ΦΥΣΙΚΗΕνότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

• Ανάλυση διανύσματος στις συνιστώσες του σε ένα σύστημα καρντεσιανών ή πολικών συντεταγμένων.

• Χρήση των μοναδιαίων διανυσμάτων σε αυτά τα συστήματα.

• Οι βασικές διανυσματικές πράξεις.

4

Περιεχόμενα ενότητας

Διανύσματα.

Συστήματα συντεταγμένων.

Πρόσθεση διανυσμάτων.

Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων.

Αφαίρεση διανυσμάτων.

Συνιστώσες διανύσματος.

Άλγεβρα διανυσμάτων - Μοναδιαία διανύσματα.

Παραδείγματα.

5

Διανύσματα

Διανυσματικά μεγέθη.

• Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης.

Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τις μαθηματικές πράξεις των διανυσμάτων.

• Πρόσθεση.

• Αφαίρεση.

6

Συστήματα συντεταγμένων

Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο.

Συνηθισμένα συστήματα συντεταγμένων είναι:

• Καρτεσιανό.

• Πολικό.

7

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

• Οι άξονες x και y τέμνονται στην αρχή τωνσυντεταγμένων.

• Τα σημεία αναπαρίστανται με το ζεύγος (x, y).

Εικόνα: Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

8

Διανυσματικά και βαθμωτάμεγέθη

Ένα βαθμωτό μέγεθος ορίζεται πλήρως από μία τιμή ακολουθούμενη από την κατάλληλη μονάδα και δεν έχει κατεύθυνση.

• Πολλά βαθμωτά μεγέθη είναι πάντα θετικά (ή μηδέν).

• Άλλα έχουν είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές.

• Οι πράξεις με βαθμωτά μεγέθη γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες της απλής αριθμητικής.

Ένα διανυσματικό μέγεθος ορίζεται πλήρως από έναν αριθμό ακολουθούμενο από την κατάλληλη μονάδα και μία κατεύθυνση.

9

Παράδειγμα διανυσματικού μεγέθους

Ένα σωματίδιο κινείται από το σημείο A στο σημείο B ακολουθώντας τη διαδρομή που υποδεικνύει η διακεκομμένη γραμμή.

• Αυτή είναι η απόσταση που διένυσε -βαθμωτό μέγεθος.

Η μετατόπιση είναι η συμπαγής ευθεία που ενώνει το A με το B.

• Η μετατόπιση είναι ανεξάρτητη από τη διαδρομή που ακολουθεί το σωματίδιο μεταξύ των δύο σημείων.

• Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος.

Εικόνα: Παράδειγμα διανυσματικού μεγέθους.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

10

Συμβολισμός διανυσμάτων

11

Ισότητα δύο διανυσμάτων (1/2)

•Δύο διανύσματα είναι ίσα αν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση.• αν A = B και αν τα διανύσματα έχουν ίδια διεύθυνση και φορά, δηλαδή ίδια κατεύθυνση.

•Όλα τα διανύσματα της εικόνας είναι ίσα.

•Αυτό μάς επιτρέπει να μεταθέσουμε παράλληλα ένα διάνυσμα σε μια νέα θέση.

12

BΑ

Ισότητα δύο διανυσμάτων (2/2)

Εικόνα: Ισότητα δύο διανυσμάτων.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

13

Πρόσθεση διανυσμάτων

Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι πολύ διαφορετική από την πρόσθεση βαθμωτών μεγεθών.

Όταν προσθέτουμε διανύσματα, πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη την κατεύθυνσή τους.

Οι μονάδες τους πρέπει να είναι ίδιες.

Μέθοδοι πρόσθεσης διανυσμάτων

• Γραφική μέθοδος: Σχεδιάζουμε τα διανύσματα υπό κλίμακα.

• Αλγεβρική μέθοδος: Είναι πιο βολική.

14

Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο (1/4)

15

Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο (2/4)

Εικόνα: Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

16

Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο (3/4)

17

Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο (4/4)

Εικόνα: Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

18

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.1 (1/2)

• Ένα πουλί πετάει 100 m ανατολικά, ύστερα 200 m βορειοδυτικά (δηλαδή, 45 βόρεια προς τα δυτικά). Ποιά είναι η τελική μετατόπιση του πουλιού;

Εικόνα: Παράδειγμα 1.1.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

19

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.1 (2/2)

20

Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο (τελική διαφάνεια)• Όταν έχετε πολλά διανύσματα,

επαναλάβετε τη διαδικασία μέχρι να τα συμπεριλάβετε όλα.

• Η συνισταμένη εξακολουθεί να είναι το διάνυσμα που αρχίζει από την ουρά του πρώτου διανύσματος και τελειώνει στην αιχμή του τελευταίου.

Εικόνα: Πρόσθεση διανυσμάτων με τη γραφική μέθοδο.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

21

Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων (1/3)

Στην πρόσθεση δύο διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τη σειρά της άθροισης.

• Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης.

Εικόνα: Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

22

Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων (2/3)

Στην πρόσθεση τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ομαδοποίησης των επιμέρους διανυσμάτων.

• Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται προσεταιριστικήιδιότητα της πρόσθεσης.

Εικόνα: Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

23

Κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων (3/3)

Στην πρόσθεση διανυσμάτων, όλα τα διανύσματα πρέπει να έχουν τις ίδιες μονάδες.

Όλα τα διανύσματα πρέπει να περιγράφουν το ίδιο μέγεθος.

• Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να προσθέσετε ένα διάνυσμα μετατόπισης με ένα διάνυσμα ταχύτητας.

24

Αντίθετο ενός διανύσματος

Ως αντίθετο ενός διανύσματος ορίζουμε το διάνυσμα το οποίο, όταν προστεθεί στο αρχικό, δίνει μηδενικό διανυσματικό άθροισμα.

• Συμβολίζεται με

•

Το αρχικό διάνυσμα και το αντίθετό του θα έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετες κατευθύνσεις.

Εικόνα: Αντίθετο ενός διανύσματος.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

25

Αφαίρεση διανυσμάτων

Εικόνα: Αφαίρεση διανυσμάτων.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

26

Αφαίρεση διανυσμάτων, μέθοδος 2

Εικόνα: Αφαίρεση διανυσμάτων, μέθοδος 2.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

27

Πολ/σμός ή διαίρεση διανύσματος με βαθμωτή ποσότητα (1/2)

• Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης ενός διανύσματος με μια βαθμωτή ποσότητα είναι διάνυσμα.

• Το μέτρο του διανύσματος πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με τη βαθμωτή ποσότητα.

• Αν η βαθμωτή ποσότητα είναι θετική, το διάνυσμα που προκύπτει έχει την ίδια κατεύθυνση με το αρχικό διάνυσμα.

• Αν η βαθμωτή ποσότητα είναι αρνητική, το διάνυσμα που προκύπτει έχει αντίθετη κατεύθυνση από το αρχικό διάνυσμα.

28

Εικόνα: Αντίθετο ενός διανύσματος.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

Πολ/σμός ή διαίρεση διανύσματος με βαθμωτή ποσότητα (2/2)

29

Μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων με χρήση συνιστωσών

Η γραφική μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων δεν ενδείκνυται όταν:

• Θέλουμε μεγάλη ακρίβεια.

• Λύνουμε προβλήματα σε τρεις διαστάσεις.

Μία εναλλακτική μέθοδος είναι η μέθοδος πρόσθεσης με χρήση συνιστωσών.

• Χρησιμοποιεί τις προβολές των διανυσμάτων πάνω σε άξονες συντεταγμένων.

30

Συνιστώσες διανύσματος –Εισαγωγή

Συνιστώσα είναι η προβολή ενός διανύσματος πάνω σε έναν άξονα.

• Κάθε διάνυσμα μπορεί να περιγραφεί πλήρως από τις συνιστώσες του.

Είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε τις καρτεσιανές συνιστώσες.

• Αυτές είναι οι προβολές του διανύσματος στους άξονες x και y.

Εικόνα: Συνιστώσες διανύσματος – Εισαγωγή.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

31

Συνιστώσες διανύσματος –Ορολογία

Εικόνα: Συνιστώσες διανύσματος – Ορολογία.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

32

Συνιστώσες διανύσματος (1/4)

Εικόνα: Συνιστώσες διανύσματος.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

33

Συνιστώσες διανύσματος (2/4)

Η συνιστώσα y μετατίθεται στην αιχμή της συνιστώσας x.

Αυτό είναι εφικτό επειδή μπορούμε να μεταθέσουμε παράλληλα οποιοδήποτε διάνυσμα σε μια νέα θέση χωρίς να το επηρεάσουμε.

• Έτσι σχηματίζεται το τρίγωνο.

Εικόνα : Συνιστώσες διανύσματος.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

34

Συνιστώσες διανύσματος (3/4)

Η συνιστώσα x ενός διανύσματος είναι η προβολή του πάνω στον άξονα x.

Η συνιστώσα y ενός διανύσματος είναι η προβολή του πάνω στον άξονα y.

Έχουμε υποθέσει ότι η γωνία θμετριέται ως προς τον άξονα x. Αν αυτό δεν ισχύει, οι εξισώσεις δεν θα είναι σωστές.

Εικόνα: Συνιστώσες διανύσματος.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

35

Συνιστώσες διανύσματος (4/4)

Οι συνιστώσες είναι οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα μήκους A.

• Και πάλι, πρέπει να υπολογίσουμε τη θ ως προς τον θετικό άξονα x.

Στα προβλήματα, μπορούμε να ορίσουμε ένα διάνυσμα είτε με τις συνιστώσες του είτε με το μέτρο και την κατεύθυνσή του.

Εικόνα: Συνιστώσες διανύσματος.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

36

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.2

Να υπολογίσετε τις x και y συνιστώσες ενός διανύσματος επιτάχυνσης που φαίνεται στο Σχήμα 1.16α.

Λύση.

