Post on 11-Jan-2017
2 - 2016
501
-
(
)
:
501 ,
.
2014 . ( 200 forum mathematica.gr) . , , .
.
, .
(1360 ).
. , , .
/
-
papamikroulis.dimitris@gmail.com
pavtrifon@gmail.com
(
).
.
.
1 /
2 / /
3 / /
4 / / / / 1-1 /
5
6
7 / /
8 Rolle / /
9 / / / /
10 /
11 / / / Bolzano /
12 Bolzano / / Rolle
13 Bolzano / / /
14 / /
15 / / /
16 / / / Bolzano
17 / / /
18 Bolzano /
19
20 / / /
21 / / / /
22 / / / / /
23 / / /
24 / / Bolzano
25 /
26 / / /
27
28 /
29 / / Bolzano
30 / / / / 1-1
31 Bolzano / Rolle / /
32 / / /
33 / / /
34 / /
35 / /
36 / Rolle /
37 / Rolle
38 / / /
39 / / /
40 / / Rolle / Bolzano
41 / / Bolzano / /
42 / Bolzano /
43 / /
44 / / /
45 / / / /
46 / / / /
47
48 / /
49 / /
50 / /
51 / / /
52 / / / / /
53 / /
54 / / / / /
55 / / / /
56 / / / Bolzano /
57 / / Rolle / /
58 / Rolle
59 Bolzano / Rolle / / / /
60 / / /
61 / Rolle / Bolzano
62 / /
63 / / / Rolle / / /
64 / /
65 / / / Bolzano / Rolle
66 / / / / Rolle / / / / Bolzano /
67 / / /
68 / Fermat / Rolle / Bolzano /
69 / / /
70 / / / / Rolle / /
71 / /
72 / /
73 / / Fermat / Bolzano / /
74 / / / / Rolle
75 / / Fermat / / Bolzano / /
76 / / / Rolle
77 / / Fermat / /
78 / /
79
80 Bolzano / Rolle / / /
81 / Rolle /
82 / / /
83 / / / /
84 / /
85 / / /
86 / / / /
87 / / /
88 / / /
89 / / Fermat / /
90 / / Bolzano /
91 / /
92 / / / / /
93 / / /
94 / 1-1 / / / Rolle
95 / / /
96 / Bolzano / /
97 / / / / /
98 / / / Bolzano /
99 / Fermat / Rolle /
100 / / / / Bolzano
101 / / Fermat / /
102 / / / /
103 / / / / /
104 / /
105 / / / Bolzano
106 1-1 / / /
107 / / 1-1 / / / / Bolzano
108 / / /
109 / / / / Bolzano
110 / Rolle / / /
111 / /
112 / / / / /
113 / / / / Bolzano
114 / / / / / /
115 /
116 / Rolle
117 / / / /
118
119 1-1 / / / Bolzano / Rolle /
120 / /
121
122 / / / Rolle / Bolzano
123 / / / /
124 / /
125 / / /
126 / / / Bolzano
127 / / Fermat / Rolle / Bolzano
128 / /
129 / /
130 / 1-1 /
131 / / / / / /
132 /
133 / / Rolle /
134 / / / /
135 Fermat / Bolzano / Rolle
136 / / / Bolzano /
137 /
138 / Rolle / Bolzano /
139 / / Bolzano / /
140 / Bolzano /
141 1-1 /
142 / / /
143 / / / /
144 / / /
145 / / / / /
146 / / Rolle / / Bolzano
147 / / / / Rolle
148 / / / /
149 / Bolzano / / Rolle /
150 / / / / Rolle / Bolzano
151 / / / / /
152 / /
153 Bolzano / /
154 / /
155 / 1-1 / /
156 / / / / / Bolzano
157 Bolzano / / / Rolle
158 / / / /
159 / / Bolzano /
160 / Bolzano / 1-1 /
161 / / / /
162 / / Bolzano
163 / / Bolzano /
164 /
165 / /
166 / 1-1 / / /
167 / /
168 / Bolzano /
169 / /
170 / / /
171 / /
172 / / Fermat /
173 / / Bolzano / / / /
174 / Bolzano
175 / / Rolle
176 / / /
177 / / / / Fermat
178 / / / /
179 / / / / Bolzano / Rolle / /
180 /
181 Bolzano / /
182
183 / / / /
184 / / / / //
185 / / / / / /
186 / / Bolzano / Rolle
187 / /
188 / Bolzano / Rolle
189 / / / /
190 /
191 / / / /
192 / / Fermat / / /
193 / / /
194 / / /
195 / /
196 / / / / / Bolzano /
197 / / / Rolle / /
198 / / /
199 / /
200 / / / 1-1 / /
201 / / /
202 10 ( )
203 ( )
204 ( )
205 ( ) /
206 ( ) /
207 / / / / / /
208 / / / / / /
209 / / / Bolzano /
210 / /
211 / / /
212 / /
213 / ( )
214 / /
215 / / Fermat /
216 / Rolle
217 Bolzano / / / / / 218 / Bolzano / Fermat / / /
219 / / / /
220 / / / Bolzano / / /
221
222 / / / / /
223 / / / Rolle /
224 225 226 / !
227 / / / 1-1
228 / / / 1-1 /
229 / / Fermat / / Bolzano / Rolle /
230 / Fermat / Rolle / /
231 / Bolzano / /
232 / / / Bolzano /
233 / /
234 / / / /
235
236 / / /
237 / /
238
239 / / /
240 / Bolzano / Fermat / / Rolle /
241 / / Bolzano
242 / /
243 / / /
244 / / /
245 /
246 / / / / Bolzano / Rolle /
247 / / /
248 Bolzano / / Rolle /
249 / / Bolzano
250
251 / /
252 / Rolle / /
253 / / /
254 / /
255 / / / Rolle / Bolzano
256 / / / / /
257
258 / / / / Bolzano
259 / / /
260 / / / /
261 / Bolzano /
262 / /Bolzano// .
263 / / / / / /
264 / / / /
265 / / / Bolzano
266 / / / Rolle / / Bolzano / /
267 / / /
268
269 /
270 / / Rolle / / / Bolzano /
271 / / /
272 / / / /
273 Rolle / / / / /
274 / / / Bolzano / /
275 / / /. / &
276 / / / /
277 Fermat / Rolle / / /
278 / / & /
279 / /
280 / / /
281
282 / / / Bolzano /
283 / / / / /
284 Rolle /
285 / / /
286 Bolzano Rolle
287 / / /
288 -
289 / Rolle / Bolzano
290 / / Bolzano
291 / /
292 / / / /
293 Rolle
294
295 / Rolle
296 Rolle / /
297 / / . .
298 / /
299 / / / /
300 Bolzano / / / / /
301
302 Bolzano / / / & / .
303 / / / / /
304 / / Fermat
305 / Rolle /
306 / /
307 Fermat
308 / /
309 / /
310 / Bolzano
311 /
312 / / Rolle
313 / /
314 / / Fermat
315 Bolzano -
316 Rolle / /
317
318 / / Rolle /
319 / / /
320 / / / Fermat / Rolle / 321 / / / Rolle / Bolzano
322
323 / / / Bolzano /
324 Fermat / / / /
325 / / /
326 / / Bolzano /
327 Rolle / Bolzano /
328 1-1 / / /
329 / /
330
331 Fermat / / Rolle
332 / / / / Bolzano /
333 / / Bolzano /
334 / / / / /
335 / / / Bolzano
336 / / Bolzano / / Rolle
337 / / / Rolle
338 / & / & / Rolle
339 / / / /
340 () Fermat / / / / /
341 / / /
342 / / / Bolzano / / Rolle
343 / / Bolzano /
344 / () /
345 / / /
346 / / / / / /
347 / Fermat / / / Bolzano /
348 / / / Rolle
349 / /Fermat / / Bolzano
350 / / / Bolzano
351 - / /
352 / / /
353 / / DL / Rolle
354 Fermat / Rolle / / /
355 / / / Rolle /
356 Bolzano / / /
357 / /
358 / Fermat / / Bolzano / ( )
359 / / Rolle
360 / / /
361 ( ) / /
362 . / & /. / Bolzano / /
363 /Fermat
364 / / /
365 Fermat / / Rolle / / Bolzano
366 / Bolzano / /
367 / / / /
368 / Fermat / / / / / Rolle
369 () /
370 - / /
371 / Bolzano
372 / Fermat / / / Bolzano
373 / / Fermat / /
374 / / / / / Bolzano / Rolle /
375
376 377 378 379 & / / & / / 1-1
380
381 Rolle / Bolzano /
382 / /
383 / /
384 / Bolzano
385 1-1 / /
386 / 1-1 / /
387 / / / / / Bolzano
388 1-1 / / Fermat / / Rolle /
389
390
391 . / & / & Rolle/ / &
392 / / Bolzano
393 . / Bolzano/ Fermat/
394 /
395 / / .
396 / Bolzano
397
398
399 / /
400 / / /
401 / / / 402 : / /
403 . / . + /
404
405 Fermat / /
406
407 / / / /
408
409 / /
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420 7 DL
421 7
422 / Fermat / Rolle
423 / / / Bolzano
424 / /
425 / Bolzano / /
426 / / / /
427 / / /
428 / / /
429 / / / /
430 / / Bolzano
431 /
432 /
433 / / /
434 / / /
435 /
436 / /
437 / / / /
438 / / / Bolzano /
439 / / / / /
440 / / / / /
441 / / +
442 / / Bolzano
443 / / / / / Bolzano
444 / / /
445
446 / / /
447 / Bolzano
448 / / /
449 / / / / /
450 / /
451 / /
452 / Rolle /
453 / / / 1-1
454 / / / /
455 / /
456 Fermat / / / Bolzano
457 Bolzano / / /
458 : / Bolzano / /
459
460 / / / / Bolzano /
461 / / /
462 / / 463 / / / 464 / / / / / Bolzano
465 / / 1-1 /
466 / / / Rolle /
467 / / / Bolzano
468 / / / Bolzano 469 / 470 / / / 471 + / / /
472 / / 473 / / + /
474 / /
475 476 /
477 / /
478 / /
479 / Bolzano /
480 / / / / /
481 / / / / ()
482 / / 1-1
483 / Rolle / /
484 Bolzano / / / /
485 / - / .Bolzano / / . / &
486 / 1-1 / Fermat /
487 : - / Fermat /
488 Fermat / / 1-1 / / / /
489 & / / / Bolzano
490 + +Fermat / /Bolzano//
491 / Bolzano / / / / /
492 & / / / /
493 / / / ///
494 / / / / & . / &
495 / / & / . /
496 / / / /Bolzano
497 / / / / / /Rolle
498 / / / Bolzano / / Rolle
499 / / / / Bolzano / /
500 / / / /
501 /
: 2016
- 501 - :
1
, w 2 w 1 , z .
i) 4 w z 4
z 4 w z w 1 4 w zw z zw w z 4 w z 1 z 4 ww 1 z 1
: z 1 ,
4 wz 1 1 4 w 1 w 4 1
w 1, .
