TRASFORMATORE

Versione aggiornata al 23 maggio 2013

RICHIAMI PRELIMINARI

Proprietà di solenoidalità del vettore induzione magnetica e flusso concatenato con una linea chiusa

B

Solenoidalità di

S superficie chiusa

21 SSS

S

dSnB 0

S

S SdSnBdSnBdSnB

1 221 0

1 2

21S S

dSnBdSnB

B

Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ

• Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ.

• Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità:

in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la

normale a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.

S

dSnB

n

Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ; congruenza del verso della

normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ

Legge di Faraday

Data la f.e.m. (forza elettromotrice), associata al campo elettrico non conservativo e alla linea chiusa orientata γ:

dltKe

K

Legge di Faraday

Tale f.e.m. è legata al flusso di concatenato con γ dalla relazione:

e = - d /dt

in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.

B

Legge di Ampére

Dati il campo magnetico , una linea chiusa orientata λ e la corrente i concatenata con questa, si ha:

assumendo il segno + se il verso della corrente i è congruente con quello di λ ed il segno – nel caso contrario

idltH

H

Legge di Ampére; congruenza del verso di i rispetto a quello di λ

Legge di Ampére

Nel caso di N spire in serie di un avvolgimento attraversate dalla corrente i e concatenate con λ, la stessa legge assume la forma:

NidltH

%

Legge di Ampére

Se conferiamo un carattere algebrico al numero di spire, attribuendo un segno ad N, corrispondente al verso con cui sono avvolte le N spire intorno a λ, possiamo esprimere la legge di Ampere nella forma:

NidltH

%

Legge di Ampére

Ovviamente il segno di N non è una caratteristica intrinseca dell’avvolgimento poiché riferito alla congruenza tra il verso delle N spire attraversate dalla corrente i con il verso di λ.

%

Legge di Ampére

In analogia con la f.e.m e associata al campo elettrico :

la quantità Ni associata al campo magnetico :

è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.).

dltKe

dltHNi

K

H

Riluttanza di un tubo di flusso del vettore induzione magnetica

• Sia S la sezione retta del tubo di flusso sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza

• Il flusso di si può esprimere come φ=B·S

• Sia λ la linea media del tubo di flusso %

B

B

%

S

BH

NiHdl

NidlS

NidlS

1

dlS

R 1

NiR

NidltH

Configurazione schematica di un trasformatore

Se l’avvolgimento primario è alimentato con v(t) e l’avvolgimentosecondario è connesso ad un utilizzatore si ha un trasferimento di potenza dal circuito primario a quello secondario, attraverso l’accoppiamento magnetico dei 2 avvolgimenti.

Simbolo circuitale del doppio bipolo trasformatore

1v 2v

1i 2i

Simbolo circuitale del trasformatore negli schemi degli

impianti

Andamento del campo di induzione magnetica B

%

Andamento del campo di induzione magnetica

Distinguiamo tre tubi di flusso le cui linee medie sono p (tubo di flusso principale che si sviluppa prevalentemente nel ferro concatenato con entrambi gli avvolgimenti) e σ1 e σ2 (tubi di flusso disperso con un consistente sviluppo in aria e concatenati con uno solo dei due avvolgimenti)

Tubo di flusso principale

Tale flusso determina l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti e contribuisce al trasferimento di potenza dal primario al secondario

S

Bpn

S

pp dSnB

F.e.m. indotta dal flusso principale

• La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti dal flusso principale è dato dalla somma delle f.e.m. indotte delle singole spire in serie

• Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola spira, dobbiamo tener conto che il singolo avvolgimento sarà orientato e che pertanto l’orientamento della singola spira visto dall’alto potrà essere antiorario oppure orario

F.e.m. indotta dal flusso principale

dt

dNe p

p

11

dt

dNe p

p

22

A N1 e N2 è convenzionalmente attribuito un segno algebrico, connesso al verso (concorde o discorde) dei due avvolgimenti rispetto a quello assunto positivo per le linee di flusso di B nel tubo di flusso principale.

