Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Παρουσίαση 3η: Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 2ο

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής

Γεώργιος Χλούπης

Επίκουρος Καθηγητής

Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

Περιεχόμενα παρουσίασης

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών

• Αλγόριθμος μεθόδου εξισώσεων συνθηκών

• Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων συνόρθωσης

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων

• Αλγόριθμος μεθόδου μικτών εξισώσεων

• Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό – Δεσμεύσεις – Είδη δεσμεύσεων

• Εφαρμογές

Ανάλυση δεδομένων

• Φυσικό σύστημα τμήμα του φυσικού κόσμου που αναλύεται

αγνοώντας την εξάρτησή του από τον περιβάλλοντα χώρο

• Παράμετροι συστήματος περιγραφή του φυσικού συστήματος μέσα

από εξισώσεις

• Μαθηματικό μοντέλο η δυνατότητα περιγραφής του φυσικού

συστήματος με μαθηματικές εξισώσεις

• Παράμετροι συστήματος παρατηρούμενες παράμετροι

Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών

• Εξισώσεις παρατηρήσεων μέθοδος συνόρθωσης αντικατάσταση

παρατηρήσεων από εκτιμήσεις εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων

• Εξισώσεις συνθηκών Απουσία ενδιάμεσου βήματος εκτίμησης

αγνώστων παραμέτρων

• Ταυτόσημα αποτελέσματα των δύο εναλλακτικών μεθόδων

• Μόνες άγνωστες παράμετροι παρατηρούμενες

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Οι εναλλακτικές βασίζονται στη δυνατότητα διαφορετικών αλλά

ισοδύναμων μορφών του μαθηματικού μοντέλου

• Ταυτόσημα αποτελέσματα

• Παρατηρήσεις παράμετροι περιγραφής του φυσικού συστήματος

κάθε παράμετρος του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτησή

τους

• Παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος απαραίτητος ελάχιστος

αριθμός παραμέτρων για την περιγραφή του συστήματος

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μαθηματικό μοντέλο συνόρθωσης σύνδεση παρατηρήσεων με τις

άγνωστες παρατηρούμενες παραμέτρους και τα άγνωστα σφάλματα

• Επιπλέον, ανεξάρτητες μαθηματικές εξισώσεις που συνδέουν

παρατηρούμενες παραμέτρους με (ενδεχόμενες) άγνωστες παραμέτρους

• Το πλήθος των ανεξάρτητων εξισώσεων συνδέεται με το πλήθος των

διαθέσιμων παρατηρήσεων, των αγνώστων και με τον παραμετρικό

βαθμό του φυσικού συστήματος

vyy += ab

( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • n παρατηρούμενες παράμετροι

• m άγνωστες παράμετροι

• r παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος

• s πλήθος ανεξαρτήτων εξισώσεων

r n + m

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • n παρατηρούμενες παράμετροι

• m άγνωστες παράμετροι

• r παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος

• s πλήθος ανεξαρτήτων εξισώσεων

r n + m

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • n παρατηρούμενες παράμετροι

• m άγνωστες παράμετροι

• r παραμετρικός βαθμός φυσικού συστήματος

• s πλήθος ανεξαρτήτων εξισώσεων

r n + m s

rmns −+=

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Βαθμοί ελευθερίας ενός προβλήματος συνόρθωσης ο αριθμός των

επιπλέον παρατηρούμενων παραμέτρων πέρα των ελαχίστων που

απαιτούνται για την περιγραφή του φυσικού συστήματος

• Ανάλογα με την ύπαρξη και τον αριθμό των αγνώστων παραμέτρων m και

τη μορφή των εξισώσεων σύνδεσης προκύπτουν οι εναλλακτικές μέθοδοι

συνόρθωσης

rnf −=

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατηρήσεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Ισοδύναμες μεταξύ τους μέθοδοι πηγάζουν από το ίδιο γενικό μοντέλο

• Κάθε επιμέρους μοντέλο μπορεί να προκύψει από το άλλο

• Αντικατάσταση αγνώστων παραμέτρων με νέες

• Απαλοιφή άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης

• Προσθήκη νέας άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης

• Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών εξισώσεις παρατηρήσεων με