,
2 2z 4
w 2 2 z 4 2z 2 z 4 2z 2 z 4 z 4 2z 2 2z 2z 1
2zz 4z 4z 16 4zz 4z 4z 4 z 4 z 2 .
ii)
a. z w z w z w 2 2 4 .
b. 2
2 w 4w 4 4 w 1 4w 1
.
2 2 2w 4 w w w 4 w w w 4 w 4 w 4w w
w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1
2 z 2 2 4 .
iii) 4 2 4 2 2 2w 8 2 w 32Rew 80 w 8w 16 32Rew 80 w 4 32 Rew 80
1
( . / )
z, w
i.
ii. :
a.
b.
iii. :
iv. z, w .
1
: 2016
- 501 - :
2 2w 4 32 Rew 80
, ii :
2 2 2 2w 4 4 w 1 w 4 16 w 1 .
, , :
2 216 w 1 32Rew 80 w 1 2Rew 5 w 1 w 1 2Rew 5
2w w w 1 2Rew 5
2 22 w w 2Rew 4 2 2Rew 2Rew 4 4 4 , .
iv) z , w 2 2x y 4 , z w 2 (, 2 2y 4 x ).
:
2 2 22 22 2
z 4 z 1 z z z 4z 44 z z z 4 z z 4z w z
z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
222 2
4 z z z 44z 4z z 4
z 1 z 1
2 2
2 2
4 2yi x yi 4 2x 8 2x 8iy
2x 5 2x 5x 1 y
.
( 2 2y 4 x ) 2
2 4 xz w 4 , x 22x 5
.
24 x
f x , x 2 , 22x 5
,
22 x 1 x 4
f x , x 2 , 22x 5
.
f x 0 x 2 , 1
f x 0 x 1 , 2
, f 1 . , z w x 1 . x 1
2 2y 4 1 3 y 3 . , z 1 3 i z 1 3 i 4 z
w 1 3 iz 1
w 1 3i .
,
z , w 1 i 3 , 1 i 3 1 i 3 , 1 i 3 .
z w 1 i 3 1 i 3 2 2i 3 4 12 4 2 2x y 4
z , w 2 2x y 4 .
(, z w 1 i 3 1 i 3 4 .)
2
: 2016
- 501 - :
2
)
x
1
f t dtx 1 , g x
x 1
. f ( )
x
1
f t dt g
1 , , g 1 , .
g 0x 1 :
x
1
xx 0f 0 f
11
1 1x 1 x 1 x 1 x 1
f t dtf t dt f xlim g x lim lim lim f 1 1 g 1
x 1 1x 1
, g 1 , .
) x 1 ,
x x
1 1
2
f t dt x 1 f x f t dtg x
x 1 x 1
.
,
2
g,
:
A. g .
B. g.
C. g .
D.
3
: 2016
- 501 - :
x
1
x 1 x 1
f t dt1
g x g 1 x 1lim lim
x 1 x 1
x0 0
f 0 01
2 1x 1 x 1
f t dt x 1 f x 1lim lim
x 1 2 x 1
f 1x 1 x 1
f x 1 f x f 1lim lim 0
2 22 x 1
.
,
x
1
2
x 1 f x f t dt, x 1g x x 1
0 , x 1
C) g 1, g x 0 , x 1 ,
x
1
x 1 f x f t dt 0 , x 1 .
1
x
1
G x x 1 f x f t dt , x 1 , .
G 1 , ,
G x f x x 1 f x f x x 1 f x .
, f f 1 , ,
x 1 f x f 1 0 f 1 , .
,
G x x 1 f x 0 , x 1 G 1 , .
,
x
1
x 1 G x G 1 x 1 f x f t dt 0 .
2
x
1
F x f t dt , x 1 . x 1 f x F x , x 1 .
... F 1 , x 1 , x :
F x F 1 F x F x
F f x 1 x 1 x 1
.
1 x
4
: 2016
- 501 - :
,
f F x
1 x f f x f x F x x 1 f xx 1
.
D)
1 a .
a
1 1 1
1
f t dt f t dt f t dta 1g a g
1 a 1 1f t dt
,
, g 1 , .
5
: 2016
- 501 - :
3
i.
x 0lim f x f 0
, x 0lim f x 0
.
xx 0 x 0xx
lim f x lim 0e 1
, 2
x x
xxx
e 1 e 1
( x x )
0 222 0
x x xx 0 x 0 x 0 x 0x
x xx 2x 0lim lim lim 0 lim 0
1e 1 e e 1e 1
.
, , xx 0
xxlim 0
e 1
.
[ : x 0lim f x 0
DL. :
0
0
x xD.Lx 0 x 0 x 0x
x 0 0lim lim lim 0
1e 1 ee 1 ]
3
i. f 0.
ii.
.
iii. :
a.
f,g .
b. .
6
: 2016
- 501 - :
ii. f * , . , f 0. , f
, ( 0
0 0x xlim f x f x , x
).
xxx x x
xxf x e 1 x
lim lim lim 0x x e 1
, x
x x
x 10
e 1 e 1
0 . ,
xx x x
xx lim f x lim f x lim 0
e 1,
x x
xx x
e 1 e 1
, x 0 .
x xx x xx
x x 1 1lim lim lim 0
e 1 ee 1
, xx
xlim 0
e 1
.
0 . , y 0
fC . :
xxx
f x 0 0 xx 0 x 0 x , e 1
.
, , 0 .
iii.) g , . :
x
x x
xe x, x 0
g x e f x e 1
0 , x 0
x xxx , x 0
g x f x e f x f x e 1 f x0 , x 0
.
g x f x xx , x . f, g 0 , ,
xx 0
0 0 , 0 0 0 0 0
E g x f x dx xx dx xxdx x x dx x x x dx
0 x .
) :
xx
x x
xe xxe xg x g x xx , x 0
e 1 e 1
.
,
x 0 , g x g x xx .
x 0 , g 0 0 .
,
7
: 2016
- 501 - :
g x g x xx , x .
,
I g x dx
xx g x dx xxdx g x dx
.
g x dx
u x du dx .
,
g x dx
g u du g u du g x dx I
.
,
1 1I xxdx I I xxdx x x dx
2 2
1 1x x xdx 2 0
2 2
8
: 2016
- 501 - :
4
)
i. h 0 , , 1
h x 1 0 , x 0 hx
0 , h 1 1 .
1 e
1
1
I h x dx
1u h x x h u dx h u du .
x 1 h u 1 h u h 1 u 1 .
x 1 e h u 1 e h e u e .
,
e2 2e e e
1 1 11
1 u 1 e 41I uh u du u 1 du 1 u du
u 2 2
.
4
( .) A.
i. h
ii. ,
iii.
B.
i. f (.ii) .
ii. f
g,
iii. ),ii) .
9
: 2016
- 501 - :
ii. h , lnx x 0
.
h:
h
xx 0h 0 , lim h x , lim h x ,
0 , h x 0 0 .
iii. :
x 0 x 0 x 0x x 1 1
lim lim lim x 0 0 0 0x lnx x lnxh x
,
2 2x xx x
lim lim 0h x x lnx
,
x
2 2 2
x 1 10
x lnx x lnx
.
)
i. f 0 , , 2x
f x xlnx x lnx x h x , x 02
.
h
x h x h 0 h x 0
.
h
0 x h x h 0 h x 0
.
0
f x
f x 2 1
min
f h . f .
ii. 1
f 12
f 1 1 . ,
1 3 : y x 1 : y x
2 2 . :
3 32 2 3 2
y g xx x11 3 1
x x x x 0 x 3x 3x 1 03 3 6 2 3 3y x2
3 2x 1 3x x 1 0 x 1 x x 1 3x x 1 0
2 2 2x 1 x x 1 3x 0 x 1 x 2x 1 0 x 1 x 1 0 x 1
10
: 2016
- 501 - :
: g
C 1 , g 1 3
: y x2
[ ,
y g 1 g 1 x 1 ]. , Bii
.
iii.
0
0
x x x x x
11f x h x x lnxx lnx 1xlim lim lim lim lim 1
x x x 1 x
.
11
: 2016
- 501 - :
5
z w 0 0 , z w 0 .
i. w , w i , 0 . : 2 2w z zi i i zi
z yi
2 2 2 2 2i zi i x yi i i xi y x i y x 0 y 0
2x , y .
, 2z i . ,
2 4 2 4 2 4z w i 0 0 , .
ii. 2 2w z zi w z zi w zz zi w z z i w z z i z i z i 1 .
, z x yi , x , y , z 0 , 1 1.
, 2 2x y 1 1 1 .
w a i , a , .
2 2 2 2 2w z zi i x y x yi i a i x y xi y
2 2a x y y
2 x
.
2 21 x y 2y . ,
a y2 3
x
5
:
i. w .
ii. z, w .
iii. z, w .
12
: 2016
- 501 - :
, z x yi w y xi .
z : 2 21C : x y 1 1 . 3
w 2 22C : 1 x y 1 . ( 1 , 0
1). 1 2
C , C , 2 1 1 2 .
iii. z , w , ( ). 0 , 0 1 , 1 .
[ , 1 , 1 1 , 2 ]. ,
z w 0 ( z w 0 ) z w 1 i ( 2w z zi
1 i 2 1 i i i 0 , ).
:
2w 1 1
w z zi *z i 1
.
, . * ,
1 2C , C .
13
: 2016
- 501 - :
6
A)
i.
x x x x x x x1 xe e dx 1 e xe dx x xe dx x xe dx x xe c
ii.
xe
x x x xxh x h x x e 1 e h x e h x xe 1 e
x x x xe h x e h x xe 1 e i)
x x x x xe h x xe 1 e e h x x xe
x xx e h x x xe c , x . x 0 0 c .
,
x x x xe h x x xe h x xe x h x x e 1 , x .
iii. xxe x , x .
x 0 0 0 .
x x 0ex 0 x xx 0 e e e 1 xe x .
x x 0ex 0 x xx 0 e e 1 e 1 xe x .