Orientamento dell’avvolgimento

B B

eliminare

F.e.m. indotta nell’avvolgimento di sinistra (verso congruente con )

è orientata verso l’alto;

ϒ è congruente con p.

B

B

B

B

p

dt

dNe p

p

11

S

pn

eliminare

F.e.m. indotta nell’avvolgim. di sinistra (verso non congruente con )

è orientata verso l’alto;

ϒ non è congruente con p.

B

B

B

B

p

dt

dNe p

p

)(11

eliminare

F.e.m. nell’avvolgimento di sinistra

L’induzione è orientata verso l’alto;

i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano con:B

dt

dNe p

p

11 )(

dt

dNe p

p

11

eliminare

F.e.m. nell’avvolgimento di destra

L’induzione è orientata verso il basso;

i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano analogamente con:

B

dt

dNe p

p

22

eliminare

F.e.m. indotte dai flussi dispersi

I flussi dispersi (primario) e (secondario) sono proporzionali ad i1 ed i2. Le f.e.m. indotte da tali flussi sono:

dt

dile 111

dt

dile 222

12

lσ1 e lσ2 sono le induttanze di dispersione dei 2 avvolgimenti

Induttanze di dispersione

Le induttanze di dispersione e sono legate ai flussi dispersi e dalle relazioni:

1111 ilN

2222 ilN

1l 2l

1 2

eliminare

Accoppiamento magnetico perfetto

Se i flussi dispersi e e le induttanze di dispersione e

sono nulli, l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti si dice perfetto

12

1l

2l

Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo

Leggi di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per i due avvolgimenti

v1 + ep1 + eσ1= r1 i1

v2 + ep2 + eσ2= r2 i2.

Legge di Ampére

2211 iNiNdltHp

%

Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo

LKT per i due avvolgimenti

Legge di Ampére

dt

dN

dt

dilirv p 1

11111

dt

dN

dt

dilirv p 2

22222

2211 iNiNR p

Trasformatore ideale

Ipotesi semplificative:

• Avvolgimenti perfettamente conduttori→ r1=r2=0

• Accoppiamento magnetico perfetto tra i due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0

• Riluttanza trascurabile del tubo di flusso principale →R=0

%

Trasformatore ideale

Equazioni nel dominio del tempo

dt

dNv p11

dt

dNv p22

22110 iNiN

Trasformatore ideale in regime sinusoidale

Equazioni nel dominio dei fasori:

2121 // NNVV

1221 // NNII

pNjV 11 pNjV 22

22110 ININ

)sin(2 11 tVv

%

Trasformatore ideale in regime sinusoidale

Posto:

(rapporto di trasformazione)

le equazioni del trasformatore ideale si riducono a:

aV

V

2

1

aI

I 1

2

1

21 / NNa

Doppio bipolo Trasformatore ideale: rappresentazione grafica

Equazioni

aV

V

2

1

aI

I 1

2

1

Doppio bipolo Trasformatore ideale

aV

V

2

1

aI

I 1

2

1

Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze

2211 IVIV

21 VaV 21

1I

aI

)()( 2211 jQPjQP 21 PP 21 QQ

%

Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze

potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1) potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e trasferita

all’utilizzatore. Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata Rendimento unitario

21 PP

1P2P

1v 2v

1i 2i

Applicazioni del trasformatore

• Abbassatore di tensione

• Elevatore di tensione

• Piccolissime potenze di pochi W

• Grandi trasformatori di diverse centinaia di MVA (reti di produzione, trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica)

Struttura della rete elettrica nazionale (produzione,

trasmissione e distribuzione)

Traliccio ad alta tensione

Isolatori

Doppio bipolo Trasformatore ideale

aV

V

2

1

aI

I 1

2

1

Trasformatore ideale: proprietà di trasformazione delle impedenze

Essendo

dove 22

2' zaz

21 VaV 12 IaI 222 IzV

121 ' IzV

Diversi modelli del trasformatore reale di crescente complessità

• Modello 1: , , ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante;

• Modello 2: , , ferro reale con perdite;

• Modello 3: avvolgimenti reali ( ), loro accoppiamento magnetico non perfetto ( ), ferro reale con perdite, rete equivalente a T.

