Post on 20-Jul-2016
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31 106 77 .: 36.18.457 36.19.167
: Karl Marx
Mathematicheskie Rukopsii Nauka Press, Moscow, 1968
Copyght pi : , 1987
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. , 17 . ,
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a . Prncpa,
, ,
. ' , (Sauri) Cours complet de math6-matques [ ] ( 1778), , De analyse per aequatones numero termnorum nfintas [ ' -
19
1 ] (. . 2763). , ' (
). Cours . ( 1827) .-. (Jean-Louis Boucharlat), Elements de calcul dif-ferentiel et du ca/cul integral [
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1870, , ( [Weierstrass], [Dedekind] [Cantor] ).
. . , g, (Hardy), Course of Pure Mathematics [ ], (1917), :
. , .
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3) 4) , :
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..... r dy dy du -=--
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2)u=() u=() u- u = ( )- ( ).
I) :
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dy
3) -=f'(u). du
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d() = '()d,
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du '()d dx dx
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3) 4), :
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, f'(x) -d d d2 ' ' ' ' ' -. , -, - 2 ~ ~ ~ ( Operationsformcln) ,36
, dy=f'(x)dx. . . . , . . dy f'( ) , , -=
dx
., (bcstimmtcn).
- - d(uz), u z , 3'.
89
f(x) y = uz, u z .
y=uz
y,-y=uz-uz. :
y,-y U UZ - - -
y uz-uz -
uz- uz=z (u- u)+ u(z -z),
zu-zu +uz- uz=zu-uz. :
uz-uz u-u z-z z,---+u--. - - -
,- =0, = , u,-u=O. u=u z-z=O, z=z.
dy du dz -=z-+u-dx dx dx
d (uz) dy = zdu + udz. , ,
uz, - , v v -
90
,
c
dy du dz -=z-+u-dx dx dx '
d(uz) dy=zdu+udz , dy=f'(x)dx,
dx ~=f'(x), o-dx
(Spezialwcrt) f'(x) - -
: dy = zdu + udz.
, , , f(x) = xm, , f'(x) , , mxm-, y
c c . , ' ,
, dy , , , - =- ;c dx .
, , dy , ' : - =- -0 dx
, -
, -= -0
91
= . , - -
0
, mxm-, xm. (festgehalten) -
, , dy dx.
, , ~ (= ~) -d
, f'(x) -
, dy , ' , , dy [ - , - -d dx ] .
, . f(x), .. xm, dy
, , d m-ld dy m-1 y = mx , - = mx . dx (figuriert) . (so)
, ~ . dx
. . . dy ( ) . - =-dx f'(x), -
92
f'(x) d d2y _y_, - 2 , . dx dx , ( Operationsfone/n) , , dy=f'(x)dx. ~
~ = f'(x), , d
, , [] .
d(uz), u z , 3 , .. .
(Differenzierungsprozess) (. , , . 10 *)
dy du dz -=z-+u-dx dx dx' u z
, y , u z. , , u z
y, . , []
* . ~ .
93
-du dz - -.
dx dx
, .
:
dy du dz -=z-+u-dx dx dx
d(uz) dy=zdu+udz. " (sobald) u z
. , ,
u=ax, z=bx.
d(uz) dy =bx adx +a bdx. dx, :
dy - = abx + bax = 2abx dx
d2y - 2 = ab + ba = 2ab. dx
y uz=axbx=abx2,
dy d2y uz y=abx2, -=2abx, - 2 =2ab.
dx dx
,
94
du [w=]z -, ,
dx
what we might call)) [, ] , [] . , -
d . [] y-, y -
dy
, ( d(uz) = zdu + udz ).
, ' dx, , dy, .
, , y ,
dx, /=a, .
' 2 d d ' d 2ydy ' y y = a , = --. -a
dx dx y-,
dy
2ydy y-a- y2ydy
-= dy ady
/ =a, [ ] 2ax =-=2,
a
95
a '
, = 2 v.
dx , y-=
dy
ydx = dy. , , ( )
: ~. dx
' ' ' ' dy -dx
. -.
dy du dz -=z-+u-dx dx dx
-=z-+u-0 (zu
nicht.), -
, . :
I) ,
dy - -=f'(x), dy=f'(x)dx.
dx
dy dx
dy=O dx=O, 0=0.
96
' . dy - dx
-, ' ,
- -0
f'(x) dy -, dy = f'(x)dx. dx
u,- u du 2) --- - -
,- dx
u -u = ,-=, - 1-- -
[ ] -. -
(Spezialwert) u.
du , a - -, -
d
-du dz , - -
dx dx
. dy du dz -=z-+u-dx dx dx '
97
dy = zdu + udz,
du dz - , - , du dz ,
dx dx
-, .
3) , -
,
- .
2 _a2 , , ---, = a,
x-a
,
, a
x2-a2 --- .
x-a
2 - a2 , =(+ a)(x- a),
x2-a2 x-a --=(x+a)--=x+a, x-a x-a
98
, - a =, = a, + a = a + a = 2a.'x , , ( - a), , = a, - a =, ( - a) = = , ,
, (2 - a2) =. 2 - a2 (+ a)(x- a) ,
( + a)(x- a)= ( +a) 0=0.
, ( ~ } : = a, =0.
- [ ]
- = : = = . ) :
- ,
, ,
.
!- a! , , --- = a,
x-a
x-a=O x2 =a2, x2-a2 =0, x"-a --= -.
x-a ' , ' -
0 - =,
99
-
,
-= .
2 - a2 (+ a) (- a). ,
x-a P(x+a)--=P(x+a)l,
x-a
[] x=a P2a 2Pa. ' (rcchncn) ,39
(fcstzuhaltcn) -0 dy dz - -, -,
dx dx .,
. , , , ' ,
(umgckchrt) , (Opcrationssymbolen) f.,
(Dicnst) .