6
h, :
A.
i. .
ii. h.
iii.
B. f : (2)
(3).
14
: 2016
- 501 - :
)
g x 1 f x , x 0 , 1 . , 1 1 1 1
0 0 0 0
g x dx 1 f x dx dx f x dx 0 .
, g x 1 f x f x 1 g x . ,
1 1
f x g x 1
0 0
1 f x e dx 0 g x e dx 0
1 1 1 1
g x g x g x
0 0 0 0
1g x e dx 0 g x e dx 0 g x e dx g x dx
e
1
g x
0
g x e g x dx 0 1 1
g x
0 0
g x e 1 dx 0 h g x dx 0 1 .
hog 0 , 1 hog x 0 ,
x 0 , 1 . hog 1
0
0 , 1 h g x dx 0 ,
1 . , h g x 0 , x 0 , 1 , g x 0 , x 0 , 1 ( h x 0
x 0 ), 1 f x 0 , f x 1 , x 0 , 1 .
15
: 2016
- 501 - :
7
a) 21
t4 t 1
2 24 t 1 0 t 1 4
t 1 2 2 t 1 2 3 t 1 . , 3 , 1 . F
0 , 2x 1 3 , 1 . , 3 2x 1 1 2 2x 2 x 1 , 1 .
, F 1 , 1 . 3 , 1 ,
, F 1 , 1 ,
2x 1
20
1F x t dt 2x 1 2x 1 2
4 2x 1 1
2 2
2 1
4 4x 1 x
.
b)
g : ,2 2
,
g x F x x6
. g ,
2 2
,
:
2 2
1 1g x F x x 1 x 1 x 1
1 x x
x 0
,
2 2
x x1 1 0
xx
,
x2
. , g ,
2 2
. 0
0
g F t dt 0
6 6 6 6
. ,
7
a. F.
b. :
c. ,
f
d.
16
: 2016
- 501 - :
g x 0 , x , F x x , x
2 2 6 2.
c) f t 0 , t 3 , 1 .
3
2x 1 3 1 2x 3 x2
.
32 13 1 )2
0 0
3 E f t dt f t dt F F
2 3 3 6 6
..
d) 3
21
1I dx
4 x
x t 1 dx dt .
x 1 t 0 . x 3 t 3 1 .
,
3 1 )
20
1 I dt
64 t 1
.
17
: 2016
- 501 - :
8
A)
i. f f a
a
.
: y x .
8
f R
C f
.
A. :
i.
ii. f ,
.
B. f :
i.
ii. .
C.
:
18
: 2016
- 501 - :
f a A f a a
af
B f
f a
a
f .
ii. f x
: a , , xx
. a , , .
a , , .
a ( i)
, Rolle 0 0x a , : x 0 . ,
2
x f x f x x
x
.
, 0 0 0 0 x 0 x f x f x . , 0 0 0 : y f x f x x x fC
0 0M x , f x 0 , 0 .
fC 1 1N x , f x . 0 1f x f x .
Rolle f 0 1 0 1x , x x , x : f 0 , .
)
i. f , 0 f , 0 . x 0
... f
x x
f x f x 1x 1 , x x 1 , x : f f x f x 1
x x 1
.
f
x xx 1 x f x 1 f f x f x 1 f x f x 1 f x f x 1 f x 1 f x f x
: x 0 f x 1 f x 1 f x f xx x x
. ,
x
f xlim L
x
19
: 2016
- 501 - :
x x
f x 1
f x 1 x 1 Llim lim L
x x 1
x 1
x
x 1
x
f x 1 f lim lim L
x 1
. ,
x
f x 1 f xlim L
x.
ii. g , 0 , ,
2
xf x f xg x ,
x
x 0 .
... f
x x
f 0 f x f xx , 0 x , 0 : f
0 x x
( f 0 0 ).
,
f x 0
x x
f xx f x f xf x f x
x. , g x 0 , x 0 g , 0 .
C) f
C A : y f a f a x a . , f
f f a f f a f a a f a *
a.
m: a , ,
f x f a, x a ,
m x x a
f a , x a
m a , , a ,
x a x a
f x f alim m x lim
x a
f a m(a) . m a , .
m a , ,
2
f x x a f x f am x
x a
.
m a m f a ( (*) )
, Rolle a , : m 0 f a f f a .
20
: 2016
- 501 - :
9
) i) g : 0 , 3 x
0
g x f x f t dt . f f
x
0
f t dt g 0 , 3 g x f x f x 0 , x 0 , 3 g
0 , 3 g 0 , 3 . ,
x
0
x 0 g x g 0 0 f x f t dt 0 , x 0 , 3 .
9
A. :
i.
ii.
iii.
B. :
i.
ii.
C. ,
:
21
: 2016
- 501 - :
ii) h 0, 3 , , 0 , 3 , :
x x x x
x x x x x
0 0 0 0
h x e f t dt e f t dt e f t dt e f x e f x f t dt 0
,
0 , 3 ( )) xe 0 ). , h 0 , 3 .
iii)
0h
0
0
x 0 h x h 0 e f t dt 0 h x 0
, x 0 , 3 .
,
xx xe 0 A)a)x
0 0
e f t dt 0 f t dt 0 f x 0 , x 0 , 3 * .
) i) 0 , 3 , 2
x
0
x f t dt
x x x
0 0 0
2 f t dt f t dt 2 f t dt f x x
2
0
x 2 f x f t dt f x 0
, (*)
f x f x f x 0 , x 0 , 3 . , x
0
f t dt 0 , x 0 , 3 . ,
x 0 x 0 , 3 0 , 3 .
ii)
21 1
21 1A))2 2
0 0 0 0
12 f t dt f t dt 2 f t dt f t dt 2 1 :
2
.
...
1 1
1 0
21 1 10 , x 0 , : x 2
2 2 1 20
2
.
...
2 2
1 1
21 1 1, 1 x , 1 : x 2 1 2
2 2 1 21
2
.
,
1 2 1 2
1 1 1 1x x x x 2 2 1 2 4 2 1 2 1
2 2 2 2.
C) 2
2
0
f t dt 1 2 1 1 .
C 2 , 2 :
y 2 2 x 2
y 1 2f 2 x 2
22
: 2016
- 501 - :
y 2f 2 x 1 4f 2
x 2f 2 x 1 4f 2 ( x 2 )
x 2f 2 x 1 4f 2 0 , x 0 , 3
3 3 3
32
22 2 2
x 2 f 2 x 1 4 f 2 dx 0 x dx f 2 x 1 4f 2 0 x dx f 2 1
3
2
E f 2 1 , x dx .
23
: 2016
- 501 - :
10
i. x a 3
3 f 0 f 88
. f 2 f
a , , x
2
a
f t dt a , . ,
f a , ,
2f x f x , x a , .
2x a f a f a 2 3 4 3 1 .
ii. 2f x 1 f x 0 , x a , f a , f a , . ,
a x f a f x f 3 f x 8 f x 0 , x a , .
iii.
2 2
2
1u f x du f x dx du 1 f x dx du 1 u dx dx du
1 u.
x a u f a 3
x u f 8
:
10
i.
ii.
iii.
iv.
24
: 2016
- 501 - :
8 8 8
2 2
2 3a 3 3
1f x dx u du 1 u du 1 u
1 u
2 21 8 1 3 9 4 1
iv. F : a , , x
a
F x f t dt . F a ,
a , . ,
F F a
a , : F a
,
iii)a
f t dt1
f a a
.
, f a , , 1 1.
25
: 2016
- 501 - :
11
i.
1f
1
f
f x 0 , x 0D 0 , f A 0 , f x 0 , x 0 f 0 ,
f x 0 , x 0
.
ii. x 0lim f x f 0 0
xlim f x
, 1fD 0 ,
iii.
x
0
x f f x
x h xh x f f x dt
x h x C C 0
iv. x 0 , . f x x hf x x , f 0 0 .
v. g x f x x , x 0
11
i. .
ii.
iii.
iv.
v. .
vi.
vii.
viii. ,
26
: 2016
- 501 - :
1g x f x 1 f x 1
1x 0 x 0 x 0lim g x lim f x 1 lim f x 1 0 1 1 0
.
, g x 0 0 a 0 : g a 0
1x x xlim g x lim f x 1 lim f x 1 0
, g x 0 , , a 0 : g 0
. .
a , a , : g 0
11
g x f x 1 , x 0g
f
g
0 g g 0 0
. , g 0
x x x
x
1
DLHx x x
f xlim g x lim f x x lim x 1
xlim g x
f xlim lim f x lim f x
x
.
, g x 0 . , 0 : g 0 .
. .
, , : g 0
g
g
g
x g x g 0
x g g x g 0
0 x g 0 g x g
x 0 .
vi. x g x g 0 f x x .
0 x g x 0
0 x g x 0 f x x x g x 0
vii.
21
x f x x2
x f x x 1x f x x 1x 0 f x x f x x x
x
1
2
g x - +
g x 2 1
..
g
27
: 2016
- 501 - :
1x f x x 0 f x x 0 x 0
viii. 1xf x af x , x 0
a 1x
axf x af x 0 f x c x
, x 0
1 aa ax f c c c
,
1 a a
1 a af x x , x 0
f x xf 0 0
x 0
x + -
x 1 2
28
: 2016
- 501 - :
12
i) g x f x x . Bolzano g a 1 , a a , a 1 .
g a 1 , a a , a 1 , f , g .
g a 1 f a 1 a 1 0
g a 1 g a 0g a f a a 0
g a f a a 0
g a g a 1 0g a 1 f a 1 a 1 0
, 1x a 1 , a 2x a , a 1 1 1 1g x 0 f x x
2 2 2g x 0 f x x
ii) f x 1 f x x
h x f x x x x xh x h x e h x e h x 0 e h x 0
Rolle xx e h x 1 2x , x .
1 2x , x .
1 2x , x x xx e h x e h x
1 1x x1 1 1 1x e h x e f x x 0
12
f , :
.
i. , f 1 -3
.
ii. ,
iii. f
:
29
: 2016
- 501 - :
2 2x x2 2 2 2x e h x e f x x 0
0 1 2x x , x 0 0x x
0 0 0x 0 e h x e h x 0
0 0
0 0 0
h x h x 0
f x x f x 1
iii) ... f a 1 , a .
1 a 1 , a :
1
f a f a 1f f a f a 1
a a 1
.
... f a , a 1 .