021 rr 021 ll

021 ll021 rr

0, 21 rr

0, 21 ll

Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo

LKT per i due avvolgimenti

Legge di Ampére

dt

dN

dt

dilirv p 1

11111

dt

dN

dt

dilirv p 2

22222

2211 iNiNR p

Modello 1 del trasformatore reale

• Avvolgimenti ideali ( )

• Accoppiamento perfetto ( )

• Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante.

021 rr

021 ll

Modello 1

Equazioni di base:

pNjV 11

pNjV 22

2211 ININR p

Riluttanza nel modello 1 (finita e costante)

La riluttanza è somma del contributo del ferro e dei traferri

Il ferro ha permeablità

cost.→caratterist. B-H lineare→area nulla del ciclo d’isteresi →perdite per isteresi nulle; analogamente nulle le perdite per correnti di Foucault

SS

lR

fe

fe

0

4

B

dlS

Rp1

Funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto

Il sistema può essere considerato come un bipolo, la cui caratteristica è:

1v

10i 02 i

)( 101 IfV

Modello 1: funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto

Equazioni pNjV 11 101 INR p

RINp /101

dove RNL /211

10110211 )/( ILjIRNjV

10

1

1 ILj

V

Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale

La legge di Ampére nel trasformatore ideale fornisce:

A vuoto → anche

→ Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un aperto ideale.

21

1I

aI

01 I02 I

%

Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale

Il valore del flusso è imposto dalla tensione applicata:

Il valore finito del flusso, pur in assenza di correnti e finite è spiegabile con il fatto che si è supposta nulla la riluttanza R

pNjV 11

1i 2i

2211 ININR p 0

0 p

Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico

Il flusso non varia rispetto al funzionamento a vuoto essendo sempre imposto dalla tensione :

Il flusso è pertanto costante al variare del

carico del trasformatore

pNjV 11

p

1v

%

Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico

Legge di Ampére

dove

aII /' 22

LKT

aV

V

2

1

2211 ININR p

aIINR p // 211 aIINjN

R

jp /)(

12112

1

)(2

1

N

Na

10211

1 ' IIILj

V

RNL /211

pNjV 11 pNjV 22

Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico

pNjV 11 pNjV 22

2211 ININR p

aV

V

2

1

10211

1 ' IIILj

V

aI

I 1'

2

2

Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico

Se si divide I e II membro della legge di Ampere per si ottiene un’altra rete equiv. La corrente

rappresenta la

corrente vista dal lato 2

11'' IaI

RNL /222

2N

1I

Modello 2 del trasformatore reale

• Avvolgimenti ideali ( )

• Accoppiamento perfetto ( )

• Ferro reale con perdite

021 rr

021 ll

Comportamento reale del ferro

B è sinusoidale, le correnti no. Infatti:

)sin(2 11 tVv

dt

dNv p11

2211 iNiNR p

dlS

Rp1

Comportamento reale del ferro

L’area del ciclo rappresenta l’energia di magnetizzazione per unità di volume dissipata in calore. Una relazione empirica fornisce la potenza dissipata:

K cost del materiale proporzionale alla frequenza ed al volume.

2pi kP

%

Comportamento reale del ferro

Perdite per correnti parassite nel ferro (o correnti di Foucault) in una lastra piana indefinita di spessore Δ:

C cost. opportuna, resistività del ferro

Il fenomeno non è portato in conto dalle eq. di base precedenti.

fe

pcp

fCP

222

fe

%

Comportamento reale del ferro

La potenza complessiva dissipata nel ferro è fornita dalla somma delle perdite per isteresi e di quelle per correnti parassite:

e conseguentemente:

2' pcpife kPPP

21"VkPfe

Confronto del model. 2 con il model. 1 nel funzionam. a vuoto

La potenza assorbita dal trasformatore è nulla. Tale modello non è quindi in grado di rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La potenza trasformata in calore nel ferro deve essere fornita dalla rete di alimentazione

Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto

Si possono trattare in maniera separata i problema della non linearità e della dissipazione di potenza nel ferro, riducendo il ciclo alla sua linea media e considerando a parte le perdite nel ferro.

