1

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Στα μαθηματικά μία συνάρτηση ( )f x χαρακτηρίζεται ως

γραμμική συνάρτηση όταν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο βασικές ιδιότητες:

( ) ( ) ( )f x y f x f y

( ) ( )f x f x

Γραμμικές είναι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις πρώτου βαθμού μίας ή περισσότερων μεταβλητών

π.χ. ( ) 2 5,g( , ) 2 5 7f x x x y x y .

2

Συναρτήσεις όπως

οι πολυωνυμικές μεγαλύτερου βαθμού από ένα, π.χ.

2 2( ) 2 5 2,g( , ) 2 7, ( , ) 2 7f x x x x y xy h x y x y ,

οι ρητές συναρτήσεις, π.χ.

2

2 5,( ) , ( , )

2

x xf x g x y

x y

οι άρρητες συναρτήσεις, π.χ. 4/3

3( ) 2 5, ( , )x

f x x g x yy

οι υπερβατικές συναρτήσεις, π.χ. 2( ) ln( 2)xf x e x

οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, π.χ. ( ) sin( 2)f x x

και συνδυασμοί τους δεν ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες οπότε δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ως γραμμικές.

3

Εξίσωση στα μαθηματικά ονομάζεται κάθε ισότητα που συνδέει γνωστές ποσότητες με άγνωστες, τις οποίες θέλουμε να προσδιορίσουμε.

Η εξίσωση λοιπόν είναι μια μαθηματική δήλωση που βεβαιώνει την ισότητα των δύο εκφράσεων.

Τις άγνωστες ποσότητες τις ονομάζουμε αγνώστους.

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο από περισσότερες μαθηματικές εξισώσεις που χρησιμοποιούν τους ίδιους παράγοντες ή αγνώστους.

Η λύση θα πρέπει να ικανοποιεί ταυτόχρονα κάθε εξίσωση του συστήματος.

Εάν οι μαθηματικές εκφράσεις είναι γραμμικές ως προς τους αγνώστους (δηλαδή ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες), τότε μιλάμε για γραμμικές εξισώσεις και γραμμικά συστήματα.

4

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Άθροισμα εισερχόμενων ροών ίσο με άθροισμα εξερχόμενων.

1 2 3

1 4 6

3 5 6

2 4 5

A 500=

B 400

C 100

D

f f f

f f f

f f f

f f f

A B

C

D 4f

1f

2f

3f5f 6f

500 400

100

5

1 2 3

1 4 6

3 5 6

2 4 5

A 500=

B 400

C 100

D

f f f

f f f

f f f

f f f

1 4 6

2 4 5

3 5 6

400

100

f f f

f f f

f f f

η εξίσωση Α

προέρχεται

από τις

Β+C+D

Σε αρμονία με το φυσικό πρόβλημα, η επιλογή των

παραμέτρων μπορεί να υπόκειται σε περιορισμούς

που πηγάζουν από τη φυσική του προβλήματος όπως

ότι τα , , , , , είναι θετικά.

Αυτό μας οδηγεί στους περιορισμούς :

1f 2f 3f 4f 5f 6f

4 6

5 6

400

100

f f

f f

6

Γεωμετρία των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

-2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

6

( , ) (2,3)x y

5x y

2 1x y

7

Με μία ή περισσότερες λύσεις ονομάζεται συμβιβαστό

Όταν δεν έχει λύση ονομάζεται ασυμβίβαστο

Σύστημα

6

2 3 1

3 4 6

u v w

u w

u v w

6

2 3 1

3 4 7

u v w

u w

u v w

Ομογενές Σύστημα

0

2 3 0

3 4 0

u v w

u w

u v w

Πάντα συμβιβαστό, μηδενική λύση το ικανοποιεί.

Μπορεί όμως να έχουμε και άπειρες λύσεις,

8

Μέθοδος απαλοιφής Gauss

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.............................................

...

m m

m m

n n nm m n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 2 3

. . .

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . .

m

m

m

n n n nm n

a a a a b

a a a a b

a a a a b

a a a a b

Επαυξημένος πίνακας

9

* * * . . . * *

0 * * . . . * *

0 * . . . * *

0 0 0 0 * *

0 0 0 0 0 0 0 *

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 ... 0 0 0 0

Κλιμακωτός Οι μηδενικές γραμμές αν

υπάρχουν βρίσκονται μετά τις μη

μηδενικές στο τέλος (κάτω μέρος) του

πίνακα.

Το οδηγό στοιχείο κάθε γραμμής

(πρώτο μη μηδενικό στοιχείο της)

βρίσκεται τουλάχιστον μία θέση

δεξιότερα από τον οδηγό της

προηγούμενης.

