Ακολουθία Fibonacci5η συνάντηση

6/11/2013

Ακολουθία Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, …):

Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής από τον τρίτο και μετά είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων. 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, κλπ

ο λόγος 2 διαδοχικών αριθμών στην Ακολουθία Fibonacci συγκλίνει στον αριθμό φ:

Το όριο της ακολουθίας Fibonacci είναι ο αριθμός που συμβολίζεται με το γράμμα φ προς τιμήν του Φειδία

Στη φύση: Οι όροι της ακολουθίας Fibonacci

χρησιμοποιούνται από τη φύση σε πολλές περιπτώσεις.

χαρακτηριστικό παράδειγμα: Τα διαδοχικά φύλλα των φυτών σχηματίζουν σταθερές γωνίες που αν εκφραστεί η κάθε μια ως μέρος του κύκλου προκύπτει κλάσμα του οποίου οι όροι, είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci.

Ακολουθία Fibonacci, τριαντάφυλλα, ηλιοτρόπια & κουκουνάρια:

Η συμβολή της ακολουθίας Fibonacci επεκτείνετε και στην τέχνη, στην αρχιτεκτονική κτιρίων(Eden Project), ενώ έχει υπάρξει αντικείμενο έμπνευσης για πολλούς καλλιτέχνες στη Μουσική(Krzysztof Meyer), στον Κινηματογράφο(Pi, The Da Vinci Code, 21), στη Λογοτεχνία (The Da Vinci Code, The Wright 3, Decipher), στην τηλεόραση, σε ψηφιακά εφέ και σε κόμικ.

Τρίγωνο Πασκάλ (αν αθροίσουμε διαγωνίως τους αριθμούς του τριγώνου, τα αποτελέσματα είναι οι αριθμοί Fibonacci)

   Το Τρίγωνο του Πασκάλ ( Pascal 1623-1662) 1 1      1 1     2     1 1     3     3     1 1     4      6      4     1 1    5     10     10     5    1 1    6     15     20     15     6    1 1    7     21    35     35    21     7    1 1    8    28    56     70     56    28    8    1 1    9   36    84    126    126    84    36   9    1 1   10   45   120   210    252    210  120   45  10  1 1  11   55   165   330   462   462   330   165   55   11  1 1   12   66   220   495   792   924   792   495   220   66 

12   1 . . . .

Ιδιότητες: Στο τρίγωνο του Πασκάλ κάθε αριθμός από την τρίτη γραμμή και κάτω, εκτός

από τις μονάδες, είναι το άθροισμα των αριθμών της προηγούμενης γραμμής, που είναι πιο κοντά του

Οι αριθμοί της ν-οστής γραμμής είναι συντελεστές του αναπτύγματος (α+β)ν. Παράδειγμα: Το ανάπτυγμα του (α+β)4 έχει συντελεστές 1. 4, 6, 4, 1 τους αριθμούς της πέμπτης γραμμής. 

Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι ίσο με μια δύναμη του 2. Για την ακρίβεια το άθροισμα των αριθμών της ν-οστής γραμμής είναι ίσο με  

Οι αριθμοί   1,   1,    2,    3,    5,    8,  13,    21, ...                                                 1                                                 1    1                                                 1    2     1                                                 1    3     3     1                                                  1    4     6     4     1                                                 1    5    10   10    5     1                                                 1    6    15   20   15    6    1                                                 1    7    21   35   35   21   7    1 που είναι τα αθροίσματα των αριθμών του σχήματος, είναι οι όροι της

ακολουθίας που είναι γνωστή με το όνομα "ακολουθία Fibonacci". Ο κάθε όρος της ακολουθίας αυτής από τον τρίτο και μετά είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων. 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, κλπ

Αν στο τρίγωνο του Πασκάλ χρωματίσουμε τα πολλαπλάσια του 2 σχηματίζονται ισόπλευρα τρίγωνα, με πλευρές 1, 3, 7, 15, ... αριθμούς. Αν χρωματίσουμε τα πολλαπλάσια του 3 σχηματίζονται ισόπλευρα τρίγωνα, ρόμβοι, ορθογώνια  κ.λ.π.