Vorkurs Darstellende GeometrieDurchstoßpunkt Gerade Ebene
Hans-Peter Schröcker
Arbeitsbereich Geometrie und CADInstitut für Grundlagen der Bauingenieurwissenschaften
Universität Innsbruck
Wintersemester 2007/08
© 2007 Arbeitsbereich Geometrie und CAD, Universität Innsbruck
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Durchstoßpunkt Gerade Ebene
Bestimmen Sie den Durch-stoßpunkt D der Geraden gmit der Ebene ε.
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Teil I
Lösung mit erstprojizierender Hilfsebene
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Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Erstprojizierende Hilfsebe-ne ν durch g.
2. Schnittgerade d von ν
und ε.3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.
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Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Erstprojizierende Hilfsebe-ne ν durch g.2. Schnittgerade d von ν
und ε.
3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.
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Erstprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Erstprojizierende Hilfsebe-ne ν durch g.2. Schnittgerade d von ν
und ε.3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.
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Teil II
Lösung mit zweitprojizierender Hilfsebene
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Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Zweitprojizierende Hilfs-ebene ν durch g.
2. Schnittgerade d von ν
und ε.3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.
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Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Zweitprojizierende Hilfs-ebene ν durch g.2. Schnittgerade d von ν
und ε.
3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.
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Zweitprojizierende Hilfsebene ν durch g
1. Zweitprojizierende Hilfs-ebene ν durch g.2. Schnittgerade d von ν
und ε.3. Der gesuchte Durchstoß-punkt D ist der Schnittpunktvon d und g.
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Vorkurs Darstellende GeometrieFallgeraden
Hans-Peter Schröcker
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Fallgeraden
Konstruieren Sie dievon den markiertenPunkten ausgehendenFallgeraden. Sie gebenden Weg an, den Was-ser nehmen würde, dasvon den markiertenPunkten abfließt.
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Erste Hauptgerade
1. Wir betrachten nurdie Fallgeraden inder hervorgehobenenSeitenfläche S des Ob-jektes (alle anderensind einfach).
In S konstruieren wireine erste Hauptgeradeh1.
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Falllinien in Grund-, Auf- und Kreuzriss
2. Der Grundriss derFallrichtung schließtmit h′
1 einen rechtenWinkel ein.
Die Falllinien in Auf-und Kreuzriss wer-den durch Angitterngefunden.
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Würfelspuren von S
3. Wir konstruieren dasSchnittpolygon von Smit dem Würfel.
Dazu verlängern wirddie Schnittgerade mitder hinteren Wür-felseitenfläche undschneiden sie mit derVerlängerung einersenkrechten Würfel-kante.
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Fallrichtung im axonometrischen Bild
4. Der Grundriss ei-ner Fallgerade f1 wirdins axonometrischeBild übertragen. Dortwird über der Fallge-raden eine erstproji-zierende Hilfsebeneerrichtet und mit derSeitenfläche des Ob-jektes geschnitten. DieSchnittgerade ist dasaxonometrische Bild f1der Fallrichtung.
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Fertigstellen des axonometrischen Bildes
5. Das axonometrischeBild wird fertiggestellt.
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Vorkurs Darstellende GeometrieWinkel zwischen zwei Ebenen
Hans-Peter Schröcker
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Winkel zwischen zwei Ebenen
Konstruieren Sie denWinkel zwischen denEbenen ABC und ABD.
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Erster Seitenriss
In einem dem Aufrisszugeordneten Seitenriss(Seitenrissebene π3 par-allel zur SchnittgeradenAB der beiden Ebenen)erscheint AB in wahrerGröße.
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Zweiter Seitenriss
In einem zweiten Sei-tenriss erscheint dieGerade AB projizie-rend und der Winkelzwischen den beidenEbenen kann in wah-rer Größe abgelesenwerden.
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Vorkurs Darstellende GeometrieWinkel zwischen zwei Geraden
Hans-Peter Schröcker
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Seite 1
Winkel zwischen zwei Geraden
B
A
C
Konstruieren Sie den Winkelzwischen den Geraden ABund BC.
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Winkel zwischen zwei Geraden
B''
C''
B'
A''
A'
C'
B
C
A
• Angabe in Grund- undAufriss.
• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1.• Übertragung der
gedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.
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Winkel zwischen zwei Geraden
h ''1
h '1
A'
A''
C'
C''
B'
B''
B
C
A
• Angabe in Grund- undAufriss.
• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1.• Übertragung der
gedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.
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Winkel zwischen zwei Geraden
0
B'''
3
(B )'''
C'''=h '''1
π
π1'''
(A )'''
A'''
0
'
h ''1
1h '
C'
B''
A''
C''
A'
B'
A
B
C
• Angabe in Grund- undAufriss.
• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1.
• Übertragung dergedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.
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Winkel zwischen zwei Geraden
0
B'''
3
(B )'''
C'''=h '''1
π
π1'''
(A )'''
A'''
0
'
h ''1
1h '
C'
B''
A''
C''
A'
B'
A
B
C
• Angabe in Grund- undAufriss.
• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1.• Übertragung der
gedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.
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Winkel zwischen zwei Geraden
0B
0A
3
0(A )'''
1
(B )'''0'''
'π
1
B'''
π
C'''=h '''A'''
1h ''
h '1
C'
B''
A''
C''
A'
B'
A
B
C
• Angabe in Grund- undAufriss.
• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1.• Übertragung der
gedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.
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Winkel zwischen zwei Geraden
0
0B
A
'
''' (B )'''
1
B'''
1
π
A'''
π
C'''=h '''
3
(A )'''0
0
h ''
1h '
1
B''
C'
A''
C''
A'
B'
• Angabe in Grund- undAufriss.
• Erste Hauptgerade h1 derEbene ABC.
• Seitenriss, in dem h1
projizierend erscheint.• Drehen der Ebene ABC
parallel zu π1.• Übertragung der
gedrehten Punkte in denGrundriss. Ablesen desgesuchten Winkels.
• Gesamtkonstruktionohne Tschupik-Würfel.
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Vorkurs Darstellende GeometrieVerebnung einer Pyramide
Hans-Peter Schröcker
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Fallgeraden
Eine regeläßige fünfseitigePyramide mit der Basis in π1
(Mittelpunkt M, Eckpunkt A,Spitze S) ist mit der zweitpro-jizierenden Ebene durch diePunkte I und II zu schneiden.Der Restkörper ist in Grund-,Auf- und Kreuzriss darzustel-len. Weiters ist die Verebnungdes Mantels und der Schnitt-figur zu bestimmen.
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Pyramide in Grund-, Auf- und Kreuzriss
1. Einzeichnen der Pyramidein Grund-, Auf- und Kreuz-riss.
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Schnittpolygon
2. Einzeichnen des Schnittpo-lygons in Grund-, Auf- undKreuzriss.
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Ausführung von Grund-, Auf- und Kreuzriss
3. Ausführung der Pyramideunter Berücksichtigung derSichtbarkeit.
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Wahre Größe der Schnittfigur
4. Abwicklung der Gesamt-pyramide (ohne Berücksich-tigung des Schnittes). Diewahre Länge der Seitenkan-ten kann in diesem Beispieldirekt im Aufriss abgelesenwerden.
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Fertigstellen des axonometrischen Bildes
5. Die wahre Länge vonSeitenkanten kann – nacherfolgtem Paralelldrehen –im Aufriss abgelesen werden.Alternativ können die wah-ren Längen auch mit Hilfeder Standardkonstruktionermittelt werden.
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Wahre Länge der Seitenkanten
6. Die wahre Größe derSchnittfigur wird in einemSeitenriss bestimmt und indie Abwicklung übertragen.
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Ausführen der Abwicklung
7. Ausführen der Abwick-lung.
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Vorkurs Darstellende GeometrieRotation eines Punktes um eine Achse
Hans-Peter Schröcker
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Rotation eines Punktes um eine Achse
Der Punkt P rotiert um dieAchse a. Stellen Sie den Bahn-kreis von P in Grund- undAufriss dar.
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Normalebene auf a durch P
1. Der gesuchte Kreis liegt inder Ebene ν, welche normalauf a steht und P enthält.Die Ebene ν wird durch zweiHauptgeraden h1 und h2
festgelegt:h′1 ⊥ a′, h′′2 ⊥ a′′.
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Mittelpunkt des Bahnkreises
2. Der Mittelpunkt M desBahnkreises von P ist derDurchstoßpunkt von a mit ν.
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Radius des Bahnkreises
3. Der Kreisradius r ist diewahre Länge der Strecke PM.
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Hauptachsen der Bildellipsen
4. Die Hauptachsen derBildellipsen sind Hauptgera-den der Ebene ν. Die halbeHauptachsenlänge entsprichtdem Kreisradius (a = r).
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Nebenachsen der Bildellipsen
5. Die Nebenscheitel wer-den in Grund- und Aufrissmit Hilfe der umgekehrtenPapierstreifenkonstruktionermittelt.
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Fertigstellen der Zeichnung
6. Schließlich kann das Kreis-bild und Grund- und Aufrissdargestellt werden.
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Vorkurs Darstellende GeometrieKugelschnitt
Hans-Peter Schröcker
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Kugelschnitt
A'
A'
k''
Stellen Sie den im Aufrissgegeben Kleinkreis k (Schnitteiner Kugel und einer zweit-projizierenden Ebene) inGrundriss, verdrehtemGrundriss und dazugehö-rigen Aufriss dar!
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Kugelschnitt
M'
k'
M''
U''=V''
V'
U'
A'
A'
k''
Mittelpunkt und Radiusdes Schnittkreises könnenim Aufriss abgelesen wer-den.
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Kugelschnitt
M'
k'
M''
U''=V''
V'
U'
A'
A'
k''
Die Umrisspunkte U, V fürden Grundriss werden eben-falls im Aufriss ermittelt undin den Grundriss übertra-gen.
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Kugelschnitt
M'
k'
M''
U''=V''
V'
U'
A'
A'
k''
Im Grundriss kann k un-ter Berücksichtigung derSichtbarkeit eingezeichnetwerden.
