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Fourier-Transformation
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen
17. Oktober, 2017
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 1 / 57
Inhalt
1 EinleitungSignaldarstellungFourier-TransformationSignalraume
2 Mathematische GrundlagenKomplexe Zahlen CVektorraume von Funktionen
3 Fourier-ReiheL2([−π, π))Satz von FourierFourier-ReiheKomplexe Fourier-Reihe
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 2 / 57
Inhalt
4 Fourier TransformationL2(R)HerleitungBeispiele
5 Diskrete Fourier Transformation`2(Z/N)Diskrete Fourier-TransformationLaufzeit
6 Short Time Fourier-TransformationDefinitionSpektrogramme
7 Literaturverzeichnis
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 3 / 57
Einleitung
Signaldarstellung
Fourier-Transformation
Signalraume
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 4 / 57
Signaldarstellung: Was ist ein Signal?
Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Ja, denn die Funktionen sind Signale.
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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?
Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?
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Ja, denn die Funktionen sind Signale.
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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?
Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?
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Ja, denn die Funktionen sind Signale.
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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?
Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?
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Ja, denn die Funktionen sind Signale.
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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?
Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?
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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?
Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?
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Ja, denn die Funktionen sind Signale.
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Signaldarstellung: Zeitdomane
Signale sind Funktionen f : R→ R oder f : Z→ R, die die Zeit t aufeinen reellen Funktionswert f (t) abbilden und messbar sind.
f (t) reprasentiert eine physikalische Große, z.B. den Luftdruck derSchallwelle (in dB) oder die Stromspannung eines analogen Signals(in V).
Zeitdomane
Sei R := {Z,R} gegeben.Wird ein Signal f : R → R, t 7→ f (t) in Abhangigkeit von der Zeit tdargestellt, so ist f eine Funktion der Zeitdomane.
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Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?
Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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ω
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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ω
Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.
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Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?
Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?
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Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.
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Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?
Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.
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Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?
Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?
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Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.
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Signaldarstellung: Frequenzdomane
Das Spektrum eines Signals ist eine Funktion f : R→ R oderf : Z→ R, die die Frequenz ω auf einen reellen Funktionswert f (ω)abbildet.
f (ω) beschreibt die Amplitude der Schwingungen mit der Frequenz ω.
Frequenzdomane
Sei R := {Z,R} gegeben.Das Spektrum f : R → R, ω 7→ f (ω) eines Signals ist eine Funktion derFrequenzdomane.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 8 / 57
Signaldarstellung: Spektrogramme
Gibt es eine Moglichkeit Zeit- und Frequenzdomane in einer Darstellung zuvereinen?
Spektrogramm
Ein Spektrogramm ist ein zwei- bzw. dreidimensionales Diagramm,welches die Frequenzen eines Signals in Abhangigkeit der Zeit darstellt.
Die x-Achse beschreibt die Zeit t, die y-Achse die Frequenz ω und diefarbliche Kodierung bzw. die z-Achse zeigt die Amplitude (Intensitat) derFrequenz an.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 9 / 57
Signaldarstellung: Spektrogramme
Gibt es eine Moglichkeit Zeit- und Frequenzdomane in einer Darstellung zuvereinen?
Spektrogramm
Ein Spektrogramm ist ein zwei- bzw. dreidimensionales Diagramm,welches die Frequenzen eines Signals in Abhangigkeit der Zeit darstellt.
