21η Διάλεξη - Βάση και διάσταση θεμελιωδών χώρων
-
Upload
manolis-vavalis -
Category
Documents
-
view
113 -
download
0
description
Transcript of 21η Διάλεξη - Βάση και διάσταση θεμελιωδών χώρων
Γραμμική Αλγεβρα
Θεμελιώδεις Θεώρημα (μέρος 1ο)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
2 Δεκεμβρίου 2013
Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1, v2, . . . , vm είναι βάση του χώρου V και τοσύνολο w1,w2, . . . ,wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου Vτότε m = n.
΄Εστω m < n
W = VC ⇒Wx = VCx ⇒Wx = V (Cx)
Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. Αρατο Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΟπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΑτοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
.
Θεώρημα
Εάν το σύνολο v1, v2, . . . , vm είναι βάση του χώρου V και τοσύνολο w1,w2, . . . ,wn είναι και αυτό βάση του ίδιου χώρου Vτότε m = n.
΄Εστω m < n
W = VC ⇒Wx = VCx ⇒Wx = V (Cx)
Ο μηδενόχωσρος του πίνακα C έχει μη-μηδενικά στοιχεία. Αρατο Cx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΟπότε και το Wx = VCx = 0 έχει μη-τετριμένη λύσηΑτοπο επειδή τα wi είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
.
Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδιαβάση με τον χώρο γραμμών του U.
(Αρα οι δύο χώροι
ταυτίζονται).
Απόδειξη.
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδιαβάση με τον χώρο γραμμών του U. (Αρα οι δύο χώροιταυτίζονται).
Απόδειξη.
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Θεώρημα
Ο χώρος γραμμών του A έχει την ίδια διάσταση r και την ίδιαβάση με τον χώρο γραμμών του U. (Αρα οι δύο χώροιταυτίζονται).
Απόδειξη.
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Θεώρημα
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίδιος με τον χώρο στηλών του U.
Απόδειξη.
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.
Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.
Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.
Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.
Θεμελιώδεις υπόχωροι A και U .
A =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U =
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο του U
Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται με τον χώρος γραμμώντου U
Ο χώρος στηλών του A δεν είναι ίσος με τον χώρο στηλώντου U
Βάση του χώρου στηλών του A είναι οι στήλες του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουν οδηγό.