απαλοιφή αγνώστων

• Μέθοδος μικτών εξισώσεων εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή

μέρους των αγνώστων

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Μαθηματικό μοντέλο προκύπτει από το μοντέλο των εξισώσεων

παρατηρήσεων

• Αν επιλύσουμε ως προς xma την τελευταία των εξισώσεων

( )aa xfy = ( )( )

( )( )a

mam

aan

an

am

am

aan

an

am

am

aaa

am

am

aaa

xxxxfyxxxxfy

xxxxfyxxxxfy

,,,,,,,,

,,,,,,,,

121

12111

12122

12111

−

−−−

−

−

==

==

n παρατηρούμενες ποσότητες m άγνωστες παράμετροι

( )am

aaanm

am xxxyhx 121 ,,,, −=

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Αντικαθιστώντας, προκύπτει σύστημα n – 1 εξισώσεων με m – 1

αγνώστους

• Αν επαναληφθεί η διαδικασία και επειδή n > m, θα προκύψουν νέα

συστήματα (n – 2 εξισώσεις και m – 2 άγνωστοι, n – 3 εξισώσεις και m – 3

άγνωστοι… κ.ο.κ)

( )( )( )( )

( )( )am

aanm

am

aan

an

am

aanm

am

aaa

am

aanm

am

aaa

xxyhxxxfy

xxyhxxxfyxxyhxxxfy

1112111

1112122

1112111

,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,

−−−−

−−

−−

=

==

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Στο τελικό σύστημα εξισώσεων δεν εμφανίζονται άγνωστες

παράμετροι, αλλά μόνο εξισώσεις (συνθήκες) μεταξύ παρατηρούμενων

• Στην πράξη οι εξισώσεις συνθηκών καταγράφονται απευθείας με βάση

τις γνωστές μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τα παρατηρούμενα

μεγέθη σε ένα φυσικό σύστημα

• Οι συνθήκες πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους

( )( )

( ) 0,,,

0,,,0,,,

21

212

211

=

==

an

aas

an

aa

an

aa

yyyg

yyygyyyg

( ) 0yg =a

rnsf −==

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Στοχαστικό μοντέλο

σσσ

σσσσσσ

=

2

2

2

2

1

21

21

2212

1211

bn

bbn

bbn

bn

bbbb

bn

bbbb

yyyyy

yyyyy

yyyyy

bn

b

b

bn

bb

y

yy

yyy

C

1−=CP

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών

( )

( ) ( ) ( )

0

,,,

,,,

11

111

21

21

=−−−=

=−∂∂

++−∂∂

+=

=

ninii

bn

an

ban

iba

baib

nbb

i

an

aai

vbvbw

yyygyy

ygyyyg

yyyg

( )bn

bbii yyygw ,,, 21 =

Σφάλματα κλεισίματος

( ) ( ) ( ) +−∂∂

+== ba

ba

ba yyygyg0yg

( ) ( ) wBvvBw0yg =⇔−+≅=a

Γραμμικοποιημένες εξισώσεις συνθηκών

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Δομή βασικών πινάκων (Β και w)

∂∂=

∂∂

=

bai

i

as

ai

a

an

aj

a

ba

yg

g

g

g

yyy

1

1

ygB

=

sw

ww

2

1

w

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Δομή βασικών πινάκων (Ρ πίνακας των βαρών των παρατηρήσεων)

• C γνωστός

• Q γνωστός, σ2 = άγνωστη

σσσ

σσσσσσ

=

2

2

2

2

1

21

21

2212

1211

bn

bbn

bbn

bn

bbbb

bn

bbbb

yyyyy

yyyyy

yyyyy

bn

b

b

bn

bb

y

yy

yyy

C

1−=CP

12 −=→σ= QPQC

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Αλγόριθμος συνόρθωσης (βέλτιστες εκτιμήσεις κριτήριο ελαχίστων

τετραγώνων)