2 a, a 1 :
2f a 1 f a
f f a 1 f aa 1 a
.
... f 1 2
, .
1 2 , : 2 1
2 1
f f f
.
2 1 2 1
f a 1 f a f a f a 1 f a 1 f a 1 2f af 1
.
2 1
f a 1 a 1f a 1 f a 1 2a
f a 1 a 1
f a a 2f a 2a
f a 1 f a 1 2f a 0
0.
, 1 : f 0 .
30
: 2016
- 501 - :
13
)
f
f 1f x 0 , x
:
1 1 1
2 2 4
0 0 0
g x f t dt 2 t f t dt x 5x t dt
151 1
2 2
0 0 0
tg x f t dt 2 t f t dt x 5x
5
1 1
2 2
0 0
g x f t dt 2 t f t dt x x .
11
g 0 f t dt 0 f x 0 , x . ( 1
0
f x 0 , x f t dt 0 ,
)
b) g x 0 1 1
2 2
0 0
x 2 t f t dt x f t dt 0
.
2 21 1 1 1
2 2
0 0 0 0
0 4 t f t dt 4 f t dt 0 t f t dt f t dt .
13
f :
. ,
a. .
b. .
c. :
i. f,
xx
ii. .
31
: 2016
- 501 - :
1
2
0
m t f t dt , 0 m 1 ( ). ,
21 1
2 2 2
0 0
m m t f t dt t f t dt .
1 1 1
2 2
0 0 0
t f t f t dt t 1 f t dt 0 .
2g t t 1 f t , t 0 , 1 g t 0 , t 0 , 1
( 2 20 t 1 0 t 1 t 1 0 f t 0 ). , g 0 , 1 .
1
0
g t dt 0 .
0
c)
i. 1
0
E f t dt , f . , 0 g x 0
1 1z , z . Vieta
1
201 1 1
f t dt
z z E z E E 3 1
.
ii. ,
1 1
2 2 21 1 1 1 1
0 0
z z 2 t f t dt 2Re z 2 t f t dt 2 1 2 Re z 1 Re z 1
( 1
21
0
Re z t f t dt 0 )
2 21 1Re z Im z 3 2 2
1 1 13 Im z 1 Im z 2 Im z 2 .
,
2 2 2 21 1 1 1 1Re z Im z 3 Im z 3 Re z 3 Im z 3 .
32
: 2016
- 501 - :
14 i) g 0 , 0 , :
2x xxg x e 1 x e 1 x , x 0
2.
, : lnx x 1 , x 0 . x xe :
x xlne e 1
xx e 1
xe 1 x 0 ( x 0 )
, g x 0 , x 0 . , g 0 , ( g 0).
ii)
g
x 0 g 0 0g x 0 , x 0
x 0 g x g 0 g x 0. x 0 .
iii) f 0 , , . f 0 , , :
2xf x e
14
i. g .
ii. ;
iii. f .
iv. , f
v.
vi.
33
: 2016
- 501 - :
22 xx 2e x 2xe 0 , x 0 ,
2xe 0 , x . , f
0 , f . 2xy e 2ln y x lny 0 ,
x 0
x ln y x ln y . ( lny 0 y 1 ). , 1 1f : 1 , , f x lnx .
iv) 1f fC , C y x . xe x 1 , x ,
x 2x : 2x 2e x 1 . , 2x 1 x ( ). ,
2xf x e x . ,
fC y x .
f
f 0 , 1 f 0 , f 1 1 , e
v)
e
1
I lnx dx .
2u
2
x e
u
1 1 1 1u lnx du lnx dx du dx du dx
2u x 2ue2 lnx.
x 1 u 0 . x e u 1 .
,
2 2 2 2 2 2
11 1 1 1 1u u u u x x
0 0 0 0 00
I u 2ue du u e du ue e du e e dx I e dx e
()
2
1x
0
e dx 3
f
C .
e
1
lnx dx 2 1fC . , , 2 1 .
34
: 2016
- 501 - :
, 2
1 ex
3 2 3 10 1
e dx lnx dx 1 e e .
vi) ii) : g x 0 , x 0 . x 2x : 2g x 0 . h
2h x g x 0 0 , 1 . ,
2
41 1x 2
0 0
xh x dx 0 e 1 x 0
2
2
13 51
x
0 0
x x 1 1 43 ee dx x 1
3 10 3 10 30 2.
35
: 2016
- 501 - :
15
i. x 1 :
1
3 3 2
1
f (1) f 1 2 tf t dt 0 f 1 f 1 0 f 1 f 1 1 0 f 1 0 , 2f 1 1 0 .
ii. f 1 , f 1 , t f t x
1
1 , tf t dt
1 , , x
1
tf t dt xf x
.
, f 3f 2x f x . ,
, :
x x
3 2 3 2
1 1
f x x f x 2 tf t dt x 1 f x x f x 2 tf t dt 1
2 2 2 2
2 2
13f x f x 2xf x x f x 2xf x 1 f x 3f x x 1 f x 0
3f x x
,
x 1 . , f 1 ( ). , f 1 , .
15
.
i.
ii. f .
iii. .
iv. f .
v. f.
vi. .
36
: 2016
- 501 - :
iii.
f
x 1 , f 1 0f x 0 , x 1
x 1 f x f 1 0
. ( x 1 ).
,
22 21 1
f xx3f x x
, 21 1
x 1 f x 0 , x 1 f x 0 , x 1xx
.
, g : 1 , , 1
g x f xx
1 , ( 1).
,
x 11 1
x 1 g x g 1 f x 1 f x 1 f xx x x
.
:
x 1 x 1, x 1
x 2
.
[,
22
2
x 1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1x 1 0
x 2 x 2 2 2 2x
2
2
2x 2 xx 1 0
2x
,
, 2 2x 1 0 , 2x 0 , x 2x 2 0 ( )].
,
x 1
f x , x 12
1 1f 1 0
2
. ,
x 10 f x , x 1
2
.
iv. 2 21
f x , x 13f x x
, f 1 , ,
.
2 2
2 22 22 2 2 2
6f x f x 2x1 1f x 3f x x 0 , x 1
3f x x 3f x x 3f x x,
2x 0 , f x 0 , f x 0 . , f 1 , ,
f 1. f 1 , .
v. f :
f
xf 1 , lim f x , f 1 0 , 1
,
37
: 2016
- 501 - :
1
f 1 13 0 1
22 21 1
f xx3f x x
. 21
0 f xx
2x x
1lim 0 lim 0
x . ,
, xlim f x 0
.
vi. f
C 1 , f 1 : : y f 1 f 1 x 1
: y 0 x 1
: y x 1
f f
C f x x 1 , x 1 ( = x 1 ).
, x f x x 1 1 , 3 ,
33 3 3 2
1 1 1 1
x x dx 0 f x x 1 dx 0 f x dx x 0
2
3
1
3 1f x dx 3 1 0
2 2 3 3
1 1
f x dx 3 2 0 f x dx 2 3
38
: 2016
- 501 - :
16
i) F. f , 0 0 , . F
1, x f. 1 0 , x 0 .
, FA 0 , .
f 0 , F 0 , x F x 0 , 1
x F x 0 , 1 G 0 , 1 .
t t t
2
2
e te ef (t) ,t 0 f (1, ) x f(x) (1, )
t t
G (1, )
F
1x 1 x 1
f 2 2
1x 1 x 1
lim G x lim x F x 1 F 1 0G 1 1 f 1 0 G 1.
lim G x lim x f x 1 f 1 1 0 0
G 0, x 0lim G x g 0
, tx
x 01
elim x dt 0
t
.
16
: f, F : .
:
:
i. G .
ii. G .
iii. G .
iv. : .
39
: 2016
- 501 - :
x t x1 1 1e t 0 x 1x tx t 1
x x x
e ee e e e0 x t 1 e e e dt dt dt
t t t t t t
t t1 1 1 x x xt
1 1x x x
x xx x x 1 1
e e1 e 1e dt dt e dt e lnt dt e lnt e lnx dt e lnx
t t t t t
tx
x
1
exlnx e x dt e xlnx , 0 x 1.
t
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
2
1lnxlnx xlim xlnx lim lim lim lim x 0
1 11x xx
.
, xx 0 x 0lim xlnx e lim e xlnx 0
. , , tx
x 01
elim x dt 0
t
,
tx
x 01
elim x dt 0
t
. : G 0 , .
ii) G
x
x
1
0 x 1 , G x xF x F x xf x f t dt e
.
2 2x 1 , G x x f x 2xf x x f x .
:
xx x x 2 x x
2 3
e xe e x e 2xe 2ef x , f x
x x x
.
,
x x 2 x x x
2 x2xe 2e x e 2xe 2eG x 2xf x x f x xe , x 1x x
.
,
0
0
x 1 x 1 x 1 x 1
xF xG x G 1 xF x F x xf xlim lim lim lim F 1 f 1 e
x 1 x 1 1x 1
,
02 0
x 1 x 1 x 1
G x G 1 x f xlim lim lim 2xf x 2x f x 2f 1 2f 1 0 e e
x 1 x 1
. , G 1 e .
,
40
: 2016
- 501 - :
x
x
1x
f t dt e , 0 x 1G x
xe , x 1
G 0 , 1 1 , , .
, x 1 x 1lim G x lim G x G 1 e
. , G 0 , .
, xx 0 , 1 , G x f x e 0 x 1 , x x xG x xe e xe 0 . , G
1. :
x0x
x01
x 1 x 1 x 1
f t dt e eG x G 1 f x e
lim lim lim 2ex 1 x 1 1
0
x x x0
x 1 x 1 x 1
G x G 1 xe e e xelim lim lim 2e
x 1 x 1 1
.
, G 1 2e 0 .
, G x 0 0 , G 0 , .
t :
tt e 1e t 1 1 , t 0
t t .
,
t t1 1 x1
xx x 1
e e1dt 1 dt t lnt 1 x lnx dt x lnx 1
t t t, x 0 , 1 .
,
tx
x 0 x 01
elim x lnx 1 lim dt
t.
:
G 0 , 1 .
x
x
x 0 x 01
lim G x lim f t dt e 1 1x 0 , 1 : G x 0 .
G 1 e 0
, Bolzano G 1x , 1 0 1 0x x , 1 : G x 0 ( 0x
, G ).
G
0 0x x G x G x 0 G 00 , x .
G
0 0x x G x G x 0 G 0x , 1 .
