Triangles Gog et Magog

Philippe Biane

Ecole Polytechnique

12 avril 2017

Philippe Biane Gog et Magog

Determinants∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31

det(aij) =∑p∈Pn

ε(p)∏ij

apijij

Pn est l’ensemble des matrices de permutation

Philippe Biane Gog et Magog

L’identite de Jacobi∣∣∣∣∣∣∣∣• • • •• • • •• • • •• • • •

∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣∣∣∣∣. . . .. • • .. • • .. . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣

• • • .• • • .• • • .. . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣∣∣∣∣. . . .. • • •. • • •. • • •

∣∣∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣∣∣. • • •. • • •. • • •. . . .

∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣∣∣∣∣

. . . .• • • .• • • .• • • .

∣∣∣∣∣∣∣∣×∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

Philippe Biane Gog et Magog

L’algorithme de Lewis Carroll

Il permet de calculer un determinant d × d en ne calculant que desdeterminants 2× 2.

Exemple

1 4 6 0

2 1 −3 1

3 2 1 5

3 2 2 0

Philippe Biane Gog et Magog

I on initialise deux matrices:

A =

1 4 6 0

2 1 −3 1

3 2 1 5

3 2 2 0

B =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

I

1 4 6 0−7/1

2 1 −3 1

3 2 1 5

3 2 2 20

1 1 1

11 1 1

1 1 1

Philippe Biane Gog et Magog

I on initialise deux matrices:

A =

1 4 6 0

2 1 −3 1

3 2 1 5

3 2 2 0

B =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

I

1 4 6 0−7/1

2 1 −3 1

3 2 1 5

3 2 2 20

1 1 1

11 1 1

1 1 1

Philippe Biane Gog et Magog

I

1 4 6 0−7 −18 6

2 1 −3 11 7 −16

3 2 1 50 2 −10

3 2 2 0

1 1 1

1 −31 1 1

2 11 1 1

I −7 −18 6

1 7 −16

0 2 −10

1 −3

2 1

Philippe Biane Gog et Magog

I

1 4 6 0−7 −18 6

2 1 −3 11 7 −16

3 2 1 50 2 −10

3 2 2 0

1 1 1

1 −31 1 1

2 11 1 1

I

−7 −18 6

1 7 −16

0 2 −10

1 −3

2 1

Philippe Biane Gog et Magog

I −7 −18 6

−31 −821 7 −16

1 −380 2 −10

1 −3

72 1

I −31 −82

1 −38

(7)

I

det(A) =(−31).(−38)− (1).(−82)

7= 180

Philippe Biane Gog et Magog

I −7 −18 6

−31 −821 7 −16

1 −380 2 −10

1 −3

72 1

I −31 −82

1 −38

(7)

I

det(A) =(−31).(−38)− (1).(−82)

7= 180

Philippe Biane Gog et Magog

I −7 −18 6

−31 −821 7 −16

1 −380 2 −10

1 −3

72 1

I −31 −82

1 −38

(7)

I

det(A) =(−31).(−38)− (1).(−82)

7= 180

Philippe Biane Gog et Magog

On peut appliquer cet algorithme a une matrice

M = (Mij)

dont les coefficients sont des indeterminees.

Le resultat est un polynome.

Philippe Biane Gog et Magog

Le λ-determinant

Invente par David Robbins en 1983.

Dans l’algorithme de L. Carroll on remplace∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

par ∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣λ

= ad + λbc

Le resultat est surprenant: c’est un polynome de Laurent en lescoefficients de la matrice.

Philippe Biane Gog et Magog

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣λ

= a11a22a33 + λ2a12a23a31 + λ2a13a21a32

+λa11a23a32 + λa12a21a33 + λa13a22a31

+λ(1 + λ)a12a21a23a32a22

Philippe Biane Gog et Magog

Theoreme:

(Mills, Robbins, Rumsey)

detλ(A) =∑

M∈ASM(d)

(1 + λ)s(M)λi(M)∏ij

AMij

ij

La somme porte sur l’ensemble des matrices a signes alternants quisont a coefficients dans {−1, 0, 1}

i(M)=nombre d’inversions.s(M)=nombre de −1.

C’est un exemple du “phenomene de Laurent”, au coeur de latheorie des algebres amassees.

Philippe Biane Gog et Magog

Matrices a signes alternants

I Matrices a coefficients dans {−1, 0, 1}0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0

I dans chaque rangee et chaque colonne, les 1 et les −1alternent, en commencant et terminant par 1.

11 −1 1

11

1

En particulier, les ASM sans coefficient −1 sont lespermutations.

Philippe Biane Gog et Magog

Matrices a signes alternants

I Matrices a coefficients dans {−1, 0, 1}0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0

I dans chaque rangee et chaque colonne, les 1 et les −1

alternent, en commencant et terminant par 1.1

1 −1 11

11

En particulier, les ASM sans coefficient −1 sont lespermutations.