( [ ] : . : : , ).
100
, : d(uz) dy zdu udz ---=-+-
d dx dx dx ' , z u, , z u. (aus-gestattet) .
, , u z , .
[] u z,
~(=~} ~(=~} dx dx
dy ( ) ' , , , \ - =- , -= ,,-d
, .
u = 1 +a~.
( } du , 0 =~=3x-+2ax,
( ) d~u - =-, =6x+2a, 1 dx-
d~u () '= dx~ =, 6: ' . -=0.
I I
, , -
, , [ :~ ] ,
d(uz) dy du dz -- -=z-+u-.
dx dx dx dx
u = u-u du , f(x). --- -,
- dx
f'(x), dz
f(x). z = ( ) -= '( ), dx
- (). u z ,
u=xm, z=JX. u z 2 - ,
. , uz,
du - -.
d
, f(x), ()= z -
dz - []
dx
> f(x) = u
102
. .
, , -
du dz - , - -
d dx
> , .
(angenommen) , , u:
dy =y+-h +.
dx
. ' uz, -
y- , , (
), .
, ,
(sicl beu'egenden) . (.>icher) 6 .
. ' . ) v~ . 6. f.v .
, 40 (wirklichen) , .
' d(uz) (Produkt) - = , , :
dy du dz -=z-+u-. dx dx dx ,
dy = zdu + udz. (entspricht)
, , , , dy -dx ,
, f'(x) ( , maxrn-, f'(x) axrn = f(x))
dy -=f'(x) dx
dv=f'(x)dx ' dy rn-1 d rn-ld , ( , - = max , y = max ,
dx y) (
, ' dy rn-1) , , - = max . dx
104
dy=zdu +udz
du dz dy . .
u=f(x), z=() du
du=f'(x)dx
[dz]
>:
dz = '()d.
dy = (x)f"'(x)dx + f(x)'(x)dx
dy -= ( ) f'(x) + f(x) '(). dx
~=f'(x) dx
dy = f'(x)dx.
dy
' ' ' dy ' ' -. -d
. f(x). , ( wirkliche) -
, ' ' . ' ' ' dy - dx
105
, ( das Differential) dy = f'(x)dx.
dy = zdu + udz (umgekehrt). du dz -' -- , ' ,
. ' ' dy ' ' ' - -d
, u z - -
dy = ( ) f'(x)dx + f(x) '()d. , dx
dy -= ( ) f'(x)+ f()'(). dx
du dz dy d2y , -, -, -, - 2 .
dx dx dx dx
.
106
041
f'(x), '
' ' dy ' ' ' - -, dx . , , -
du dz - - ,
dx dx
a f'(x) '(). ,
- - uz .
, , , .
107
( ), - uz . -
. ,
dy du dz - -=z-+u-0 dx dx dx
. dy . . . -, uz, dx
, . , -
du dz - - f'(x), -
d dx
uz,
. ' dy -. dx
, - ,
(als symbo/isches Resultat derselben). : , , , , (Differentiaoperationen)
, . f'(x), . '
, ,
, -
108
, (umgekehrt), , ,
. ,
dy du dz -=z-+u-dx dx dx'
z u ,
y=xm, u z,
u=Jx, z=x3 +2ax2
du dz ' , , - -
dx dx
(Ausfhrungsweise) , a u z.
c) (Operationsgleichung)
.
[ I)] dy du dz -=z-+u-dx dx dx'
dx , :
11) dy d(uz) = zdu + udz.
, ( ~
109
), .
, ,
dy du dz -=z-+u-dx dx dx , ,
, , .
.
y=y-y f()- f(x), ( f(x) f(x 1)
). f()- f(x) y - f'(x)
-
' ' ' fi( ) ' dy '/ - - -. ,, dx .
dy d;=f'(x),
dy = f'(x)dx. * dy,
11 (. .).
110
du, dz (Ausgangspunkte). , u z ,
u = f(x) z = ( ),
dy = (x)df(x) + f(x)d(x), d .
_ :
df(x) = f'(x)dx d()= '()d.
dy = ()f' (x)dx + f() '(x)dx.
dy - = ( ) f'(x) + f(x) '(). dx , , ' , . , ,
. ,
: dy
y=ax, -=a. dx
dy=adx. :
) .
' dy -=a dx
111
dy=O dx=O, [] dy=adx = . , dy dx -
, ' - - y -.
dy=adx , ,
dy = f'(x)dx, '
dy dx=f'(x),
= a, . (Operationssymbo/e). ,
dy=f'(x)dx , dx
~=f'(x), . dx
, , y2 =a d(y2) = d(ax), 2ydy = adx.
- ,
dy a dx 2y -=- -=-. dx 2y dy a
[] 2ydy = adx dx
' 2ydy ' ' ' -a-, , , dx y-,
dy
112
2, , .
11
(fer-tige) , .
I) y , y u u . : v v yc
' ,fl .1 ' ' ' dy c c v -.
a) y=f(u), b) u=(). , I) y = f(u) :
dy df(u) f'(u)du -=--=--=f'(u). du du du
du d() '()d 2) -=--= '().
dx dx dx
dy du --= f'(u) '( :). du dx
113
dx
dy du dy --=-
du dx dx
dy -_ -=f'(u)'(x). d_x
y. a) y = 3u1, b) u = 3 +ax2,
dy d(3u1) -= --= 6u ( = f'(u)) du du
b) u=x3 +ax1. u 6u,
:
dy 1 ' -=6(x-+ax) (=f'(u)). du
du , -=3x-+2ax (='()). dx
dy du dy 1 , , -- -= 6( + ax) (3 + 2ax) ( = f'(u) '()). du dx dx
2j (Ausgangsgleichungen), . a)y=3u2, b)u=x1 +ax2
y=3u2, [] y=3ui ' ' ( + ) y-y=3(u-u)=3(u-u) u u.