41
: 2016
- 501 - :
, G 0
x .
iii) ) G 0 , .
iv) G ,
G. G A 1 , f 1 :
: y G 1 G 1 x 1
: y 0 e x 1
: y e x 1
, G x e x 1 , x 0 ( x 1 ).
42
: 2016
- 501 - :
17
a) x x x x
22 2 2
0 0 0 0
2f t dt t f t dt tdt tf t t dt 0 1
2
tf t t
2
tf t 0 ,
x
2
0
tf t t dt 0 , x 0 2 .
1 2
x
2
0
tf t zt dt 0 , x 0 ,
x
2 2
0
tf t t dt 0 xf x x xf x x,x 0
.
b)
i.
x, x 0
xf x f x xf 0 , x 0
.
17
f
a.
b. f
i. f .
ii. .
iii. .
c. , x
d. N x.
43
: 2016
- 501 - :
0 , 0,
x 0 x 0
xf 0 lim f x lim 1
x .
,
x
, x 0f x x
1 , x 0
x 0 f
2xx xx
f xx x
.
0
x 0 , :
0
0
2 DLH x 0x 0 x 0x 0 x 0 2
x1f x f 0 x xx x x 11 1xlim lim lim lim lim 0 0
x 0 x 2 x 2x x
.
, 0, f 0 0 .
2xx x
, x 0f x x
0 , x 0
.
ii. g x xx x , x 0 0, g 0 0 0 0 0
g x xx x xx 0 , x 0 , , g 0 ,
.
x 0 g x g 0 g x 0 f x 0 , f 0 ,
.
, 0.
f 0 1
f 0
.
iii. 0 1 2 3 2009f x f x f x f x .
2009 2 2009 2
2009 8 2
8 8
x x f x f xx 1 f x f x f x f x
x x f x f x.
1 , .
0 x 1 2009 8 2f x f x f x f x , 0 , 1 .
0 1.
44
: 2016
- 501 - :
: 0 1 0 , .
c) f y x 1 , x ,
x 1 1 x x x 1
x x 2 2 6 .
h x f x x 1 , x 0
0 , .
h 1 0 h x f x 1 0 , h , 1 .
f x x *f x 0 x , .
1 , x .
y x 1 x x y 0 x 0 .
f
x x , C y x 1 , E :
1
1E 1 1 f x dx
2 .
x 1
, x 1 , x x
1 x
0 , x 1 , x x
(
x2
)
11 1 1
1 xdx 0 f x dx lnx f x dx ln 1
x x
.
,
1
1 1 12
.
45
: 2016
- 501 - :
d) s x x
y x 1 .
w x x x 1 , x 0
1, w 0 0 0 1 0 , w 1 1 11 0 .
x 0 , w x 0 f x 1 f x f 1 x 1 .
0 1 .
0 x 1
x
f x f 1 1 x x 1 0 w x 0x
.
,
11 1 2
0 0 0
xE w x dx w x dx x 1
2
11 1
2
.
46
: 2016
- 501 - :
18
)
g : 0 , g x lnx x 3 .
g 1 , e g 1 g e 2 e 2 0 . , Bolzano
1 , e : g 0 , ln 3 0 . g , 1
g x x 0 , x 0x
.
, g 0 , . , .
)
i. f 0 , ,
21 1 1 1 1
f x 1 lnx 2 1 lnx 2 lnx 2 1x x x xx
2 2
g xlnx 2 lnx 2 x 1 lnx x 31 1 11 , x 0
x x x x x x x
.
,
f x 0 g x 0 x
g
f x 0 g x 0 g x g x .
18
A.
B.
i. .
ii. , :
a. :
b.
47
: 2016
- 501 - :
ii.
x - 0 +
f x - +
f x 2 1
f 0 , , . f .
a f :
2 2 1 1
f x f , x 0 f x f
2 2 2)
ln 3
1 1 1 1 1 111 ln 2 3 2
2 2 2 1 1 1
0. , f x 0 , x 0.
b
: , , x f x f x . , f f
1 ln 21
1 ln 2 0 0
.
0
1 e 1 0 . , 0 , 1 0,
ln l 1
,
ne 2
ln 2 0.
, ()>0. ,
x x xlim x lim f x lim f x 0
( xlim f x 1 0 2
2x x x 2
lnx x 3lnx x 3lim f x lim lim
x x
x
11 0 1xlim 0
2x
).
,
xlim x : 0
Bolzano , 0 0x : x 0 ,
0 0f x f x 0 .
O
48
: 2016
- 501 - :
19
i. f , ,
f x 2x z 4 3i , x .
1f 02
. 1f 1 z 4 3i2
. ,
1 z 4 3i 0 z 4 3i 1 z 4 3i 1 .
z
4 , 3 1 .
1c : z 4 3i 1 , 2 2
1c : x 4 y 3 1
( z).
z 2c
x x ,
2 2
2c : x 4 y 3 1 ( 4 , 3 ,
1 ).
: maxz z 2 6 2 8
minz z 2 6 2 4
19
z
. f(x) a
xx, :
i. z.
ii.
iii.
49
: 2016
- 501 - :
ii. :
z 4 3i z 4 3i 8 6i z 4 3i 8 6i 1 10 11 .
,
z 4 3i z 4 3i 8 6i z 4 3i 8 6i 1 10 9 .
,
9 z 4 3i 11 .
50
: 2016
- 501 - :
20
) f . f , , :
2008 2006f x 2009 x 2007 x 1 ,
2007 2005f x 2009 2008 x 2006 2007 x ,
2005 2f x x 2009 2008 x 2007 2006 .
, f x 0 , x f f 1 1 .
:
2005f x 0 x 0 x 0
2005f x 0 x 0 x 0
x - 0 +
f(x) + +
f(x) - +
f(x) 4 3
, f 0 , , 0 . f A 0 , f 0 A 0 , 0 .
b)
20
a. f f
.
b.
c. f (0,0)
f
d. :
51
: 2016
- 501 - :
f
f
fog .
[ 1 2
x , x
g f
1 2 1 2 1 2 1 2x x g x g x f g x f g x fog x fog x , fog
.]
,
fog
2008 2009 fog 2008 fog 2009
.
c) f
C A 0 , 0 : : y f 0 f 0 x 0 , : y 0 1 x 0 , : y x :
1f fC , C .
d)
x 0 f y x
fC f x x , x 0 1 .
1f x f x x 0 2 . :
a 0 1f a f a
1f1f f a f f a f f a a f f a a f a
f
f f a f a f a a
, 1 . , 2 .
: x 0 f y x
fC f x x , x 0 3 . 1f x f x , x 0 4 .
:
a 0 1f a f a
3f f1f f a f f a f f a a f f a a f a f f a f a f a a ,
3 . , 3 .
( )
x 0 f y x fC O 0,0 f x x x 0
f
1 1f x x f f x f x x f x
1
1 1f x x
f x x f x f x f x , x 0f x x
52
: 2016
- 501 - :
x 0 f y x fC f x x x 0
f
1 1f x x f f x f x x f x
1
1 1f x x
f x x f x f x f x , x 0x f x
53
: 2016
- 501 - :
21
) x 0 .
. . .
f 0 ,
f , x
x
0
f x f 0 f x
0 , x : f f x x f x 0 x
, x 0 .
f
0 x f f x x f x f x f x x f x
, x 0 * .
g 0 , ,
*
2
f x x f x f xg x 0
x x
, x 0 . , g 0 , .
) g , F 0 , ,
F x g x F x g x 0 , x 0 . , F 0 , .
) G : 0 , , x 1
x
G x g t dt
.
G ( g )
21
f(0)=0 .
() g.
() F .
()
()
.
54
: 2016
- 501 - :
x 1 x 11
x x 1
G x g t dt g t dt g t dt
x 1x
1 1
g t dt g t dt g x g x 1 x 1 g x 1 g x
.
,
g
x 0 x x 1 g x g x 1 G
0 , .
3 4 4G
2 3 3
2 3 G 2 G 3 g t dt g t dt F 3 g t dt
.
) 1 2
x , x 0 1 2 2 1
x x 4 x 4 x .
H : 0 , , H x F x F 4 x .
H , F x , F 4 x ,
H x F x F 4 x F x F 4 x 4 x g x g 4 x .
g
1 1H x 0 g x g 4 x x 4 x x 2
g
H x 0 g x g 4 x x 4 x x 2
.
x 0 2
H x
H x 2 1
min
H () x 2 , H 2 F 2 F 2 0 0 0 .
1 2F x F x 1 2x x 2 .
O
55
: 2016
- 501 - :
22
i. ln t
tt 1
0 , . f 1,x
0 , . F FA 0 , . 0 , ,
f 0 , , 1, 1
x 11
lim f x f 1 t dt 0
.
,
2x 1 x 1
f x x 1 f x x 1lim lim
x 1 x 1x 1
, ,
0
0
x 1 x 1 x 1
f x f x xlim lim lim 1 0
x 1 1x 1
x 1
u x 1
x 1 u 0u 0
x 1 ulim lim 1
x 1 u. ,
2x 1
f x x 1lim 0 1 0
x 1
22
i.
ii. :
iii.
iv. , , xx
v. :
56
: 2016
- 501 - :
ii. lnx
f x x , x 0x 1
.
f x 0 lnx 0 x 1
x 1 0
f x 0 lnx 0 x 1
, f 0 , 1 . ,
1 1 1 1f f
3 2 3 2
1 1
3 2
1 1
ln t lntdt dt
1 t 1 t.
iii. g 0 , , :
2 2
1ln 1 lnx 11 1 1 lnx lnxxg x f x f f x f
x x x x 1 1 x 1 x 1x x1
x x
2
2
lnx x 1 ln xlnx xlnx 1 lnx lnx 1 lnx lnx1
x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x x 2x x x 1.
, 2ln x
g x2
x 0 . , 2ln x
g x c , x 02
. x 1 g 1 0 c c 0 .
, 2ln x
g x , x 02
.
iv. g x 0 , x 0 . :
e e 2
1 1
ln xE g x dx dx
2
e e e ee
2 2 2
11 1 1 1
1 1 1 1 1 1ln xdx x ln xdx xln x x 2lnx dx e lnxdx
2 2 2 2 x 2
e ee
11 1
e 2e e ex lnxdx xlnx dx e e 1
2 2 2 2 .
x 0 1
f(x) - +
f(x) 2 1
min
57
: 2016
- 501 - :
v. : g : 1 , , g x f x x 1 . g 1 ,
1 , ,
lnx x 1lnx
g x f x 1 1 0x 1 x 1
x 1 , lnx x 1 .
