Τα μαθηματικά των εξισώσεων Einsteinτης γενικής θεωρίας της σχετικότητας:

25 Νοεμβρίου 1915 – σήμερα

Μιχάλης Δαφέρμος

Ο Einstein στο Βερολίνο, γύρω στο 1915

Ο Einstein διατυπώνει το 1905 τη θεωρία της «ειδικής» σχετικότητας.

Το c = 299 792 458 ms-1 είναι άνω φράγμα για την ταχύτητα κάθε φυσικού αντικειμένου

Βέρνη

O Νεύτων στο Trinity College, Cambridge

ma = �GmMr

|r|3Η βαρύτητα δρα ακαριαία

ma = �GmMr

|r|3

a = �GMr

|r|3

Το κλειδί: Η αρχή της ισοδυναμίας

Ρημάνια γεωμετρία, 1854

Bernhard Riemann 1826–1866

Carl Friederich Gauss, 1777–1855

↵1

↵2

↵3

p

K(p) = limT!p

↵1 + ↵2 + ↵3 � ⇡

Area(T )

T

Θεώρημα Egregium, 1825

χρονοειδής κατεύθυνση

χωροειδής κατεύθυνση

κώνος φωτός

ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΣ

Gµ⌫ = Tµ⌫

Ο τανυστής Einstein της καμπυλότητας

Ο τανυστής ενέργειας-ορμής της ύλης

X

µ

rµTµ⌫ = 0

ΚΙΝΗΣΗ

ΤΗΣ ΥΛΗ

Σ

γεωδαισιακή στον χωρόχρονο

Gµ⌫ =X

↵,�

g

↵� @

2gµ⌫

@x

↵@x

�+ · · ·

John Wheeler (1911–2008)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Yvonne Choquet-Bruhat, 1952)

Για κάθε αρχική κατάσταση του χώρου υπάρχει μία και μόνο μία λύση των εξισώσεων Einstein στο κενό που προκύπτει απ᾽αυτή.

Yvonne Choquet-Bruhat (1923– )

Gµ⌫ = 0

ΘΕΩΡΗΜΑ (Δημήτρης Χριστοδούλου–Sergiu Klainerman, 1993)

Ο χώροχρονος του Minkowski είναι ευσταθής σαν λύση των εξισώσεων Einstein στο κενό.

Δημήτρης Χριστοδούλου (1951– )

Karl Schwarzschild (1879–1955)

Gµ⌫ = 0

g = �(1� 2M/r)dt2 + (1� 2M/r)�1dr2 + r2(d✓2 + sin2 ✓ d�2)

Albert Einstein (1879–1955) David Hilbert (1862–1943) Arthur Eddington (1882–1944)

g = �(1� 2M/r)dt2 + (1� 2M/r)�1dr2 + r2(d✓2 + sin2 ✓ d�2)

Georges Lemaitre (1894–1966)

`

r < 2M

r=

2M

r=

0

Η γεωμετρία των γεωδαισιακών τροχών στην λύση Schwarzschild και η έννοια της μελανής οπής

g = �(1� 2M/r)dt2 + (1� 2M/r)�1dr2 + r2(d✓2 + sin2 ✓ d�2)

ΕΙΚΑΣΙΑ («κοσμικής λογοκρισίας») (Roger Penrose, 1969)

Σχεδόν όλες οι χωροχρονικές ιδιομορφίες που προκύπτουν στην βαρυτική κατάρρευση στις λύσεις των έξισωσεων Einstein

είναι «καλυμμένες» σε μαύρες τρύπες όπως της Schwarzschild.

Roger Penrose (1931– )

Gµ⌫ = Tµ⌫