◦ Τα εναδικά (ή μοναδιαία ή κλασματικές μονάδες)

Π.χ. 1/3 , 1/35, 1/1.234

◦ Τα κλάσματα 3/4 και 2/3

Τα Αιγυπτιακά κλάσματα

Ιδιαίτερα σύμβολα είχαν για το 1/2 και το 1/4 (το «μισό» και το «μισό του μισού»

Γιατί ήταν, πιστεύετε, ιδιαίτερα αυτά τα δύο συγκεκριμένα κλάσματα για τους Αιγυπτίους;

Τα Αιγυπτιακά κλάσματα

Τι γινόταν με τα υπόλοιπα κλάσματα;

◦ Οι Αιγύπτιοι αναπαριστούσαν τα μη εναδικά κλάσματα ως πεπερασμένο άθροισμα διαφορετικών εναδικών κλασμάτων

Παραδείγματα

3/4 = 1/2 + 1/4

13/20 = 1/2 + 1/7 + 1/140

Σε τι τους εξυπηρετούσε η

αναπαράσταση των κλασμάτων σε

άθροισμα εναδικών κλασμάτων;

1ο ερώτημα

Πρόβλημα 3, Πάπυρος του Rhid/Ahmes

«Να μοιράσεις 6 φραντζόλες σε 10 άντρες»

Απάντηση: 1/2 + 1/10

Ποια είναι η φυσική ερμηνεία αυτής της λύσης;

Πώς θα το λύνατε εσείς;

Ποια σας φαίνεται «καλύτερη» λύση, από πρακτική άποψη;

Πώς μετατρέπεται ένα κλάσμα σε

άθροισμα εναδικών; Και, μετατρέπεται

πάντα;;

2ο ερώτημα

Μοίρασε 5 φραντζόλες ψωμί σε 8

άντρες Μπορεί κάθε άντρας να πάρει από μία

φραντζόλα ψωμί;

◦ Όχι

Κοιτάω ποιο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι που μπορεί να πάρει ο καθένας: Μπορεί κάθε άντρας να πάρει από ½ της φραντζόλας;

◦ Ναι

Τι περισσεύει;

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fractions/egyptian.html

5:8 = 1/2 + 1/8

Δοκιμάστε να αναλύσετε…

το 3/4

Το 13/20

σε εναδικά κλάσματα