, lnx x 1 1 1 2 0 . , g x 0 .
, g 1 , , x 1 g x g 1 0 f x x 1 0 f x x 1 .
x 1 f x x 1 0 0 .
: x 1 0 0 .
x 1 . ... f 1 , x 1 , x :
f x f 1 f xlnf
x 1 1 x 1.
ln
1 1
ln 1 . ,
ln 1 1 ,
ln 1 .
58
: 2016
- 501 - :
23
i f x f x f x x 2 , 2 2
f x f x f x f x 1 ,
x 2 , 2 1 . f 0x 2 , 2 , 0f x 0 .
0
x x 1
0f x 02 2
0 0 0 0 0f x f x f x f x 1 f x 1 , . ,
fC
2 , 2
ii :
f x f x f x x , x 2
2f x f x 2f x 2x , x 2
2 2f x 2f x x , x 2 .
23
f
.
z
:
i. f .
ii.
iii. .
iv. f
v.
vi. f z
, z
, xx.
vii.
59
: 2016
- 501 - :
,
2 2 : f x 2f x x , x 2 , 2 .
( 2f x 22f x x 2 , 2 ).
2x 0 f 0 2f 0 9 6 3 .
, 2 2f x 2f x x 3 , x 2 , 2 2f x 2f x x 3 0 , x 2 .
iii
2 2 2 2f x 2f x x 3 , x 2 f x 2f x 1 1 x 3 0 , x 2
2
2 2 2f x 1 x 4 0 , x 2 g x 4 x , x 2 .
,
2 2g x 0, x 2 4 x 0 2 , 2 .
, g x 0 , x 2 , 2 g 2 , 2 g 2 , 2 .
iv 1 :
2
f x f x 1 1 f x , x 2 , 2 2
.
g 2 , 2 , g 0 f 0 1 2 0 . , g x f x 1 0 , x 2 .
, 2 :
2
1 f xf x 0 , x 2
f x 1
.
, f 2 , 2 ( f 2 , 2 ).
v )
2 2
2 2f x 1 4 x , x 2 f x 1 4 x , x 2
f x 1 02 2
2 , 2f x 1 4 x , x 2 f x 1 4 x , x 2 , 2 .
, ) : 2 2f x 2f x x 3 0 , x 2 , 2 .
2
2x 2 f 2 2f 2 1 0 f 2 1 0 f 2 1 .
, x 2 , f 2 1 . , 2f x 1 4 x , x 2 , 2 .
vi z i 2 z 0 i 2 . z K 0 , 1 2
60
: 2016
- 501 - :
f
2y f x 1 4 x , 22 2y 1 y 1 4 x y 1 x 4 , y 1 .
, f
C z i 2 .
z z max
z x yi , 1 y 3 . ,
2 22 2x y 1 4 x 4 y 1 .
,
22 2 2z x y 4 y 1 y 3 2y .
y g : 1 , 3 , g y 3 2y .
1 y 3 2 2y 6 1 3 2y 9 1 3 2y 3 .
, g 0
y :
0 0 o 03 2y 3 3 2y 9 2y 6 y 3 .
22
0 0x y 1 4 2
0 0x 0 x 3 . , 0 0x , y 0 , 3 .
f 0 f 0 . x 0 f x f x f x x :
f 0 f 0 f 0 3 f 0 f 0 f 0 0 .
, f
C 0 , 3 x x .
vii
61
: 2016
- 501 - :
2 2
2
0 0
I f x 1 dx 4 x dx .
x 2 dx 2d , ,
2 2.
x 0 0 0 .
x 2 1 2
.
,
2 2 2 22 2
0 0 0 0
1 2 2 I 4 4 2d 4 d 4 d 2 d 2 0
2 2 2
.
2
2
0
I 4 x dx 2 2x y 4 . ,
2 2I
4
.
62
: 2016
- 501 - :
24
i 2 2f x x 2xf x , x . x o 0 :
2 2
2 2 2
f x 2xf x x
x x x
2 2
f x f xx2
x x x
, x 0. (1)
x 0
f xlim
x
2
x 0
f xlim
x
. (1), :
2 22
2
x 0 x 0 x 0 x 0
f x f x f x f xxlim lim 2 lim 1 2 lim
x x x x x
222 2z 2 z 2 z 2 z 2
1 2 1 0 1 z 2 2z 1 z 2 2z 12z 1 2z 1 2z 1 2z 1
2 2 2 2
z 2 z 2 2z 1 2z 1 z 2z 2z 4 4 z 2z 2z 1 3 z 3 z 1 z 1 .
ii
2 1
z 1 z 1 z z 1 z * z 0 , z 1z
.
,
24
i.
ii. .
iii.
iv.
63
: 2016
- 501 - :
1010
10 1010
* 10
10 10 10 1010
10
1 zi1iz i z iz i z z
wz 1 1 zz 1 1z 1 1
zz
10
10 10 10 1010
10 10 10 10 10
1i z
1 zi i i z i z z iiw
1 z 1 z 1 z 1 z z 1.
, w .
iii
2 2x 0 x 0 x 0
f x f x f xx x 1lim lim lim 1 1 1 1
x x x x 1x x x x,
x 0
u x a)
x 0 x 0 u 0u 0
f x f uxlim 1 , lim lim 1
x x u.
iv :
z 3 4i z 3 4i 1 5 6 .
,
6 z 3 4i 0 1 .
,
z 3 4i z 3 4i 1 5 4 .
,
2 z 3 4i 8 8 2 z 3 4i 0 2 .
g : 1 , 2 , 3g x x 10 5 z 3 4i x . g
1 , 2 , .
, 1
g 1 6 z 3 4i 0 (2)
g 2 8 2 z 3 4i 0 .
g 1 0 , 1 1 , 2 g x 0 .
g 2 0 , 2 1 , 2 g x 0 .
g 1 0 g 2 0 Bolzano, 0 0x (1,2) : g x 0 .
, 0 0x 1 , 2 : g x 0
64
: 2016
- 501 - :
25
i) x f x ln f x 1 , x 0 1 ( 1 f x 0 , x 0 ).
a 0 : f a 1 .
x a 1 a f a ln f a 1 a 1 ln1 1 a 0 1 0 1 , .
ln
a 0 : f a 1 lnf a 0
. ,
f a ln f a 0 , 1 .
, f x 1 , x 0 .
ii) f ln f x , .
1 : x f x ln f x 1 f x ln f x x f x lnf x x f x 0
f x ln f xf x x ln f x x f x ln f x f x 0 , x 0 f
xlnf x x
0 , .
iii) x f x 1 :
f x f f x ln f f x 1 .
,
1f x f f x
ln f f x , x 0
25
f, :
i. :
ii. f
iii. :
iv. :
v.
65
: 2016
- 501 - :
( f x 1 , x 0 f f x 1 ln f f x 0 ).
,
1f 1
ln f f x f 1 ln f f x 1 .
, 1 f 1 ln f 1 ( 1 x 1 ).
,
f 1 ln f f x f 1 ln f 1 ln f f x ln f 1
( f 1 0 ) f f x f 1 ( ln ) f x 1 ( f ). ,
, . , f x f f x f 1 , x 0 .
iv) 1
x x 1 : 1 1 1 1 11
x f x ln f x 1 x elne 1 xe
.
2x x 1 : 2 2 22 2 2 2 2 2 21
x f x ln f x 1 x e lne 1 x e 2 1 x2e
v) f , , 2
1
x
x
f x dx .
22
1
1
x 2e 1
x 1
e
f x dx f x dx
2
1
2e
1
e
1dx
x ln f x .
f x ln f x u lnu 1 lnudxu f x du f x dx du dx du dx du
x ulnux 1 lnux 1 ln f x.
)1 1x u f e
e e.
)2
2 2
1 1x u f e
2e 2e.
, :
22
2
1e e2e
21 e ee
1 lnu 1 lnu1 dx 1I du du
x lnu ulnu uln ulnf x
.
1
t lnu dt duu
.
u e t 1 .
2u e t 2 .
,
11
22 2
1 t 1 1 1I dt lnt 1 0 ln2 ln2
t 2 2t.
66
: 2016
- 501 - :
26
i) 2f x 2lnx x 1 , 0 , . f 0 , ,
2
f x 2x 0 , x 0.x
, f 0 , .
ii) f ,
2
2 2
x 12 2f x 2x 2 2 , x 0
x x x
.
x 0
2f x 0 x 1 0 x 1
x 0
2f x 0 x 1 0 x 1
f 1, 0 , 1 . A 1 , f 1 A 1 , 0 .
iii)
f
0 x 1 f x f 1 0 .
f
x 1 f x f 1 0 .
x 0 1
f(x) - +
f(x) 4 3
..
26
:
i. f .
ii. f .
iii. f.
iv. f.
v. :
vi.
O
67
: 2016
- 501 - :
iv) ,
2
x xlim f x lim 2lnx x 1
2
x 0 x 0
lim f x lim 2lnx x 1 2 0 1 .
,
f
xx 0
f 0 , lim f x , lim f x , .
v)
5f5
5 10 2
10 2 10 2
f x f xx x0 x 1 f x f x f x f x
x x f x f x
.
5f5
5 10 2
10 2 10 2
f x f xx xx 1 f x f x f x f x
x x f x f x
x 1 2 5 10f x f x f x f x ( f 1 0 ).
, x 1 .
vi) 2
2 2 2 2
2
2 2 2 ln 1 1 a a a 2 a 2
2 2 a
a aa ee e a e e
e
2 2 2 22 a 2 2 a 2 2 2ln a e ln e ln a lne ln lne 2ln a a 2ln
f
2 2
f 1 12lna a 1 2ln 1 f a f a
.
x 0 1
f(x) - + O
68
: 2016
- 501 - :
27
i) a , a . f a f .
f a f . 3 3f a f ( 3x ) f a f e e ( xe ). :
3 3
f a f 3 3 3 3
f a f
f a f
f a f f a f a e 2 f e f 2 a a
e e
2 2
.
, f a f . ii) a ,
a
f f 2 3a f 2 32 3a 2 3
3 2 3 2a f 3 2 f 3 2a
f 2 3a f 3 2 f 2 3 f 3 2a
f 2 3a f 3 2a f 2 3 f 3 2
g a g
, g .
iii) f g
2 2 2f g x x 1 f g x 4 x g x x 1 g x 4 x x x 1 x 4 x
2 2
2 2
x x 1 x 4 x 0 x x 1 x x 4 0 x x x 1 x 4 0
x x x x 4 0 x x 4 0 x 2 0 x 2.