Die x-Achse beschreibt die Zeit t, die y-Achse die Frequenz ω und diefarbliche Kodierung bzw. die z-Achse zeigt die Amplitude (Intensitat) derFrequenz an.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 9 / 57
Spektrogramm
Beispiel
Welche Frequenzensind im Signaldominant?:
ω1 = 100Hz
ω2 = 250Hz
ω3 = 200Hz
ω4 = 400Hz
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57
Spektrogramm
Beispiel
Welche Frequenzensind im Signaldominant?:
ω1 = 100Hz
ω2 = 250Hz
ω3 = 200Hz
ω4 = 400Hz
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57
Spektrogramm
Beispiel
Welche Frequenzensind im Signaldominant?:
ω1 = 100Hz
ω2 = 250Hz
ω3 = 200Hz
ω4 = 400Hz
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57
Spektrogramm
Beispiel
Welche Frequenzensind im Signaldominant?:
ω1 = 100Hz
ω2 = 250Hz
ω3 = 200Hz
ω4 = 400Hz
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57
Spektrogramm
Beispiel
Welche Frequenzensind im Signaldominant?:
ω1 = 100Hz
ω2 = 250Hz
ω3 = 200Hz
ω4 = 400Hz
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57
Einleitung: Fourier-Transformation
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, um einSignal von der Zeit- in die Frequenzdomane zu transformieren undumgekehrt:
Signal Fourier-Transformation Spektrum
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 11 / 57
Einleitung: Fourier-Transformation
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, um einSignal von der Zeit- in die Frequenzdomane zu transformieren undumgekehrt:
Signal Fourier-Transformation Spektrum
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 11 / 57
Fourier-Transformation: Anwendungen
Die Fourier-Transformation wird in der Musikverarbeitung unter Anderemfur:
die Spektralanalyse von Signalen,
die Analyse von Musik (→ Pitch and Chord Recognition)
das Filtern von Signalen
die Implementierung von Equalizer
benutzt.Weiterhin findet die Fourier-Transformation Anwendung in Bereichen wie:
Bildverarbeitung,
Magnetresonanztomographie.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 12 / 57
Signalraume
Um Signale in Spektren zu zerlegen, teilen wir die Signale in dreiSignalraume:
Signale
kontinuierliche,periodische Signale
kontinuierliche,aperiodische Signale
zeitdiskreteSignale
Fourier-ReiheFourier-
TransformationFourier-
Transformation
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Mathematische Grundlagen
Komplexe Zahlen CSatz von Euler
Polardarstellung
Vektorraume von Funktionen
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 14 / 57
Mathematische Grundlagen: Komplexe Zahlen C
Definition: CDie Menge C der komplexen Zahlen ist gegeben durch:
C := {x + iy | x , y ∈ R},
wobei i2 = −1 gilt. Der Real- und Imaginarteil einer komplexen Zahlz = x + iy ist gegeben durch:
Re(z) := x , Im(z) := y
Der Betrag von z ist gegeben durch:
|z | :=√
x2 + y2
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 15 / 57
Mathematische Grundlagen: Satz von Euler
Satz: Euler-Identitat
Die Euler-Identitat ist gegeben durch:
e ix = cos(x) + i · sin(x)
Daraus folgt die Darstellung von Sinus und Kosinus:
cos(x) = Re(e ix) =1
2(e ix + e−ix)
sin(x) = Im(e ix) =1
2i(e ix − e−ix)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 16 / 57
Mathematische Grundlagen: Polardarstellung
z ∈ C kann zur Reprasentation zweier Variablen x , y ∈ R genutzt werden.Diese konnen als Real- und Imaginarteil kodiert sein oder als:
Polardarstellung
Sei |z |, γ ∈ R, dann ist:
z = |z | · e iγ ∈ C
die Polardarstellung von z , wobei |z | der Betrag von z ist und γ derWinkel von z bezuglich des Einheitskreises ist. Aus der Polardarstellungfolgt:
C = {x + iy | x , y ∈ R} = {|z | · e iγ | |z |, γ ∈ R}
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 17 / 57
Mathematische Grundlagen: Polardarstellung
Zusammenhang zwischen Polardarstellung, Real- und Imaginarteil
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
0
Re(z)
Im(z)
Einheitskreis
z = 2 + 2i
γ 1
1
cos(γ)
sin(γ)e iγ
45◦
Jeder Punkt der GausschenZahlenebene kann alsKombination eines Vektor imEinheitskreis mit Winkel γund eines Skalars |z |dargestellt werden.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 18 / 57
Mathematische Grundlagen: Vektorraume von Funktionen
Lineare Funktionenraume
Es sind CR und CZ lineare Funktionenraume. Diese Funktionenraumesind Vektorraume mit Funktionen als Elemente:
