© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 1

KİRİŞLERDE ÇÖKME

EIPx

EI)x(M1

−==ρ

• Serbest uçta (A),

∞== AA

ρρ

,01

PLEI

BB

=≠ ρρ

,01

• Ankastre uçta (B),

Elastik eğrinin diferansiyel denklemi

2

2

232

2

2

1

1dx

yd

dxdy

dxyd

≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=ρ

( )EI

xMdx

yd12

2

==ρ

Küçük çökmeler için;

( )xMdx

ydEI 2

2

=

• İntegral alınarak eğim (θ=dy/dx) ve çökmenin (y) denklemleri bulunur. Sınır şartları yazılarak integral sabitleri bulunur.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 2

Örnek Integrasyon Metodu ile Çözümler

Şekildeki yükleme durumu için kirişin A noktasındaki çökmeyi ve eğim açısını bulunuz.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 3

Örnek: Şekildeki yükleme durumu için kirişin C noktasındaki çökmeyi ve eğim açısını bulunuz.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 4

Örnek: Şekildeki yükleme durumu için maksimum çökmeyi ve eğimi açısını bulunuz.

L/2 L/2

P

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 5

Örnek: Şekildeki yükleme durumu için kirişteki maksimum çökmeyi A noktasındaki eğim açısını bulunuz.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 6

Örnek: Şekildeki yükleme durumu için kirişin D noktasındaki çökmeyi ve eğim açısını bulunuz.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 7

M

M

ACD

2x

Moment-Alanı Metodu

M

∫

∫∫

=−

=

==

D

C

D

C

D

C

x

xCD

x

x

dxEIM

dxEIMd

EIM

dxyd

dxd

θθ

θ

θ

θ

θ

2

2

Değişik yüklere maruz bir kiriş göz önüne alınırsa:

C ve D arasındaki moment alanı1. Moment-Alanı Teoremi:

=CDθEI

∫=

==

D

C

x

xDC dx

EIMxt

dxEIMxdxdt

1

11 θ

2. Moment-Alanı Teoremi:

t DC =EI

EIxA

t 1CDDC

⋅=

EIxA

t 2CDCD

⋅=

=DCtC noktasının D’yegöre teğetsel değişimi

C ve D arasındaki moment alanının

C’ye göre statik momenti

Çökme eğrisi

Referans teğet

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 8

L/2 L/2

PSimetrik Yükleme:Örnek:

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 9

Örnek:

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 10

Simetrik olmayan Yükleme:

ADAD θθθ +=

ABADD

D

AB

tLxty

EFEDy

tLxEF;

LHB

xEF

−=

−=

==

Lt

tan ABAA −=≈θθ

Saat ibreleri yönündeki açılar (-), zıt yön (+) alınır.

?FDyD ==

ADt ABt

D

F

ADθ

Maksimum Çökme

AKAK

ABA

0L

t

θθθ

θ

+==

−=

Maksimum çökmenin olduğu bir K noktasında eğim “0” dır. Yani, teğet yataydır.

AAK θθ −=

ymax değeri, A ve K arasındaki moment alanının A dan geçen düzey eksene göre statik momentinin EI değerine bölünmesi ile bulunabilir.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 11

Örnek:

L/4 3L/4

P

D

Şekildeki yükleme durumu için kirişin D noktasındaki çökmeyi, eğim açısını ve maksimum çökmeyi bulunuz.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 12

Statikçe belirsiz (hiperstatik) sistemler

Statik Denge:

000 =∑=∑=∑ Ayx MFF

4 bilinmeyen: Ax, Ay, B, MA

3 denklem:

Çözüm için sınır şartlarından yararlanarak ilave denklem/denklemler yazmak gerekir.

Örnek: Şekildeki yükleme durumu için mesnet noktalarındaki reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

9- 13

Örnek: Şekildeki yükleme durumu için yay kuvvetini bulunuz.

L/2 L/2kC