114
y-y --=3(u+u).
u-u
u -u =0, u =u 3(u +u) 3 (u + u)= 6u.
u f b)
, u=x3 +ax2, [] u=x~+axf.
u- u =(~+ axT) -(3 + ax2) =(~- 3)+ a(xT- \ U- u =(- )( + + 2)+a(- )( +)
U -u 2 2 --=( ++ )+a( +).
-
- =, = , + + 2 = 32
: a( +x)=2ax.
du -=3x2 +2ax. dx
,
6 (3 + ax2) (32 + 2ax).
115
dy du dy --=-
du dx dx .
, , , , , [ ] .
a) 3u2 =y, b) x3 +ax2 =u.
3(u,-u)(u +u)=y,-y,
y,-y 3(u +u)=--.
u,-u
u =u, u-u=O, dy
6u=-du
3(u+u)
6u b ),
,
116
x~+axf=u
~ +axf- 3 -ax2 = u- u,
(~- 3) + a (xf- 2) =u- u. , :
(- x)(xf + + 2) + a (- )( +)= U- u.
2 2 u-u ( ++ )+a( +)=--. -
=, -=,
2 du 3 +2ax=-dx
2 , -
dy du dy 3 2 2 --=-=6( +ax )(3 +2ax). du dx dx
, , f()- f(x), -.
,
' ' d d dy ' ' y, - dx
117
, . . , [] , ; , , ' , , .
, , d (uz)
, . I) v. , , , y . , , y . . ,
, a yvv , y . a , . = ,
y. 41
118
'f
, y , dy = f'(x)dx,
, f'(x) , dy = d(ax) =
=adx. ~ ~=f'(x) dx
~ = ~, dx . dy= = f'(x)dx ,
: dy=f'(x)dx O=f'(x)O, 0=0, (
' dy 3 2 ' dy ' ' ' , - = , - - dx dx 32 y. -
, ' dy ' ' ' ' ' - dx
32, dx dy, , , y ,
dy ' ' dy 3 2 ' ' - -= -d dx . dx dy=3x2dx, y)).43
) .
. -
( { ~ )>. (Minimalausdrucks) y-y f(x)-f(x) f(x) - ,
. ; -
y . - = dx -:-y= dy, ' . dx, dy '
120
. [] dy = df(x) = f'(x)dx
~ [ = f'(x)], dx
f'(x) . dy = df(x) , , :
y2 =ax
d(y2) = d(ax)
2ydy=adx
2ydy dx=--
a
dx, dx y-,
dy
2ydy y-a-
dy ady a
2ax []=-=2,
a
_ 2, .
dy = df(x) (Aus-k) . dy . gangspun t -, ,
dx
y , dy, dx
.
\21
, , y=ax, , -
, y-y , , --= a, -
' dy ' ' ' - = a. dx
a priori[ ] , y . . dy , - = a - = a, , y, - dx
, (Kontraktions-fahigkeit) dx dy a
, - = y- y =. , , =, -= . = dx, dy
. IV) d(uz), ' III)44 (fertigen Operationsformel),
a . (sov-iel) ), ,
, , (die Ausgangspunkte)
~ , .
(ad) IV.
122
( v v yv) , ( Vorstcllungen ),
(figuricrcn) f'(x) , , f'(x) . , . , , ,
, , , , - , , --, -
-
. , ' y
. (Modcrncn) .45
123
46
) p p uz41
I) d(uz) ,
dy du dz ) -=z-+u-,
dx dx dx , , , vr
.
. ) ,
du dz -, -, f'(x),
dx dx
dy , , , , , -, dx f'(x) ,
, .
124
du dz -, - -
d dx , )) ,
u f(x), 32 , z ( ), 3 + ax2
,
, yv v dx = y- , dy
du dz z-, u-, -
d dx
. , y = uz [] ( y = y1 uz ) .
u.a ) -
z
u 3) d- d(uz),
z
,
d(uz)=zdu+udz
y u
d-. , z
125
, , .
u a) y=-
z
b) u= yz. u y =-,
z
u yz=-z=u.
z
, , u ' . , ,
, , . ' :
c) du = zdy + ydz. , zdy, v , (genau r Torschluss),
y = ( ~ ) , , u z. ' , , ydz . :
d) du-ydz=zdy. u y, -, z
ydz, u
du--dz=zdy. z
126
zdu-udz
zdy. z
a dy sleeping partnen> [ ] , z, :
zdu-udz z2
127
u dy=d-.
z
49
( ) 11))50
) Newton, 1642, t 1729. Philosophiae naturalis principia mathematica, . 1687.
L. I. , Schol. . 11. L. 11. , Vll.51 Analysis per quantitatum series, fluxiones etc.,
1665, . 171I.s2 2) Leibnitz. 3) Taylor (J. Brook), 1685, t 1731,
1715-17: Methodus incrementorum etc. 4) MacLaurin (Colin), 1698, t 1746.
5) John Landen.
6) D'Alembert, 1717, t 1783. Traite des fluides, 1744.53
7) Euler(Leonard), [] 1707, t 1783. !ntroduction a J'analyse de J'infini, , 1748. Institutions du calcul diffe-rentiel, 1755, (., c.III).54
8) Lagrange, 1736. Theorie des fonctions analyti-ques (1797 1813) ( yy).
9) Poisson (Denis, Sirneon), 78, t 840. 10) Laplace (. Simon, m~rquis de), 749, t 827.
) Moigno, Leons de Calcul Differentiel et de calcul inte-gral. ss
131
.
v: 1642, t 1727 (85 ). Philosophiae naturalis principia mathematica ( 1687
f f , Schol.). , : Analysis per quantitatum series
fluxiones etc. 1711, 1665, 1676.
: 1646, t 1716 (70 ). ypv: 1736, t ( ) . heorie des fonctions analytiques (1797 1813).