CR = { f | f : R→ C}CZ = { f | f : Z→ C}
Die Addition und Skalarmultiplikation sind definiert als:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(af )(x) = a · f (x)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 19 / 57
Fourier-Reihe
L2([−π, π))
Satz von Fourier
Fourier-Reihe
Komplexe Fourier-Reihe
Fourier-Transformation fur f ∈ L2([−π, π))
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 20 / 57
Fourier-Reihe: L2([−π, π))
2π-periodische Signale
Hilbertraum : L2([−π, π)) ⊆ C[−π,π),
∫ π
−π|f (t)|2dt <∞
Beispiel
−π −π2
π2
π
−2
−1
1
2
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 21 / 57
Fourier-Reihe: Satz von Fourier
Satz von Fourier
Jede periodische Schwingung lasst sich als Summe von Sinus- undKosinusschwingungen beschreiben
Basis des L2([−π, π))
{1, cos(nt), sin(nt) | n ∈ N}
Beispiel
f (t) = sin(t) + cos(t) + 0.5 · cos(3t)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 22 / 57
Fourier-Reihe: Reihendarstellung
Reihendarstellung
Fur f ∈ L2([−π, π)) existieren a0 und ak , bk ∈ R fur k ∈ N mit:
f (t) =a02
+∞∑k=1
(akcos(kt) + bksin(kt))
Beispiel
a1 = 1, a3 = 0.5, b1 = 1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 23 / 57
Fourier-Reihe
Fourier Reprasentation
f (t) =a02
+∞∑k=1
(akcos(kt) + bksin(kt))
Fourier Transformation
Fur n ∈ N:
a0 =1
π
∫ π
−πf (t)dt
an =1
π
∫ π
−πf (t)cos(nt)dt
bn =1
π
∫ π
−πf (t)sin(nt)dt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 24 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 25 / 57
Fourier-Reihe
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829
0.5
1
1.5
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 26 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57
Fourier-Reihe
−π −π2
π2
π
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe
Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation
f (t) = a02 +
∞∑k=1
(akcos(kt) + bksin(kt))
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
Fourier Transformation
Fur n ∈ N: an = 1π
∫ π−π f (t)cos(nt)dt
Fur k ∈ Z:
ck =1
2π
∫ π
−πf (t) · e−iktdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 28 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe
Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation
f (t) = a02 +
∞∑k=1
(akcos(kt) + bksin(kt))
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
Fourier Transformation
Fur n ∈ N: an = 1π
∫ π−π f (t)cos(nt)dt
Fur k ∈ Z:
ck =1
2π
∫ π
−πf (t) · e−iktdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 28 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe
Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation
f (t) = a02 +
∞∑k=1
(akcos(kt) + bksin(kt))
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
Fourier Transformation
Fur n ∈ N: an = 1π
∫ π−π f (t)cos(nt)dt
Fur k ∈ Z:
ck =1
2π
∫ π
−πf (t) · e−iktdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 28 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe
Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation
f (t) = a02 +
∞∑k=1
(akcos(kt) + bksin(kt))
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
Fourier Transformation
Fur n ∈ N: an = 1π
∫ π−π f (t)cos(nt)dt
Fur k ∈ Z:
ck =1
2π
∫ π
−πf (t) · e−iktdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 28 / 57
Fourier-Reihe
Rechenbeispiel:f : [−π, π)→ C, t 7→ 1.5 sin(t − π
4 )
−π −π2
π2
π
−2
−1
1
2
c1 =1
2π
∫ π
−π1.5 · sin(t − π
4) · e−itdt = −1.5
√2
4− 1.5
√2
4i
c−1 =1
2π
∫ π
−π1.5 · sin(t − π
4) · e itdt = −1.5
√2
4+
1.5√
2
4i
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 29 / 57
Fourier-Reihe: Eigenschaften
Eigenschaften der komplexen Fourier Koeffizienten
Falls f nur auf reelle Werte abbildet, gilt:
ck = c−k
Somit kodieren die positiven und negativen Frequenzen die (fast) gleicheInformation, denn es gilt:∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt = f (t) = f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e−ikt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 30 / 57
Fourier-Reihe
Nun besitzen wir komplexe Fourier Koeffizienten, aus denen wir die:
Amplitude lk
Phasenverschiebung φk
bestimmen konnen und somit f (t).Wir berechnen die Amplitude:
l1 = |c1| =
√√√√(−1.5√
2
4
)2
+
(−1.5
√2
4
)2
=
√2 · 2.25 · 2
16
=
√2.25
2= 0.75 = |c−1| = l−1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 31 / 57
Fourier-Reihe
Wir formen unsere Koeffizienten in die Polardarstellung um und lesen denWinkel ab.