• Εκτίμηση ακρίβειας αλγορίθμου συνόρθωσης

1. C γνωστός

2. C = σ2Q

kBPv T1ˆ −= vyy ˆˆ −= ba

1111

ˆ

111ˆ

−−−−

−−−

−=

=

BPMBPPCBPMBPC

T

y

Tv

a

rn −=σ

vPvT ˆˆˆ 2

TBBPM 1−= wMk 1−=

( )( )11112

ˆ

1112ˆ

ˆˆˆˆ

−−−−

−−−

−σ=

σ=

BPMBPPC

BPMBPCT

y

Tv

a

Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών • Βήματα

1. Υπολογισμός διανύσματος σφαλμάτων κλεισίματος w

(αντικατάσταση αγνώστων παρατηρούμενων παραμέτρων με

παρατηρήσεις)

2. Αναλυτική παραγώγιση του μαθηματικού μοντέλου

3. Υπολογισμός παραγώγων (αντικατάσταση αγνώστων

παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήσεις υπολογισμός B)

4. Υπολογισμός βασικών πινάκων συνόρθωσης Μ, k

5. Υπολογισμός εκτίμησης διανύσματος σφαλμάτων

6. Υπολογισμός εκτίμησης των παρατηρούμενων παραμέτρων

7. Εκτίμηση πινάκων ακρίβειας των εκτιμήσεων των σφαλμάτων και

των παρατηρούμενων παραμέτρων

v

Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων

• Eξισώσεις συνθηκών αντιστροφή του πίνακα Μ διαστάσεων f×f (s×s)

• Εξισώσεις παρατηρήσεων αντιστροφή πίνακα Ν διαστάσεων m×m = r×r

• Ισχύει f = n – r Εξισώσεις συνθηκών προτιμούνται όταν

f < r n – r < r n < 2r, όταν δηλ, ο αριθμός των παρατηρήσεων δεν

υπερβαίνει το διπλάσιο του παραμετρικού βαθμού

• Στις περισσότερες περιπτώσεις ικανοποιείται

• Χρησιμοποιούνται όμως κατά κανόνα εξισώσεις παρατηρήσεων

δυσκολία προσδιορισμού ανεξάρτητων μεταξύ τους συνθηκών g

Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων

• Εξισώσεις συνθηκών ΑΠΟΥΣΙΑ ΑΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ

ΑΠΟΥΣΙΑ ΑΔΥΝΑΜΙΑΣ ΒΑΘΜΟΥ

• Δεν υφίσταται διευρυμένο φυσικό σύστημα αφού όλες οι παράμετροι

ανήκουν στο αρχικό φυσικό σύστημα

• Δεν υπάρχουν εξισώσεις συνθηκών χωρίς πλήρη βαθμό ΠΛΗΡΗΣ

ΑΠΟΥΣΙΑ ΔΕΣΜΕΥΣΕΩΝ!

Φυσικό σύστημα

Διευρυμένο φυσικό σύστημα

Νέες παράμετροι xa

Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων

• Σχέση μαθηματικού μοντέλου εξισώσεων παρατηρήσεων και συνθηκών

• Εφαρμογή αλυσιδωτού κανόνα παραγώγισης

• Η προσέγγιση έχει νόημα γιατί ο Α υπολογίζεται ως προς τις

προσεγγιστικές άγνωστες, ενώ ο Β ως προς τις παρατηρούμενες τιμές

• Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις συνθηκών προκύπτουν από τις

αντίστοιχες εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή των αγνώστων

( ) ( )( ) 0xfgyg == aa

( ) 0BA0xxf

yg

xg

≈⇒=∂∂

∂∂

=∂∂

a

a

aa

wBvvAxb =⇒⇒+= ?????? Πώς; (θυμηθείτε ΒΑ = 0)

