Η Θεμελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας -...

ΊΌ ΒΗΜΑ

ΒΙΒΛΙΑ ΠΟΥ ΑΛ ΛΑΞΑΝ τ ο Ν ΚΟΣΜΟ -03

ΑΛΜΠΕΡΥ ΑΪΝΣΤΑIΝ Η θΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ θΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΠΙΚΟΤΗΤΑΣ

«Η φαντασία είναι πιο σημαντική από τη γνώση».

Αυτά είναι τα λόγια του Άλμπερτ Αϊνστάιν, του

ανθρώπου που, ενώ έμαθε να μιλά πολύ αργότερα

από τον μέσο όρο και αποβλήθηκε από το Λύκειο

σε ηλικία 15 ετών, μας έδωσε τα βασικά θεμέλια της σύγχρονης Φυσικής. Μέσα από τη Γενική θεωρία

της Σχετικότητας, εργασία η οποία δημοσιεύτηκε

το 1915 αντικαθιστώντας τη Νευτώνια θεωρία, η βαρυτική έλξη είναι μία γεωμετρική ιδιότητα του

χωροχρόνου, ενός χώρου τεσσάρων διαστάσεων,

ο οποίος καμπυλώνεται ανάλογα με τη μάζα που

βρίσκεται μέσα του. Ενενήντα πέντε χρόνια μετά

τη θεμελίωσή της, η γενική θεωρία εξακολουθεί

να αποτελεί το πιο επιτυχημένο μοντέλο για το

σύμπαν, αποτελώντας πηγή έμπνευσης για κάθε

νέα ερευνητική προσπάθεια.

ΠΡΩΤΗ ΕΚΔΟΣΗ 1915

ISBN 978-960-469-698-7

789604 696987

Ο Άλμπερτ Αίνστόιν υπήρξε μία από τις σπουδaιότερες και πιο ενδιαφέρουσες προσωπικότητες του 20ού αιώνα, όχι μόνο για

τη συμβολή του σmν ανάπτυξη της φυσικής επιστήμης, αλλά

και επειδή σημάδεψε με τις ιδέες του ολόκληρη την εποχή του . .iεννnμένος στην πόλη Ουλμ της Γερμανίας (14 Μαρτίου 1879), ο Αίνστάιν πέρασε τα. παιδικά και σχολικά του χρόνια χωρίς

να παρουσιάσει κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο στις φuσικέςεπιστή

μες. Ολοκληρώνοντας τις σπουδές του στα Μαθηματικά και τη

Φυσική στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχnς, εργάστηκε για μερικά

χρόνια ως καθηγητής και έπειτα στο Γραφείο Ευρεσιτεχνιών

της Βέρνης. Ωστόσο, το 1905, ο ΑΊvστάιν κατάφερε να αλλάξει νια πqντα τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε το σύ

μπαν: ο μέχpι τότε άννωστοc στοuc επιστnμονικούc κίικλοuc φυσικός δημοσίευσε στο Annalen der Physik μία μελέτη που επέκτεινε τους Νευτώνειους νόμους για την κίνηση. Επρόκειτο

νια την Ειδική Θεωρία τπς Σχετικότητας, που συγκλόνισε τον

επιστημονικό κόσμο. Το 1912 ο Αίνcπάιν πήρε μία έδρα στο

Πανεπιστήμιο της Ζυρίχnς και τρία χρόνια μετά ακολούθησε η

δημοσίευση της Γενικής Θεωρίας i:ης Σχέτικότnτας. Από εκεί

και έπειτα δεν σταμάτησε ποτέ η · επαγγελματική καταξίωση.

με κορυφαία στίγμή το Νόμπελ Φυσικής, το 1922. Παντρεύτηκε δύο φορές, συνδέθηκε με τις μεγαλύτερες προσωπικότητες

της εποχής του, εργαζόταν σκληρά . και εξέφραζε τις απόψεις

του για όλα τα ζητήματα πού απασχολούσαν την κοινή γνώμη. Μετά την άνοδο του Ναζισμού, λόγω της εβραϊκής καταγωγής

του, αποφάσισε να δεχτεί τη θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο

του Πρίνστον και διέφυγε στις ΗΠΑ όπου και παρέμεινε ως το τέλος της ζωής του (18 Απριλίου 1955).

~

~

--

, r1 μ ι

, ς

ΊΙ

ι

ς

Ειδική έκδοση για την εφημερίδα

το ΒΗΜΑ

Διεύθυνση σχεδιασμού: Γιόννης Καρλόπουλος/ ΤΟ ΒΗΜΑ Σχεδιασμός εξωφύλλου: Βασίλης Γεωργίου I ΤΟ ΒΗΜΑ Πρόλογος - μετόφρασn - σημειώσεις: Dr. Θ. Χριστακόπουλος Επιμέλεια σειρός: Άννα Αστρινόκη

Σελιδοποίηση: ΑΡΧΠΥΠΟ - Γραφικές τέχνες

Εκτύπωση, βιβλιοδεσία: G. CANAI.E & S.p.A.

ISBN: 978-960-469-698-7 © Εκδόσεις Τροχαλία I all ήghts reserved Μαυρομιχόλη 5, 106 79 Αθήνα, mλ.: 210 3607822 © 2010 για αυτή την έκδοση Δημοσιογραφικός Οργανισμός Λαμπρόκη Α.Ε.

Η πνευματική ιδιοκmσίa αποκτάται χωρίς καμία διατύπωση και χωρίς mν ανόγκn ρήτρας, απαγορευτικής των προαβολών mς. Επισnμαlνεται, πάντως, ότι κατά τον Ν. 2387/ 20 (όπως έχει τροποποιnθεl με τον Ν. 2121/93 και ισχύει σήμερα) και κατά m Διεθνή Σύμβασn mς Βέρνης {που έχει κυρωθεί με τον Ν. 100/1975) απαγορεύεται n αναδnμοσlευσn, n αποθήκευση σε κάποιο σύσmμα διάσωσης, και γενικά n αναπαραγωγή του παρόντος έργου, με οποιονδήποτε τρόπο ή μορφή, τμηματικά ή nεριλnmικά στο πρωτότυπο ή. σε μετάφραση ή άλλη διασκευή,

χωρίς γραπτή άδεια του εκδόm.

Άλμπερτ · Α"ι"νστάιν η θε λί n

f

ς νι ης f!

ε ) ι ς

τ ς

Πρόλογος σmν έκδοση από «Το Βήμα» ............................................. 9 Πρόλογος ........................................................................................... 19

Α Θεμελειώδεις θεωρήσεις πάνω στο αξίωμα της σχετικότητας .... 23 Β. Μαθηματικά βοηθήματα για το φορμαλισμό

των γενικά συννaλοίωτων εξισώσεων ........................................... 41 Γ. Θεωρία του βαρuτικού πεδίου ..................................................... 105 Δ. Υλικά φαινόμενα .......................................................................... 117

πρόλογος στ·πν έκδοσr1 από «Το Βήμα»

(α) Γενικά Σχόλια

Αποτελεί ιδιαίτερη τιμή και πρόκλπσπ για κάθε επιστήμονα να προλο

γίσει mν εργασία του Albert Einstein που αφορά σm θεμελίωση mς γενικής θεωρίας mς σχετικόmτας. Η πρόκληση είναι μεγαλίπερπ για ε

μένα, καθότι δεν είμαι φυσικός. Ο αναγνώστnς θα κρίνει αν ο πρόλο

vός μου βοπθά. Οι ειδικοί ας κρίνουν με επιείκεια.

Το βιβλίο που έχετε στα χέρια σας είναι π μετάφραση (από τον κ.

Θάνο Χριστακόπουλο) τπς δημοσίευσπς του Einstein Η Θεμελίωση rns yεvικns θεωρίαs rns σxεrικόrnras, όπως εκδόθηκε από τις εκδόσεις «Τροχαλία» ως μία από εmά μεταφράσεις εmά σπουδαίων επισmμο

νικών έργων, σm σειρά «Ανθολογία θετικών Επισmμών». Είχα τπν τύ

χη να συνεργαστώ με τον Θάνο Χριστακόποuλο όταν αυτός μετέφρα

ζε το έκτο έργο mς σειράς Για το Θεώρnμα τns μn-πλnρότnταs του

Godel, του V. Uspensky, όπου έκανα mν επισmμονική επιμέλεια. Γνωρίζω επομένως ότι π δουλειά του Θάνου δεν είναι απλή μετάφραση αλ

λά κάτι πολύ περισσότερο (αναλυτικές επεξηγήσεις, ακριβές ιστορικό,

πλήρεις αναφορές). Επί παραδείγματι, το βιβλίο που έχετε τώρα είναι

εμπλουτισμένο με σημειώσεις του μεταφραστή που καταλαμβάνουν με

γάλη έκτασπ στο βιβλίο! Είμαι σε θέσπ να βεβαιώσω ότι οι σπμειωσεις

αυτές έχουν m δική τους αξία και βοηθούν στο να γίνει πιο κατανοητό, από πολλούς, ένα σπουδαίο επισmμονικό σύγγραμμα.

Η εικόνα που έχουμε σήμερα νια τον κόσμο (το σύμπαν) διαφέρει

πολύ από mν εικόνα που είχαν οι άνθρωποι σmν αρχαιότητα {π. χ., οι

Αιγόmιοι, οι πρόγονοί μας, ή οι κινέζοι φιλόσοφοι). Η σημερινή μας α

ντίληψη νια το σύμπαν βασίζεται στις ανακαλύψεις του Α. Einstein (που συμπληρώνουν και επεκτείνουν με καeοριστικό τρόπο τις θεωρήσεις

10 Άλμπερτ Α:ίνστάιν

του Κοπέρνικου, του Γαλιλαίου και του Νεύrωνα). Η γενική θεωρία της

σχετικότητας του Α. Eίnstein είναι, σήμερα, το ένα από τα δύο θεμέλια

τπς σύγχρονης Φυσικής. Το άλλο είναι η Κβανηκή Θεωρία, δηλαδή η

βάση της κατανόησης που έχουμε για την ύλη όσον αφορά στις στοι

χειώδεις συνιστώσες τπς (σωματίδια και στοιχειώδεις αλληλεπιδρά

σεις). Ακόμη και σήμέρα είναι ανοιχτό ερώτπμά το θέμα του πώς θα συμβιβαστούν οι θεωρήσεις αυτών των δύο θεμελίων!

ΑξίζΟυν θερμά συνχαρπτήρια στο Βr'ιμα τns Kupιaκfιs που δίνει το

βιβλίο αυτό σε κάθε Έλληνα! Η unοδειγματική και επιμελημένη μετά

φραση κάνει το βιβλίο προσιτό σε κάθε άνθρωπο που ενδιαφέρεται νια

τΘ τι είναι ο κόσμος γύρω του και για το πώς λειτουργεί η φύση. Οι πιο

ειδικοί θα απολαύσουν την 'aυθεντική avάmuξn τπς γενικής θεωρίας από τον ίδιο τον Einstein. Ο καθένας μας θα κερδίσει κάτι από το βίβλίο αυτό. Ιδιαίτερα θα κερδίσουν, διαβόζοντάς το, οι νέοι άνθρωποι. Άλλ!iχJτε,

ανάμεσά τους ίσως να υπάρχουν οι επόμενοι Eίnstein.

Στη συνέχεια δίνω τη δική μου περίληψη νια τπ γενική θεωρία τπς

σχετικότητας προσπαθώντας να αποφύγω τελείως τους μαθηματικούς

συμβολισμούς. Ο στόχος μου είναι, απλώς, να κεντρίσω ακόμη περισ

σότερο την περιέργεια του αναγνώστη, αλλά και να φωτίσω πτυχές τπς

επιστήμης που έγιναν κατανοητές (ως συνέπειες της γενικής θεωρίας)

πολλά έτη μετά τη δημοσίευσή της. Αυτό έπρεπε να γίνει, διότι το βι

βλίο (π βασική εργασία του Eίnstein για τπ γενική θεωρία τπς σχετικό

τητας, όπως δημοσιεύτηκε το 1915) είναι αναγκαστικά πυκνό σε μαθηματικά και προϋποθέτει διάφορες γνώσεις που ίσως να λείπουν από

τον αναγνώστη. Δεν είμαι σίγουρος ότι προσθέτει κάτι ουσιώδες ο

πρόλογός μου, παρ' όλα aυτά. Αν θέλετε, μπορείτε να τον παραλείψε

τε. Ως μη φυσικός, αλλά και ως εραστής των Μαθηματικών, αναλαμ

βάνω πλήρως την ευθύνη τυχόν λαθών στα δικά μου σχόλια εδώ.

(β) Τι είναι n γενικiι θεωρία τns σχετικότnταs;

Η γενική θεωρία της σχετικότητας είναι μία νέα «γεωμετρική» θεωρία

τπς βαρύτητας. Η σχετική εργασία (που είναι ο πυρήνας του βιβλίου που

διαβάζετε) προδημοσιεύτπκε από τον Einstein το 1915. Η θεωρία αυτή εξακολουθεί να είναι η επικρατούσα θεωρία για τη βαρύτητα στπ μο

ντέρνα Φυσική.

Σύμφωνα με τον Νεύrωνα, η βαρuτική έλξη είναι μία αλληλεπίδρα

ση μεταξύ μαζών. Σύμφωνα με τον Eίnstein, η βαρuτική έλξη είναι μια

γεωμετρική ιδιότητα του χωροχρόνου! (Ο χωροχρόνος είναι «χώρος»

4 διαστάσεων, όπου η τέταρτη είναι ο χρόνος). Συγκεκριμένα, ο χωροχρόνος είναι ένα ευλύγιστο μέσον που μπορεί να κάμmεται και να

Η Γεvικfι Θεωρία τns Σχετικότnταs 11

συστρέφεται. Ο τρόπος με τον οποίο «καμrωλώνεται» ο χωροχρόνος,

διαμορφώνει ένα βαρυηκό πεδίο δυνάμεων. Η παρουσία μάζας (ίιλπς)

προκαλεί καμπίιλωσπ (ή σrρέ{3λωσn) του χωροχρόνου. Αντί να φα

νταζόμαστε δυνάμεις που δρουν μεταξύ μαc;ών, ξεχνάμε τελείως mν έν

νοια mς δύναμης και θf:ωροίιμε ότι οι μάζες, κατά mν κίνησή τους, ανταποκρίνονται στην στρέβλωση του χωροχρόνου, όπου εκτίθενται. Τα

φαινόμενα της βαρύτητας δεν είναι παρά οι παραμορφώσεις, τα εξο

γκώματα και τα βαθουλώματα του χωροχρόνου.

Η Γενική θεωρία της σχετικότητας εξηγεί το Νόμο της Παγκόσμιας

Έλξτiς του Νεύτωνα ως ειδική περίmωσπ.

Ο Einstein συσχέτισε την καμrωλόmτα του χωροχρόνου με mν ύλη, την ενέργεια, και Ίnν ορμή οιασδήποτε μάc;ας και ακτινοβολίας που υπάρχουν στο σύμπαν. Η συσχtrιση αυτή περιγράφεται από τις πεδια

κές εξισώσεις του Einstein, που είναι ένα σίιστπμα μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Η γενική θεωρία mς σχετικόmτας λέγεται <<γενική» διότι πριν από

αυτήν, το 1905, ο Einstein (26 ετών τότε) διατύπωσε την (λεγόμενη) ειδιιdι θεωρία rns σχεrικότnταs. Το σχετικό άρθρο του είχε τον τίτλο «Περί της ηλεκτροδυναμικής των κινουμένων σωμάτων>>. Με αφορμή τους

νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell, ο Einstein έδειξε ότι ό

λεs οι μεrρfισειs του χώρου και του χρόνου εfαρτώvται από τn σχεrι

κft κίvnσn του παρατηρητή ως προς το παρατηρούμενο σύστημα! Το

τίμημα της πρώτπς απόπειρας του Einstein για μιαν ενιαία θεώρηση των Νόμων mς Φύσπς ήταν η ολική ανατροπή της aντίληψής μας για το χώ

ρο και το χρόνο.

Δεν θα εξηγήσω εδώ την ειδική θεωρία. Νομίc;ω ότι όλα οι απόφοιτοι

λυκείου έχουν ακούσει για την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας (Ε= m·c2),

για m διαστολή του χρόνου και τη σοοτολή του μήκους (όταν κινούμεθα με μεγάλη ταχύτητα). Πολλά έργα επιστημονικής φαντασίας έχουν ε

πηρεαστεί από mν ειδική θεωρία (πολλές φορές, μάλιστα, με λάθος τρό

πο). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώσmς ας δει το βιβλίο του Paul G. Hewitt (Οι Έvvοιεs τns Φυσικiιs) που μεi:αφράστπκε έξοχα στα ελληνικά από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήmς.

Επέλεξα, όμως, να σχολιάσω εκτενώς ακριβώς το κεντρικό θέμα του

βιβλίου, δηλαδή τη γενική θεωρία mς σχετικότητας. Ας σημειώσω ε

δώ ότι π γενική θεωρία δεν αναγνωρίστηκε αμέσως από τους φυσικούς.

Χρειάστηκε να φτάσουμε στο 1960 για να γίνει η γενική θεωρία ο βασικός rωλώνας της Φuσικής και της Αστροφυσικής. Η χρυσή tποχή της

γενικής θεωρίας ήταν η περίοδος 1960-1975. Όπως θα δούμε, π γενική θεωρία διαmρεί σήμερα στο έπακρο mν αξία mς.

12 Άλμπερτ Αϊνστάιν

(γ) Προβλέψειs τns γεvικns θεωρίαs

Πολλές προβλέψεις της γενικής θεωρίας της σχετικότητας διαφέρουν

ριζικά aπό aντίστοιχες της κλασσικής Φυσικής. Ειδικότερα αυι:ό ισχύει

για ζητήματα όπως το πώς κυλά ο χρόνος, ποια είναι π γεωμετρία του

χώρου, πώς J<ΙνοίΜαι τα σώματα σε ελεύθερη mώσπ και πώς διαδίδεται

το φως.

(γl) Επιβράδυνσn του χρόνου

Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, ο χρόνος επιβραδύνεται όταν aυ

ξάνει π εrήδραση του βαριmκού πεδίου. Ένας ιmάλλnλος, παραδείγματος

χάρη, που εργάζεται στο ισόγειο ενός ουρανοξύστη θα μεγαλώσει πιο

αρyά από τον δίδυμο αδελφό του που εργάζεται στην κορυφή του κτι

ρίου! Βεβαίως, π διαφορά στη γήρανση εδώ είναι πολύ μικρή (κάποια

εκατομμυριοστά του δευτερολέmου) διότι, για τα δεδομένα του σύ

μπαντος, π απόσταση μεταξύ των δύο γραφείων είναι μικρή και το βα

ρυrικό πεδίο είναι ασθενές.

(y2) Η μετατόπισn του φωτόs προs το ερυθρό

Οι ίδιες θεωρήσεις της επιβράδυνσπς του χρόνου ισχύουν και για το φως.

Το φως εκπέμπεται με συγκεκριμένες συχνότητες. Δηλαδή, τα άτομα

της ύλης που εκπέμπουν φως είναι σαν μικρά ρολόγια, και π συχνότη

τα εκπομπής του φωτός αντιστοιχεί στη συχνότητα ταλάντωσης των η

λεκτρονίων σε τροχιά μέσα στο άτομο. 'Οσο πιο ισχυρή είναι π βαρύ

τητα τόσο πιο πολύ επιβραδύνονται αυτά τα μικρά ρολόγια. Επομένως,

το φως κοντά σε μεγάλες μάζες έχει χαμηλότερη συχνότητα. Επειδή το

ερυθρό φωs βρίσκεται στο άκρο των χαμηλών συχνοτήτων του ορα

τού φάσματος, αυrή π ελάττωση συχνότητας «μετατοπίζει» το φως προς

το ερυθρό. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται βaρυrική μετατόπιση προς

το ερυθρό. Η επιβεβαiωσn του φαινομένου έγινε εφικτή μόλις το 1960, μέσω ενός πειράματος δύο επιστημόνων του Harvard.

(y3) Η κάμψn του φωτόs κοντά σε μεγάλεs μάζεs

Ήδη, από τη διατύπωση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, ο

Einstein είπε ότι π ενέργεια είναι ισοδύναμη με τη μάζα. Έτσι, το φως,

Η Γενική Θεωρία rns Σχετικότnrαs 13

μολονότι είναι καθαρή ενέργεια και δεν έχει καθόλου μάζα, καμπυλώνεται

(κάμmετοι) όταν περνά κοvrά από ισχυρά βαριmκά πεδία. Η γενική θεω

ρία της σχετικότητας εξηγεί πλήρως αυrή mν «κάμψη» του φωτός: το

φως κάμmεται όταν κινείται σε ένα χωρόχρονο που είναι γεωμετρικά

στρεβλωμένος. Και η παρουσία μάζας (ή ενέργειας) προκαλεί κάμψη (ή

στρέβλωση) του χωροχρόνου. Έτσι, λοιπόν, η πορεία του φωτός ε

κτρέπεται κοvrά σε μεγάλες μάζες. Η πρώm μέτρηση εκτροπής ακτί

νων φωτός από τον ήλιο έγινε κατά την διάρκεια μιας ολικής έκλειψης

ηλίου, το 1919. Έκτοτε, το πείραμα αυτό επαναλαμβάνεται σε κάθε ο

λική έκλειψη ηλίου και , σε όλες τις περιmώσεις, οι προβλέψεις του

Einstein επιβεβαιώθηκαν!

(y4) Βαρυτικά κύματα

Κάθε ίmαρξη μάζας, λοιπόν, παραμορφώνει το χωρόχρονο τουλάχιστον

τοπικά. 'Οταν η κίνηση της μάζας μεταβάλλεται (δηλαδή όταν υπάρχει

επιτάχυνση ή επιβράδυνση) τότε η παραμόρφωση του περιβάλλοvrος

χωροχρόνου κινείται για να ταιριάξει στην νέα θέση της μάζας.

Αυrή π ανασυγκρότηση του χωροχρόνου δημιουργεί κυμαrισμούs

σε όλη τη γεωμετρία του χωροχρόνου! Οι κυματισμοί αυτοί απομα

κρύνοvrαι από τις (επιταχυνόμενες) βαρυτικές πηγές με mν ταχύτητα

του φωτός και ονομάζΟvrαι βαρυrικά κύματα. Η ίmapξn βαρυτικών κυ

μάτων έχει επιβεβαιωθεί πειραματικά μόνο με έμμεσο τρόπο και η ευ

θεία επιβεβαίωση είναι στόχος σημερινών πειραμάτων.

(y5) Μαύρεs rρύπεs

Η γενική θεωρία της σχετικότητας προέβλεψε σnμαvrικά aστροφυσι

κά φαινόμενα. Επί παραδείγματι, υποδεικνtιει mν ίmapξn μελανών ο

πών (μαύρες τρίmες, δηλαδή περιοχές του χώρου όπου ο χωροχρόνος

είναι τόσο πολύ διαταραγμένος ώστε τίποτε, ούτε καν το φως, να μην

μπορεί να ξεφύγει από εκεί!).

Σήμερα υπάρχουν ενδείξεις για την ύπαρξη μαζικών ποικιλιών από

μαύρες τρύπες στο σύμπαν. Σε αυτές αρείλεται π εκπομπή έvrονnς α

κτινοβολίας aστρονομικών αvrικειμένων, όπως οι ενεργοί γαλακτικοί

πυρήνες ή τα μικροκβάσαρς.


(δ) Τ α μαθnματικά τns yεvικris θεωρίαs τns σxεrικόrnras

ο περισσότερος κοομος σήμερα γνωρίζει ότι καμία φυσική παρατήpηση

που γίνεται μέσα σε μια «κλειστή» αίθουσα (κλειστό σύστημα) δεν

μπορεί να βρει αν n αίθουσα είναι ακίνnm ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Αυrή n αρχή είναι ένα αξίωμα που εισήyaγε ο Einstein το 1905.

Τι γίνεται όμως όταν το «σύστημα αναφοράς» επιταχύνεται;

Ο Einstein είχε mν πεποίθηση ότι οι νόμοι mς φύσης θα έπρεπε να εκφράζονται στην ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα αναφοράς, επιτα- .

χυvόμενα ή μη!

Ο Einstein διαώπωσε αυτήν την πεποίθηση ως εξής: Οι παρατιψήσεις

που γίνονται σε ένα επιταχυνόμενο σύσmμα αναφοράς δεν μπορούν να

διακριθούν από αυτές που γίνονται σε ένα πεδίο βαρύmτaς. Δηλαδή,

δεν μπορούμε va διακρίνουμε μεταξύ βαρύmτας και μεταβολής της κίνησης (επιτάχυνσης) σε οποιαδήποτε μορφή φυσικού φαινομένου (μη

χανικής, οmικής, ηλεκΊρομaννmισμού κ.λπ.)! Αυτό σήμερα λέγεται «Αρ

χή της Ισοδυναμίας». Πώς, όμως, μπορούμε να περιγράψουμε μαθη

ματικά τις μεταβολές του «τι υπάρχει»; Ε&i:ι μπαίνει η έννοια του τανυ

στή (tensor). Ένας τανυστής ορίζεται, ως προς οποιεσδήποτε συντεταγμένες, από έναν αριθμό συναρτήσεων των συντεταγμένων, που aποκαλούνται «συνιστώσες» του τανυστή. Η έννοια του τανυστή ανα

δύθηκε μέσα από την ιστορία ανάπτυξης του λογισμού των διανυσμά

των; Ένας όχι κm' όνομα μαθnμσnκός αλλά φυσικοχημικός (ο J.W. Gibbs [1839-1903]) ανέπτυξε όλα όσα σήμερα ονομάζΟυμε «διανυσματική ανάλυση». Σε αυτόν οφείλονται, π.χ., οι έννοιες του εσωτερικού και ε

ξωτερικού γινομένου διανυσμάτων.

Ο όρος τανυστής προήλθε από mν εφαρμογή του διανυσματικού

φορμαλισμού στη θεωρία ελαστικότητας των σωμάτων, ως μια προ

σπάθεια σvvολικfιs διατύπωσns των επιμέρους τάσεων που εξασκού

νται σε ένα σώμα, υπό m μορφή ενός πίνακα. Αυτά σήμερα τα μαθαίνουν καλά οι πολιτικοί μηχανικοί.

Αυrή n συνολική διατύπωση επιτρέπει να εκφράζΟυμε «μαζί» διανύσματα, στρέψεις και <<τάσεις»! Είναι μια γενίκευση mς συνηθισμένης

διανυσματικής ανάλυσης.

Ο τάνυστής, ως γεωμετρικό αντικείμενο, εκφράζει και m σχέση του φυσικού αντικειμένου που περιγράφει με rov περιβάλλοvrα χώρο rou. Έτσι, π. χ., ένα περιστρεφόμενο aντικείμενο είναι το ίδιο πράγμα με έ

να ακίνητο αντικείμενο όταν παραmρείται από ένα περιστρεφόμενο σύ

στημα αναφοράς. Έτσι, η «κατάσταση» ενός σώματος μπορεί να ανα

παρασταθεί μέσω των επιτρεπόμενων περιστροφών του (στα Μαθη

ματικά εδώ έχουμε έννοιες mς θεωρίας Ομάδων - Group Theory).

Η Γεvικfι Θεωρία τns Σχετικότnταs 15.

Ο Gregoήo Ricά από mν Πάδοβα (1853-1925) είναι ο άνθρωπος που ίδρυσε ουσιαστικά mν τανuστική ανάλυση και που εισήγαγε το φορ

μαλισμό των τανuστιί<ών συμβόλων με τους δείκτες, κάνοντας πολλούς θεωρητικούς να φοβούνται το φορμαλισμό αυτό. Ο Ricά ίδρυσε την

τανuστική ανάλυση επηρεασμένος από τη δουλειά του Elwin Chή

stoffel (1829-1900) πάνω στις Ρnμάνειες πολλαπλότητες. Ήδη, από m διατύπωση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, ο

Einstein διατύπωσε ότι η «μάζα» των αντικειμένων είναι μέρος ενός τανuστή (του τανuστή εvέρyειαs-ορμfιs που εμπεριέχει και πυκνότητες

στρέψης και έντασης). Με mν αρχή της ισοδυναμίας, ο Einstein γενίκευσε αυτόν τον τανυστή στον καμπυλωμένο χωροχρόνο. Η αρχή δια

τήρησης του συνδυασμού ενέργειας-ορμής μπορεί να διατυπωθεί, γεω

μετρικά, σε έναν καμπυλωμένο χωροχρόνο, αντικαθιστώντας τις μερι

κές παραγώγους από αντίστοιχες έννοιες (covaήant deήvatives) που εί

χαν ήδη εισαχθεί από την διαφορική γεωμετρία. Έτσι, η αρχή διατήρησης

της ενέργειας-ορμής γίνεται μια εξίσωση που λέγει βασικά ότι π «συμ

μεταβλητή» απόκλιση του τανuστή ενέργειας-ορμής είναι μηδέν. Αυτό

όμως μας δίνει τις περίφημες εξισώσεις βαρuτικού πεδίου.του Einstein καθόσον το άλλο μέλος της εξίσωσης είναι το είδος της καμπύλωσnς

(π γεωμετρία) του χωροχρόνου! Έτσι, η μάζα, π βαρύτητα και π επιτά

χυνση γίνονται, βασικά, γεωμετρία του (λεγόμενου) χωροχρονικού συ

νεχούς.

Τελικώς, λοιπόν, n γενική θεωρία της σχετικότητας είναι μια (γεω)μετρική θεωρία της βαρίπnτας. Οι εξισώσεις του Einstein, που είναι ο πυρήνας της, περιγράφουν την σχέση αφενός της γεωμετρίας ενός τετρα

διάστατου χωροχρόνου (για την ακρίβεια μιας τετpa-διάστατης Ημι

Ρnμάννειας Πολλαπλότητας) και αφετέρου της ενέργειας και ορμής που

υπάρχουν σε αυτόν το χωρόχρονο. Η «βαρίπnτα» είναι απλά καμπυ

λώσεις του χωροχρόνου που προκαλούνται από την ενέργεια και ορμή

υπάρχουσας ύλης. Όπως έλεγε ο J.A. Wheeler: «ο χωροχρόvοs λέει σrnv ύλn πώs va κιvnθεί. και n ύλn λέει στο χωρόχρονο πώs να καμπυλωθεί».

Η διατύπωση της γενικής θεωρίας μέσω τανuστών επιτυγχάνει ώ

στε οι νόμοι της γενικής θεωρίας να έχουν την ίδια μορφfι σε όλα τα

συστήματα συντεταγμένων. Άρα, οι νόμοι της Φυσικής είναι ίδιοι νια ό

λων των ειδών τους παρατηρητές. Φαίνεται ότι ο Einstein επέτυχε να α

ποδείξει την πεποίθησή του.

16

(ε) Κοομολοyία, χωροχρονικέs ανωμαλίεs

και άλλα εvruπωοιακά θέματα

Άλμπερτ Αϊνστάιν

Τα παραδεκτά σήμερα μοvrέλα εξέλιξης του σίιμπαvrος βασίζΟvrαι στις

εξισώσεις του Einstein. Κάθε επίλυση των εξισώσεων του Einstein μάς δίνει όλη την ιστορία κάποιου σύμπαvrος. Δηλαδή, η επίλυση περιγράφει

την κατάσταση της ύλης και τη γεωμετρία του χωροχρόνου παντού και

σε κάθε σrιyμiι του σύμπαvrος που περιγράφει η λύση. Μία συγκεκρι

μένη επίλυση των εξισώσεων (οι λύσεις των Fήedmann-Lemaitre

Robertsoη & Walker) επέτρεψε στους φυσικούς να περιγράψουν ένα σύμπαν που γεννήθηκε 14 δισεκατομμύρια χρόνια πριν, από τη λεγόμενη φάση της Μεγάλης Έκρηξης (Big Bang).

Αιπά τα κοσμολογικά μονrέλα uποδεικνύοuν ότι το σύμπαν βρίσκεται ακόμη σε φάση επέκτασης των ορίων του. Διάφορες aστρονομικές πα

ρατηρήσεις του ρυθμού επέκτασης του σύμπαvrος επιτρέπουν σήμε

ρα να υπολογίσει κανείς το ποσό της συνολικής ύλπς στο σύμπαν. Πε

ρίπου το 90% mς ύλης προκύmει ότι είναι η λεγόμενη «σκοτεινή ύλη» (dark matter) που έχει μεν μάζα (δηλαδή βαρυτική επίδραση) αλλά που δεν επιδρά ηλεκτρομαγνπτικά (και συνεπώς δεν μπορεί να παρα

mρηθεί ευθέως). Μέχρι σήμερα δεν υπάρχει παραδεκτή εξήγπση αυ

τού του είδους ύλπς.

Μια ακόμπ συνέπεια τπς γενικής θεωρίας είναι π πρόβλεψη τπς ύ

παρξης ορίων (συνόρων) στο χωροχρόνο που λέγοvrαι χωροχρονικές

ανωμαλίες (singularities). Κάποιες λύσεις των εξισώσεων του Einstein υποδεικνύουν περιοχές του χωροχρόνου όπου κάποιες γεωμετρικές ποσόmτες, που χαρακmρίζουν mν χωροχρονική καμπuλόmτα, παίρ

νουν άπειρες τιμές!

Η ίδια η αρχή του σύμπαvrος είναι μια χωροχρονική ανωμαλία (Big Bang singularity). Στις χωροχρονικές ανωμαλίες π γεωμετρία του χωροχρόνου δεν είναι καλώς ορισμένη. Πάvrως, οι επιστήμονες σήμερα

δεν είναι σίγουροι για την ύπαρξη χωροχρονικών ανωμαλιών.

Η γενική θεωρία τπς σχετικότητας έχει αναδειχθεί ως το πιο επιw

χπμένο. μοvrέλο για το σύμπαν μας. Μέχρι τώρα, όλες οι παρατηρήσεις και τα πειράματα επιβεβαιώνουν τη γενική θεωρία! Βεβαίως, υπάρχουν

και σήμερα πολλά ανοιχτά ζητήματα που δείχνουν ότι η θεωρία δεν εί

ναι πλήρης. Σίγουρα, η γενική θεωρία δεν είναι ακόμη συμβατή με κά

ποιες κβαvrικές θεωρήσεις του μικρόκοσμου (π. χ .• το τι είναι η κβαντινή βαρύmτα). Μια απόπειρα να ξεπεραστούν αυτά τα ζΠτήματα είναι π θεω

ρία των χορδών (string theory) που είναι μια κβαvrική θεωρία όχι μικροσωματίων αλλά μονοδιάστατων επεκτεταμένων αvrικειμένων (χορ

δές). Αυτή π θεωρία υπόσχεται να ενοποιήσει την κβαvrομπχανική και

Η Γεvικfι Θεωρία rns Σχετικότnταs 17

m γενική θεωρία mς σχετικότητας, αλλά ομιλεί για έξι ή εmά ακόμα διαστάσεις πέρα από τις γνωστές τέσσερις. Αυτά τα ζητήματα είναι α

νοικτά θέματα mς σύνχρονπς έρευνας. Γενικά, 95 χρόνια μετά m δημοσίεuσiι mς, η γενική θεωρία εξακολουθεί να ανοίγει δρόμους και να

εμπνέει mν έρευνα. Ενδέχεται στο μέλλον να αλλάξουν ακόμα περισ

σότερο οι αντιλήψεις μας νια τον κόσμο και mν πραγματικότητα.

Ας σημειώσω εδώ ότι όλη η συλλογή των εργασιών του Α Einstein ευρίσκεται και on-line στο Διαδίκτυο (The collected papers of Albert Einstein) στα αγγλικά, από τον εκδοτικό οίκο του Pήnceton. Το θέμα του βιβλίου που διαβάζετε είναι το document 30 του 6ου τόμου mς συλλογής.

(στ) Η προσωπικότnτα του Albert Einstein

Ο Α. Einstein γεννήθηκε σmν Ουλμ mς Γερμανίας το 1879 (στις 14 Μάρτη) και απεβίωσε το 1955. Έμαθε να μιλά πολύ μετά από m μέσπ κανονική ηλικία. Επαναστάτησε εναντίον του (αναχρονισηκού) εκπαι

δευτικού συστήματος και αποβλήθηκε από το Λύκειο σε ηλικία 15 ετών. Πάντως, πέρασε τις εισαγωγικές εξετάσεις (m δεύτερη φορά διότι mν πρώm φορά δεν γνώριζε καλά γαλλικά) στο φημισμένο Ομο

σπονδιακό Τεχνολογικό Ινστιτούτο mς Ζυρίχης. Δύο χρόνια μετά που

έλαβε το δίπλωμά του βρήκε μόνιμη εργασία ως ελεγιαής ευρεσιτεχνιών

σmν Ελβετική Υπηρεσία Ευρεσιτεχνιών, στη Βέρνπ. Εκεί δούλεψε εmά

χρόνια. Χωρίς ακαδημα"ίκές διασυνδέσεις και χωρίς οuσιαΟτική επαφή με άλλους φυσικούς μάς έδωσε τα βασικά θεμέλια της σύνχρονπς Φυ

σικής. Πήρε το διδακτορικό του δίπλωμα σm Φuσική το 1905 (σε ηλικία 26 ετών). Το 1915 δημοσίευσε mν εργασία για m γενική θεωρία τnς σχετικόmτας, m μετάφραση mς οποίας είστε τυχεροί να έχετε. Ο Einstein πήρε Νόμπελ Φυσικής το 1921.

Τα ενδιαφέροντα του μεγαλύτερου μυαλού του 20ού αιώνα δεν ή

ταν μόνο σm Φuσική. Στα χρόνια του Πρώτου Παγκοσμίου Πολέμου

ο Einstein ζούσε στο Βερολίνο και τασσόταν εναντίον του γερμανικού μιλιταρισμού. Όταν πήρε την εξουσία ο Χίτλερ, το 1933, ο Einstein εκφράσmκε ανοικτά εναντίον των φυλετικών και πολιτικών θεωρήσεων

του Ναζισμού. Παραιτήθηκε από το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου και

βρήκε θέση ερευνητή στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον στις illiA (στο πε

ρίφημο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών). Παρότι ειρηνιστής, συμ

μετέχει σmν πρωτοβουλία να δημιουργηθεί η πρώτη ατομική βόμβα, φο

βούμενος ότι θα προλάβουν οι χιτλερικοί. Πάντως, μετά m Χιροσίμα, ο Einstein υπήρξε ένθερμος υποσmρικτής του πυρηνικού αφοπλισμού.


Παρότι υπήρξε ένας από τους σποuδαιότεpοuς επιστήμονες, ήταν όνθρωπος χωρίς έπαρση, με χιούμορ και ανάτm νια τους συνανθρώπους

του. Άνθρωπος με <;εστασιά, με ανθρωπιά, με μεγόλο ηθικό ανάστημα.

Ο Einstein είναι όντως η σπουδαιότερη προσωπικότητα του 20ού αιώνα και μΙα από τις μεγαλύτερες προσωπικότητες mς ανθρωπόmτας.

ΠαύλοςΓ.Σπuράκης

Κάθηγπτής Πολυτεχνικής Σχολής

Πανεπιστημίου Πατρών,

Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Διευθυντής του Ερεuνητικού Ακαδημαϊκού

Ινστιτούϊ:ου Τεχνολογίας Υπολογιστών (ΕΑ!ΙΥ),

Αντιπρόεδρος mς European Assoάation for Theoretical Computer Sάence (EAΊCS),

Μέλος του ACM Europe Counάl

πρόλογος

,_..ημέρωνε στο Βερολίνο και οι εφημερίδες είχαν ήδη μοιραστεί στα

ι-t σπίτια από τους πρωινούς εφπμεριδοπώλές, κουβαλώντας τα ..._.νέα από τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο που μαινόταν ακατά

παυστα. Στο σπίτι του Αίνστάιν είχε στρωθεί το τραπέζι για το πρωινό

και π (δείπερπ) σύζUVός του του φώναζε να κατέβει από τον πάνω ό

ροφο όπου συνέχιζε να κοιμάται. Ο Αίνστάιν κατέβηκε φορώντας βα

ριεστημένα από πάνω του m ρόμπα mς εποχής, αλλά μετά δυσκολίας καθόταν να φάει το πρωινό του. Η σύζυγος του νόμισε ότι είχε πάθει

κάτι και τον ρώmσε αν ήταν καλά. «Αγάπη μου», mς απάνmσε, «έχω

μια θαυμάσια ιδέα!» Ήπιε τον ζεστό καφέ του και πήγε και κάθισε στο

πιάνο, aρχίζΟντας να παίζεΙ ένα κομμάτι. Ξαφνικά σταματά, παίρνει έ

να φύλλο χαρτί και γράφει κάποιες σημειώσεις. Κάνει μια παύση και γυ

ρίζει προς m σύζUγό του που συνεχίζει να τον κοιτά με έκπληξη: «Έ

χω μια θαυμάσια ιδέα, μια εξαίσια ιδέα!» mς ξαναλέει. Αυrή, σαστισμένη,

τον ρωτά με ένα μείγμα αγανάκτησης και αγωνίας: «Για όνομα του θεού,

Άλμπερτ, πες μου τι είναι, μη με κρατάς σε αγωνία!». «Είναι δύσκολο

να d mν εξηγήσω, πρέπει να mν επεξεργαστώ κι άλλο», mς απάνmσε ο Αίνστάιν και στράφηκε πάλι προς το πιάνο παίζΟντας μουσική και

γράφοντας σημειώσεις για μισή ώρα, περίπου. Κατόπιν, ανέβηκε στο

πάνω πάτωμα λέγοντάς mς ότι δεν ήθελε να τον ενοχλήσει κανένας και

έμεινε εκεί για δύο βδομάδες.

Η γυναίκα του του πήγαινε το φαγητό του καθημερινά και το βρά

δυ τον έβλεπε να περπατάει για λίγη ώρα για να ασκηθεί και μετά να ξα

ναεπιστρέφει στην εργασία του. Τελικά, έπειτα από δύο βδομάδες ο Αίν

στάιν κατέβηκε πολύ χλωμός από το πάνω πάτωμα, πλησίασε το τρα

πέζι και mς είπε: «Αυτό είναι!» βάζΟντας βαριεστημένα πάνω σε αυτό

δύο φύλλα χαρτιού. Επρόκειτο νια m γενική θεωρία mς σχετικόmτας, που κρατά ο αναγνώστης στα χέρια του*.

Έπειτα από την παρούσα τελική διαώπωσπ, και την πρώm πειpαμαrική

*Το όλο περιστατικό διηγήθηκε n σύζυγος του Α:ι'νστόιν το 1926, στο σπίτι του γνωστού ηθοποιού Τσάρλι Τσάπλιν, στην Καλιφόρνια, όταν έπαιρναν το δείπνο τους το ζεύγος Α:ίνστάιν, ο Τσάπλιν και άλλοι δύο φίλοι τους. Βλ. Charles Chaplin, My Autobiografphy, The Bodley Head, London, 1964. (Σ.τ.Μ)


επαλήθευση mς γενικής σχετικόmτας, τα ανθρώπινα όντα αυτού του

πλανήm άρχισαν να αντιμετωπίζουν το σύμπαν με νέο τρόπο. Το οι

κοδόμημα του Νεύτωνα είχε δείξει τα όριά του για υψηλές ταχύτητες,

μέσα από m διατύπωση mς ειδικής θεωρίας mς σχετικόmτας. Μαζί με τις επιστημονικές επιτυχίες του, ο Αϊνστάιν είχε mν τιμή να δεχτεί πά

νω του τα (μπ-βαρuτικής φύσης) κύματα του ατομικού και συλλογικού

φθόνου του περίγυρού του, καθώς επίσης και το πολιτικό μίσqς όλων

των -γνωστού χαμηλού επιπέδου- εθνικοφρόνων και φανατικών εκ

προσώπων mς νέας τάξπς πραγμάτων στπ Γερμανία: «Πρέπει, λοιπόν,

για να μπ μασάμε τα λόγια μας, να τονίσουμε πως βρισκόμαστε μπρο

στά σε ένα άτιμο επιστημονικό σκάνδαλο που εναρμονίζεται θαυμάσια

με mν εικόνα που μας παρουσιάζει π πιο τραγική πολιτική περίοδος. Στο

κάτω κάτω, δεν θα 'πρεπε να κατηγορούμε τους εργάτες που παpασύ

ρονται από τον Μαρξ, όταν οι γερμανοί καθπγπτές ενδίδουν στον πα

ραπλανητικό πειρασμό του Α:ι\ιστάιν», έγραφε π φιλολογική επιθεώρηση

Der Πirmer, που aπηχούσε τους γερμανικούς κύκλους των εθνικοφρόνων.