φ1 = −3
4π, φ−1 =
3
4π
c1 · e it = l1eiφ1 · e it
= 0.75e i(t+5π/4) = 0.75e i(t−3π/4)
c−1 · e−it = l−1eiφ−1 · e−it
= 0.75e−i(t−3π/4)
−1 1
−1
1
γ1γ−1
Damit folgt dann:
f (t) = c1eit + c−1e
−it = 0.75 · e i(t−3π/4) + 0.75 · e−i(t−3π/4)
= 1.5 sin(t − π
4)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 32 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0
Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikω0t
Fourier Transformation
Fur k ∈ Z: ck = 12π
∫ π−π f (t) · e−iktdt
ck =1
T
∫ T/2
−T/2f (t) · e−ikω0tdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0
Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikω0t
Fourier Transformation
Fur k ∈ Z: ck = 12π
∫ π−π f (t) · e−iktdt
ck =1
T
∫ T/2
−T/2f (t) · e−ikω0tdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0
Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikω0t
Fourier Transformation
Fur k ∈ Z: ck = 12π
∫ π−π f (t) · e−iktdt
ck =1
T
∫ T/2
−T/2f (t) · e−ikω0tdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57
Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0
Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikt
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikω0t
Fourier Transformation
Fur k ∈ Z: ck = 12π
∫ π−π f (t) · e−iktdt
ck =1
T
∫ T/2
−T/2f (t) · e−ikω0tdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57
Fourier Transformation
L2(R)
Herleitung
Beispiele
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 34 / 57
Fourier-Transformation: L2(R)
Aperiodische Signale
Hilbertraum : L2(R) ⊆ CR,
∫ ∞−∞|f (t)|2dt <∞
Beispiel
π2
π 3π2
2π 5π2
3π
−3−2−1
123
f (t) = 3 · cos(2t) · e−0.15t · H(t)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 35 / 57
Fourier-Transformation: Herleitung
Notwendige Umformungen
f (t) =∑
k∈(−∞,∞)
ck · e ikω0t =1√2π
∑k∈(−∞,∞)
√2π∆ω
∆ω· ck · e ikω0t
=1√2π
∑k∈(−∞,∞)
F (ωk) · e iωk t ·∆ω
F (ωk) =
√2π · ck∆ω
=
√2π · Tck
2π=
T√2π
1
T
∫ T/2
−T/2f (t) · e−ikω0tdt
=1√2π
∫ T/2
−T/2f (t) · e−iωk tdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 36 / 57
Fourier-Transformation: Herleitung
T →∞
f (t) = limT→∞
1√2π
∑k∈(−∞,∞)
F (ωk) · e iωk t ·∆ω
=1√2π
∫ ∞−∞
F (ω) · e iωtdω
F (ω) = limT→∞
1√2π
∫ T/2
−T/2f (t) · e−iωk tdt
=1√2π
∫ ∞−∞
f (t) · e−iωtdt
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 37 / 57
Fourier-Transformation: Rechenbeispiel
f (t) = 3 · cos(2t) · e−0.15t · H(t)
F (ω) =1√2π
∫ ∞−∞
f (t) · e−iωtdt
=1√2π
∫ ∞−∞
3 · cos(2t) · e−0.15t · H(t) · e−iωtdt
=1√2π
∫ ∞0
3 · cos(2t) · e−0.15t · e−iωtdt
=3
2√
2π
∫ ∞0
(e2it + e−2it) · e−0.15t · e−iωtdt
=3
2√
2π
∫ ∞0
e2it−0.15t−iωt + e−2it−0.15t−iωtdt