: 1717, t 1783 (65 ). Trait6 des fluides, 1744.
I) . , y, ., , , y . , (),
pyv , - a , -;-
y .
[]
132
y, a- , = - a- - -,56 ' a- - y y -.
: y=uz[] y, z, 1 - y, z, u -, y y, z, i )', :, i -
y=uz,
y + y = (u + i) (z + :) = uz + uz + zi + 2i:,
y = uz + zi + 2i:. , a, 2i: , a- - ,
2 . ( = 1 . ,
2 I ) = I -
y=uz+zu,
y=uz uz+:Zu.57
2) . uz. u u + du, z z + dz
uz + d(uz) = (u + du)(z + dz) = uz + udz + zdu + dudz.
' uz, udz + zdu + dudz. dudz,
133
d'un infiniment petit du par un autre infiniment petit dz ( du a dz), a
a udz zdu. d(uz)=udz+zdu.58
[3)] ' . :
y=f(x),
=f(x+h) , ' , ' y-y , -h-,
59 h -.
, , a
. ' . , y y.
- , = h. .
=dx [],
=. , , . , , + (
, 60 ), , , + dx, ( 0-
\34
perationssymbole,), .
15* (). . :
y=uz,
y+y=(u +)(z+:t). , , , :
y+y=(u+)(z+z), y + y = uz + z + :Zu + z,
y+y-uz=z+:Zu +z, , uz = y,
y=z+:Zu+Z. , z.
;
, y y, u z z , ~.
, ,
. , dy, dx y, , , ,
y + y, + . -
* . 102-105 .
135
ve (manvriercn) .
, , y=ax, : y+y=ax+ax,
y-ax+y=ax
y=ax.
' , : a, ax yc a
a* ( . ). ,61 y = f(x), . y
i . f'(x) f(x), , :
y=f"'(x)x
, y
, dx . ,
~= a (. .).
y=f(x)
dy=f'(x)dx
136
y= ( ~ ) .
y = ax : = a :
i_= f'(x).
, , .
, , dx, dy . , y, . , y, , ,
.
,
, a, a b, xy, - , ", a', Iog -
.. . . d dy . , y, - -d
, .
, , - .
: y = 2 , - h
y - k,
y+ k =( +h)2 =x2 +2hx + h2,
137
[ ].
(y+k)-y k=2hx+h2 h, :
k -=2x+h. h h=O
2x+h=2x+0=2x.
k k - -. y
h y + k, + h, , h , + h + , , y + k y. c;> k k d .
' = ' dx -;. -
:
. 2 -;= .
[ h =] y+k-x2 =2hx+h2 (y+k)-y=2xh+h2 ( h dx ), k=O+O=O , y y+ k, + h ... , ' x+h=x+O=x, y+k=y, k=O.
138
' :
k = 2xdx + dxdx
, : y=2+. h k y, h , - ( (x+h)-x) y-y (= = (y + k)- y) , -= y-y=O.
, y, . , , y, . , = , , =, ,
y+k)-y=2xh+h2, h , k =, = . h , 2, h
y-y =2x+h. h .
dy -=2 dx
61
dy=2xdx.
139
, h a , , y, . dx, dy [.]. a a ( a (unendlich) [] (unbestimmt) ). , dy, dx, . y, , [.] , ,
(y+ k)-y k=2xdx+dxdx
dxdx 2xdx. (Raisonnement) , (unen-dlich k/ein ). dxdx a dx, 2xdx 2: ...
y = z + :iu + :i :i a z :iu, z + :iu (An-naherungswert), . .
, ( , , ) ,
y=2xx+xx.
, : y=2xx
140
_t=2x . '
2, [ ].
. i:. , , -y y
, , , h, dx , , .
:
f(x),
dy = f'(x)dx.
df(x)= f'(x)dx.
( y=f(x), [] dy=df(x)).
I) f() = f()
2) df(x) = f'(x)dx
I).
---]
I) , ) -=,
~ :
Aa) = -, a) -=.
, , , ,
, . : ,
, vj , ,* v :
, .
* ' : c > (. .).
142
.
b) =+. . ' . . , , , , .
, , - . ,
=+ I) 2) , , +
3) , ,
v - , (+ h)m xm. , , v . - , a -
,- a . , [] ,
.
. 2 (+ h)2, -
143
+ , 2 + 2 + + 2: , 2, [2] ,
= I. , ,
, , + .
4) + , , , , ,
, (als Frucht ncben ihrer Muttcr, beor dicse gcschwangcrt war).
+ ,
[] , . 5) . ,
, + (in bestimmtcn Grad). ,
-y ' ' ' --, = , - ,
: y-y y-y *
-
, - = , =, ~ ,
' : ~ (. tc.).
144
- - (Entwick-Jungsreihe). .
6) y = f(x) = f(x + ), , - , y
yy. c) + = ( y + y = ). = -,
, - , = + .
I) ' , , , . , .
2) : - , -
, . , - 3 , {.
(+ ) , , - 2 .,
-{' , 3
{- 3 3 - a3 - a. - . {- 3 - (, [] , (+ )
) ( -- ), , - ( Jt&- ) , ,
- . , -
145
y - y , -
, y-y ' ' . ' ' -- , -
-
-- (Differenzfon ). , - -, ,
, - (Manver), ~ -3 - .
a (- ), f(x) = uz (
I ), (- ) --.
-
, - , ' , - - - (, , y = a',
y-y { (-)-1 } --=a (a-1)+ (a-1)2 + . ,
- 12
- =
{ I 2 I 3 } =a' (a-)-2(a-) +J(a-1) -.). , , - - = . , (- ) -
(). ,
146
= p (- ) , - =, p , = 0 ... 63
~- 3 , y = 3 = =
y-y=(-)
y-y --=.