Philippe Biane Gog et Magog

Modeles de lacets compacts / Modele a six sommets

• • • • • •

Philippe Biane Gog et Magog

Triangles Gog

I Une ASM 0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0

I Sommes partielles sur les colonnes1 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 0 00 0 1 0 0

Un seul 1 par ligne

Philippe Biane Gog et Magog

Triangles Gog

I Une ASM 0 0 0 1 01 0 0 −1 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0

I Sommes partielles sur les colonnes

1 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 0 00 0 1 0 0

Un seul 1 par ligne

Philippe Biane Gog et Magog

1 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 0 00 0 1 0 0

On note les positions des 1

1 2 3 4 51 2 3 5

2 3 42 3

3

Philippe Biane Gog et Magog

1 2 3 4 51 2 3 5↘ 2 3 4 ↗

2 33

I Triangle Gog = triangle de Gelfand-Tsetlin = les lignes sontentrelacees

I strictement croissant sur chaque ligne

I la ligne du haut est 1, 2, 3, . . . , n.

Philippe Biane Gog et Magog

1 2 3 4 51 2 3 5↘ 2 3 4 ↗

2 33

I Triangle Gog = triangle de Gelfand-Tsetlin = les lignes sontentrelacees

I strictement croissant sur chaque ligne

I la ligne du haut est 1, 2, 3, . . . , n.

Philippe Biane Gog et Magog

1 2 3 4 51 2 3 5↘ 2 3 4 ↗

2 33

I Triangle Gog = triangle de Gelfand-Tsetlin = les lignes sontentrelacees

I strictement croissant sur chaque ligne

I la ligne du haut est 1, 2, 3, . . . , n.

Philippe Biane Gog et Magog

Enumeration des matrices a signes alternants

Le nombre de matrices a signes alternants de taille n est

An =n−1∏j=0

(3j + 1)!

(n + j)!

An = 1 2 7 42 429 7436 218348

Conjecture par Mills, Robbins, Rumsey (1986).

Demontre par D. Zeilberger (1995).

Il y a d’autre preuves par G. Kuperberg, I. Fischer . . .

Philippe Biane Gog et Magog

Partitions

Ce sont des empilements de carres dans un coin.

8 = 4 + 3 + 1

Enumeration (formule d’Euler):

∑λ∈P

q|λ| =∞∏n=1

1

(1− qn)= 1 + q + 2q2 + 3q3 + 5q4 + 7q5 + . . .

Philippe Biane Gog et Magog

Partitions planes

Ce sont des empilements de cubes dans un coin.

Formule de Mac Mahon

∑π∈PP

q|π| =∞∏n=1

1

(1− qn)n= 1 + q + 3q2 + 6q3 + . . .

Philippe Biane Gog et Magog

Partitions planes totalement symetriques, auto-complementaires

Partitions planes, avec toutes les symetries de l’hexagone, etegales a leur complementaire dans le cube.

Philippe Biane Gog et Magog

Les TSSCPPs sont codees par des chemins non intersectants.

Philippe Biane Gog et Magog

On peut utiliser la methode de Lindstrom Gessel Viennot pourcalculer le nombre de ces chemins sous la forme d’un determinantde coefficients binomiaux.

Philippe Biane Gog et Magog

Enumeration des TSSCPP

Bn =n−1∏j=0

(3j + 1)!

(n + j)!

Bn = 1 2 7 42 429 7436 218348

Bn = An

G. Andrews, 1994

Probleme: trouver une preuve bijective.

Philippe Biane Gog et Magog

Proofs and confirmations.The story of the alternating sign matrix conjecture.

de David M. Bressoud

Philippe Biane Gog et Magog

Triangles Magog

1 1 2 2 4 ≤ 51 1 2 3 ≤ 4↘ 1 1 3 ↗ ≤ 3

1 2 ≤ 21 ≤ 1

Ils codent les TSSCPPs.

1

1

2

1

2

1

1 1 21 2

1

Probleme: trouver une bijection entre triangles Gog et Magog.

Philippe Biane Gog et Magog

1 2 3 4 51 2 3 5

2 3 42 3

3

Triangles Gog: strictement croissants sur chaque rangee, la rangeedu haut est 1, 2, 3, . . . , n.

1 1 2 2 4 ≤ 51 1 2 3 ≤ 4

1 1 3 ≤ 31 2 ≤ 2

1 ≤ 1

Triangles Magog

Philippe Biane Gog et Magog

1 2 31 2

1

1 2 31 3

1

1 2 31 2

2

1 2 31 3

2

1 2 31 3

3

1 2 32 3

2

1 2 32 3

3

Triangles Gog

1 1 11 1

1

1 1 21 1

1

1 1 31 1

1

1 1 21 2

1

1 1 31 2

1

1 2 21 2

1

1 2 31 2

1

Triangles Magog

Philippe Biane Gog et Magog

Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler, 1596

Philippe Biane Gog et Magog

Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler, 1596

Philippe Biane Gog et Magog

Philippe Biane Gog et Magog

Trapezes Gog et Magog.