=3
2√
2π
(∫ ∞0
e(2i−0.15−iω)tdt +
∫ ∞0
e(−2i−0.15−iω)tdt
)Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 38 / 57
Fourier-Transformation: Rechenbeispiel
F (ω) =3
2√
2π
(∫ ∞0
e(2i−0.15−iω)tdt +
∫ ∞0
e(−2i−0.15−iω)tdt
)=
3
2√
2π(
[1
2i − 0.15− iωe(2i−0.15−iω)t
]∞0
+
[1
−2i − 0.15− iωe(−2i−0.15−iω)t
]∞0
)
=3
2√
2π
(0− 1
2i − 0.15− iω+ 0− 1
−2i − 0.15− iω
)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 39 / 57
Fourier-Transformation: Rechenbeispiel
F (ω) =3
2√
2π
(0− 1
2i − 0.15− iω+ 0− 1
−2i − 0.15− iω
)=
3
2√
2π
(− 1
2i − 0.15− iω− 1
−2i − 0.15− iω
)= − 3
2√
2π
(1
−0.15 + (2− ω)i+
1
−0.15− (2 + ω)i
)= − 3
2√
2π
(−0.15− (2− ω)i
0.152 + (2− ω)2+−0.15 + (2 + ω)i
0.152 + (2 + ω)2
)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 40 / 57
Fourier-Transformation
−3 −2 −1 1 2 3−1134
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5-3i-1i1i3i
−3 −2 −1 1 2 3-1134
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 41 / 57
Fourier-Transformation
−3 −2 −1 1 2 3−1134
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5-3i-1i1i3i
−3 −2 −1 1 2 3-1134
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 41 / 57
Fourier-Transformation
−3 −2 −1 1 2 3−1134
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5-3i-1i1i3i
−3 −2 −1 1 2 3-1134
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 41 / 57
Fourier-Transformation
1 2 3 4
−1
1
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 42 / 57
Fourier-Transformation
−10 −5 5 10−1−0.5
0.51
−10 −5 5 10-1i
-0.5i
0.5i1i
−10 −5 5 10−1−0.5
0.51
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 43 / 57
Fourier-Transformation
−10 −5 5 10−1−0.5
0.51
−10 −5 5 10-1i
-0.5i
0.5i1i
−10 −5 5 10−1−0.5
0.51
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 43 / 57
Fourier-Transformation
−10 −5 5 10−1−0.5
0.51
−10 −5 5 10-1i
-0.5i
0.5i1i
−10 −5 5 10−1−0.5
0.51
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 43 / 57
Diskrete Fourier Transformation
`2(Z/N)
Diskrete Fourier-Transformation
Laufzeit
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 44 / 57
DFT: `2(Z/N)
Diskrete Signale
Hilbertraum : `2(Z)→ `2(Z/N),N−1∑k=0
|f(k · T
N
)|2 <∞
`2(Z/N) ⊆ CZ/N
Example
−π −π2
π2
π
−2
−1
1
2
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 45 / 57
DFT
Fur 0 ≤ k , j < N:
Fourier Reprasentation
f (t) = 1√2π
∫∞−∞ F (ω) · e iωtdω
f
(kT
N
)=
√2π
T
N−1∑j=0
F (jω0) · e2ikπjN
Fourier Transformation
F (ω) = 1√2π
∫∞−∞ f (t) · e−iωtdt
F (jω0) =T√2πN
N−1∑k=0
f
(kT
N
)· e−2ijπ
kN
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 46 / 57
DFT
Fur 0 ≤ k , j < N:
Fourier Reprasentation