Μέθοδος των μικτών συνθηκών

• Εξισώσεις παρατηρήσεων μέθοδος συνόρθωσης αντικατάσταση

παρατηρήσεων από εκτιμήσεις εκτίμηση αγνώστων παραμέτρων

• Εξισώσεις συνθηκών Απουσία ενδιάμεσου βήματος εκτίμησης

αγνώστων παραμέτρων

• Μικτές εξισώσεις Παρουσία παρατηρούμενων και αγνώστων

παραμέτρων, οι οποίες είναι μέρος του φυσικού συστήματος

τμηματικά ή στο σύνολό τους

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατηρήσεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Μέθοδος των εξισώσεων παρατήρησεων (έμμεσων παρατηρήσεων –

parametric adjustment)

• Μέθοδος των εξισώσεων συνθηκών (conditional adjustment)

• Μέθοδος των μικτών εξισώσεων (combined adjustment)

rm = ns = ( ) 0xfy =− aa

0=mrns −= ( ) 0yg =a

rm ≤<0 nrmnsrn ≤−+=<− ( ) 0xyu =aa ,

Οι εναλλακτικές μέθοδοι συνόρθωσης • Ισοδύναμες μεταξύ τους μέθοδοι πηγάζουν από το ίδιο γενικό μοντέλο

• Κάθε επιμέρους μοντέλο μπορεί να προκύψει από το άλλο

• Αντικατάσταση αγνώστων παραμέτρων με νέες

• Απαλοιφή άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης

• Προσθήκη νέας άγνωστης παραμέτρου και εξίσωσης

• Μέθοδος εξισώσεων συνθηκών εξισώσεις παρατηρήσεων με απαλοιφή

αγνώστων

• Μέθοδος μικτών εξισώσεων εξισώσεις παρατηρήσεων με

απαλοιφή μέρους των αγνώστων

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Στο τελικό σύστημα εξισώσεων εμφανίζονται άγνωστες παράμετροι, με

αριθμό μικρότερο του παραμετρικού βαθμού του φυσικού συστήματος

• Οι μικτές εξισώσεις χρησιμοποιούνται κατά κανόνα όταν οι

παρατηρούμενες ποσότητες δεν είναι δυνατό να εκφραστούν ως

συνάρτηση των παραμέτρων του φυσικού συστήματος

( )( )

( ) 0,,,,,,,

0,,,,,,,0,,,,,,,

2121

21212

21211

=

==

am

aaan

aas

am

aaan

aa

am

aaan

aa

xxxyyyu

xxxyyyuxxxyyyu

( ) 0xyu =aa ,( ) mfmrns +=+−=

rm ≤

( )aa xfy =

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Στοχαστικό μοντέλο

σσσ

σσσσσσ

=

2

2

2

2

1

21

21

2212

1211

bn

bbn

bbn

bn

bbbb

bn

bbbb

yyyyy

yyyyy

yyyyy

bn

b

b

bn

bb

y

yy

yyy

C

1−=CP

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

0

,,,,,,,,,,,,,,

1111

,

11

,1

,

11

,1

2121

2121

=δ++δ+−−−=

=−∂∂

++−∂∂

+

+−∂∂

++−∂∂

+

+=

=

mimininii

bm

am

obam

ioa

obai

bn

an

oban

iba

obai

om

oobn

bbi

am

aaan

aai

xaxavbvbw

xxxuxx

xu

yyyuyy

yu

xxxyyyuxxxyyyu

( )om

oobn

bbii xxxyyygw ,,,,,,, 2121 =

Σφάλματα κλεισίματος

• Τελική μορφή πινάκων

0BvAxw =−+

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων

• Τελική μορφή πινάκων

• Το διάνυσμα w (s×1) περιέχει τα σφάλματα κλεισίματος, ενώ οι πίνακες

Α (s×m) και B (s×n) έχουν ανάλογη σημασία με τους πίνακες των

εξισώσεων παρατηρήσεων και συνθηκών

• Γραμμικοποιημένες σχέσεις εξισώσεις συνθηκών ως προς τα

σφάλματα v και εξισώσεις παρατηρήσεων ως προς τις άγνωστες

παραμέτρους x

• Μικτές εξισώσεις παρατηρήσεων και συνθηκών ή απλά μικτές εξισώσεις

0BvAxw =−+

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Δομή βασικών πινάκων (A, x)

( )