«Ελπίζω πως αυτό εδώ το ινστιτούτο θα ορθωθεί σαν ένα οχυρό κα

τά του ασιατικού πνεύματος σmν επιστήμη. Ο Φύρερ μας εξουδετέρωσε

εκείνο το πνεύμα από mν πολιτική και mν εθνική οικονομία που λέγε

ται Μαρξισμός. Στις φυσικές επιστήμες, όμως, με τον υπερθεματισμό

του Α:ίνστάιν, διαmρεί ακόμη mν ισχύ του. Πρέπει να αναγνωρίσουμε

πως είναι ανάξιο για έναν Γερμανό να είναι πνευματικός ακόλουθος ε

νός Εβραίου. Οι βασικά aποκαλούμενες επιστήμες mς φύσης είναι ε

ντελώς αρίας καταγωγής και οι Γερμανοί πρέπει ακόμη και σήμεpα να

ανακαλύψουν τον δικό τους δρόμο μέσα στο άγνωστο. Heil Hitler!» αναφώνησε ο νομπελίστας φυσικός Lenard (Λέναρντ), σε κάποια εγκαίνια ενός νέου ινστιτούτου φυσικής. (Ο πατέρας του ήταν διευθυντής τρα

πεζιτικού οίκου στο Πρέσμπουργκ, που είχε χρηματοδοτήσει το κόμμα

των εθνικαρρόνων, αποδεικνύοντας τα οικονομικά κίνητρα πίσω από αυ

τή m λυππρά βλακώδη επιχειρηματολογία.) Σm δε Γαλλία, έκαναν τα πάντα για να επιβεβαιώσουν mν άποψη που θέλει m νεότερη γαλλική διανόηση πιστό σκυλάκι mς γερμανικής: «Δεν καταλαβαίνω τις εξισώσεις

του Α:ίνστάιν. Το μόνο που ξέρω είναι ότι οι οπαδοί του Ντρέιφους έλε

γαν πως είναι μεγαλαρuϊα, ενώ οι αντίπαλοί του έλεγαν ότι είναι γάιδα

ρος», ανέφερε ένας σημαίνων γάλλος ιστορικός, διδάσκοντας τους εμ

βρόνmτους φοιmτές ·mς Σορβόννπς*. Όσο διασκεδαστικές και αν

* Τ α προηγούμενα αποοπόσματα υπάρχουν στο βιβλίο του Ph. Frank, Αίvστάrv, n ;;-ωn τοu και n εποχn τοu, που θεωρείται μέχρι σήμερα n καλύτερη βιογραφία για τον Α:ίνστάιν και έχει μεταφρασθεί στα ελληνικά: εκδ. Γ. Λαδιά, 1978, μετάφραση-προσθήκες Β. Σκληρού και με πρόλογο του Δnμ. Χόνδρου. (Σ.τ.Μ)

Η Γενικn Θε?Jpία τns Σχεrικότnταs 21

φαίνονται αρχικά αυτές οι απόψεις, ωστόσο κατάφεραν δυστυχώς να

συμβάλουν στον υποβιβασμό του περήφανου γερμανικού λαού στπ θέση

του κmεξο)(ήν συλλογικού aποβράσματος της ιστορίας του 20ού αιώνα.

Η άλλη ακραία πλευρά της στάσης έναντι του Αίνστάιν είναι η γνω

στή άκριτη αναγόρευσή του σε μύθο, αποτέλεσμα τόσο της ποΜμικής

ατμόσφαιρας της δεκαετίας του 1920 όσο και της συμβολής των Μέσων Ενημέρωσης της εποχής που, ειδικά στις Ηνωμένες Πολιτείες, έ

καναν τα πρώτα βήματα κατασκευής ειδώλων (στα πλαίσια του μαζικού μεταναστευτικού ρεύματος, από την Ευρώπη, μεγάλων επιστημόνων της

εποχής) και κατόπιν κατάπνιξης της φωνής τους, όπως έγινε και με τον

Αίνστάιν την περίοδο του Μακαρθισμού. Αυrή η δεύτερη πλευρά οδή

νnσε σε έναν άκριτο μιμητισμό πολλών φυσικών που άρχισαν, άλλοι να

κυκλοφορούν με επιμελώς ατημέλητα μαλλιά ή ρούχα, άλλοι να ανα

ζητούν απεγνωσμένα την τροφή που έτρωγε ή τη μουσική που έπαιζε

ο Αιvστάιν τις κρίσιμες βδομάδες σuγγραφής του παρόντος άρθρου και

άλλοι να εγκαταλείπουν την κοπέλα τους κατά τη διάρκεια του πρωινού

προφασιζόμενοι μία εκπληκτική ιδέα, και γυρίζΟντας άπρακτοι έπειτα

από δύο βδομάδες να μη βρίσκουν ούτε την ίδια. (Ισως ένας θεωρητι

κός των κοινωνικών επιστημών πει ότι αυτός ο μιμητισμός είναι κάτι το

φυσιολογικό, αν τον αναλύσει, ως μία πτυ)(ή των αισθπσιοκιvπτικών δια

δικασιών μετάβασης ενός υποκειμένου στους κόλπους αυτού που νο

μίζει ως επιστημονική κοινότητα· μόνο που εδώ έχουμε το μιμητισμό

του υποκειμένου που πιστεύει ότι θα το καταστήσει όμοιο με αυτό που

το έμαθαν να θεωρεί μεγαλοφuϊα.)

Έτσι, το υπερβολικά ιονισμένο περιβάλλον γύρω από το όνομα του Αιvστάιν απομάκρυνε δυστυχώς πολλούς ανθρώπους από μία ισορρο

πημένη σύλληψη του πώς και γιατί κατάφερε να διατυπώσει τις σωστές

πεδιακές εξισώσεις της γενικής θεωρίας της σχετικότητας, που απο

δείχθηκε, μέχρι και τη στιγμή που γράφονται αυτές οι γραμμές, ως η α

κριβέστερη θεωρία που διαθέτουμε, ακόμη και σε σχέση με τις κβαντικές

θεωρίες πεδίου. (Ειδικά μετά την πρόσφατη μέτρηση στον διπλό παλ

λόμενο αστέρα PSR 1913+ 16, που αποτελεί μετρητική επιβεβαίωση της γενικής σχετικότητας έfω από το nλιακό μas σύστnμα και παρέχει την πρώm ένδειξη για ύπαρξη βαρυτικής ακτινοβολίας.)

Στα τέλη της δεκαετίας του 1970 ανακαλύφθηκαν κάποιες σημειώσεις του Αι\ιστάιν σε ένα πρόχειρο που κρατούσε κατά την περίοδο που

αγωνιζόταν να βρει το δρόμο προς τη γενική σχετικότητα. Αυrή η α

νακάλυψη τάραξε τα ήσυχα νερά της ιστορικής έρευνας και οδήνnσε,

από τότε μέχρι σήμερα, σε μία αναμόχλευση της επιστημολογικής και

της φυσικομαθημmικής εξέτασης της πορείας προς τη διατύπωση του

άρθρου που υπάρχει σε αυτόν εδώ τον τόμο. Οι σημειώσεις έχουν σκοπό να βοηθήσουν τον αναγνώστη να εισαχθεί τόσο στπ βιβλιογραφία,

22 Άλμπερτ Α'ίνστάιν

όσο και στις πράξεις: βέβαια, αυrή π διαδικασία δεν χωρά σε έναν μι

κρό τόμο, όπου απαιτούνται οι γνώσεις της διαφορικής γεωμετρίας των

.επιφανειών που ίδρυσε ο Gauss (Γκάους) στα 1827, του τανυστικού λογισμού που ίδρυσε ο Riemann στα 1854, και της ειδικής σχετικότητας του Α:ίνστάιν στα 1905*. Γι' αυτό και παραπέμπουμε τον αναγνώστn στις εκδόσεις αυτών των έργων στην ίδια σειρά των εκδόσεων« Τροχαλία»,

κρατώντας το επίπεδο των σημειώσεων στο τέλος του βιβλίου σε αυ

τό της γενικής σχετικότητας. 'Οσον αφορά στην «παιδαγωγική ροή» των

σημειώσεων, ο αναγνώστης θα παρατηρήσει ότι δίνουμε βάρος στην

ομαλiί μετάβαση από την εργασία του Riemarm και τις εκεί σημειώσεις, στον τανυστικό φορμαλισμό που θα οδηγήσει με τη σειρά του στην α

ναλυτική παρουσίαση του τανυστή Αίνστάιν. Όπως είναι προφανές, π

έκταση αυτών των πράξεων είναι σχετικά ονκώδl)ς, γι~ αυτό και απο

φασίσαμε εδώ να αναλύσουμε διεξοδικότατα (με τη βοήθεια των ερ

γασιών των C. Lanczos [Λάνκζος] και V.A. Fock [Β.Α. Φοκ]) τον τανυ

στή Αι\ιστάιν, και τις υπόλοιπες πράξεις να τις συμπεριλάβουμε στην έκ

δοση του άρθρου του Hilbert (Χίλμπερτ) (1915) στο οποίο ανακάλυψε ταυτόχρονα με τον Α:ι\ιστάιν τις εξισώσεις του βαρυτικού Πεδίου (στο

εκεί παράρτημα).

Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον εκδότη κ. Γ. Τρουφάκο για την

προθυμία του να εκδοθεί το παρόν κείμενο, αλλά και όλη η σειρά «Αν

θολοyία Θετικών Επιστnμών>> από τις εκδόσεις «Τροχαλία», τη Μαρία

Παπασωτnροπούλου των εκδόσεων «Τροχαλία» νια τη συνεργασία, τον

καθ. Max Jarnmer (Πανεπιστήμιο Bar-Illan, Ισραήλ) για ωφέλιμες συζητήσεις, το προσωπικό της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας (Παρίσι,

νέα κτίρια) που μου παρείχαν την ευχέρεια να βρω σημαντικά άρθρα που

αναφέρονται στις σελίδες που ακολουθούν, και το Εβρdιkό Πανεπιστήμιο

της Ιερουσαλήμ για την άδεια έκδοσης, μαζί με την ευχή, με αφορμή

το Ιωβηλαίο του κράτους του Ισραήλ να πρυτανεύσει μια δίκαιn ειρή

νη νια τους λαούς της περιοχής.

Θ.Χ.

* Φuσικά, μαζί με ένα πολύ καλό υπόβαθρο πάνω στη σίιγχpονn Φιλοσαρία. (Σ.τ.Μ)

α. θεμελιώδεις θεωρήσεις , πι1νω

στο αξίωμα της σχετικότnτας1

1. Παρατnρfισειs πάνω aτnv ειδικiι θεωρία τns σχετικότnταs

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας βασίζεται στο ακόλουθο αξίωμα, που

ικανοποιείται επίσης και από τη μηχανική των Γαλιλαίου και Νεύτωνα.

Αν επιλεχθεί ένα σύστημα συντεταγμένων Κ, έτσι ώστε οι φυσικοί

νόμοι να διατηρούν την πιο απλή μορφή τους σε σχέση με αυτό, τότε,

οι ίδιοι νόμοι θα διατηρούν επίσης την ισχύ τους, σε σχέση με οποιο

δήποτε άλλο σύστημα συντεταγμένων κ·, που κινείται εκτελώντας ο

μοιόμορφη μετατόπιση σχετικά με το Κ. Αποκαλούμε αυτό το αξίωμα

«ειδική αρχή της σχετικότητας». Η λέξη «ειδική» φανερώνει έμμεσα ό

τι η αρχή περιορίζεται στην περίmωσn όπου το Κ κινείται μετατοπιζό

μενο ομοιόμορφα σχετικά με το Κ, ενώ rι ισοδυναμία των Κ' και Κ δεν

επεκτείνεται και στην περίmωσn μη-ομοιόμορφης κίνπσης του Κ' σχε

τικά με το Κ. 2

Έτσι, π ειδική θεωρία της σχετικότητας δεν απομακρύνεται από την

κλασική μηχανική μέσω του αξιώματος της σχετικότητας, αλλά μέσω

του αξιώματος τrις σταθερότrιτας της ταχύτητας του φωτός στο κενό,

από το οποίο. σε συνδυασμό με την ειδική αρχή της σχετικόmτας

πpοκύrπει, με τον γνωστό τpόπο, n σχεrικότnτα του ταυτοχρόνου, ο μετασχηματισμός Lorentz και οι συναφείς νόμοι νια τη συμπεριφορά των κινουμένων σωμάτων και ρολογιών.


Η τροποποίηση, στην οποία έχει υποβάλει τη θεωρία του χώρου και

του χρόνου η ειδική θεωρία της σχετικότητας, έχει πράγματι μακρά α

ποβλέπουσες επιmώσεις, αλλά υπάρχει ένα σημαντικό σημείο που έ

χει παραμείνει ανεπηρέαστο. Κι αυτό γιατί οι νόμοι της γεωμετρίας, α

κόμη και σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας, πρέπει να

ερμηνεύονται άμεσα ως νόμοι που συνδέονται με τις πιθανές σχετικές

θέσεις των στερεών σωμάτων σε ηρεμία· και γενικότερα, οι νόμοι της

κινηματικής πρέπει να ερμηνεύονται ως νόμοι που περιγράφουν τις σχέ

σεις των μετρητικών σωμάτων και ρολογιών. Σε δύο επιλεγμένα υλικά

σημεία ενός στάσιμου στερεού σώματος αντιστοιχεί πάντοτε μία από

σταση αρκετά καθορισμένου μήκους, που είναι ανεξάρτητη από τη θέ

ση και τον προσανατολισμό του σώματος, καθώς επίσης και ανεξάρ

τητη του χρόνου. Σε δύο επιλεγμένες θέσεις των δεικτών ενός ρολογιού, το οποίο ηρεμεί σχετικά με το προτιμητέο σύστημα αναφοράς, αντι

στοιχεί πάντοτε ένα χρονικό διάστημα καθορισμένου μήκους, που εί

ναι ανεξάρτητο του τόπου και του χρόνου. Θα δούμε σύντομα ότι η γε

νική θεωρία mς σχετικότητας δεν μπορεί να συνεχίσει να εμμένει σε αυ

τή την απλή φυσική ερμηνεία του χώρου και του χρόνου.

2. Η avάyκn για επέιαασn του afιώμaros rns σχεrικότnταs

Τόσο σmν κλασική μηχανική όσο και σmν ειδική σχετικότητα υπάρ

χει μία ενδογενής επιστημολογική ατέλεια, η οποία επισημάνθηκε ευ

κρινώς, ίσως για πρώτη φορά, από τον Emst Mach. 3 θα τη διευκρινί

σουμε με το ακόλουθο παράδειγμα: Δύο ρευστά του ίδιου μεγέθους και της ίδιας φύσης αιωρούνται ελεύθερα στο χώρο, σε τόσο μεγάλη α

πόσταση το ένα από το άλλο, καθώς επίσης και από όλες τις άλλες μά

ζες, ώστε να χρειάζεται να ληφθούν υπόψη μόνο εκείνες οι βαρυτικές

δυνάμεις που ανακύπτουν από την αλληλεπίδραση διαφορετικών τμη

μάτων του ίδιου σώματος. Έστω ότι n απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα δύο σώματα παραμένει αναλλοίωτη, και ότι σε κανένα από αυτά τα σώ

ματα δεν υπάρχούν οιεσδήποτε σχετικές κινήσεις μεταξύ των τμημά

των του. Έστω, όμως, ότι n μία από τις δύο μάζες περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτnτα γύρω από τη γραμμή που τις ενώνει, όπως συ

μπεραίνει ένας παρατnρητής που ηρεμεί σχετικά με τις άλλες μάζες. Πρό

κειται για μία εξακριβιΟΟιμη σχετική κίνπση των δύο σωμάτων. Ας φα

νταστούμε τώρα ότι καθένα από τα σώματα έχει εξεταστεί μέσω με

τρητικών οργάνων που ηρεμούν σχετικά με αυτό, και έστω ότι απο

δεικνύεται ότι n επιφάνεια του S είναι σφαίρα και του 52 ένα ελλει

ψοειδές εκ περιστροφής. Ως εκ τούτου, θέτουμε το εξής ερώτημα: Ποια

n εξήγηση για την ύπαρξη αυτής της διαφοράς στο σχήμα των δύο

Η Γεvικn Θεωρία τns Σχετικότnταs 25

σωμάτων; Καμιά απάντηση δεν μπορεί να γίνει αποδεκτή ως επιστη

μολογικά ικανοποιπτική,4 εκτός και αν π εξήγηση που δίνεται είναι ένα παρατnρfισιμο εμπειρικό γεγονόs. Ο νόμος της αιτιότητας δεν διαθέτει τη σημασία μιας δήλωσης που αφορά Οϊον κόσμο mς εμπειρίας,

παρά μόνον όταν παρατnρfισιμα γεγονότα εμφανίζΟνται τελικά ως αι

τίες και ως αποτελέσματα.

Η Νευτώνεια μηχανική δεν παρέχει μία ικανοποιητική απάντηση σε

αυτό το ερώτημα. Κι αυτό γιατί δηλώνει τα εξής: Οι νόμοι της μηχανι

κής εφαρμόζονται Οϊο χώρο R1 σε σχέση με τον οποίο ηρεμεί το σώ

μα 5Ρ αλλά όχι στον R2 σε σχέση με τον οποίο ηρεμεί το σώμα 52• Ό

μως, ο προτιμητέος χώρος R1 του Γαλιλαίου, που εισάγεται με αυrόν τον

τρόπο, είναι απλώς ένα πλασματικό αίτιο, και όχι κάτι που μπορεί να πα

ρατηρηθεί. Επομένως, είναι ξεκάθαρο ότι η Νευτώνεια μηχανική δεν ι

κανοποιεί ηραγμmικά την απαiτηση της αιτιότητας στην περίπτωση που

εξετάζΟυμε, αλλά μόνο φαινομενικά, αφού κάνει το πλασματικό αίτιο

R1 να είναι υπεύθυνο νια την παρατηρήσιμη διαφορά μεταξύ των σω

μάτων sl και s2. Η μόνη ικανοποιητική απάντηση πρέπει να είναι ότι το φυσικό σύ

στπμα που συνίΟϊαται από τα σώματα S1 και 52 δεν αποκαλύπτει εντός

του κανένα νοητό αίτιο που να αφορά στπ διαφορετική συμπεριφορά

των S1 και 52• Συνεπώς, το αίτιο πρέπει να βρίσκεται έξω από αυτό το

σύστημα. Θα πρέπει να δεχτούμε ότι οι γενικοί νόμοι της κίνησης, και

ειδικά αυτοί που καθορίζΟυν τα σχήματα των σωμά·rων 51 και 52, πρέ

πει να είναι τέτοιοι ώστε π μηχανική συμπεριφορά των 51 και 52 να διέ

πεται εν μέρει, αλλά σε αρκετά σημαντικό βαθμό, από τις απομακρυσμένες μάζες που δεν έχουν συμπεριληφθεί ΟίΟ εξεταζόμενο σύστπ

μα. Τότε, θα πρέπει αυτές οι απομακρυσμένες μάζες και οι κινήσεις τους

σχετικά. με τα S1 και S2, να θεωρηθούν ως π έδρα των αιτίων (που πρέ

πει να επιδέχονται παρατήρηση) της διαφορετικής συμπεριφοράς των

δύο σωμάτων 51 και S2• Αυτές είναι που αναλαμβάνουν το ρόλο του πλα

σματικού αιτίου R1• Από όλους τους νοητούς χώρους R1, R2, κλ.π., που

κινούνται με οιονδήποτε τρόπο ο ένας σχετικά με τον άλλο, δεν υπάρ

χει κανένας τον οποίο να μπορούμε να θεωρήσουμε a pήοή ως προτιμητέο, χωρίς να αναβιώσουμε την προαναφερθείσα επιστημολογική έν

Οϊαση. Οι νόμοι τns Φυσικfιs πρέπει να είναι τέrοιαs φύσns ώστε να

εφαρμόζοvτάι σε σuσrfιματα-ανάφοράs που κινούνται με οποιοvδfιποrε τρόπο. Ακολουθώντας αυτή την οδό, φτάνουμε σε μία επέκταση του αξιώματος της σχετικότητας. ·-··· · ..

Σε αυτό το βαρυmΊμαντο επιχείρημα, που προέρχεrαι από ΊΠ θεω

ρία της γνώσης, επισυνάπτεται και ένα καλά γνωστό φυσικό γεγονός

που ευνοεί μία επέκταση mc θεωρίας της σχι:τικόmτα<;. Έστω ένα Γαλιλdίκό σύστημα αναφοράς Κ, δηλαδή ένα σύστπμα σχετικά με το


οποίο (τουλόχιστον μέσα στπν εξεταζόμενη τετρα-διάστατη περιοχή)

κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα μία μάζα, η οποία βρίσκεrαι σε σα

φή απόσταση από άλλες μάζες. Έστω Κ' ένα δεύτερο σύστnμα αναφ<;>ράς

που κινείται σχετικά με το Κ, εκτελώντας ομοιόμορφα επιταχvνόμεvn μετατόπιση. Τότε, σχετικά με το Κ', μία μάι:;α που είναι σαφώς απομα

κρυσμένη από άλλες μάζες, θα κινούνταν επιταχυνόμενη, έτσι ώστε το

μέτρο και η διεύθυνση της επιτάχυνσής της, να είναι ανεξάρτητες από

την υλική σύνθεση και τη φυσική κατάσταση mς μάζας.

Επιτρέπει άραγε αυτό, σε έναν παρατηρητή που ηρεμεί σχετικά με

το Κ', να συναγάγει ότι βρίσκεται πάνω σε ένα «πραγματικά» επιταχυνόμενο σύστnμα αναφοράς; Η απάντηση είναι αρνητική· κι αυτό, επει

δή η προαναφερθείσα σχέση των μαζών που κινούνται ελεύθερα σχε

τικά με το Κ' μπορεί να ερμηνευθεί εξίσου καλά με τον ακόλουθο τρό

πο. Το σύστnμα αναφοράς Κ' είναι μη-επιταχυνόμενο, όμως η υπό ε

ξέταση χωροχρονική περιοχή βρίσκεται υπό την επιρροή ενός βαριπι

κού πεδίου, το οποίο δημιουργεί την επιταχυνόμενη κίνηση των σωμάτων

σχετικά με το Κ' .

Αυτή η θεώρηση είναι δυνατή νια μας με βάση όσα μας διδάσκει π

εμπειρία σχετικά με την ύπαρξη ενός πεδίου δύναμης κι ειδικά του βα

ρuτικού πεδίου, το οποίο έχει την εξαιρετική ιδιότητα να μεταδίδει την

ίδια επιτάχυνση σε όλα τα σώματα. 5 Η μηχανική συμπεριφορά των σωμάτων σχετικά με το κ· είναι ίδια, όπως αυτή εκδηλώνεται. εμπειρι

κά στnν περίmωσn συστnμάτων που συνnθίζεται να θεωρούνται ως «στά

σιμα» ή «προνομιούχα». Επομένως, από φυσική άποψη, π υπόθεση πα

ραπέμπει εύκολα στο ότι τα συστήματα Κ και Κ' μπορούν να θεωρηθούν

με το ίδιο δικαίωμα ως «στάσιμα», πράγμα που σημαίνει ότι διαθέτουν

το ίδιο δικαίωμα ως συστήματα αναφοράς για τη φυσική περιγραφή των

φαινομένων.

Από αυτές τις σκέψεις θα φανεί ότι, επιδιώκοντας τη θεμελίωση mς

γενικής θεωρίας mς σχετικότητας, θα οδπγπθούμε σε μία θεωρία της

βαρύτητας, αφού είμαστε σε θέση να «παράγουμε» ένα βαριπικό πεδίο

αλλάζΟντας απλώς το σύστnμα συντεταγμένων. Επίσης, θα γίνει πραρανές

ότι π αρχή της σταθερότητας τnς ταχύτητας του φωτός στο κενό πρέ

πει να τροποποιηθεί, αφού αναγνωρίζουμε εύκολα ότι π τροχιά μιας φω

τεινής ακτίνας ως προς το Κ' πρέπει γενικά να είναι καμπυλόγραμμη, αν ως προς το Κ το φως διαδίδεται ευθύγραμμα με καθορισμένη σταθερή

ταχύτητα.

Η Γεvικfι Θεωρία τns Σχεrικότnταs 27

3. Τ ο χωροχροvικό σvvεχέs. Απαίrnσn νεvικns σvμμεrαβλnτότnrαs νια rιs εfισώσειs ποu εκφρά;;οuν rous yενικούs vόμous rns φύσns

Τόσο στην κλασική μηχανική όσο και στην ειδική θεωρία της σχετι

κότητας οι συντεταγμένες του χώρου και του χρόνου διαθέτουν ένα ά

μεσο φυσικό νόημα. Λέγοντας ότι ένα σημειο-γεγονός έχει τη Χ1 συντεταγμένη χ1 σημαίνει ότι η προβολή του σnμειο-γεγονότος πάνω στον άξονα των Χ1 που καθορίζεται από στερεές ράβδους και σύμφωνα με τους κανόνες της Ευκλείδειας γεωμετρίας, λαμβάνεται μετρώντας μία

δοσμένη ράβδο (μονάδα μήκους) χ1 φορές από την αρχή των συντεταγμένων κατά μήκος του άξονα των Χ1. Λέγοvrας ότι ένα σημειο-γε

γονός διαθέτει τη χ4 συντεταγμένη χ4 = t σημαίνει ότι ένα τυπικό ρολόι που είναι κατασκευασμένο για να μετρά το χρόνο σε μία καθορισμένη μονάδα περιόδου και το οποίο είναι στάσιμο σχετικά με το σύστημα συ

ντεταγμένων και συμπίmει πρακτικά εντός του χώρου με το σημειο

γεγονός,6 θα έχει καταμετρήσει χ4 = t περιόδους κατά την εμφάνιση του γεγονότος.

Αυτή η άποψη περί χώρου και χρόνου υπήρχε ανέκαθεν στο νου των

φυσικών, ακόμη και αν κατά κανόνα δεν το είχαν συνειδητοποιήσει. Αυ

τό είναι φανερό από το ρόλο που διαδραματίζουν αυτές οι έννοιες στις φυσικές μετρήσεις επίσης, αυτή η άποψη πρέπει να έχει αποτελέσει τη

βάση των συλλογισμών του αναγνώστη της παραγράφου 2, προκειμένου αυτός να συσχετίσει νοηματικά ό,τι διάβασε εκεί. Τώρα όμως θα

δείξουμε ότι θα πρέπει να παραμερίσουμε αυτή την άποψη και να την

αντικαταστήσουμε από μία γενικότερη, προκειμένου να μπορέσουμε να aποπερατώσουμε το αξίωμα mς γενικής σχετικότητας, αν η ειδική

θεωρία της σχετικότητας εφαρμόζεται στην ειδική περίmωσn απουσίας

βαρυrικού πεδίου.

Μέσα σε ένα χώρο στον οποίο δεν υπάρχουν βαρυrικά πεδία, ει

σάγουμε ένα Γαλιλciίκό σύστημα αναφοράς K(x,y,z, t), καθώς επίσης και ένα σύστημα συντεταγμένων Κ' (χ' ,y' ,z', t' ), που περιστρέφεται ομοιόμορφα σχετικά με το Κ. Έστω ότι συμπίmουν προσωρινά οι αρ

χές των δύο συστημάτων, καθώς επίσης και των αξόνων τους τωνΖ.

Θα δείξουμε τώρα ότι για μία χωροχρονική μtrρηση εντός του συ

στήματος Κ' ο παραπάνω ορισμός του φυσικού νοήματος των μηκών

και των χρόνων δεν μπορεί πλέον να διατηρηθεί. Για λόγους συμμετρίας,

είναι φανερό ότι ένας κύκλος με κέντρο των αρχή των αξόνων που κεί

ται πάνω στο επίπεδο (Χ, Υ) του συστήματος Κ μπορεί συγχρόνως να

θεωρηθεί ως ένας κύκλος του επιπέδου (Χ' ,Υ') του Κ'. Υποθέτουμε ό

τι η περιφέρεια και η διάμετρος αυτού του κύκλου έχει μετρηθεί με μία

μονάδα μέτρησης που είναι άπειρα μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα,

και ότι έχουμε το πηλίκο της διαίρεσης αυrών των δύο μεγεθών. Αν


aυτό το πείραμα είχε πρaγμaτοποιπθεί με μία ράβδο μέτρπσης που n· ρεμεί σχετικά με το Γαλιλdίκό σύστημα Κ, το τmλίκο θα ήταν ο αριθμός

π. Αν είχε χρησιμοποιηθεί μία ράβδος μέτρησης που ηρεμεί σχετικά με

το σύσmμα Κ , το πηλίκο θα ήταν ένας αριθμός μεγαλύτερος του π. Αυ

τό κατανοείται εύκολα αν αντιμετωπίσουμε την όλη μετρητική διαδικασία

από το «στάσιμο» σύστημα Κ και λάβουμε υπόψη μας ότι n ράβδος μέτρησης που εφαρμόζεται σmν περιφέρεια υποβάλλεται σε συστολή

Lorentz, ενώ εκείνη που εφαρμόζεται κατά μήκος της ακτίνας, όχι. Ά· ρο n Ευκλείδεια γεωμετρία δεν εφαρμόζεται στο σύστημα Κ. Συνεπώς, n έννοια των συντεταγμένων που ορίστηκαν παραπάνω, που προϋπο-θέτει την εγκυρότητα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, καταρρέει σε σχέ·

ση με το σύστημα Κ'. Έτσι, επίσης, είμαστε ανίκανοι να εισαγάγουμε

ένα χρόνο που να αντιστοιχεί σε φυσικού χαρακτήρα απαιτήσεις μέσα

στο Κ, και ο οποίος να υποδεικνύεται από ρολόγια που ηρεμούν σχε·

τικά με το Κ' . Για να πειστούμε γι' αυτή την αδυναμία μας, ας φαντα

στούμε δύο ρολόγια της ίδιας σύστασης που είναι τοποθετημένα το έ·

να στην αρχή των συντεταγμένων και το άλλο στην περιφέρεια του κύ

κλου, και ότι αντιμετωπίζΟνται και τα δύο τους από το «στάσιμο» σύ·

στημα Κ. Από ένα γνωστό αποτέλεσμα της ειδικής θεωρίας mς σχετι

κότητας προκύmει ότι το ρολόι της περιφέρειας -θεωρούμενο από το

Κ-πηγαίνει πιο αργά από το άλλο, επειδή το πρώτο κινείται, ενώ το δεύτερο ηρεμεί. Ένας παρατnρnτής που βρίσκεται στην κοινή αρχή των συ

ντεταγμένων και μπορεί να παρατηρεί το ρολόι στην περιφέρεια μέσω

του φωτός, θα το έβλεπε επομένως να καθυστερεί σε σχέση με το ρο-

λόι που βρίσκεται δίπλα του. Καθώς δεν πρόκειται να αποφασίσει να ε

πιτρέψει mν ύπαρξη αποκλειστικής εξάρτησης aπό το χρόνο της τa

χύι:nτας του φωτός που διαδίδεται κατά μήκος mς υπό εξέταση δια

δρομής, θα ερμηνεύσει τις παρατnρήσεις του ως ενδείξεις του ότι το ρο-

λόι της περιφέρειας πηγαίνει «πραγματικά» πιο αργά απ' ό,τι το ρολόι

που βρίσκεται στην αρχή. Έτσι, θα είναι υποχρεωμένος να ορίσει με τέ·

τοιον τρόπο το χρόνο, ώστε ο ρυθμός ενός ρολογιού να εξαρτάται α

πό το πού μπορεί να βρίσκεται αυτό το ρολόι.

Συνεπώς κατα?dιγουμε στο εξής αποτέλεσμα: Στη pι~~θεωρία mς σχετικότητας ο χώρος και ο χρόνος δεν μπορούν να οριστούν με τέτοιοy

-ΙρόΠο ώΟτε δια(ροp(ς των χωpικών Ουντεταγμένων yα μπορούν να μεΊρnθούy Sψ.εσα από μία μοναδιαία ράβδο !!_έφnσης ή διαφορές στη :χρο-, ,νικι'ι συντεταγμένη από ένα τυπικό ρολόι.

Έτσι, n μέθοδος που έχει εφαρμοστεί έως τώρα νια την τοποθέτηση συντεταγμένων μέσα στο χωροχρονικό συνεχές με έναν καθορισμένο τρόπο καταρρέει, και φαίνεται να μην υπάρχει κανένας άλλος τρόπος

που θα μας επέτρεπε να υιοθετήσουμε συστήματα συντεταγμένων στο

τετρα-διάστατο σύμπαν, ώστε να μπορούσαμε να αναμένουμε από την

Η Γεvικiι Θεωρία τns Σχετικότnταs 29

εφαρμογή τους έναν ιδιαίτερα aπλό φορμαλισμό των νόμων mς φύσης.

Έτσι, δεν aπομένει τίποτε άλλο από το να θεωρήσουμε, καταρχήν, ως

εξίσου κατάλληλα νιο mν περιγραφή mς φύσης, όλο τα νοητά συστή

ματα συντεταγμένων. Αυτό μας οδηγεί σmν εξής απαίmση:

Οι νενικοί ~όμοι !._'}S φύσns !!_Ρέπει να εκφρά?οvrαι από εfισώσειs που ισχύουν yια όλα τα συστfιματα συνrεταyμέvων, δnλαδn, να είναι

auvαλλοίωτοι ωs npos τιs οίεσδnποτε ανrικατασiάσειs (yενικά συ-ναλλοίωτοι). -

Είναι φανερό ότι μία φυσική θεωρία που ικανοποιεί αυτό το αξίω

μα θα είναι επίσης κατάλληλη και για το γενικό αξίωμα mς σχετικόm

τας. Κι αυτό γιατί το άθροισμα όλων των aντικαταστάσεων, που έχουν

γίνει σε μία οποιαδήποτε περίmωσn, συμπεριλαμβάνει και αυτές που

αντιστοιχούν σε όλες τις σχετικές κινήσεις των τρισδιάστατων συσm

μάτων συντεταγμένων. Από τον ακόλουθο συλλογισμό θα φανεί ότι αυ

τή η οποίmση γενικής συμμετοβλητόmτας, που απομακρύνει από το

χώρο και το χρόνο το τελευταίο υπόλειμμα φυσικής αντικειμενικόm

τας, είναι aπόλυτα φυσιολογική. Όλες οι χωροχρονικές διαβεβαιώσεις

μας ισοδυναμούν σταθερά με έναν καθορισμό χωpοχρονικών συ

μmώσεων. Α ν, για παράδειγμα, τα γεγονότα συνιστούνταν απλώς από

mν κίνηση υλικών σημείων, τότε τελικά δεν θα παροmpούντον τίπο

τε άλλο εκτός οπό τις συναντήσεις δύο ή περισσότερων από αυτά τα

σημεία. Περαιτέρω, τα αποτελέσματα των μετρήσεών μας δεν είναι τί

ποτε άλλο από επιβεβαιώσεις τέτοιων συναντήσεων των υλικών σημείων

των μετρητικών οργάνων μας με άλλα υλικά σημείο, συμmώσεις ανά

μεσα στους δείκτες ενός ρολογιού και τα σημεία που είναι γραμμένα πά

νω στον πίνακα mς κλίμακας του ρολογιού, και παρατηρnθέντα σημειο

γεγονότο που συμβαίνουν στον ίδιο τόπο, τον ίδιο χρόνο.

Η εισαγωγή ενός συστήματος αναφοράς δεν εξυπnρετεί κανέναν άλ

λο σκοπό εκτός από το να διευκολύνει mν περιγραφή mς ολόmτας τέ

τοιων συμmώσεων. Απονέμουμε στο σύμπαν τέσσερις χωpοχρονικές

μεταβλητές χ1, χ2,χ3,χ4, έτσι ώστε να υπάρχει για κάθε σημειο-γεγονός

ένα αντίστοιχο σύσmμα τιμών των μεταβλητών, χ1, ... ,χ4• Στα δύο σu

μπίmοντα σημειο-γεγονότα αντιστοιχεί ένα σύσmμα τιμών των μετα

βλητών χ1, ... ,χ4, δπλαδή η σύμmωσn χαρακmρίc:;ετοι από mν ταύτιση

των συντεταγμένων. Αν σm θέση των μεταβλητών χ1 , ... ,χ4 βάλουμε τις συναρτήσεις τους χΊ. χ·2 , χ'3 , χ'4 , σαν ένα νέο σύστημα συντεταγμένων,

έτσι ώστε το συστήματα τιμών να είναι έτσι κατασκευασμένο ώστε να

υπάρχει μεταξύ τους αντιστοιχία, χωρίς καμία ασάφεια, τότε n ισόmτα και των τεσσάρων συντεταγμένων μέσα στο νέο σύστημα, θα χρη

σιμεύσει επίσης ως μία έκφραση νιο m χωροχρονική σύμmωσn των δύο σημειο-γεγονότων. Καθώς όλη η φυσική εμπειρία μας μπορεί να ανα

χθεί τελικά σε τέτοιες συμmώσεις, δεν υπάρχει κανένας άμεσος λόγος

30 Άλμπερτ Α"ίνστάιν

νια την προτίμηση συγκεκριμένων ουσmμάτων συντεταγμένων σε

σχέση με άλλα, πράγμα που σημαίνει ότι φτάνουμε σmν απαίτηση της

γενικής συμμεταβλπτότητας.

4. Η σχέσn των τεσσάρων συνrεταyμέvωv με τn μέτρnσn σε χώρο και χρόνο

Σε αυτή τη συζήτηση δεν σκοπεύω να παρουσιάσω τη γενική θεωρία

mς σχετικότητας ως ένα όσο το δυνατόν πιο απλό και λογικό σύστη

μα, με τον ελάχιστο αριθμό αξιωμάτων· αντιθέτως, ο βασικός σκοπός

μου είναι να αναmύξω με τέτοιον τρόπο αυτή τη θεωρία, ώστε ο ανα

γνώστης να νιώσει ότι π διαδρομή που έχουμε αρχίσει να ακολοuθοό

με είναι από ψυχολογικής άποψης η φυσιολογική και ότι θα φανεί πως

οι υπόρρπτες υποθέσεις διαθέτουν τον υψηλότερο δυνατό βαθμό σι

γουριάς. Λαμβάνοντας υπόψη αυτόν το σκοπό, μπορούμε τώρα να

θεωρήσουμε δεδομένο το ότι:

Για aπείρως μικρές τετρα-διάστατες περιοχές είναι κατάλλnλπ π θεω

ρία της σχετικότητας με την περιορισμένη έννοια, αν επιλεχθοόν κα

τάλληλα οι συντεταγμένες.

Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να επιλέξουμε την επιτάχυνση του aπείρως μικρού (<<τοπικού») συστήματος συντεταγμένων, έτσι ώστε να

μην υπάρχει κανένα βαρυτικό πεδίο- αυτό είναι δυνατό να γίνει νια μία

aπείρως μικρή περιοχή. Έστω Χ1 Χ2, Χ3 οι συντεταγμένες του χώρου και Χ4 π προσιδιάζουσα στο χρόνο συντεταγμένη που μετράται με την κατάλληλη μονάδα.? Αν φανταστοόμε ότι δίνεται μία στερεά ράβδος ως μονάδα μέτρησης, τότε οι συντεταγμένες, με δοσμένο έναν προσανα

τολΙΟμό του συστήματος συντεταγμένων, διαθέτουν ένα άμεσο φυσι

κό νόημα με την έννοια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Τότε, α

πό την ειδική θεωρία της σχετικότητας προκύmει ότι η έκφραση

(1)

έχει μία τιμή που είναι ανεξάρτητη του προσανατολισμού του τοπικού

συστήματος συντεταγμένων, και μπορεί να εξακριβωθεί από μετρήσεις

στο χώρο και το χρόνο. Αποκαλούμε ds το μέτρο του γραμμικού στοιχείου που αναφέρεται σε σημεία του τετρα-διάστατου σuνεχοός που βρί

σκονται aπείρως κοντά μεταξύ τους. Αν το ds που ανήκει στο στοιχείο dX1, ... ,X4 είναι θεrικό, ακολοιfuύμε τον Minkowski αποκαλώντας το χρονοειδές αν είναι αρνητικό, το αποκαλούμε χωροειδές.

Επίσης, στο εξεταζόμενο «γραμμικό στοιχείο» -ή στα δύο aπείρως

κοντινά σημειο-γεγονότα- θα αντιστοιχούν καθορισμένα διαφορικά

Η Γενική Θεωρία τns Σχετικότnταs 31

dx1, ... ,dx4 των τετρα-διάστατων συντεταγμένων οποιουδήποτε επιλεγ

μένου συστήματος αναφοράς. Α ν για m θεωρούμενη περιοχή δίνεται αυτό το σύστημα, καθώς επίσπς και το «τοπικό» σύστημα, τότε εδώ οι

ποσόmτες dXv θα μπορούν να αναπαρασταθούν από καθορισμένες γραμμικές και ομογενείς εκφράσεις των dx

0:

dX =Σα dx (2)

" σ νσ σ

Εισάγοντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωσπ (1), παίρνουμε

(3)

όπου οι ποσότnτες gar θα είναι συναρτήσεις των x<f Αυτές δεν μπορούν πλέον να εξαρτώνται από τον προσανατολισμό και mν κινητική κατά

σταση του «τοπικού» συστήματος συντεταγμένων, επειδή η ds2 είναι μία ποσόmτα που εξακριβώνεται με μέτρησπ μέσω ράβδου και ρολο

γιού, των σπμειο-γεγονότων που βρίσκονται aπείρως κοντά μεταξύ

iouς στο χωροχρόνο, και η οποία ορίζεται ανεξάρmτα από οποιαδήποτε

ειδική επιλογή συντεταγμένων. Εδώ οι gσrθα πρέπει να επιλεχθούν έ

τσι ώστε να ισχύει gar = grσ· η άθροισπ θα εκτείνεται πάyω σε όλες τις

τιμές των σ και τ, έτσι ώστε το άθροισμα να αποτελείται από 4χ4 όρους,

από τους οποίους οι δώδεκα είναι ίσοι κατά ζεύγη.

Η περίmωση mς συνηθισμένης θεωρίας mς σχετικόmτας ανα

κύmει από mν εδώ θεωρούμενη περίmωσπ, αν είναι δυνατόν να γί

νει αυτό, εξαιτίας των ειδικών σχέσεων των gar μέσα στην πεπερασμένη περιοχή, επιλέγοντας με τέτοιον τρόπο το σύστημα αναφοράς μέσα

στην πεπερασμένη περιοχή, ώστε οι ποσόmτες gar να λαμβάνουν τις σταθερές τιμές:

-1 ο ο

ο - 1 ο

ο ο - 1

ο ο ο l] (4)

Από δω και στο εξής θα ανακαλύψουμε ότι, γενικά, η επιλογή τέ

τοιων συντεταγμένων δεν είναι δυνατή για μία πεπερασμένη περιοχή.

Από τις θεωρήσεις που διατυπώθηκαν στις παραγράφους 2 και 3, έπεται ότι οι ποσόmτες 9rσ πρόκειται να αντιμετωπιστούν, από φυσική άποψη, ως οι ποοόmτες που περιγράφουν το βαρυτικό πεδίο σε σχέ

ση με το επιλεχθέν σύσmμα αναφοράς. Γιατί, αν τώρα υποθέσουμε ότι η ειδική θεωρία mς σχετικόmτας εφαρμόζεται σε μία συνκεκριμένη


τεφα-διάσταm περιοχή με τις κατάλληλα επιλεχθείσες συντεταγμένες,

τότε οι gσr διαθέτουν τις τιμές που δίνονται σm διάταξη (4). Τότε, ένα ελεύθερο υλικό σημείο κινείται, σχετικά με αυτό το σύστnμα, εκτελιοντας ευθύγραμμη και ομοιόμορφη κίνηση. Αν τότε εισαγάγουμε νέες χω

ροχρονικές συντεταγμένες χ1, ~· X:J. χ4, μέσω οποιασδήποτε επιλεχθεί

σας αντικατάστασης, οι ποσόmτες gσr σε αυτό το νέο σύστημα δεν θα

είναι πλέον σταθερές, αλλά θα είναι συναρ-Ιήσεις του χώρου και του χρό

νου. Συγχρόνως, η κίνηση ενός ελευθέρου υλικού σημείου θα εμφανί

ζεται στις νέες συντεταγμένες ως μία καμπυλόγραμμη μη ομοιόμορφη

κίνηση, ενώ ο νόμος αυτής mς κίνησης θα είναι ανεξάρmτος από m φύση του κινουμένου σωματίου. Συνεπώς, θα ερμηνεύσουμε αυτή mν

κίνηση ως μία κίνηση που γίνεται υπό mν επίδραση ενός βαρυτικού πε

δίου. Έτσι, βρίσκουμε ότι n ύπαρξη ενός βαρυτικού πεδίου συνδέεται με μία χωροχρονική μεταβλnτόmτα 9σr· Επίσης, και σm γενική περί

mωσπ, όταν δεν μπορούμε πλέον να εφαρμόσουμε mν ειδική θεωρία

mς σχετικόmτας σε μία πεπερασμένη περιοχή με μία κατάλλπλn επιc

λογή συvτετανμένων, θα πιαστούμε νερά από mν άποψη σύμφωνα με

mν οποία οι ποσόmτεςgσr περιγράφουν το βαρυτικό πεδίο.

