Fısica 2 - EMB5039

Prof. Diego DuarteOscilacoes (lista 4)

19 de abril de 2017

1. Mostre que a equacao que descreve o sistema massa-mola vertical dafigura 1 e dada por:

d2y′

dt2+ ω2y′ = 0 (1)

em que ω =√k/m e a frequencia natural de oscilacao do sistema e y′

a deformacao da mola em relacao ao ponto de equilıbrio. A equacao1 e chamada de equacao diferencial ordinaria linear de segunda ordemhomogena e com coeficientes constantes, ou apenas EDO de segundaordem. Considerando que o sistema parte da condicao y′ = ymax emt = 0, (a) mostre que a posicao da mola em funcao do tempo podeser representada por uma funcao do tipo y(t) = A cos (Bt) em que Ae B sao constantes. Mostre tambem que A = ymax e B = ω. (b)Calcule a velocidade e a aceleracao do corpo em funcao do tempo. (c)Trace os graficos x(t), v(t) e a(t) e faca a comparacao entre as curvaspara 0 ≤ ωt ≤ 2π, identificando os pontos de maximos e mınimos paracada funcao e associando estas propriedades com o problema fısico.(d) Mostre que a energia mecanica e conservada. (e) Acesse o pro-grama “Massas e Molas”na plataforma PhET [1] e meca o perıodo deoscilacao do sistema massa-mola considerando as massas de 50, 100 e250g. Faca 5 medidas para cada massa, anote estes resultados e cal-cule a media artimetica. Compare os valores medios com o resultadoobtido com equacao do perıodo, que pode ser calculado a partir dafrequencia angular ω. Explique a diferenca entre o valor experimentale o valor teorico. Lembre-se que para calcular o valor teorico, voceprecisa conhecer a constante elastica da mola (a dica esta na figura1). A frequencia de oscilacao depende da massa? Explique. Faca estemesmo experimento considerando a aceleracao gravitacional de Jupitere considerando o caso sem aceleracao gravitacional.

1

Figura 1: Exercıcio 1.

2. Mostre que a equacao que descreve o pendulo simples da figura 2 edada por:

d2φ

dt2+ ω2 sinφ = 0 (2)

em que ω =√g/L e a frequencia angular de oscilacao. Faca a analise

para pequenas oscilacoes (φ ≈ 0) e mostre que, neste caso, a solucaodo problema e dada por φ = φmax cos(ωt) para φ = φmax em t = 0. (a)Acesse o programa “Pendulum Lab”na plataforma PhET [2] e mecao perıodo de oscilacao para diferentes massas (0,5 kg ≤ m ≤ 2,0 kg)e comprimentos da haste (0,5 m ≤ L ≤ 2,5 m). (b) Faca as mesmasmedidas considerando a aceleracao graviacional da Lua. (c) Calcule aaceleracao gravitacional do “Planeta X”. (d) A frequencia angular deoscilacao depende da massa? Justifique com argumentos fısicos.

2

Figura 2: Exercıcio 2.

3. Considere um sistema massa mola amortecido similar ao da figura 3onde que a forca de arrasto, devido ao fluido, e dado por −bv. Mostreque a equacao do movimento e representada por:

md2y

dt2+ b

dy

dt+ ky = 0 (3)

em que y e a posicao instantanea do corpo de massa m. Mostre que aequacao:

y(t) = ymaxe−(b/2m)t cosω′t (4)

satisfaz a equacao 3 em que ω′ = ω0

√1 −

(b

2mω0

)2com ω0 =

√k/m.

Estude os casos subamortecido e criticamente amortecido e esboce assolucoes y(t). Considere que este mesmo corpo e excitado por umaforca externa na forma F0 cosωt em que ω e a frequencia angular de ex-citacao. Neste caso, a amplitude de oscilacao, em regime estacionario,e representada por:

A =F0√

m2(ω20 − ω2) + b2ω2

(5)

3

Esboce o grafico da equacao 5 em funcao de ω e indique qual a regiaoque devemos evitar para que o sistema nao tenha ressonancia.

Figura 3: Exercıcio 3.

4. Um pendulo simples, de comprimento L, esta preso a um carrinhomassivo que desce um plano inclinado, sem atrito, que forma um anguloθ com a horizontal, como mostra a figura 4. Determine o perıodo depequenas oscilacoes para este pendulo.

Resposta: T = 2π√L/(g cos θ)

5. Um pendulo, em seu laboratorio de fısica, tem um comprimento de75 cm e uma bolinha de 15 g de massa. Despreze a massa da haste.Para iniciar o balanco da bolinha, voce colocar um ventilador proximoa ela, soprando uma corrente horizontal de ar. Enquanto o ventiladoresta ligado, a bolinha fica em equilıbrio com o pendulo deslocado deum angulo de 5,0◦ com a vertical. O vento e soprado pelo ventiladora 7,0 m/s. Voce desliga o ventilador e deixa que o pendulo oscile. (a)Supondo que a forca de arrasto seja dada pela forma −bv, calcule aconstante b. (b) Quanto tempo levara para a amplitude do pendulochegar em 1,0◦?

4

Figura 4: Exercıcio 4.

6. Um bloco de massa m, em repouso sobre uma mesa horizontal, e presoa uma mola que tem uma constante elastica k, como mostra a figura5. O coeficiente de atrito cinetico entre o bloco e a mesa e µc. (a) Umimpulso inicial para direita e aplicado sobre a massa quando a molaesta na posicao x = 0. Mostre a equacao do movimento neste caso(1/4 do perıodo) e dada por:

d2x′

dt2+ ω2x′ = 0 (6)

em que x′ = x + µcmg/k e ω =√k/m. (b) Mostre que no segundo

quarto do perıodo (movimento da direita para x = 0), a equacao domovimento sera:

d2x′′

dt2+ ω2x′′ = 0 (7)

com x′′ = x − µcmg/k. Dica: em cada situacao, observe o sentido daforca elastica e da forca de atrito.

Figura 5: Exercıcio 6.

7. Um corpo de 3,0 kg, sobre uma superfıcie horizontal sem atrito, oscilapreso a uma das extremidades de uma mola com uma amplitude de 8,0cm. Sua aceleracao maxima e 3,5 m/s2. Determine a energia mecanicatotal.

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Referencias

[1] Massas e Molas, Phet Interactive Simulations. Last view: 18/04/2017.

[2] Pendulum Lab, Phet Interactive Simulations. Last view: 19/04/2017.

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