∂∂=

∂∂

=

obai

i

as

ai

a

am

aj

a

oba

aa

xu

u

u

u

xxx

,

1

1

,

,x

xyuA oa

om

o

o

am

a

a

m x

xx

x

xx

x

xx

xxx −=

−

=

δ

δδ

=

2

1

2

1

2

1

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Δομή βασικών πινάκων (Β, w)

( )

∂∂=

∂∂

=

obai

i

as

ai

a

an

aj

a

oba

aa

yu

u

u

u

yyy

,

1

1

,

,y

xyuB

=

sw

ww

2

1

w

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Δομή βασικών πινάκων (Ρ πίνακας των βαρών των παρατηρήσεων)

• C γνωστός

• Q γνωστός, σ2 = άγνωστη

σσσ

σσσσσσ

=

2

2

2

2

1

21

21

2212

1211

bn

bbn

bbn

bn

bbbb

bn

bbbb

yyyyy

yyyyy

yyyyy

bn

b

b

bn

bb

y

yy

yyy

C

1−=CP

12 −=→σ= QPQC

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Αλγόριθμος συνόρθωσης (βέλτιστες εκτιμήσεις κριτήριο ελαχίστων

τετραγώνων)

• Εκτιμήσεις αγνώστων παραμέτρων φυσικού συστήματος

• Εκτιμήσεις παρατητούμενων παραμέτρων

wMAu T 1−=

( ) wMAAMAuNx TT 1111ˆ −−−− −=−=

TBBPM 1−= AMAN T 1−=

xxx ˆˆ += oa

( )xAwMBPv T ˆˆ 11 += −− vyy ˆˆ −= ba

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Εκτίμηση ακρίβειας αλγορίθμου συνόρθωσης

1. C γνωστός

2. C = σ2Q

( )( )

( ) 1111111ˆ

1

ˆ

111111ˆ

111

ˆˆ

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

−−=−=

−=

===

BPMAANMMBPPCPCBPMAANMMBPC

NAMACC

TTvy

TTv

T

xx

a

a

ms −=σ

vPvT ˆˆˆ 2

( )( )( )

( ) ( )( )

12 1 2 1ˆ ˆ

2 1 1 1 1 1 1ˆ

2 1 2 1 1 1 1 1 1 1ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

a

a

σ σ

σ

σ σ

−− −

− − − − − −

− − − − − − − −

= = =

= −

= − = − −

Tx x

T Tv

T Tvy

C C A M A N

C P B M M AN A M BP

C P C P P B M M AN A M BP

Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων • Βήματα

1. Επιλογή προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων xo

2. Υπολογισμός διανύσματος σφαλμάτων κλεισίματος w (αντικατάσταση αγνώστων

παρατηρούμενων παραμέτρων με παρατηρήσεις και αγνώστων παραμέτρων με

προσεγγιστικές)

3. Αναλυτική παραγώγιση του μαθηματικού μοντέλου

4. Υπολογισμός παραγώγων (αντικατάσταση αγνώστων παραμέτρων με προσεγγιστικές

υπολογισμός Α)

5. Υπολογισμός παραγώγων (αντικατάσταση αγνώστων παρατηρούμενων παραμέτρων με

παρατηρήσεις υπολογισμός B)

6. Υπολογισμός βασικών πινάκων συνόρθωσης Μ, Ν, u

7. Υπολογισμός εκτίμησης των αγνώστων παραμέτρων

8. Υπολογισμός εκτίμησης διανύσματος σφαλμάτων

9. Υπολογισμός εκτίμησης των παρατηρούμενων παραμέτρων

10. Εκτίμηση πινάκων ακρίβειας των εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων, των

σφαλμάτων των παρατηρήσεων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

v

axx ˆ,ˆ

ay

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Στις απλές μικτές εξισώσεις οι άγνωστες παράμετροι είναι παράμετροι

του φυσικού συστήματος και προφανώς εκτιμήσιμες μοντέλα με

πλήρη βαθμό δεν υπάρχει περίπτωση απειρίας λύσεων (|Ν| ≠ 0)