Έτσι, σύμφωνα με m γενική θεωρία mς σχετικόmτας, η βaρύmτα καταλαμβάνει μία εξέχουσα θέση σε σχέση με άλλες δυνάμεις, ει

δικότερα τις πλεκτρομαννnτικές, αφού .91_δ,έκ9 συναρτή9:εις που <;ιy_(!~παριστούν το βαρυτικό πεδίο, ορίζουν συνχρόνως και τις μετρικές ιδιόmτες του μεiρΟύμενου xilipoυ. - . - · · . - ---

Σnμειώσειs

1. Η Θεμελiωσn τns Γενικiιs Θεωρiαs τns Σχετικότnταs, Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie, Armalen der Physik, σειρά 4, τόμ. 49, σελ. 769-822.1916, επανεκδόθηκε στο βιβλίο του Η.Α Lorentz: Relativitatsprinzip, τρίm έκδοοn, Teubner, 1920, μεταφρασμένο στα αγγλικά. Ξαναεμφανίσmκε επίσης mν ίδια χρονιά και σmν Ινδία στο βιβλίο The Prindple of Relativity: original papers σε μετάφραση των Μ.Ν. Saha και S.N. Bose, και με μία ιστορική εισαγωγή (για όλη m συλλογή των άρθρων) από τον P.C. Mahalanobis· Καλκούτα, Πανεπιστήμιο mς Καλκούτα, σειρά xxiii. Στα γαλλικά εμφανίστnκε σε μετάφραση του παλιού φίλου του Αϊνστάιν από τα φοιmτικά χρόνια mς λέσχης

mς Ολυμπιάδας Μ. Solovine: Les Fondements de /α Theorie de la Relativite generale, Hennann, Paris (μαζί με άλλΩ δύο άρθρα 1933). Επίσης, στα γερμανικά εκδόθηκε ως αιποίισιο όρθρο και μέχρι το 1929 είχε επανεκδοθεί πέντε φο

ρές Leipzig, Barth. Η παρούσα μετάφραση βασίζεται σε αυτή mv τελευταία έκδοση, ενώ λήφθηκε υπόψη και π μεταγενέστερη αγγλική μετάφραση των W. Peπett και G.B. Jeffery στο The Prindple of Relativity, σελ. 111-164, 1952, Dover, που είχε πρωτοεκδοθεί στα 1923, από τον οίκο Methuen.

Η Γεvικι'ι Θεωρία τns Σχετικότnταs 33

Οι εργασίες με 11ς οποίες οδηγήθηκε ο Α:ι'νστάιy στο παρόν άρθρο, της τελι

κής τιmοποίnσnς της χρονογεωμετρικής θεωρίας mς βαρύτητας είναι οι εξής:

- «Relativitatspήnzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen», Jahrbuch der Radioaktivitat, τόμ. 4, σελ. 411-462 και με διόρθωση στο ίδιο, τόμ. 5, σελ. 98-99: εδώ πρωτοδιατvπώvεrαι διεξοδικά n έννοια mς ισοδυναμίας αδρανειακής και βαριπικής μάζας (1907). - «Bemerkungzu dern Gesetz von Eδtvos», Annalen der Physik, σειρ. 4, τόμ. 34, σελ. 165-169, (1911). - «Eintluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Uchtes», Annalen der Physik, σεφ. 4, τόμ. 35, (1911), σελ. 898-908: με αιπό το άρθρο επανέρχεται με αποφασισηκό τρόπο σmν προβληματική του άρθρου I, και συμπεραίνει για πρώτη φορά την καμπύλωσn των φωτεινών ακτίνων από το πεδίο του ηλίου.

- «Uchtgeschwindigkeit und Statik des Gravititionsfeldes>>, Annalen der Physίk, σεφ. 4, τόμ. 38, σελ. 355-369, (1912). - «Theoήe des statischen Gravitationsfeldes», Annalen der Physik, σειρ. 4, τόμ. 38, σελ. 443-458, (1912). - «Relativitat und Gravitation: Erwiderung auf eine Bemerkung von Μ. Abraham», Annalen der Physik, σειρ. 4, τόμ. 38, σελ.1059-1064, (1912). - «Bernerkung zu Abraham's Auseinandersetzung: Nochmab Relativitat und Gravitaion», Annalen der Physik, σειρ. 4, τόμ. 39, σελ. 704, (1912). - «Gίbt es eine Gravitatίonswίrkung die der elektrodyniιmischen Induktionswίrkung analog ίst? Vierteljahrsschήft fur geήchtliche» Medizin, σειρ. 3, τόμ. 44, σελ. 37-40, (1912). - «Entwurf einer V erallgemeinerten Relativitatstheoήe und eine Theoήe der Gravitation Ι. Physikalίscher Teil von Α. Einstein. 11. Mathernatischer Teil von Μ. Grossmann». Leipzig, Teubner, Zeitschriftfur Mathematik und Physik, τόμ. 62, σελ. 225-261, (1913). - «Physikalίsche Grundlagen einer Gravitations theoήe», Naturforschende Gesellschaft, Zuήch, Vierteljahrsschrift, τόμ. 58, σελ. 284-290, (1913). - Περίληψη του προηγουμένου άρθρου στο Schweizeήsche naturforschende Gesellschaft, Verhandlunge,1913, μέρος 2, σελ. 137-138, (1913). - «Zum gegenwartigen Stande des Gravitationsproblerns». Physikalishe Zeitschrift, τόμ.14, σελ.1249-1266, (913). - «Nordstrδmsche Gravitationstheoήe vom Standpunkt des absoluten Differentialkalkiils» (σε συνεργασία με τον A.D. Fokker, ο οποίος ήταν ο πρώτος που χρηmμοποίησε τον mo ακριβή όρο χροvσyεωμεrρικfι θεωρία ms βαρύτnταsγια τη γενική σχετικότητα), Annalen der Physik, σειρ. 4, τόμ. 44, σελ. 321-328 (1914). - «Zur Theoήe der Gravitation, Naturforschende», Gesellschaft, Zuήch, Vierteljahrsschrift, τόμ. 59, σελ. 4-6, (1914). - «Nachtragliche Antwort aufeine Frage von Reissner», Physika/ische Zeitschrift, τόμ.15, σελ.108-110, (1914): εδώ ο .Α:ίνστόιν προσπαθεί να ορίσει mν έννοια mς μaζας του βαριπικού πεδίου. - «Prinzipielles zur verallgemeineήen Relativitatstheoήe und Gravitationstheoήe», Physikalische Zeitschrift, τόμ. 15, σελ. 176-180(1914): εδώ ο

34 Άλμπερτ Αίνστάιν

Αίνστάιν ξεκαθαρίζει, απαντωντας στον G. Mie, m σχέση του άρθρου του 9 με το έργο του Minkowski. - Formale Grundlage der al/gemeinen Relativitiitstheorie, Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1914, 2, σελ. 1030-1085. - Physikalische Grund/agen und /eitende Gedanken fur eine Graνitationstheorie. Schweizeήsche natιuforschende Gesellschaft, Verhandlungen, τόμ. 96, 2, σελ. 146, (1914). - Gravitationstheorie, στο ίδιο, τόμ. 96, 2, σελ.137-138, (1914). - Kovarianzeigenschaften der Feldg/eichungen der auf die vemllgemeinerte Relativitiitstheoιie gegrundeten Gravitationstherie (μαζί με τον Μ. Gmssmann), Zeitschrift fur Mathematik und Physik, τόμ. 63, σελ. 215-225, (1914). - Grundgedanken der al/gemeinen Relatίvitatstheorie undAnwen-dung dieser Theorie in der Astronomίe Preuss. Akad. Wιss., sitzungsbeήchte, 1915, 1, σελ. 315. - Zur al/gemeίnen Re/ativitatstheorie, στο ίδιο, 1915, 2, σελ. 778-786 και 799-801. - Erklarung der Perihe/bewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitatstheorie, στο ίδιο , 1915, 2, σελ. 831-839. - Fe/dgleichungen der Gravitation, στο ίδιο, 1915, 2, σελ. 844-847. (Σ.τ.Μ.)

2. Σmν ειδική θεωρία mς σχετικόmτας ο Αίνστάιν, από mν πpωm κιόλας πα

ράγραφο, ασκεί κριτική σmν nλεκτροδuναμική επικαλούμενος το πείραμα J=araday που αφορά σm σχετική κίνηση αγωγού και μαγνήm: η παρατήρηση εμ

φάνισης ρεύματος οφείλεται σm σχετική κίνηση μαγνήm και αγωγού, ενω

η απόλυτη κίνηση είναι κάτι το μη παρατηρήσιμο. Όμως, ακόμη και στα

πλαίσια mς ειδικής σχετικόmτας, συνεχίζει να είναι απόλυτη η διάκριση α

νάμεσα σε αδρανειακά συστήματα (συστήματα που κινούνται με σταθερή τα

χύmτα) και επιταχυνόμενα συστήματα, πράγμα που θα καταδείξει στα επό

μενα ο Α:ίνστάιν. (Σ.τ.Μ.)

3. «Πιστεύω ότι ακόμη και αιποί που θεωρούν τους εαιπούς τους aντιπάλους του Mach, δύσκολα μπορούν να συνειδητοποιήσουν πόσο πολύ είναι οι ίδιοι

εμποτισμένοι από τον τρόπο mς σκέψης του, σαν να πρόκειται, τρόπος του

λέγειν, για το μητρικό τους γάλα>> , θα πει ο Αίνστάιν στα 1916, σm νεκρολογία του για τον Mach: Physikalische Zeitschιift, 17, 101-104,1916, σελ.102. Η σχέση Μach-Α:ι\ιστάιν δεν εξαντλείται σmν κοινή τους απόρριψη mς έννοιας

του απόλιπου χωρου, αλλά αφορά σmν όλη δομή mς προβληματικής του τε

λειπαίου μέσα από τον Θετικισμό. Σmν εισαγωγή αιπού του τόμου παραθέ

τουμε κάποια αποσπάσματα επιθέσεων προς τον Α:ι\ιστάιν από τους γνωστούς,

χαμπλού επιπέδου, κύκλους των διαφόρων πολιτικων ομάδων που ήθελαν να

τον ταιπίσουν με mν εικόνα του υλιστή-μαρξιστή-Εβραίου. Ο ΑΊ\ιστάιν δεν εί

χε αιπές τις απόψεις εκείνη mν περίοδο. Αντίθετα, ακολουθούσε θετικιστι

κές απόψεις και μάλιστα ένιωσε, μέσα από m διατύπωση mς θεωρίας του,

mν ανάγκη αναμόρφωσης ή και απομάκρυνσης από τις αναλύσεις του Φιλο

σοφικού Θετικισμού, aργότερα. Μάλιστα, αιπή η πολεμική ενάντια στον Α:ι\1-

στάιν, ως του θεμελιωτή μιας εβραιο-μπολσεβίκικης Φιισικής μπέρδεψε και

τους ίδιους τους Σοβιετικούς, οι οποίοι, όπως αναφέρει ο Ρ. Frank (1884-1966) στη βιογραφία του Α:ίνστάιν, ενθουσιάστηκαν τόσο πολύ με τον ίδιο που,

Η Γεvικrί Θεωρία τns Σχετικότnταs 35

μετά mν επανάσταση του 1917, από τα πρώτα βιβλία που εξέδωσε το νεαρό σοβιετικό κράτος ήσαν οι μεταφράσεις των εργασιών του Α:ίνστάιν. Αυτό εί

χε ως αποτέλεσμα, δυστυχώς, να παραβλεφθούν οι θετικιστικές απόψεις

του (που στις καλύτερες των περιmώσεων του αποδίδονταν μόνο κατά mν

περίοδο mς ειδικής σχετικόmτaς) και επομένως και η κριτική εξέταση mς αρ

γόσυρmς αποδέσμευσή ς του από τον Φιλοσοφικό Θετικισμό. Ο Karl Popper αναφέρει πως: «Είναι ενδιαφέρον το ότι ο ίδιος ο Α:ι'νστάιν ήταν επί χρόνια έ

νας δογματικός θετικιστής και λειτουργιστής (operationalist). Αργότερα, απέρριψε αυτή mν ερμηνεία: στα 1950 μού είπε ότι δεν είχε ποτέ μετανιώσει τόσο πολύ για λάθος που διέπραξε, όσο νι' αυτό εδώ το λάθος». Βλ. κ. Popper, Unended Quest, Fontana-Collins, Glasgow, 1978, σελ. 96-97. Αυτό το απόσηασμα αποτελεί συγχρόνως και απάνmση σε όσους βιαστούν να συ

μπεράνουν ότι ο Α:ι'νστάιν ήταν, ανέκαθεν, θετικιστής.

Ο Emst Mach έζησε σmν κλείστή κοινωνία mς Αυστρο-Οuγγαρίας οι πολιτικές του απόψεις ήσαν κοντά σε έναν σοσιαλισμό αυστριακού τύπου και

πολέμησε (με αντίτιμο mν απώλεια θέσης καθηγητή σm Βιέννη) τον μονό

πλευρο Εθνικισμό και τον Αντισημιτισμό (υπάρχει, μάλιστα, έγγραφο χαφιέ

δων mς αστυνομίας mς Πράγας που αφορά σε αυτή mν προοδευτική δρά

ση του). Σε μία από τις πρώτες του απόπειρες να δημοσιεύσει άρθρο στα 1866 στο περιοδικό Annalen derPhysik, ορίζοντας mν έννοια mς μάφς με έναν νέο τρόπο, απέτυχε: ο εκδόmς τού το επέστρεψε πίσω σαν μη-δημοσιεύσι

μο. Σm διαμόρφωση mς μεθοδολογίας του πρέπει να αναφέρουμε mν αλ

ληλεπίδρασή του με αυτή του W. James, ειδικά μετά το 1882 όπου συναντήθηκαν σmν Πράγα (στις 2 Νοεμβρίου) και ξεκίνησε μία αρκετά εκτεταμένη αλληλογραφία τοιχ;, μετά και τα πειράματα του James πάνω σmν Ψυχολογία. Μόλιστα, στις 281οuνίου 1907, ο Mach θα τον διαβεβαιώσει ότι ο τρόπος mς σκέψης του βρίσκεται πολύ κοντά στον Πραγματισμό, χωρίς να έχει

χρησιμοποιήσει ποτέ αυτόν τον όρο. (Είναι αξιοσημείωτο το ότι το ίδιο πρό

σωπο, ο James, επηρέασε και τον Ν. Bohr σm διατύπωση mς αρχής mς συμπληρωματικόητας και των «Κοπενχανιανών» θεμελίων mς κβαντικής Μη

χανικής.) Για τη φιλοσοφία του Jarnes βλ. σmν εργασία του Το αίσθnμα ορθολοyικότnτα.ς, εκδ. Κριτική,1993.

Η αλληλογραφία Α:ίνστάιν-Μach ξεκινά με ένα γράμμα του πρώτου προς

τον δεύτερο, στις 17 Αυγούστου 1909, όπου αποκαλεί τον εαυτό του μαθnη'ι του Mach. Ανάμεσά τους θα υπάρξει συμφωνία πάνω σmν ανάγκη ενόmτας

σmν έρευνα τόσο των επιστημονικών φαινομένων όσο και μεταξύ των διά

φορων επιστημονικών κλάδων, καθώς επίσης και σmν προτίμησή τοιχ; νια

μία εξελικτική παρά επαναστατική αντίληψη νια mν επιστημονική πρόοδο. Α

πό mν ίδια χρονιά και έπειτα, αρχίζΕΙ το αυξανόμενο ενδιαφέρον του Mach νια m σχετικόmτα που οι Κ. Hentschel και J. Blackmore βρήκαν ότι εκτείνεται σε 128 γράμματα του που αναλύουν στο έργο τους Ernst Mach ab Aussenseiter: Machs Brijwechse/ Uber Philosophie und Relativitatstheorie rnit Personlichkeiten seiner ZeitW. Braunmuller, Vierιna, UniνersitatsVerlangsbuchhandlung GmbH, 1985, μαζί με αυτά που υπάρχουν στο βιβλίο των R. Haller και F. Stadler (επιμ.), Emst Mach- Werk und Wirkung, VerIag Holder- Pichler- Temsky, 1988. Αυτό που θα ενθουσιάσει τον nμιπαράλυτο


τότε από δεξιά στην ηλικία των 71 χρόνων, Mach, θα είναι το άρθρο του Minkowski. Ο κύκλος του Mach θα αρχίσει να εξετάζει επισταμένως m σχετικότητα. Στα τέλη του 1911 και στις αρχές του 1912 θα δnμιοιιργnθεί η Εταιρεία νια m θετικιστική Φιλοσοφίa όπου στn διακήρυξη που κυκλοφορεί, καλεί όσους θέλουν να συμμετάσχουν με σκοπό «mν καθιέρωση ζωντανών σuνδέ·

σεων ανάμεσα σε όλες τις επιστήμες, αναmύσσοντας παντού τις ενοποιητι

κές ιδέες κι έτm να προωθήσουν μία ελεύθερη-aπό-αντιφάσεις ενιαία σύλλnψn»

( << ••• alle Wissenschaften untereinander in lebendige Verbindung zur setzen, i· iberall die vereinheitlichenden Begήffe zu entwickeln und so zu einer wider· spruchsfreieη Gesamtauffassung vorzudringen» ). Το κείμενο υπογράφουν 31 πρόσωπα, μεταξύ των οποίων οι Ε. Mach, Α. Αίνστάιν, Σ. Φρόuντ, D. Hubert, F. Κlein, F.C.S. Schiller. Την ίδια περίοδο ο Αίνστάιν επεξεργάζεται στην Πρά

γα m βαρuτική θεωρία του που θα οδηγήσει στα 1913 στην aρχική θεμελίωση mς γενικής σχετικόmτας (με τον Μ. Grossmann: βλ. mν πρώm ενόmτα του επιμέτρου του παρόντος βιβλίου). Ο Mach θα διαπιστώσει ότι, ενώ η ει· δική σχετικόmτa του 1905 ικανοποιούσε mν επισmμολογική του αντίληψη περί αισθnmριακής εμπειρίας (αφού ανέλυε yεyοvότα). τώρα τα πράγματα πε

ριπλέκονταν αφού έπαυε να αποδίδεται φυσικό νόnμα στα διαφορικά των συ

ντεταγμένων αλλά αυτό αποδίδονταν αποκλειστικά και μόνο στη μετρική Riemann που τους αντιστοιχεί: Ο Αίνστάιν απομακρύνθηκε από τον ρηχό θετικισμό aσπαζόμενος αυτό που αποκάλεσε «ορθολογικό ρεαλισμό» μέσα από

το Lochbetractung που περιγράφεται στο επίμετρο, όπου η έννοια mς ορθολογικόmτας κατανοούνταν ως «αναζήmσn mς μόνης αξιόmστης πηγής για

mν αλήθεια, στη μαθηματική απλόmτα», όπως αναφέρει σε γράμμα του

προς τον σuνεργάm του Comelius Lanczos, στις 24Ιανοuaρίου 1938. Σuνοmικό μπορούμε να πούμε ότι η αντίδραση του Mach προς m γενική σχετικόmτα ήταν η θεμελίωση μιαs μn-σχεrικόmταs, δηλαδή μιας θεωρίας αμε

τάβλητων ποσοτήτων, που κατέστρεφε mν πίστη σε σχετικά αισθητπριο·

φυσιολογικά θεμέλια. Αυτή είναι και η αιτία παραπομπής σε ζητήματα επι·

στnμολογίας και γνωσιολογίας, στα οποία παραπέμπει ο Αίνστάιν στη συνέ

χεια του παρόντος άρθρου, γνωρίζΟντας ότι πλέον έχει απομακρυνθεί aπό mν

Εταιρεία για m θετικιστική Φιλοσοφία. Η επίθεση του Emst Mach στον απόλυτο χώρα είναι οξύτατη: διακρίνοντας

το «μεταφυσικό πέπλο» με το οποίο πεpιενδύεται, προκειμένου να αποτελέ·

σει κεντρική έννοια των κάθε λογής μεταφυσικών (και θεολογικών) συλλήψεων

κατά το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, θα τον αποκαλέσει εwοιολοyικό τέραs

(das Begriffsungetiim des absoluten Raumes)και θα τον απορρίψε~ η κίνnσn ενός μη-επιτaχυνόμενου υλικού σημείου πρέπει να συσχετισθεί όχι με mν έν

νοια του χώρου, αλλά με το κέντρο των μαζών του σύμπαντος· επομένως η

αδράνεια των σωμάτων πρέπει να εξαρτάται σuνaρmσιακά από m μεγάλης κλίμακας κατανομή mς ύλnς στο σύμπαν. Για mν mo απλή περίmωσn δύο μαl;ών που περιστρέφονται δεν χρειάζεται n προσφυγή στον διαμεσολαβούμενο χώρο τους, αλλά σm μελέm mς σχετικής τους περιστροφής και στα φαινόμενα

που παραmρούνται πάνω τους. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο Αϊνστάιν

θεωρείτο νοητό πείραμα των δύο περιστρεφόμενων σφαιρών S, και S,. και το οποίο παραλληλίζεται απόλυτα με το παλιότερο πείραμα του Νεύτωνα με

Η Γεvικiι Θεωρiα τns Σχεrικότnταs 37

τον περιστρεφόμενο κουβά (ουσιαστικά ο Νεύτωνας είχε θεωρήσει έναν κου

βά νερό, η λαβή του οποίου ήταν δεμένη με ένα χοντρό σχοινί που κρέμονταν

από το ταβάνι · αν περιστρέψουμε σιγά σιγά τον κουβά γύρω από τον εαυτό

του θα δούμε ότι και το σχοινί συστρέφεται μέχρι ένα ορισμένο σημείο· αν ε

κείνη m στιγμή αφήσουμε τον κουβά από τα χέρια μας το συστρεμμένο σχοινί θα εξαναγκάσει, μέσω mς λαβής, τον κουβά σε αντίθετη περιστροφή από

m φορά που είχαμε επιλέξει· όταν ξεντωθεί το σχοινί, η περιστροφή του κοu

βό θα σταματήσει μετιΊ από λίγο, ενώ το νερό που βρίσκονταν εντός του θα

έχει αποκτήσει με m σειρά του μία περιστροφική κίνηση· η εξέταση του συ

σχετισμού mς κίνησης των τοιχωμότων του δοχείου με το νερό που περιέχει

ανόγεται μεθοδολογικά στο νοητό πείραμα με τις δύο σφαίρες). Ο Mach θα γράψει στην Εnιστiιμn ms Mnxaνικns: «Τ ο πείραμα του Νεύτωνα με τον περιστρεφόμενο κάδο νερού απλώς μας πληροφορεί ότι η σχετική κίνηση του νερού

ως προς τα τοιχώματα του δοχείου δεν παράγει aνιχνεύσιμες φυγόκεντρες δυνάμεις, αλλά ότι τέτοιες δυνάμεις παρόγονται aπό m σχετική του κίνηση ως προς m μάζα mς γης και των όλλων ουράνιων σωμάτων. Κανείς δεν είναι σε θέση να aποφανθεί για το πώς θα κατέληγε το πείραμα αν αυξόνονταν το πά

χος του δοχείου και η μόζα του, μέχρι να γίνει τΕλικά παχύ κατά πολλές λεύ

γες». Το εξαφετικά ενδιαφέρον σημείο mς αντίδρασης του Mach που μας ενδιαφέρει εδώ, γιατί αποτελεί mν προαναγγελία mς γενικής θεωρίας mς σχε

τικό·mτας, βρίσκεται στην τέταρm έκδοση mς Μ nχανικι'ιs του: «Για μένα υ

πάρχει γενικά μόνο μία σχετική κίνηση και δεν μπορώ σε σuτή να κάνω διά

κριση μεταξύ περιστροφής και μετατόπισης. Ένα σώμα στρέφεται αναφορι

κά με τον οuρaνό των aπλανών και εμφανίζΟνται οι φυγόκεντρες δυνάμεις, στρέ

φεται αναφορικά με ένα άλλο σώμα, όχι όμως αναφορικά με τον ουρανό των

aπλανών, και οι φυγόκεντρες δuνόμεις απουσιάζουν. Δεν έχω καμία αντίρρηση

όταν κάποιος ονομάζει την πρώm περιστροφn aπόλυn1, εάν δεν ξεχνά μόνο

ότι αυτό δεν σημαίνει τίποτε άλλο παρά μία σχετική στροφή αναφορικά με τον

ουρανό των απλανών. Μπορούμε άραγε να κρατήσουμε το δοχείο νερού του

Νεύτωνα, να το περιστρέψουμε αναφορικά με τον ουρανό των απλανών και

να καταδείξουμε τώρα mν απουσία των φυγόκεντρων δυνάμεων; Το πείρα

μα δεν είναι πραγματοποιήσιμο και π ιδέα είναι εντελώς παράλογη, αφού και

οι δίιο περιmώσεις δεν είναι και τόσο διακριτές μεταξύ τους από αισθmnριακή

άποψη. Γι' αυτό θεωρώ και τις δύο περιmώσεις ίδιες και m διάκριση του Νεύτωνα αυτaπάm». Ο καθ. Jammer που παραθέτει το παραπάνω απόσπασμα (μόνο στο γερμανικό πρωτότυπο) παρατηρεί ότι περιέργως έχει εξαλει

φθεί από τις επόμενες εκδόσεις. Ουσιαστικά πρόκειται για mν καλύrερη στιν

μή της θετικιστικής κριτικής σmν έννοια του απόλυτοο χώρου, ποο όμως ο Ma.ch δεν nθελε να προχωρήσει πιο πέρα διαισθανόμενος ότι {:τσι ξεφεύγει από τα

όρια του σχεσιοκρατικού προοmικισμού που είχε χαράξει ο David Hume. Ο Μ. Fήedman εισήγαγε τον όρο Μαχιανοποinσn (Machianization) στα 1983 δείχνοντας πώς το πρόγραμμα που διαφαίνεται από τα παραπάνω αποσπάσματα συνιστά πρόγραμμα για τη δόμηση των χωροχρονικών θεω

ριών: «Όλες οι χωροχρονικές θεωρίες μάς επιλύουν αυτό το πρόβλημα ει

σάγοντας μία ομοπαραλλnλική σύνδεση πάνω στη χωροχρονική πολλα

nλόmτα, που αμf:σως διαιρεί όλες τις κινήσεις σε δύο κλάσεις: σε κινήσεις


των οποίων οι τροχιές μέσα στο χωροχρόνο είναι γεωδαισιακές mς αξιω

ματικοτεθείσας σύνδεσης, και συνδέσεις των οποίων οι τροχιές δεν είναι

γεωδαισιακές. Η πρώm κλάση συμπεριλαμβάνει τις αδρανειακές κινήσεις

η δεύτερη κλάση συμπεριλαμβάνει τις μη αδρανειακές ή επιταχυνόμενες κι

νήσεις. Περαιτέρω, όλοι οι νόμοι mς κίνησης των θεωριών μας απαιτούν τις

παρατπρηθείσες στρεβλώσεις που επηρεάζΟυν μη-αδρανειακά κινούμενα α

ντικείμενα. Συνεπάγονται το ότι σε μη-αδρανειακά συστήματα αναφοράς εμ

φανίζΟνται επιπρόσθετοι όροι (ψευδο-δύναμης) σmν εξίσωση F = ma. Μόνο σε αδρανειακά κινούμενα συστήματα αναφοράς, ισχύει η εξίσωση F = ma (όπου F είναι π πραγματική «αποτυπούμενn» δύναμη και α είναι π σχετική επι

τάχυνση) ... Ο τρόπος με τον οποίο οι χωροχρονικές θεωρίες μάς εξηγούν τις παραmρούμενες διαφορές μεταξύ αμοιβαία εmταχυνόμενων και περιστρεφό

μενων αντικειμένων είναι pήma fade, αντισχεσιοκρατική. Εμπλέκει mν απόδοση αφηρημένης γεωμετρικής δομής -mς ομοπapαλλπλικής δομής- σm χω

ροχρονική πολλαπλόmτα και mν επεξήγηση των φυσικών ιδιοτήτων mς κί

νησης με όρους των γεωμετρικών ιδιοτήτων καμπυλών εντός mς πολλαπλό

mτας. Επιπλέον, αυτή η εξήγηση εμπλέκει mν αξιωματικοθέmση μιας προ

τιμητέας κλάσης τροχιών, τις αδρανειακές τροχιές, που μπορεί να μην κατα

λαμβάνονται -και πραγματικά είναι εξαιρετικά απίθανο να ισχύει το αντίθετο-

από οποιαδήποτε πραγματικά φυσικά αντικείμενα (αφού είναι εξαιρετικό απίθανο

οποιοδήποτε πραγματικό φυσικό αντικείμενο να έχει ακριβώς μηδενική καθαρή

εξωτερική δύναμη που να δρα πάνω του). Επομένως φαίνεται να εμπίmουμε

σε μη κα-mληφθέντα χωροχρανικό σημεία. Φuσικά, όμως, π σχεσιοκρατiα δεν

απορρίmεται καταρχήν. Γιατί μπορεί να είναι ακόμη δυνατόν να δοθεί μία σχε

σιοκρατική έκθεση των ομοπαραλλnλικών ιδιοτήτων του χωροχρόνου: δπλαδή

να δοθεί μία αναγωγή των ομοπαραλλnλικών ιδιοτήτων του χωροχρόνου σε

κάποιες φυσικές ιδιόmτες mς ολικής κατανομής mς ύλης. Συνεπώς μπορεί

να είναι δυνατόν να επιδειχθούν τα φαινόμενα στρέβλωσης που νιώθει ένα ε

πιταχυνόμενο ή περιστρεφόμενο αντικείμενο ως εξαρτώμενα άμεσα από τις

σχέσεις αυτού του αντικειμένου με mν υπόλοιπη ύλη του σύμπαντος, ξεπερ

νώντας οποιαδήποτε επίκληση μίας προτιμητέας κλάσης (πιθανώς μη καm

λειμμένων) αδρανειακών τροχιών. Αυτό ακριβώς είναι το πρόγραμμα που ο

ραματίσmκε ο Mach. Συμφωνά με αυτόν, οι ψευδο-δυνάμεις στρέβλωσης που επιδρούν για παράδειγμα σmν περιστρεφόμενη σφαίρα S, του Α:ίνστόιν, πρό

κειται να αποδοθούν σε περιστροφή σχετικά με mν περιβάλουσα μάc;α των «α

πλανών αστέρων», και όχι σε περιστροφή σχετικά με κάποια μη-πaραmρήσιμη

κατάσταση αδρανειακής κίνησης. Αν μετακινούνταν οι «aπλανείς aστέρες>>,

δεν θα υnήρχαν διαφορικά αποτελέσματα: Αν π S, και η~ ήσαν μόνες τους στο σύμπαν, η S, δεν θα προεξογκώνονταν (δεν θα μπορούσε να κάνει κάτι τέτοιο) ... Η γενική σχετικόmτα (και μία εκδοχή mς Νευτώνειας βαρυτικής θεωρίας) ακολουθεί ένα μέρος του δρόμου προς mν κατείιθυνσn mς εκτέλεσης

mς στραmγικής mς Μαχιανοποίησης. Σm γενική σχετικόmτα η ομοπαραλ

λnλική δομή δεν είναι απόλυm ... Η ομοπαραλλnλική σίινδέ:ση είναι ένα δυναμικό αντικείμενο, εξαρτώμενη από mν κατανομή μάζας-ενέργειας. Έτσι,

η ολική κατανομή μάζας-ενέργειας επηρεάζει mν ομοπαραλλnλική δομή του

χωροχρόνου κι επομένως τα διαφορικά αποτελέσματα που νιώθουν πάνω

Η Γενικfι Θεωρία τns Σχετικότnταs 39

τους επιταχυνόμενο και περιστρεφόμενα αντικείμενα. Ωστόσο, το πρόγραμμα

του Mach παραμένει ανεκπλήρωτο. Αν και η κατανομή μάζας-ενέργειας επη

ρεάζει mν ομοπaρaλλnλική δομή του χωροχρόνου, ωστόσο δεν καθορίζει κα

τά μοναδικό τρόπο aυτή mν ομοπaρaλλnλική δομή· α fortiorί, η δεύτερη δεν

μπορεί να οριστεί με τους όρους mς πρώmς. Ειδικότερα, σύμφωνα με m γενική σχετικόιητa, ένας κόσμος που θα εμπεριείχε μόνο δύο αμοιβαία περι

στρεφόμενα cιvπκείμενα (όπως είναι οι περιστρεφόμενες σφαίρες του Αίνστάιν)

θα συνέχιζε να παρουσιάζει ομοπαραλλnλική δομή. Σε έναν τέτοιο κόσμο θα

συνέχιζε να είναι δυνατόν για ένα και μόνον ένα από αυτά τα αντικείμενα -aυ

τό του οποίου οι κοσμικές γραμμές δεν είναι γεωδαισιακές τροχιές σύμφωνα

με m δοθείσα ομοπapαλλnλική δομή- να νιώσει πάνω του διαφορικά αποτε

λέσματα». Βλ. Foundαtions of Space-Πme Theories, Princeton Universiry Press, Pήnceton, 1983 σελ. 66 κ.ε. Το ενδιαφέρον σmν επιχεφnματολογία του Fήedman βρίσκεται σmν έννοια περί απολύτου που χρησιμοποιεί, μιας και m βασίζει σm διάκριση απόλυτο-δυναμικό (absolute-dynamical): από m μία έχουμε m σταθερή γεωμετρική δομή που είναι aνεξάρτnm των διaδικαmών και των

γεγονότων που συμβαίνουν εvrός του χωροχρόνου και aπό mν άλλη m γεωμετρική δομή που μεταβάλλεται. Έτσι, όταν μιλά νια απόλυτη γεωμετρική δο

μή εννοεί ότι αυτή επηρεάζει μεν το υλικό περιεχόμενο του χωροχρόνου (για

παράδειγμα, μέσω των νόμων mς κίνησης), αλλά από mν άλλη μεριά παρα

μένει ανεπnρέασm, πράγμα που ο Αϊνστάιν θεωρούσε σκανδαλώδη ως θέση

που «αντιβαίνει στον τρόπο που σκεφτόμαστε στα πλαίσια mς επιστήμης». Βλ.

The meαning of Relativity, Pήnceton University Press, Pήnceton, 1953, σελ. 55-56. Αυτά είναι και τα όρια του σχεσιοκρατικού ηpοοmικισμού του Hume, ποο απέφευγε να εμπλακεί στα επιοτnμονικά προβλήματα νια m φύση των πραγ

μάτων και τα αίτια των λειτουργιών τους όπως είδαμε στο παpάρτnμα του βι

βλίου του Α ..Α:ίνστάιν για mν ειδική σχετικόmτα (εκδ. Τροχαλία σmν πapούσα

σειρά, 1998)· η μεταφορά mς σχέσης απόλυτου-δυναμικού σmν ομοπαραλλnλική δομή δεν συναρμόζεται με τον σχεσιοκρατικό πpοοmικισμό του Hume κι επομένως η στραmγική mς Μaχιανοποίησης δεν συναρμόζεται με μια

γνωσιολογία mς γραμμής Hume-Mach, αλλά με μια ριζική κριτική αυτού του εμπειpιοκριτισμού, που να αντιμετωπίζει m γεωμετρική δομή με έναν εξελικτικό τρόπο, υπάγοντας m σmν ιστορία ms ύλns. (Παρά το γεγονός, βέβαια, ότι αυτός ο σχεσιοκρατικός προοmικισμός εξάντλησε τα όρια mς χρησιμό

mτάς του σm μετάθεση mς σημασιολογικής δεικτοδόmσης των εννοιών του

χώρου και του χρόνου σm διατύπωση mς ειδικής σχετικόmτας.) Μπορούμε

να διακρίνουμε δηλαδή δύο προοmικές αυτού του σχεσιοκρατικού προοmι

κισμου: μία σχετική (η γραμμή Hume-Mach) και μία απόλuτn (η κατεύθυνση που ακολούθησε ο ΑΙνοτάιν μέσω mς θεωρίας αναλλοίωτων και του «απόλυτου

διαφορικού λογισμού» όπως θα δούμε σm συνέχεια). (Σ.τ.Μ.)

4. Φυσικά, μία απάντηση μπορεί να είναι ικανοποιητική από mν άποψη mς επιστnμολονίaς και. ωστόσο, εσφαλμένη aπό την άποψη της Φuσικής, αν

aντιμάχεται άλλες εμπειρίες. (Σ.τ.Σ .)

5. Ο Eδtvos έχει αποδείξει πειραματικά ότι το βαρυτικό πεδίο διαθέτει με με

γάλη ακρίβεια αυτή mν ιδιόmτα. (Σ.τ.Σ.)

6. Υποθέτουμε m δυνατόmτα επιβεβαίωσης του <<ταυτοχρόνου» για γεγονότα


άμεσης εννύmτας εντός του χώρου ή -μιλώντας ακριβεστέρα- για γεγονό

τα άμεσης εγγύrnτας ή σύμmωσnς εντός του χωροχρόνου, χωρίς να δίνου

με έναν ορισμό αυτής mς θεμελιώδους έννοιας. {Σ.τ.Σ.)

7. Η μονάδα του χρόνου πρόκειται να επιλεγεί έτσι ώστε η ταχύτητα του φωτός σrο κενό, όπως μετράται στο <<τοπικό» σύστημα συντεταγμένων, να εί

ναι ίση με m μονάδα. (Σ.τ.Σ.)

β. μ οrι

ι

φ

1 J \..J

ε

τ

μ

α τ

ι μ

~r

, ι α

ιωτων

ε '"'., . . , ;

'Εχοvrας δει στα προηγούμενα ότι το γενικό αξίωμα της σχετικότητας οδηγεί στην απαίτηση οι εξισώσεις της Φuσικής να είναι

σuναλλοίωτες μπροστά σε οποιαδήποτε αvrικατάστασn των συ

vrεταγμένων χ1, ... ,χ4, θα πρέπει να θεωρήσουμε το πώς μπορούν να βρε

θούν τέτοιες γενικά σuναλλοίωτες εξισ(οοεις. Στρεφόμαστε τώρα σε αυτό το καθαρά μαθηματικό έργο· θα βρούμε ότι κατά την επίλυσή του

διαδραματίζεται ένας θεμελιακός ρόλος από την αναλλοίωτη ποσότη

τα ds που δίνεται στην εξίσωση (3), και την οποία έχουμε αποκαλέσει

«γραμμικό στοιχείο», δανειζόμενοι τον όρο από τη θεωρία επιφανειών τoυGauss. 1

Η θεμελιακή ιδέα αυτής τnς γενικής θεωρίας συναλλοίωτων είναι n ακόλουθη: Έστω ση συγκεκριμένα πράγματα ( «τανuστές») ορίζονται ως προς οποιεσδήποτε συvrεταγμένες από έναν αριθμό συναρτήσεων

των συντεταγμένων, που αποκαλούvrαι «συνιστώσες» του τανυστή. 2

Τότε, υπάρχουν συγκεκριμένοι κανόνες από τους οποίους μπορούν να


υπολογιστούν αυτές οι συνιmώσες για ένα νέο σύστημα συντεταγμέ

νων, αν είναι γνωστές για το αρχικό σύστημα συντεταγμένων και αν εί

ναι επίσης γνωστός ο μετασχ.nματισμός που συνδέει αυτά τα δύο συ

στήματα. Τ α πράγματα που από δω και στο εξής αποκαλούνται τανύ

στες χαρακmρίc:;ονται περαιτέρω από το γεγονός ότι οι εξισώσεις με

τασχηματισμού για τις συνιστώσες τους είναι γραμμικές και ομογε

νείς. Συνεπώς, αν όλες οι συνιmώσες μηδενίζΟνται στο αρχικό σύστη

μα, τότε μηδενίζΟνται όλες τους και στο νέο σύστημα. Επομένως, αν έ

νας νόμος mς φύσπς εκφράζεται εξισώνοντας όλες τις συνιστώσες ε

νός τανυσττί με το μηδέν, είναι γενικά συναλλοίωτος. Εξετάζοντας τους

νόμους σχηματισμού των τανυστών, αποκτάμε τα μέσα για mν τυπο

ποίηση γενικά συναλλοίωτων εξισώσεων.

5. Αvταλλοίωτα και σuvαλλοίωτα τετρα-διαvύσματα3

Αvταλλοίωτα τετρα-διαvύσματα. Το γραμμικό στοιχείο ορίζεται από

τις τέσσερις «συνιστώσες>> dxv, για τις οποίες ο νόμος μετασχηματισμού εκφράζεται από mν εξίσωση4

ax' dx' =Σ-σ dΧ

σ ν ax v (5)

ν

Οι ποσόmτες dχ'σ εκφράζΟνται ως γραμμικές και ομογενείς συ

ναρτήσεις των dx.. Άρα, μπορούμε να αντιμετωπίσουμε αυτά τα διαφορικά συντεταγμένων ως τις συνιστώσες ενός «τανυστή» ειδικού εί

δους, τον οποίο αποκαλούμε ανταλλοιωτο τετρα-διάνuσμα. Οτιδήποτε

ορίζεται σχετικά με το σύστημα συντεταγμένων από τέσσερις πο

σόmτες Ν, και το οποίο μετασχηματίζεται με τον ίδιο νόμο

(Sα)

θα το αποκαλούμε επίσης, ανταλλοiωτο τετρα-διάνυσμα. 5 Από m σχέση (Sα) έπεται αμέσως ότι και τα αθροίσματα Ασ±Βσ είναι συνιστώσες

ενός τετρα-διανύσματος, αν αυτό ισχύει για τις ποσόmτες Α σ και Β σ. Α

ντίστοιχες σχέσεις ισχύουν για όλους τους «τανυστές» που πρόκειται

να εισαχθούν σm συνέχεια. (Πρόκειται για mν πρόσθεση και mν αφαίρεση τανυστών.)

Σvvαλλοίωτα τετρα-διαvύσματα. Αποκαλούμε τέσσερις ποσόm

τες Α", συνιστώσες ενός συναλλοίωτου τετρα-διανύσματος, αν για ο

ποιαδήποτε αυθα[ρεm επιλογή του ανταλλοίωτου τετρα-διανύσματος

Β", ισχύει

Η Γεvικι'ι Θεωρία rns Σχεrικόrnrαs 43

~Α,Β" =Αναλλοίωτο (6)

Ο νόμος μετασχηματισμού ενός σuναλλοίωτου τετραδιανύσματος

έπεται από αιπόν τον ορισμό. Γιατί, αν αντικαταστήσουμε το Β ν στπ δε

ξιά πλευρά της εξίσωσης

ΣΑ'Β'σ =ΣΑ Β" σ σ " "

από την έκφραση που προκύmει από την αντιστροφή της εξίσωσης (5α)

λαμβάνουμε

Αφού αιπή η εξίσωση αληθεύει νια αυθαίρετες τιμές του Β' σ, έπε

ται ότι ο νόμος μετασχηματισμού είναι6

ax Α' =Σ-'' Α σ ,, ax' ν

(7) σ

Σnμείωσn yιa έvav απλοποιnμένο τρόπο yρaφns των εξισώσεων.