-
, , =f\ , - , , ( - )2 . ,
, + +, , -, vx;x, . =,
2, 2, -, I, J. .
, , - , , .
147
11.
I) y. = + =+ dx + , dx . .
, , =y+dy =y+y. + + ,
y :. . ' ,
' , . . . . dy v , -dx
~ , ,
. = ' = y,
( ersteht .5ich n se/bst) y
D y. -
148
,
, , , . *
(al/ereinfachste) y , y =. dy = dx y =.
[] , =, 64 dx.
dy
dx ~=.
[ ] .
, yy
[ ], ( und fertig) dx , + . (Eskamotage), ,
.
= + = + dx + ,
* .: (di Differentiellen) dx dy. a \' .: y. > > (d;.~ Dil1nntia/): dy = f'(x) dx ( i .. .:. ).
149
, .
: ; .
: . , .,
, a , ,
: y=x2,
y + dy =(+ dx)2 = 2 + 2xdx + dx2, y+y=(x +/=2+2 +2. 2 (y = 2) , :
dy = 2xdx + dx2
y=2xx+xx.
[] , :
dy = 2xdx, y = 2
dy -=2 dx
i_=2x.
(+ a)2 2
\50
2xa. a, [] 2xdx dx 2 , 2, 2 2x.6s dx2 - dx2 . *
- - dx2
, .
2xdx + dx2 2 + , (
) (+ dx)2 (+ )2 , yv y, -= = - = dx , .66
, , a .
: (man ... se/bst) , (, , )
. ,
, , , -
* : (. .).
151
.
2) y y. ' point de depart [ ]
: = + dx. : = + , pma facie [ ] , h. h dx ( ,
) ,
( ' *, ). . 67
a) f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x)
h -
(Bildung). I) [ ] f(x + h)- f(x), , + h , 3 (=y-y, y=f(x)) , ' , , ' ,
f(x)=x3 ,
f(x + h)=(x + h)3 = 3 + 3x2h + 3xh2 + h3 ,
* (. c.).
\52
f(x + h)-f(x)=x3 + 3x2h + 3xh2+ h3 - 3 , . ,
3 = f(x + h)- f(x) f(x), dy. ,
, (Differenzgleichung) . ,
d . ' d d ' ' ' ' ' , y - --: . -
d
, ( + h)
dy y ( ), - --:-. dx
' ' , (Entwicklungsbewegungen) .
, , , f(x + h)- f(x) . (c ) dy y .
2) f(x + h)- f(x) = 3x2h + 3xh2 + h3 h,
f(x + h)- f(x) h
153
f(x + h)- f(x) f(x + h)- f(x)
h - , , dx dy y.
3) f(x + h)- f(x) f(x + h)- f(x)
h - h = = -= ,
' dy ' h ' - = dx
3xh + h2 [], . ,
, : dy
4) - -=32 =f'(). dx [ ] , + h,
(+ h)3 \ 3 + 3x2h + ., 32 h . [] , 32
. f'(x) - 32- h
. , , , dx, dy, , ;
~ ~ - =- ( , - =-), dx dx
\54
, .
' , . Traite des fluides 1744 (. . 15*), . 19 . , ..,
' .
3) . , heorie des fonctions analytiques (1797 1813). ) 2),
y f(x)= ., f(x + dx) f(x + h)( = f(x + )).
, ** , , :
xm+mxm-lh+ ., mxm- 1h mxm- 1
a) + h , f(x + h) (Entwicklungsreihe) 9 ,
, , a , , , (x+h)3
* . 132. ** (yy.c.).
155
- , 3 + 3x2h + . ' f(x + h) ( ) ,
a , --
a-x
a 2 3 --=+-+--+3+ . a-x a a a
I + ., ( + h)
(+h)= h+ h . .
' (+ dx) (+ ) (+ h) f(x + h) y + dy y + y f(x + h). (Gesamtausdruck) ' , ,
yv -vvyv , ' .
b) 1), 2), , h1 I) 2) . '
. , h, h2 ... [ ] v
yyv vv y ( yyv vv
).
\56
, dx,
d . . dy . . y y - dx
d2y , - 2 , -d Y2h2 . '
' (Differentialaquivalenten) - , ' . () + h, h, , .68
'
( , ).
c) , y f(x+h)= . [
y+dy y+y, +dx +, , x+dx, y+dy ], -' f(x + h)
yv vyv - ' , ,
157
, .
'
v v ,69 , ,
f(x + h), f(x+h)
dy d2y h2 d3y h3 d4y h4 =y('fi(x))+-h+--+---+- +.
dx dx2 [2] dx3 [2 3] dx4 [2 3 4] d) -.70
e) f(x + h) ' ' ' dy , - .
dx
. r .71 )
158
111.
c) [ ] 25* - - = .
( , y , - y). - = , ' . , ,
. , 4- 2 4 2. 4-2 = 2 2 (
): a) b) , 4-2=2 4=2+2. 2
2, (einer der Differenzform entgegengesetztefl Form).
a - b = c a = b + c c b, -= =+
.
* . 141.
\59
x-x=x=anything []. , = + ,
- , .
-=, -=. , , .
' (=) , , .
, - -= dx d'abord (' ] dx ,
- = , = + . + = , , . .
d) , ( )11 ' .
: I) - ( - y) , =+ + ,
, , + , v .
'
m . , ,
160
[ ] ( +).
2) = + , - ' , ,
, ,
+ . rs , , (
) ()0 = , (). ()2 . , .
( ()0 = I) (+ )"'.
3) , , , . , (+ h)4, h ,
4 + 4x1h + . 4 1 6 h
, , : (+ h)4 y'
', 4 1 4 , h. ' f(x)= 4, 6: f(x + h) , ,
f(x + ) =(+ )4 = 4 + 4 1 + . 4 (+ h)4 (t ' [ ]
. (+ (
161
(+ ). , f(x) = 4 f(x+h)=(x+h)4, [ ] (+ h)4 4 , = . (+ h)4
( 4) + 4 (+ h)4, [ ) (+ h)4 [ ].