10

Ανηγμένος Κλιμακωτός

είναι κλιμακωτός.

κάθε οδηγό στοιχείο είναι ίσο με 1.

κάθε στήλη που περιέχει οδηγό στοιχείο έχει όλα τα άλλα

στοιχεία της μηδενικά.

11

Πως μετατρέπω πίνακα σε κλιμακωτό;

Κάνω γραμμοπράξεις για να δημιουργήσω την μορφή που

θέλω.

Εναλλαγή δύο γραμμών. (Γi Γj)

Πολλαπλασιασμό γραμμής με μη μηδενικό αριθμό κ. (Γiκ Γ i)

Αντικατάσταση μίας γραμμής με άθροισμα αυτής και ενός

πολλαπλάσιου μίας άλλης. (Γi Γi +k Γj)

Επιτρεπτές γραμμοπράξεις

Συστήματα που αντιστοιχούν σε γραμμοισοδύναμους

επαυξημένους πίνακες έχουν την ίδια λύση.

Ένας πίνακας που προέρχεται από μία ακολουθία

γραμμοπράξεων λέμε ότι είναι γραμμοισοδύναμος με τον

αρχικό.

12

Ας δούμε το σύστημα:

2 5

4 6 2

2 7 2 9

u v w

u v

u v w

Το οποίο έχει επαυξημένο πίνακα

2 1 1 5

4 6 0 2

2 7 2 9

13

2 2 1

3 3 1

2

2 1 1 5

4 6 0 2

2 7 2 9

3 3 2

2 1 1 5

0 8 2 12

0 8 3 14

2 1 1 5

0 8 2 12

0 0 1 2

14

Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί με το ακόλουθο, ισοδύναμο προς το αρχικό, σύστημα:

2 5

8 2 12

2

u v w

v w

w

2

8 12 2 12 4 1

2 5 5 1 2 2 1

w

v w v

u v w u

Εφαρμόζουμε μία αναδρομική διαδικασία (προς τα πίσω

αντικατάσταση) η οποία μπορεί να εφαρμοστεί όταν ο

επαυξημένος πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή.

15

Τεχνικές στη διαδικασία Gauss

2 1 2 2 1

3 3 1

3 2

4

2

2 2 5 * 1 1 1 *

1 1 1 * 2 2 5 *

4 6 8 * 4 6 8 *

1 1 1 * 1 1 1 *

0 0 3 * 0 2 4 *

0 2 4 * 0 0 3 *

2 2 /4

1 2 5 * 1 2 5 *

0 4 1 3 0 1 1 4 3 4

0 6 8 * 0 6 8 *

Βολεύει να κάνουμε τα οδηγά στοιχεία μονάδες.

Η εναλλαγή γραμμών μπορεί να επιτρέψει

να συνεχιστεί η διαδικασία.

16

Όταν υπάρχουν παράμετροι στο οδηγό στοιχείο.

3 3 22 2 2 2 ( 4)/4 /6

1 2 5 * 1 2 5 * 1 2 5 *

0 4 1 * 0 6 8 * 0 1 4 3 * ....

0 6 8 * 0 4 1 * 0 4 1 *

aa

a a

Η εναλλαγή γραμμών μπορεί να επιτρέψει

να συνεχιστεί η διαδικασία. Αλλά τελικά θα χρειαστεί

να κάνουμε διερεύνηση για τις τιμές των παραμέτρων.

3 3 2( 4)

1 2 5 * 1 2 5 * 1 2 5 *

0 1 4 3 * 0 1 4 3 * 0 1 4 3 *

0 4 1 * 0 0 1 ( 4)4 3 * 0 0 (19 4 ) / 3 *

a

a a

17

3 3 12 2 6/( 4)

4

1 2 51 2 5 * *

10 4 1 * 0 1 * ....

40 6 8 * *

0 6 8

a

aa

a

2 3

1 2 5 * 1 2 5 *

0 0 1 * 0 6 8 * .....

0 6 8 * 0 0 1 *

4a

Εναλλακτικά, προσέχουμε μη διαιρέσουμε με το 0.

Διερευνούμε τι συμβαίνει για τις τιμές

που μηδενίζεται το οδηγό στοιχείο.

18

2 2 1

3 3 14

2

1 1 1 * 1 1 1 *

2 2 5 * 0 0 3 *

4 4 8 * 0 0 4 *

Σύστημα με άπειρες λύσεις.

Περισσότεροι άγνωστοι από εξισώσεις.

Εκφράζουμε κάποιους από τους αγνώστους σε σχέση με

κάποιους άλλους.