Μια ματιά στις εξισώσεις αιπής της παραγράφου δείχνει ότι υπάρχει πά

ντοτε μία άθροιση ως προς τους δείκτες που εμφανίζΟνται δύο φορές

κάτω από το m)μβολο της άθροισης (δηλαδή το δείκτη ν στην εξίσω

ση [5]) και μάλιστα μόνο ως προς δείκτες που εμφανίζΟνται διπλά. Επομένως, είναι δυνατόv, χωρίς απώλεια της ευκρίνειας, να παραλείψουμε το σύμβολο της άθροισης. Στη θέση του εισάγουμε την εξής σύμβαση:

Α ν ένας δείκτης υπάρχει δύο φορές σε έναν όρο μιας έκφρασης, τότε

πρόκειται να αθροίζεται πάντοτε, εκτός και αν διατυπώνεται ρητά το α-

ντίθετο.7 · Η διαφορά ανάμεσα σε συναλλοίωτα και ανταλλοίωτα τετρα-δια

νύσματα έγκειται στο νόμο μετασχηματισμού (σχέσεις [7] και [5] αντιστοίχως). Και οι δύο μορφές είναι τανυστές με την έννοια της γενικής

παρατήρησης που έγινε παραπάνω. Εκεί έγκειται η σημασία τους. Α

κολουθώντας τους Ricd και Levi-Civita, δηλώνουμε τον ανταλλοίωτο χαρακτήρa τοποθετώντας το δείκτη στην άνω θέση, και τον συναλλοίωτο

χαρακτι'ιρα τοποθετώντας το δείκτπ στην κάτω θέσn.8


6. Τ αvvσιέs δευτέραs και ανωτέρων τάξεων

Ανταλλοίωτοι τανυσιέs. Αν σχηματίσουμε και τα δεκαέξι γινόμενα

Αμv των συνιστωσών Α μ και Bv δύο ανταλλοίωτων τετρα-διανυσμάτων

A"v =A''Bv, (8)

τότε από τις σχέσεις (8) και (Sα) προκύπτει ότι οι ποσότητες Nv ικα

νοποιούν τον νόμο μετασχηματισμού

ax' ax' Α'σr: = _ _ σ _ _ τ Αμν (9)

ax ax μ ν

Αποκαλούμε ανταλλοίωτο τανυστή δευrέρας τάξης ένα αντικείμενο που περιγράφεται σχετικά με οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς από

δεκαέξι ποσότητες, οι οποίες ικανοποιούν το νόμο μετασχηματισμού

(9). Δεν σχηματίζΟνται όλοι αυτοί οι τανυm:ές από δύο τετραδιανύσματα σύμφωνα με τη σχέση (8)· δείχνεται όμως εύκολα ότι αν δίνονται δεκαέξι οποιεσδήποτε ποσότητες Nv, αυτές μπορούν να αναπαρασταθούν ως τα αθροίσματα των ΑμΒv, τεσσάρων κατάλληλα επιλεγμέ

νων ζευγών τετρα-διανυσμάτων. 9 Άρα, μπορούμε να αποδείξουμε περίπου όλους τους νόμους που εφαρμόζΟνται στον τανuστή δευτέρας τά

ξης ο οποίος ορίζεται από τη σχέση (9), με τον πιο παλιό τρόπο, απο

δεικνύοντός τους για τους ειδικούς τανυστές του τύπου (8). Ανrαλλοίωτοι ταvvσιέs οποιασδfιποrε rάfns. Είναι φανερό ότι, α

κολουθώντας την οδό των εξισώσεων (8) και (9), μπορούν, επίσης, να οριστούν ανταλλοίωτοι τανυστές τρίτης και ανώτερων τάξεων, με 43 συνιστώσες και ούτω καθεξής.10 Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει από τις εξισώσεις (8) και (9) όΊ:ι το ανταλλοίωτο τετρα-διάνuσμα μπορεί να θεωρηθεί

υπό αυτή την έννοια ένας ανταλλοίωτσς τανυστής πρώτης τάξης.11

ΣUΊiαλλοίωτοι ravvσιέs. Από την άλλη μεριά, αν πόpουμε τα δεκαέξι

γινόμενα Αμv δύο ουναλλοίωτων τετρα-διανυσμότων Αμ και Bv

(10)

ο νόμος μετασχηματισμού γι' αυτά τα γινόμενα είναι

ax ax Α'σr: = __ μ __ ν Α . (11)

ax' ax' μν σ τ

Αυτός ο νόμος μετασχηματισμοίι ορίζει τον συναλλοίωτο τανυστή

δευτέρας τάξης. Όλες οι προηγούμενες παpατπpήσεις επί των ανταλ

λοίωτων τανυστών εφαρμόζΟνται εξίσου καλό σε ουναλλοίωτους τανυm:ές.ι2

Η Γενική Θεωρία rns Σxεrικόrnras 45

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Βολεύει να διαπραγματευόμαστε τη βαθμωτή (ή αναλ

λοίωτη) ποσότητα, τόσο ως έναν ανταλλοίωτο όσο και ως έναν σuναλλοίωτο τανuστή μηδενικής τάξης. 13

Μεικτοί ταvυστέs. Μπορούμε, επίσης, να ορίσουμε έναν τανuστή

δευτέρας τάξης, του τύπου

Α'' =Α Bv u μ

(12)

ο οποίος είναι συναλλοίωτος ως προς το δείκτη μ και ανταλλοίωτος ως

προς το δείκm v. Ο νόμος μετασχηματισμού του είναι ο

ax' ax Α'τ =_τ _μ Α" •

σ ax ax' μ (13)

v σ

Φuσικά, υπάρχουν μεικτοί τανuστές με οποιονδήποτε αριθμό δεικτών

συναλλοίωτου χαρακτήρα και οποιονδήποτε αριθμό δεικτών ανταλ

λοίωτου χαρακτήρα. Οι συναλλοίωτοι και ανταλλοίωτοι τανυστές μπο

ρούν να αντιμετωπιστούν ως ειδικές περιmώσεις μεικτών τανυστών. 14

Συμμετρικοί ταvυστέs. Ένας ανταλλοίωτος ή συναλλοίωτος τανυ

σιiις δεύτερης ή ανώτερης τάξης λέγεται ότι είναι συμμετρικός, αν δύο

συνιστώσες, που λαμβάνονται η μία από την άλλη με εναλλαγή δύο δει

κτών, είναι ίσες. Έτσι, ο τανuσιής Αμv ή ο τανυστής Αμv είναι συμμετρικός,

αν για οποιονδήποτε συνδυασμό των δεικτών μ, v, ισχύει

(14)

ή, αντιστοίχως,

(14α)

Θα πρέπει να αποδειχθεί ότι η συμμετρία που έχει οριστεί με αυ

τόν τον τρόπο είναι μία ιδιότητα ανεξάρτητη του σuσιiιματος αναφο

ράς. Πράγματι, από την εξίσωση (9), όταν ληφθεί υπόψη η (14), προ

κύmειότι

ax' ax' ax' ax' ax' ax' Α' σt = -:----2--r Αμv =_σ _τ Ανμ =_υ _τ Αμ\ι = Αιτσ,

ax ax ax ax ax ax μ γ μ v " μ

Η προτελευrαία εξίσωση εξαρτάται από τπν εναλλαγή των δεικτών

άθροισης, μ και ν, δηλαδή αηλώc; από την αλλαγή του συμβολισμού.

Αvτισυμμετρικοί ταvuστέs. Ένας ανταλλοίωτος ή ένας συναλλοίω

τοc; τανuστήc; δεύτερης, τρίτης ή τέταρτης τάξης λέγεται ότι είναι αντι

συμμετρικός, αν δύο συνιστώσες, που λαμβάνονται n μία από τπν άλλη με mν εναλλαγή δύο δεικτών, είναι ίσες και αντίθfτες (κατά πρόσημο).

46 Άλμπερτ Αϊνστόιν

Ο τανuστής Ν• ή ο τανuστής Nv είναι, συνεπώς, αvησυμμετρικός, αν ισχύει πάντα

(15)

ή αντιστοίχως

(15α)

Από τις δεκαέξι συνιστώσες Aflv, οι τέσσερις συνιστώσες ΝΙJ μηδενίζΟνται · οι υπόλοιπες είναι κατά ζεύγη ίσες και αντίθετες κατά πρό

σημο, έτσι ώστε να υπάρχουν έξι μόνο αριθμητικά διαφορετικές σύνι

στώσες (ένα εξα-διάνuσμα). Παρομοίως, βλέπουμε ότι ο αντισυμμετρικός

τανuστής τρίmς τάξης Aμva έχει μόνο τέσσερις αριθμητικά διαφορετι

κές συνιστώσες, ενώ ο αντισυμμετρικός τανuστής A/Jvσr έχει μόνο μία.

Σε ένα συνεχές τεσσάρων διαστάσεων δεν υπάρχουν αντισυμμετρικοί

τανuστές τάξης ανώτερης από mν τέταρτη. ιs

7. Πολλαπλασιασμόs ταvυστών

Εfωτερικόs πολλαπλασιασμόs rανυστών. Από τις συνιστώσες ενός

τανuστή τάξης η και ενός τανuστή τάξης m λαμβάνουμε τις συνιστώσες ενός τανuστή τάξης η+ m, πολλαπλασιάζΟντας κάθε συνιστώσα του ενός τανuστή με κάθε συνιστώσα του άλλου. Έτσι, για παράδειγμα, οι

τανuστές τ ανακύmουν από τους τανuστές Α και Β διαφόρων ειδών,

Τ1"'"' = Α"" Β"τ ,

Τατ =Α Βαν. μν μν

Η απόδειξη του τανuστικού χαρακτήρα του τ δίνεται άμεσα από τις

αναπαραστάσεις (8), (10) και (12) ή από τους νόμους μετασχηματισμού (9), (11) και (13). Οι εξισώσεις (8), (10) και (12) είναι από μόνες τους παράδειγμα εξωτερικού πολλαπλασιασμού τανuστών πρώmς τάξης. Ι6

«Συοrολiι» μεικτού raνuσriι. Από οπαονδήποτε μεικτό τανuστή μπο

ρούμε να σχηματίσουμε έναν τανuστή με τάξη μικρότερη κατά δύο, ε

ξισώνοντας ένα δείκm σuναλλοίωτου χαρακτήρα με ένα δείκm α

ντaλλοίωτοu χαρακτήρα και αθροίζΟντας ως προς αυτόν το δείκτη («συστολή»). Έτσι, για παράδειγμα, από τον μεικτό τανuστή τέταρmς

τάξης Α ';ν παίρνουμε τον μεικτό τανuστή δεύτερης τάξης

Η Γενικιi Θεωρία τns Σχετικότnταs 47

Α:= Α~:(= ΣΑ:::), μ

και από αυrόν, με μία δεύτερη συστολή, παίρνουμε τον τανυστή μη

δενικής τάξης

Α= Α" =Αμ'· . ν μv

Η απόδειξη ότι το αποτέλεσμα της συστολής διακατέχει πράγματι

τον τανuστικό χαρακτήρα δίνεται είτε με τπν αναπαράσταση ενός τα

νυστή, σύμφωνα με τη γενίκευση της σχέσης (12) σε συνδυασμό με την (6), είτε από τπ γενίκευση της (13).17

Εσωτερικόs και μεικrόs πολλαπλασιασμό.<; ταvυσrώv. Αυrοί συνί

στανται από ένα συνδυασμό του εξωτερικού πολλαπλασιασμού με τη

σuστολή. 18

Παραδείγματα. Από τον συναλλοίωτο τανuστή δεύτερης τάξης

Αμv και τον ανταλλοίωτο τανuστή πρώτης τάξης Β σ σχηματίζΟυμε, με

εξωτερικό πολλαπλασιασμό, τον μεικτό τανυστή

Κάνοντας συστολή ως προς τους δείκτες v και σ, παίρνουμε το συναλλοίωτο τετρα-διάνuσμα

D =D" =Α Β". μ μ.v μv

Αποκαλούμε αυτή την ποσότητα εσωτερικό γινόμενο των τανuστών Αμ

και Β σ. Κατ' ανάλογο τρόπο, σχηματίφυμε από τους τανuστές Αμv και

Βοτ, με εξωτερικό πολλαπλασιασμό και κάνοντας διπλή συστολή, το ε

σωτερικό γινόμενο Αμ)3μv. Με εξωτερικό πολλαπλασιασμό και κάνο

ντας μία συστολή, παίρνουμε από τους Αμv και Βατ τον μεικτό τανuστή

δεύrερης τάξης D~ = Aμflvr. Αυτή η πράξη μπορεί να χαρακτηριστεί ορθά ως μεικτή, όντας «εξωτερική» ως προς τους δείκτες μ και r, και «εσωτερική» ως προς τους δείκτες ν και σ.

Αποδεικνύουμε τώρα μία πρόταση που συνήθως χρησιμεύει ως

ένδειξη τανuστικού χαρακτήρα μιας ποσότητας. Από όσα έχουν μόλις

επεξηγηθεί, η ποσότητα Αμ)3μv είναι βαθμωτή, αν οι Αμv και Βατ είναι

τανuστές. Μπορούμε, όμως, να κάνουμε και τον εξής ισχυρισμό: Α ν η

ΑμJ3μv είναι βαθμωτή yιa οποιαδfzποτε επιλοyn του τανυσrn Βμv, τότε

ο Αμv έχΕΙ τανuοτικό χαρακτήρα. Γιατι, εξ υποθέσεως, ισχύει, για οποια

δiιποτε αντικατάσταση. ότι:

Όμως, με αντιστροφή της (9) παίρνουμε σχ ax

Βμv =_μ _v Β'σr • ax' ax'

σ τ


Α ν αιπή π ποσότητα εισαχθεί στην παραπάνω εξίσωση, αιπή δίνει

( ax ax )

Α' --~'-''Α Β'υτ =0. <Π ax' ax' μν

υ τ

Αιπή π σχέση μπορεί να ικανοποιείται νια αυθαίρετες τιμές του B'ar, μόνο αν μηδενιστεί π παρένθεση. Τότε, το αποτέλεσμα προκύπτει από

την εξίσωση (11). Αυrός ο κανόνας εφαρμόζεται αντιστοίχως σε τανuστές οποιασδήποτε τάξης και χαρακτήρα, ενώ π απόδειξη είναι ανάλογη

σε όλες τις περιmώσεις.

Επίσης, ο κανόνας μπορεί να αποδειχθεί και με την ακόλοuθπ μορ

φή: Αν ΒΡ και cv είναι οποιαδήποτε διανύσματα και, αν για όλες τις τιμές τους είναι βαθμωτό το εσωτερικό γινόμενο Α1nι ΒΡ cv, τότε ο Αιnι είναι συναλλοίωτος τανuστής. Αιπή π τελευταία πρόταση ισχύει επίσης,

ακόμη και αν είναι σωστός μόνο ο πιο ειδικός ισχυρισμός, συμφωνά με

τον οποίο το εσωτερικό γινόμενο Αμv BPBv είναι βαθμωτό, αν μαζί με τπν οποιαδήποτε επιλογή του τετρα-διανίισματος Βμ, είναι επιπλέον γνω

στό ότι η ποσότητα ~ν ικανοποιεί τπ συνθήκη συμμετρίας Αμv = Αvμ. Κι αυrό γιατί, με τπ μέθοδο που δίνεται παραπάνω, αποδεικνύουμε τον

τανuστικό χαραιcrήρα τπς ποσότητας (Αμv + ~J. και από aυτό προκύπτει λόγω συμμετρίας, ο τανuστικός χαρακτήρας της ίδιας της ποσότητας

Αιnι. Αυτό, μπορεί επίσης να γενικευθεί εύκολα στην περίmωση σu

ναλλοίωτων και ανταλλοίωτων τανuστών οποιασδήποτε τάξπς.19

Τέλος, από όσα έχουν αποδειχθεί, προκύπτει ο εξής νόμος, ο οποίος

μπορεί να γενικευrεί επίσης για οποιουσδήποτε τανuστές: Α ν για ο

ποιαδήποτε επιλογή του τεipα-διανύσματος Β'', οι ποσότητες AμvBv σχη

ματίζΟυν έναν τανuστή πρώτης τάξης, τότε ο Αμv είναι ένας τανuστής

δεύτερης τάξης. Γιατί, αν (Ρ είναι οποιοδήποτε τετρα-διάνιισμα, τότε,

λόγω του τανuστικόύ χαρακτήρα τπς ποσότητας Aμflv, έπεται ότι το ε

σωτερικό γινόμενο AμflvCμ είναι βαθμωτή ποσότητα για οποιαδήποτε

επιλογή των τετρα-διανιισμάτων Bv και (Ρ. Από δω προκύπτει η απόδειξη τπς παραπάνω πρότασης.

8. Μερικέs πλεvρέs του θεμελιώδοus ravuarfι gμ}0

Ο σuvαλλοίωrοs θεμελιώδns ravuarfιs. Στην αναλλοίωτη έκφραση

για το τετράγωνο του γραμμικού στοιχείου

ο ρόλος που διαδραματlζει το dχμ εlναι αυτός ενός ανταλλοlωτου δια

νίισματος που μπορεί να επιλεγεί ελεύθερα. Αφού ισχύει πεpαιτέpω,

Η Γεvικι'ι Θεωρiα τns Σχετικότnταs 49

gμv = gvμ' τότε από τις θεωρήσεις της προηγούμενης παραγράφου έ

πεται ότι η ποσότητα g μv είναι ένας σuναλλοίωτος τανuστής δεύτερης τάξης. 21 Τον αποκαλούμε «θεμελιώδη τανuστή». Ακολούθως, εξάγου

με μερικές ιδιότητες αυτού του τανuστή που, πραγματικά, εφαρμόζΟ

νται σε οποιονδήποτε τανuστή δεύτερης τάξης. Καθώς, όμως, ο θεμε

λιώδης τανuστής διαδραματίζει έναν ειδικό ρόλο στη θεωρία μας, η ο

ποία έχει ως φυσική βάση τα ιδιαίτερα αποτελέσματα της βαρύτητας,

συμβαίνει οι σχέσεις που πρόκειται να αναπτυχθούν εδώ να είναι ση

μαντικές για μας, μόνο στην περίmωσn του θεμελιώδους τaνuστή.

Ο αvταλλοίωτοs θεμελιώδns τavuσriιs. Αν στην ορίζΟυσα που

σχηματίζεται aπό τα στοιχεία gμv' θεωρήσουμε το σuμπαpάγοντa κα

θενός εκ των &μv' και τον διαιρέσουμε με την ορίζΟυσα g = lgμJ, λαμβάνουμε σuγκεκριμένες ποοότmες gμv(= gvμ) που, όπως θα αποδείξουμε,

σχηματίζουν έναν ανταλλοίωτο τανuστή. Από μία γνωστή ιδιότητα των

οριc:;οuσών, ισ)(ύει22

(16)

όπου το σύμβολο δ~ δηλώνει το 1 ή το Ο, ανάλογα με το αν ισχύει μ= v ή μ >< v αντιστοίχως.

Έτσι, aντί της παραπάνω έκφρασης νια το ds2, μπορούμε να γράψουμε

ή, λόγω της (16),

gιισgvrg·• dx,.dxv .

Όμως, από τους πολλαπλασιαστικούς κανόνες των προηγούμενων

πapαγράφωνπροκύmειότιοιποσότητες

dξσ = gιισdχιι

σχηματίζΟυν ένα σuναλλοίωτο τετρα-διάνuσμα, και το οποίο είναι πράγ

ματι αυθαίρετο, αφού είναι αυθαίρετα τα dχμ • Εισάγοντάς το στπν έκ

φρασή μας λαμβάνουμε

Αφού αυτή η ποσότητα είναι βαθμωτή με μία αυθαίρετη επιλογή του

διανύσματος dξσ και n ποσότητα gσr είναι εξ ορισμού συμμετρική στους δεικτες σ και r, τότε, από τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου, έπεται ότι n gσr είναι ένας ανταλλοίωτος τανuστής.

Περαιτέρω, από τη (16) έπεται ότι ο δ~ είναι επίσης τανuστής, που μπορεί να ονομαστεί ως ο μεικτός θεμελιώδης τανuστής.


Η ορίζουσα του θεμελιώδουs τavvσrrΊ. Από τον κανόνα για τον πολ

λαπλασιασμό των οριζΟυσών, ισχύει

lg μα g"vl = ιg,m I χ ιg = I· Από την άλλη μεριά, ισχύει ότι

Επομένως, έπεται ότι

(17)

Το βαθμωτό όyκου. Κατ' αρχάς αναζητούμε το νόμο μετ'ασχημα

τισμού της ορίζΟυσας g = I g/lV ι . Σύμφωνα με την (11), ισχύει

lax ax ι

g' = ax~ ax~ gμv .

Άρα, με μία διπλή εφαρμογή του κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των

οριζουσών, έπεται ότι

g· = ι:::Ι·Ι:::ι-ιgμ,. ι =ι::} g.

ή

[i =ι~:: ιJi. Από την άλλη μεριά, ο νόμος μετασχηματισμού του στοιχείου όγκου

είναι, συμφωνά με το θεώρημα του Jacobi, 23

lax' ι dτ' = ax: dτ.

Πολλαπλασιάζοντας τις δυο τελευταίες εξισώσεις, παίρνουμε

[idτ' = [idτ. Αντί της ιg εισάγουμε, σε όσα ακολουθούν, την ποσότητα ,f-g, n οποία είναι πάντοτε πραγματική λόγω του υπερβολικού χαρακτήρα του χω

ροχρονικού σuνεχούς.24 Το αναλλοίωτο f-:.g dr ισούται με το μέγεθος του τετρα-διάστατου στοιχείου όγκου στο «τοπικό» σύστημα αναφο

ράς, όπως μετράται με στερεές ράβδους και ρολόγια με την έννοια της

ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

Η Γεvικι'! Θεωρία τns Σχεrικότnταs 51

Σnμείωσn yιa το xapaκrfιpa του χωpοχpονικού σuνεχούs. Η υπόθεσή μας ότι η ειδική θεωρία της σχετικότητας μπορεί να εφαρμο

στεί πάντοτε σε μία άπειρα μικρή περιοχή συνεπάγεται ότι το dSZ μπορεί να εκφραστεί πάντοτε ουμφωνά με την (1), μέσω πραγματικών ποσοτήτων dX.1,. •• ,dX.4• Αν με dr0 δηλώσουμε το «φυσιολογικό» στοιχείο

όγκου dΧ.ι dX.2, dX.3 dX.4, τότε

(18α)

Α ν επρόκειτο η ποσότητα .{-g να μηδενιστεί σε ένα σημείο του τετρα-διάστατου συνεχούς, αυτό θα σήμαινε ότι σε αυτό το σημείο, ένας

άπειρα μικρός «φυσιολογικός» όγκος θα aντιστοιχούσε σε έναν πεπε

ρασμένο όγκο των συντεταγμένων. Ας υποθέσουμε ότι αιπό δεν συμβαίνει ποτέ. Τότε η g δεν μπορεί να αλλάζει πρόσημο, θα υποθέσουμε ότι, με την έννοια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, η g διαθέτει πάντοτε πεπερασμένη αρνητική τιμή. Πρόκειται για μία υπόθεση που

αφορά στον φυσικό χαρακτήρα του υπό θεώρηση συνεχούς, και συγ

χρόνως για μία σύμβαση που αφορά σmν επιλογή των συντεταγμένων.

Αν όμως η - g είναι πάντοτε πεπερασμένη και θετική, τότε είναι φυσιολογικό να διευθετήσουμε α posteriorί (εκ των υσrέpων)την επιλογή

των συντεταγμένων, έτσι ώστε αυτή n ποσότητα να ισούται πάντοτε με τη μονάδα. Αργότερα, θα δοίιμε ότι με έναν τέτοιο περιορισμό σmν ε

πιλογή των συντεταγμένων, είναι δυνατόν να επιτύχουμε μία σημαντι

κή απλοποίηση των νόμων της φύσης.

Τότε, αντί της (18) έχουμε απλώς dτ ' = dτ, απ' όπου έπεται, λαμβάνοντας υπόψη το θεώρημα του Jacobi, ότι

ι aχ~ ι -=1. ax

μ

(19)

Έτσι, με αυτή την επιλογή συντεταγμένων είναι επιτρετπές μόνο αντι

καταστάσεις για τις οποίες η ορίζΟυσα ισούται με τη μονάδα.

Όμως, θα ήταν σφάλμα να πιστεύουμε ότι αιπό το βήμα υποδηλώ

νει μία μερική εγκατάλειψη του γενικού αξιώματος της σχετικότητας.

Δεν ρωτάμε: «Παοι είναι οι νάμα της φύσης που είναι σuναλλοίωτα μπρο

στά σε όλες τις αντικαταστάσεις για τις οποίες n ορίζΟυσα είναι ίση με τη μονάδα;» αλλά «Ποιοι είναι οι γενικά σuναλλοίωτοι νόμοι της φύσης;».

Μόνο όταν τους έχουμε τυποποιήσει, θα aπλοποιήσουμε την έκφρασή

τους με μία ειδική επιλογή του συστήματος αναφοράς.

Ο σχnματισμόs νέων τανυστών μέσω του θεμελιώδοvs τανυστfι.

Ο εσωτερικός, ο εξωτερικός και ο μεικτός πολλαπλασιασμός ενός τανuστή με τον θεμελιώδη τανuστή δίνει τανuστές διαφορετικού χαρακυΊρα

και τάξης. 25 Για παράδειγμα:


Αμ = gμσ Αυ '

Α= gμvAμv .

Μπορούν να επισημανθούν ειδικότερα οι ακόλουθοι τύποι

A"v = g"α gvβ Α αβ '

Α -g g Ααβ μv - μα νβ

(τα «συμπληρώματα» συναλλοίωτων και ανταλλοίωτων τανιιστών αντιστοίχως), και

Β -g gaιJA μν - μ\• αβ •

Αποκαλούμε τον Βμv τον αναχθέντα τανuστή ο οπ~ίος σuνδέεται με τον Αμν' Παρομοίως,

Μπορεί να επισημανθεί ότι ο gμν δεν είναι τίποτε περισσότερο από το

συμπλήρωμα του gμ"' αφού

9. Η εfίσωσn τns yεωδαισιακfιs yραμμfιs. Η κίvnσn του σωματίου

Καθώς το γραμμικό στοιχείο ds ορίζεται ανεξάρτητα από το σύστπμα συντεταγμένων, π γραμμή που σχεδιάζεται μεταξύ δύο σημείων Ρ και

Ρ' του τετραδιάστατου σuνεχούς, έτσι ώστε το ολοκλήρωμα Jds να είναι στάσιμο -πρόκειται για μία γεωδαισιακή γραμμή- διαθέτει ένα νόημα που είναι επίσης ανεξάρτητο της επιλογής των συντεταγμένων. Η ε

ξίσωση της είναι n

Ρ'

δf. ds=O (20)

Πραγματοποιώντας τη μεταβολή με τον σιΜ'ιθπ τρόπο, λαμβάνουμε από

αυτή την εξίσωση τέσσερις διαφορικές εξισώσεις που ορίζΟυν τη γεωδαι

σιακή γf.Χψμή· αυτή n διαδικασία θα εισαχθεί εδώ νια λόγοοc, πλπρότπτας. 'fmω λ μία συνάρτπσn των συντεταγμένων Χν και έστω ση αυτή ορίζει μία

οικογένεια επιφανειών που τέμνουν τπ ζ11τούμενπ γεωδαισιακή γραμμή,

καθώς επίσης και τις γραμμές που βρίσκονται πολύ κοντά σε αυτήν, και

οι οποίες σχεδιάζονται ώστε να διέρχονται από τα σημεία Ρ και Ρ'. Τότε, οποιαδήποτε τέτοια γραμμή μπορεί να υποτεθεί ότι δίνεται εκφράζΟντας

τις συντεταγμένες της ~. ως σuναρτήσεις της λ. Έστω ότι το σύμβολο

δ δηλώνει τη μετάβαση από ένα σημείο της ζητούμενης γεωδαισιακής

Η Γενική Θεωρία rns Σχεrικότnταs 53

γραμμής προς το σπμείο που ανrισrοιχεί σrπν ίδια λ. πάνω σε μία γειτονική γραμμή. Τότε, σrπ θέσπ της (20) μπορούμε να θέσουμε

J~δwdλ=O )

' dxdx w· =g,.v d; d{

(20α)

Όμως, αφού ισχύει

δ 1 {1 agμv dχμ dxvδ dχμ ( dxv \} W=-- ----Χ +g -δ\-) w 2 σχ dλ dλ σ ι•ν dλ dλ '

σ

καθώς επίσης και ότι

τότε, από την (20α) και μετά από ολοκλήρωση κατά μέρη, λαμβάνουμε

ι..,

f /( δχ dλ= ο. ), σ σ

όπου

Αφού οι τιμές της ποσότητας δχσ είναι αυθαίρετες, έπεται ότι οι

(20γ)

είναι οι εξισώσεις της νεωδaισιακής γραμμής.

Α ν το ds δεν μηδενίζεται κατά μήκος της γεωδaισιακής γραμμής, τότε μπορούμε να επιλέξουμε το «μήκος του τόξου» s, μεφπμένο κατά μήκος της γεωδaισιακής, νια την παράμετρο λ. Τότε w = 1 και, ανrί της (20γ), λαμβάνουμε την

g d2x,. + ag,.v dχσ dx,. _! ίJgμv dx,. dxv =0 μv ds2 ίJΧσ ds ds 2 ΟΧ0 ds ds

ή, μΕ μία απλή αλλαγή συμβολισμού,

d2x dx dx g __ α +[μv σ]--ιι_v =0 ασ ds2 ' dS ds

(20δ)


όπου, ακολουθώvrας τον Chήstoffel, έχουμε γράψει

[ ] 1 ( agμσ agvσ agμv \

μv,σ=-zl-ax+ax -ax )· ,, μ υ

(21)

Τελικά, αν πολλαπλασιάσουμε mν (20δ) με gστ (εξωτερικός πολλαπλα

σιασμός ως προς το δείκτη r και εσωτερικός ως προς τον σ), λαμβάνουμε τις εξισώσεις mς γεωδαισιακής γραμμής σm μορφή

d2x { }dx dx

ds2τ + μv,τ d; d; =Ο (22)

όπου, ακολουθώvrας τον Chήstoffel. έχουμε θέσει26

{μv,τ} = g"' [μv,α ]· (23)

1 Ο. Σχnμαrισμόs ταvυστώv από διαφόρισn27

Με m βοήθεια mς εξίσωσπς mς νεωδαισιακής ·γραμμής μπορούμε τώρα να συναγάγουμε εύκολα τους νόμους με τους οποίους μπορούν

να σχηματιστούν νέοι τανuστές από παλιούς, μέσω διαφόρισης. Με αυ

τόν τον τρόπο, μπορούμε νια πρώτη φορά να τυποποιήσουμε γενικά συ

νaλλοίωτες διαφορικές εξισώσεις. Πετυχαίνουμε αυτόν το σκοπό, με ε

παναληmική εφαρμογή του ακόλουθου απλού νόμου:

Αν μέσα στο συνεχές μας, δίνεται μία καμπύλη, τα σημεία mς οποίας

καθορίζοvrαι από :mν τοξοειδή απόσταση s, μετρημένη από ένα σταθερό σημείο πάνω σmν καμπύλη, και αν, περαιτέρω, η φ είναι μία α

ναλλοίωm συνάρτηση. χώρου, τότε και η dφ/ds είναι επίσης αναλλοί

ωτη. Η aπόδειξη έγκειται στο ότι τα ds και dφ είναι αναλλοίωτα. Καθώς ισχύει,

έπεται ότι και η ποσότητα

dφ =~ dx, ds ax ds

u

aφ dx 1/1=--μ

dxu ds

είναι ένα αναλλοίωτο και μάλιστα για όλες τις καμπύλες που ξεκινούν

aπό ένα σημείο του συνεχούς, δηλαδή για οποιαδήποτε επιλογή του δια

νύσματος dχμ. Άρα, έπεται αμέσως ότι η ποσότητα

Α = 31_ (24) μ ax

μ

είναι ένα συναλλοίωτο τετpα-διάνυσμα - η «βάθμωση» της φ.

Η Γεvικι'ι Θεωρία τns Σχεrικότnταs

Σύμφωνα με τον κανόνα μας, το πηλίκο διαφορικών

dψ x=-ds

55

που λαμβάνεται πάνω σε μία καμπύλπ, είναι ομοίως ένα αναλλοίωτο. Ει-

σάγοντας την τιμή της ψ, λαμβάνουμε καταρχήν

a 2φ dx dx aφ d2x χ= ___ __ μ _v + ___ μ •

ax ax ds ds ax ds2 μ ν μ

Από δω δεν μπορεί να συναχθεί πάραυτα η ύπαρξη ενός τανuστή. Αν

όμως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι γεωδαισιακή π καμπύλπ κα

τά μήκος mς οποίας έ)(ουμε διαφορίσει, τότε, αντικαθιστώντας την πο

σότητα d2 x/dSZ από τη σχέση (22), λαμβάνουμε

I a2φ { } aφ \ dx" dx" x=lax,.ax,. - μv,τ ax, )CiSCϊS ·

Από τη στιγμή που μπορούμε να εναλλάξουμε την τάξη των διαφο

ρίσεων και, αφού, λόγω των σχέσεων (23) και (21), η ποσότητα [μv, τ] είναι συμμετρική ως προς τους δείκτες μ και v, έπεται ότι η έκφραση μέσα στην παρένθεση είναι συμμετρική ως προς τους δείκτες μ και

v. Εφόσον μία γεωδαισιακή μπορεί να σχεδιαστεί από ένα σημείο του συνεχούς προς οποιαδήποτε διεύθυνση, κι επομένως η παράγω

γος dx/ds είναι ένα τετρα-διάνυσμα με αυθαίρετο το λόγο των συνιστωσών του, τότε από τα αποτελέσματα της παραγράφου 7, έπεται ό

τι η ποσότητα

Α =~-{μv,τ}~ "" ax ax ax

(25) μ ν τ

είναι ένας σιΝαλλοίωτος τανυστής δεύτερης τάξης. Επομένως, έχουμε κα

ταλήξa στο εξής αποτέλεσμα: από τον σιΝαλλοίωτο τανυστή πρώτης τάξης

Α =.!1_ " ax

μ

μπορούμε, μέσω διαφόρισης, να σχηματίσουμε έναν συναλλοιωτο τα

νuστή δεύτερης τάξης

Α = uA" -{μv,τ}Α. μ\' aχν τ

(26)

Αποκαλούμε τον τανυστή Af.IV «επέκταση» (σιΝαλλοίωm παράγωγο) του τανuστή Αμ. Μπορούμε καταρχήν νά δe:ίξουμe: ώκολα ότι αυτή η δια

δικασία οδηγεί σε έναν τανυστή, ακόμη και αν το διάνυσμα Α δεν μπο

ρεί να αναπαρασταθεί ως μία βάθμωσn. Για να δούμε κάτι τέτοιο, πα

ρατηροι)με αρχικά ότι η ποσότητα

56

aφ

Ψaκ

Άλμπερτ Α:ίνστάιν

είναι ένα σuναλλοίωτο διάνυσμα, αν "οι ψ και φ είναι βαθμωτές ποσόmτες. Το άθροισμα τεσσάρων τέτοιων όρων

aφο> aφ<4> s =ψ(l) __ + ••. +ψ(4) __ " ax ax

είναι επίσης σuναλλοίωτο διάνοομα, αν είναι βaθμ'ωτές οι ποσότητες ψl), ψn, ... ,ψ4J,q:J4J. Όμως, είναι φανερό ότι οποιοδήποτε σuναλλοίωτο διάνοομα μπορεί να αναπαρασταθεί με m μορφή του αθροίσματος Sμ. Για·

τί, αν Αμ είναι ένα διάνυσμα, του οποίου οι συνιστώσες είναι οιεσδήποτε

δοσμένες συναρτήσεις των xV' τότε, το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να θέσουμε (ως προς το επιλεχθέν σίιστπμα σuντεταγμένων)

Ψω = "· φω-χι, ψ<2) = Az, φ<ΖJ = Xz,

ψ(3) = ~· φ<3) = χ3,

ψ<4J = Α4, φ<4> = χ4,

προκειμένου να διασφαλίσουμε ότι το Sμ ισούται με τον Αιr

Συνεπώς, για να αποδείξουμε ότι η ποσόmτα Αμv είναι τανuστής αν

εισαχθεί σm δεξιά πλευρά του Α μ οποιοδfιποτε σuναλλοίωτο διάνοομα,

χρειάζεται να δείξουμε μόνο ότι αυτό ισχύει για το διάνυσμα Sμ. Όμως,

όπως μπορούμε να μάθουμε ρίχνοντας μια ματιά σm δεξιά πλευρά mς

σχέσης (26), για το σκοπό αυτό αρκεί να παράσχουμε mν απόδειξη νια mνπερίmωσn

aφ Α =ψ-.

" ax μ

Τώρα, ισχύει ότι n δεξιό πλευρά mς (25), πολλαπλασιασμένη με ψ,

a2φ { } aφ ψ--- μv,τ ψ-aχ ax ax

μ v τ

είναι τανuστής. Ομοίως, όντας n ποοόmτα

~jj_ aχμ axv

το εξωτερικό γινόμενο δύο διανιισμάτων, είναι και.αυτή τανοοτής.

Προσθέτοντας, έπεται ο τανιιστικός χαρακτήρας mς ποοόmτας

a ( aφ \ { } ( aφ \ -lψ-)- μv,τ ιΨ-J· ax ax ax

v μ '

Μια ματιό σm σχέση (26) θα δείξει άτι αυτά ολοκληρώνει mv απόδειξη νια το διάνυσμα

Η Γενική Θεωρία rns Σχεrικόrnταs

ψ_j!Ρ__ aχ

57

και συνεπώς, από ό,τι έχει ήδη αποδειχθεί, για οποιοδήποτε διάνυσμα Α μ.

Μέσω mς επέκτασης του διανύσματος, μπορούμε να ορίσουμε εύ

κολα mν «επέκταση» ενός σuνaλλοίωτου τaνυστή οποιασδήποτε τά

ξης. Αυτή n διαδικασία αποτελεί μία γενίκευση mς επέκτασης ενός διανύσματος. Περιοριζόμαστε σmν περίmωσn ενός τaνυστή δείπερnς τά

ξης, aφού aυτό αρκεί για να δοθεί μία ξεκάθαρη ιδέα του νόμου σχη

ματισμού.

Όπως έχει ήδη παρατηρηθεί, οποιοσδήποτε συναλλοίωτος τανυστής

δεύτερης τάξης μπορεί να αναπαρασταθεί28 ως το άθροισμα τανυστών του τύπου ΑμΒν' Επομένως, θα aρκεί να συναγάγουμε mν έκφραση για

mν επέκταση ενός τaνυστή ειδικού τύπου. Από τπν (26) ισχύει ότι οι εκφράσεις

aA -" -{aμ τ}Α ax ' τ' σ

aB { -"- αμ τ}Β axo ' τ'

είναι τaνυστές. Με εξωτερικό πολλαπλασιασμό mς πρώτης με Bv και mς δεύτερης με Α μ, λαμβάνουμε και στις δύο περιmώσεις έναν τaνυστή

τρίmς τάξης. Προσθέτοντάς τες, έχουμε έναν τανυστή τρίτης τάξης

aA { } { } Α=~- τΑ-οvτΑ μνα ax σμ, τv ' μτ (27)

σ

όπου έχουμε θέσει Αμv = ΑμΒν. Καθώς n δεξιά πλευρά mς (27) είναι γραμμική και ομογενής ως προς τις ποσόmτες Αμv και τις πρώτες παραγώ

γους τους, έπεται ότι αυτός ο νόμος σχηματισμού οδηγεί σε έναν τa

νυστή, όχι μόνο σmν περίmωσn ενός τανυστή του τύπου AJ3v• αλλά και στπν περίmωσn ενός αθροίσματος τανυστών, δηλαδή στπν περί

mωσn οποιουδήποτε συνaλλοίωτου τανυστή δεύτερης τάξης. Αποκα

λούμε τον Αμvσ επέκταση του τανυστή Αμν' Είναι ξεκάθαρο ότι οι σχέσεις (26) και (24) aφορούν σε ειδικές μό

νο περιmώσεις επέκτασης (mν επέκταση των τaνυστών πρώτης και μη

δενικής τάξης, αντιστοίχως).

Γενικά, όλοι οι ειδικοί νόμοι σχηματισμού τανυστών περιλαμβάνονται

σm σχέση (27) σε συνδυασμό με τον πολλαπλασιασμό τανυστών.29

58 Άλμπερτ Α'ίνστάιν

11. Μερικέs περιmώσειs ειδικfιs σnμασίαs

Ο θεμελιώδns τavuσrns. θα αποδείξουμε καταρχήν κάποια λήμματα

τα οποία θα είναι χρήσιμα από δω και Οίο εξής. Από τον κανόνα για τπ

διαφόριση των οριζουσών, παίρνουμε

(28)

Το τελευταίο μέλος λαμβάνεται από το προτελειπαίο, αν θυμηθούμε ό

τι ισχύει 9μv gμΎ=~; έτσι ώΟίε 9μv gμv = 4, και συνεπώς

g,.,,dgμv + g"vdgμv = Q.

Από τπν (28) έπεται ότι

_1_ aΓ-i = 1 alog(-g) =.! g"v agμv =.! g"v ag"v (29) r= ax 2 ax 2 ax 2 ax · ν-s σ σ σ σ

Περαιτέρω, από τπ σχέση 9μa gv0=δμ v, προκύmει, διαφορίζοντάς τπ,

(30)

Από αυτές, πολλαπλασιάζοντας μεικτά με gσι και gνλ αντιΟίοίχως και αλ

λάζοντας το συμβολισμό για τους δείκτες, έχουμε

(31)

Και

(31)

Οι σχέσεις (31) επιδέχονται ένα μετασχηματισμό τον οποίο θα πρέπει,

επίσης, να τον χρησιμοποιήσουμε συχνά. Από τπ σχέση (21) έχουμε

agaβ ax = [ ασ,β] + [βα, α J. (33)

σ


Εισάγοvι:ας αυτή m σχέση στον δεύτερο από τους τύπους (31) και έχοvι:ας υπόψη μας mν (23), λαμβάνουμε

a "" a: =-g'"{τσ,v}-gvr{τσ,μ}. (34) α

Αvι:ικαθιστώvι:ας m δεξιά πλευρά mς (34) σmν (29), έχουμε

_ι_a~= {μσ,μ} (29α) Γ-i aχσ

Η «Απόκλισn» εvόs ανταλλοίωrοu διαvύαματοs. Αν πάρουμε το εσω-τερικό γινόμενο mς (26) με τον αvι:αλλοίωτο θεμελιώδη τανuστή gμv, τότε το δεξιό σκέλος, έπειτα από μετασχηματισμό του πρώτου όρου,

παίρνει m μορφή

_a_( μ''Α )-Α ag'"' _.!_ ,) agιιa + ag,,a - agιι,,\ ιιvΑ. ax g " μ ax 2 g I ax ax ax ) g τ

ν ν \ ν μ α

Σuμφωνά με τις σχέσεις (31) και (29), ο τελευταίος όρος αυτής mς έκφρασης μπορεί να γραφεί ως

_!_agτv Α +_!_agτμΑ +-l_ ar-;i ~'"Α. 2 ax ' 2 ax ' c= ax g τ

" μ ~-g α

Καθώς τα σύμβολα των δεικτών άθροισης είναι άυλα, οι δύο πρώτοι ό

ροι αυτής mς έκφρασης διαγράφουν τον δεύτερο όρο mς παραπάv..ο

έκφρασης. Α ν τότε γράψουμε gμv Α11 =Ν, έτσι ώστε το Av να είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα σαν το Α μ, λαμβάνουμε τελικά

Φ=-1 _a (ΗΝ). r-gax,,

(35)

Ο «ατροβιλιαμόs» ενόs αuvαλλοίωτοu διαvύαματοs. Ο δείπερος όρος σm σχέση (26) είναι συμμετρικός ως προς τους δείκτες μ και ν. Επομένως π ποσότητα A

11v-~11 είναι ένας ιδιαίτερα απλά κατασκευα

σμένος αντισυμμετρικός τανυστής. Λαμβάνουμε, λοιπόν,

aA aA Β =-μ __ v

μv ax ax (36) v "

Αvτιαuμμετρικfι επέκτααn εvόs εfα-διαvύαματοs. Εφαρμόι;οvι:ας

mν (27) σε έναν αντισυμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης A11v, σχn

ματίζΟvι:ας επιπλέον, τις δύο εξισώσεις που προκύmουν με κυκλικούς


συνδυασμούς των δεικτών, και προσθέτοντας αυτές τις τρεις εξισώσεις,

λαμβάνουμε τον τανυστή τρίτης τάξης

iJA iJA iJA Β =Α +Α + Ασμv = ~ + ~ + _3:.. (37)

μ•·σ μvσ """ ax ax ax σ μ ν

που εύκολα μπορεί να αποδειχτεί, ότι είναι ανrισυμμετρικός.

Απόκλισn ενόs εfα-διαvύσματοs. Πaίρνονraς το μεικτό γινόμενο της

σχέσης (27) με την ποσότητα gμagvfJ λαμβάνουμε επίσης έναν τaνυστή.

Ο πρ</ηος όρος στην aριστερή πλευρά της (27) μπορεί να γραφεί στη μορφή

a aνβ iJI"' -(g"" g"P Α )- g"" LA - g "P _!L_A . ax μv ax μv ax μv

σ σ σ

Αν γράψουμε Α~ στη θέση της ποσότητας gμagvfJ και Α a{J στη θέση της

gμagvfJ-\v• και στον πρ</ηο μετασχπμaτισθέντα όρο ανrικαταστήσουμε τις ποσότητες

agιια

ax σ

και ag"" ax

σ

με τις τιμές τους, όπως αυτές δίνονται από τη σχέση (34), τότε aπό τη δεξιά πλευρά της (27) προκύmει μία έκφραση που αποτελείται από εmά όρους, aπό τους οποίους aπαλείφονται οι τέσσερις και α

πομένουν οι

(38)

Αυτή είναι n έκφραση για την επέκταση ενός ανταλλοίωτου τανιχπή δεύτερης τάξης, ενώ μπορούν επίσης να σχηματιστούν αντίστοιχες εκ

φράσεις νια την επέκταση ανταλλοίωτων τανυστών ανώτερης και κα

τώτερης τάξης.

Επισημαίνουμε ότι μπορQύμε, κατ' ανάλογο τρόπο, να σχηματί

σουμε την επέκταση ενός μεικτού τανυστή:

aA" Α:σ = a/ -{σμ,τ}Α; +{στ,α}Α;,. (39)

σ

Συστέλλονrας την (38) ως προς τους δείκτες β και σ (εσωτερικός πολλαπλασιασμός με δβ). λαμβάνουμε το διάνυσμα

Α"= aA"P +{βy,β}Α"' +{βr,α}ΝΡ. aχ β

Λόγω της συμμετρίας της ποσότητας {βy,α} ως προς τους δείκτες β και

γ, ο τρίτος όρος της δεξιάς πλευράς μηδενίζεται, αν ο Α αβ είναι, όπως


θα υποθέσουμε, avnσuμμετρικός τaνυστής. Ο δεύτερος όρος επιδέχεται

μετασχηματισμό σύμφωνα με m σχέση (29α). Έτσι λαμβάνουμε

a 1 σ(ΗΝβ ) Α =Η σχβ . (40)

Αυτή είναι π έκφραση για mν απόκλιση ενός aντaλλοίωτου εξα-διανύ

σματος.

Η απόκλισn εvόs μεικτού ravuσrή δεύτερns τάfns. Συστέλλοντaς

mν εξίσωση (39) ως προς τους δείκτες α και σ, και λαμβάνοντας υπόψη mν (29α), παίρνουμε

(41)

Αν εισαγάγουμε τον αντaλλοιωτο τανuστή APσ=gPrA~ στον τελευταίο ό

ρο, τότε αυτός παίρνει m μορφή

Αν, περαιτέρω, ο τανυστής ΑΡσ είναι συμμετρικός, τότε aυτός ο όρος

ανάγεται στον

Αν αντί του ΑΡσ είχαμε εισαγόγει τον σuναλλοίωτο τανυστή Αρσ =

g,xJ!,apAaβ που είναι επίσης συμμετρικός, τότε ο τελευταίος όρος, ένεκα mς (31) θα είχε m μορφή

1 r;:σgρσ

2_ΨgiJΧΑρσ . μ

Επομένως, σmν περίmωσn συμμετρίας που εξετάζΟυμε π σχέση (41) μπορεί να αντικατασταθεί από τις δύο μορφές

hA = σ (Γ-iΝ.) l_ ugρσ hNu " ax 2 ax

(41α)

σ ιι

ΗΑ = a(HN.) +! σgρσ ΗΑ " ax 2 ax ρσ

(41β)

σ μ

τις οποίες θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αργότερα.