- -2 0 2 +
x - - + +
2x 4 + - - +
2x x 4 - + - +
27
f : .
i. : f .
ii. : g
.
iii. :
O
O O
69
: 2016
- 501 - :
28
) f x g x , x a , f x g x 0 , x a , f g ,
a a a a a
f x g x dx 0 f x dx g x dx 0 f x dx g x dx .
)
i.
... f a
a , :2
1 1
a a f f a f f a
2 2a x a , : f x
2 a aa
2 2
.
... f a
, :2
2 2
a a f f f f
2 2a x , : f x
2 a a
2 2
.
,
28
A. f g
:
B. f , .
:
i.
ii.
iii.
70
: 2016
- 501 - :
f
1 2 1 2
a a f f a f f
2 2 a x x f x f x 2f f a f
a a 2
2 2
f a f a f
2 2.
ii. x a 0 0 .
x a , :
... f a , x
x x
f x f a a , x :f
x a
.
,
f
x x x
f x f aa x f f f f x f a f x a
x a.
iii. g : a , , g x f x f a f x a . ,
g x 0 , x a , g a , . :
a a
g x dx 0 f x f a f x a dx 0
2
aa
x af x dx f a a f 0
2
2
a
f af x dx f a a 0
2
2
a
2 f x dx 2f a a a f .
x
71
: 2016
- 501 - :
29
i) 1 i , :
3 2 2 31 i f 1 1 i 1 i f 0 0 1 3i 3i i f 1 2i 1 i f 0 0
1 3i 3 i 2if 1 1 i f 0 0 f 0 3 i 2f 1 1 0
1
f 0 3 0 2f 1 1 f 0 3 f 12
Bolzano f 0 , 1 1 1 0 , 1 : f 0 .
ii) f 0 , 1
. . .
0 , 1
2 2
f 1 f 0 1 7 0 , 1 : f 3
1 0 2 2
.
, 22f 7 0 .
iii) ... f 10 ,
1
3 1 3
1 1 1
f f 0 f 0 3 0 , : f
0
.
... f 1 , 1
1
4 1 4
1 1 1
1f 1 f 12 , 1 : f
1 1 2 2
.
,
29
f (-1,1)
: (1). (1) :
i. :
ii. :
iii. :
iv. ,
(-1,1).
72
: 2016
- 501 - :
3 4 21 1 1 1
3 1 3f f
2 2 2 2
.
iv) : 3 4 21 1
3f f 0
2 2
,
10 1 .
,
f
3 4 3 4 3 4f f 0 f f 0 f f 0 .
Bolzano f 3 4 , 1 , 1 : 0 3 4 0x , : f x 0 .
, 0x 1 , 1 .
73
: 2016
- 501 - :
30
A) : 0 , , x
x ln x 1x 1
.
(0, ) ,
2 2 2
x 1 x x 1 11 x x , x 0
x 1 x 1 x 1 x 1
. , 0 , .
xx 0 x 0 0 ln x 1 , x 0
x 1.
h t ln t 1 ... 0 , x 0 , x :
h x h 0 ln x 11
h x 0 1 x
.
,
1 10 x 1 1 x 1 1
1 x 1
x 0ln x 1 1 x1 ln x 1
x x 1 x 1.
30
( )
A.
B. .
i. f
ii. f
.
iii. g .
iv. h ,
h 1-1.
74
: 2016
- 501 - :
) i) x 0lim f x f 0
, 1
x
x 0lim 1 x e
.
x 01
x1 x 1 :
. 1
x
ln 1 x1ln 1 x xx1 x e e
0
0
x 0 x 0 x 0
ln 1 xln 1 x 1lim lim lim 1
x x x 1
.
,
1
1x
x 0lim 1 x e e . , f 0x 0 .
ii) f 0 , ,
ln 1 x ln 1 x1x xx
ln 1 xf x 1 x e e
x
2
xln 1 x
x 1f x 0 , x 0
x
,
2x
f x 0 , x 0 , ln 1 x 0x 1
, () .
, f x 0 , x 0 f 0x 0 . , f 0 , . , x 0 f x f 0 e ,
x 0 . , f 0, e.
iii) xg x e 2x , x
xg x e 2 , x
xg x 0 e 2 x ln2 xg x 0 e 0 x ln2 .
x ln2
g x - +
g x 2 1
min
, g ln2ln2 , g ln2 e 2ln2 2 2ln2 2 1 ln2 .
, g x g ln2 , x
g x 2 1 ln2 0 1 ln2 .
, g x 0 , x g .
iv) 1 2 1 2 1 2x , x x x h x h x .
1 2
x x 1 2
x , x 0 , 1 2 1 2h x h x f x f x , f 1 1 , .
1 2
x x 1 2
x , x 0 , 1 2 1 2h x h x g x g x , g 1 1 , .
1 2
0 x x 0 . 1 2h x h x 1 2f x g x .
.
O
75
: 2016
- 501 - :
f
1xf 0 , lim f x , f 0 1 , e A
ln 1 x1xx
x x x lim f x lim 1 x lim e
K
0
x x x x
ln x 1ln x 1 1lim lim lim 0. , lim f x e 1
x x x 1
g
g , 0
2x x 0lim g x , lim g x , 0 A
.
x 2x x
lim g x lim e x 1
0 1
x 2x 0 x 0lim g x lim e x 1 0.
, 1 2A A 1 2f x g x . , h 1 1 .
76
: 2016
- 501 - :
31
i) f x 0 , x 0 , 1 f 0 , 1 . , f 0 , 1 . , 0 1 f 0 f 1
f 1 f 0
f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0 f 1 0 . Bolzano f 0 , 1
0 0x 0 , 1 : f x 0 . 0x f .
ii) :
g : 0 , 1 , g x f x 2f 1 x . g 0 , 1 ,
0 , 1 .
f 0 f 1 0
g 0 f 0
g 1 f 1 2f 1 f 1 f 0
, . Rolle, 0 , 1 : g 0 . , f 2f 1 0 f 2f 1 .
:
f 0,1
f 0,1
0,1
(1)f 1 f 0 2f 1
f 2f 11 0 1
31
( )
f (0,1)
:
:
i. ,
ii. ,
iii.
iv.
77
: 2016
- 501 - :
iii) 0 x 1 .
... f 0 , x 1x 0 , x :
1
f x f 0f x :
x
.
:
1
f x f 00 f x 4 0 4 0 f x f 0 4x f 0 f x 4x f 0 1
x
... f x , 1 : 2x x , 1 :
2
f 1 f xf x :
1 x
.
:
2
f 1 f x0 f x 4 0 4 0 f 1 f x 4 1 x f 1 f x 4 1 x f 1
1 x
f 1 4 1 x f x f 1 2 .
:
f 0 f 1 0
1 2 f 0 f 1 4 1 x 2 f x f 1 f 0 4x 2x 2 f x 2x , x 0 , 1
iv) :
)
0 f x 4 f 1 f 0
f 2f 1 0 2f 1 4 0 f 1 2 0 f 0 2 2 f 0 0 . ,
0 f 1 2 2 f 0 0 .
x f x 2x , x 0 , 1 x 0 , x 0 , 1
0 , 1 ( ) ).
,
11 1 1 1
2
0 0 0 0 0
x dx 0 f x 2x dx 0 f x dx 2xdx x 1 .
, x f x 2x 2 , x 0 , 1 x 0 , x 0 , 1
0 , 1 ( ) ) .
,
11 1 1
2
0 0 0 0
x dx 0 f x dx 2x 2 dx x 2x 1 . , 1 1
0 0
1 f x dx 1 f x dx 1 .
:
1 1 10 0 02x 2 f x 2x 2x 2 dx f x dx 2xdx
1 11 12 2
0 00 0x 2x f x dx x 1 f x dx 1
10f x dx 1
78
: 2016
- 501 - :
32
i) f , 1 ,
1 x 11 1
f x ln 1 x x 1 x 1 11 x x 1 x 1
2 x
0x 1
,
x 1 ( x 1 x 1 0 2 x 0 ). , f , 1 .
ii) f 0 0 . f x 0 , f
. , h, , x x ,
O 0 , 0 .
iii) f , 1 1.
f
1 1 1 1
1 1f 2008 f x 0 f 2008 f x f 0 2008 f x 0 f x 2008
f 2008 x x ln 2009 2008 .
iv) gA
fA , 1
x xfog g fA x A : g x A x : 1 e 1 x : e 0
32
( )
,
i. f .
ii.
, (0,0).
iii. f
iv.
v. f,
xx
79
: 2016
- 501 - :
x x x x x xfog x f g x f 1 e ln 1 1 e 1 e lne 1 e x 1 e .
gof f gA x A : f x A x 1 , f x , 1 .
ln 1 x x
ln 1 x x
x x x
e 1 x e 1 xgof x g f x g ln 1 x x 1 e 1 1
e e e
.
xfog x e gof x , x 1 .
v)
f
x 0 f x f 0 0 .
, :
0 0 0 0
1 e 1 e 1 e 1 e
E f x dx ln 1 x x dx ln 1 x dx xdx
0 220 00
1 e1 e 1 e1 e
1 ex xx ln 1 x dx xln 1 x dx
2 1 x 2
2 20 0
1 e 1 e
e 1 1 1 x e 1x1 e lne dx e 1 dx
1 x 2 1 x 2
2 20 0 01 e
1 e 1 e
e 1 e 11e 1 dx dx e 1 ln 1 x e 1
1 x 2 2
2 2e 1 e 2e 31 ..
2 2
80
: 2016
- 501 - :
33
)
i) , f x
0
1 , 1 f t dt
x
0
1 , 1 f t dt
1 ,1 . , :
x x x x
0 0 0 0
f t dt x , x 1 , 1 f t dt x , x 1 f t dt f t dt 1 , x 1
f x 0x x
0 0
1f x f t dt 1 , x 1 f t dt , x 1 1
f x
ii) x 0 1 :
0
0
1 1 1 f t dt 0 1 f 0 1
f 0 f 0 f 0.
,
f 1 , 1
f x 0 , x 1 f 1 , 1 .
f 0 1 0 f x 0 , x 1 .
33
( )
f
A. :
i.
ii.
iii.
B.
i. g.
ii. g.
81
: 2016
- 501 - :
iii) 2 2 1 , x
0
f t dt .
