Mathematica.gr 1

1.Έστω . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38188&p=177695#p177695

2. Εάν Να αποδείξετε ότι και να αποδείξετε ότι .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38188&p=177695

3. Έστω οι μιγαδικοί με . Να αποδείξετε

ότι ο αριθμός

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=38189

4. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

i. είναι πραγματικός.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ii. είναι πραγματικός

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

5. Έστω οι μιγαδικοί τέτοιοι ώστε και

Να αποδείξετε ότι

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

6. Έστω . Να αποδείξετε την ταυτότητα .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

7. ;Έστω . Να αποδείξετε την ταυτότητα

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

8. Ας είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε

ότι

(1988 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

9. Για κάθε να αποδείξετε τις ταυτότητες:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

10. Για κάθε να αποδείξετε την ταυτότητα:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

11. Έστω οι μιγαδικοί

που είναι τέτοιοι ώστε

και

Να αποδείξετε ότι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

12. Δίνονται οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί τέτοιοι ώστε

Εάν οι αριθμοί

είναι πραγματικοί, να αποδείξετε ότι

(1979 Romanian Math Olympiad, State Competition, 10th grade)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

13. Εάν

ώστε

τότε να δείξετε ότι :

(1988 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

14. Έστω .

a. Εάν τότε : αν και μόνο αν

b. Εάν

τότε

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

15. Έστω . Να αποδείξετε ότι .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

16. Ας είναι . Να αποδείξετε ότι : .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

17. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό , είναι ή

''complex numbers from A to Z'', Titu Andreescu

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

18. Ας είναι μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και . Να

αποδείξετε ότι : αν και μόνο αν .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

19. Έστω τέτοιος ώστε: . Να αποδείξετε ότι: .

Putnam 1989 A3.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

20. Ας είναι τέτοιος ώστε . Να αποδείξετε ότι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

21. Ας είναι με . Να αποδείξετε ότι :

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

22. Να δείξετε ότι: αν τότε

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

23. Ας είναι τέτοιοι ώστε και , όπου

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει για το οποίο είναι : .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

24. Ας είναι τέτοιοι ώστε . Αποδείξτε ότι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

25. Να αποδείξετε την ανισότητα του . Δηλαδή ότι: για κάθε ισχύει

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=8793&hilit=hlawka

26. Έστω , όπου θετικός πραγματικός αριθμός . Εάν τα φανταστικά μέρη των και , να βρείτε το .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

27. Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί . Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός ώστε . Αποδείξτε ότι

. [G.M. 2/2011]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

28. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς με . Αποδείξτε ότι :

[Διαγωνισμός «Alexandru Muller» Iasi , Romania 8/4/2010]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

29. Έστω και οι μιγαδικοί με που ικανοποιούν τη σχέση

. Αποδείξτε ότι : και .

[G.M. 1/2011]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

30. Θεωρούμε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τις σχέσεις: .

Αποδείξτε ότι : .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

31. Θεωρούμε τους μιγαδικούς με ίσα μέτρα και τον πραγματικό αριθμό .

Αποδείξτε ότι: .

[G.M. 3/2011]ΑΠΑΝΤΗΣΗ

32. Θεωρούμε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τις σχέσεις :

. Αποδείξτε ότι : .

33. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την σχέση Βρείτε τους μιγαδικούς για τους οποίους η παράσταση

παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.[G.M. 6/2011]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

34. Βρείτε όλες τις τριάδες μιγαδικών που ικανοποιούν τις σχέσεις

και . [Διαγωνισμός «Argument» Baia Mare, Romania

6/11/2010]ΑΠΑΝΤΗΣΗ

35. Για τους μιγαδικούς ισχύουν οι σχέσεις και .

Αποδείξτε ότι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2002 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4ο θέμα (για )

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

36.Ορίζουμε το σύνολο όπου η ρίζα

της εξίσωσης .a. Να δείξετε ότι: b. Βρείτε όλα τα στοιχεία του συνόλου .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

37. Έστω και . Υπολογίστε

.ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3826638. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς ώστε

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

39. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς ώστε και ΑΠΑΝΤΗΣΗ

40. Έστω ώστε: και . Υπολογίστε .ΑΠΑΝΤΗΣΗ

41. Θεωρούμε τους μιγαδικούς ώστε . Αποδείξτε ότι :

.ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=2593http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3828642. Επιλύστε στο το σύστημα και Από ολυμπιάδα της Ρουμανίας για το 2009 απευθύνεται στους μαθητές της X τάξης (α λυκείου)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

43. Έστω οι μιγαδικοί z με να αποδείξετε ότι .ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=13679http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=38241

44. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

45. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε .

Από το βιβλίο των Adreescu & Andrica σελ. 166.ΑΠΑΝΤΗΣΗ

46. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: .

Βρείτε την τιμή της παράστασης: .

(1990 China High School Math Contest).ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μιγαδικοί 46

47. Έστω και για κάθε , με . Αν είναι ,

αποδείξτε ότι οι εικόνες των είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3829448. Έστω , μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης . Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

49. Αν αποδείξτε ότι : .