12. Ο raνvσrfιs Riemann-Christoffel

Τώρα αναζητούμε τον τανυστiι που μπορεί να ληφθεί μόνο από τον θε

μελιώδη τανυστiι, με διαφόριση. Η λύση φαίνεται προφανής σε μία πρώ

τη ματιά. Αντί του οποιουδήποτε δοσμένου τανυστiι Αμv στην εξίσω

ση (27), θέτουμε τον θεμελιώδη τανuστή g μv κι έτσι έχουμε έναν νέο τανυστiι, δηλαδή την επέκταση του θεμελιώδους τανuστή. Όμως, εύ

κολα μποροι)με να πειστούμε ότι αυτή η επέκταση μηδενίζεται ταυτο

τικά. Ωστόσο, καταλήγουμε στο σκοπό μας με τον ακόλουθο τρόπο. Στη

σχέση(27)θέτουμε

i.JA { } Α =-"- v Α μv ax μ ,ρ ι>' \ '

δηλαδή την επέκταση του τετρα-διανύσματος Αμ. Τότε (με έναν κάπως

διαφορετικό καθορισμό των δεικτών) λαμβάνουμε τον τανuστή τρίτης

τάξης

a2 Α } i.IA { i.JA } i.IA Α =--~'- -{μσ,ρ _ρ__ μτ,ρ}-Ρ -{στ,ρ --".

""' ax ax ax ax ax σ τ τ σ ρ

Αυτή η έκφραση υποδηλώνει το σχηματισμό του τανuστή Αμσr- Αμτσ .

Γιατί, αν ακολουθήσουμε αυτή τη διαδικασία, aπαλείφονται ο πρώτος,

ο τέταρτος και το μέλος που αντιστοιχεί στον τελευταίο όρο στις τε

τράγωνες αγκύλες, των εκφράσεων για τον Αμσr και τον Αιπσ, επειδή εί

ναι όλοι τους συμμετρικοί ως προς τους δείκτες α και r. Το ίδιο ισχύει και για το άθροισμα των δευτέρων και των τρίτων όρων. Έτσι παίρνουμε

Α -- Α =Β" Α μσr ι.ιτσ μσr ρ

(42)

όπου

Β~"'=- a~ {μα, ρ}+ a~ {μτ, ρ}-{μσ,α}{ατ,ρ} τ σ

+{μτ,α}{ασ,ρ}. (43)

Το οοοιώδες χαρακmριστικό αυτού του αποτελέσματος είναι ότι στη

δεξιά πλευρά της σχέσης (42) υπάρχουν μόνο οι ποσότητες ΑΡ, χωρίς τις παραγώγους τους. Από τqν τανuστικό χαρακτήρα της ποσότητας

Αμσr-Αμrσ και σε συνδυασμό με το γεγονός ότι n ποσότητα Α είναι ένα τυχαίο διάνοομα, έπεται, λόγω mς παραγράφου 7, ότι n ποσόmτα W,σr είναι τανυστής (ο τανοοτής Riemann-Christoffel).

Η μαθηματική σημασία αυτού του τανuστή είναι n εξής: Αν το συ

νεχές είναι τέτοιας φύσης ώστε να υπάρχει ένα σύστημα συντεταγμένων

Η Γενικfι Θεωρία rns Σxεrrκόrnras 63

ως προς το οποίο είναι σταθερές οι ποσόmτες gμν, τότε μηδενίζΟνται

όλες οι ποσόmτες Β~οτ. Α ν επιλέξουμε οποιοδήποτε νέο σύστημα συ

ντεταγμένων σrπ θέση των αρχικών συντεταγμένων, οι ποσόmτες gμv

που αναφέρονται σε αυτό το νέο σύστημα δεν θα είναι σταθερές, αλ

λά, εξαιτίας του τανυσrικού χαρακτήρα τους, οι μετασχnματισθείσες συ

νιστώσες των Β~οτ θα συνεχίσουν να είναι μηδενισμένες και στο νέο σύ

σrπμα. Έτσι, ο μηδενισμός του τανυσrή Riemann αποτελεί μία αναγκαία συνθήκη ώσrε, με μία κατάλληλη επιλογή του συστήματος αναφοράς,

να μπορούν να είναι σταθερές οι ποσόmτες gμν. Στο πρόβλημά μας αυ

τή η αναφορά αντιστοιχεί σrπν περίrπωσπ κατά mν οποία, 30 με μία κατάλληλη επιλογή του συστήματος αναφοράς, π ειδική θεωρία mς σχε

τικόmτας διαmρεί mν ισχύ mς για μία πεπερaσμένn περιοχή του συ

νεχούς.

Συστέλλοντας m σχέση (43) ως προς τους δείκτες τ και ρ, λαμβάνουμε τον συναλλοίωτο τανυσrή δεύτερης τάξης

όπου R,.v =- a: {μv,α}+{μα,β}{vβ,α} (44)

α

S = i/log_[-"i -{μv,α} a log_[-"i μv ax ax ax

Jl ν α

Σnμείωσn νια τnν επιλοyn των συντεταyμένωv. Έχει ήδη παpα

mρηθεί σrπν παρόγραφο 8, και σε σχέση με mν εξίσωση (18α), ότι η επιλογή συντεταγμένων μπορεί να γίνει με τέτοιο ευνοϊκό τρόπο ώσrε

να ισχύει .F-g = 1. Μια ματιά στις εξισώσεις που εξήχθησαν στις δύο τελευταίες ενόmτες δείχνει ότι με μία τέτοια επιλογή, οι νόμοι σχηματι

σμού τανυσrών υποβάλλονται σε μία σημαντική απλούστευση. Αυτό ε

φαρμόζεται ιδιαίτερα στον Gμν, τον τανυστή που μόλις αναπτύχθηκε,

και ο οποίος διαδραματίζει έναν θεμελιακό ρόλο σm θεωρία που πρό

κειται να καταστρωθεί. Κι αυτό γιατί αυτή π εξειδίκευση mς επιλογής

των συντεταγμένων επιφέρει το μηδενισμό του Sμν• με αποτέλεσμα ο

τανυσrής Gμν να ανάγεται στον Rμν.

Λόγω των παραπάνω, θα δώσω στο εξής σε απλουστευμένη μορ

φή όλες τις σχέσεις που επιφέρει αυτή π εξειδίκευση. Τότε, θα είναι εύ

κολο να μεταστραφούμε στις yενικά συναλλοίωτες εξισώσεις, αν επι

θυμούμε να κάνουμε κάτι τέτοιο ως ειδική περίmωσπ.


Σnμειώσειs

1. Πρόκειται για m θεμελιακή εργασία του K.F. Gauss, Disquisitiones Generαtes Circα Superficies Curvas, (ΓεvικέsΈρευνεs Περί των Καμπυλωμένων Επιφανειών), 1828, που αποτελεί, όπως αναφέρει ο Max Born, m μοναδική περίmωσn όπου ένας ολόκληρος κλάδος των Μαθηματικών ο

φείλει αποκλειστικά mν ανάτπιιξή του σε ένα και μόνο άρθρο. (Σ.τ.Μ.)

2. Η έννοια του τανυσrή αναδύθηκε μέσα από mν ιστορία διαμόρφωσης του διανυσματικού λογισμού (ή διανυσματικής ανάλυσης), και m σύγκρουση με το φορμαλισμό των τετράδων (quaternions) που είχε αναπιίιξει ο William Rowan Harnilton (1805-1865) στα 1852 στο Δουβλίνο. Ο P.G. Tait (1821-1901) ανέτπιιξε περαιτέρω αυτόν το λογισμό, εισάγοντας μάλιστα τον γνωστό τε

λεστή «ανάδΕλτα» ν. ενώ δείχνοντας το φορμαλισμό του στον Maxwell, ο τελι::υταίος αναγνώρισε την πολύ σημαντική εφαρμογή τους σmν ηλεκτρο

μαγνητική θεωρία, εισάγοντας μάλιστα τις έννοιες mς «απόκλισης» και του

«στροβιλισμού». Αυτή ήταν όμως και π μοναδική σημαντική επιτυχία αυτού

του φορμαλισμού των τετράδων εκείνη mν περίοδο, ενώ συγχρόνως διε

ξαγόταν μία έντονη διαμάχη νια mν αναγκαιόmτά του ή για την ανεύρεση

ενός πιο «ορθολογικού>> φορμαλισμού, που να μn θεμελιώνεται στο ότι το

τετράγωνο ενός διανύσματος είναι αρνητικό μέγεθος. Ο άνθρωπος που έ

δωσε m λύση δεν ήταν κάποιος καθαρός μαθηματικός αλλά ο θεμελιωτής mς σίιγχρονης Φυσικοχπμείας J.W. Gibbs (1839-1903), αναmύσσοντας αυ

τό που σήμερα γνωρίζΟυμε όλοι ως διανυσματική ανάλυση: σε αυτόν οφεί

λονται οι έννοιες του εσωτερικού και του εξωτερικού γινομένου μεταξύ δια

νυσμάτων, που κατάφεραν να επαναθεμελιώσουν τις έννοιες του στροβιλι

σμού και mς απόκλισης των τετράδων, σmν εποmικό πιο ορθολογική βά

ση των διανυσμάτων και των παραγώγων τους. Από m στιγμή που ο φορμαλισμός των τετράδων ξαναήρθε σmν επιφάνεια ως βασικότατο μαθημα

τικό εργαλείο του φορμαλισμού mς Κβαντικής Μηχανικής (εκδ. Τροχαλία,

σmν παρούσα σειρά, καθώς επίσης και τα άρθρα του Gibbs που αφορούν σm γένεση mς Φuσικοχπμείας). Αξίζει όμως να αναφέρουμε από τώρα. ό

τι ο όρος τανυσrής (tensor) προήλθε από την εφαρμογή των εννοιών του διανuσμαnκοίι φορμαλισμού σm θεωρία της ελαστικότητας των σωμάτων, ως προ

σπάθεια συλλογικns διιπύπωσns των επιμέρους τάσεων που εξασκούνται σε

ένα αίJμα, με m μορφή πίνακα. (Γανίφ, τεντώνω, τανιισrής). Αυτή η συλλογική έκφροσn είναι ο τανυστής, και αντλεί mν ορολογία του από τις έννοιες versorκaι torsorπoυ χρησιμοποιούσε ο Gibbs, σε συνδυασμό με mν έννοια mς εσωτερικής τάσης (tension). Έτσι λοιπόν, με mν τανυστική ανάλυση επιτυγχάνεται π γενίκευση mς σuνnθισμένπς διανυσματικής ανάλυσης και των θε

ωρημάτων mς, που θα δούμε να τα εφαρμόζει ο Α:ίνστάιν στον γενικά σu

ναλλοίωτο φορμαλισμό, που δΕν είναι άλλα; από τον τανuστικό φορμαλισμό.

Ένα εξαιρε·rικά σημαντικό χαροκτnριστικό του τανuστικού γεωμετρικοu

αντικειμένου είναι ότι σιΝιστό και έκφραση mς σχέσης του φυσικού αντι

κειμένου που περιγρόφει, με τον περιβάλλοντα ΧώΡΟ του: είτε στρέψουμε το σύστημα σιΝτεταγμένων κατά 360 μοίρες κρατώντας ακίνητο το σώμα,

Η Γεvικfι Θεωρία τns Σχετικότnταs 65

είτε στρέψουμε το σώμα κατά 360 μοίρες κρατώντας σταθερό το σύστημα των αξόνων, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Σε αυτό το πολύ σπμαντικό χαρα

κτπριστικό του τανuστικού γεωμετρικού αντικειμένου εδράζεται η σκέψη ό

τι ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο είναι το ίδιο ακριβώς αντικείμενο όταν

παραmρείται από περιστρεφόμενο σύστnμα αναφοράς. (Θυμηθείτε m συζήmσπ για m σχετική και mν απόλum περιστροφή που αφορούσε στn συλλογιστική του Mach και το ιδεατό πείραμα του Α:ι\ιστάιν με τις περι

στρεφόμενες σφαίρες). Έτσι λοιπόν, η «κατάστασπ» ενός σώματος αναπα

ρίσταται μέσω των δυνατών περιστροφών του, που, μαθηματικά, είναι στοι

χεία mς ομάδας που εκφράζΕΙ αυτές τις περιστροφές. Στις εργασίες των

Minkowski και Dirac θα έχουμε mν ευκαιρία να δούμε ότι εδώ βρίσκονται και τα όρια του τανuστικού γεωμετρικού αντικειμένου: όταν π φυσική οντόmτα

δεν ξαναγυρίζει στο ίδιο σπμείο μετά από περιστροφή 360 μοιρών, υπει

σέρχεται το σπινοριακό (spinoήal) γεωμετρικό aντικείμενο που μας παρέχει επιπλέον πληροφορία και για το πώs έφτασε το αντικείμενο σm συγκεκρι

μένη θέσπ, και όχι ότι απλώς βρίσκεται εκεί, πράγμα που αφορά μόνο τα τα

νuστικά aνrικείμενα. Βλ. το εκπληκτικό πείραμα του Dirac με τα ψαλίδια, τους σπόγγους και mν καρέκλα (όπως το διαβάζετε!) στο παράρmμα του άρθρου

του Minkowski, Χώροs και Xpόvos, εκδ. Τροχαλία, στnν παρούσα σειρά. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να διαιρε

θούν σε συγκεκριμένες κλάσεις, με mν καθεμία να εμπεριέχει ανrικείμενα που υπακούουν στον ίδιο νόμο μετασχηματισμού (συγκροmτική αρχή είναι

ο νόμος μετασχηματισμού). Μία κλάσπ γεωμετρικών αντικειμένων είναι οι βαθ

μωτές ή αναλλοίωτες ποσόmτες που έχουν μία συνιστώσα n οποία μένει αμετάβλnm ως προς οποιονδήποτε μετασχηματισμό συντεταγμένων. "Αλλrι κλά

σπ γεωμετρικών αντικειμένων είναι, όπως θα δούμε ευθύς στα επόμενα, τα

ανrαλλοίωτα διανύσματα, των οποίων ο συνιστώσες ακολουθούν τον ίδιο νό

μο μετασχηματισμού, όπως και οι γεωμετρικές έννοιες που θα εισαγάγουμε

κατόπιν. (Σ.τ.Μ.)

3. «Αν μας δίνεται μία καμπύλη, ή σύστημα καμπυλών, κι έχουμε μάθει να εξαγάγουμε από τις γενικές εξισώσεις τους, την εξίσωσπ κάποιου τόπου, υ

= Ο, mς οποίας η σχέσπ με τις δοθείσες καμπύλες είναι ανεξάρmm των αξόνων ως προς τους οποίους εκφράζΟνται οι εξισώσεις, τότε η υ θα λέγεται

ότι είναι ένα συναλλοίωτο του δοθέντος συστήματος. Αν τώρα επιθυμούμε

η εξίσωσπ αυτού του τόπου να αναφέρεται ως προς οποιουσδήποτε νέους

άξονες, θα φθάσουμε τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα, είτε μετασχηματίσουμε

mν εξίσωσπ υ = Ο ως προς τους νέους άξονες, είτε μετασχηματίσουμε ως

προς τους νέους άξονες τις ίδιες τις εξισώσεις των δοσμένων καμπυλών και

κατόπιν εξαγάγουμε mν εξίσωσπ του τόπου από τις μετασχηματισθείσες ε

ξισώσεις, με τον ίδιο κανόνα με τον οποίο είχε σχηματισθεί αρχικά η υ. Έ

τσι, αν μετασχηματίσουμε τις εξισώσεις δύο κωνικών ως προς ένα νέο τρί

γωνο αναφοράς, γράφοντας, αντί των χ, y, z, τις

lx+my+nz, /'χ+mΎ+n'ι;, l"x+m'Ύ+n"z.

και αν κάνουμε την ίδια αντικατάστασπ σmν εξίσωσπ F2 = 4M'SS',


μπορούμε να προβλέψουμε ότι το αποτέλεσμα αιπής mς τελειπαίας αντι

κατόστασnς μπορεί να διαφέρει μόνο κατά έναν σταθερό πολλαπλασιαστή

από mν εξίσωση F2 = 4AA'SS', που σχηματίζεται με τους νέους συντελεστές των S και S'. Κι αυτό γιατί και οι δύο τύποι αναπαριστούν τις τέσσερις κοινές εφαmόμενες. Σε αιπή mν ιδιόmτα είναι που θεμελιώνεται ο αναλυτικός

ορισμός των σuναλλοίωτων. «Μία εξαχθείσα συνάρmσn που σχηματίσθη

κε με οιονδήποτε τρόπο από μία ή περισσότερες συναρτήσεις, λέγεται ότι

είναι ένα συναλλοίωτο, αν όταν όλες οι μεταβλητές τους μετασχηματίζΟνται

με τις ίδιες γραμμικές αντικαταστάσεις και το αποτέλεσμα που λαμβάνεται

με το μετασχηματισμό των εξαχθεισών συναρτήσεων, διαφέρει μόνο κατά

ένα σταθερό πολλαπλάσιο από αυτήν που λαμβόνεται με το μετασχηματισμό

των αρχικών εξισώσεων και κατόπιν με το σχηματισμό των αντίστοιχων

συναρτήσεων προς τις εξαχθείσες».

Υπάρχει μία όλλη περίmωσn στην οποία είναι δυνατόν να προβλέψουμε το αποτέλεσμα ενός μετασχηματισμού με γραμμική αντικατάσταση. Αν έ

χουμε μάθει πώς να σχηματίζΟυμε m συνθήκη συμφωνά με mν οποία η γραμμή λχ+μy+νz,θα έπρεπε να αγγίζει μία καμπύλη, ή γενικότερα mν οποια

δήποτε συνθήκη που θα έπρεπε να ισχύει ως προς μία καμπύλη ή σύστπμα

καμπυλών, που είναι ανεξάρmm των αξόνων ως προς τους οποίους ανα

φέρονται οι εξισώσεις, τότε είναι προφανές πως όταν οι εξισώσεις μετα

σχηματισθούν σε οποιεσδήποτε νέες συντεταγμένες, η αντίστοιχη συνθή

κη μπορεί να σχηματισθεί με τον ίδιο κανόνα από τις μετασχηματισθείσες

εξισώσεις. Όμως, μπορεί επίσης να έχουν εξαχθεί με άμεσο μετασχηματισμό

από m συνθήκη που εξήχθηκε πρώτα. Υποθέστε ότι μετασχηματιζόμενη η lx+my+nz, γίνεται

λ(lx+my+nz)+μ(l'x+m'y'+n'z) + ν(l"x+m'Ύ+n"z)

και ότι m γράφουμε με m μορφή λ'x+μ'y+v'z. Τότε θα έχουμε

λ'= lλ +/'μ+ /"+ν,

μ'= mλ + m'μ + mν, ν'= nλ + n'μ+n''V.

Επιλύοντας αυτές τις εξισώσεις, λαμβάνουμε εξισώσεις mς μορφής

λ= U'+L'μ'+Lν',

μ= Μλ'+Μ'μ'+Μ'ν',

ν= Νλ'+Ν'μ'+Ν"ν'.

Αν τότε θέσουμε αυτές τις τιμές σm συνθήκη όπως αιπή είχε πρωτοε

ξαχθεί ως προς τους όρους λ, μ, ν, λαμβάνουμε m συνθήκη ως προς τους όρους λ', μ', ν', που μπορεί να διαφέρει μόνο κατά έναν σταθερό πολλα

πλασιαστή από mν εξίσωση, όπως λήφθηκε από mν όλλη μέθοδο. Συναρ

τήσεις mς κλόσnς που θεωρείται εδώ, αποκαλούνται ανταλλοίωτες. Τα α

νταλλοίωτα μοιάζΟυν με τα συναλλοίωτα σε τούτο: ότι οποιαδήποτε α

νταλλοίωm εξίσωση, όπως είναι για παράδειγμα η εξίσωση εφαmομένnς μίας

Η Γεvικfl Θεωρία rns Σχεrικότnταs 67

κωνικής (bc-f)λ2 + κ.λπ. =Ο, μπορεί να μετασχηματισθεί μέσω γραμμικής α· ντικατάστασης στην εξίσωση παρόμοιας μορφής (b'c'-f)λ2 + κ.λπ. =Ο, που σχηματίζεται με τους συντελεστές mς μετασχηματισθείσας τρινραμμι·

κής εξίσωσης mς κωνικής. Διαφέρουν όμως στο ότι οι λ, μ, v, δεν μετα· σχηματίζΟνται με τον ίδιο κανόνα όπως οι χ, y, z (δηλαδή γράφοντας αντί mς λ, mν Ι λ+mμ+nv. κ.λπ.) αλλά με τον διαφορετικό κανόνα που επεξηνή·

θηκε πιο πάνω».

Με αυτό τον τρόπο θα αναλύσει ο George Salmon (1819·1904) στην έ· κm έκδοση mς πραγματείας του νια τις Κωvικέs τομέs, τις έννοιες συναλ·

λοίωτο-ανταλλοίωτο (covaήant-contravaήant), που κατόπιν θα χρησιμο·

ποιηθούν από τους διαφορογεωμέτρες στη μελέτη των διανυσμάτων των ε·

φαmομενικών χώρων. Βλ. G. Salmon, Α Treatise of Conic Sections, Lon· don, l879, σελ. 346-348.

Σmν εξίσωση (6), ο Α:ίνστάιν συμπυκνώνει m σχέση συναλλοίωmς, α· νταλλοίωτης και αναλλοίωmς ποσόmτας: στο βιβλίο τoυRiemann (εκδ. Τ ρο

χαλία, στην παρούσα σειρά) αναφέρουμε αναλυτικά στο παpάρmμα, κατά

mν ανάπτυξη του Ρημάνειου τανυστή καμπυλόmτας, m βασική ιδέα αυτής mς συσχέτισης εκεί ξεκινάμε από ένα τυχαίο διάνυσμα του εφαmομενικού

χώρου, και εκφράζΟυμε τις συντεταγμένες του ως προς το (γενικά) πλανιο

γώνιο σύστημα αξόνων· ο πλαγιογώνιος και ο ορθογώνιος τρόπος προβολής

τουδιανύσματος δίνουν δύο διαφορετικούς γραμμικούς συνδυασμούς

του ίδιου διανύσματος οι συντελεστές ai του πλανιονώνιου γραμμικού συν

δυασμού ορίζΟνται ως οι ανταλλοίωτοι συντελεστές προβολής, ενώ οι συ

ντελεστές aj του ορθογώνιου γραμμικού συνδυασμούορίζονται ως οι συναλλοίωτοι συντελεστές προβολής. ΣυνοψίζΟντας λοιπόν mν αναλυτική

διαπραγμάτευση που γίνεται στο βιβλίο του Riemann, μπορούμε να πούμε ότι: α) Οι ανταλλοίωτες συνιστώσες ai ενός διανύσματος V σε ένα σημείο μιας επιφάνειας είναι τα μήκη των παράλλnλωv προβολών του V πάνω στους άξονες ενός γενικά πλανιονώνιου συστήματος συντεταγμένων μέσα στο ε·

φαmομενικό επίπεδο mς επιφάνειας σε αυτό το σημείο και με μοναδιαία δια

νύσματα των αξόνων τα εφαmομενικά διανύσματα στο θεωρούμενο σημείο

ως προς τις διευθύνσεις των καμπυλών του συστήματος συντεταγμένων

mς επιφάνειας, β) Οι συναλλοίωτες συνιστώσες ~· του ίδιου διανύσματος V στην ίδια επιφάνεια και στο ίδιο σημείο, είναι τα μήκη των ορθοyώvιωv προ

βολών του ν πάνω στους άξονες που αναφέραμε προηγουμένως. (Σ.τ.Μ.)

4. Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα: έστω x,y,z οι καρτεσιανές συντεταγ

μένες και r, θ, φ οι σφαιρικές πολικές συντεταγμένες στον τρισδιάστατο χώρο. Οι πρώτες συντεταγμένες είναι συναρτήσεις των δεύτερων, σύμφωνα με

τις σχέσεις

χ = mμθι:τuvφ, y= mμθnμφ, z = rι:τuvθ,

που μπορούμε να τις συμτπύξουμε στη γενική σχέση


και χΊ = r, χ2=θ, χ'3 = φ. Αν θέλουμε να εκφράσουμε τις πολικές συντεταγμένες ως προς τις καρτεσιανές, θα λύσουμε τις προηγούμενες εξισώσεις ως

προς τις πολικές: δηλαδή θα πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό

r = (x2+y+z2 )'". θ= εφ-ι[(Jil+y )Ιι2 /z], φ = εφ-1 (y/x).

που τις συνοψίζουμε στη σχέση

Έτσι, αν τώρα θεωρήσουμε τα διαφορικό των καρτεσιανών συντεταγμένων

ως προς τις πολικές, θα λάβουμε,

dx= axdr+ σχdθ+ σχ = ar ae aφ = ημθσυνφdr+ rσυνθσυνφdθ- mμθnμφdφ.

ΣυνεχίζΟντας και για το dy και το dz, καταλήγουμε στη συνοmική έκφραση

dx = ~ axv dx' v ~ σχ~ σ t

ενώ, ακολουθώντας mν ίδια συλλογιστική για το αντίστροφο σύστημα των

σχέσεων που δίνουν τις πολικές ως προς τις καρτεσιανές, παίρνουμε

1 ( )-ι/2 ( ) ( )-1/2 + 2 xz + Yz + z2 . 2z = χ+ Υ+ z . xz + yz + zz -

Χ+Υ+Ζ

= Jxz + yz + zz ·

ΣυνεχίζΟντας και για τα διαφορικά dθ και dφ, παίρνουμε τελικό m συνοmική έκφραση

3 a , dx' = ~~dx.

σ f:f axv ν

Εδώ είχαμε σ= 1,2,3 και v= 1,2,3, ενώ γενικά μπορεί να ισχύει σ= l, ... ,N και v= l, ... ,N. Ο Αϊνστάιν θεωρεί ότι σ= 1,2,3,4 και v= 1,2,3,4, νια τον τετραδιάστατο χωροχρόνο. Με αυrόν τον τρόπο παίρνουμε τον πίνακα του συστήματος των εξισώσεων που δίνει τα dx~ ως προς τα dxv που είναι ο αvτίστροφοs του προηγούμενου που έδινε τα dxv συναρτήσει των dx~: επειδή αιπά τα διανύσματα αλλοιώνονται (δηλαδή μεταβάλλονται) σύμφωνα με τον

αντίστροφο μετασχηματισμό, θα aποκληθούν ανταλλοίωτα. (Σ.τ.Μ.) 5. Για παράδειγμα, π ταχύmτα και η επιτάχuνσn είναι ανταλλοίωτα διανύσμα

τα. Πράγματι, διαιρώντας m σχέση (5) με dt, παίρνουμε

Η Γενική Θεωρ/α rns Σχεrικόrnrαs 69

ΟρίζΟυμε ως V' ~ Σ ax~yv και ψ ~ dxv τις συνιστώσες mς τaχύmτaς σ σχ' ' dt

V Υ

στο τονούμενο και στο μη-τονούμενο σύστημα συντεταγμένων αντίστοιχα. Τότε

ax' V' =Σ-σyv σ ν ax~ '

δnλaδή η τaχύmτa μετασχnμaτίζεται ως aνταλλοίωτο διόνυσμa. Αν τώρα ξa

νaπaραγωγίσουμε ως προς το χρόνο, θα έχουμF

dν' σ d ( Jx' \ J~' dV''

dt ~ + dt l ax: Ψ) = + ax: · dt'

επειδή !!_( σχ~ \) 2 Ο, aφού η σχέση μεταξύ των δύο συστπμάτων συντε-dt\ axv

ταγμένων είναι aνεξόpτηm του χρόνου (θυμηθείτε m σχέση μεταξύ των καρτεσιανών και των σφαιρικών συντεταγμένων και mν aντίστροφή mς aυτή mν τελευταία εξετάζουμε εδώ, στο μετασχηματισμό του aνταλλοίωτου δια

νύσματος). Άpα και η επιτόχυνση μετασχηματίζεται ως ανταλλοίωτο διάνυ

σμα. (Σ.τ.Μ.) 6. Για παράδειγμα, η βάθμωσn ενός βαθμωτού πεδίου είναι συναλλοίωτο διά

νυσμα. Πρόγματι, για ένα βαθμωτό πεδίο φ = φ(χi) ισχύει ότι η συνaρmmακ!'ι μορφή του δεν αλλάζει κάτω από τους μετασχηματισμούς των συντεταγμέ

νων,δnλaδή

φ(χi) = φ'(χ'") = φ(χ'").

Η βάθμωση είναι ένα διάνυσμα με συνιστώσες

Ισχύει

Άpα

Α =Yl.._, Α' =_jf__=_jf_. , iJX1 α ax'" aχ·α

Yl_ = .J1_. ax'" ax1 ax'" ax1

iJ ια

Α =_!!_Α' , ι aχι α

που είναι n μορφή μετασχηματισμού ενός συναλλοίωτου διανύσματος, που δίνεται από τον τύπο (7) του άpθρου του Αϊνστάιν. (Σ.τ.Μ.)

7. Έπειτα από aυτό το όρθρο, αυτή η anλοίιστευση καλείται σUμβασn Ai'vσraιv. Δηλαδή στη θέσn mς έκφmσnς

n ι 2 n ~ ι α Χ1 +α Χ2 + ... +α Xn,. α Χ1

. • J-


γράφουμε απλώς aix1. παραλείποντας το σύμβολο mς άθροισης. Ο δείκmς

i καλείται βωβόs δείκτης και προφανώς μπορούμε να τον aντικαθιστούμε με . οποιονδήποτε άλλο δείκτη: aix1. = rix/ Η εξίσωση a\. = l, για η= 2 γράφεται a1x1+a2x2 = 1 που είναι ευθεία του επιπέδου, για η =3, γράφεται a1x1+a2x2+a3x3 = 1 που εκφράζει επίπεδο του τρισδιάστατου χώρου (ο αναγνώστης δεν πρέπει να συγχέει τους δείκτες με τις δυνάμεις), ενώ νια n μεγαλύτερο ή ίσο του 4, i-vα υπερεπίπεδο. Από m μεριά του ο ίδιος ο Α:ίνστόιν φαίνεται να διασκέδαζε με αυτή m βολική επινόηση. Στον φίλο του L. Kollros ανέφερε τα εξής: «Έκανα μια μεγαλειώδη ανακάλυψη στα Μαθηματικά·

Απέκρυψα το σύμβολο mς άθροισης κάθε φορά που η άθροιση πρέπει να

γίνει πάνω σε δείκm που εμφανίζεται δύο φορές στον γενικό όρο». Βλ. στο

άρθρο του L. Kollros, Α Einstein en Suisse, Souvenirs, στον τόμο Jubi/ee of Re/ativity Theory, Α. Merήer, Μ. Kervaine (επιμ .) , Basel, Ελβετία, 1956. (Σ.τ.Μ.)

8. Ο Gregoήo Ricά, από mν Πάδοβα (1853-1925), είναι ο άνθρωπος που ίδρυσε ουσιαστικό mν τανυστική ανάλυση και εισήγαγε τον βαρύγδουπο φορ

μαλισμό των τανυστικών συμβόλων με τους δείκτες, σπέρνοντας έκτοτε το

φόβο και τον τρόμο ακόμη και σε θεωρητικούς που δεν είναι εξοικειωμένοι

με αυτόν το φορμαλισμό. Επηρεασμένος από τις έρευνες του Γερμανού Elwin Christoffel (1829-1900) πάνω στις Ρπμάνειες πολλαπλόmτες, εγκαθίδρυσε

mν τανυστική ανάλυση με εργασίες που πραγματοποίησε κατά mν περίο

δο 1887-1896: Suiparametri e g/i invarianti de/leforme quadratiche diffe renzia/i, Annali di maternatica pura ed applicata, Seήe Πa, Tomo XIV, 1886. De/le derivazioni covarianti e controvarianti, Studi editi dall'Universita di Padova, 1888, Lezioni sul/a teoria del/e superficie, Padova, preso i fratelli Drucker, 1898, Sulla teoria degli iperspazi, Rendiconti della r. Accademia dei Lincei, 24 Nov.1 895, Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varieta qualunque, Memoήe della r. Accadernia dei Uncei, 1896. Sulla teoria delle linee geodetiche e dei sistemi isotermi di Liouvi/le, Atti del R. lstituto Veneto di Sάenze, Lettere ed Arti, 1894. Su/la teoria intrinseca delle superficie ed in ispecie di quel/e di secondo grado, Atti dell'lstituto Veneto,1895. Αν και η εφαρμογή των εννοιών συναλλοίωτο-ανταλλοίωτο διατυ

πώνεται στο άρθρο του 1888 που προαναφέρεται, η πρώm διεξοδική έκθεση των εννοιών του απόλυτου διαφορικού λοyισμού (όπως πρωτοονομόσθηκε

η τανuστική ανάλυση) υπάρχει σε άρθρο του του 1892 (Bulletin des Sάences Mathernatiques, τόμ. XVI). Ο Tullio Levi-Civita (1873-1941) εργάστηκε ως μαθητής και συνεργάmς του Ricά, πάνω το πρόγραμμα του τελευταίου, ώσπου

στα 1899 ο Felix Κlein τούς πρότεινε να δημοσιεύσουν ένα άρθρο στα Mathernatische Annalen: πρόκειται για mν εργασία με τον τίτλο «Methodes de calcul differentiel absolu elleurs applications» που την ολοκλήρωσαν το Δεκέμβρη του 1899 και δημοσιεύθηκε στα Mαth. Ann. στα 1901,54, σ.

ΙΖ5-ΖΟ1. Αυτή π τελευταία εργασία είναι ουσιαστικά εκείνη που γνώριζε ο

Α:ίνστάιν και στην οποία βάσισε τις γνώσεις του πάνω στην τανυστική ανά

λυση, mv οποία του δίδαξε ο σuνερνάmς του Μ. Grossman: <<Ο Grossman δεν θα ισχυριστεί ποτέ ότι πρέπει να θεωρείται ως αυτός που ανακάλυψε μαζί μου m γενική σχετικόmτα. Το μόνο πράγμα στο οποίο με βοήθησε ήταν


στο να προσανατολιστώ στη μαθηματική βιβλιογραφία, αλλά δεν συνέβαλε

σε τίποτα το υλικό στα αποτελέσματα» (από γράμμα του Α:ίνστάιν προς τον

Sommerfeld, 171ουλίου 1915, στο Einstein-Sommerfeld Brifwechse/, επιμ. Α. Hermann, Schwabe and Co., Basel, 1968, σ. 30). Επίσης, έπειτα από δεκαοκτώ χρόνια, ο Α:ίνστάιν θα αναφέρει τα εξής: «Εργάστηκα πάνω σε αυ

τά τα θέματα από το 1912 ως το 1914, μαζί με τον φίλο μου Grossman. Βρήκαμε ότι οι μαθηματικές μέθοδοι για mν επίλυση του πρώτου ερωτήματος

(εννοεί m μετάφραση των φυσικών νόμων με τους όρους mς γενικής σχετικόmτας) μας περίμεναν ήδη, στον απόλυτο διαφορικό λογισμό των Ricό

και Levi-Civita. Όσον αφορά στο δεύι:εpο πρόβλημα (τον βaρυτικό νόμο) αναγνωρίσαμε αμέσως ότι τις μεθόδους για να εππύχουμε κάτι τέτοιο τις εί

χε ήδη επεξεργαστεί ο Riemann (με τον τανυστή καμπuλόmτας). Δύο χρόνια ήδη, πριν από mν τελική δημοσίευση mς γενικής θεωρίας mς σχετικό

mτας (πρόκειται για το άρθρο που κρατά ο aνaγνώστnς στα χέρια του), είχαμε θεωρήσει τις σωστές πεδιaκές εξισώσεις mς βaρύmτaς, αλλά aπο

τύχαμε να αναγνωρίσουμε το ότι αυτές οι εξισώσεις είχαν εφαρμογή από φυ

σική άποψη» . (Πρόκειται για διάλεξη του στις 20 Ιουνίου 1933 στο Πανεπιστήμιο mς Γλασκώβης, G.A. Gibson Foundation Lecture, σ. 10-11.) Από m μεριά του, και ο ίδιος ο Grossman, σε μια διάλεξή του στο Frauenfeld, θα αναγνωρίσει m σημασία του προαναφερθέντος άρθρου των Ricci και LeviCivita, για m «θεμελιώδη μαθηματική έννοια mς βαρυτικής θεωρίας του Α:ίνστάιν>> (Mathematische Begriffsbildungen zur Graνita-tionstheorie, Vierteljahresschr. Naturforsch. Ges. Zuήch, 58, 291-297, ειδικά στη σελ. 292, 1913). (Σ.τ.Μ.)

9. Ουσιαστικά εδώ έχουμε mν ειδική (και mo απλή) περίmωση ενός γενικού θεωρήματος, σύμφωνα με το οποίο: Σε έναν n-διάσταrο χώρο, οποιοσδήποτε τα

νυστής τάξης q > 1 μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα πq-Ι τανυστικών γινομένων διανυσμάτων με q παράγοντες το καθένα.

Απόδειfn: Θεωρούμε mν περίmωση ενός τετραδιάστατου χώρου (η= 4) και ενός τανυστή τάξης 2(q = 2), που τον συμβολίζΟυμε με τμv (μ , ν= 0,1,2,3). Ουσιαστικά το θεώρημα λέει ότι κάποιος μπορεί να γράψει

τον τμv ως άθροισμα 42- 1 = 4 τaνυστικών διανυσματικών γινομένων:

(1)

όπου οι κάτω δείκτες με παρενθέσεις υποδηλώνουν m διαφορετικόmτα των διανυσμάτων στο κάθε γινόμενο. Μάλιστα, ο Α:ίνστάιν αναφέρεται εδώ σε αυ

τή m συγκεκριμένη ειδική περίmωσn: aνταλλοίωτοι δείκτες και χωρική διάσταση ίση με τέσσερα. Ξεκινάμε καταρχήν θεωρώντας τους όρους νια μ =

Ο, στον παραπάνω τύπο. Η σχέση (1) θα αληθεύει αν μπορούμε να λύσουμε

το σύστημα [με μ= Ο, ν= 0,1,2,3, στην (1)]

τD0 = A~lJB~lJ + A~2JB~2 J + A~3JB~3J + A~4JB~4J

τ01 = Α~ !Β~0 + A~2!B~2J + Α~3!Β~3! + Α~4 !Β~4!

τ'2 = A~lJB~0 + A~2JB~2 J + A~3JB~3J + A~4JB~4J ...03 ΟΒ3 03 0 3 03 1 - = Α< ι ! <ο + A<2JB<2J + A<3JB<3! + A<4JB<4J.


Α ν θεωρήσουμε ως άγνωστες ποσόmτες τις συνιστώσες Α?11, Α?21, Α?31, Α?41,

τότε οι παραπάνω εξισώσεις αντιπροσωπεύουν ένα σύσmμα τεσσάρων ε

ξισώσεων με τέσσερις αγνώστους. Επιλέγουμε τα τέσσερα διανύσματα

Βω(ί = 1,2,3.4) με τυχαίο τρόπο, αρκεί π ορίζουσα του συστήματος να μπν ισούται με το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορεί και τα τέσσερα

να ανήκουν στο ίδιο τρισδιάστατο υπερεπίπεδο. Αν κατόπιν θεωρήσουμε

και τις περιmώσεις μ= 1,2,3 ακολουθώντας mν ίδια διαδικασία, κρατώντας όμως σταθερά τα διανύσματα Β ω, μπορούμε να προσδιορίσουμε όλες τις

συνιστώσες των διανυσμάτων Αω· Έ-τσι αποδείχθηκε το θεώρημα για q = 2, ενώ για να ισχύει για οποιαδήποτε τάξη, υποθέτουμε ότι ισχύει για τάξη q-1 και αποδεικνύουμε ότι ισχύει και για mν τάξη q ακολουθώντας mν προηγούμενη διαδικασία. (Σ.τ.Μ.)

10. Γενικά λοιπόν, οι αριθμοί (ή συναρτήσεις) που συμβολίζΟνται με N,i, · i, θα λέγοvrαι αvrαλλοίωτες συvrεταγμένες ενός αvrαλλοίωτου τανυστή Α τάξης

p, των οποίων το πλήθος ισούται με nP. Όταν το σύσmμα συvrεταγμένων αλλάζει από τις τιμές {χ,,} στις {χ;}, τότε ο νόμος μεταβολής των συντεταγ

μένων του τανυστή Α, θα είναι

που αποτελεί m γενίκεuσπ των εξισώσεων (8) και (9) του Αίνστάιν. Σήμερα αναφερόμαt:πε σε αυτούς τους τανυστές και ως ταvυστέs τύπου (p,O).

(Σ.-τΜ.)

ll. Πράγματι, έστω δύο τετράδες χωροχρονικών συντεταγμένων χμ =

(iJ,xΙ, χ2, χ3) και χ'μ = (χ'ο, χΙ, χ'2, χ'3) που συνδέονται μεταξύ τους μέσω των

σχέσεων Χ'μ = Χ'μ(ΧJ,χχ,χ2,χ3) και χ'μ = (Χ0,χιl,χ'2,χ'3). Θεωρούμε τα δια

φορικά τους (που έχουν το προνόμιο να μετασχηματίζΟνται γραμμικά, ακόμη

και αν ο μετασχηματισμός μεταξύ των συντεταγμένων είναι μη-γραμμικός)

dx'" = ax'" dx". axv

Οuσιαότικά πρόκειται νια το εξής αναπτυγμένο σύσmμα, με μ= 0,1,2,3 και v=0,1,2,3:

a '' a '' a '3 ax' 3

dx'3 - ~dx0 + ~dx1 + ~dx2 + --dx3•

ax0 σχ1 ax2 ax' Άρα ο νόμος μετασχηματισμού ικανοποιεί τις εξισώσεις (8) και (9) του Αίνστάιν για mν ειδική πεpίmωσπ των τετρα-διανυσμάτων: ο αναγνώστης

θα παραmρήσει εύκολα ότι αυτό το ~~α είναι ίδιο με το πρώτο από


τα τέσσερα συστήματα που συναντήσαμε κατά mv ανάπτυξη του δευτέρας τάξης ανrαλλοίωτου τανυστή. Έτσι βλέπουμε ότι όσον αφορά στο μετα

σχηματισμό ανταλλοίωτων διανυσμάτων έχουμε ένα σύστημα τεσσάρων ε

ξισώσεων, γι' αυτό και τα καλούμε ανrαλλοίωτους τανυστές πρώmς τάξης

iι πιο συνοmικά τανυστέs τύπου (1,0). Για τους τανuστές τύπου (2,0) που σχnματίφνται από δύο ανταλλοίωτα τετρα-διανύοματα, έχουμε τέσσερα συ

στήματα τεσσάρων εξισώσεων. Είναι επίσης φανερό ότι τα παραπάνω δεν

ισχύουν μόνο για τετρα-διανύσματα αλλά για κάθε διάνυσμα, που έτσι θεω

ρείται τανυστής τάξης 1. Προσοχiι όμωs στο ε{fιs: οι συνιστώσες χί ενός τετρα-διανύσματος δεν είναι συνιστώσες τανuστiι· η τανuστική φύση υ

πεισέρχεται από m στιγμή που θα θεωρήσουμε τα διαφορικά dxi που είναι συνιστώσες τανυστή τάξης 1, ο οποίος δεν είναι άλλος από m συλλογική έκφραση του διανύσματος mς aπειροστής μετατόπισης. (Σ.τ.Μ.)

12. Η αποδεικτική διαδικασία είναι ακριβώς η ίδια για τους σuναλλοίωτους τανuστές, απλά τώρα οι δείκτες είναι κάτω. Είναι σημαντικό όμως να απα

ντήσουμε στο εξής ερώτημα: Ποια είναι n οuσιώδns διαφορά ανάμεσα σε έναν ανταλλοίωτο και σε έναν συναλλοίωτο τανυστiι; Η απάντηση ανάγε

ται στn σχέση ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων διανυσμάτων. Τόσο στις

προηγούμενες σημειώσεις όσο και στο παράρmμα του βιβλίου του Riemann όπου αναλύουμε τον τανυστή καμπυλόmτας, τονίζονται οι δύο διαφορετι

κοί τρόποι προβολής ενός διανύσματος του εφαmομενικού χώρου mς υ

πό θεώρηση επιφάνειας: ο πλαγιογώνιος τρόπος προβολής οδηγεί στις α

νrαλλοίωτες συνιστώσες, ενώ ο ορθογώνιος οδηγεί στις συναλλοίωτες.