,
2
2 2 2 2
22 2 2
1 1 1 1 1x 1 1 x f x f x f x
1 xf x f x 1 x 1 x
)
2
1f x , x 1
1 x.
) f 0 1 . , 4 3 2g x 3x 4x 12x 1 , x . g , ,
:
3 2 2g x 12x 12x 24x 12 x x 2 , x
2
2
x x 2 0
g x 0 x 0 x x 2 0 x 0 x 1 x 2
2 0 1
12x - - + +
2x x 2 + - - +
g x - + - +
g x 2 1 2 1
min max min
i) g 2 , 0 1 , .
g , 2 , 0 , 1 .
ii) g 2 , g 2 31 .
g 0, g 0 1 .
g 1, g 1 4 .
O O
O
82
: 2016
- 501 - :
34
i) u t x :
du x dt .
t 1 u x .
2t x u x .
,
2 2x xu u
x x
e eduF x du
u x u
x
.
g ue
g uu
A , 0 0 , .
F 2x , x . :
2 2
x 0 x 0 x 0 ,
x 0 x 0.
, F 0 , . :
2 2x xu u u1 xu
x 1 1 1
e e eeF x du du F x du du , x 0
u u u u.
g ux
1
e0 , du
u 0 , . ,
ux2
1
edu , x
u
2x u
1
e0 , du
u 0 , ( ). , F
0 , .
34
F
i. F
ii.
iii.
iv. F.
83
: 2016
- 501 - :
:
2 2 2 2x x x xu u u x xx xu
2
21 1 1 1
e e e e e 2e eeF x du du du du x , x 0
u u u u x xx
ii)
x 1 x 1
F x F x F 1 2e elim lim F 1 e
x 1 x 1 1
.
iii) txx
1
eF x dt , x 0
t . x 0 , 1 . 0 x t 1 .
,
0 x t te e e e 1 e e
x 1tx x tx x1 1 1x tx x tx x
x x
e e e e1 11 e e 1 e e dt dt dt
t t t t t t
tx xx x x
x
1 1 1
e e1dt dt dt lnx F x e lnx , x 0 , 1
t t t
iv) x 0lim F x
. :
x
x 0
x 0
lim e lnx 1
lim lnx
)
x 0lim F x .
84
: 2016
- 501 - :
35
i) x 0 :
1
xf x f xx
xf x lnx , x 0
, xf x lnx c , x 0 (c : ) (1)
f
C
1 1A e , f e
e e.
x e (1) :
1
e f e lne c e 1 c c 0e
.
, x f x lnx , x 0 lnx
f x , x 0x
f 0 , , ,
2
lnx x lnxlnxf x
x x
2
1 lnx, x 0
x
.
f x 0 1 lnx 0 lnx 1 x e
35
i. f .
ii.
iii.
iv.
85
: 2016
- 501 - :
ln
f x 0 1 lnx 0 lnx 1 lne 0 x e
x 0 e
f x + -
f x 1 2
max
f 0 , e e , . f e, lne 1
f e 2e e
ii) 2 f x f e , x 0 ,
x 0
e 0
lnx lne, x 0 e lnx x lne , x 0
x e
lne x e xlnx lne , x 0 x e , x 0
.
32 , 3 .
f ln
2 3 2 3
3 , 2
ln 3 ln23 2 f 3 f 2 2ln 3 3ln2 ln 3 ln2 3 2
23 33 2 .
e xx e , x 0 . ,
3 3
3 3 3 3
2 2 3 3 3 3e x 3 e x e x e x
3 3 2 2 2 2
x e , x 3 , 2 x dx e dx x dx e dx x dx e dx .
: 3 3
3 3e x
2 2
x dx e dx , m e xm x x e
33 , 2
.
iii)
x
2 2x x x
1 1 1 1
ln t ln xlntg x f t dt dt lnt lntdt , x 0
t 2 2
.
,
2ln x
g x , x 02
.
,
222 2
2 2 2
1ln
lnxxln x ln x1h x g x g ln x ln x ln x
x 2 2 2 2
O
86
: 2016
- 501 - :
2 22 2 2ln x ln x ln x ln x ln x 0
2 2
,
21h x 0 , x 0 g x g ln x 3x
.
iv)
13x x
1 1
lnt 2 lnt lnx 2 1 1 2dt 2 2xf x dt g x 2 2x g g x g 2 2lnx
t x t x x x x x
2 2ln x 2 2lnx 0 , x 0x
( )
: 0 , , 22
x ln x 2 2lnxx
. 1 0 .
, 1.
0 , , 2 22lnx 2 2 2
x xlnx x 1 , x 0x x x x
.
: 0 , , x xlnx x 1 x lnx , x 0
x 0lnx 0
x 1
, x 1 0 , x 0 .
, 22
x x 0 , x 0 , 1 1 ,x
1. , 0 , .
x 0 1
x - +
x 2 1
87
: 2016
- 501 - :
36
i. a
2002
f t g t dt . f x g x , x 2002 , . x 2002 , :
f 2002 g 2002 1 1 2 . , f x g x 2 g x 2 f x , x 2002 , a .
ii.
a a ai)
2
2002 2002 2002
f t g t dt 2 f t 2 f t dt 2 2f t f t dt 2
a a
2 2
2002 2002
f t 2f t dt 2 f t 2f t 1 1 dt 2
a
2
2002
f t 1 dt a 2002 2 a
2
2002
f t 1 dt a 2004 .
iii. 2f t 1 0 , x 2002 , a . , a ii)
2
2002
f t 1 dt 0 a 2004 0 a 2004
iv. ) f 2002 , 2004 , , 2f t 1 2002 , 2004 h
2002 , 2004 2h x f x 1 1 . , h 2002 , 2004 ,
2002 , 2004 :
36
:
i.
ii.
iii.
iv. a)
) .
) .
88
: 2016
- 501 - :
2002
2
2002
h 2002 f t 1 dt 0 ,
2004 ii)
2
2002
h 2004 f t 1 dt 2004 2004 0
, Rolle, 0 0x 2002 , 2004 :h x 0
)
1
20 0 0
h x 0 f x 1 0 f x 1 . f Rolle
02002 , x . , 0 2002 , x : f 0 , fC x x
A , f , 0 .
) f
C :
: y f f x
: y f 0 x
: y f
89
: 2016
- 501 - :
37
i.
502 12009 4 4 502 502i i i i 1 i i .
,
2009 20093 1 2 3 1 2 3 1 2 2z i z 1 i z z i z 1 i z z i z z i z .
3 2 2 1 3 2 2 i 3 2 2 1z z i z z z z i z z z z z z
. ,
3 1 2 3 2 2 1z i z 1 i z z z i z z 1
1
2 2 2 2 21 3 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
z z z z i z z z z i z i z 1 i z 1 i z
2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 21 i z z 2 z z 2 AB AB AB AB B
, 2 2 2 , ,
, B 90 .
ii. 2 2 2 2 2 2 2 2 23 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1 32 z z z z 2z 2z z z 2 z z z z 2 z z 0
21 3z z 0 , . , .
37
,, . :
i. .
ii.
iii.
iv. ,
, :
) .
)
.
90
: 2016
- 501 - :
iii.
3 1 2 3 1 2 3 1z i z 1 i z z i z 2 z 2 2 2 4 z i z 4 .
,
ii)
23 1 3 1 3 1 3 1 3 1
4 z i z z iz z z z z 4 z z 16
2 2 3 23 1 3 12 z z 16 z z 8 2
,
2 2 23 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1z iz 4 z iz 16 z iz z iz 16 z iz z iz z z 16
22 2 2
1 3 1 3 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3i z z z z 16 z z i z z z z 16 8 i 2Im z z 8 Im z z 4
iv. )
2 2 2 2 23 1 2 3 1 2 1 3 1 3 2z iz 2 z z iz 2z z z 2Im z z 2 z .
2 2 23 1 2
z z 2 z 1 3Im z z 0 , 1 3z z .
) a)
1 3z z a f a i f i a f a i f i a f a f i af f a
f a f
af a f 0 g a g a
.
a ( a , 1 3 1 3 1 3z z z z 0 z z 0 A 0 , ).
a 0 a , , .. 0 a .
g a , , g a , . ,
g a g .
, Rolle , 0 0x a , : g x 0 ,
0 0 0
0 0 02
0
f x x f x0 x f x f x 3
x
gC 0 0A x f x 0 0 0 : y f x f x x x .
O 0 , 0 0 0 0 0 0 0 f x x f x f x x f x ,
3 . .
91
: 2016
- 501 - :
38
i.f 2f 21 f , . ,
f x
2
0
f x 1 f t dt , 2f x 1 f x , x . ,
f 21 f , . ,
2 22 2
f x f x f x f x1f x 1 f x 1 f x f x , x
f x2 1 f x 1 f x
.
ii. f x f x f x f x f x f x , x . g x f x f x , x ,
g x g x , x , , xg x c e , x 1 .
g 0 f 0 f 0 0 1 1 ( 0
2
0
f 0 1 f t dt 0 2f 0 1 f 0 1 )
, x 0 , 1 : 0g 0 c e 1 c .
,
xe 2xx x x x 2x x eg x e f x f x e e f x e f x e e f x , x
2
2xx ee f x
2,
.
1 1
x 0 f 0 2 2
. ,
38
( . .)
: .
:
i.
ii.
iii. .
iv. ,
92
: 2016
- 501 - :
x2x 2x x2xx x
x
e 1 e 1 e ee 1e f x e f x f x , x
2 2 2 22e.
iii. f f , f (
0
0 0x xlim f x f x , x
)
2x
2x2xx
xx x x x x
e 1e 1f x e 12elim lim lim lim
x x 2xe 2xe
2x 2x 2x
x
x x xx x x x
2e 4e 8elim lim lim lim 4 e
2e 2x 2e 2 2e
, f
C .
xx
xxxx
x x x x
e ee ef x e e2lim lim lim lim
x x 2x 2x
xxx x
0e elim lim
2 2
, f
C .
iv. 2f x 1 f x 0 , x , f f 1 1 .
1f
y f x 2x
x
e 1f x
2e
2x2
2x x x x
x
e 1y e 1 2ye e 2y e 1 0
2e
:
xe .
: 24y 4 0 .
,2
x 22y 4y 4
e y y 12
. , x x 2e 0 , e y y 1 .
[ 2y y 1 0 , y . , y 0 , 1 0 .
y 0 , ( ).
2 2 2 2y 0 , : y y 1 0 y y 1 y y 1 0 1 , ]
x 2 2e y y 1 x