Φυσικό σύστημα ya xa

Παρατηρούμενες παράμετροι

Άγνωστες παράμετροι

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Στα μοντέλα μικτών εξισώσεων χωρίς πλήρη βαθμό οι άγνωστες παράμετροι

δημιουργούν ένα νέο φυσικό σύστημα, ενώ υπάρχουν συναρτήσεις που μπορούν

αν εκφραστούν τόσο ως προς ya όσο και ως προς xa («ένωση» φυσικών

συστημάτων)

Φυσικό σύστημα ya

q(ya)

Νέο φυσικό σύστημα

xa

q(xa)

Παρατηρούμενες παράμετροι Άγνωστες παράμετροι

q(xa , ya)

Ένωση φυσικών συστημάτων

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Π.χ., Αρχικό σύστημα παρατηρήσεις (γωνίες, αποστάσεις) «σχήμα

και μέγεθος»

• Νέο σύστημα άγνωστες (γωνίες διεύθυνσης και εμβαδόν) «σχήμα

μέγεθος και προσανατολισμός»

• Γραμμικοποίηση r(Α) < m |N| = 0 απειρία λύσεων

α β

γ

Β

Γ

Α

n = 6

r = 3 m = 4

αΒΓ E

αΑΒ

αΓΑ

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Ο προσδιορισμός της λύσης γίνεται με τη βοήθεια k = m – r συναρτήσεων

δεσμεύσεις

• Αυτού του είδους οι δεσμεύσεις οδηγούν σε μία μοναδική λύση χωρίς να

επηρεάζουν τις εκτιμήσεις των παρατηρούμενων παραμέτρων

ελάχιστες δεσμεύσεις (minimum constraints)

• Γραμμικοποιημένες εξισώσεις:

( ) 0xhz == aa

0wBvAx =+−zHx =

( )zHuRx T+−= −1ˆ

Ομογενείς ελάχιστες δεσμεύσεις 0Hx =

uRx 1ˆ −−=HHNR T+=

kms +−=σ

vPvT ˆˆˆ 2

( )112ˆ ˆˆ −−σ= NRRCx

( )xAwMBPv T ˆˆ 11 += −−

( ) ( )( )2 1 2 1 1 1 1 1 1 1ˆˆ

ˆ ˆ ˆa σ σ− − − − − − − −= − = − −T Tvy

C P C P P B M M AN A M BP

( )( )1111112ˆ ˆˆ −−−−−− −σ= BPMAANMMBPC TTv

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Κάθε διαφορετική επιλογή ελαχίστων δεσμεύσεων οδηγεί σε διαφορετικές

εκτιμήσεις για τις άγνωστες παραμέτρους

• Μία ειδική επιλογή ελαχίστων δεσμεύσεων ελαχιστοποιεί το ίχνος του

πίνακα των (συμ)μεταβλητοτήτων των αγνώστων εσωτερικές

δεσμεύσεις (inner constraints)

xCx ˆˆ,ˆ

0Ex = 0AET = minˆˆ =xxT

( ) ( ) EEEEEENN TTT 21 −−+ −+= Γενικευμένος αντίστροφος ψευδοαντίστροφος

uNx +−=ˆ

kms +−=σ

vPvT ˆˆˆ 2

+σ= NCx2

ˆ ˆˆ( )xAwMBPv T ˆˆ 11 += −−

( )( )1111112ˆ ˆˆ −−−−−− −σ= BPMAANMMBPC TTv

( ) ( )( )2 1 2 1 1 1 1 1 1 1ˆˆ

ˆ ˆ ˆa σ σ− − − − − − − −= − = − −T Tvy

C P C P P B M M AN A M BP

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Όταν χρησιμοποιηθούν δεσμεύσεις σε αριθμό μεγαλύτερο από τις

ελάχιστες πλεονάζουσες δεσμεύσεις (full constraints)

• Δεσμεύσεις περισσότερες από την αδυναμία βαθμού του συστήματος

(k > m – r)