(Στους διαφορογεωμέτρες συνηθίζεται επίσης και η ορολογία διανυσματι

κές συνιστώσες [vector components] για τις ανταλλοίωτες προβολές και συν

διανυσματικές συνιστώσες [covector components] για τις συναλλοίωτες προβολές του ίδιου διανύσματος). Αυτό που χαρακτηρίζει τον πλαγιογώνιο

τρόπο προβολής είναι απλώς ότι οι συντεταγμένες αυξάνονται κατά μέτρο,

ενώ τον ορθογώνιο η ίδια η ορθογωνιόmτα. Άρα σε έναν ανταλλοίωτο τα

νυστή, οι συνιστώσες του αναπαρίστανται σε διευθύνσεις όπου αυξάνονται

κατά μέτρο, ενώ σε έναν σuναλλοίωτο τανυστiι, αυτός αναπαρίσταται από

συντεταγμένες σε διευθύνσεις που είναι οpθογώνιες σε επιφάνειες με στα

θερές συντεταγμένες. Τα προαναφερθέντα παραδείγματα των διανυσμάτων

mς ταχύτnτας και mς επιτάχυνσης από m μια αντιστοιχούν στnν πρώm περίmωσn, ενώ mς βάθμωσnς στn δεύτερη. Αν όμως είχαμε καρτεσιανό σύ

σmμα συντεταγμένων, η διεύθυνση των xi συνιστωσών σuμπίmει με m διεύθυνση που είναι ορθογώνια στnνσταθερή-xL επιφάνεια, με αποτέλεσμα να μην υφίσταται διάκριση μεταξύ αυτών των δύο τύπων διανυσμάτων, και ά

ρα τανuστών.

Σήμερα, σuνnθίφυμε να χαρακmρί<;ουμε τους συναλλοίωτοuς τανuστές

τάξης q, και ως τανυστέs τύπου (O,q). (Σ.τ.Μ.) 13. Μία βαθμωτή ποοόmτα είναι τανυστής μηδενικfις τάξης με rfJ = 1 συνιστώσα.

Άρα, όποιος και αν είναι ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων, εξ ορισμού

(p = Ο και q = 0), η βαθμωτή ποσόmτα ι::ίναι αναλλοίωm: Α' = Α. Τέτοιες βαθμωτές ποσότητες είναι (στη Νευτώνεια μηχανική) η μάζα, το μήκος, η

ενέργΕια, ο όγκος κ.λπ.


Προσοχn: ο βαθμωτός και ο αναλλοίωτος χαρακτήρας μιας ποσό

τητας είναι εfίσου σnμαvrικοί: οι συνιστώσες ενός διανύσματος είναι μεν

αριθμοί αλλά δεν είναι βαθμωτές ποσόmτες, επειδή δεν μένουν αναλλοίωτες

νια διαφορετικοuς παρατηρητές. (Σ .τ.Μ.)

14. Γενικότερα, ο μεικτός τανuστιΊς τάξης p+q, που καλείται και τανuστής τύπου (p, q). δηλαδή ανταλλοίωmς τάξης p και συναλλοίωτης τάξης q, είναι το γεωμετρικό αντικείμενο του οποίου ο νόμος μεταβολής των συντεταγ

μένων του δίνεται από m σχέση

iJ -ι iJj(iP iJXJj iJXj; Λ'• 1Ρ = ~ - - ·-- Α11;1, ~J·~.. (Σ .τ.Μ.)

J , ... J, ax'• ax'• iJX11 iJX1'

15. Εκτός από την έννοια της συμμετρικότητας και της αντισυμμετρικόmτας τανυστών τύπου (ρ,Ο) και (O,q) που αναφέρει ο Α:ίνστόιν, θα συναντήσου

με αυτές τις έννοιες και για μεικτούς τανuστές, τύπου (p, q). Σε αυτή mν περίmωσn πρέπει να καθορίζεται συγκεκριμένα σε ποιους δείκτες (του ίδιου

είδοus) αφορά η ιδιόmτα. Για παράδειγμα, ο A~np θα είναι συμμετρικός ως προς τους δUο πρώτους κάτω δείκτες, αν ισχύει

Αυτή π ιδιότητα των τανυστών δεν ισχύει για δείκτες διαφορετικού είδους.

Πράγματι, έστω ότι νια τον μεικτό τανυστιΊ τύπου (1,1), Aj. ισχίJει Aj.= Λf, στο σύστημα συνεταγμένων χ1• Σε ένα άλλο σύσmμα Χ!', οι συνιστώσες του θα δίνονται από τη σχέση

A.a = axa ax1 Αι ~ (εναλλάσσουμε τα α με β) Τύπος=>

β ax1 ax.B }

- β aχ.s axl Αι. = Α =-. -- (εναλλάσσουμε τα i με J) =>

α ax' aχα J

- β aχβ ax1

Α~# Α~ Α =-. α ax1 αχ"

Άρα στο νέο σύσmμα δεν ισχuει αυτή η ιδιότητα. (Σ.τ.Μ.)

16. Για παράδειγμα, θεωρούμε τους τανυστές ΑΜ και Β~ Ο πρώτος είναι τύπου (2,1) και έχει n2+1 = n3 συνιστώσες, ενώ ο δεύτερος είναι τύπου (1,1) και έχει n1+1 = n2 συνιστώσες. Οι νόμοι μετασχηματισμού τους είναι:

Α"β = ax" ax.B axk Αϋ r ax' ax1 aχr k '

ΒΡ = ~j(P axq ΒΡ

σ axP σχσ q

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και αναδιατάσσοντας τους όρους έχουμε

Θέτουμε


Άρα cαβρ = Ααβ j§P . yσ Υ σ

Άρα ο τανυστιίς cgg είναι τύπου (3,2) και έχει n3+2 = n5 συνιστώσες. Προ

σοχι'ι: Άσχετα από τον αριθμό των τανυστών που υπάρχουν στο εξωτερι

κό γινόμενο, πρέπει να προσέχουμε να μην υπάρχει κοινός δείκmς σε δια

φορετικούς τανυστές. Π. χ. , είναι λάθος να γράψουμε AJ· Bm C~n• γιατί επαναλαμβάνεται ο δείκmς m (Σ .τ.Μ.)

17. Η συστολή ενός τανυστιί αντιπροσωπεύει m σύλληψη μιας από τις όψεις mς συνολικής διαδικασίας που εκφράζονται σm συλλογική διατύπωση

του τανυστιί. Το αξιοσημείωτο είναι ότι εδώ ενυπάρχει και η έννοια mς συ

νύπαρξης πολλαπλών όψεων mς φυσικής πραγμaτικόmτας και των «επι

πέδων» περιγραφής mς. Όπως θα δούμε και νια το βaρuτικό πεδίο, με δια

δοχικές συστολές θα λάβουμε διαδοχικές περιγραφές του σχετικιστικού και

του Νεuτώνειου χωροχρόνου· uτt αuτnv τnv έννοια, η συστολή συνδέεται

με τους νόμους αντιστοιχίας και άρα με mν κατασκευή θεωριών, που πε

ριγράφονται από τανυστικά γεωμετρικά aντικείμενα.

Ας αποδείξουμε τώρα αυτό που αναφέρει ο Α:ίνστάιν. Δηλαδή θα δεί

ξουμε ότι η συστολή οδηγεί σε γεωμετρικό αντικείμενο με τaνυστικό χα

ρακτήρα. Έστω π. χ. ο τανυστής AIU; που είναι τύπου (3,2). Κάνουμε συστολή ως προς τους δείκτες i και I. Τότε θα έχουμε

A:=A:~+A~t+ ... +A:. Η ποσόmτα AIU; θα έχει Ν3 συνιστώσες, μιας και οι ελεύθεροι δείκτες είναι τώρα μόνο oιj,k,m, και αφού παίρνουν τιμές 1,2, ... ,Ν. Ο μετασχηματισμός του Af~ θα είναι (aφού είναι τaνυστιίς):

Θέτουμε ρ= α και αθροίζΟυμε ως προς το α= l,.,.,N. Τότε:

a-α a-β a-r :ι 1 ~ m A"Pr = ...!!...,....!!...,....!!...,.~~Aiik = ασ οΧ1 ax1 axk ax" οΧ0 Im

οχβ οχ' axm ax" οΧ1 .•

=----------Α υ = oxj oxk οχ" ax1 ax" bn

iJXP οΧ' oXm 1Jk =---Α .. οχ1 axk ΟΧ0 ιm

Άρα και η νέα ποσόmτα είναι τανυστιίς αφού υπακούει στον νόμο με

τασχηματισμού τανυστιί τύπου (2,1). Αρα είναι τανυστιίς τύπου (2,1)· Προσοχn: Η διαδικασία mς συστολής δεν ισχύει για δείκτες ίδιου εί

δουs, δηλαδή δεν προκύmει νέος τανυστιίς. Η απόδειξη γίνεται όπως πα

ραπάνω, όπου τώρα δεν ικανοποιείται ο νόμος μετασχηματισμού. (Σ.τ.Μ.)

18. Ο εσωτερικός πολλαπλασιασμός θα δειχθεί από το εξής παράδειγμα:


θεωρούμε τους δύο τανυστές Α~ και Β~. θεωρούμε το σύνολο των συναpτιiσεων Αϊ Β ~με ελεύθερους τους δείκτες i, j, q και με mν άθροιση να γίνεται πάνω στον δείκτη k = 1, ... , Ν. Αφού υπάρχουν τρεις ελεύθεροι δείκτες, ο αριθμός αυτών των συναρτιiσεων θα είναι W. Για τους δύο πρώτους τανυστές ισχύει:

a- a a-μ , q Ααβ§y = _!__!_!!}i_δk AUBw •

Υ σ iJXI iJXJ iJXσ w k q

Τώρα βωβός δείκτης είναι ο w, και η άθροιση γίνεται πάνω του. Δίνοντας τιμές από 1 έως Ν, λόγω του δ~ θα μηδενιστούν όλοι οι άλλοι όροι εκτός από αυτόν με k = w. Άρα

;ι-α .:ι- fJ .:ι q ΑαβΒy -~~~AUBk,

y σ iJXI iJXJ iJXσ k q

Συνεπώς οι Ν3 συνιστώσες AU Β~ μετασχηματίζΟνται όπως αυιές ενός τανιιστή τύπου (2,1). θέτουμε

cap ~ A,aPfir cu = AUBk. a γ σ' q k q

Ο C~ είναι το αποκαλούμενο εσωτερικό yrνόμενο των τανυστών Α~ και

Β~ Προσοχτi: Δεν υπάρχει μόνο ένας τρόπος εσωτερικού γινομένου τα

νuστών. Εσωτερικά γινόμενα των δύο προαναφερθέντων τανυστών είναι

και οι ποσόmτες Ag Βjκαι Ag Βί Επίσης μπορούμε να εξισώσουμε δύο δείκτες: έτσι οι ποσόmτες Α~ Β~και Α~ Βjείναι τανυστές τύπου (1,0) γιατί ο μόνος ελεύθερος δείκmς είναι ένας ανταλλοίωτος. Επίσης, κατά mν πρά

ξη του εσωτερικού γινομένου δύο τανuστών πρέπει να εξισώνεται πάντα

ένας ανταλλοίωτος δείκτης του ενός τανuστιi με έναν συναλλοίωτο δείκm

του δεύτερου, ενώ δεν πρέπει να υπάρχει δείκτης περισσότερες από μία

φορά. Για παράδειγμα, δεν είναι εσωτερικό γινόμενο n ποσόmτα Α~ Β~, ή Ν~ Β~. Όλες αυτές οι παραmρήσεις γίνονται ακόμη πιο προφανείς αν γuρίc;οuμε κάθε φορά στον τύπο μετασχηματισμού με τις μερικές παραγώ

γους. Απλά λέμε με άλλα λόγια τις πεpιmώσεις που δεν συμφωνούν με mν

καλή περίmωσn όπου οδηγούμαστε μέσω των δj σε μετασχηματισμό τα

νυστικής ποσότητας.

Τώρα μπορούμε να εξηγήσουμε m φράση του Αϊνστάιν, ότι το εσωτερικό γινόμενο σuνίοταται «από έναν σuνδuασμό του εξωτερικού γινομένου

με m συστολή>>: για τους προαναφερθέντες τανυστές ΑΜ και Β~ σχηματίζΟυμε πρώτα το εξωτερικό γινόμενό τους,

AgB~=ou:.


κατόπιν κάνουμε συστολή αιnού του τανυστή εξισώνοντας τους δείκτες w καιk,δnλαδή

Di}w wq •

και ταιnίc;οντας έτσι αιnόν τον τελευταίο με τον

(Σ.τ.Μ.)

19. Ο Α:ίνστάιν αναφέρεται σε αιnό που στην τανυστική άλγεβρα καλείται vό

μοs πnλίκο. Το πρόβλημα ξεκινά από το πότε οι συναρτήσεις ενός συνό

λου αποτελούν συνιστώσες τανuστή ή όχι. Ο πρώτος τρόπος είναι να εξε

τάσουμε διεξοδικά αν η καθεμία από αιnές τις συναρτήσεις μετασχnματί

ζεται σαν τανuστής, κάτω από τις αλλαγές των συστημάτων συντεταγμένων. Ο δεύrερος τρόπος είναι αιnός που παρέχει ο νόμος rmλίκο που λέει ότι αν

το εσωτερικό γινόμενο μιας οντόmτας με έναν τυχαίο τανuστn είναι τανu

στής, τότε η οντόmτα είναι τανuστής. (Με wxaio ταvuσrι'ι εννοούμε mν ποσόmτα mς οποίας τα στοιχεία δεν υπόκεινται σε οιεσδήποτε συνθήκες, ε

νώ είναι και μεταξύ τους ανεξάρmτα.) Κατ' αρχάς ο Α:ίνστάιν αποδεικνύει

αιnό τον νόμο (ή πρόταση όπως m λέει) θεωρώντας ένα παράδειγμα όπου

γνωρίζουμε το αποτέλεσμα (βαθμωτό) και έναν από τους παράγοντες (ότι

είναι τανuστής) και συμπεραίνουμε το ίδιο και για τον άλλο παράγοντα. Η

τεχνική mς από&ιξnς και για τις γενικές περιmώσεις είναι π ίδια: Γράφου

με mν εξίσωση μετασχηματισμού, εξισώνουμε με το μηδέν φέρνοντας ό

λες τις ποσόmτες στο αριστερό σκέλος, βγάφυμε κοινούς παράγοντες και

έχοντας υποθέσει τον wxaio χαρακτήρα του γνωστού τανuστή συμπεραίνουμε ότι θα μηδενίζεται η ποσόmτα σmν παρένθεση, που με m σειρά mς αποτελεί νόμο μετασχnματισμού τανuοτικι'ις ποσόmτας. Το κρίσιμο σημείο

είναι ο τυχαίοs χαρακτήρας του γνωστού τανuστή στο εσωτερικό γινόμε

νο. Γι' αυτό και ο Α:ι\ιστάιν δίνει άλλο ένα παράδειγμα, όπου διαπιστώνει ό

τι, αν για παράδειγμα έχουμε κάποια επιπλέον πληροφορία για τον «τυχαίο»

τανυστή (ότι π.χ. είναι συμμετρικός), τότε δεν μπορούμε να συμπεράνου

με ότι θα μηδενίζεται πάντα ο παράγοντας μέσα σmν παρένθεση γιατί, λό

γω συμμετρίας θα υπάρχει όρος

με D mν παρένθεση και J3ik τον συμμετρικό τανuοτι'ι τύπου (2,0) για τον οποίο γνωρίφuμε ότι δεν είναι και τόσο τυχαίος, αφού είναι συμμετρικός. Τότε

D(k,j) · Bkl = D(j,k~k

με D = D(k,J) και D' = D(j, k) τις δύο παρενθέσεις με όλους τους υποθετικούς δείκτες σm θέση τους εκτός από τους k,j που αλλάζΟυν θέση λόγω συμμετρίας. Άρα [D(k,J) + D(j, k)] Bkl =Ο κι επομένως η μόνn πλnροφορία που μπορούμε να συναγάγουμε αφορά το άθροισμα mς ποσόmτας A(k,j) +


A(j,k). αν τις σuμβολlζΟυμε με τον ίδιο τρόπο όπως οι παρενθέσεις Ο και 0'. Έτσι το άθροισμα μπορεί να είναι (συμμετρικός) τανυστiις, αλλά η ποσόmτα Α, όχι.

Παράδειγμα: Θέλουμε να διαπιστώσουμε τον τανuστικό (ή όχι) χαρα

κτήρα των ποσοτήτων A(i,j,k), δηλαδή κάποιων παραστάσεων με τρεις ελεύθερους δείκτες, όταν είναι γνωστό ότι το εσωτερικό γινόμενό τους με

τον τυχαίο τανuστή B wq τύπου (2,0), είναι τανuστής τύπου (1.0):

A(i,j,k)Bik =Ci.

Τότε θα ισχύει:

Α(α,β,y)ΉΡr =Ca-

- aχβ ax' jk axa ί ax" . . jk =>-Α(α,β,γ)-1 -kΒ --. C =-. A(I,j,k)B -

ax ax ax' ax'

- ίJj(P ίJj(Y CJXa • . . -Α(α,β,γ)-1 -k --. A(I,j,k)BJk =0

ax ax ax' Αφού ο Bik είναι τυχαίος, έπεται ότι

- .. dXP CJX' dXa . • Α(α,β,γ)-. -k =-

1 A(I,j,k).

ax1 ax ax ΠολλαπλασιάζΟυμε εσωτερικό και τις δυο πλευρές με

ax1 axk

Τότε

- axa ax1 axk . . Α(α,w,σ)=-1 ~~A(I,j,k).

ax axw axw Άρα οι A(i,j, k) είναι συνιστώσες τανuστή τύπου (1,2): Ajk.

Α ν όμως μας δίνονταν το ότι ο B1k είναι συμμετρικός τανυστiις, τότε θέ

τουμε, στα παραπάνω

. - axP ax' ax" . . O(α,j,k)=A(a,β,y)-. -k - -

1 A(l,J,k).

ax1 ax ax Τότε O(a,j, k) · Bik =Ο. Όμως θα υπόρχει όρους Ο (α, k,j) Bki που ισοίπαι με τον D(α,k,j) Bik. Άρα το μόνο συμπέρασμα που εξάγεται είναι ότι D(α,j,k) + D(α, k,j) =Ο=> (αντικαθιστώντας)

- axP ax' - axP ax' Α(α,β,γ)-. -k +Α(α,β,γ)-k - . =

ax1 σχ ax ax1

axa . . axa .. =-. A(I,j,k)+-. A(I,j,k).

ax' ax' Εναλλάσσοντας τους δείκτες β και y στον δείπεpο όρο mς αριστερής πλευράς, λαμβάνουμε

[Α(α,β,y)+Α(α,y,β)]aχΡ ax: = ax~ [A(i,j,k)+A(i,k,j)]. ax1 ax ax'

ΠολλαπλασιάζΟυμε εσωτερικά με aχι ax• όπως κάναμε και πιο πάνω

Η Γενική Θεωρία τns Σχεrικότnταs 79

και έτσι διαπιστώνουμε μόνο ότι

A(i,j,k)+ A(i,k,j) Ξ Αίk' . J

αλλά όχι καί νια τον A(i,j,k).(Σ.τ.M.)

20. Καλό θα ήταν από δω και στο εξής ο αναγνώστης να συμβουλεύεται και τις μαθηματικές πράξεις που κάνουμε στο παράρmμα του βιβλίου του Riemann, όπου ξεκινάμε από τον θεμελιώδη μετρικό τανυστή και καταλήγουμε στον

τανυστή Riemann. Δεν θα επαναλάβουμε (λόγω χώρου) τις πράξεις, αλλά θα εστιάσουμε σε εκείνα τα σημεία που θα μας βοηθήσουν να οδηγηθού

με στον τανυστή .Αίνστάιν. (Σ.τ.Μ.)

21. Επαναλαμβάνουμε, νια να αποφευχθεί η σύγχυση, ότι αν και στον τύπο

d$2 = gJNdxμdxν που αναφέρει ο Α:ι'νστάιν οι δείκτες είναι κάτω στα διαφορικά, αυτά δεν είναι συναλλοίωτα διανύσματα. Απλά ξεκινά λόγω συνήθειας με

αυτόν τον τρόπο, όπως και στην αρχή mς πέμπmς παραγράφου. Σήμερα συνηθίζΟυμε να γράφουμε ευθύς εξαρχής

με ι.ι", uβ τις συντεταγμένες (χωρική διάσταση mς επιφάνειας ίση με 2), με

α = 1,2 και β = 1,2. Α ν στην επιφάνεια με αρχικές συντεταγμένες ( u1, u2) εισαγάγουμε νέες

συντεταγμένες που συνδέονται με τις παλιές μέσω mς σχέσης ι.ι" = ι.ι" (ίί1 ,

u2), τότε οι συντελεστές Υaβ mς πρώmς θεμελιώδους μορφής θα μετασχηματισθούν ως εξής:

και

- au" auv gαβ = gμv iJU" iJUβ.

Ας το αποδείξουμε: το στοιχείο τόξου πάνω στη θεωρούμενη επι

φάνεια είναι ανεξάρτητο των συντεταγμένων της επιφάνειας κι επομέ

νως δεν μετα~%λεται όταν αλλάζει το σύστημα συντεταγμένων. Άρα θα

ισχύει · duα = ~dίi1 (α= 1,2). Εισάγουμε αυτή m σχέση στην aίi"

au" auβ ds2 = g du"dufi ~ ds2 = g -du" -dίiv =

αβ αβ au" auv

au" auβ d-μd-ν - d-"d-v ' θ' =g -- u u =g u· u, οπου εσαμε αβ au" aiiv μν

_ au" auP gμν = gαβ iJii" auv. Αντιστρόφως, πηγαίνοντας από το νέο σύστημα συντεταγμένων στο παλιό,

jjα = ίi"(ul,u2), α= 1,2, παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, ακολουθώντας mν ίδια διαδικασία,


Τώρα, εύκολα μπορούμε να παραmρήσουμε ότι αυτές οι εξισώσεις μετα

σχηματισμού, έχουν μορφή ίδια με aυrή του μετασχηματισμού ενός συ

ναλλοίωτου τανυστή, όπως τον εισήγαγε ο Α:ίνστάιν στην προηγούμενη πα

ράγραφο, τύπου (0,2). (Σ.τ.Μ.) 22. Αν Α= [a;) είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τάξnς n και θεωρήσουμε τον

τετραγωνικό πίνακα τάξnς n-1 που λαμβάνεται από τον Α αν διαγράψουμε mν i-γραμμή και mν j-στήλη του, τότε η ορίζΟυσα aυτού του πί

νακα που είναι τάξης n-1 αποκαλείται ελάσσων ορίζΟυσα του στοιχείου αϋ μέσα στην ορίζΟυσα του Α. Ο σuμπαράyοvταs του στοιχείου αij συμβολί

ζεται με Nj και ορίζεται ως ( -l)i+j φορές η ελάσσων του αϋ.Γι' αυτό και n ορίζΟυσα ενός πίνακα μπορεί να αναπτυχθεί τόσο στην mν ί-γραμμή όσο

και σmν i-στήλn (πρόκειται νια m μέθοδο που έχουμε aποστηθίσει aπό το λύκειο). Συνοmικά, ο πρώτος και ο δεύτερος τρόπος ανάπτυξης, γρά

φονται, αντίστοιχα

n

(1) 6 ίk detA= αlkA , I

με i = l, ... ,n. θεωρούμε τώρα τις εκφράσεις n

(2) S=6αAjk ik . ι

και

Εύκολα διακρίνουμε ότι n έκφραση S (αντίστοιχα n Ρ) συμβολίζει mν ορίζουσα ενός πίνακα που λαμβάνεται από τον Α αντικαθιστώντας mν }-γραμ

μή του (aντίστοιχα mν j-στήλn του) με mν ί-γραμμή του (aντίστοιχα με mν

ί-στήλη του). Επειδή τώρα η ορίζΟυσα ενός πίνακα με δύο ίδιες γραμμές ή

στήλες, μηδενίζεται, θα έχουμε

με i,j = l , ... ,n. (0 αναγνώσmς μπορεί να το ελέγξει ξεκινώντας, π.χ., με έναν πίνακα

2 2). Περνάμε τώρα aπό m θεωρία οριζΟυσών στα όσα έχουμε πει για τους

τανυστές δευτέρας τάξης. Έστω Au ένας συμμετρικός σuναλλοίωτος τανυστής με det (A;);f(). Έστω B!i ο συμπαράγοντας του στοιχείου A;j στον πίνακα (Αϋ) διαιρεμένος με mν ορίζουσα του (Αϋ):

(5) Bij = (συμπaράγοντaς A;}/det(Aϋ).

θα δείξουμε ότι οι ποσόmτες Βϋ είναι στοιχεία ενός aνταλλοίωτου συμμετρικού τανuστή. Η τελευταία σχέσn των εξισώσεων (4), γράφΕται ως εξής,

με τον τανυστικό συμβολισμό που έχει εισαχθεί στα προηγούμενα:

(6) A.Πik =δk i) ).


Έσιω Ci wχαίο αvιαλλοίωτο διάνυσμα και έσι~

Επειδήj = l, ... ,N, η τελευταία σχέση αποτελεί σύστημα Ν εξίσωσεων με Ν αγνώστους (τα C1). Επειδή det(Aij) ;oQ υπάρχουν μοναδικές λύσεις για τα α,

εκπεφρασμένες ως προς τα D i Αρα το D i είναι αυθαίρετο συναλλοίωτο διάνυσμα. Θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο του Di με το Bik:

Τώρα εφαρμόζΟυμε το νόμο πnλίκο που αναφέραμε. Το εσωτερικό γινό

μενο του Bik με το wχαίο διάνυσμα Di δίνει ένα διάνυσμα Ck. Άρα ο Bik εί·

ναι τανυσπΊs. Επιπλέον, αφού σε έναν συμμετρικό πίνακα (Ai) ο συμπαράγοvιaς του AiJ είναι ίδιος με τον συμπaράγοντa του AJi' τότε n εξίσωση (5) δείχνει ότι και ο BiJ είναι συμμετρικόs. (Παρόμοια αποδεικνύεται και για

τον πίνακα Αϋ, αν ορίσουμε

(9) EiJ = (συμπαράγοvιας B!ι)/det(BiJ),

διαπισιώνοντας έτσι, ότι Ευ= Αϋ.

Δύο τανuστές που ικανοποιούν m σχέση (6) αποκαλούvιαι σιιζUΥΕίς. Προφανώς, όταν ο AiJ έχει m μορφή πίνακα, τα στοιχεία του συζυγούς του τανυστiι, ΒίJ, είναι τα στοιχεία του αvιίσιροφου πίνακα του Ni. Άρα, ένας συμ

μετρικός τανυστής δευτέρας τάξης διαθέτει σιJζUγiι τaνυστiι αν και μόνο αν

n ορίζΟυσά του διαφέρει από το μηδέν. ΟρίζΟυμε τώρα, ως gϋ τον αvιαλ

λοίωτο τανυστή που είναι συζυγής του giJ' Έτσι τώρα θα έχουμε

(10) giJ = gii = (συμπαράγο,ηας του gυ)f g.

Με g = det(gi}· "Ετσι n εξίσωση (7), λόγω τnς (6), γίνεται

Είναι προφανές ότι ο πίνακας [gi~ είναι ο αvιίοτροφος του [gJ. Στο παράρτημα του βιβλίου του Riemann, γίνεται ακόμη πιο φανερό, ακολουθώvιας δια· φορετική ανάλυση, ότι οι ποσόmτες giJ και gϋ είναι οι δυο όψειs του ίδιου vομίσμαrοs: mς δυικής (ή δισυπόστamς) aντιμετώπισης του ίδιου εφα

mομενικού διανύσματος ως προς τις δύο βάσεις που γεννούν τον εφα

mομενικό χώρο, δηλαδή των διανυσμάτων mς ορθογώνιας και mς πλα

γιογώνιας προβολής. Επειδή τώρα τα ~ ή ~με το συμβολισμό του Αϊνστάιν ισούvιαι με Ο για ν;rμ και 1 για ν = μ, καλούvιαι από τον Αίνστόιν ως οι συ-

νιστώσες αυτού του δισυπόσrατοv μεικτού θεμελιώδους τανυστή. (Σ.τ.Μ.)

23. Ο Carl Gustav Jacob Jacobl (1804-1851) νεννl'ιθnκε στο Πότσνταμ από εβραίους γονείς. Εισάχθηκε σια Μαθηματικά διαβάφvιας εργασίες του

Etiler. σπούδασε Μαθηματικά mn ΒFnnλίνο κnι έλαβι,- fΚΙΞί το διδακτορικό


του στα 1825. Έπειτα από δύο χρόνια διδασκαλίας στο Βερολίνο εκλέχmκε έκτακτος καθηγητής στο Kδnigsberg και ύστερα από δύο χρόνια τακτι

κός. Στα 1829 δημοσίευσε τα Νέα Θεμέλια τns Θεωpίαs των Ελλειmικών Συναpτiισεων (Fundamenta Ν ο να Theoriae Functionum Ellipticarum), αποκτώντας έκτοτε φήμη για τις έρευνές του και στις συναρτήσεις-θ. Με

τά m δημοσίευση αυτού του βιβλίου του, ταξίδεψε συναντώντας τον Gauss στο Gδttingeη, τον Legendre, τον Fouήer και τον Poisson στο Παρίσι, ενώ στα 1842 συμμετείχε (μαζί με τον συνεργάm του F.W. Bessel) σε συναντήσεις mς Βρετανικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Είχε m φήμη μεγάλου δασκάλου (σε αντίθεση με τον Gauss που σιχαινόταν m διδασκαλία προτιμώντας mν έρευνα). Λόγω mς εντατικής εργασίας του αρρώστησε βαριά και mν ίδια χρονιά (1842) επισκέφθηκε mν Ιταλία για ανάρρωση, όπου και τον βρήκε μία πρόσκληση mς πρωσικής κυ

βέρνησης να μετακομίσει σΊο Βερολίνο, όπου και πέθανε στα 1851. Ο πίνακας του Jacobi είναι γνωστός ως αυτός που έχει στοιχεία του ό

λους τους συνδυασμούς των μερικών παραγώγων των συντεταγμένων, κα

τά το μετασχηματισμό από παλιές σε νέες συντεταγμένες. Για παράδειγμα,

μεταβαίνοντας από τις καρτεσιανές (χ1 ,χ2) στις πολικές (r,φ) συντεταγμέ

νες, ο Ιακωβιανός πίνακας είναι ο

(~~) (συνφ -mμφ~ ar aφ I I I

I 2 2 I ~ I . I l a~ a;φ ) l πμ φ rσυνφ)

αφού η σχέση καρτεσιανών συντεταγμένων ως προς τις πολικές, είναι

χ1 = ruυvφ και χ2 = rημφ. Όταν τώρα ο Αϊνστάιν χρησιμοποιεί m φράση <<θεώρημα του Jacobi»,

εννοεί αυτό που σήμερα καλείται στα διάφορα ενχειρίδια μαθηματικής α

νάλυσης ως Θεώpnμα Αντίσrροφns Συνάρτnσns: Δεδομένων δύο σuστn

μάτων συντεταγμένων που συνδέονται μεταξύ τους, με κάποιο μετασχη

ματισμό, και με τον Ιακωβιανό πίνακα διάφορο του μηδενός, γιά κάποιο ση

μείο του νέου συστήματος, υπάρχει περιοχή γύρω από το σημείο όπου οι

συντεταγμένες του νέου συστήματος να μπορούν να εκφραστούν σε σχέ

ση με τις παλιές, και με νέο Ιακωβιανό πίνακα των σημείων αυτής mς πε

ριοχής τον αντίστροφο του αρχικού. (Σ.τ.Μ.)

24. Ο υπερβολικός (ή uπερβολοειδής) χαρακτήρας του χωροχρονικού συνεχούς οφείλεται στο ότι ο πραγματικός χώρος R4 είναι εφοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο

(1)

με Χ= (Χ1• Χ2 , Χ3• Χ4). Υ= (Y1,Y2.y3,y4) δύο τετρα-διανύσματa aυτού του χώρου. Αυτός είναι ο χώρος Minkowski (1864-1909) και χαρακmρίζει mν περιγραφή mς ειδικής θεωρίας mς σχετικόmτας. Ο μετρικός τανuστής ορί

ζεται όπως έχουμε πει από όλους τους συνδυασμούς των εσωτερικών

Η Γεvικit Θεωρία τns Σχετικότnταs 83

γινομένων των διανυσμάτων mς βάσης του χώρου που περιγράφει (βλ. και

στο βιβλίο του Riemann, Παράρmμα). Άρα ως προς m συνηθισμένη βάση του 14, {e1, e2, e3, e4}, με e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e

3 = (0,0,1,0) και e

4 =

· (0,0,0,1), π σχέση (!) δίνει

g11 ~ g(e

1,e

1) ~ (1,0,0,0) ·(1,0,0,0) ~ 1

g22

= g(e2,e

2) = (0,1,0,0) ·(0,1,0,0) = 1

g33

~ g(e3,e) ~ (0,0,1,0)·(0,0,1,0) ~ 1

g 44 ~ g(e4,e4) ~ (0,0,0,1ΗΟ,Ο,Ο,1) = -1

(1

···[~ ο ο 1 ο

ο 1

ο ο

Η ορίζΟυσα αυτού του πίνακα ισούται με -1. Γι' αυτό και γράφουμε F-g αντί για ,(g, προκειμένου να είναι πραγματικός αριθμός:

(Σ.τ.Μ.)

25. Ουσιαστικά εδώ γενικεύεται αυτό που διαπιστώσαμε σε προηγούμενες περιmώσεις: μπορούμε να μεταβαίνουμε από τις συναλλοίωτες στις ανταλ

λοίωτες συνιστώσες (και αντιστρόφως) παίρνοντας το εσωτερικό γινόμε

νο των συνιστωσών με τους μετρικούς τανuστές. Με mν πράξη

που αναφέρει ο Α:ίνστάιν, λέμε ότι ανεβάζουμε δείκτεs ενώ με mν πράξη

λέμε ότι κατεβά;;οuμε δείκτεs. Γενικά π πρώm πράξη γίνεται μέσω του gaP και π δεύτερη μέσω του g013• (Ο αναγνώσmς δεν πρέπει να ξεχνά τις τρεις

«πράξεις πολλαπλασιασμού τανuστών» που έχουν προαναφερθεί.) Αυτή η

διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Δηλαδή, συνδυάζΟντας αυτές τις πράξεις μπο

ρούμε να ξαναγυρίσουμε στον τανυστή από τον οποίο ξεκινήσαμε. Π.χ.:

Θεωρούμε τον μεικτό τανυστή Ae. Τότε:

Δηλαδή ξαναπήραμε τον αρχικό τανuστή.


Παραδείyματα (πpos εfοικείωσn):

g Arafi = Α αβ g g Nafi = Α β ~ k' ~ = b

Πολλοί συγγραφείς προτιμούν, λόγω των παραπάνω, για να μην μπερ

δεύονται, να γράφουν

Aa ... wi ... z αντί για Α~::';.

θέτοντας τον πρώτο ανταλλοίωτο δείκm μετά τον τελει.παίο συναλλοίωτο.

(Σ.τ.Μ.)

26. Έστω Α η μονοδιάσταm καμπύλη που συνδέει τα σημεία Ρ και Ρ'. Αφού είναι μονοδιάσταm, οι συντεταγμένες των σημείων mς μπορούν να εκφρα

στούν μέσω μιας συνεχούς (αν π καμπύλη δεν τέμνει τον εαυτό mς) πα

ραμέτρου, τ:χi = χi(τ). Από το σημείο xi μέχρι Το x4-dxi, π τ θα μεταβλη

θεί μέχρι mν τιμή r+dr. Το διάσmμα μεταξύ των σημείων mς καμπύλης θα δίνεται από m σχέση

2 j j cJxi cJxl 2 ds =gdxdx =g--dτ.

Υ Υ dτ dτ (1) Άρα «αθροίζοντας» αυτές τις μικρές μεταβολές ds, κατά μήκος όλης

mς καμπύλης Α, θα λάβουμε το ολικό διάστημα μεταξύ των Ρ και Ρ':

(2) dx' cJxl g .. --dτ.

Υ dτ dτ

Ο Αίνστάιν θεωρεί ως δεδομένη mν αρχή του λογισμού των μετα

βολών των Eίiler-Lagrange, μέσω mς οποίας μπορούμε να πάρουμε τις

διαφορικές εξισώσεις μιας διαδρομής σαν m ΡΡ', κατά μήκος mς οποίας, το διάσmμα μεταξύ των Ρ και Ρ' είναι ένα ακρότατο. Αυτός είναι και ο ορι

σμός mς γεωδαισιακής. Η λέξη ακρότατο παραπέμπει σmν τιμή του ολο

κληρώματος (2), που όντας σταθερή, η μεταβολή mς είναι μηδενική (βλ. εξ.

(20) του βιβλίου). Σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο Κλασικής Μηχανικής, αποδεικνύονται οι ε

ξισώσεις Etiler-Lagrange,

(3) at d ( at \ . ax1 - dτ l ax1 ) = Ο, ι = l .. ·• n

με f = ds και χ1 = dx' . (Βλ., για παράδειγμα στο θεμελιώδες συγράμμα dτ dτ

των L. Landau και Ε. llichitz, Mnxavικr'l, μτφρ. Π. Παπαγιαννακόπουλου,

εκδ. Θεοχαρίδη, Αθήνα 1971). Ουσιαστικά ο Α'ίνστάιν εισάγει το ds/dτ στις εξισώσεις (3).

ίJf a ( ds\ . _ _i_(~ dx' dx1 \ _

-. =-ι-)= (λογωmςl) -, il gπ d d J-iJX1 ί)Χ1

\ dτ σ Χ τ τ

Η Γενική Θεωρία τns Σχετικότnταs

(4)

(5)

(6)

σι 1 agjk . k . j ~-.=---.χ χ.

ax' 25 ax'

i!f iJ ( dx1 dxj \ 1 . ax1 = ax1 l g•dτdτ J =-;gπχ1

d ( at \ 1 .. j sxj 1 agπ . k • j

dτ ~ aχί) = -; gπχ - gπ Υ+-; axk χ χ ·

Αντικαθιστώντας τις (4), (5), (6) στην (3), παίρνουμε:

1 , 1 "·j 1 iig ugik ·k · J .. j SX ij ·k·j Ο

---χ χ --g χ +g - --- x χ = 25 ax' s q !ι 52 s axk

(7)

85

Θεωρούμε σαν παράμετρο τ το τόξο s. Τότε οι παράγωγοι απλο

ποιούνται ως εξής:

s = ds = 1 και s = Ο. ds

Άpα n (7) απλοποιείται ως εξής:

(Β) 1 ag"' dxk dxj d 2xj ag. dxk dxj 2 iJX1 d5d5-g• ds2 - axk dSdS=O.

Στο παράρmμα του βιβλίου του Riemann, αποδεικνύουμε τις σχέσεις

(9) Γ I( σgik agjk agu\ m

ijk =2l axj + ax1 - axk) =Γugmk.

Εισάγοντας mν (9) στην (8) και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα σύμβολα Γ'ί}

είναι συμμετρικά ως προς τους δύο κάτω δείκτες,

(10) Γij= Γ]l

(βλ. σχέσεις (5) έως (11) του παραρτήματος του Riemann) λαμβάνουμε

dz Χι ι dxj dxk --+Γ. ·- -=0. ds2

jk ds ds (11)

Ο σύγχρονος συμβολισμός για τα σύμβολα Christoffel, σε αντιστοιχία με mν εξίσωση (23) που χρησιμοποιεί ο Α:ίνστάιν, είναι

(12)

Τα Γ~v = {μν,τ} και Γ ιινa = [μν,α] καλούνται σύμβολα Christoffel δεύτερου και πρώτου είδους, αντίστοιχα.


Παράδειyμα:

Έστω ότι σε ένα χώρο Riemann το σuναλλοίωτο μετρικό τανuστικό πε

δίο έχει συνιστώσες

ΑυπΊ η πολλαπλόmτα προσιδιάζει με μία επιφάνεια μέσα στον τρισδιάστατο

χώρο. Η ορίζουσα του μετρικού τανυοτή ισούται με

Ο συζυγής gϋ θα έχει συνιστώσες

gϋ = (συμπαράγοντας gi1) I detgϊ ==?

==? g11 = [4/(l+x2+y2)2]/[16/(l+x~+y2J4] = = (l+x2+y2)2/4 = 9zz, και 912 = g21 =ο.

Από τις σχέσεις (9) υπολογίζΟυμε τα σύμβολα Chήstoffel:

ΓιιΙ = gJΙΓnι = gnΓ111 + gΙ2ΓΙΙ2 = gΙΙΓ111

Γ 2 22Γ Γ ι nΓ Γ 2 22Γ => 11 = g 112' 12 = g 121' 12 = g 122'

Γ2ι 1 = g11 Γ2ιι•Γ2/ = g22Γ2ι2•Γ221 = gnΓ22ι•

Γ 2/ = g22Γ 222'

1 σgn 8 I ( 2 2 )3 Γ =---=- Χ 1+Χ +Υ , ω 2 ax

li!gll 8 1(1 2 2)3 Γ =--- -= Υ +Χ +Υ 112 2 ay

Γ122 =Γ 212 = Γιn =-Γ 221

Συνεπώς: rl; = Γι; =r2; = -Γ212 = -2χ/(1+Χ2 + y2)

Γ1~ = Γ2\ = Γ2~ = - r,; = -2y /(l+X2 + Υ2 ). Προχωράμε τώρα στον προσδιορισμό των γεωδαισιακών αιm'ις mς πολ-

λαπλόmτας. Από mν εξίσωσn των γεωδαισιακών

d2χι 2 k dχι dxj - 2 +Σ r .. --d =0, k=I,2, ds ,

6_1 ~ ds s

πα[ρνοuμι:, αναλυτικά, τ σύσmμα

Η ΓεvικιΊ Θεωρία τns Σχετικότnταs

Αντικαθιm:ώντας τις τιμές των συμβόλων Chήstoffel, έχουμε:

d 2x 2χ ( dx\ 2

4y dx dy +

ds2 - 1 + χ2 + y 2 ~ ds ) - 1 + χ2 + y 2 ds ds

2 d2y 2y ( dx\ 4χ dx dy ds2

- 1 + χ2 + y 2 ~ ds) - 1 + χ2 + y 2 ds ds

Θέτοντας για βολικότητα,

dx -=Ζ' ds

dy -=ω' ds

2χ 2 2 = A(x,y)

l+X +Υ

2y ( ) βλέπουμε ότι το προηγούμενο σύστημα -----,"----,- = Β χ' Υ , 1 + χ2 + y 2 εξισώσεων γράφεται ως εξής:

dz 2 2 2 -=Az + Βzω-Αω ds

dω = Βω2 + 2Αzω - Bz2

ds

87

Αυτές είναι οι εξισώσεις των γεωδαισιακών, όπου η επίλυσή τους είναι

πρόβλημα, πλέον, της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. (Σ.τ.Μ.)

2 7. Μετά την εδραίωση της έννοιας του τανυm:ικού γεωμετρικού αντικειμένου, ως συλλογικής διατύπωσης επιμέρους μεταβολών της ίδιας οντότητας, εί

ναι φυσιολογικό το πέρασμα στους νόμους της μεταβολής του: μιλάμε

πλέον για τη μεταβολή των ίδιων των συλλογικών διαδικασιών, n οποία θα εκφραστεί μέσω των εννοιών της απόλυτης και της συναλλοίωτης διαφό-

pιοnc. Το πρόβλημα είναι ότι n διαδικασία mς διαφόριοnς (ή παρανώνισnς) πρέπει να ορισθεί έτσι ώm:ε n παράγωγος οποιουδήποτε τανυστή να είναι πάλι τανυστής. Η απόλυτη διαφόριση τανuστή πρώτης τάξης ορίζεται ως

εξής: αν aP είναι ανταλλοίωτο διάνυσμα με συνιm:ώσες της ul, u2, και ιf' =


u" (U1, ϊϊ2) (α= 1,2) ένας επιτpεmός μετασχηματισμός του συστήματος συντεταγμένων, τότε, με βάσn όσα έχουμε πει προηγουμένως,

ΠαραγωγίζΟυμε ως προς ίίΡ:

(1) iiίi" i!αβ i!U" k i! 2ίi" i!U" -=--+α -----. aίίρ au" aίίρ aukaua aίίρ

Εξετάζουμε τώρα το πώς μετασχηματίζΟνται τα σύμβολα Christoffel β' είδους. Στο παράρmμα του βιβλίου του Riemann έχουμε δείξει τους aποκαλούμενους τύποvs τον Gauss:

2-

(2) χ β = ~β = Γβχ +b }ι, (α, β= 1,2) u ίJU" ίJU α γ α,, ,

(Πρόκειται για mν εξίσωση [12] του εκεί παραρτήματος.)

