Teorema celor trei
perpendiculare
Prof. D. Catana
În figura alăturată ∆ABC este
dreptunghic în B,
DA ┴ (ABC).
Demonstraţi că: BC ┴(DAB)
A B
C
D
Teorema celor trei perpendiculare
Fie α un plan, A un punct exterior planului şi a o dreaptă inclusă în plan.
Dacă AA’ ┴ α şi A’B ┴ a atunci AB ┴ a
α
A
A’
a
B
1
2
3
Perp.1 Perp.2 Perp.3
Deoarece a ┴ AA’ şi a ┴ A’B
concurente în A’ a ┴ ( AA’B) cum a ┴ orice dreaptă din (AA’B)
avem si că a ┴ AB
Aplicatii
1. ABCD este un pătrat cu centrul în O.
Dacă MA ┴ (ABC),
Cercetaţi dacă
MB┴BC, MO ┴ BD, MC ┴ BC
Identificaţi segmentele ale căror lungimi
reprezintă d(M,BC), d(M,BD), d(M,CD),
d(M,AC)
Justificare.
O
A
B
C
D
M
Se aplică T3P
2. Dacă ABCDA’B’C’D’ este cub,
atunci demonstraţi că
D’O┴AC,
D’A ┴ AB
A B
CD
A’ B’
C’D’
O
Se aplică T3P1
2
3
3
3. În centrul A al unui dreptunghi se ridică perpendiculara pe
planul dreptunghiului, pe care se ia punctul K.
Laturile dreptunghiului au lungimile de 10cm,
respectiv de 18cm,iar KA=12cm.
Calculaţi distanţele de la K la laturile dreptunghiului.
E O
PS
A
K
10
18
12
U
I
Se aplică T3P
Distanţele cerute sunt KI şi KU,
unde I şi U sunt mijloacele laterilor EO şi OP
9
5
E O
PS
F
I
A
18
10
1
2
3
3
4 Pe planul trapezului isoscel SONY, cu baza mare SO=25 cm si baza
mica NY=7 cm, se ridica perpendiculara AS=15 cm. Daca trapezul are
proprietatea ca SN ┴NO, determinati distanta de la A la NO.
SO
NY
A
7
25
Reciproca 1- a teoremei celor trei perpendiculare
Dacă AA’ ┴ α şi AB ┴ a atunci A’B ┴ a
Fie α un plan, A un punct exterior planului şi a o dreaptă inclusă în plan.
Perp 1 Perp 2Perp 3
A
A’
B
a
1
2
3
Observaţie:
s-au inversat perpendiculara 2 cu perpendiculara 3 faţă de teorema celor trei perpendiculare
α
5. Se consideră triunghiul ABC şi AM bisectoarea unghiului BAC(M situat pe BC).
Pe perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC se consideră punctul S
astfel încât SM ┴ BC.Demonstraţi că triunghiul ABC este isoscel.
A
B
C
M
S
1
2
3
Se aplică reciproca 1 a T3P
De unde AM este şi înălţime
6. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC,m(<A)=90°,în vârful A se ridică perpendiculara DA.
Dacă DA=5 cm,AB=15cm şi AC=20cm,atunci calculaţi distanţa de la D la BC.
D
A
B
C
5 20
15
ESe aplică T3P
1
2
3
DE ┴ BC de unde AE ┴ BC
Se calculează BC,apoi , AE ca fiind înălţime în triunghiul ABC-dreptunghic
Se calculează DE din triunghiul DAE-cu T.Pitagora.
7. Pe planul rombului ABCD,AB=6cm,se ridică perpendiculara AM= 8cm .
Aflaţi distanţele de la M la BC şi BD dacă a) m(<A)=90°; b) m(<A)=60°;c) m(<A)=30°;d) m(<A)=45°
A
M
B
C
D
6
O
6
6
Se aplică T3P
1
2
3
A
B
C
D
E
E
O
8. În figura alăturată,ABCD este dreptunghi,AE ┴ (ABC),AF ┴ EB,AG ┴ EC,AH ┴ ED.
Demonstraţi că: a) EB ┴ BC;ED ┴ DC
b) AF ┴ (EBC);AH ┴ (EDC)
c) GF ┴ EC;HG ┴ EC
A B
C
D
E
F
G
1
9 Fie H un punct în planul triunghiului ABC şi M un punct exterior planului (ABC),
astfel încât MH┴(ABC) şi MB┴AC.Demonstraţi că BH┴AC.
A
B
C
H
M
D
AC ┴ MB
AC ┴ MH
concurente în M AC ┴ (BMH)
deci pe orice dreaptă din (BMH)
atunci şi pe BH
10 Fie ABCD un tetraedru astfel încât AB┴CD şi AD┴BC.
Demonstraţi că AC┴BD. A
B
C
D
H
E
F
Se arată ca BD ┴ pe 2 drepte concurente din (ACH)
Se aplică T3P
11. În figura alăturată ∆ABC este dreptunghic în B,
DA ┴ (ABC),AE ┴ DB şi AF ┴ DC.
Demonstraţi că: a) DB ┴ BC
b) AE ┴ (DBC)
c) EF ┴ DC
A B
C
D
1
2
a
3
a) Aplicăm T 3 Perp.
Eb) Se arată că
AE┴ pe 2 drepte concurente din (DBC)
F
c) Se arată că
DC ┴ pe 2 drepte concurente din (AEF)
12 Dacă ABCDA’B’C’D’ este paralelipiped dreptunghic,demonstraţi că :D’C┴BC;BC’┴D’C’
A B
CD
A’B’
C’D’
1
2
3
1
2
3
Se aplică T3P
13. Dacă ABCDA’B’C’D’ este cub,demonstraţi că A’D ┴ DC şi A’B ┴ BC
AB
CD
A’ B’
C’D’
Se aplică T3P
1
2
2
a
a
3
3
Reciproca 2 - a teoremei celor trei perpendiculare
(reciproca întărită)
Fie α un plan, A un punct exterior planului şi a o dreaptă inclusă în plan.
Dacă AA’ ┴ A’B şi A’B ┴ a atunci AA’ ┴ α
AB ┴ a
Perp.1Perp.2 Perp.3 Perp.4
α
a
A
A’
B
Observaţie:
în Reciproca 2
s-a adăugat perpendiculara 3 şi perpendiculara 4 faţă de Reciproca 1
1
2
3
4
14 Fie ABC un triunghi isoscel (AB=AC=6cm)
şi M un punct nesituat în planul ABC astfel încât distanţele de la M la laturile triunghiului ABC sunt egale cu
10cm.
Aflaţi distanţa de la M la planul ABC în cazurile:
a) m(<A)=60°; b) m(<A)=90°.
A
B
C
M
I
10
10
10A
B C
I
D
EF
D
E
F
ID = IE = IF = r –raza cercului înscris în triunghiul ABC
trusemiperime
triunghiAriar
/ şi Aria triunghiului oarecare
2
sin AABAC a)
Top Related