• Οι πλεονάζουσες δεσμεύεις επηρεάζουν τις εκτιμήσιμες παραμέτρους

(παρατηρήσεις) «ουσιαστικές» δεσμεύσεις

Μικτές εξισώσεις χωρίς πλήρη βαθμό • Λύση πλεοναζουσών δεσμεύσεων

• Ακρίβεια της εκτίμησης

T

T

HHRSHHNR

1−=

+=

( ) zSHRuHRSHRRx TT 111111ˆ −−−−−− +−=

( )11112

ˆˆ ˆˆˆ −−−− −σ== HRSHRRCC T

xx a

kms +−=σ

vPvT ˆˆˆ 2

( )xAwMBPv T ˆˆ 11 += −−

( )( )1111112ˆ ˆˆ −−−−−− −σ= BPMAANMMBPC TTv

( ) ( )( )2 1 2 1 1 1 1 1 1 1ˆˆ

ˆ ˆ ˆa σ σ− − − − − − − −= − = − −T Tvy

C P C P P B M M AN A M BP

Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις

• Εκτίμηση βέλτιστης ευθείας

Για την προσέγγιση του άξονα ενός δρόμου μετρήθηκαν οι συντεταγμένες πέντε σημείων. Ζητούνται οι βέλτιστες

τιμές των παραμέτρων της εξίσωσης ευθείας του άξονα του δρόμου. Τόσο οι τεταγμένες yi όσο και οι τετμημένες να

θεωρηθούν ως παρατηρήσεις ασυσχέτιστες και ίδιας αλλά άγνωστης ακρίβειας.

• Μικτές εξισώσεις (αδυναμία διαχωρισμού παρατηρούμενων – αγνώστων)

i xi (m) yi (m)

1 5009.05 10001.30

2 5012.10 10003.05

3 5014.60 10005.80

4 5018.40 10007.15

5 5020.00 10008.00

( ) 00, =−−⇒= baxyyxu iiii

Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις

• Αναλυτική δομή πινάκων

( )

−−−−−−−−−−

==∂

∂=

11111

,

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

,

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

aa

oba

aa

xxxxx

uuuuu

ba

xxyuA

( )

−−

−−

−

=∂

∂=

100000000010000000001000000000100000000010000

,

5

4

3

2

1

5432154321

,

o

o

o

o

o

a

a

a

a

a

aaaaaaaaaa

oba

aa

aa

aa

a

uuuuu

yyyyyxxxxx

yxyuB

−−−−−−−−−−

=

=

obob

obob

obob

obob

obob

bxaybxaybxaybxaybxay

wwwww

55

44

33

22

11

5

4

3

2

1

w

Εφαρμογή

Εισαγωγή δεδομένων

Εισαγωγή προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων

Σχηματισμός πίνακα Α

Εφαρμογή

Σχηματισμός πίνακα Β

Σχηματισμός διανύσματος σφαλμάτων κλεισιματος w

Σχηματισμός πίνακα Μ

Εφαρμογή

Σχηματισμός πίνακα Ν

Σχηματισμός διανύσματος u

Εκτιμήσεις των διορθώσεων στις προσεγγιστικές των αγνώστων παραμέτρων

Εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων

Εκτιμήσεις των σφαλμάτων των παρατηρούμενων παραμέτρων

Εκτιμήσεις λύσης εξισώσεων παρατηρήσεων

Εφαρμογή

Εκτιμήσεις των τιμών των παρατηρούμενων παραμέτρων

Εφαρμογή Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις

• Εκτίμηση βέλτιστων ομόκεντρων κύκλων με δέσμευση ακτίνας

Δίνονται οι παρατηρήσεις συντεταγμένων 12 σημείων, από 6 σημεία στη περιφέρεια δύο ομόκεντρων κύκλων. Να

εκτιμηθούν οι βέλτιστες εξισώσεις των κύκλων της εφαρμογής. Από τη μελέτη υπάρχει η δέσμευση, ο δεύτερος

κύκλος να έχει διπλάσια ακτίνα από τον πρώτο.