3 3 22 2

3 3

/3

/4

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

0 0 3 6 0 0 1 2 0 0 1 2

0 0 4 8 0 0 1 2 0 0 0 0

Συστήματα με ιδιομορφίες

4

2

x y z

z

2

2

x y

z

19

2 2 1

3 3 14

2

1 1 1 * 1 1 1 *

2 2 5 * 0 0 3 *

4 4 8 * 0 0 4 *

3 3 22 2 4/3

1 1 1 * 1 1 1 2 1 1 1 2

0 0 3 6 0 0 1 2 0 0 1 2

0 0 4 9 0 0 4 9 0 0 0 1

Ασυμβίβαστο σύστημα

Συστήματα με ιδιομορφίες

0 1z

20

1 1 1 1 1

2 0 2 1 2

5 1 5 1 5

1

2 2 2

5 5 5

x y z w

x z w

x y z w

Το σύστημα

Ο επαυξημένος πίνακας

21

2 2 1

3 3 1

3 3 2 2 2

1 1 2

25

2 /2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 2 1 2 0 2 0 3 0

5 1 5 1 5 0 4 0 6 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 2 0 3 0 0 1 0 3 / 2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1/ 2 1

0 1 0 3 / 2 0

0 0 0 0 0

Κλιμακωτός

Ανηγμένος

Κλιμακωτός

22

Στην κλιμακωτή μορφή μπορούμε να

εφαρμόσουμε την προς τα πίσω

αντικατάσταση.

3 11 11 2 2

2 3 0 3 3

2 2

x w z w x z wx y z w

y wy w y w

1 1 1 1 1

0 2 0 3 0

0 0 0 0 0

Διπαραμετρική απειρία λύσεων.

23

Η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή μας δίνει άμεσα

τη λύση

1 11 1

2 23 3

02 2

x z w x z w

y w y w

1 0 1 1/ 2 1

0 1 0 3 / 2 0

0 0 0 0 0

24

Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι σύμφωνα τον νόμο του Ohm V I R Ο πρώτος νόμος του Kirchoff μας λέει ότι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των εντάσεων των ρευμάτων που εισρέουν και εκρέουν από κάθε κόμβο του κυκλώματος ισούται με μηδέν. Επίσης, ο δεύτερος νόμος (των τάσεων) του Kirchoff μας απαιτεί το άθροισμα των τάσεων στα άκρα όλων των στοιχείων κάθε βρόγχου ενός κυκλώματος είναι ίσο με μηδέν.

25

1 2 3

1 1 1 110V I R I 2 2 2 210V I R I

3 3 3 320V I R I

1 3 1 3 1 320 0 20 10 20 0 2 2V V I I I I

2 3 2 3 2 310 0 10 10 20 0 2 1V V I I I I

26

1 2 3

1 2

2 3

1 3

0

1

2 1

2 2

1 1 1 0

1 1 0 1

0 1 2 1

1 0 2 2

2 2 1

4 4 1

1 1 1 0

1 1 0 1

0 1 2 1

1 0 2 2

27

2 3

1 1 1 0

0 2 1 1

0 1 2 1

0 1 3 2

3 3 2 2

4 4 2

1 1 1 0

0 1 2 1

0 2 1 1

0 1 3 2

28

4 4 3

1 1 1 0

0 1 2 1

0 0 5 3

0 0 5 3

1 1 1 0

0 1 2 1

0 0 5 3

0 0 0 0

29

1 2 3

2 3

3

0

2 1

5 3

3

3

5

2 3

3 11 2 1 2

5 5

1 2 3

3 1 4

5 5 5

1 2 3

4 1 30.8 , 0.2 , 0.6

5 5 5

30

Υπάρχει παραβολή 2y ax bx c που περνά από τα

σημεία Α(5,5), Β(3,5) και Γ(1,-3);

25 5 5

9 3 5

3

a b c

a b c

a b c

2 8 10y x x

31

Ένας ιδιοκτήτης εστιατορίου σε μία αίθουσα έχει x τραπέζια

τεσσάρων ατόμων, y τραπέζια έξι ατόμων και z τραπέζια οκτώ

ατόμων και συνολικό αριθμό τραπεζιών 20.

Όταν όλες οι θέσεις είναι κατειλημμένες η αίθουσα χωρά 108

πελάτες.

Απομονώνοντας ένα τμήμα της αίθουσας και χρησιμοποιώντας

μόνο τα μισά τραπέζια τεσσάρων ατόμων, τα μισά έξι ατόμων

και το ένα τέταρτο τραπεζιών οκτώ ατόμων το εστιατόριο

μπορεί να φιλοξενήσει 46 πελάτες όταν όλες οι θέσεις στα

τραπέζια είναι κατειλημμένες.