21"VkPfe %

Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto

Si può linearizzare la linea media del ciclo, considerando cost. la riluttanza. Le perdite nel ferro possono essere rappresentate da una resist. in parall. a tale che:

21"VkPfe

1L

mfe RVP '/21

Modello 2 (ferro reale): rete equival. nel funzionam. a vuoto

fem PVR /' 21 RNL /211

Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto

La corrente a vuoto risulta pari alla somma:

''10 III a

afe IVP '1

'1IVQ

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico

fem PVR /' 21RNL /211

%

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico

RNL /222 fem PVR /" 22

%

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico

Nel trasformatore ideale

Nel trasformatore reale

Il rapporto tra le correnti è diverso da 1/a. Lo scostamento è prodotto da I10

211I

aI

10210211

' IIa

III

%

Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico

Il trasformat. non è più trasparente né alla pot. attiva, né a quella reattiva. La pot. attiva assorbita dal primario è la somma di quella trasferita al second. e delle predite nel ferro. Il rendimento è diverso da 1.

Riduzione della potenza reattiva Q e delle perdite nel ferro Pfe

Per ridurre Q occorre ridurre la riluttanza R, riducendo i traferri e aumentando la permeabilità.

Per ridurre Pfe si usano lamierini isolati laminati a freddo di ferro silicio. Tali lamierini sono anisotropi.

Nucleo magnetico

Modello 3 del trasformatore reale

• Avvolgimenti reali

• Accoppiamento non perfetto

• Ferro reale con perdite

)0,( 21 rr

)0,( 21 ll

Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)

Eq. di base nel dominio del tempo:

dt

dilirev p

111111

dt

dilirev p

222222

dt

dNe p

p

11 dt

dNe p

p

22

2211 iNiNR p

Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)

Eq. di base nel dominio dei fasori

11111 )( IljrEV p 22222 )( IljrEV p

pp NjE 11 pp NjE 22

2211 ININR p

Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)

LKT 11111 )( IljrEV p 22222 )( IljrEV p

pp NjE 11 pp NjE 22 2211 ININR p

Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico

pNjV 11 pNjV 22

2211 ININR p

RNL /211

Modello 3: rete equivalente (ferro senza perdite)

RNL /211

Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)

RNL /211

Modello 2: rete equivalente

21

222 // aLRNL

222 /'/" aRPVR mfem

Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)

21

222 // aLRNL

222 /'/" aRPVR mfem

Modello 3: rete equivalente a T

%

Nel trasformatore ideale

22

2' zaz

Modello 3: rete equivalente a T

uz

%

22

2' zaz

Modello 3: rete equivalente a T

dove

aII /' 22 22

2' rar

22

2' lal uu zaz 2'

%222

222 )()

1)((''' VaIzaI

azaIzV uuu

Modello 3: rete equivalente a T

Impedenze

2'z1zmz'

111 ljrz

222 ''' ljrz

mm RLjz '//)(' 1

Modello 3: deduzione rete equivalente a L

LKT

LKC

22221111 '')''()( VIljrIljrV

1021 ' III

%

Modello 3: deduzione rete equivalente a L

LKT

dove

2210111 '')''()( VIljrIljrV eqeq

21 '' rrr eq 21 '' lll eq

%

Modello 3: deduzione rete equivalente a L

Trascurando → 1011 )( Iljr 221 '')''( VIljrV eqeq

1021 ' III

Bilancio delle potenze

mfe RVP '/21 22'' IrP eqcu

Bilancio delle potenze

Potenze

Potenza assorbita

Potenza utile

111 cosIVPass

222 cosIVPut

Invarianza delle potenze rispetto al lato del trasformatore

Pot. Utile

essendo

essendo

222222 cos''cos IVIVPut

mmfe RVRVP "/'/ 22

21 2

222 "'' IrIrP eqeqcu

2/'" aRR mm 2/'" arr eqeq

22' VaV 22 )/1(' IaI

Funzionamenti a rendimento nullo

Rendimento= = 0 se

.