• Μικτές εξισώσεις (αδυναμία διαχωρισμού παρατηρούμενων – αγνώστων

i xi (m) yi (m)

1 13.884 14.450

2 16.003 13.759

3 16.635 10.039

4 12.684 8.752

5 11.080 11.391

6 11.956 13.671

( ) ( ) ( ) 00, 21

22 =−−+−⇒= Ryyxxyxu ciciii

i Χi (m) Υi (m)

1 16.385 16.970

2 20.045 11.529

3 17.633 6.691

4 12.554 5.602

5 9.384 7.779

6 9.237 15.130

Σημε

ία 1

ου κ

υκλι

κού

τόξο

υ

Σημε

ία 2

ου κ

υκλι

κού

τόξο

υ

( ) ( ) ( ) 00, 22

22 =−−+−⇒= RyYxXYXU ciciii

Εξίσωση 1ου κύκλου

Εξίσωση 2ου κύκλου

Εφαρμογή Εφαρμογή Μικτές εξισώσεις

• Εκτός από τις μικτές εξισώσεις υπάρχει και η δέσμευση της ακτίνας

[ ] 01200022

2

11212 =

δδδδ

−⇒=⇒=−⇒=

RRyx

RRRR c

c

0Hx

δδδδ

=⇒

=

2

1

2

1

RRyx

RRyx

c

c

c

c

a xx

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−

=

ooc

boc

b

ooc

boc

b

ooc

boc

b

ooc

boc

bcc

RyYxX

RyYxXRyyxx

Ryyxx

U

Uu

uRRyx

266

211

166

111

6

1

6

1

21

2022

20220222

0222

A

Εφαρμογή Εφαρμογή • Δομή πίνακα Β και w [ ]21 BBB =

( ) ( )

( ) ( )

−−

−−

=

0000

00002020

0202

66

11

6

1

6

1

6161

1

oc

boc

b

oc

boc

b

yyxx

yyxx

U

Uu

uyyxx

B

( ) ( )

( ) ( )

−−

−−=

oc

boc

b

oc

boc

b

yYxX

yYxX

U

Uu

uYYXX

66

11

6

1

6

1

6161

1

2020

02020000

0000

B

Εφαρμογή Εφαρμογή • Δομή πίνακα Β και w

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

−−+−

−−+−−−+−

−−+−

=

ooc

boc

b

ooc

boc

b

ooc

boc

b

ooc

boc

b

RyYxX

RyYxXRyyxx

Ryyxx

2

2

6

2

6

2

2

1

2

1

1

2

6

2

6

1

2

1

2

1

w

Εφαρμογή Εφαρμογή

Εισαγωγή δεδομένων και προσεγγιστικών τιμών των αγνώστων παραμέτρων

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός πίνακα Α

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός υποπίνακα Β1

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός υποπίνακα Β2

Εφαρμογή Εφαρμογή Υπολογισμός διανύσματος w

Εφαρμογή Εφαρμογή

Εκτίμηση λύσης χωρίς τη δέσμευση

9995.5ˆ9973.2ˆ4720.11ˆ0339.14ˆ

2

1

=

=

=

=

a

a

ac

ac

R

R

yx

001635.2ˆˆ

1

2 =a

a

RR

Εφαρμογή Εφαρμογή

Εκτίμηση λύσης με εφαρμογή της δέσμευσης

9991.5ˆ9982.2ˆ4718.11ˆ0340.14ˆ

2

1

=

=

=

=

a

a

ac

ac

R

R

yx

000900.2ˆˆ

1

2 =a

a

RR

Εφαρμογή Εφαρμογή Περαιτέρω ενασχόληση

Εκτίμηση της εκ των υστέρων μεταβλητότητας αναφοράς (a-posteriori

variance) και στις δύο περιπτώσεις όπως και των πινάκων

(συμ)μεταβλητοτήτων των εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων, των

σφαλμάτων των παρατηρούμενων και των παρατηρούμενων παραμέτρων

Ανακεφαλαίωση

• Αλγόριθμος εξισώσεων συνθηκών

• Αλγόριθμος μικτών εξισώσεων

• Διαφορές εναλλακτικών μεθόδων

• Εισαγωγή δεσμεύσεων

• Εφαρμογές