Καθορίστε τα x,y και z.

Ταβέρνα η ωραία Ρούμελη

32

Ένα προτεινόμενο δίκτυο καναλιών ποτίσματος

περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραμμα. Σε αυτό το

διάγραμμα βλέπουμε και τις ροές στους κόμβους A,B,C και D

κατά τις περιόδους υψηλότερης ζήτησης (peak demand).

Υπολογίστε τις πιθανές ροές. Εάν το κανάλι BC είναι κλειστό,

βρείτε το εύρος ροής που πρέπει να διατηρηθεί στο κανάλι

AD έτσι ώστε κανένα κανάλι να μην έχει ροή μεγαλύτερη του

30.

A

B

C

D

4f

1f

2f

3f

5f

55 15

20

20

33

Τα χάπια μου …

Βιταμίνη

Εταιρεία Α Β C

Ι 1 2 4

ΙΙ 1 1 3

ΙΙΙ 0 1 1

Ένας ασθενής πρέπει να λαμβάνει καθημερινά 5 μονάδες βιταμίνης Α, 13

μονάδες βιταμίνης Β και 23 μονάδες βιταμίνης C. Στην αγορά υπάρχουν τρεις

διαφορετικές εταιρείες που παράγουν χάπια με συνδυασμούς βιταμίνης A,B

και C. Ο ακόλουθος πίνακας μας παρέχει τις μονάδες ανά βιταμίνη που

περιέχει το χάπι κάθε εταιρείας.

Βρείτε όλους τους συνδυασμούς από επιλογές χαπιών οι οποίες να παρέχουν

ακριβώς την αναγκαία ποσότητα βιταμινών. (Δεν επιτρέπεται να λαμβάνονται

μέρος χαπιών.) Στη συνέχεια καθορίστε τον αριθμό χαπιών από κάθε εταιρεία

που πρέπει να λαμβάνει ο ασθενής ώστε να ελαχιστοποιείται το ημερήσιο

κόστος θεραπείας εάν το χάπι της εταιρείας Ι κοστίζει 3 λεπτά του ευρώ, το

χάπι της εταιρείας ΙΙ 2 λεπτά και το χάπι της εταιρείας ΙΙΙ 5 λεπτά του ευρώ.

34

Βιομηχανία κατασκευής φορητών ηλεκτρονικών υπολογιστών

χρησιμοποιεί τέσσερα ρομποτικά μηχανικά συστήματα A,B,C,D για

την συναρμολόγηση πέντε τύπων laptop T1,T2,T3,T4, T5.

T1 T2 T3 T4 T5

Α 1 1 2 2 1

B 2 1 3 1 0

C 0 2 1 1 1

D 1 1 0 0 3

Πόσα laptop (φυσικός αριθμός) από κάθε τύπο μπορούν να

συναρμολογηθούν (γραμμή παραγωγής) μέσα σε ένα οκτάωρο

λειτουργίας της ημερήσιας βάρδιας

Δεδομένου ότι η βιομηχανία κατάφερε όλα τα ρομποτικά

μηχανήματα να χρησιμοποιούνται συνεχώς και τις 8 ώρες μίας

βάρδιας.

35

Θεωρείστε μια τριγωνική πλάκα, την οποία έχουμε χωρίσει νοητά σε πλέγμα όπως στο παρακάτω σχήμα. Η θερμοκρασία στα εξωτερικά σημεία της πλάκας είναι γνωστή και ζητούμε να υπολογίσουμε την θερμοκρασία

στα εσωτερικά σημεία , 1,2,3iX i της πλάκας.

X1

X2 X3

10

10

10

5

5

5

55 5 5

10

10Μια προσέγγιση από τη Φυσική υποδεικνύει ότι η θερμοκρασία σε κάθε εσωτερικό σημείο είναι ίση με τον μέσο όρο της θερμοκρασίας των 4 γειτονικών σημείων. Στηριζόμενοι στην παραπάνω ιδιότητα, να υπολογίσετε την θερμοκρασία στα

σημεία 1 2 3, ,x x x .

36

1 2

2 1 3

3 2

110 5 5

4

110 5

4

15 5 5

4

x x

x x x

x x

X1

X2 X3

10

10

10

5

5

5

55 5 5

10

10

1 2 31 2

2 1 3 1 2 3

3 2 1 2 3

4x x 0x 204x 20 x

4x 15 x x x 4x x 15

4x x 15 0x x 4x 15

37

1 2 3

1 2

2 3

1 3

0

1

3 1

3 2