4) : , 4x3h, (fix und fcrtig) 4, 43 ,
f(x + )=( + )4, - v , + .
, f(x + ), y, f(x) , , h ( ) , 9 . , , , f(x + h) ,
.
(Angclpunkt) f(x + h) , -, y- y f(x + h)- f(x) .
5) ' :
f(x + )=( + )4 =4 +43 +622 +43 + \
162
!i: 4 +43 + 622 +43 + 4- 4, 4, - , . - -
. ' . -
43 + 62 2 + 43 + 4 , 4 ' - vv . y - ,
y f(x)=x4 :
dy, y ' v y = 43 + . 6) 43 , a
. .
e) f(x) ( yv ) ( d'abord) -
, '
, . , , y, v
, - - v, - a- . ' - y, ,
.
163
, . , y f(x) = 4 , 4 , 43
, . , y f(x) v , , y vv
, )) v.
, f 1, [ ]
' f', : f(x)=y, a) f()=y, y=f(). f(), f(x).
I y y I
f ()=-, -= f(x),
: y=f1(), y = f(),
f() = f1().
df(x) = f'(x)dx, .
, dy df(x) = f'(x)dx . ' - f'(x) (+ ) (+ dx) .
164
, -
1. , -
))73
( , ) , yv v .
, , (Hauptbasis) - , . , , , xm, a', log , . .74
(Lehrbuch-smode) - .75 , - ,
(Basis) - , . ' .
167
, , , h/6 f(x h), f(x h). , , .
- , ,
, ,
n . . , '
[ ) ,77 .
, .
, ,
, f(x + h). ,
+ h.
: f(x + h)
dy d~y h~ d 1y h1 d~y h~ =y+-h+-, --+-1 --+-~----+.
dx dx- I 2 dx I 2 3 dx I 2 3 4
168
-v: f(x) y
-( )+(~)~+(d2y)~+(d3y)_x_3 +(d4y) - dx I dx2 I 2 dx3 I 2 3 dx4
----+. 123 4
, , y,
. , .
11
- .
y= f(x)
dy I d2y 2 y=f(x+h)=f(x) y+-h+--h +. dx 2 dx2
[ I ] d"y + -h"+ . I 2 3 ... dx"
= f(x + h), , y f(x)
d d2 , , , , , , -, - 2 , ., -d dx
169
,78 :
f(h)=(y)+(~)h +( dz~)~+( d3~ )-h-3 -+ :. dx dx I 2 dx I 2 3
y=f(x+h)=f(O+h) h y = f(x) . h f(h), : f(x) : (y)
( :~ ) , : . h : , :
f(x)=(y) f(O) +(~)x+(d2~)~+ :. dx dx I 2
+(d"~) __ _" __ + :. dx 2 3 ... , ,
3 f(x) = f(O) + f'(O)x + f"(O)- + f'"(O) --+ :.
12 12 3
f(x) (c + x)m: (c +O)m = f(O)= cm
m( c + O)m- I = mcm- 1 = f'(O)x :. , , :- : . [ ] failures* [:]
, : : u. -
* .
170
a a- .79
: , Arithmetica Uniersalis, - . - - ; : (Aneignung) . a , -. ' , , - - , ' - - . '
- , -
, - (Anlass) - , -
- _ , - , ( n der gewhnlichen Algebra himmelweit erschiednen).
- - , , , - , , -
171
xy - .
,
-. , (auf strikt a/gebraische Basis).
' [John Landen], 18 Residual Analysis. ' [] .
111. p
(Be-grndung)
. :
f(x+h)=y f(x)+Ah+Bh2 +Ch3 + . :
I) a . f(x + h) .
, f(x + h) [ ] , h. f(x + ) rn> ,
. ' +.))
. , -
172
- 80
- f(x), f() f(x + h).
2) , [] h
, [] h . ' . ( ),
, , . , h
.81 - f(x + h) f(x) y, ' , ,
. , , ,
dy d2y 2 y=y+-h+-2 h +.
dx dx
, , ' :
dy d2y 2 y=y+-h+-2 h +.
dx dx
. ' .
173
[\ (begrndet die Ausgangsg/eichung a/gebraisch)
yv , , .
) I) ,
, ,
, . ' . (+ h) h,
' [ ] (Taufname) .
( .) ' ,
. 2) , , a , -
, , , ( dy ) , - =- dx , . , ' >>
, .
174
: : : :, .
, va ,
: (failures))*) , .
, : , : :
y=f(x) [] y=f(x+h),
,84 f(x) , . ' = f(x + h)
, , : : , . f(x + h), y+ Ah + Bh2 + + Ch3 + ., ,
. . : , : , y un fait accompli [ ], a-, prima facie [ ] , y = f(x) = f(x + h) .
, f(x+h)=y f(x)+Ah+Bh2 +Ch 1 +Dh4 +Eh'+ .
* .
176
a, , , , - , , , y yv. ,
. , - ,
85 -
p , (Operationsformel) ,
, [ ] , - , .
(Ba-.'>i'>) . ,
: .~
lu.'>U.'> h:'>tori -- . .J , (+ a) (+ h) , ,) '> a -
177
( Ge-waltstreich ), ; : -=d, = + dx. , , (+ dx) -
-= h ( =+ =x+h). , . ,
d d2 '' ' ' -, - 2 , ., dx dx
d d2 , ' , , , -, - 2 , ., o-
dx dx
; yv, , (schesst sich direkt a Taylor's Theorem a),
, -
-=d, y,-y=f(x+h)-f(x), , , yy
. [ , , , , , , : ].