f (t) = 1√2π
∫∞−∞ F (ω) · e iωtdω
f
(kT
N
)=
√2π
T
N−1∑j=0
F (jω0) · e2ikπjN
Fourier Transformation
F (ω) = 1√2π
∫∞−∞ f (t) · e−iωtdt
F (jω0) =T√2πN
N−1∑k=0
f
(kT
N
)· e−2ijπ
kN
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 46 / 57
DFT
Fur 0 ≤ k , j < N:
Fourier Reprasentation
f (t) = 1√2π
∫∞−∞ F (ω) · e iωtdω
f
(kT
N
)=
√2π
T
N−1∑j=0
F (jω0) · e2ikπjN
Fourier Transformation
F (ω) = 1√2π
∫∞−∞ f (t) · e−iωtdt
F (jω0) =T√2πN
N−1∑k=0
f
(kT
N
)· e−2ijπ
kN
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 46 / 57
DFT: Laufzeit
Transformationsformeln
f
(kT
N
)=
√2π
T
N−1∑j=0
F (jω0) · e2ikπjN
F (jω0) =T√2πN
N−1∑k=0
f
(kT
N
)· e−2ijπ
kN
Laufzeit
⇒ O(N2)
Es existiert ein Divide-And-Conquer-Algorithmus mit Laufzeit:
O(N · log(N))
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 47 / 57
DFT: Laufzeit
Transformationsformeln
f
(kT
N
)=
√2π
T
N−1∑j=0
F (jω0) · e2ikπjN
F (jω0) =T√2πN
N−1∑k=0
f
(kT
N
)· e−2ijπ
kN
Laufzeit
⇒ O(N2)
Es existiert ein Divide-And-Conquer-Algorithmus mit Laufzeit:
O(N · log(N))
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 47 / 57
Short TimeFourier-Transformation
Definition
Spektrogramme
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 48 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Probleme derFourier-Transformation
Problem
gegeben: Musikstuck f in der Zeitdomane der Lange N Sekunden.
gesucht: Akkord, der wahrend der Bridge gespielt wird t ∈ [0,N].
Strategie:
Nutze die Fourier-Transformation und analysiere die auftretendenFrequenzen.
⇒ Falsch, denn es werden alle in [0,N] auftretenden Frequenzen in dieFrequenzdomane uberfuhrt. Ergo kann man den Akkord nicht mehrwiederfinden! Das Spektrum hat durch die Fourier-Transformation seineZeitinformation versteckt.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 49 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Probleme derFourier-Transformation
Problem
gegeben: Musikstuck f in der Zeitdomane der Lange N Sekunden.
gesucht: Akkord, der wahrend der Bridge gespielt wird t ∈ [0,N].
Strategie:
Nutze die Fourier-Transformation und analysiere die auftretendenFrequenzen.
⇒ Falsch, denn es werden alle in [0,N] auftretenden Frequenzen in dieFrequenzdomane uberfuhrt. Ergo kann man den Akkord nicht mehrwiederfinden! Das Spektrum hat durch die Fourier-Transformation seineZeitinformation versteckt.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 49 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Grundidee
Die einzige Zeitinformation, die uns bleibt, ist, dass das Spektrum nurdie Frequenzen aus [0,N] enthalt.