se (funzionamento a vuoto) o se (funzionamento in corto circuito)

222 cosIVPut

0utP 02 I02 V

assut PP / 0utP

fecuass PPP

Prova a vuoto

Schema di misura

2101IrPP fe

2101Irletrascurabi nII 1

210 10

Prova a vuoto; determinazione parametri verticali circuito ad L

WVR m /' 2 ma RVI '/'

'/1 IVL

222210 ''' aa IAIII

Prova in corto circuito

Schema di misura

mcccufecu RVPPPP '/2 mcc RV '/2 .trascurab ncc VV 1210

Prova in corto circuito

letrascurabi 10I

Prova in corto circuito

22 ')/(' eqeq rAVl

221 //' AWIWr neq 22

11 )'('// eqeqeqncc lRzAVIV

Rendimento del trasformatore, determinazione diretta

Inconvenienti• Notevole influenza

degli errori di misura dei wattmetri

• Difficile determinare la variabilità del rendimento con il carico

1

2

W

W

P

P

ass

ut

Rendimento convenzionale e sua determinazione indiretta

Diversa formulazione del rendimento:

La sua traduzione operativa comporta la determinazione di Put, Pfe e Pcu.

P utile ipotizzata e non misurata

Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto circuito

cufeut

ut

PPP

P

222 cosIVPut

Andamento del rendimento in funzione del carico

Rendimento convenz.

Se V2 è supposta costante, trascurando le cadute di tensione, si ottiene il diagr. dove per I2= I2p le perdite nel ferro e nel rame sono eguali np II 22 9.06.0

02

I

"22eq

fep r

PII per

22

"222

222

cos

cos

IrPIV

IV

eqfe

Rendimento in energia

Ci si riferisce alle energie invece che alle potenze:

essendo l’energia data da Ci riferisce ad un prefissato intervallo : si ha

così il rendim. giornaliero, mensile, etc.

cufeut

utw WWW

W

0

0

t

t

vidtW

Rendimento in energia

Se in il carico è costante ( e costanti):

e i rendimenti in potenza ed energia sono eguali.

2I 2V

222 cosIVWut fefe PW cucu PW

0

0

t

t

vidtW

Rendimento giornaliero

Se si esprime l’energia in Wh si ha:

222 cosIVPut

utP

h 24

hIrPhIV

hIV

eqfew 2

2"

222

222

24cos

cos

Andamento del rendim. in energia in funzione del carico

L’andamento è analogo a quello del rendim. in potenza. Si ha il massimo quando l’en. persa nel ferro è eguale all’en. persa nel rame → per dato da:

peq

few I

hhr

PI 22

24

"

24

2I

Caduta di tensione

Si definisce caduta di tensione la quantità:nV1

nV1

10I 02 I

20V

1I 2I

2V

220 VVV

Caduta di tensione: funzionamento a vuoto

, trascurando la caduta di tensione dovuta a →

aEVE pp /1202 10I

22220 VVVVV n

nnnp VaVVVE 212011 /

0

Calcolo della caduta di tensione

dove

(conv.gener.)

Dividendo per a →

dove

aII /' 22

22

1' rarr eq 22

1' lall eq

22202 )""( VIljrVV eqeqn

221

2

'" r

a

r

a

rr eq

eq 221

2

'"

l

a

l

a

ll eq

eq

221 '')''( VIljrV eqeqn

Calcolo approssimato della caduta di tensione

FG perpendicolare a BG

ΔV=BK, trascurando CK, ΔV=BC=BH+HC

22202 )""( VIljrVV eqeqn

22 cos" IrBH eq22 sin" IlHC eq

2222 sin"cos" IlIrV eqeq

Strutture Trasformatore monofase

Trasformatore monofase;nucleo magnetico a mantello

Trasformatore monofase;nucleo magnetico a mantello

Trasformatore trifase, banco tri-monofase

Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella

Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare

Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare

Trasformatore trifase

Trasformatore trifase, connessione magnetica a triangolo

Trasformatore trifase a cinque colonne