Συναρτήσεις

Αποστόλου Γεώργιος

20 Αυγούστου 2013

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Γραφική παράσταση

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Περιεχόµενα

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Γραφική παράσταση-Ερωτήσεις ϑεωρίας

www.study4maths.gr

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ερώτηση 1η

Ποιά συµπεράσµατα βγάζουµε από τη γραφική παράσταση µιας συνάρτησης;

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Σηµείο Γραφικής παράστασης

΄Ενα σηµείο σηµείο A(xo, yo) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f αν-ν yo = f(xo)

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Σηµείο Γραφικής παράστασης

΄Ενα σηµείο σηµείο A(xo, yo) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f αν-ν yo = f(xo)

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Πεδίο ορισµού Συνάρτησης

Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [α, ϐ),

η προβολή της γραφικής παράστασης στον xx′

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Πεδίο ορισµού Συνάρτησης

Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [α, ϐ),

η προβολή της γραφικής παράστασης στον xx′

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Σύνολο τιµών Συνάρτησης

Το σύνολο τιµών είναι της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [γ, δ),

η προβολή της γραφικής παράστασης στον yy′

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Σύνολο τιµών Συνάρτησης

Το σύνολο τιµών είναι της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [γ, δ),

η προβολή της γραφικής παράστασης στον yy′

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx ′

● Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx′

στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx′

στα διαστήµατα (α, ρ) ∪ (µ,β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx′

στο διάστηµα (ρ,µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx ′

● Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx′

στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx′

στα διαστήµατα (α, ρ) ∪ (µ,β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx′

στο διάστηµα (ρ,µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx ′

● Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx′

στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx′

στα διαστήµατα (α, ρ) ∪ (µ,β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx′

στο διάστηµα (ρ,µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx ′

● Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx′

στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx′

στα διαστήµατα (α, ρ) ∪ (µ,β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0

● Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx′

στο διάστηµα (ρ,µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Μονοτονία

● Η γραφική παράσταση είναι ϕθίνουσα στα διαστήµατα (α, ε) ∪ (0, ζ)εκεί που ισχύει ∀x1, x2 ∈ Df µε x1 < x2 ⇐⇒ f(x1) < f(x2)

● Η γραφική παράσταση είναι αύξουσα στα διαστήµατα (ε, 0) ∪ (ζ, β)εκεί που ισχύει ∀x1, x2 ∈ Df µε x1 < x2 ⇐⇒ f(x1) > f(x2)

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Μονοτονία

● Η γραφική παράσταση είναι ϕθίνουσα στα διαστήµατα (α, ε) ∪ (0, ζ)εκεί που ισχύει ∀x1, x2 ∈ Df µε x1 < x2 ⇐⇒ f(x1) < f(x2)

● Η γραφική παράσταση είναι αύξουσα στα διαστήµατα (ε, 0) ∪ (ζ, β)εκεί που ισχύει ∀x1, x2 ∈ Df µε x1 < x2 ⇐⇒ f(x1) > f(x2)

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Μονοτονία

● Η γραφική παράσταση είναι ϕθίνουσα στα διαστήµατα (α, ε) ∪ (0, ζ)εκεί που ισχύει ∀x1, x2 ∈ Df µε x1 < x2 ⇐⇒ f(x1) < f(x2)

● Η γραφική παράσταση είναι αύξουσα στα διαστήµατα (ε, 0) ∪ (ζ, β)εκεί που ισχύει ∀x1, x2 ∈ Df µε x1 < x2 ⇐⇒ f(x1) > f(x2)

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ακρότατα-Μέγιστο

● Η γραφική παράσταση έχει τοπικά µέγιστα

στο α το f(α) = η και στο 0 το f(0) = θστα xo όπου ∀x που ανήκει σε µια περιοχή του xo ισχύει f(x) ≤ f(x0)

● Ολικό µέγιστο έχω στο α το f(α) = η γιατί θ < ηΠΡΟΣΟΧΗ στο β δεν έχω µέγιστο γιατί δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού !

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ακρότατα-Μέγιστο

● Η γραφική παράσταση έχει τοπικά µέγιστα

στο α το f(α) = η και στο 0 το f(0) = θστα xo όπου ∀x που ανήκει σε µια περιοχή του xo ισχύει f(x) ≤ f(x0)

● Ολικό µέγιστο έχω στο α το f(α) = η γιατί θ < ηΠΡΟΣΟΧΗ στο β δεν έχω µέγιστο γιατί δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού !

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ακρότατα-Μέγιστο

● Η γραφική παράσταση έχει τοπικά µέγιστα

στο α το f(α) = η και στο 0 το f(0) = θστα xo όπου ∀x που ανήκει σε µια περιοχή του xo ισχύει f(x) ≤ f(x0)

● Ολικό µέγιστο έχω στο α το f(α) = η γιατί θ < ηΠΡΟΣΟΧΗ στο β δεν έχω µέγιστο γιατί δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού !

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ακρότατα-Ελάχιστο

● Η γραφική παράσταση έχει τοπικά ελάχιστα

στο ε το f(ε) = γ και στο ζ το f(ζ) = γστα xo όπου ∀x που ανήκει σε µια περιοχή του xo ισχύει f(x) ≥ f(x0)

● Ολικό ελάχιστο έχω στο ε και στο ζ γιατί f(ε) = f(ζ)) = θ

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ακρότατα-Ελάχιστο

● Η γραφική παράσταση έχει τοπικά ελάχιστα

στο ε το f(ε) = γ και στο ζ το f(ζ) = γστα xo όπου ∀x που ανήκει σε µια περιοχή του xo ισχύει f(x) ≥ f(x0)

● Ολικό ελάχιστο έχω στο ε και στο ζ γιατί f(ε) = f(ζ)) = θ

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Ακρότατα-Ελάχιστο

● Η γραφική παράσταση έχει τοπικά ελάχιστα

στο ε το f(ε) = γ και στο ζ το f(ζ) = γστα xo όπου ∀x που ανήκει σε µια περιοχή του xo ισχύει f(x) ≥ f(x0)

● Ολικό ελάχιστο έχω στο ε και στο ζ γιατί f(ε) = f(ζ)) = θ

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις

Μελέτη συνάρτησης

Αποστόλου Γεώργιος Συναρτήσεις