Idee
Fuhre eine Fourier-Transformation nur fur ein beschranktes Zeitintervallaus. Somit beschrankt sich das Spektrum nur auf einen kleinenZeitbereich ⇒ genauere Zeitinformation.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 50 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Grundidee
Die einzige Zeitinformation, die uns bleibt, ist, dass das Spektrum nurdie Frequenzen aus [0,N] enthalt.
Idee
Fuhre eine Fourier-Transformation nur fur ein beschranktes Zeitintervallaus. Somit beschrankt sich das Spektrum nur auf einen kleinenZeitbereich ⇒ genauere Zeitinformation.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 50 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Definition
Definition
Sei f ∈ L2(R) gegeben, dann ist die Short TimeFourier-Transformation f von f gegeben durch:
fg (t, ω) =1√2π
∞∫∞
f (u)g(u − t) exp(−2πiωu)du,
wobei g die Fensterfunktion, t der Referenzzeitpunkt und ω die Frequenzist.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 51 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Eigenschaften
Die Fensterfunktion g bestimmt, welcher Ausschnitt des Signals vomReferenzpunkt t aus analysiert wird.
Neben der Rechteckfunktion konnen auch andere Funktionen alsFensterfunktion verwendet werden.
Die STFT erlaubt somit eine Darstellung des Spektrums inAbhangigkeit eines Zeitintervalls ⇒ Spektrogramme.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 52 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Eigenschaften
Die Fensterfunktion g bestimmt, welcher Ausschnitt des Signals vomReferenzpunkt t aus analysiert wird.
Neben der Rechteckfunktion konnen auch andere Funktionen alsFensterfunktion verwendet werden.
Die STFT erlaubt somit eine Darstellung des Spektrums inAbhangigkeit eines Zeitintervalls ⇒ Spektrogramme.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 52 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Eigenschaften
Die Fensterfunktion g bestimmt, welcher Ausschnitt des Signals vomReferenzpunkt t aus analysiert wird.
Neben der Rechteckfunktion konnen auch andere Funktionen alsFensterfunktion verwendet werden.
Die STFT erlaubt somit eine Darstellung des Spektrums inAbhangigkeit eines Zeitintervalls ⇒ Spektrogramme.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 52 / 57
Short Time Fourier-Transformation: Spektrogramme
Berechnung
Die Berechnung der farblichen Kodierung/z-Achse ist gegeben durch:
Spec(t, ω) = |fg (t, ω)|2
Beispiel
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 53 / 57
Literaturverzeichnis
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 54 / 57
Literaturverzeichnis
Goyal, Vivek K. et al.
”Foundations of Signal Processing”,
2014 unter: http://fourierandwavelets.org/ (Stand: 16. Oktober 2017)
Jeschke, Harald O.
”Fourierreihe und Fouriertransformation”,
Okayama unter: http:
//www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel1_2up.pdf
Stand (16.Oktober 2017)
Krieg, Aloys/Walcher, Sebastian
”Analysis fur Informatiker. Skript zur Vorlesung”,
Aachen 2016.
Muller, Meinard
”Fundamentals of Music Processing. Audio, Analysis, Algorithms, Applications”,
2015.
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 55 / 57
Literaturverzeichnis
Scholz, Jan
”Diskrete FOURIER-Transformation” in: ”FOURIER-Transformation undSaitenschwingung”,
Gießen 2003 unter:https://www.staff.uni-giessen.de/~gd1186/F-Prak/node8.html (Stand: 16Oktober 2017)
Thomas, Sebastian
”Lineare Algebra fur Informatiker. Manuskript”,
Version 2.4.1, Aachen 1. August 2017
Westermann, Thomas
”Mathematik fur Ingenieure. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch”,
7. Auflage 2015 unter: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~weth0002/
buecher/mathe/downloads/kap18ext1059.pdf (Stand: 16.Oktober 2017)
mathe-online.at Redaktion
”Fourierreihen”,
unter: http://www.mathe-online.at/mathint/fourier/i.html (Stand:16.Oktober 2017)
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 56 / 57
Noch Fragen?
Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 57 / 57