LA CIRCONFERENZA

Lezione

Prof.ssa Monica Fiaschi

DEFINIZIONE

Sia C un punto di coordinate α e β ; C(α, β ) Definiamo circonferenza il luogo geometrico dei

punti del piano P(x,y) aventi distanza r da C.Per definizione si ha

Cioè (1)

rCP

22 rCP

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DIMOSTRAZIONE

Calcoliamo PC utilizzando la Formula per calcolare la distanza traDue punti

Quindi

22 )()( yxCP

222 )()( yxCP

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Sostituiamo quanto trovato nella formula (1) ricavando

questa che abbiamo trovato rappresenta l’equazione della circonferenza di centro C(α,β) e raggio r.

Ovviamente se il centro della circonferenza è l’origine la formula precedente diventa

222 ryx

222 )()( yxr

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Nella formula 2) sono state sostituite le coordinate dell’origine

• Osservazione

Tutte le volte che ti viene assegnato il raggio e le coordinate del centro, per trovare l’equazione della circonferenza dovrai utilizzare la formula 2), sostituire in essa le coordinate del centro ed il valore del raggio.

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Esempio

• Trova l’equazione della circonferenza di raggio r = 2 e centro C(1,2).

• Per prima cosa scrivo la formula che devo utilizzare

Sostituisco in essa i dati cioè , R =2 trovo

222 )( ryx 1 2

4)21 22 yxProf.ssa Monica Fiaschi

Facciamo i calcoli

• Attenzione!! Ci sono due quadrati di binomio da risolvere

Ordiniamo

44412 22 yyxx

014222 yxyx

Prof.ssa Monica Fiaschi

Prova tu per vedere se hai capito prova a

calcolare l’equazione della circonferenza sapendo che il raggio

è ed il centro è C(-1,0)20

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Problema inverso

• Abbiamo visto come si può calcolare l’equazione di una circonferenza conoscendo il centro e il raggio.

• Affrontiamo ora il problema inverso e più precisamente come si può determinare il raggio e il centro di una circonferenza se si conosce l’equazione della circonferenza?

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Riprendiamo la formula 2) e sviluppiamola

Ordiniamo

Poniamo a = -2α b = -2β c = L’equazione precedente può essere scritta in un

modo più semplice da ricordare e cioè

022 22222 ryyxx

022 22222 ryxyx 222 r

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3)Osserva che nell’equazione 3) deve mancare

sempre il termine xy, inoltre il coefficiente di

deve essere uguale a quello di E comunque entrambi devono essere sempre

uguali ad 1.

022 cbyaxyx

2x2y

Prof.ssa Monica Fiaschi

Riprendiamo le nostre sostituzioniDa a =-2α ricavo α che vi ricordo è l’ascissa del

centro analogamente ricavo

ed infine o anche

2

a

2

b

cr 22

cbar 42

1 22

Prof.ssa Monica Fiaschi

In conclusione …• Se è una circonferenza;• Se è un punto (circ. degenere);• Se non rappresenta alcun

punto !!!

0422 cba

0422 cba

0422 cba

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