17
'f Nr'
) \
11) -=h. : I) (- )(~ + +x2)=h(x~+ +\ 2) :
y-y 2 2 --=++. h I) h yy, f' , f.
h ~, dx
y y 2 2 - -=++ h
., . lc),
f(x+h)-f(x) , y-y 2 2 __:__...:.h_...:....::... -h-= 3 + 3xh + h ,
h , 3xh + h2,88 32 , :
, , - , , 3 2 + 3 h + h2 -- , h ,
. h =, 32 . 32 3 = f'(x). f'(x) ' f"(x)
( = 6) ., f'(x) 32 = f(x)=x3 f(x) , ' . ' , , , , , ,
. .
, , , . , h ,
-y y-y ---- ---
h - -,
. - ."
183
, , y-y , dy -- -=-, h dx
, , , , , y-y , --, h .92
, , , y-y , y-y , ' -- --
h -
- ,
, , -
( Wertausdruck) ~ ( dy ) dx 32 , f'(x).
~( ~)=f'(x) dx . (Grenzerhiiltnis),
6 (Aquivalentverhiiltnis). -=2,
3
6 6 2 -, - 2.
3 3
= .
r .; . (missdeutet). 93 -- h = -
184
-- .
., !i .
185
"
' -.94
) f(x) y=x3 a) f(x+h) y=(x+h)3 =x3 +3x2h+3xh2 +h3 b) f(x+h)-f(x) y-y=3x'h+3xh2 +h3
fi(x + h)- fi(x) y - c) __=3x2 +3xh+h2
h h
h=O: dy
d)- -=3x2 =f'(x). dx
11) f(x) y=x3 a) f() =~. b) f()- f(x) - y =~- 3 =(- x)(xf + + \
f(x)-f(x) . -y 2 2 c) --= ++.
- -
=, -=, :
186
. , [] y. . , -= = = h ( ,
).95 h, a) =.+ b) + +h=.
a), - h ( : , h)
, h. , ' , , ' . ,
, + , [ f(x + )] y =.
(+ ) (+ dx) , , + . 96 , , + dx + . dx a priori_ [ ]
, .
' (x+dx), (+ ) (+ h). h dx, ( das ist auch allc Entwicklung dic wirklich vorgcht).
187
( +dx) (+ h),
- (+ h)3 Ia) 3- dx h , . [] ( be-haftet) .
Ia) yy 3, 32, , h. 32 = f'(x) . ,
+=+h, h. f'(x) h .
Ila) , ' 3 ~. f'(x) , .
lb) f(x + h)- f(x) - y . , [ ] , h.
Ilb) . [ ] , (- ) ,
188
~- 3 - . ~- 3 .
-=h,
~- 3 h(xf + + 2). a Ib). h , yv
ccc yyv ~- 3 , h Ia),
. h , 1), 11) a ( - = h). , , h ) , c
c v .
lc), f'(x) -, h ' , ' , - , . --
h
f(x + h)- f(x) , , , --'------,
h . ,
f( + h)- f(x) , h = -
h
' dy , , ' ld) - =-, , dx f'(x),
189
- la), - .
, ' .
f'(x) = 32, Ia) , - . - h - = - .
Ilc) , ccc yy - (= h).
, Ild), c yy = . =, , - -= - -y , , , dy -- - -.
- dx ) - =
h =, . f'(x), - , - , coup d'etat [].
190
J Nf' 97
' :
a) f(u)911 y = 3u2, b) f(x) u=x3 +ax2
y=3u2, () f(u) = 3u2 (la)
f(u + h)= 3(u + h)2, f(u + h)- f(u) = 3(u + h)2 - 3u2
(2) ( yy , h vc ),
f(u+h)-f(u) 6u +3h.
h f'(u) = 6u, (2), h .
f(u+O)-f(u)
6u,
y,-y . . dy --, -=-=6u. u,- u du
191
u b),
dy -= 6(3 + ax2). du
y a) u, (u -u)=h h=(u-u) u .
: dy 3 2 -=6( +ax ). du
( f(u) y=3u2.) [ b) , ] b) f(x) u=x3 +ax2,
f(x+ h)=(x+ h)3 +a(x+ h)2,
f(x + h)-f(x)= (+ h)3 + a(x + h)2 - 3 - ax2 =3 + 3x2h + 3xh2 + h3 {- 3
+ ax2 + 2axh + ah2 - ax2
= (32 + 2ax)h + (3 + a)h2 + h3, f(x + h)- f(x) 32 + 2ax + (3 + a)h + h2
h
h=O : . du 2 - -=3 +2ax. dx
f(x + h)= (+ h)3 + a(x+ h)2,
192
3 + ax2 + (32 + 2ax)h + (3 + a)h2 + h3 h. f(x) f(x + h) 3 + ax2 (+ h)3 + a(x + h)2 , + h, + h , , ( behaftetes) h ( und fertig) u, f'(u).
f'(x), , h .
f(x + h)- f(x)
. h : , f(x), =f(). ,
, 3 +ax2, (+ h)3 + a(x + h)2 .
. a) : dy -= 6(3 + ax2), du
b): du -=3x2 +2ax. dx
193
, dy , du , , , - -, du dx ,
dy du dy --=-
du dx dx '
dy du , -- du dx' dy
-= 6(1 + ax2) (32 + 2ax) dx , , :
dv df(u) du df(x) y=f(u), d~ =~, u=f(x), d;=d >
dy du , dy df(u) df(x) -- -=----. du dx dx du dx h = u - u a)
l1 =- b), :
y f(u)=3u 2, l{u + (- u))= 3(u + (u- u))2
= 3u2 + 6u(u- u) + 3(u- u)2, f"(. + (u- u)) -l{u) = 3u2 + 6(u- u) + 3(u- u)(u-u)- 3u2,
on :: f( + (u- u))- f(u) = 6u(u- u) + 3(u- u)2,
f"(u +(u- u))- f"(u) 6u+3(u-u). u-u
[\ i u - u r ro =, dv -- = 6u -+ = 6u . du
194
, f(u) f(u +( - u)),
, , ( - u) h , . ,
3 + ax2 (+ h)3 + a(x + h)2
(+ (- ))3 + a(x +(- ))2, ( -) , h
, h - .