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Kugelschnitt
M'
k'
M'
k'
V'
U''=V''
M''
U'
k''
A'
A'
Übertragung in den gedreh-ten Grundriss.
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Kugelschnitt
H''
N''
N'
N''
H'
N'
H'
H''
M''
k'
M'
M''
k'
M'
V'
U''=V''
U'
k''
A'
A'
• Mittelpunkt M deszweiten Aufrisses durchOrdner
• Übertragung einesPunktes N derKreisachse n in denzweiten Aufriss
• Das Bild von n imzweiten Aufriss ist dieNebenachse des Bildesvon k.
• Haupt- und Nebenachse,Hauptscheitel, höchsterPunkt H.
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Kugelschnitt
H''
N''
N'
N''
H'
N'
H'
H''
M''
k'
M'
M''
k'
M'
V'
U''=V''
U'
k''
A'
A'
• Mittelpunkt M deszweiten Aufrisses durchOrdner
• Übertragung einesPunktes N derKreisachse n in denzweiten Aufriss
• Das Bild von n imzweiten Aufriss ist dieNebenachse des Bildesvon k.
• Haupt- und Nebenachse,Hauptscheitel, höchsterPunkt H.
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Kugelschnitt
H''
N''
N'
N''
H'
N'
H'
H''
M''
k'
M'
M''
k'
M'
V'
U''=V''
U'
k''
A'
A'
• Mittelpunkt M deszweiten Aufrisses durchOrdner
• Übertragung einesPunktes N derKreisachse n in denzweiten Aufriss
• Das Bild von n imzweiten Aufriss ist dieNebenachse des Bildesvon k.
• Haupt- und Nebenachse,Hauptscheitel, höchsterPunkt H.
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Kugelschnitt
H''
N''
N'
N''
H'
N'
H'
H''
M''
k'
M'
M''
k'
M'
V'
U''=V''
U'
k''
A'
A'
• Mittelpunkt M deszweiten Aufrisses durchOrdner
• Übertragung einesPunktes N derKreisachse n in denzweiten Aufriss
• Das Bild von n imzweiten Aufriss ist dieNebenachse des Bildesvon k.
• Haupt- und Nebenachse,Hauptscheitel, höchsterPunkt H.
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Kugelschnitt
H''
N''
N'
N''
H'
N'
H'
H''
M''
k'
M'
M''
k'
M'
V'
U''=V''
U'
k''
A'
A'
Umgekehrte Papierstreifen-konstruktion mit Hilfe desPunktes H.
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Kugelschnitt
u''
2
W '
u'
2
W ''1
1W 'u'
W ''
N'
N'
N''
H'' H''
H'
H'
M''
N''
k'
M'
V'
k'
U''=V''
M'
M''
U'
A'
A'
k''
Einzeichnen des zweitenUmrisses u im gedrehtenGrundriss =⇒ Umrisspunk-te W1 und W2 im gedrehtenGrundriss und im zugehöri-gen Aufriss.
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Kugelschnitt
u''
2
W '
u'
2
W ''1
1W 'u'
W ''
N'
N'
N''
H'' H''
H'
H'
M''
N''
k'
M'
V'
k'
U''=V''
M'
M''
U'
A'
A'
k''
Alternative: Übertragen deszweiten Umrisses u in denoriginalen Grundriss undErmittlung der Schnittge-raden der Trägerebene vonu mit der Trägerebene desKreises k.
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Kugelschnitt
k''
W 'W '
1
u'
1
W ''
2
2
W ''
u'
u''
N'
N'
N''N''
H'' H''
H'
H'
M''
k'
M'
U'
V'
U''=V''
M'
k'
M''
A'
A'
k''
Ausführen des fertigen Bil-des.
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Vorkurs Darstellende GeometrieEbener Schnitt eines Drehkegels
Hans-Peter Schröcker
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Ebener Schnitt eines Drehkegels
An einer senkrechten Wand ist eine kegelförmige Wandleuch-te angebracht. Die im Aufriss gegebene Wandleuchte ist imKreuzriss darzustellen.
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Umrisserzeugende im Kreuzriss
1. Die Umrisserzeugenden des Kegels im Kreuzriss werdenals Tangenten einer dem Kegel berührend eingeschriebenenKugel konstruiert.
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Basiskreis
2. Der Basiskreis des Drehkegels wird im Kreuzriss darge-stellt.
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Schnittellipse
3. Die Schnittellipse von Kegel und Wand erscheint im Kreuz-riss in wahrer Größe. Ihre Nebenscheitellänge wird durch Par-alleldrehen eines am Kegel liegenden Kreises im Aufriss er-mittelt. Seite 5
Umrisspunkte
4. Mit Hilfe der Umrisspunkte U1, V1 am Basiskreis erhältman die Umrisserzeugenden u, v und in weiterer Folge dieUmrisspunkte U2, V2 auf der Schnittellipse.
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Fertigstellen des Kreuzrisses
5. Das fertige Objekt wird im Kreuzriss dargestellt.
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