Στο νέο τώρα, σύστημα συντεταγμένων, τα νέα σύμβολα Christoffel, β' είδους ζ~ ως προς τις συντεταγμένες fil, fi2 θα ικανοποιούν το αντίστοιχο σύστημα εξισώσεων με το (2):

(3)

aίί1 ax Χα = Χ--=-α = Χ 1 i!U" ίJUP aβ

(4) Επειδή

_ aa'- aίί' _ i! 2 ίί" =Χ-_--+ Χ_--· -,

λ, ίJU" i!Uβ σ ίJU" ίJUβ

Η (4) λόγω mς (3) δίνει:

(3)

ΞαναθυμίζΟντας αυτό που έχουμε πει στο βιβλίο του Riemann, ότι δηλαδή τα λ\, χ2 , Ν είναι γραμμικώς ανεξάρmτα, έπεται ότι ο συντελεστής του καθενός τους στο δεξί σκέλος των εξισώσεων (2) και (5) πρέπει να είναι ίδιος. Άpα, εξισώνοντας, έχουμε:

(6) - 0 - ίiίίλ ίiίί ' - ίi 2ίί" Γ χ =Γ x _--+X_---

ap ' 1' σ iiu" i!UP σ i!U" i!UP

(7) Προφανώς ισχύει - i!ίί" Χ = Χ_-,

r σ au'

Η (6) λόγω mς (7), δίνει:

(8)

Συνήθως οι τύποι (8) καλούνται τύποι του Christoffel. ΞαναγυρίζΟυμε


om σχέση (1) και ανηκαθιστούμε τις δεύτερες παραγώγους μέσω των συμβόλων Chήstoffel mς οχέσnς (8) (εξομοιώνοντας τους δείκτες):

=>[aντικαθιστώντας σmν (8)] =>

i!ίi" aαΡ i!u" i!ίl" ( ίJU" ίJίl' ίJίl ' \ ίJu" -=---+αkιrΡ --Γa __ J_· ί)ί]Ρ i!U0 iJUP i!Uβ \ "" i!Uβ " iJUk iJU" iJUP

Προφανώς ισχύει

(9) Άρα

ΣυμβολίζΟυμε

(10)

(ll)και

Τότε η (9) γράφεται

(12) -α β ίJϊί α au" α,=α , --.

" " au1' auP iJU11 iJίiP

ΠολλαπλασιάζΟυμε και τις δύο πλευρές mς (12) με --=---., aθpoίiJUa i!U'

ζουμε ως προς α και ρ και χρησιμοποιούμε τη σχέσn που έχουμε προανα-

φέρει:

au" au' ---::y -ρ = δ;. Επομένως au au

-α iJU" iJUP β CJUa ίJU11 iJU 0 iJUP α --=α ----=

,ρ i!ίi" i!Uv ·" i!Uβ i!ϊί" ίJίl'' i!Uv

au" aap αΡ = Cϊ" --

,ν ,ρ aίl" auv

Συνεπώς οι ποσόmτες αβ σ είναι συνιστώσες μεικτού τανυστή δευτέρας

τάξης ως προς τις ul ιil. Αυrός ο τανυστής είναι π aποκαλούμενη σνναλλοίωm παράyωyοs του αvταλλοίωrου διαvύσμaιQS αβ ως ΠDOC τον τονι JιΠΙ1 auρ· Η

Λέ~n «συναλλοίωm~~ οφείλεται στο ότι αυτός ο νέος τανυστfις εχει ενaν . επιπλέον συναλλοίωτο διίκτπ. ΑVΊiσιuιχο οpί;;ετaι και n συναλλοίωτn

90 Άλμπερτ Α:ίνάτάιν

παράγωγος ενός συναλλοίωτου διανύσματος ~- Η γενίκευσn ακριβώς mς

προηγούμενης διαδικασίας μάς οδηγεί στην απόλυm διαφόρισn ενός τανυστn

ανωτέρας τάξης. Όπως αναφέρει και ο Αίνστάιν, ξεκινώντας mv παρούσα παράγραφο, η συναλλοίωm παράγωγος ενός τανυστή μηδενικής τάξης

(βαθμωτού μεγέθους) ορίζεται ως

Αυτή είναι η κλίσn του βαθμωτού φ. Για έναν μεικτό τανυστή τύπου r+s, ο γενικός τύπος της συναλλοίωmς παραγώγου του ως προς τον τανυστή 9aβ

είναι α β, ... β, = α1 ••• α, ,σ

s +Σ α Ρι···Ρο- ι "Ρο.ι···Ρτ. Ρ, ,

α 1 ••• αr Ασ

δ ... l

που είναι οι συνιστώσες τανυσrfι τάξης r+ s+ 1, συναλλοίωmς τάξης r+ 1 και ανταλλοίωmς τάξης s. Απλή εφαρμογή του παραπάνω γενικού τύπου για τις συναλλοίωτες παραγώγους των τανυστών aaf3" και aaβ. οδηγεί σε δύο λιγότερο τρομαχτικές σχέσεις:

iJα β α =-"--α Γ'

αβ,σ auσ yβ βσ

που συμπυκνώνει ο Α:ίνστάιν στη σχέσn (27).(Σ.τ.Μ.)

28. Με εξωτερικό πολλαπλασιασμό του διανύσματqς με αυθαίρετες συνιστώσες An, Α12,Α13,Α14, με το διάνυσμα με συνιστώσες 1,0,0,0, δημιουργούμε έναν τανυστή με συνιστώσες

An Α,2 Α,3 Α,4

ο ο ο ο

ο ο ο ο

ο ο ο ο.

Προσθέτοντας τέσσερις τανυστές αυτού του τύπου λαμβάνουμε τον τανυ

στή Αμν• με οποιεσδήποτε αποδιδόμενες συνιστώσες. (Σ.τ.Σ .)

29. Στην ενδέκατη παράγραφο, ο Α:ίνστάιν αναφέρεται σε ιδιότητες του μετρικού τανυστή που θα χρησιμεύσουν ως ταυτότητες για τη διατύπωση του τανυ

στή καμπυλόmτας του Riemann, ο οποίος θα τον οδηγήσει, με m σειρά του, στη δωδέκατη παράγραφο, σε αυτή την ποσότητα που σήμερα αποκαλούμε

ταvυοτfι Αί'vοτάιv. Όπως μπορεί να διαπιστώσει ο αναγνώστης, έχουμε fιδn αποδείfει τον τiιπο yια το μετασχnματισμό των συνιστωσών τον τανυστιi

καμπuλότnταs oτnv πρέπουσα θέσn του, δnλαδiι οτο παράρτnμα του βι

βλίου του Riemann. Έχοντας λοιπόν αυτό ως δεδομένο, θα οδηγηθούμε

Η Τεvικfι Θεωρία rns Σχεrικόrnrαs 91

αναλυτικά στις συνιστώσες του τανυστή Αϊνστάιν, κάνοντας διεξοδικά τις

πράξεις που απλώς περιγράφει ο Αϊνστάιν στn δωδέκαm παράγραφο. Ο

αναγνώστnς που είναι εξοικειωμένος με το φορμαλισμό θα διαπιστώσει

ότι οι ιδιόmτες των σχέσεων mς ενδέκαmς παραγράφου και οι αποδεί

ξεις τους βρίσκονται στn διαδρομή αυτού του υπολογισμού. Γι' αυτό και

προτιμήσαμε να τις ενσωματώσουμε εξ ολοκλήρου σε μία ενιαία υπο

σημείωση.

Ξεκινάμε λοιπόν από τον συναλλοίωτο τανυστή καμπυλόmτας του Riemann:

i) (! R =-Γ --Γ +Γ σΓ -Γ σr .

μαβv auβ αvμ au\' αβμ α{J μνα αν μβα

ΈτσιRμaβν=

ΟρίζΟυμε:

+ gαβ gρσΓ μ~Γ α; '

Θέτουμε για βολικότnτα rσ .. g"βΓap· Τότε , ο τελευταίος όρος του Rμv γράφεται:


g"β g Γ ΡΓ σ = g Γ ρΓσ. ρσ μν αβ ρσ μν

Θέτουμε πάλι για συντομία Γ pa = g ρ[ σ. Έτσι ο προηγούμενος όρος γράφεται:

Θα προσπαθήσουμε τώρα να εκφράσουμε τις δεύτερες παραγώγους του

g μν στον Ίύπο του Rμν συναρτήσει μόνο των πρώτων παραγώγων του Γ p' Για

να γίνει aυτό, θα χρειαστούμε κάποιες εξισώσεις που θα aποδείξουμε. Στα

προηγούμενα έχουμε μιλήσει για m συνaλλοίωm παράγωγο τaνυστή. Γράφουμε λοιπόν εκείνη τη σχέση για τον 9μv

- ag,.,,- Γ ρ- Γ ρ gμv,β- auβ gpv μβ gμρ νβ'

Ένα θεώρημα (ή κατ' άλλους λήμμα) που απέδειξε ο Ricά λέει ότι 9μν,β =Ο.

Πράγματι,

agμv g =---Γ - Γ

μν,β a uβ μvβ νβμ.

έπεται agμv 1 agμv 1 agβv 1 agμβ

g =----------+---μv,β auβ 2 auβ 2 auμ 2 au"

1 agvμ 1 agβμ 1 agνβ --------+---

2 auβ 2 au" 2 au"

= agμv- agμν =ο. auβ auβ

Όμοια aποδεικνύεται ότι gμv.!i =Ο. Άρα, αναλυτικά

a "'' __ff__ + gρ"Γ " + g""Γ v = 0. auβ ρβ ρβ

Ε, Γ Γ (' ' ' ' 'δ ξ ) ag μν ινaι: μνβ+ νβμ = οπως φaινετaι aπο την πaρaπaνω aπο ει η = --β

Καθώς επίσης, au

Η Γενικiι Θεωρία τns Σχετικότnταs 93

Γ =Γ ρ =~( ag ... , + agfi, - ag.ιιfi \ "β" μβgρ•· 2l auP auβ au' ) ·

Άρα r " =! g'"' (l ag'P + ag•·P - agρβ \J. Pfi 2 aufi σuΡ au'

Αντίmοιχα και για ΊΟ Γρβv Αντικαθιστώντας Ία Γρβμ και Γρβv mη σχέση

gμv,β =Ο, μετά Ίις aπλοποιήσεις, που είναι ανάλογες mς προηγουμένης από

δειξης του θεωρήματος Ricό, λαμβάνουμε m σχέση

ag"" ag __ + g·"P g "o ___!!!!_ = ο =;>

aufi auP

=;. _a (g'"' g ) = ο. auP ""

Ας θυμηθούμε τώρα όσα έχουμε πει για το σuμπαράγοντα στη θεω

ρία οριζΟυσών. Θα ορίσουμε τώρα mν έννοια της παραγώγου μιας ορί

ζουσας. Α ν τα mοιχεία aij ενός πίνακα είναι συναρτήσεις μιας παραμέτρου

s, τότε, αναπτύσσοντας πλήρως mν ορίζΟυσα με τους ελάσσονες πίνακες,

μπορούμε να παραγωγίσουμε τα τελικά γινόμενα (ο αναγνώmης μπορεί

να ξεκινήσει, π. χ., με μία ορίζΟυσα 3χ3, και να mν αναπτύξει ως προς μία

γραμμή ή μία Οίι'ιλη). Επαγωγικά, ο γενικός τύπος mον οποίο καταλήγουμε

είναι ο

~(detA)= .ΣA0 (ldau)\· ds 0•1 ds

Για τον μετρικό τανυστή, έχουμε πει ότι ισχύει: gμv = gvμ = (συμπαρά

γοντας του g μ) Ι det g. ΕφαρμόζΟντας τον κανόνα για mν πα-ραγώγισn των οριζουσών, νι' αυτόν τον τανuσm gμv,

dg = detg"vdgμv =>

1 ag μΙ• agμv =*--=g --

g au" au" a ag

Άρα -!og(-g)= g'"'__E..., au'" auα

Επειδή τώρα _a_ (g.ιι •· g ) =Ο= aufi ··•

1 a σ ,.,. =;. - __!!__ = - g _!Ι_. Έχουμε προαναφέρει ότι

g au" μv au"


Άρα Γ ~ =_!_g~=-0-log(.,Γ-i). ω 2 au" au"

Από τον ορισμό της συναλλοίωmς παραγώγου ενός διανύσματος Ν,

έχουμε:

Α" = iJA'' +Γ "Α", ,μ auμ αμ

που είναι μεικτός τανυστής δευτέρας τάξης. Κάνοντας συστολή ως προς μ

και ν έχουμε

DivA =Α" = aA'' +Γ ''Α", ,v auv αv

(πρόκειται για m γενίκευση mς τετραδιάσταmς απόκλισης). Άρα, με όσα προείπαμε για τον ζ~.

Α", ,, = ~-aav (HA'' ). ν-g u

Αν για διάνυσμα θεωρήσουμε mν κλίση βαθμωτής ποσόmτας φ, τότε

θέτοντας Α = _jf_ , έχουμε Α" = g "v aφ , κι επομένως η απόκλισή του μ au" au"

θα 'ναι

φ 1 a ( Γ: μν aφ 1 0

= .,Γ-i au" l ν-gg au" )

που αποτελεί m γενίκευση του κλασικού τελεστή του D'Alembert

σzφ σzφ σzφ σzφ οΦ=-+-+---.

ax~ ax~ ax~ ax~

Συγχρόνως, πάλι από m συναλλοίωm παράγωγο για το φ,

(η δεύτερη συναλλοίωm παράγωγος του βαθμωτού φ).

φ = __it__ Γ α _!j__ μv au" au" μv au"

Άρα, από D φ = φμv => (εξισώνοντας τους συντελεστές των δευτέρων και των πρώτων παραγώγων αντίστοιχα)=>

g"'T α a Γ"= __ l __ a_(.,Γ-igaβ ) "'' Γ-fi auβ

Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω σχέσεις που αποδείξαμε, μαζί

με mν παραπάνω,

a ( ) ag -log -g =gaβ _____!!P_ au,. au"

και

έπεται ότι

Η Γενικfι Θεωρία τns Σχετικότnταs

ag 1 alog(-g) Γ = g"P ____!!!C- - • Επίσης από mν

" auP 2 au''

_a_log(-g) = g"fi agαβ => (παραγωγίζΟντας) =* au" au"

Αυτή η σχέση είναι συμμετρική ως προς τους δείκτες μ και ν. Άρα

ag"β agaβ = ag"fi agaβ au'' au" auμ au"

Παραγωγίφυμε m σχέση του Γ ν ως προς uμ:

aΓ, = ag"fi ag," +g"fi ίJ 2gvα _.!_ ίJ 2 log(-g). auα au" auP au"auP 2 auαa u''

Επειδή Γ = .!_( agνa + agvβ - agαβ I => ''"Ρ 2l auP au" au" }

.!_( agvα + agvp \=Γ +.!_ agαfi 2l auP au" } ''"Ρ 2 au"

' aΓ ίJ 2g lίJ2 1og(-g) lagαfiίJg ag"β Άρα - " =g"fi __ vα__ +---~+Γ --.

ίJU" ίJUμίJUP 2 ίJU,uίJU" 2 οUμ iJU" vαβ ίJu"

95

Εναλλάσσουμε τους δείκτες μ και ν καθώς επίσης και τους δείκτες άθροι

σης α και β στον ένα όρο:

afi ίJ 2gμβ 1 ίJ 2 log(-g) ίJΓ, 1 ίJg"P ίJgαβ -g ---=- - -+-----+

au"au" 2 au"au" au· 2 au'' au''

agaβ +Γ -

αufi au" θεωρούμε το άθροισμα

a2g a2 azg g"β __ αβ _ _ g "fi ~ _ g"fi μβ

au"au'' au" auP au''iiu" = (αντικαθιστώντας από τις παρα-πάνω σχέσεις τον κάθε όρο)=

( aΓ aΓ I ag"fi ag"β =-Ι-" +-" )+Γ --+Γ --. \ auμ au'' yαβ au.ιι ,ιιαμ auv

1 ( ar ar \ r =-ι-"+-'' J-rPr .

μv 2\ ίJU'' ίJUμ μv Ρ θέτουμε

Έτσι ο R1~ γράφεται:


+.!_Γ ag"P - αιιΓ Γ σ. 2 μαβ auν g ομβ να

Εισάγουμε το συμβολισμό Γα~ = g"Pgβσr μρσ και rμaβ = gapgβσr pb =

ςfPgfJσgΙNΓvpσ" Έτσι

1( a"P aβ" a""\ Γ""β = -ι g'Ψ L - g'φ L-g /Jp L . 2\ auρ au" aup)

Παραmρούμε ότι π έκφραση

γράφεται

Α - ap ρσl( aguσ ag"' -Γ Γ \J μν - g g auP iJU" σμβ pva •

Ισχύουν από τα προηγούμενα, οι σχέσεις

και iJgP'' -Γ = Γ . au« ρω vpa

Α vrικαθιστώvrας στον τύπο του Αμv λαμβάνουμε

Α = aP Ρ)lΓ Γ +Γ agρv \) μν g g σμβ vφα μαβ au"

όπου χρησιμοποιήσαμε τον παραπάνω τύπο νια το ra~ και προσαρμόσαμε κατάλληλα m δεικτοδότηση.

Η ποσόmτα ra~ είναι συμμετρική ως προς τους δείκτες α και β. Λόγω και mς σχέσης

π ποσόmτα Αμv γράφεται

Προφανώς

Η Γεvικι'ι Θεωρία rns Σχετικόrnrαs

Συνεπώς

Πιο πάνω ορίσαμε τον Αμv ως

Α = αβ ρσ ag"" agP"- aβΓ Γ ο i"' g g auβ aua g <ψβ να"

Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη και αναδιατάσσουμε τους όρους:

Έτσι ο τανuστnc; Rμv γράφεται τελικά ως

Παραγωγίφυμε τώρα mν

' {XJ a'g { ag ag ag ag \ a g μv pa μα \'ρ μα Ιιp g g -=--+g ι---+--)· μσ "" au" auP iJU0 au11 \ iJU" auP iJUβ iJU"

Λόγω mc; τελευταίας σχέσης, ο Rμv γράφεται:

ΑνεβάζΟντας τους δείκτες μ και v,

ι a2 μv R = -- ap _ _ g __ Γ +Γ''"ΡΓ '' .

'"' 2g oU"oUβ '"' αβ

97

Τονίζουμε ότι n ποσόmτα rμv λαμβάνεται από m Γμv avεβάζOvras δείκτες σύμφωνα με m σχέση

[l'v = gιφ g"σ[ ρο


n οποία, εκφράζεται και μέσω του ορισμού mς ra, ως εξής:

Περνάμε τώρα στο μετασχηματισμό του αναλλοίωτου του τανυσπΊ κα

μπυλόmτας του Riemann: g,.,R.u1

· = R => (από τον παραπάνω τύπο του Rμv) =>

1 a2g"l' ==> ]( = -- i! 2gαfig ----Γ +Γ"ΡΓ "

2 μv iJU" auP ,. α β

μεΓ=gμ,Jμv. alog(-g) a "'' Από mν προαναφερθείσα σχέση " = - g

11, ~ και τον τύπο του

rμv, λαμβάνουμε au au

aΓ" 1 alog(- g) Γ= -+ Γ".

au" 2 au" Έχουμε αποδείξει ότι

Γ= -1 a2(hg"fi) Η au"auβ

ΠαραγωγίζΟντας ως προς uβ, παίρνουμε

;/g"'' a2 log(-g) g ---=----'-----::---'-

"" au"auP au"auP

ag"" agμv au" auP

(θυμηθείτε ότι καταλήξαμε στην ίδια σχέση στην αρχή). Εισάγοντάς m στη σχέση για το R, έχουμε

1 a2 log(-g) 1 ο μv ag R = -g"β - Γ+Γ".ΒΓ 1 +-gaβ'!lL_______!'C:._,

2 au" auβ ν α β 2 au" auβ

Από m σχέση Γ" β = .!_ ag"fi _ .!_ g ( σαfi ag.ua + g"" agpβ \), εύκολα συνά-γεται ότι ν 2 iJ U1

' 2 Ρ•' \ 0 iJU" iJU"

1 i) μΙ· ag 1 a αβ Γ"βΓ Ι'+ - a(J __fJ________!'C:._ = -Γ Ι' L ,

I' α β 2 g au" auP 2 α β iJul'

Άρα, ξαναντικαθιστώντας στον τύπο του R, έπεται

R =g"β a2log.{-g - Γ" a!og.{-g -Γ-L au"auP au"

με L =_.!_Γ "ag"β - Γ" a!og.{-g 2 αβ aul' au"

m Λαγκρανζιανή που είναι χρήσιμη στην παράγραφο 15, όπου ο Α:ίνστάιν )(f)ησιμοποιεί λονισμό των μεταβολών νια τις εξισώσεις του. Προχωράμε τώ

ρα στο μετασχηματισμό των συνιστωσών του τανυστή Α:ίνστάιν.

Σmν προαναφερθείσα σχέση

Η Γεvικiι Θεωρία τns Σχετικότnταs

1 aω ''" Γ------ Γ-i au" ·

99

Θα μετασχηματίσουμε όλες τις εξισώσεις έΊσι ώστε να εμπεριέχουν πα

ραγώγους μόνο του ωμν. Επειδή θα συναντήσουμε και παραγώγους mς πο

σόmτας y = log F-g , θα συμβολίζΟυμε, από δω και στο εξής:

y =-a (ιog.[-g) α au"

Έτσι, η προαναφερθείσα εξίσωση

α 1 ag a Γ:: Γ =--=-lοgν-g, γρόφεται αν 2g au" au"

Ya =Γ av" (όπου προσαρμόσαμε κατάλληλα τους δείκτες). Αν και η ποσόmτα Ya δεν είναι διάνυσμα, δεν βλάmεται η γενικόmτα αν υψώσουμε και γι' αυτή δείκτες, όπως συμβαίνει με έναν τανυστή:

y " = g"Pyβ .

Γ" Ρ = g"P gβσΓ όπως έχουμε προαναφέρει. μ Jψσ '

Για τις δεύτερες παραγώγους του y, συμβολίζΟυμε

a2logH Y ap = au"auP .

Από mν προαναφερθείσα σχέση

παραmρούμε ότι αυτή εμπεριέχει τις συνιστώσες του ~και τις πρώτες πα

ραγώγους τους. Αντικαθιστώντας τα gμν (,χ; προς τα ~ σmν παραπάνω σχέση, λαμβάνουμε

όπου θέσαμε

1 ( iJ μβ iJ μα a αρ \ π.uaP =- ω"Ρ __!!!___ + ωρp __!!!___- ω"Ρ __:;!.__

2g l auP auP auP )

και Ν'"Ρ = ~{ y" gιιΡ + y P g"" - y" g "P )

και με Πap• 1\,~ τις αντίστοιχες των δύο παραπάνω εξισώσεων με κατεβα

σμένους δείκτες. Από τον ορισμό του CJiN, έπεται ότι

100 Άλμπερτ Αίνστόιν

detω"'' = { C"i)4

Detg"v = g 2 _!_ = g = detg . ν-Μ g .ι11'

Από τον τύπο του Λμaβ, έπεται

Και επειδή gaβ JΊ'Gβ = [μ, έπεται

iJ I"' g Πμαβ = Γ'' +Υ" = ~

αβ au''

Θα δείξουμε τώρα, αναλυτικά, με βάση όσα έχουν προαναφερθεί, το με

τασχηματισμό των συνιστωσών του τανυστή Α:ίνστάιν

G"v = R"v _l g"vR, 2

Ξεκινάμε από mν προαναφερθείσα σχέση

1 c/ μ v R"v = --g "P __ g_- Γ,uv + Γ""ΡΓ v.

2 au"auP αβ

Η σχέση με το αναλλοίωτο R, γράφεται πιο συνοmικά

R = gαβyaβ - Γ"y"- Γ -L,

Επίσης,

Έτσι, R ιιv 1 "''R ' --g = 2

Κάνουμε τις πράξεις για τον τελευταίο όρο:

Η Γεvικr'ι Θεωρία τns Σχετικότnταs 101

Από τη σχέση gaβ nμaβ = ΓΙ'+yμ που έχουμε προαναφέρει, λαμβά

νουμε

N'αfin "+ Λ''"fiΠ '' =Υ Π""Ρ + Π"''Ρ - !(y"Γ" + y'T" - y"y") αβ αβ ρ 2 '

καιλόγωmς

1 a '"' ag"" πvμμ Π"vρ ap ω αμ "" ρ + =-ω --=-g --g g' g au" au"

έχουμε Ma~aβ+AVa~a/f = a ,.,, 1

=-y " _jJ__- g '"'y Ya - -(y"Γ" + y''Γ'' )- Υ'Ύ'' . au" α 2

Επίσης,

ag"v 1 1 Π''"βΠ "- y" ----g"Ύ y " --y"y"

αβ au" 2 α 2

- ~( y"ΓΝ + yT" ).

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στον τύπο για τον τανυστή Αίν

στάιν, λαμβάνουμε

1 1 a2 μv

R"v--g""R = ---g"P __ ω_+ 2 2Η au"auP

+Π""ΡΠ" _!y"y' +!g""L+!g"''(Γ"y +Γ) α β 2 2 2 α

-Γ"" - ~(y"Γ + yT").

Θέτουμε Β''" = Γ"" + ~(y"Γ + yT" ).

και Β= gμJ3μv =Γ +Γayιt

ΕκφράζΟντας τέλος τα gaβ μέσω των CιJlβ, από τον ορισμό των τελευταίων,

που έχουμε προαναφέρει, καταλήγουμε mν τελική έκφραση για τον τανυ-

στή Αίνστάιν: σ"" = R"" -! g"''R = 2

1 a2 μv 1 afi ω Π"αfiΠ " "" =-ω ---+ --y- Υ+

2g au"auP αβ 2


Αιπό που λείπει από mν προηγούμενη εξίσωση, είναι το ότι δεν εκ

φράσαμε m ΛαγκρανζιανtΊ L, συναρτήσει των ωμν. Από τον ορισμό mς που

έχουμε προαναφέρει

Θέτουμε Γ ai3 = Π0β+Λ0β. Από τον τύπο νια το Λμaβ έπεται

agαβ ~Λ '' -- = - Γ'Ύ . Έτσι, αντικαθιστώντας,

αβ au'' α

iJωαβ r:f agαβ α \ Από τις σχέσεις --=ν-gι-- + g Py) auv \ auv v

και g Π"αΡ =Γ"+ Υ"(~ g"ΡΠ Υ = Γ'+ γ) αβ αβ '

λαμβάνουμε τελικά

1 aωαβ 1 L=---Π v--+-Y y".

2-Γ-i αβ auv 2 ,.

Παράδειγμα: Για mν περίmωσn μιας δισδιόσταmς σφαιρικής επιφά

νειας (όπως έχουμε ξεκινήσει να mν εξετάζΟυμε στο βιβλίο του Riemann και όπως θα δούμε και στο βιβλίο του Gauss), το γραμμικό στοιχείο mς σε πολικές συντεταγμένες δίνεται από m σχέση:

Εδώ είναι u1 = θ, u2 = φ. Έχουμε τώρα,

2 2 2θ 11 -2 22 1. gH = r •g22 = r ημ ,g = r ,g = - 2--. r ημθ

Άρα οι μόνες μη μηδενικές παράγωγοι είναι

και

Τα μόνα μη-μηδενικά σύμβολα Chiistoffel, είναι τα

Η Γενικι'ι Θεωρία τns Σχετικότnταs

2 1 η ( ag22 \ Γ22 = -g l---1 } = -ημθ σuνθ.

2 au Παραγωγίζοντάς τα, έχουμε

-;(r2~) = -1/ ημ2θ = -;(rι;) au au

και 0~1 (Γ 2~) = ηι/Β- συν2θ. Για τη μn μηδενική σuνιΟίώσα του τανuστή Riemarm R~12 , ισχύει

2 2 σuνθ 2 =ημ θ-συν θ----ημθσυνθ=ημ θ.

ημθ

103

Επίσης R1212 = r2ημ2θ και Ri21 = g22R2121 = 1 (προφανώς είναι μη μηδενικά και τα συμμετρικά προς αυτούς σύμβολα· βλ. για τις συμμετρίες του

τανuστή Riemann ΟίΟ παρόρτnμα του βιβλίου του). Τώρα, ο τανuστής Ricd έχει δύο συνιστώσες:

R = gιιRn + g22R22 = 2/ r2.

Προχωρώντας, το βαθμωτό Ricci (ή αναλλοίωτο Riemarm κατ' άλλους συγγραφείς) θα είναι

Rn = gl1Rn+g22R22 = 2/r2, Άρα οι αντίστοιχες συνιστώσες του τανuστή Α:ίνστάιν θα είναι οι

G11 = R11 -~g11R=l-r2 I r2 =0.

1 G22 = R22 -2g22R =Ο.

Συνεπι:;χ;, ο τανuστής Α:ίνστάιν είναι μηδενικός για m σφαίρα. (Σ.τ.Μ.) 30. Οι μαθηματικοί έχονν αποδείξει ότι αιmΊ η συνθtικn είναι και επαρκής. (Σ.τ.Σ.)

θεωρία του βαρuτικού .

δ,

~-w-F !I • • .

ι ι.~,<- ιοιJ

13. Εfισώσειs κίνnσns ενόs υλικού σnμείου μέσα στο βαρυrικό πεδίο. Εκπεφρασμέvn μορφfι των πεδιακώv-συvιστωσώv

τns βαρύτnταs

Ένα ελευθέρα κινούμενο σώμα που δεν υπόκειται στην επίδραση εξω

τερικών δυνάμεων κινείται, σύμφωνα με mν ειδική θεωρία mς σχετι

κόmτας, ευθύγραμμα και ομοιόμορφα. Αυτό ισχύει και στην Περίmωση mς γενικής θεωρίας mς σχετικόmτας, γιατί, ένα τμήμα του τετρα

διάστατου χώρου στο οποίο αναφέρεται το σύστημα συντεταγμένων Κο

μπορεί, και πράγματι επιλέγεται, έτσι ώστε οι συντεταγμένες να έχουν

τις ειδικές σταθερές τιμές που δίνονται στον πίνακα (4). Αν θεωρήσουμε αυτήν ακριβώς mν κίνηση, παραmρώντας mν α

πό οποιοδήποτε επιλεχθέν σύστημα συντεταγμένων Κ1 , τότε το σώμα,

παραmρούμενο από το Κ1 κινείται σύμφωνα με τις θεωρήσεις mς παραγράφου 2, μέσα σε ένα βαρuτικό πεδίο. Ο νόμος mς κίνησης ως προς

το Κ1 προκύmει χωρίς δυσκολία από mν ακόλουθη θεώρηση. Ως προς το Κο· ο νόμος mς κίνησης αντιστοιχεί σε μία τετρα-διάσταm ευθεία, δηλαδή σε μία γεωδαισιακή γραμμή. Αφού τώρα π γεωδαισιακή γραμ

μή ορίζεται ανεξάρmτα από το σύστημα αναφοράς, οι εξισώσεις mς θα

αποτελούν συγ)(f.>όνως mν εξίσωση κίνησης του υλΙκού σημείου ως προς

το Κ1 Α ν θέσουμε

r~v =- {μν, r} (45)

τότε, π εξίσωση mς κίνησης του σημείου ως προς το Κ1 γίνεται d 2x dx dx _τ _ Γτ _Ι' _v (46) ds2 - μv ds ds ·


Τώρα κάνουμε mν υπόθεση, που είναι άμεσα έκδηλη, ότι αυτό το

συναλλοίωτο σίιστnμα εξισώσεων ορίζει και mν κίνηση του σπμείου μέ

σα στο βαρυηκό πεδίο, στπν περίmωσπ που δεν υπάρχει κανένα σύ

σmμα αναφοράς Κο· ως προς το οποίο να ισχύει μέσα σε μία πεπερα

σμένη περιοχή η ειδική θεωρία Πις σχετικόmτας. Δικαιολογούμαστε με το παραπάνω γι' αυτή mν υπόθεσπ, καθώς n σχέσπ (46) εμπεριέχει μόνο πρώτεs παραγώγους του gμν' μεταξύ των οποίων δεν υφίστανται συ

σχετισμοί ακόμη και στην ειδική περίmωσπ mς ύπαρξης του συστή

ματος αναφοράς Κ0• 1

Α ν οι ποσότητες Γ'μv μηδενίζΟνται, τότε το σημείο κινείται ομοιόμορφα

σε ευθεία γραμμή. Επομένως αυτές οι ποσόmτες οριοθετούν mν α

πόκλιση mς κίνησης από mν ομοιομορφία. Πρόκειται για τις συνι

στώσες του βαρυτικού πεδίου.2

14. Οι πεδιακέs εfισώσειs τns βαρύτnταs, απουσία ύλns3

Από δω και στο εξής διακρίνουμε ανάμεσα σε «βαρυrικό πεδίο» και «ύλη» ως εξής: με τον όρο «ύλη» εννοούμε οτιδήποτε άλλο εκτός από το

βαρυτικό πεδίο. Επομένως, ο τρόπος που χρησιμοποιούμε αυτή m λέξη δεν συμπεριλαμβάνει μόνο mν ύλη με m συνηθισμένη έννοια, αλλά και το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.

Το επόμενο που έχουμε να κάνουμε είναι να βρούμε τις πεδιακές

εξισώσεις mς βαρύτητας απουσία ύλης. Εδώ ξαναεφαρμόζΟυμε m μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε σmν προηγούμενη παράγραφο για την τυ

ποποίηση των εξισώσεων mς κίνησης του υλικού σημείου. Μία ειδική

περίmωση σmν οποία πρέπει πάντοτε να ικανοποιούνται οι απαιτού

μενες εξισώσεις είναι αυτή mς ειδικής θεωρίας mς σχετικόmτας, σmν

οποία οι ποσόmτες gμv έχουν συγκεκριμένες σταθερές τιμές. Έστω ό

τι αυτό ισχύει μέσα σε έναν πεπερασμένο και συγκεκριμένο χώρο,

σχετικά με ένα καθορισμένο σύστπμα συντεταγμένων Κο· Σχετικά με

αυτό το σύσmμα, όλες οι συνιστώσες του Ρnμάνειου τανυστή Beσr που

ορίζΟνται από m σχέση (43), μπδενίφνrαι. Τότε, αυτές οι ποσόmτες

μηδενίζΟνται για τον υπό θεώρηση χώρο και μέσα σε οποιοδήποτε άλ

λο σύσmμα συντεταγμένων.

Έτσι, πρέπει να ικανοποιούνται σε κάθε περίmωσπ οι απαιτούμε

νες εξισώσεις του ελεύθερου-από-ύλη βαρuτικού πεδίου, αν μηδενίζο

νται όλες οι ποσόmτες Β~στ· Όμως, αυτή π συνθήκη έχει μακρές προ

εκτάσεις. Γιατί είναι ξεκάθαρο ότι το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί

ται μέσα στο περιβάλλον ενός υλικού σπμείου δεν μπορεί να «απομα

κρυνθεί μέσω ενός μετασχηματισμού», μέσω οποιασδήποτε επιλογής

Η Γενική Θεωρία rns Σχεrικότnταs 107

του συστήματος συνrεταγμένων, δηλαδή, δεν μπορεί να μετασχηματιστεί

σmν περίmωσn σι:αθερών g μιt Αυτό μας παρακινεί να απαιτήσουμε νια το ελεύθερο-από-ύλη βα

ριmκό πεδίο, ότι θα μηδενίζεται ο συμμετρικός τανιχπής Gμν που εξάγεται

aπό τον τaνυσι:ή Β~οτ' Έτσι, λαμβάνουμε δέκα εξισώσεις για τις δέκα ποσότητες gμν> που ικανοποιούνται σmν ειδική περίmωσπ μηδενισμού ό

λων των ποσοτήτων Βeστ· Με την επιλογή του συστήματος συντεταγ

μένων που έχουμε κάνει, και λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (44), οι εξισώσεις νια το ελεύθερο-από-ύλη πεδίο είναι οι

(47)

θα πρέπει να επισημανθεί ότι υπάρχει ένας ελάχισι:ος μόνο βαθμός

αυθαιρεσίας σmν επιλογή αυτών των εξισώσεων. Γιατί πέραν του ότι δεν υπάρχει τανυστής δεύτερης τάξης που να σχηματίζεται aπό τον gμν

και τις παραγώγους του, εκτός από τον Gμv. επιπλέον, αυτός ο τελευταίος δεν περιέχει παραγώγους ανώτερες της δεύτερης τάξης, ενώ εί

ναι και γραμμικός ως προς αυτές τις παραγώγους.4

Αυτές οι εξισώσεις που προκύmουν με τη μέθοδο των καθαρών

μαθηματικών, από την απαίτηση της γενικής θεωρίας της σχετικότη

τας, μας δίνουν, σε συνδυασμό με τις εξισώσεις κίνησης (46), σε πρώτη προσέγγιση τον Νευτώνεια νόμο της έλξης και σε δεύτερη προ

σέγγιση την εξήγηση της κίνησης του περιηλίου του πλανήτη Ερμή,

που ανακαλύφθηκε από τον Le Veπier (όπως απομένει έπειτα από τις διορθώσεις που έχουν γίνει λόγω διαταραχών). Κατά τη γνώμη μου,

αυτά τα γεγονότα πρέπει να ληφθούν ως πεισι:ική απόδειξη για την ορ

θότητα της θεωρίας.

15. Η Χαμιλτώvια σuvάρτnσn yιa το βαρuτικό πεδίο. Νόμοι ορμfιs και εvέρyειαs

Για να δείξουμε ότι οι πεδιακές εξισώσεις αντιστοιχούν σι:ους νόμους

της ορμής και της ενέργειας, βολεύει, ως επί το πλείσι:ον, να τις γρά

ψουμε σmν ακόλουθη Χαμιλτώνια μορφή:

(47α)


όπου οι μεταβολές μηδενίζονται πάνω στο σύνορο mς πεπερασμένης

τετρα-διάστασnς περιοχής ολοκλήρωσης που θεωρούμε.

Καταρχήν πρέπει να δείξουμε ότι η μορφή (47α) είναι ισοδύναμη με

τις εξισώσεις (47). Για το σκοπό αυτό θεωρούμε m συνάρmσn Η ως μία συνάρmση των gμvκαι g~V ( = agιιν I aχ σ ).

"Ετσι, καταρχήν

δΗ = Γ' Γβ δg"'' + 2g~'T" δΓβ μβ va μβ vα

=-Γα Γβ δg'"' + 2Γ" (δg~'"Γβ ). μβ ι•ιι μβ \'α

Όμως,

δ(g"Τβ ) _.!_δ [g""gβλ /\ ag, λ + agaλ _ aga" \)]. να 2 ax ax ax

α \' λ

Οι όροι που ανακύπτουν από τους δύο τελευταίους όρους που βρίσκονται

μέσα στις κυκλικές παρενθέσεις έχουν διαφορετικό πρόσημο και προ

κύmοuν ο ένας από τον άλλον (αφού η ονομασία των δεικτών άθροι

σης είναι άυλη) μέσω τις εναλλαγής των δεικτών μ και β. Αυτοί οι όροι

aπαλείφονται μεταξύ τους σmν έκφραση mς δΗ, επειδή πολλαπλα

σιάζΟνται με mν ποοόmτα rz{J' που είναι συμμετρική ως προς τους δείκτες μ και β. Έτσι, απομένει να εξεταστεί μόνο ο πρώτος όρος μέσα στις

κυκλικές παρενθέσεις, έτσι ώστε, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (31),

να πάρουμε

δΗ = -Γα Γβ δg11 '' + Γ" δgιιfi. μβ \'α μβ α

Έτσι

(48)

Πραγματοποιώντας m μεταβολή στο σύσmμα (47a) λαμβάνουμε κα

ταρχήν

_a_f ~\ _ aH _0 aχ α \ ag;'· } ag"'' - '

(47β)

που λόγω των (48), συμφωνεί με τις (47), πράγμα που θέλαμε να αποδείξουμε.

Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε mν (47β) με g~τότε, επειδή ισχύει

Η Γεvικri Θεωρία τns Σχετικότnταs

ag"v ag"v _σ_=_α_

ax ax α σ

και συνεπώς,

I"' a ( aH \ a ( μν aH \ aH ag~v gσ aχα l ag;v) = aχ α l gσ ag;v)- ag~v aχσ '

λαμβάνουμε την εξίσωση

_a_( μν aH \-~-Ο aχα l gσ ag~v ) aχα -

109

(49)

όπου, λόγω των (48), η δεύτερη από τις εξισώσεις (47), μαζί με την (34),

δίνει

(50)

Θα πρέπει να επισημανθεί ότι π ποσότητα ~δεν είναι τανυστής: α

πό την άλλη μεριά, οι εξισώσεις (49) εφαρμόζΟνται σε όλα τα σuοτήματα συντεταγμένων για τα οποία ισχύει, J=g = 1. Αυrή η εξίσωση εκφράζει το νόμο διατήρησης της ορμής και της ενέργειας νια το βaρuτικό πεδίο.

Πράγματι, η ολοκλήρωση αυτής της εξίσωσης πάνω σε έναν τρισδιάστατο

όγκο ν οδηγεί, νια τις τέσσερις εξισώσεις, στη σχέση

(49α)

όπου τα l, m, n δηλώνουν τα κατευθύνοντα σuνπμίτονα του διανύσματος που είναι κάθετο στο στοιχείο της συνοριακής επιφάνειας dS και έχει φορά προς το εσωτερικό mς (μιας επιφάνειας που λαμβάνεται με την έννοια

της Ευκλείδειας γεωμετρίας). Σε αυτόν τον τύπο αναγνωρίζουμε την έκ

φραση των νόμων διατήρησης στη σuνnθισμένn μορφή τους. Αποκαλούμε

τις ποσότητες ι:: «ενεργειακές συνιστώσες» του βaρuτικοίι πεδίου.

Τώρα, θα δώσω τις εξισώσεις (47) σΕ μία τρίm μορφή, που fίναι ιδιαίτερα χρήσιμη νια μία ζοφερή σύλληψη του θέματός μας. Πολλα

πλασιάζΟντας τις πεδιακές εξισώσεις (47) με qva. παρατηρούμε ότι αυτές λαμβάνονται σε «μεικτή» μορφή. Επισημαίνουμε ότι

110

aυτή π ποσότητα, λόγω της (34) ισούται με

_a_(g"σ Γα ) _ g"P Γσ Γα _ gσΡ Γ" Γα ax μν αβ μν βα μv α

Άλμπερτ Α:ίνστάιν

ή (χρπσιμοποιώvrας διαφορετικά σύμβολα για τους δείκτες άθροισης)

_a_(gaPΓa )-g'ιδΓσ ΓΡ -g"σΓa ΓΡ. ax μβ yβ δμ μβ να α

Ο τρίτος όρος aυτής της έκφρασης aπαλείφεται με aυτόν που aνaκύ-

mει aπό τον δεύτερο όρο των πεδιακών εξισώσεων (47)· :χpπσιμοποιώντας τη σχέση (50), μπορούμε να γράψουμε τον δεύτερο όρο ως

όπου t =~Έτσι, αvrί των εξισώσεων (47), λαμβάνουμε τις

a ( αβrα ) { σ 1 δα \ - g = -κι t -- t) axa μβ \ μ 2 μ

Γ-i=l

16. Η νεvικfι μοpφfι rωv πεδιακώv εfισώσεωv rns βaρύrnras

Οι πεδιaκές εξισώσεις για τον ελεύθερο-aπό-ύλη χώρο, που τυποποιή

θηκαν σmν παράγραφο 15, θα συγιφιθούν τώρα με την πεδιακή εξίσωση της Νευτώνειας θεωρίας,

'V 2 Φ =0

Απαιτούμε aυτή π εξίσωση να avrιστοιχεί σmν εξίσωση του Poisson

Ι/φ=4πιφ,

όπου με ρ συμβολίζεται π πυκνότητα της ύλης.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας έχει οδηγήσει στο συμπέρασμα

ότι n αδρανειακή μάζα δεν είναι τίποτε περισσότερο ή τίποτε λιγότερο από ενέργεια, που βρίσκει την πλήρη μαθηματική της έκφραση, σε έ

ναν συμμετρικό τανuστή δεύτερης τάξης, τον τανuστή-ενέργειας. Έτσι,

σm γενική θεωρία της σχετικότητας πρέπει να εισαγάγουμε έναν

Η Γεvικiι Θεωρία rns Σχετικόrnrαs 111

αντίστοιχο ενεργειακό τανuστή mς ύλης Τ~ ο οποίος, θα έχει μεν μει

κτό χαρακτήρα όπως οι ενεργειακές συνιστώστες tσ (οι εξισώσεις [49] και [50]) του βαρυτικού πεδίου, αλλά θα αναφέρεται σε έναν συμμετρικό συναλλοίωτο τανuστή. 6

Το σύστημα των εξισώσεων (51) δείχνει το πώς πρόκειται αυτός ο ενεργειακός-τανuστής (που αντιστοιχεί στην πυκνότητα ρ mς εξίσωσης

του Poisson) να εισαχθεί στις πεδιακές εξισώσεις mς βαρύmτας. Για

τί, αν θεωρήσουμε ένα πλήρες σύστημα, (για παράδειγμα το ηλιακό σύ

στημα), η ολική μάζα του συστήματος, και συνεπώς και π ολική βαρu

τική του δράσπ, θα εξαρτάται από mν ολική ενέργεια του συστήματος

κι επομένως από m σταθμήσιμη ενέργεια μαζί με m βαρuτική ενέργεια. Αυτό θα εκφραστεί από μόνο του αν εισαγάγουμε στην (51), στη θέσπ των ενεργειακών συνιστωσών του βαρυτικού πεδίου που υπάρχουν μό

νο, τα αθροίσματα t~+ Τ~ των ενεργειακών συνιστωσών mς ύλης και

του βαρυτικού πεδίου. Έτσι, αντί των (51) λαμβάνουμε mν τανuστική εξίσωση

a:a (gσβr;β ) = -ιc[{ t~ +τ; ) - ~δ~ ( t +τ) J·] (52)

h=l όπου έχουμε θέσει Τ= Τ~ (βαθμωτό του Laue). Αυτές είναι οι απαιτούμενες γενικές πεδιακές εξισώσεις της βαρύmτας σε μεικτή μορφή. Ξε

κινώντας από αυτές και οδπγούμενοι προς τα πίσω, παίρνουμε, στη θέ

ση των (47), τις

(53)

Πρέπει να παραδεχθούμε ότι αυτή η εισαγωγή του ενεργειακού

τανuστή mς ύλης δεν δικαιολογείται μόνο από το αξίωμα mς σχετικό

τητας. Γι' αυτόν το λόγο και τον έχουμε συνανάγει εδώ, από mν απαί

mσπ η ενέργεια του βαρυτικού πεδίου να δρα βαρυτικά με τον ίδιο τρό

πο που δρα οποιοδήποτε άλλο είδος ενέργειας. Όμως, ο ισχιιρότερος

λόγος για την επιλογή αυτών των εξισώσεων έγκειται στο αποτέλεσμά

τους, κατά το οποίο, οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής και mς ενέρ

γειας που αντιστοιχούν επακριβώς στις εξισώσεις (49) και (49α), ισχύουν νια τις συνιστώσες mς ολικής ενέργειας. Αυτό θα δειχθεί στην παράγραφο 17.


