Γραμμική Αλγεβρα

Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο)

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

2 Δεκεμβρίου 2013

Θεώρημα

Εάν το σύνολο v1, v2, . . . , vm είναι βάση του χώρου V και τοσύνολο w1,w2, . . . ,wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου Vτότε m = n.

΄Εστω m < n

W = VC ⇒Wx = VCx ⇒Wx = V (Cx)

Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. Αρατο Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΟπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΑτοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

.

Θεώρημα

Εάν το σύνολο v1, v2, . . . , vm είναι βάση του χώρου V και τοσύνολο w1,w2, . . . ,wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου Vτότε m = n.

΄Εστω m < n

W = VC ⇒Wx = VCx ⇒Wx = V (Cx)

Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. Αρατο Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΟπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΑτοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απόδειξη.

.

Θεώρημα

Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδιαβάση με τον χώρο γραμμών του U.

(Αρα οι δύο χώροι

ταυτίζονται).

Απόδειξη.

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Θεώρημα

Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδιαβάση με τον χώρο γραμμών του U. (Αρα οι δύο χώροιταυτίζονται).

Απόδειξη.

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Θεώρημα

Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδιαβάση με τον χώρο γραμμών του U. (Αρα οι δύο χώροιταυτίζονται).

Απόδειξη.

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Θεώρημα

Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίδιος με τον χώρο στηλών του U.

Απόδειξη.

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U

Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U

Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U

Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.

Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U

Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U

Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U

Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.

Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U

Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U

Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U

Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.

Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U

Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U

Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U

Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.

Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .

A =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

, U =

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U

Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U

Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U

Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.