: I) ' - = h h =- , , f(x + h) f(x +(- )) , 3u2 ,
. ' h (- ) . a h -, .
-= , (- ) .
( ~) [ ] [ ] -, a
- .
\95
(Mittelprozedur), ,
f(x+h)-f(x) f(x+(x-x))-f(x)=[ ... ]. '
(Zweck) , [] f(x + h)
f(x) . [ f(x)]
. , ,
(+ h)3 +a(x + h)2 -x3-ax2, 3 ax2 (x+h)3 +a(x+h)2,
h (- ), .
' , , , h. h2 . (- )2 . ,
- , h.
2) f()- f(x).= . ,
f(x) u=x3 +ax2, f() U~x{+axf. (Anwachs) f'(x).
f()- f(x) u- u ={+ axf- (3 +a!). ' , xt + axi
196
3 ax2 , (Entwicklungsmoment)
[] . ,
=(xt- 3)+ a(x~- \ - - , : f(x)-f(x) u-u=(-)(2 ++2)
+ a( - )( +). - , :
f(x)-f(x) u-u 2 2 _;__-'--------'---'- --=(+ + ) + a( +).
- -
. .
= ,
-=
:
:
' ' =-, ,
= -.
(xi + + 2)= 32 += + =2,
a(2x)=2xa.
[ ] df(x) du
dx dx , = - = . =
.
197
= -= ' -
~ ~ . dx : yy . , =. = -= , =,
, , - = , .
3) , (
, -= h), , [] [] ,
, ' , .
[ ] ,
, ,
f
-
-
, , (
) > ( ) .
, () ,
, . , a , .
, f(x), (a, b), , +a:
I. a, f(x) a
a:::;:::;. ) f(a) .., ' ,
, a
, f(a), f(a). -
32 32, h ,
, a, f(x) - a f(a), f(a), a, .
, f(a) f(x), - a, ( (a- k, a + k)) f(x) a, f(a), .
. f(x), - a,
, x=a.
f(a) f(x), ,
, a . , ,
' ' ' ' .. ' y
, .
y, y==, . . 66 18.
' .
'' ' , :
,
'
' -- " ( / -- vy. . , . I, ). , a
. a , ; , , , - a
, =, ax=oo, - .
( , , a ), a + b , , b .
, ax+b b ---, - bx+a a
a , -
b b
a+- __ _ .
a b+-
x
a b . , ,
, -
)) ,
. ' ~ :
)) )) , -
' ' ' ' -- --, .
. ,
-=-=- =. ()
' ~ , -= I
=, -=0 =,
-= = -= = . ,
(I)- , , -
' ' -- .... .
a-
, , ,
. (. . VII),
209
, , , ,
, )) (. 2-3).
,
y =(, ) ( y=f(x))
~=f'(x) , dx
:
~ ~, (, ) f'(x). dx
. y . - ' (2) - - -- - h
- -
0
' dy ' ' ' ' - I -. , --= dx h
, : h , 6. ,
- dy dy 6 ----- -. - = I.
h dx dx
> dy = dx)) (. 6).
21
. , y = b,
dy . . . . . -= , : (( o-dx
)) ( .. 6). . . . --
-0, , . , (( )) (. 24). , :
< < (<
-, ,
)) ,
' , . , "" " ", ( 90-92).
, ,
,
, ' Trate , 1810.
,
, , c'cst-a-dirc dc la
qu s' obscrvc dans la dcscripton dcs lgncs par lc mouvcmcnt, ct d' apres laqucllc lcs ponts consecutfs d' unc memc lignc sc succcdcnt sans aucunc ntcrvallc)) (. XXV), (((, [],
))).
, , lus l st pctt, plus on sc rapprochc dc la dont l s' agt, a laqucllc la lmtc sculc convcnt parfa-
213
tement)), (.. , ))). employer Ja methode des lmiteS)) (. XXIV), )) .
)) a I' exclusion de tout limite, soit en grandeur, soit en petitesse, ce qui n' offre qu' une suite de negations, et ne sourait jamais constituter une notion positive)) (. 19 ((Q ,
))). : ((/' infini est necessairement ce dont on affne que Jes limites ne peuvent etre attentes par que/que grandeur CO9CVab/e QUC ce soit)) ((( , ). , :
.
:
ax (( -- o-
x+a
. ,
a a +
a, -
214
a , -
. a
ax a2 a---=--
x+a x+a
, , yv
, . a :
a a --
x+a
. [ ]
(. 13-14). , :
.
, , , . , . .
. , . 6 .
,
215
, yy , , .
cc>> - ,
, 'y
, - , , .
, - , , , , .- , , cc , [] , " " (. 123). , cc)),
,
( Oeurcs Lagrangc, IX, , 1881). ' a
, , , (. 16):
((Mais il fiut convcnir quc ccttc idec, quoiquc just cn cllc-me-mc, n' cst pas asscz clairc pour scrvir dc principc a unc scicncc dont Ja ccrtitudc doit etrc fondec sur I' cvidcncc, ct surtout pour etrc prcscntec aux commcn9
. ,
, ). ( >) .
218
11
J
r;~'v :; , f'F'
, , , . ,
, , . ,
. ( ).
. . )) (Sir Isaac Newton, Mathe-matical Principles of Natural Philosophy, . Andrew Motte, . Floon Cajo, , . .
, 1934, . 38-39).
, to)) ,
. ,
, , , , (( , , )), , .
(
220
, ' : y t : , y t, , ,
, .* 11 Principia mathematica
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