H γωνία του διανύσματος της επιτάχυνσης ως προς το θετικό x-άξονα είναι ίση με:

= 180 + 30 = 210. Οπότε:

• x = cos210 = (6 m/s2) cos210 = 5.2 m/s2

• y = sin210 = (6 m/s2) sin210 = 3.0 m/s2

• Η δύο συνιστώσες της φαίνονται στο Σχήμα 1.16β.

Εικόνα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.2.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

37

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.3 (1/2)• Το Σχήμα 1.17α δείχνει το διάνυσμα της ταχύτητας ενός

σωματιδίου. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σωματιδίου και την κατεύθυνση της κίνησής του.

Εικόνα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.3.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

38

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.3 (2/2)

39

Άλγεβρα διανυσμάτων -Μοναδιαία διανύσματα (1/2)

• Ένα μοναδιαίο διάνυσμα δεν έχει διαστάσεις και το μέτρο του είναι ίσο με 1.

• Τα μοναδιαία διανύσματα ορίζουν μία συγκεκριμένη κατεύθυνση και δεν έχουν κάποια άλλη φυσική σημασία.

• Συμβολίζουμε τα μοναδιαία διανύσματα με τα σύμβολα.

• Αποτελούν ένα σύνολο κάθετων μεταξύ τους διανυσμάτων σε ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων.

• Το μέτρο κάθε μοναδιαίου διανύσματος ισούται με 1.

40

Άλγεβρα διανυσμάτων -Μοναδιαία διανύσματα (2/2)

Εικόνα: Άλγεβρα διανυσμάτων - Μοναδιαία διανύσματα.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

41

Διανύσματα σε μορφή μοναδιαίων διανυσμάτων

• Η συνιστώσα Ax είναι ίδια με το γινόμενο Ax και η συνιστώσα Ay

είναι ίδια με το γινόμενο Ay , κ.ο.κ.

• Το πλήρες διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως:

Εικόνα: Διανύσματα σε μορφή μοναδιαίων διανυσμάτων.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

42

Διάνυσμα θέσης – Παράδειγμα

Ένα σημείο του επιπέδου xyέχει καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y).

Το σημείο μπορεί να οριστεί από το διάνυσμα θέσης:

Η παραπάνω σχέση δίνει τις συνιστώσες του διανύσματος και τις συντεταγμένες του. Εικόνα: Διάνυσμα θέσης-

Παράδειγμα.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

43

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.6 (1/3)

Το Παράδειγμα 1.1 ήταν σχετικό με ένα πουλί που πέταξε 100 m ανατολικά, ύστερα 200 m βορειοδυτικά. Χρησιμοποιείστε την αλγεβρική πρόσθεση διανυσμάτων για να βρείτε την τελική μετατόπιση του πουλιού.

Εικόνα: Παράδειγμα 1.6.

Πηγή: Serway και Jewett (2012).

44

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.6 (2/3)

45

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.6 (3/3)

46

Επέκταση στις τρεις διαστάσεις

47

Πρόσθεση τριών ή περισσότερων διανυσμάτων

Η ίδια μέθοδος μπορεί να επεκταθεί για την πρόσθεση τριών η περισσότερων διανυσμάτων.

Υποθέτουμε ότι:

και

48

Βιβλιογραφία

• Knight Randall D. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς:Τόμος ΙΑ – Μηχανική, Θερμοδυναμική» Έκδοση: 2η έκδ./2010, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ, ISBN: 978-960-319-297-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 12967.

• Raymond A. Serway, John W. Jewett (2012) “Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Τόμος Ι – Μηχανική, ταλαντώσεις και μηχανικά κύματα, Θερμοδυναμική, Σχετικότητα ”, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ, ISBN: 978-960-461-508-7, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 22750100.

• Hugh D. Young “Πανεπιστημιακή Φυσική: Τόμος Α’ –Μηχανική , θερμοδυναμική”, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ, ISBN: ISBN:978-960-02-1067-5, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 30328.

49

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, ΠουλάκηςΝικόλαος. «ΦΥΣΙΚΗ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

Σημείωμα Αδειοδότησης

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative CommonsΑναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:

• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο.

• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο.

• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο.

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

52

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

το Σημείωμα Αναφοράς.

το Σημείωμα Αδειοδότησης.

τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων.

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει).

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

53

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων

Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων:

Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες:

• Knight Randall D. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς:Τόμος ΙΑ – Μηχανική, Θερμοδυναμική» Έκδοση: 2η έκδ./2010, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ, ISBN: 978-960-319-297-8, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 12967.

• Raymond A. Serway, John W. Jewett (2012) “Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Τόμος Ι – Μηχανική, ταλαντώσεις και μηχανικά κύματα, Θερμοδυναμική, Σχετικότητα ”, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ, ISBN: 978-960-461-508-7, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 22750100.

• Hugh D. Young “Πανεπιστημιακή Φυσική: Τόμος Α’ – Μηχανική , θερμοδυναμική”, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ, ISBN: ISBN: 978-960-02-1067-5, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 30328.

54