Les k diagonales SO-NE (a droite) d’un triangle Gog (ou Magog)forment un trapeze.

3 4 52 3 5

2 3 42 3

3

2 2 41 2 3

1 1 31 2

1

Trapezes Gog et Magog de taille (5, 3).

D’apres Zeilberger (1995), pour chaque (n, k) les trapezes Gog etMagog sont equienumeres.

Philippe Biane Gog et Magog

StatistiquesGog

1 2 3 4 51 2 3 5

2 3 42 3

3

Magog

1 1 2 2 41 1 2 3

1 1 31 2

1

1 + 1 + 2 + 2 + 4− (1 + 1 + 2 + 3) = 3

Philippe Biane Gog et Magog

Completion d’un triangle Gog

1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 7

1 2 3 4 71 2 4 7

1 4 74 7

4

Completion d’un triangle Magog

1 1 1 3 41 1 1 4

1 1 11 1

1

Philippe Biane Gog et Magog

On peut trouver une bijection qui preserve les statistiques:

si a < c

a bc

−→ a ba + b − c

sinon

a ba

−→ a b − 1b − 1

Philippe Biane Gog et Magog

La bijection est obtenue en deux etapes:1.

a bc

→ a bc

a < c

ou

a ba

→ a b − 1a

2.

a bc

→ a ba + b − c

Philippe Biane Gog et Magog

Generalisation

1 amene a considerer les inversions.

2 amene a considerer l’involution de Schutzenberger.

Philippe Biane Gog et Magog

L’Involution de Schutzenberger

•• •

a c

x• •

b d

•• •

•• •

a c

a ∨ b − x + c ∧ d•

•

b d

•• •

Philippe Biane Gog et Magog

On applique cette transformation dans la rangee i

1 1 2 2 41 1 2 3

1 1 3rangee 2 → 1 2

1

c’est si

L’involution de Schutzenberger est

S = (s1s2s3 . . . sn−1)(s1s2 . . . sn−2) . . . (s1s2)s1

Philippe Biane Gog et Magog

Inversions d’un triangle Gog

1 2 3 4 5 6

1 2 3 5 6

1 2 5 6

2 4 5

2 5

2

Pour les permutations ce sont exactement les inversions de lapermutation

Philippe Biane Gog et Magog

La bijection: on part d’un triangle Magog

I Etape 1: pour chaque inversion, on enleve 1 aux coefficients

au nord-est.

∗ ∗ ∗ b

a

b − 1

a− 1

∗∗ x ∗∗ x ∗∗ ∗∗

I Etape 2: on applique Schutzenberger

Philippe Biane Gog et Magog

La bijection: on part d’un triangle Magog

I Etape 1: pour chaque inversion, on enleve 1 aux coefficients

au nord-est.

∗ ∗ ∗

b

a

b − 1

a− 1

∗∗ x ∗∗ x ∗∗ ∗∗

I Etape 2: on applique Schutzenberger

Philippe Biane Gog et Magog

La bijection: on part d’un triangle Magog

I Etape 1: pour chaque inversion, on enleve 1 aux coefficients

au nord-est.

∗ ∗ ∗

b

a

b − 1

a− 1

∗∗ x ∗∗ x ∗∗ ∗∗

I Etape 2: on applique Schutzenberger

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

5

3

4

42

3

31

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

5

3

4

42

3

31

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

5

3

4

42

3

31

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

5

3

4

42

3

31

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

5

3

4

4

2

3

31

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

5

3

4

4

2

3

31

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

53

4

4

2

3

3

1

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

53

4

4

2

3

3

1

3

31 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

53

4

42

3

3

1

3

3

1 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

53

4

42

3

3

1

3

3

1 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

cela marche pour les trapezes (n, 1):

1

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

3

3

3

2

2

2

1

1

2

4

5

53

4

42

3

31

3

3

1 1 1 1 3

1 1 1 2

1 1 2

1 2

1

Philippe Biane Gog et Magog

On peut modifier cette bijection pour les trapezes (n, 2).

Philippe Biane Gog et Magog

Triangles GOGAm

Ce sont les images par Schutzenberger des triangles Magog.

Philippe Biane Gog et Magog

Pentagones

on les extrait en prenant des diagonales a droite, a gauche et leslignes du bas.

1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 5 6 7 8 9

1 3 4 5 6 7 91 3 4 6 8 9

2 3 5 6 83 4 6 7

3 5 64 6

5

Un (9, 4, 6, 7) pentagone Gog

Philippe Biane Gog et Magog

Conjecture:

Les pentagones Gog et GOGAm de la meme taille sontequienumeres.

Philippe Biane Gog et Magog

Preuves pour les trapezes avec deux diagonales:a droite:

4 5

4 5

3 4

1 3

2

Philippe Biane Gog et Magog

ou a gauche:

1

1

1

2

3

3

3

2

2

4

4

4

4

Philippe Biane Gog et Magog

Merci de votre attention

Philippe Biane Gog et Magog