CÍRCULO DE MOHR
PARA TENSÕES
CÍRCULO DE MOHR
PARA TENSÕES
Resistência dos Materiais XI
x
y
zσσσσx
σσσσx
σσσσy
σσσσy
ττττyx
τxy
Num certo ponto da superfície de um corpo carregado são conhecidas as tensões em dois planos
perpendiculares
Estado Plano de Tensões
Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σσσσ
σσσσ
ττττ
Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais ττττ
Representação Gráfica das Tensões no Plano de Mohr
σσσσ
ττττ
0
Marque as tensões normais de tração à direita da origem
Marque as tensões normais de compressão à esquerda da origem
σσσσ
ττττ
0
Marque para CIMA as tensões tangenciais que giram
o elemento no sentido HORÁRIO
Marque para BAIXO as tensões tangenciais que giram
o elemento no sentido
ANTI-HORÁRIO
σσσσ
ττττExemplo 1: σx = + 50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyx - 40MPa
50 50
-10
-10
-40
-40
50
40
-10
40
Plote no plano σ σ σ σ x τ τ τ τ os valores das tensões apresentadas xy
σσσσ
ττττ
50
40
-10
40
Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo de Mohr σσσσC = ½ (σσσσx + σσσσy)
Observe o triângulo assinalado
Observe o triângulo assinalado
Trace o círculo com centro em C e passando
pelos dois pontos
Trace o círculo com centro em C e passando
pelos dois pontos
20
C
ττττ
50
40
-10
40
20
Os catetos do triângulo valem:
ττττxy = 40ττττxy = 40
½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30
σσσσC
ττττ
50
40
-10
40
A hipotenusa valerá:
ττττxy = 40ττττxy = 40
½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30
1 2 22
[ ( )]x y xyσ σ τ− +2 230 40 50+ >
σσσσ
ττττ
50
40
-10
40
20
A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr
R = 50 σmáx= σc + R = 70
σmáx= σc + R = 70
σσσσ
τmáx = R = 50τmáx = R = 50
PORTANTO:
σmín= σc - R = -30
σmín= σc - R = -30
As tensões principais ficam assim determinadas:
τmáx = [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 50τmáx = [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 50
σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70
σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30
40
Observe ainda na figura formada:
Ponto que representa o
estado de tensão no plano que tem o eixo “x” como perpendicular
Ponto que representa o
estado de tensão no plano que tem o eixo “x” como perpendicular
40
-10
ττττ
20 50 σσσσ
x40
50
y40
10
Ponto que representa o
estado de tensão no plano que tem o eixo “y” como perpendicular
Ponto que representa o
estado de tensão no plano que tem o eixo “y” como perpendicular
A interseção dessas direções é o chamado PÓLO
x40
50
y
ττττ
σσσσ50
40
-10
40
20
4010 A direção que une o pólo ao ponto do círculo
correspondente à tensão σ1 é a direção 1
170
A direção que une o pólo ao ponto do círculo correspondente à tensão σ2 é a direção 2
2
-20
ττττ
σσσσ
x40
50
y
50
40
-10
40
20
4010
170
Observe que o ângulo inscrito, entre as direções “1” e “x”, mostrado na figura :
θθθθ1
... é igual à metade do ângulo central assinalado:
2θ2θ2θ2θ1111
Sendo: tg 2θθθθ1111 = τ= τ= τ= τxy / ½ (σσσσx – σσσσy)
ττττxy
½ (σσσσx – σσσσy)
ττττ
σσσσ
x40
50
y
50
40
-10
40
20
4010 No caso em estudo: τxy = - 40, σx = 50 e σx = -10
tg 2θθθθ1111= = = = −−−−1,331,331,331,33θθθθ1
2θθθθ1111= = = = −−−−59,059,059,059,0ºθθθθ1111= = = = −−−−29,529,529,529,5º
Para o estado de tensão em análise teremos portanto
x
y
5050
-40
-40
-10
-10
θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0
70
70-30
-30
θ = θ = θ = θ = −−−− 29,529,529,529,5ºθ = θ = θ = θ = −−−− 29,529,529,529,5ºθ = θ = θ = θ = −−−− 74,574,574,574,5ºθ = θ = θ = θ = −−−− 74,574,574,574,5º
20
20
50
50
2020 ττττ
50
40
-10
40
70-20σσσσ
P
20
Alguns exemplos de estados de tensão comuns
Tração Pura
Compressão Pura
σ
τ
σ
τ
σ
τ
σ
τ
Semi hidrostático
σ
τ
σ
τ
Corte Puro
Flexão Simples
Vaso de pressão
σ
τ
Tubo sob pressão e
torção
Tarefa: em cada caso exemplificado indique a posição ocupada pelo pólo.
Exercício proposto: para o estado de tensões esquematizado na figura e utilizando o Círculo de Mohr, pede-se:
48 MPa
72 MPa
36 MPa
x
y
z
1) As tensões máximas de tração e de compressão. Indicar os planos onde ocorrem;
2) As tensões máximas de cisalhamento. Indicar os planos em que ocorrem;
3) As componentes normal e tangencial da tensão ocorrente no plano “P” assinalado na figura
P
30º
fim
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