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=3829750. Έστω . Αποδείξτε ότι:

. [G.M. 2/2003].

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

51. Έστω ώστε και . Αποδείξτε ότι:

mathematica.gr • Προβολή θέματος - Μιγαδικοί 51

52. Έστω ακέραιος και οι μιγαδικοί διαφορετικοί ανά δύο και με ίσα μέτρα. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών

είναι συνευθειακά σημεία.

Μιγαδικοί 5253. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις σχέσεις:

και

Εάν είναι οι αντίστοιχες εικόνες των στο μιγαδικό επίπεδο, να

υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου Rice University Math Tournament 2012

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

54. Αν τυχαίοι μη μηδενικοί μιγαδικοί και αποδείξτε την

ανισότητα . [G.M. 10/2003] .ΑΠΑΝΤΗΣΗ

55. Αποδείξτε ότι για κάθε μιγαδικό ισχύει η σχέση [Διαγωνισμός «Victor Valcovici» Valcea , Romania 20/2/2004, το θέμα πρότεινε ο καθηγητής Laurentiu Panaitopol]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

56. Έστω οι μιγαδικοί τέτοιοι ώστε

Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών και είναι ισόπλευρα.[Διαγωνισμός «Cezar Ivanescu» Valcea , Romania 20/2/2004]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

57. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς που ικανοποιούν συγχρόνως τις παρακάτω ισότητες:

, .[Προτεινόμενη για Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας 2004]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μιγαδικοί 5758. Τρεις μιγαδικοί αριθμοί έχουν μέτρο και ικανοποιούν την ισότητα

. Αποδείξτε, ότι: Α) Β)

Δ) Αν οι είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των είναι ορθογώνιο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

59. Έστω οι μιγαδικοί ώστε . Αποδείξτε ότι: Α) Β)

Γ) και

Δ) το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των είναι ισόπλευρο.ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μιγαδικοί 5960. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ώστε για κάθε

να είναι . Αν ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τη

σχέση: τότε να αποδείξετε ότι: .

Πανελλαδικές εξετάσεις 2013 Μάιος . ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Mathematica.gr 1

Documents

Transcript of Mathematica.gr 1

Lecture № 1 1

METHODOS TAMBOURA · Βλέπω καράβια κι έρχονται ... 0 2 1 1 1 1 0 1 3 5 1 0 1 3 1 0. Χορός των Μαχαιριών , Καππαδοκίας ...

Εισαγωγή (1/1)

7.INVERSE TRIGONOMETIC FUNCTIONS · 18. 2 1 x 2 1 3sin 1 x sin 1 3x 4x3 for ≤ ≤ x 1 2 1 3cos−1 x = cos−1 4x3 −3x for ≤ ≤ x 3 1 3 1 for 1 3x 3x x 3 xtan 2 3 1 1 − ≤

sel 1-22_Layout 1

PRICE LIST EQUIPMENT · 2015. 4. 13. · 1 1 350.000 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 900.000 Full Packages Full Packages 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... EF 85mm f/1.2L USM EF 135mm f/1.2L USM 1

Ariel Rosenfeld 1. 2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 Network Traffic Engineering. Call Record Analysis. Sensor Data Analysis. Medical, Financial Monitoring. Etc,

aula 1 MRU (1)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Λύσεις θεμάτων 2014 (mathematica.gr)

Το - mathematica.gr · 2013-11-04 · μουσική με μπουζουκάκι και με όλα τα ωραία της νύχτας. Επειδή εμείς οι ´Ελληνες

1/1-31/12/2015 1/1-31/12/2014 1/1-31/12/2015 1/1-31/12 ... · (Δημοσιευόμενα βάσει του κ.ν. 4308/2014 άρθρο 37.2 για επιχειρήσεις που

3.5 Η συνάρτηση y=α/χ- Η υπερβολή - mathematica.gr...αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Οι τιμές των χ,y είναι θετικοί αριθμοί

ΦΥΛΛΑΔIO_ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ_2014_(1) (1)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ,MATHEMATICA.GR

N.Maragos 1 , S.Maltezos 1 , V.Gika 1 , E. Fokitis 1 , T.Omatsu 2

1 Οδηγίες Ασφαλείας 1 - Propellerclub€¦ · c6.1.6/0313-0513/e 1 Οδηγίες Ασφαλείας.....1 1.1 Επεξήγηση Εικόνων .....1

QUESTION PAPER CODE 65/1/B EXPECTED … · EXPECTED ANSWERS/VALUE POINTS SECTION - A 1. x = 2 , y = 9 (½ for correct x or y) ... –1 2 –1 1 x 1 cos cos 1 (x 1) 1 sin sin 2 1

Trigonometry - Cyberchalky! | Combining Tech & Teach! · PDF file1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ANS WERS pa ge 153 x 18° 36) h 25° 30m) 74

ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis B - mathematica.gr · Γ Λυκείου –Μ 2 ΠΑ 2.01 Να f(x) x - 2 5 2.02 Να 0 η συνάρτ 2.03 Αν βρείτε τα α παραγωγίσι

1 (1-17)^^^