17. Οι νόμοι διατiιρnσns σrn yεvικiι περίmωσn

Η εξίσωση (52) μπορεί να μετασχηματισθεί εύκολα έτσι ώστε να μηδενιστεί ο δείπερος όρος της δεξιάς πλευράς. Συστέλλουμε την (52) ως

προς τους δείκτες~ και σ, και αφού πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση

που προκύmει με -δ σ την αφαιρούμε από την εξίσωση (52). Αυτό δίνει 2 μ

Σε αυτή την εξίσωση πραγματοποιούμε ·mν πράξη ο/Βχσ.

Έχουμε

_a_2 -(gσrα )= _.!__iJ_

2 -[gσβgαλ ( agμλ + agβλ - agμβ \]· axaax<J βμ 2 aχαaχσ l aχ β ax,. aχ λ )

Ο πρώτος και ο τρίτος όρος των κυκλικών παρενθέσεων οδηγούν σε

συνεισφορές που aπαλείφονται μεταξύ τους, όπως μπορεί να φανεί ε

ναλλάσσοντας στη συνεισφορά του τρίτου όρου, τους δείκτες άθροι

σπς α και σ από τη μία μεριά και τους δείκτες β και λ από την άλλη. Ο

δεύτερος όρος μπορεί να επανατuποποιηθεί μέσω των (31), έτσι ώστε

να έχουμε

α2 ( 1 α3gαβ ___ gσPr« __ αχ αχ μβ) - 2 ax ax αχ · α σ α β μ

(54)

Ο δείπερος όρος στην αριστερή πλευρά της (52 α) οδηγεί καταρχήν στη σχέσπ

ή στην

1 α2 [ Ι.β αδ ( ίJgδλ αgδβ ίJgλβ \] 4 axaax, g g l aχβ + aχλ - aχδ ) .

Με την επιλογή συντεταγμένων που έχουμε κάνει, ο όρος που εξάγε

ται από τον τελευταίο όρο που βρίσκεται μέσα στις κυκλικές παρενθέ

σεις aπαλείφεται λόγω της σχέσπς (29). Οι άλλοι δύο όροι μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν, λόγω των (31),

1 a3gαβ

-- ' 2 axaaxβax,

έτσι ώστε, λαμβάνοντας υπόψη και την (54), να πάρουμε την ταυτότητα

Η Γεvικiι Θεωρία τns Σχεrικότnταs 113

(55)

Από τις (55) και (52 α) έπεται ότι

ψ;+ τ;) ο.

ax σ (56)

Έτσι, από τις πεδιακές βαρυτικές εξισώσεις μας προκύmει ότι ικανοποιούvι:αι οι νόμοι διατήρησης της ορμής και της ενέργειας. Αυι:ό μπο

ρεί να φανεί πολύ εύκολα από τη θεώρηση που οδηγεί στην εξίσωση

(49α), εκτός από το ότι εδώ, αντί των ενεργειακών συνιστωστών ta του βαρυι:ικοίJ πεδίου, πρέπει να εισαγάγουμε την ολότητα των ενεργεια

κών συνιστωσών της ύλης και του βαρυτικοu πεδίου.

18. Οι Νόμοι τns ορμfιs και τns ενέρyειαs yιa τnν ύλn, ωs συνέπεια των πεδιακών εξισώσεων

ΠολλαπλασιάζΟντας την πρώ1n των εξισώσεων (53) με 8gμv;σχ,. λαμβάνουμε, με τη μέθοδο που υιοθετήθηκε στην παράγραφο 15, και έχοντας υπόψη ότι μηδενίζεται ο όρος

a μv g"'' __ll_

axa' την εξίσωση

atα 1 ag"v _σ +---Τ =0, ax 2 ax μv

α " ή, λαμβάνοντας υπόψη την (56)

aτ: +.!. agμv τ = ο ax 2 ax μv

(57) α σ

Συγκρίνοντας αυτή τη σχέση με την (41 β) βλέπουμε ότι, με την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που έχουμε κάνει, αυτή η εξί

σωση δεν δηλώνει τίποτε περισσότερο ή τίποτε λιγότερο από το μηδε

νισμό της απόκλισης του υλικού τανυστή ενέργειας. Από φυσικής άπο

ψης, η ύπαρξη του δείιτερου όρου στην aριστερή πλευρά δείχνει ότι οι

νόμοι διατήρησης της ορμής και της ενέργειας δεν εφαρμόζΟνται μόνο

στην όλη με την aυστηρή έννοια, ή με άλλα λόγια ότι δεν εφαρμόζΟνται

μόνον όταν οι ποσότητες gμv είναι σταθερές, δηλαδή όταν μηδενίc;ονται

οι τιεδιaκές εντάσεις. Αυι:ός ο δεύτερος όρος αποτελεί μία έκφραση νια

την ορμή και νια την ενέργεια, όπως μεταφέρονται ανά μονάδα όγκου

και χρόνου από το βαρυτικό πεδίο στην ύλη. Αυτό εξάγεται περισσότερο ξεκάθαρα ξαναγράφοντας την (57) στο πνεύμα της (41) ως


a'Γ" _σ_= -Γβ ~. ax ασ β

(57 α) α

Η δεξιά πλευρά εκφράζει το ενεργειακό αποτέλεσμα του βαρuτικού πε

δίου πάνω οmν ύλη.

Έτσι, οι πεδιακές εξισώσεις της βαρύτητας εμπεριέχουν τέσσερις

συνθήκες που διέπουν την πορεία των υλικών φαινομένων. Παρέχουν

πλήρως τις εξισώσεις των υλικών φαινομένων, αν αυτά τα τελευταία μπο

ρούν να χαρακmριστούν από τέσσερις διαφορικές εξισώσεις που είναι

μεταξύ τους ανεξάρτητες.?

Σnμειώσειs

1. Οι σχέσεις Β~σr =Ο υφίστανται μόνο μεταξύ των δεύτερων (και πρώτων) παραγώγων, λόγω mς παραγράφου 12. (Σ.τ.Σ.)

2. Πράγματι, ο τύπος μιας γεωδαισιακής, όπως έχουμε δείξει, είναι

d2yl ί dyl dyk --+Γ ---dt2 jk dt dt .

Ουσιαστικά πρόκειται νια m γενικευμένη «επιτάχυνση» mς καμπύλης, αφού. νια μια καμπυλωμένη επιφάνεια. δίνει m συνολική μεταβολή των εφαmομενικών διανυσμάτων mς (θυμηθείτε και τον ορισμό αυτών των συμ

βόλων Chήstoffel μέσω των δευτέρων παραγώγων, στο βιβλίο του Riemann). Αν Γjk =Ο, η επιτάχυνση ισούται με d

2Y. Θα δείξουμε ότι αναγκαία

dt2

και ικανή συνθήκη για να είναι γεωδαισιακή η καμπύλη, είναι τα σημεία mς

να ικανοποιούν m συνθήκη (σε χώρο Rn)

d2yi ι dyι dyk (1) -+Γ --=0.

dt2 jk dt dt Αν η καμπύλη είναι ευθεία του Rn, τότε οι πρώτες παράγωγοι των συ-

ντεταγμένων (ταχύτnτες) θα παραμένουν παράλληλες στον εαυτό τους κι ε

πομένως η (1) θα ισούται με το μηδέν (η επιτάχυνση).

Αντίστροφα, αν ισχύει η (1), επειδή έχουμε κςιρτεσιανό σύσmμα συ-. d2yι ( ) ντεταγμένων, τα Γ]k = Ο (εξ ορισμού) κι άρα __ = 0 => yι t = (ευθεία).

(Σ.τ.Μ.) dt2

3. Στις παραγράφους 14, 15, 16, 17 και 18, ο Α:ίνστάιν περιγράφει τις γενικές εξισώσεις του βαρυπκού πεδίου. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται

για τις πράξεις στο βιβλίο που θα περιέχει το άρθρο του D. Hilbert, με το οποίο ο τελευταίος συνήγαγε αυτές τις εξισώσεις μέσω του λογισμού των με

ταβολών ταυτόχρονα με τον Αίνστάιν: ο Hilbert τις παρουσίασε στις 20 Νοεμβρίου 1915 ενώπιον mς Βασιλικής Εταιρείας του Gottingen, ενώ ο Α:ίνστάιν είχε αρχίσει να στέλνει m σειρά των τεσσάρων παρουσιάσεων του (με m μορφή του επείγοντος άρθρου) στην Πρωσική Ακαδημία στις 4 Νοεμβρίου, κατόπιν στις 11, μετά στις 18 και τέλος στις 25 Νοεμβρίου, όπου και διατύπωνε

Η Γεvικn Θεωρία rns Σχεrικόrnταs 115

τις βαριπικές εξισώσεις. Ακόμη και ο Hilbert έχει αναγνωρίσει όμως mν πρωτοκαθεδρία στον Αίνστάιν, θέτοντας τέρμα σε όσους κακεντρεχείς αποπει

ράθηκαν να του αποδώσουν αιπήν mν πρωτιά.

Τόσο από ιστορική όσο και από παιδαγωγική άποψη, η κατασκευή των

βαριπικών εξισώσεων περνά μέσα από mν κατασκευή του τανυστή ορμής

ενέργειας-τάσης, πράγμα που γίνεται στο μέρος Δ του παρόντος άρθρου του

Αίνστάιν. Αφού κατασκευαστεί, θα λάβει μία τέτοια μορφή για το βαριπικό

πεδίο που θα είναι εντελώς φυσιολογική n εξίσωσή του με τον προαναφερθέντα τανυστή Αίνστάιν. Γι' αυτό και παραπέμπουμε τον αναγνώστη που δεν

είναι εξοικειωμένος με τις πράξεις, στις σημειώσεις του άρθρου του Hilbert. Αξίζει όμως να αναφέρουμε από τώρα mν ουσία mς σuλλογισηκής του Hilbert, ανταποκρινόμενοι στην αγωνία που μπορεί να διακατέχει τον αναγνώστη: βα

σιζόμενος στην απαίmσn του ΑΊvστάιν, οι βαριπικές εξισώσεις να εξαρτώ

νται μόνο από τις δεύτερες παραγώγους των δυναμικών, συνεπέρανε ότι η

Χαμιλτωνιανή πρέπει να έχει m μορφή Η= R + L, με R και L στη μορφή που έχουμε υπολογίσει. ΕφαρμόζΟντας mν αρχή του λογισμού των μεταβολών

νια m συνάρmσn Η, πήρε δύο εξισώσεις. Η πρώm ήταν η

( 1 \ a(Jiι) (1) Jiι R --g R) ~ ---.

' μv 2 μv agμv

Όρισε τον Τ μν από m σχέση

(2) a(/iιι Γ:τ . ag 'Jg μv

μv

Η (1) λόγω mς (2) γράφεται

(3) 1

R .<<V ~ --g R~ -Τ . 2 μΙ• μv

Πολλαπλασίασε με gμv και άθροισε ως προς μ και v. Τότε R-2R=-T=> R=T

Κατόπιν έθεσε αιπή mν τιμή στην (3) και έλαβε

1 R ~-Τ +-Tg

μ.v /1'' 2 11''' που οδηγεί κατευθείαν (ως ειδική περίmωσn) στην εξίσωση του τανυστή Αίν

στάιν που έχουμε προαναφέρει.

4. Μιλώντας ακριβέστερα, αιπό μπορεί να επιβεβαιωθεί μόνο νια τον τανυστή G μν +λ gμJ('βG aβ όπου λ είναι μία σταθερά. Αν όμως θέσουμε αιπόν τον τανυστή ίσο με το μηδέν, ξαναγυρίζΟυμε πίσω στις εξισώσεις Gμν =Ο. (Σ.τ.Σ.)

5. Ο λόγος για mν εισαγωγή του παράγοντα -2κ, θα φανεί αργότερα. (Σ.τ.Σ.)

6. Οι ga,T~ = Τ σr και g"Jrf~ = τaβ θα είναι συμμετρικοί τανuστές. (Σ. τ.Σ.) 7. Γι' αιπό το θέμα βλ. Ο. Hubert, Nachr. d. Κ. Gesellsch. d. Wiss. zu Gottin

gen, Math.-phys. Κlasse, 1915, σελ. 3. (Σ.τ.Σ .)

δ. tJλικά , φαινομενα

τ α μαθηματικά βοηθήματα που αναπτύχθηκαν στο μέρος Β aυτού

του άρθρου μας δίνουν από δω και στο εξής τη δυνατότητα να

γενικεύσουμε τους φυσικούς νόμους της ύλης (την υδροδυναμική,

την ηλεκφοδυνaμική του Maxwell), όπως αυτοί είναι τυποποιημένοι στπν ειδική θεωρία της σχετικότητας, έτσι ώστε να συναρμοστούν με τη γε

νική θεωρία της σχετικότητας. Οταν γίνει αυτό, η γενική αρχή mς σχε

τικότητας δεν μας θέτει πραγματικά μία περαιτέρω οριοθέτnσπ των δυ

νατοτήτων, αλλά μας εξοικειώνει με την επίδρασπ του βαρυτικού πε

δίου πάνω σε όλες τις διαδικασίες, χωρίς να χρειάζεται να εισαγάγου

με μια οποιαδήποτε νέα υπόθεση.

Άρα προκύmει ότι δεν χρειάζεται να εισαγάγουμε καθορισμένες υ

ποθέσεις όσον αφορά στον φυσικό χαρακτήρα της ύλης (με το ρπχό

τερο νόημα). Ειδικότερα, μπορεί να παραμείνει ως ανοιχτό το ερώτη

μα αν η θεωρία του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, σε συνδυασμό με αυ

τή του βαρυτικού πεδίου, παρέχει μία επαρκή βάσπ για τη θεωρία της

ύλης ή όχι. Το γενικό αξίωμα της σχετικότητας είναι aνίκανο καταρχήν

να μας πει οτιδήποτε επ' αυτού. Συνεπώς, απομένει να δούμε, κατά την

επεξεργασία της θεωρίας, αν ο ηλεκτρομαγνητισμός και το δόγμα της

βαρύτητας είναι σε θέσπ να πραγματοποιήσουν από κοινού ό,τι δεν μπο

ρεί να κάνει ο πρώτος από μόνος του.

19. Εfισώσειs του Eiiler για ένα αδιαβατικό ρευστό χωρίs rριβέs

Έστω p και ρ δύο βαθμωτές ποσότητες, όπου αποκαλούμε την πρώτη «πίεσπ» και τη δεύτερη «πυκνότητα»· υποθέτουμε ότι μεταξύ τους υ

φίσταται μία εξίσωσπ. Έστω ότι ο ανταλλοίωτος συμμετρικός τανuστής

dxdx 'f"β = _ gαβ p + p-α _Ρ

ds ds (58)


αποτελεί τον ανταλλοίωτο τανuστή ενέργειας του ρευστού. Σε αυτόν α

νήκει ο συναλλοίωτος τανυστiις

dxβdx Ί"' = -δαp +g __ α p. σ σ σβdsds

(58α)

καθώς επίσης και ο μεικτός τανuστής1

. dx dx τμv=-gμvp+gμαgμβ d; d; ρ (58β)

Εισάγοντας τη δεξιά πλευρά της (58β) στην (57 α), λαμβάνουμε τις υδροδυναμικές εξισώσεις κατά Eiller, της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Αυτές δίνουν στη θεωρία μία πλήρη λύση του προβλήματος

της κίνησης, αφού οι τέσσερις εξισώσεις (57 α). μαζί με m δοθείσα εξίσωση μεταξύ τωv p και ρ, και την εξίσωση

dxa dχβ gαβ ds dS=l,

επαρκούν, αν δίνονται οι ποσότητες gaβ• για να ορίσουν τους έξι α

γνώστους

Αν είναι άγνωστες και οι gμv• τότε υπεισέρχονται οι εξισώσεις (53). Αυτές είναι έντεκα εξισώσεις για τον ορισμό των δέκα συναρτήσεων gμv,

με αποτέλεσμα να υπερκαθορίζεται το σύστημα αυτών των συναρτή

σεων. Ωστοοο, θα πρέπει να θυμηθούμε ότι οι εξισώσεις (57 α) εμπεριέχονται ήδη στις εξισώσεις (53), με αποτέλεσμα οι τελευταίες να αναπαριστούν μόνο επτά ανεξάρτητες εξισώσεις. Υπάρχει εξήγηση γι' αυτή την

έλλειψη ορισμού, στο ότι η ευρεία ευχέρεια στην επιλογή των συντε

ταγμένων υποχρεώνει το πρόβλημα να παραμείνει μαθηματικά α

προσδιόριστο σε τέτοιο βαθμό, ώστε τρεις από τις συναρτήσεις του χώ

ρου να μπορούν να επιλεγούν ελεύθερα. 2

20. Οι κατά Maxwell εfισώσειs του nλεκτρομαyvnτικού πεδίου yιa τον ελεύθερο χώρο

Έστω Ψv οι συνιστώσες ενός σuναλλοίωτου διανύσματος- του διανύ

σματος του ηλεκτρομαγνητικού δυναμικού. Από αιπές σχηματίφuμε, σύμφωνα με την (36), τις συνιστώσες F ρσ του συναλλοίωτου εξα-δια

νύσματος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, σύμφωνα με το σύστημα ε

ξισώσεων

Η Γενικι'ι Θεωρία τns Σχετικότnταs 119

F = aφΡ - aφa. ρσ ax ax (59)

σ Ρ

Από την (59) έπεται ότι ικανοποιείται το σύστημα των εξι-

σώσεων

aFρσ + aF"" + aFτρ = Ο (60) dx dx ax

τ ρ σ

με την αριστερή πλευρά του να είναι, λόγω της (37) αντισυμμετρικός τα-νυστής τρίτης τάξης. 'Ετσι, το σύστημα (60) εμπεριέχει ουσιαστικά τέσσερις εξισώσεις που γράφονται ως εξής:

af23 + af34 + af42 = ο ax4 ax2 ax3 aF34 + i!F4Ι + aFB = Ο ax1 ax

3 ax

4

af41 + afι2 + aF24 = ο ax2 ax4 ax1

aFι2 + aF23 + af3ι = ο ax3 ax1 ax2

(60α)

Αυτό το σύστημα αντιστοιχεί στη δείπερη από τις εξισώσεις του συ

στήματος του Maxwell. Αυτό το αναγνωρίζΟυμε αμέσως θέτοντας

F23 : Η χ, F14 =Ε χ) F3!- H y, F24- ΕΥ

F12 =ΗΖ , F34 =ΕΖ

(61)

Τότε, στη θέση των (60α) μπορούμε να θέσουμε, με τον συνηθισμένο

συμβολισμό της τρισδιάστατης διανυσματικής ανάλυσης

aH ·1 --= curlE at

divH =Ο

(60β)

Επίσης, λαμβάνουμε το πρώτο σύστημα του Maxwell γενικεύοντας τη μορφή που δίνεται από τον Minkowski. Εισάγουμε το ανταλλοίωτο εξα-διάνuσμα που συνδέεται με την ποσότητα Faβ μέσω της σχέσης

(62)

καθώς επίσiις και το ανταλλοίωτο διάνυσμα JP της πυκνότητας του ηλεκτρικού ρεύματος. Τότε, λαμβάνοvrαc υπόψη mv (40), οι ακόλουθες εξισώσεις θα είναι αναλλοίωτες · νια οποιαδήποτε αντικατάσταση της


οποίας το αναλλοίωτο ισούται με τη μονάδα (σύμφωνα με τις δοσμέ

νες συντεταγμένες):

Έστω

p23 =Η' χ • pl4 =-Ε' χ

p3Ι =Η' p24 =-Ε' Υ 1 Υ

pΙ2 =Η' ' p34 =-Ε' z z

(63)

(64)

οι οποίες ισούνται με τις ποσότπτες Η,. ... Ez στπν ειδική περίmωσπ τπς περιορισμένης θεωρίας της σχετικότητας μαζί με τις εξισώσεις

Jl 1. J2 1. J3 = 1.z' J4 =ρ = χ ' = y'

λαμβάνουμε στπ θέση της (63) τις

aE' . lH') --+ J=CUf at

divE' =ρ

(63α)

Έτσι, οι εξισώσεις (60), (62) και (63) σχηματίζουν τη γενίκευση των πεδιακών εξισώσεων του Maxwell νια τον ελεύθερο χώρο, με τπ σύμβαση που έχουμε θέσει ως προς την επιλογή των συντεταγμένων.

Οι ενερyειακέs συνισrώσεs rou nλεκrρομαyνnrικού πεδίου. Σχηματίζουμε το εσωτερικό γινόμενο

κ =F J". σ σμ

(65)

Λόγω της (61), οι συνιστώσες της, γραμμένες με τρισδιάστατο τρόπο, είναι οι

Η ποσότητα κσ είναι ένα συναλλοίωτο διάνυσμα του οποίου οι συνιστώσες ισούνται με την αρνητική ορμή ή αντίστοιχα με την ενέργεια,

που μεταφέρεται από τις ηλεκτρικές μάζες στο nλεκτρομαγνnτικό πε

δίο ανά μονάδα χρόνου και όγκου. Αν οι ηλεκτρικές μάζες είναι ελεύ

θερες, δηλαδή επιδρά πάνω τους μόνο το nλεκτρομαγνnτικό πεδίο, το

συναλλοίωτο διάνυσμα κ σ θα μηδενιστεί.

Για να λάβουμε τις ενεργειακές σιΜστώσες Ι,'; του ηλεκτρομαγνητικού

πεδίου, χρειά1;ετaι μόνο να δώσουμε σmν εξίσωση κ σ= Ο τη μορφή της

εξίσωσης (57). Από τις (63) και (65) έχουμε καταρχήν

Η Γενικι'ι Θεωρία rns Σxεrικόrnras 121

apιιν a iJF /( =F --=-(F pι•ν)_pιιΡ~. σ σμ iJX οΧ πμ iJX

ν ν ν

Ο δεύτερος όρος mς δεξιάς πλευράς, λόγω mς (60), επιδέχεται το μετασχηματισμό

όπου η τελευταία έκφραση μπορεί επίσης, για λόγους συμμετρίας, να

γραφεί σm μορφή

- .!_ [g"a gνPp aF,.ν + g"a g vf3 iJF ap F ] • 4 αβ ax ax μν

σ σ

Όμως, σm θέση αυτής mς σχέσης μπορούμε να θέσουμε

_.!__a ( ιιa •·P p F )+.!_F F _a ( μα vfJ ). 4 ax g g αβ μν 4 αβ μν ax g g

α σ

Ο πρώτος από αιπούς τους όρους γράφεται συνοmικότερα

_.!_ _a (F~'''F ). 4 aχσ μν

ο δεύτερος, μετά mν πραγματοποίηση mς διαφόρισης και μετά από κά

ποια αναγωγή του, οδηγεί στον τύπο

_!pιιτp gνp agrπ 2 μν ax

σ

Λαμβάνοντας από κοινού και τους τρεις αιπούς όρους, παίρνουμε m σχέσπ

ar ι ag κ =-" --gτ"~Tv σ ax 2 ax τ

(66)

' ' σ

όπου

τ''= -F pνα + .!.δvF pαβ • σ σα 4σαβ

Η εξίσωση (66) είναι, αν μηδενίζεται η κ σ και ληφθούν υπόψπ οι (30), ισοδύναμη με mν (57) ή mν (57 α) αντιστοίχως. Επομένως, οι Τ~ είναι οι ενεργειακές συνιστώσες του πλεκτρομαγνπτικού πεδίου. Με m βοήθεια των (61) και (64), βλέπουμε εύκολα ότι αιπές οι ε\ιεργειακές συνιστώσες του πλεκτρομαννπτικού πεδίου δίνουν, σmν περίmωσπ της ει

δικής θεωρίας της σχετικότητας, τις γνωστές εκφράσεις MaxwellPoynting.

Τώρα έχουμε εξαγάγει τους γενικούς νόμους που ικανοποιούνται α

πό το βαρυτικό πεδίο και την ύλη, χρησιμοποιώντας με συνέπεια ένα


σύστημα συvrεταγμένων νια το οποίο ισχύει F-g = 1. Ως εκ τούτου έχουμε επι-τύχει μία σnμανηκή απλούστειισπ τύπων και υπολογισμών, χω

ρίς να παραλείψουμε να συμμορφωθούμε με την απαίτηση της γενικής

συμμεταβλπτότnτας κι αυτό γιατί έχουμε καταστρώσει τις εξισώσεις μας

από γενικά συναλλοίωτες εξισώσεις, εξειδικεύοvrας το σύστπμα των συ

vrεταγμένων.

Επίσης δεν είναι μόνο τυπικό το ενδιαφέρον για το ερώτημα αν εί

ναι δυνατόν με έναν αvrίστοιχα γενικευμένο ορισμό των ενεργειακών

συνιστωσών του βαριπικού πεδίου και της ύλης, ακόμη και χωρίς να ε

ξειδικειπεί το σύστημα συvrεταγμένων, να wποποιηθούν νόμοι διατή

ρησης στη μορφή της εξίσωσης (56) και πεδιακές εξισώσεις της βα-

ρύτητας που να είναι ίδιας φύσπς με τις (52) ή (52α), με τέτοιο τρόπο ώσι:~ στην αριστερή πλευρά να έ){οuμ~ μία απόκλιση (μ~ τη συνnGισμένn

έννοια) και στη δεξιά το άθροισμα των ενεργειακών συνιστωσών ύλης

και βαρύτητας. Έχω βρει ότι πράγματι, αιπό συμβαίνει και στις δύο πε

ριmώσεις. Όμως, δεν νομίζω ότι η ανακοίνωση των κάπως εκτεταμέ

νων συλλογισμών μου επ' αιπού του θέματος θα άξιζε τον κόπο, επει

δή στο κάτω κάτω της γραφής δεν μας παρέχουν τίποτε που να είναι

ουσιαστικό νέο.

21. Η Νευτώνεια θεωρία ωs πρώτn προσέyyισn

Όπως έχει ήδη τονιστεί περισσότερες από μία φορά, η ειδική θεωρία

της σχετικότητας χαρακτηρίζεται, ως ειδική περίmωσπ της γενικής

θεωρίας, από το ότι οι ποσότητες 9μv έχουν τις σταθερές τιμές του πί

νακα (4). Από όσα έχουν ήδη λεχθεί, αιπό σημαίνει ότι αγνοούvrαι πλή

ρως οι επιδράσεις της βαρύτητας. Θεωρώvrας την περίmωσπ όπου οι

9μv διαφέρουν από τις τιμές του πίνακα (4) κατά ποσότητες που είναι

μικρές σε σχέση με τη μονάδα και αγνοώvrας μικρές ποσότητες δεύ

τερης και ανωτέρας τάξης, φθάνουμε σε μία στενότερη προσέγγιση

(Πρώτη θεώρηση προσέγγισης).

Περαιτέρω, θα πρέπει να υποτεθεί ότι στην υπό θεώρηση χωρο

χρονική περιοχή οι ποσότητες 9μv τείνουν προς τις τιμές (4) όταν ο χώ

ρος τείνει προς το άπειρο, με μία κατάλληλη επιλογή συvrεταγμένων δη

λαδή. θf:ωpούμf: βαpυrικά πf:δία που μποpοίιv να θf:ωρηθοίιv ότι παράνο

vrαι αποκλειστικά από ύλη που βρίσκεται εvrός μίας πεπερασμένης περιοχής.

Μπορεί να διατυπωθεί η σκέψη ότι αιπές οι προσεγγίσεις πρέπει να

μας οδηγούν στη Νειπώνεια θεωρία. Όμως, νια να επιτευχθεί κάτι τέ

τοιο, χρειάζεται ακόμη, να προσεγγίσουμε τις θεμελιακές εξισώσεις α

πό μία δεύτερη θεώρηση. Εστιάζουμε την προσοΧή μας στην κίνηση ενός

Η Γεvικfι Θεωρ/α rns Σχεπκόrnrαs 123

υλικού σημείου σύμφωνα με τις εξισώσεις (16). Στην περίmωσn της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, οι συνιστώσες

dxl dx2 dx3

di'CiS'CiS μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να

υπάρχει οποιαδήποτε ταχύmτα .-----------------( dxl \ 2 ( dx2 \ 2 ( dx3 \ 2

U= ~dx4) +~dx.) +~dx.) που να είναι μικρότερη από την ταχύmτα του φωτός στο κενό. Αν περιοριστούμε στην ηερίmωσn που εκδηλώνεται ως επί το πλείσrον α

ποκλεισrικά στο πλαίσιο της εμπειρίας μας, όπου η υ είναι μικρή σε σύ

γκριση με την ταχύrητα του φωτός, αυτό σημαίνει ότι οι σuνισrώσες

dxl dx2 dx3 d;'d;'d;

θα πρέπει να αντιμετωπίζΟνται ως μικρές ποσότητες, ενώ η συνιστώ-

σα dxι/ds ισούται με τη μονάδα, αν ληφθούν υπόψη μικρές ποσότη

τες μέχρι δεύτερη τάξη (Δεύτερη θεώρηση προσέγγισης).

Από την πρώτη τώρα προσέγγιση, Επισημαίνουμε ότι τα μεγέθη Γ~v

είναι όλα τους μικρά, τουλάχιστον ως προς τους όρους πρώτης τάξης.

Έτσι, μία ματιά στην (46) δείχνει ότι σε αυτή την εξίσωση, από τη δεύτερη θεώρηση προσέγγισης, θα πρέπει να θεωρήσουμε μονάχα όρους

για τους οποίους ισχύει μ =ν= 4. Περιοριζόμενοι σε όρους της πιο χαμηλής τάξης, λαμβάνουμε καταρχήν, στη θέση της (46), τις εξισώσεις

d2x ___ τ =Γτ

dt2 44

όπου έχουμε θέσει ds = dx4 = dt· ή, περιοριζόμενοι σε όρους που θεωρούμενοι από την πρώτη προσέγγιση είναι πρώτης τάξης:

d2x dtz' = [ 44, τ] (τ = l, 2, 3)

dzx. =- [44,4]. dt2

Αν υποθέσουμε επιπλέον ότι το βαρuτικό πεδίο είναι ημιστατικό πε

δίο, περιοριζόμενοι στην περίmωσπ όπου n κίνηση της ύλης που δημιουργεί το βαρuτικό πεδίο δεν είναι άλλο από αργή (συγκρινόμενη με

mv ταχύrητα mς διάδοσης του φωτός), μπορούμε να αγνοήσουμε τις χρονικΕ:ς διαφορίσι::ις της δεξιάς πλευράς σε σύγκριση με τις διαφορί

σεις ως προς τις χωρικές συντεταγμένες, έτσι ώστε να έχουμε


d2χτ = __ .!. σg44 (τ= 1 2 3). dt2 2 σχ ' '

τ

(67)

Αυτή είναι π εξίσωσπ τπς κίνησης του υλικού σημείου σύμφωνα με τπ

Νευτώνεια θεωρία, στπν οποία ο όρος~ g44 διαδραματίζει το ρόλο του βαρυτικού δυναμικού. Το εξαιρετικό σε αυτό το αποτέλεσμα είναι ότι

μόνο π συνιστώσα g44 του θεμελιώδους τανuστή ορίζει, σε πρώτη προ

σέγγιση, τπν κίνηση του υλικού σημείου.

Στρεφόμαστε τώρα στις πεδιακές εξισώσεις (53). Εδώ θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι ο ενεργειακός τανuστής τπς «ύλπς» ορίζεται

περίπου αποκλειστικά από την πυκνότητα της ύλπς με την περιορισμένη

σημασία, δπλαδή από τον δεύrερο όρο τπς δεξιάς πλευράς τπς (58) (ή, αντιστοίχως, των [58α] ή [58β]). Αν σχnμmίσοuμε τπν εξεταζόμενη πιχr

σέγγιση, όλες οι συνιστώσες μηδενίζονται με μοναδική εξαίρεση τπν

Τ44 =ρ= Τ. Στην aριστερή πλευρά της (53) ο δεύτερος όρος είναι μία μικρή ποσότητα δεύτερης τάξης ο πρώτος οδηγεί, με τπν εξεταζόμε

νη προσέγγιση, στπν ποσότητα

σ σ σ a -. [μv,Ι] +- [μv, 2] +- [μv,3]-- [μv, 4 ]· ax1

ax2

σχ3 σχ4 Για μ = v = 4, αυτό δίνει, παραλείποντας όρους που διαφορίζονται ως προς το χρόνο,

Έτσι, π τελευταία από τις εξισώσεις (53) καταλήγει στπν

v 2g44 =ιφ. (68)

Οι εξισώσεις (67) και (68) είναι, από κοινού, ισοδύναμες με τον Νευτώνεια βαρuτικό νόμο.

Από τις (67) και (68) η έκφραση νια το βαρuτικό δυναμικό γίνεται

-~Jρdτ (68α) 8π r

ενώ η θεωρία του Νεύτωνα δίνει, με τπ μονάδα χρόνου που έχουμε ε

πιλέξει

-~Jpdτ c2 r

όπου π κ συμβολίζει τη σταθερά 6,7xlo-8 , που συνήθως aποκαλείται

βαρυτική σταθερά. Συγκρίνοντας λαμβάνουμε

κ= Sπκ1·87χιο-27 • c2 (69)


22. Συμπεριφορά ράβδων και ρολοyιών μέσα στο στατικό βαρυτικό πεδίο. Κάμψn των φωτεινών ακτίνων. Κίνnσn του περιnλίου

μιαs πλανnτικfιs τροχιάs

Προκειμένου να φτάσουμε στη θεωρία του Νεύrωνα ως πρώτη προ

σέγγιση, έπρεπε να υπολογίσουμε μία μόνο συνιστώσα, την g44, από τις

δέκα 9μν του βαρυηκού πεδίου, αφού μόνο αυτή η συνιστώσα υπεισέρχεται στην πρώτη προσέγγιση, (67), της εξίσωσης για την κίνηση του υλικού σημείου μέσα στο βαρυτικό πεδίο. Ωστόσο, από αυτό είναι ή

δη προφανές ότι άλλες συνιστώσες του 9μν πρέπει να διαφέρουν από τις τιμές που δίνονται στον πίνακα (4) κατά μικρές ποσότητες πρώτης τάξης. Αυτή η απαίτηση προκύmει από τη σχέση g = -1.

Για μία σημειακή μάζα που δημιουργεί πεδίο και βρίσκεται στην αρ

χή των συντεταγμένων, λαμβάνουμε, σε πρώτη προσέγγιση, την αξο

νικά συμμετρική λύση

χ χ

g =-δ -α_L_3 σ (p,σ =1,2, 3) pσ ρσ r

g p4=g4p=0 (p=l,2, 3)

α g =1--44 r

(70)

όπου το δρα ισούται με 1 ή Ο αντιστοίχως, ανάλογα με το αν ισχύει ρ = σ ή ρ ;r σ, ενώ r είναι η ποσότητα

Λόγω της (68α), ισχύει

κ Μ α= 4π, (70α)

αν με Μ συμβολίζεται π μάζα που δημιουργεί πεδίο. Εύκολα μπορούμε

να επαληθεύσουμε ότι οι πεδιακές εξισώσεις (στο εξωτερικό της μάζας)

ικανοποιούνται από μικρές ποσότητες πρώτης τάξης.

Τώρα, εξετάζουμε την επίδραση που ασκείται από το πεδίο της μά

ζας Μ πάνω στις μετρικές ιδιότητες του χώρου. Η σχέση

ds2 = gμvdxμdxv

ισχύει πάντοτε μεταξύ των «τοπικά» (βλ. παράγραφο 4) μετρηθέντων μηκών και χρόνων ds από m μία μεριά, και των διαφορών των συντε

ταγμένων dχν' από την άλλη.

Για μία μονάδα μnκους που κείται «παράλληλα» προς τον άξονα

των χ, θα έπρεπε, νια παράδειγμα, να θέσουμε dS2 =-1 . dx2 = dx3 = dx4. Επομένως -1 = gll dx2

1• Αν, επιπροσθέτως, n μονάδα μήκους κείται


πάνω mον άξονα των χ, τότε η πρώτη από τις εξισώσεις (70) δίνει

( α \ gl! =-ι 1+7J ·

Από αυτές τις δυο σχέσεις έπεται ότι ισχύει, με ακρίβεια μικρών ποσο

τήτων πρώτης τάξης,

(71)

Έτσι η μοναδιαία μετρητική ράβδος εμφανίζεται να έχει μικρύνει κατά

λίγο σε σχέση με το σίιστnμα συντεταγμένων, λόγω της παρουσίας του

βαρυτικού πεδίου, αν η ράβδος κείται κατά μήκος μίας ακτίνας.

Κατ' ανόλογο τρόπο λαμβάνουμε το μήκος των σuvrεταγμένων, σε

εφαmομενικπ διεύθυνση, αν θέσουμε, για παράδειγμα,

ds2 = -1" dxl = dx3 = dx4 =ο· χι= r, χ2 = χ3 =ο.

Το αποτέλεσμα είναι

-1 = g22dx~ = -dx~. (71α)

Επομένως, στην εφαmομενική θέση, το βαρυτικό π~δίο της σημεια

κής μάζας δεν ασκεί καμία επίδραση mo μήκος μίας ράβδου. Έτσι, η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν ισχύει ούτε καν σε πρώτη προσέγγιση μέσα

mo βαρυτικό πεδίο, αν επιθυμούμε να θεωρήσουμε μία και την αυτή ράβδο ως πραγμάτωση του ίδιου διαστήματος, ανεξαρτήτως της θέ

σης και του προσανατολισμού της, αν και βέβαια, μία ματιά mις (70α)

και (69) δείχνει ότι οι αποκλίσεις που αναμένονται είναι πάρα πολύ μικρές για να επισημανθούν σε μετρήσεις που γίνονται πάνω στην επι

φάνεια της γης.

Ας εξετάσουμε, περαιτέ(Χι.>, το ρυθμό ενός ρολογιού που χρησιμεύει

ως μονάδα μέτρησης, και το οποίο κανονίζεται να ηρεμεί μέσα σε έ

να mατικό βαρυτικό πεδίο. Εδώ, για μία περίοδο του ρολογιού έχου

με ds = 1 · dx1 = dx2 = dx3 = Ο. Επομένως

1 = g44dx~·

dx =-1- = 1 =1-l(g - 1) 4 5:: J(l+(g •• -1)) 2 44

ή

dx = 1+~fpdt . 4 Βπ r

(72)

Η Γεvικιi Θεωρία τns Σχετικότnταs 127

Έτσι το ρολόι πηγαίνει πιο αργά αν βρεθεί μέσα στη γειτονιά σταθ

μήσιμων μαζών. Από αυτό έπεται ότι οι φασματικές γραμμές του φω

τός που φτάνει σε μας από τnν επιφάνεια μεγάλων αστέρων εμφανίζε

ται μετατοπισμένο προς το ερυθρό άκρο του φάσματος. 3

Τώρα, εξετάζουμε την πορεία των φωτεινών ακτίνων μέσα στο στατικό βαρuτικό πεδίο. Από την ειδική θεωρία της σχετικότητας n τα){ύτπτα του φωτός δίνεται από την εξίσωση

κι επομένως από τη γενική θεωρία της σχετικότητας από την εξίσωση

(73)

Αν είναι δοσμένη η διεύθυνση, δηλαδή ο λόγος dx1:dx2:dx3 η εξίσωση

(73) δίνει τις ποσότητες

και συνεπώς την ταχύτητα

dχι dx2 dx3 dx4 ' dx4 'dx4

.---~z~----72 ----~2

( dχι \ ( dx2 \ ( dx3 \

\ dx4) +\ dx4) +\ dx4) =γ οριζόμενη σύμφωνα με την έννοια της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Εύκο

λα αναγνωρίζΟυμε ότι η πορεία των φωτεινών ακτίνων πρέπει να καμ

φθεί ως προς το σύστημα συντεταγμένων, αν οι ποσότητες gμv δεν είναι σταθερές. Αν n είναι μία διεύθυνση κάθετη στη διάδοσπ του φωτός, n αρχή του Huyghens δείχνει ότι π φωτεινή ακτίνα, θεωρούμενη μέσα στο επίπεδο (y, n), έχει καμπυλότητα -ay;an.

Εξετάζουμε την καμπύλωσn που υφίσταται μία ακτίνα φωτός που

διέρχεται από μία μάζα Μ σε απόσταση Δ. Αν επιλέξουμε το σύστημα

συντεταγμένων σε συμφωνία με το διάγραμμα που συνοδεύει την πε

ριγραφή μας, η ολική κάμψη της ακτίνας (που υπολογίζεται ως θετική

αν είναι κοίλη ως προς την αρχή των αξόνων) δίνεται με επαρκή προ

σέγγιση από τη σχέση

Β= {oc!r__dx, _, aχι 2

ενώ οι (73) και (70) δίνουν

( g44 \ 1 α (I χ~\ r= ~-g22J= -zrl +τzJ·

Πραγματοποιώντας τον υπολογισμό, παίρνουμε


Β= 2α = κΜ. Δ 2πΔ

(74)

Δ Εικόνα

Σύμφωνα με αυτό το αποτέλεσμα, μία ακτίνα φωτός που διέρχεται

κονrά aπό τον Ήλιο υφίσταται μία εκτροmΊ κατά 1,7"· ενώ μία ακτίνα που &έρχεraι κονrά aπό τον πλaνήτη Δία, ειcrρέπεraι περίπου κmά 0,02".

Αν υπολογίσουμε το βaρυτικό πεδίο σε έναν υψηλότερο βαθμό προ

σέγγισης και παρομοίως με μία aνrίστοιχπ ακρίβεια την τροχιακή κίνπσπ

ενός υλικού σημείου με σχετικά άπειρα μικρή μάζα, βρίσκουμε μία α

πόκλιση του ακόλουθου είδους από τους νόμους των Κepler-Νεύτωνα

για την πλανητική κίνπση. Η τροχιακή έλλειψη ενός πλανήτη υφίστα

ται μία aργή περιστροφή, στην κατεύθυνση της κίνπσπς, κατά την πο

σότητα

α2 ε= 24π3 (75)

T2c2 (l-e2)

ανά περιστροφή. Σε αυτόν τον τύπο, το α δηλώνει τον κύριο ημιάξονα

της έλλειψης, το cτην ταχύmτα του φωτός μετρημένη ως συνήθως, το

e mν εκκεvrρόmτα, και το Τ τον χρόνο περιφοράς σε δεύτερα.4

Ο υπολογισμός δίνει, για τον πλaνήτη Ερμή, μία περιστροφή της τρο

χιάς κατά 43" ανά αιώνα, που αντιστοιχεί επακριβώς στην aστρονομι

κή παρατήρηση (Le Verήer)· κι αυτό γιατί οι aστρονόμοι έχουν ανακαλύψει στην κίνπση του περιηλίου αυτού του πλανήτη, λαμβανομένων

υπόψη και των διαταραχών από άλλους πλανήτες, ένα ανεξήγητο υ

πόλοιπο αυτού του μεγέθους.

Σnμειώσειs

1. Για έναν παρατηρητή που χρησιμοποιεί ένα σύστημα αναφοράς με την έν

νοια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας για μία άπειρα μικρή περιοχή

και κινείται μαζί του. η πυκνότητα ενεργείας Τ~ ισούται με ρ-p. Αυτός εί

ναι ο ορισμός της ρ. Έτσι, η ρ δεν είναι σταθερή για ένα aσυμπίεστο ρευ

στό. (Σ.τ.Σ.)

2. Αποκλείοντας τπν επιλογή των συντεταγμένων με βάση τη σχέση g = -1, απομένουν τέσσερις συναρτήσεις χοορου με ελευθερία επιλογής, που

Η Γεvικiι Θεωρία rns Σxεrικόrnras 129

αντιστοιχούν στις τέσσερις αυθαίρετες mΝαρτήσεις που βρίσκονται στn διά

θεσή μας όσον αφορά στην επιλογή των συντεταγμένων. (Σ.τ.Σ .)

3. Κατά τον Ε. freundlich, φασματοσκοπικές παραmρfισεις απλανών αστέρων

συγκεκριμένων τύπων, υποδεικνύουν mν ύπαρξη επίδρασης τέτοιου είδους,

αλλά προς το παρόν δεν έχει πραγματοποιηθεί ένας κρίσιμος δοκιμαστικός

έλεγχος αυτής mς επίmωσnς. (Σ.τ.Σ.)

4. Για το υπολογισμό παp1πέμπω στα πρωτότυπα άρθρα: Α. Einstein, Sitzungsber d. Preuss. Akad. d. Wiss., 1915, σελ. 831· Κ. Schwarzschild, στο ίδιο , 1916, σελ. 189. (Σ.τ.Σ.)

Η Θεμελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας -...

Documents

Transcript of Η Θεμελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας -...