Metodi Matematici IISoluzioni Test di Matematica Finanziaria

a cura di Gianluca Fusai e Gianni LongoSEMEQ - Università del Piemonte Orientale

Anno Accademico 2003-04

DOMANDA 1Se l’intensità istantanea di interesse ρ è costante e pari al 5%, allora il tassoannuo e quello semestrale sono rispettivamente:

a i = 5%, i2 = 10%; b i = 5.127 1%, i2 = 2.5 3%;c i = 4.879%, i2 = 3.410%; d i = 4.987%, i2 = 2.440%;

R: b.Si usano le relazioni tra tassi di interesse annuo, periodale ed intensità di

interesse:

1 + i = eρ

1 + i = (1 + i2)2

da cui:

i = eρ − 1 = e0.05 − 1 = 5. 127 1%i2 = (1 + i)

12 = (1.051271)

12 − 1 = 2.5 3%

DOMANDA 2Se d = 5%, allora il fattore di montante dopo un anno è:

a f (1) = 1.0476; b f (1) = 1.025; c f (1) = 1.06; d f (1) = 1.0526;R: d.Si ricorda che in regime di sconto commerciale il fattore di sconto è dato da:

φ (t) = 1− dt

e quindi il fattore di montante è:

f (t) =1

1− dt=

1

1− 0.05 ∗ 1 = 1. 052 6

DOMANDA 3

1

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Se i = 5% è il rendimento in lire, ex=2% il tasso annuo di svalutazione delcambio lira/dollaro, il rendimento in dollari è:

a rf=3%; b rf=2.941%; c rf=7%; d rf=7.1%;R: b.Sia S0 il cambio corrente lira/dollaro (quante lire per un dollaro). Dato

il tasso di svalutazione annuo medio ex, al tempo t il tasso di cambio saràSt = S0 (1 + ex)

t.Se si ipotizza di avere una lira, dopo t periodi si disporrà di (1 + i)

t lire.In alternativa si può convertire oggi la lira in dollari, ottenendo 1/S0 dollari

che investiti per t anni al tasso rf daranno in t un montante di (1 + rf )t /S0 dol-

lari. Si potrà quindi riconvertire questo ammontare in lire ottenendo St (1 + rf )t /S0

lire.Le due possibilità danno lo stesso risultato se:

(1 + i)t=

S0 (1 + ex)t

S0(1 + rf )

t

da cui semplificando, si ottiene:

1 + i = (1 + ex) (1 + rf )

e risolvendo rispetto a rf si ha:

rf =1 + i

1 + ex− 1 = i− ex

1 + ex=0.05− 0.021 + 0.02

= 2. 941 2%

DOMANDA 4Se d = 5%, in regime di interesse semplice il numero di anni necessari affinchèil capitale iniziale triplichi è:

a 21.42; b 38; c 13.33; d 35;R: b.Si richiede il valore di t per cui:

Cf (t) = 3C

dove f (t) è il fattore di montante. In regime di interesse semplice, si ha:

f (t) = 1 + it

cioè:t∗ =

2

i

Ricordando la relazione tra tasso di sconto e tasso di interesse:

i =1

1− d− 1 = d

1− d=

0.05

1− 0.05 = 0.05263 2

e troviamo t∗ = 2/0.05263 2 = 38. 000.

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DOMANDA 5Se i = 5% e n = 5 allora:

aan|i = 4.546;..an|i = 4.329;

ban|i = 4.329;..an|i = 4.653;

can|i = 4.329;..an|i = 4.546;

dan|i = 5;..an|i = 6;

R: c.an|i (

..an|i) rappresenta il valore attuale di una rendita annua unitaria pos-

ticipata (anticipata) di durata n anni al tasso i. Si ha:

an|i =1− (1 + i)

−n

i=1− (1.05)−5

0.05= 4. 329 5

..an|i = (1 + i) an|i = (1 + 0.05) ∗ 4. 329 5 = 4. 546 0

DOMANDA 6Sia i = 10% e D0 = 100. Dato il seguente piano di ammortamento:

t Ct It Dt

0 - -1 4023 40

,

allora:a C2 = 40, I3 = 3.5; b C2 = 20, I3 = 6; c C2 = 20, I3 = 4; d C2 = 40, I3 = 7;

R: b.Iniziando da D0 = S = 100 e ricordando che It = iDt−1 e Dt = Dt−1 − Ct

si può completare in modo ricursivo la tabella seguente:

t Ct It Dt

0 - - 1001 40 0.1*100=10 100-40=602 20 0.1*60=6 403 40 0.1*40=4 0

e dove per determinare la quota capitale del secondo anno si è impostala condizione di chiusura elementare (le quote capitali ripagano il debito), chepermette appunto di individuare C2 (C1+C2+C3 = 100 da cui: C2 = 100−80 =20).

DOMANDA 7In regime di interesse semplice il tasso annuo di interesse sui primi 3 mesi è del3%, nei rimanenti 9 mesi è del 6%. Il montante dopo un anno di un investimentoiniziale di 100 è:

a M=107; b M=105.2838; c M=105.25; d M=102;

R: c.

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In caso di interessi variabili, il fattore di montante in regime di interessesemplice è dato da:

f (t) = 1 +nXs=1

isτs

dove is è il tasso annuo semplice in vigore nel periodo s−mo di lunghezza τs.Abbiamo quindi:

f (t) = 1 + 0.03 ∗ 312+ 0.06 ∗ 9

12= 1. 052 5

e il montante dopo un anno sarà 100*1.0525=105.25.

DOMANDA 8Sia d = 5%. In regime di sconto commerciale il valore attuale di 100 esigibilidopo 1 anno è:

a A=100; b A=95; c A=105; d A=95.2381;R: b.Il fattore di sconto in regime di sconto commerciale è dato da:

φ (t) = 1− dt⇒ φ (t = 1) = 1− 0.05 ∗ 1 = 0.95per cui il valore attuale di 100 sarà 100*0.95=95.

DOMANDA 9Se rf = 5% è il rendimento in dollari, ex=2% il tasso annuo di svalutazione delcambio lira/dollaro, il rendimento in lire è:

a i=3%; b i=2.941%; c i=7%; d i=7.1%;R: d.Ricordando la relazione:

1 + i = (1 + ex) (1 + rf )

si ottiene:

i = (1 + ex) (1 + rf )− 1= 1.02 ∗ 1.05− 1= 0.071

DOMANDA 10Si intende ammortizzare un debito di100 ml con rate costanti annuali per 3 annial tasso annuo del 5%. L’importo della singola rata è:

a R = 30; b R = 36.721; c R = 35; d R = 42R: b.Avendo rate costanti, si sta utilizzando l’ammortamento francese. L’importo

della singola rata è determinato dalla condizione di equivalenza finanziaria:

D0 = Ran|i

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dove D0 è il debito iniziale. Si ha quindi:

R =100

a3|0.05=

1001−(1.05)−3

0.05

= 36. 721.

DOMANDA 11La seguente operazione finanziaria

Epoche 0 1 2 3 4Flussi −100 −1000 300 500 400

a non ha alcun tir; b ammette un unico tir negativo;c ammette più di un tir; d ammette un unico tir;

R: d.Si osserva che la somma dei flussi cambia segno un’unica volta da negativo

a positivo. Questo garantisce l’esistenza e l’unicità del TIR.

DOMANDA 12In regime di interesse composto il tasso annuo di interesse sui primi 2 anni èdel 5%, nei successivi 3 è del 7%. Il montante dopo 5 anni di un investimentoiniziale di 100 è

a M=145; b M=132,75; c M=131; d M=135.06;R: d.Il fattore di montante in regime di capitalizzazione composta con tassi vari-

abili è dato da:

f (t) =nYs=1

(1 + is)τs

dove is è il tasso annuo composto in vigore nel periodo s−mo di lunghezza τs.Abbiamo quindi:

f (t) = (1 + 0.05)2 (1 + 0.07)3 = 1. 350 6

e il montante dopo cinque anni sarà 100*1.3506=135.06.

DOMANDA 13Sia d = 5% il tasso annuo di sconto commerciale. Il tasso annuo di interessecomposto ad esso equivalente per un’operazione di un anno è il:

a 5,26%; b 5%; c 5,1%; d 4,9%;R: a.Si deve richiedere che il valore attuale di un’importo N esigibile tra un anno

sia uguale nei due regimi. Si impone quindi l’uguaglianza:

N (1− dt) =N

(1 + i)t

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dove t = 1 e d = 5%. Risolvendo rispetto a i si ottiene:

1− d =1

1 + i→ i =

1

1− d− 1 = 1

1− 0.05 − 1 = 0.05 263 2

DOMANDA 14Se il rendimento in dollari è del 6% e il tasso annuo di rivalutazione del dollaronel cambio dollaro/euro è pari al 3%, il rendimento in euro è:

a i=9,18%; b i=9.278 4%; c i=3%; d i=3,11%;R: b.Prendiamo come valuta domestica il dollaro. Allora

r$ = r + ex ∗ r + ex

r =r$ − ex

1 + ex=0.06 + 0.03

1− 0.03 = 0.09278 4

DOMANDA 15Si ammortizza con ammortamento italiano un debito di 60 in 3 anni a tasso10%. La quota interessi della terza rata risulta:

a 4, 12; b 6; c 0; d 2R: d.Si può costruire il seguente piano d’ammortamento dove l’importo della sin-

gola rata capitale, trattandosi di ammortamento italiano, è dato da 20 (=60/3).Quindi si ha:

C I D0 601 20 0.1*60=6 60-20=402 20 0.1*40=4 40-20=203 20 0.1*20=2 0

e quindi la quota interessi del terzo anno ammonta a 2.

DOMANDA 16Per costituire un capitale di 1000 in 8 anni con versamenti annui anticipati atasso 5% in regime di interesse composto occorre che l’ammontare dei versamentisia pari a:

a 163,25; b 125,25; c 178,5; d 99.735;R: d.Nel caso di rendite anticipate il montante è calcolato per convenzione un

anno dopo l’ultima scadenza. Costituire un capitale di 1000 in 8 anni equivalea disporre di

1000 ∗ (1 + 0.05)−7 = 676. 84

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immediatamente. Questo importo può essere ottenuto con versamenti annuianticipati di importo R:

676.84 = R..an|i = R (1 + i) an|i

da cui:R =

676.84

(1 + i) an|i=

676.84

(1 + 0.05) 1−(1+0.05)−8

0.05

= 99. 735

Oppure si utilizza l’espressione..sn|i (che però non è stata trattata a lezione),

per cui:R..sn|i = 1000

dove..sn|i =

(1 + i)n − 1i1+i

=(1 + 0.05)8 − 1

0.051+0.05

= 10. 027

e quindi:

R =1000

10. 027= 99. 735

DOMANDA 17In regime di interesse composto a tasso annuo 10% l’interesse prodotto nel terzoanno di capitalizzazione su un investimento iniziale di 100 è:

a 12,1; b 11; c 10; d 12;R: a.Si ha che l’interesse prodotto nel corso del terzo anno è dato da:

100 (M3 −M2) = 100³(1 + 0.1)3 − (1 + 0.1)2

´= 12.1

DOMANDA 18Sia j3 = 9% il tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente. Il tassoannuo di interesse composto ad esso equivalente è:

a 3%; b 9%; c 9,27%; d 9,31%;R: c.Se j3 = 9%, allora i3 = j3/3 = 3% e il tasso annuo è ottenuto da:

1 + i = (1 + i3)3,

cioè:i = (1.03)3 − 1 = 0.09 272 7

DOMANDA 19L’operazione finanziaria:

epoche 0 1 2flussi −8 50 −50

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ha:a 2 tassi interni; b 3 tassi interni; c 1 tasso interno; d nessun tasso interno;

R: a.Il tasso interno TIR è soluzione dell’equazione:

−8 + 50

1 + TIR− 50

(1 + TIR)2= 0

che ha due soluzioni accettabili TIR1 = 14 , e TIR2 = 4.

DOMANDA 20Il valore attuale a tasso i di una rendita annua, unitaria, anticipata e perpetuaè

a 1i + 1; b 1

i − 1; c 1i v; d 1

i ;R: a.Si deve ricordare che an|i = (1 + i) an|i ed osservando che a+∞|i = limn→∞

1−(1+i)−ni =

1i , si ha an|i = (1 + i) /i = 1/i+ 1.

DOMANDA 21Un’azienda paga perpetuamente un dividendo che cresce al tasso annuo com-posto del 3%. Il primo dividendo pagato alla fine del primo anno è pari a 100.Il tasso di interesse annuo composto è pari a 5%. Il valore dell’azienda risultaessere:

a 50000; b 5000; c 500; d 50;R: b.Si sta utilizzando la formula di Gordon che dice che il valore dell’azienda è

dato da:

V A =D

i− g

per cui:

V A =100

0.05− 0.03 =100

0.02= 5000

DOMANDA 22In regime di interesse composto il tasso annuo di interesse sui primi 3 mesi è del3%, nei rimanenti 9 mesi è del 9%. Il montante dopo un anno di un investimentoiniziale di 100 è

a M=107.476; b M=112.27; c M=107.5; d M=112;R: a.Il fattore di montante in regime di capitalizzazione composta con tassi vari-

abili è dato da:

f (t) =nYs=1

(1 + is)τs

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dove is è il tasso annuo composto in vigore nel periodo s−mo di lunghezza τs.Abbiamo quindi:

f (t) = (1 + 0.03)312 (1 + 0.09)

912 = 1. 074 7

e il montante dopo un anno sarà 100*1. 074 7=107.476.

DOMANDA 23Il tasso annuo composto è pari al 5%. Il tasso annuo di sconto (in regime disconto commerciale) che rende uguale il valore attuale di un importo N esigibiletra 8 mesi è:

a d = 4.8%; b d = 5%; c d = 2.13%; d d = 4.76%;R: a.Si deve richiedere che il valore attuale di un’importo N esigibile tra otto mesi

sia uguale nei due regimi. Si impone quindi l’uguaglianza:

N (1− dt) =N

(1 + i)t

dove t = 8/12 e i = 5%. Risolvendo rispetto a d si ottiene:

1− d8

12=

1

(1 + i)812

→ d =12

8

Ã1− 1

(1 + 0.05)812

!= 4. 800 5%

DOMANDA 24Un’azienda paga perpetuamente un dividendo che cresce al tasso annuo com-posto del 3%. Il primo dividendo pagato alla fine del primo anno è pari a 100.Il tasso di interesse annuo composto è pari a 5%. Il valore dell’azienda risultaessere:

a 50000; b 5000; c 500; d 50;R: b.Si sta utilizzando la formula di Gordon che dice che il valore dell’azienda è

dato da:

V A =D

i− g=

100

0.05− 0.03 =100

0.02= 5000

DOMANDA 25In regime di interesse semplice il tasso annuo di interesse sui primi 3 mesi è del3%, nei rimanenti 9 mesi è del 9%. Il montante dopo un anno di un investimentoiniziale di 100 è:

a M=107,468; b M=112.27; c M=107.5; d M=112;R: c.

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In caso di interessi variabili, il fattore di montante in regime di interessesemplice è dato da:

f (t) = 1 +nXs=1

isτs

dove is è il tasso annuo semplice in vigore nel periodo s−mo di lunghezza τs.Abbiamo quindi:

f (t) = 1 + 0.03 ∗ 312+ 0.09 ∗ 9

12= 1. 075

e il montante dopo un anno sarà 100*1.075=107.5.

DOMANDA 26Il tasso annuo di interesse semplice è pari al 10%. Il tasso annuo di sconto (inregime di sconto composto) che rende uguale il valore attuale di un importo Nesigibile tra 6 mesi è:

a d = 8%; b d = 9.30%; c d = 9.09%; d d = 10%;R: b.Si deve richiedere che il valore attuale di un’importo N esigibile tra otto mesi

sia uguale nei due regimi. Si impone quindi l’uguaglianza:

N1

(1 + ic)t =

N

(1 + ist)

dove t = 6/12 e is = 10%. Risolvendo rispetto a al tasso annuo composto ic siottiene:

ic = (1 + ist)1t − 1→ ic =

µ1 + 0.1

6

12

¶2− 1 = 0.102 5

e quindi il tasso annuo di sconto è dato da:

d =ic

1 + ic=0.102 5

1.102 5= 9. 297 1

DOMANDA 27L’ammortamento francese di un debito di 10.000 in 12 anni al tasso annuo del10.25% con rate semestrali posticipate si realizza con rate di importo:

a 724.71; b 416.66 euro di quota capitale più la quota interessi;

c 719.15; d 731.47;R: a.L’importo della singola rata è determinato da:

Ra24|i2 = 10000

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dove i2 è il tasso semestrale. Si ha:

i2 = (1 + i)12 − 1 = (1 + 0.1025) 12 − 1 = 0.05

a24|i2 =1− (1 + i2)

−24

i2=1− (1 + 0.05)−24

0.05= 13. 799

R =10000

13. 799= 724. 71

DOMANDA 28Il tasso semestrale equivalente al tasso quadrimestrale del 6% in cap. compostaè

a 1.061.5 − 1; b 0.0664 ; c 6√1.063 − 1; d 2

¡1.061.5 − 1¢;

R: a.Si deve impostare l’equivalenza dei montanti sull’anno:

(1 + i2)2= (1 + i3)

3

da cuii2 = (1 + i3)

32 − 1 = (1.06)1.5 − 1

DOMANDA 29Per costituire un capitale di 100 in 8 anni con versamenti annui anticipati atasso 5% occorre che l’ammontare dei versamenti sia

a 10.25; b 9.9735; c 8.5379; d 12.5;R: b.Costituire un capitale di 100 in 8 anni equivale a disporre di

100 (1 + 0.05)−7= 67.684

immediatamente. Questo importo può essere ottenuto con versamenti annuianticipati di importo R :

67.684 = R..an|i = R (1 + i) an|i

da cui:R =

67.684

(1 + i) an|i=

71.0681−(1+0.05)−8

0.05

= 9.9735

Oppure si utilizza l’espressione..sn|i, per cui:

R..sn|i = 100

dove..sn|i =

(1 + i)n − 1i1+i

=(1 + 0.05)8 − 1

0.051+0.05

= 10. 027

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e quindi

R =100

10. 027= 9.9735

DOMANDA 30In regime di interesse semplice a tasso annuo 10% l’interesse prodotto nel settimoanno di capitalizzazione su un investimento iniziale di 100 è:

a 12,1; b 11; c 10; d 12;R: c.Si ha che l’interesse prodotto nel corso del settimo anno è dato da:

100 (M7 −M6) = 100 ((1 + 0.1 ∗ 7)− (1 + 0.1 ∗ 6)) = 10

DOMANDA 31Se rf = 6% è il rendimento in dollari ed exriv = 3% il tasso annuo di rivalu-tazione dell’euro nel cambio dollaro/euro, il rendimento in euro è:

a i=9,18%; b i=2.91%; c i=3%; d i=3,11%;R: b.Nella domanda è stato messo "rivalutazione dell’euro nel cambio dollaro/euro"

invece che "...euro/dollaro". e la risposta in b doveva essere sostituita dai = 2.82%.Il tasso di rendimento dell’euro è dato da:

re = r$ + ex+ ex ∗ r$e ex = −0.03. Quindi:

re = 0.06− 0.03− 0.03 ∗ 0.06 = 0.028 2

DOMANDA 32In regime di interesse composto a tasso annuo 10% l’interesse prodotto nel quintoanno di capitalizzazione su un investimento iniziale di 200 è:

a 12,1; b 122.102; c 10; d 29.282;R: d.Indicando con Mt il montante al tempo t, si ha che l’interesse prodotto nel

corso del quinto anno è dato da:

200 (M5 −M4) = 200³(1 + 0.1)5 − (1 + 0.1)4

´= 29. 282.

DOMANDA 33Se rf = 6% è il rendimento in dollari ed ex = 3% il tasso annuo di svalutazionedell’euro nel cambio euro/dollaro, il rendimento in euro è:

a i = 9.18%; b i = 9%; c i = 3%; d i = 2.913%;

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R: a.Si usa la relazione:

i = rf + ex+ ex ∗ rfe si ottiene:

i = 0.06 + 0.03 + 0.03 ∗ 0.06 = 9.1 8%

DOMANDA 34L’ammortamento francese di un finanziamento di 100 da effettuarsi in 4 rateannue posticipate al tasso del 10% annuo prevede che la quota interessi dellaseconda rata sia pari a:

a 7.5; b 7.845; c 10; d 21.547;R: b.L’importo della singola rata è dato da:

R =100

a4|0.1=

1001−(1+0.1)−4

0.1

= 31. 547

Possiamo quindi costruire il piano d’ammortamento:

t Ct It Rt Dt

0 1001 21.547 10 31.547 100-21.547= 78. 4532 ... ... ... ...... ... ... ... ...

e quindi I2 = 0.1 ∗ 78.453 = 7. 845 3.

DOMANDA 35Se si intende costituire in regime di interesse semplice un capitale di 100mlmediante versamenti semestrali per 3 anni di importo 15ml, il tasso di interesseannuo dell’operazione è:

a i = 8, 8889%; b i = 8, 581%; c i = 8, 5%; d i = 8, 998%;R: a.Si ricorda l’espressione del montanteM di una rendita in regime di interesse

semplice:

M = nR

µ1 + i

nm− 12m

¶dove n è il numero di anni, m il numero di versamenti in ciascun anno e Rl’importo totale delle rate nell’anno. Avendo R = 15 ∗ 2 = 30, M = 100, n = 3,m = 2 si risolve rispetto ad i la seguente equazione:

100 = 3 ∗ 30 ∗µ1 + i

6− 14

¶che ha soluzione:

i =

µ100

3 ∗ 30 − 1¶4

5=

10

3 ∗ 304

5=4

45= 8, 888 9%.

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DOMANDA 36Si intende attivare un progetto che richiede un investimento iniziale di 100 ri-correndo a capitale di debito. Si considerano le seguenti alternative:

%mezzi propri ROEa 100 0.2b 90 0.25c 70 0.3d 60 0.35

.

Dato un costo opportunità del capitale proprio pari a i = 0.15 e dato che ilTIR del progetto è pari a 0.2, allora la scelta ottima è:

a a; b b; c c; d d;R: d.La valutazione deve tenere conto che ciò che non è impiegato nel progetto

ottiene una remunerazione data dal costo opportunità del capitale proprio. Siha quindi:

Risultato finalea 100(1 + 0.2) = 120.0b 90 (1 + 0.25) + 10 (1.15) = 124.0c 70 (1 + 0.3) + 30 (1.15) = 125. 5d 60 (1 + 0.35) + 40 (1.15) = 127.0

e dunque la scelta migliore risulta essere la d).

DOMANDA 37

Un titolo paga i seguenti flussi di cassatempo 0 1 2cedole 0 5 105

. Se i = 5%, il

prezzo corrente è 100. Si intende stimare, mediante la duration, la variazione diprezzo ∆P , data una variazione del tasso di rendimento ∆i = 0.1%:

a -0,10; b -0,18594; c -0,19004; d 0,18594;R: b.Si ricorda che:

∆P = −P D

1 + i∆i

dove D è la duration del titolo. Poichè:

P = 100

D =1 5(1.05)1

+ 2 105(1.05)2

100= 1. 952 4

si ha:∆P = −100 1. 952 4

1 + 0.050.1% = −0.185 94.

DOMANDA 38

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 15

In un contratto di leasing a canoni costanti, il valore del bene A=1000, l’anticipoB è pari a 10, il valore attuale del prezzo di riscatto è 4, an|i = 3. Allora l’importodel singolo canone è:

a 267,89; b 330,67; c 328,67; d 333;R: c.Ricordando la formula di equivalenza finanziaria nel calcolo del canone di

leasing, si ha:

C =A−B +E (1 + i)−n

an|i=1000− 10− 4

3= 328, 67.

DOMANDA 39Completare il seguente piano d’ammortamento italiano di un debito di 150:

Tempo C I R D0 - - - 1501 6523

R: Si ha:

Tempo C I R D0 - - - 150

1 1503 = 50

65-50=15da cui i = 15

150 = 0.165 100

2 1503 = 50 0.1*100=10 60 50

3 1503 = 50 0.1*50=5 55 0

DOMANDA 40Il seguente progetto:

tempo 0 1 2flussi -1000 800 800

ha un TIR pari a:a 38%; b 30%; c 39,54%; d 37,98%;

R: d.Il TIR è soluzione dell’equazione che richiede che il VAN del progetto sia

nullo:−1000 + 800

1 + TIR+

800

(1 + TIR)2= 0

la cui sola soluzione ammissibile è TIR∗=2√6−35 = 0.379 80.

DOMANDA 41

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 16

Mediante il modello di Gordon, un analista finanziario ha stimato che il valoredi un’azione GF è pari a 100. L’azione pagherà un dividendo pari a 5 tra unperiodo. Il tasso i di valutazione è pari a 0.15. Il tasso di crescista g dei dividendiimplicito nella valutazione è pari a: a 10%; b 9%; c 11%; d 12%;R: a.Si sta utilizzando la formula di Gordon che dice che il valore dell’azione è

dato da:

V A =D

i− g

Poichè V A = 100, D = 5, i = 0.15 risolvendo rispetto a g si ha:

g = i− D

V A= 0.15− 5

100= 0.1.

DOMANDA 42Sia St il tasso di cambio E/$ al tempo t. Si ha che S0 = 1 e si stima cheS5 = 1.25. Il tasso di rendimento di operazioni in euro è rd = 5%. Allora iltasso annuo di rendimento di operazioni in dollari rf è:

a 0%; b 10%; c 0,54169%; d 0,41697%;R: d.Data la stima su S5 possiamo calcolare il tasso atteso di svalutazione dell’euro

nel cambio E/$, mediante la relazione:

S5 = S0 (1 + ex)5

da cui:

ex =

µS5S0

¶ 15

− 1 =µ1.25

1

¶ 15

− 1 = 4. 564 0%

Quindi il tasso di rendimento di operazioni in dollari è ottenuto mediante larelazione:

rd = rf + ex+ ex ∗ rfe risolvendo rispetto a rf si ottiene:

rf =rd − ex

1 + ex=0.05− 0.0456401.045640

= 0, 004169 7 = 0, 4169 7%.

DOMANDA 43Sia St il tasso di cambio $/ al tempo t. Si ha che S0 = 0.94 e si stima cheS3 = 0.9. Il tasso di rendimento di operazioni in euro è r = 4%. Allora il tassoannuo di rendimento di operazioni in dollari r$ è:

a 2.5%; b 9.96%; c 5.52%; d 3%;R: a.

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 17

Trattiamo il dollaro come valuta domestica. Data la stima su S3 ci atten-diamo una rivalutazione del dollaro e quindi un valore negativo di ex, il tassoatteso di svalutazione del dollaro nel cambio $/E. Infatti:

S3 = S0 (1 + ex$)3

da cui:

ex$ =

µS3S0

¶ 13

− 1 =µ0.9

0.94

¶ 13

− 1 = −0, 014 39

Quindi il tasso di rendimento di operazioni in dollari è ottenuto mediante larelazione:

r$ = r + ex$ + ex$ ∗ r= 0, 04− 0, 014 39− 0, 014 39 ∗ 0, 04= 2, 503 4%.

DOMANDA 44

Un titolo paga i seguenti flussi di cassatempo 1 2cedole 12 112

. Se i = 10% la

stima, mediante la duration, della variazione relativa percentuale di prezzo∆P/P , data una variazione del tasso di rendimento ∆i = 0.5% è:

a 0,93%; b 0,86%; c −0, 93%; d −0, 86%;R: d.Si ricorda che:

∆P

P= − D

1 + i∆i

dove D è la duration del titolo. Poichè:

P =12

(1.1)1+

112

(1.1)2= 103. 47

D =1 12(1.1)1

+ 2 112(1.1)2

103. 47= 1. 894 6

si ha:∆P

P= −1. 894 6

1 + 0.1∗ 0.5% = −0, 861 18%.

DOMANDA 45

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi -100 70 70

ha un TIR pari a:a 1,2569%; b 20%; c 25,69%; d 37,98%;

R: c.

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Il TIR è soluzione dell’equazione che richiede che il VAN del progetto sianullo:

−100 + 70

1 + x+

70

(1 + x)2= 0

la cui unica soluzione ammissibile è TIR∗=0.256 92.

DOMANDA 46In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 10000E,l’importo della rata costante in caso di durata di un anno, pagamenti trimestraliposticipati e tasso j4 = 8% è:

a 3000E; b 626E; c 2626. 2E; d 2500E;R: c.La rata è data da:

R =10000

a4|i4

Poichè i4 = j4/4 = 2%, si ha:

R =10000E1−(1.02)−4

0.02

= 2626. 2E

DOMANDA 47In capitalizzazione composta annua, il tasso di interesse annuo sul primo anno èdel 10%, sul secondo anno è 5%, sul terzo anno è 15%.Il tasso di interesse annuomedio è:

a 9.92%; b 10%; c 8%; d 4%;R: a.Il tasso annuo composto medio

_i è tale da lasciare invariato il montante

finale. Poichè Il fattore di montante in regime di capitalizzazione composta contassi variabili è dato da:

f (t) =nYs=1

(1 + is)τs

allora_i soddisfa:

(1 + is)τs =

³1 +

_i´ nXs=1

τs

da cui:

(1 + 0.1)1(1 + 0.05)

1(1 + 0.15)

1=³1 +

_i´1+1+1

,

per cui:_i = ((1 + 0.1) (1 + 0.05) (1 + 0.15))

13 − 1 = 0.09924 2

DOMANDA 48

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 19

Sia St il tasso di cambio $/ al tempo t. Si ha che S0 = 0.94 e si stima cheS3 = 0.9. Il tasso di rendimento di operazioni in euro è r = 4%. Allora il tassoannuo di rendimento di operazioni in dollari r$ è:

a 2.5%; b 9.96%; c 5.52%; d 3%;R: a.Trattiamo il dollaro come valuta domestica. Data la stima su S3 ci atten-

diamo una rivalutazione del dollaro e quindi un valore negativo di ex, il tassoatteso di svalutazione del dollaro nel cambio $/E. Infatti:

S3 = S0 (1 + ex$)3

da cui:

ex$ =

µS3S0

¶ 13

− 1 =µ0.9

0.94

¶ 13

− 1 = −0, 014 39

Quindi il tasso di rendimento di operazioni in dollari è ottenuto mediante larelazione:

r$ = r + ex$ + ex$ ∗ r= 0, 04− 0, 014 39− 0, 014 39 ∗ 0, 04= 2, 503 4%.

DOMANDA 49

Un titolo paga i seguenti flussi di cassatempo 1 2 3 4cedole 10 10 10 110

. Se

i = 0% la duration del titolo è data da:a 4; b 1; c 3.5714; d 3;

R: c.La formula della duration è:

D =

nXk=1

tkck (1 + i)−tk

nXk=1

ck (1 + i)−tk

dove tk sono le date in cui sono pagate le cedole di importo ck e i è il tasso divalutazione. Se il tasso è nullo, la duration risulta essere:

D =

nXk=1

tkck

nXk=1

ck

=1 ∗ 10 + 2 ∗ 10 + 3 ∗ 10 + 4 ∗ 110

10 + 10 + 10 + 110= 3. 571 4

DOMANDA 50

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 20

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi -100 60 60

ha un TIR pari a:

a 12.06%; b 20%; c 13.06%; d 0%;R: c.Il TIR è soluzione della seguente equazione:

−100 + 60

(1 + x)+

60

(1 + x)2= 0

la cui unica soluzione ammissibile è TIR∗=√69−710 =0.130 66.

DOMANDA 51In un piano di ammortamento italiano, di un debito di ammontare 10000E,l’importo della quota capitale costante in caso di durata di un anno, pagamentitrimestrali posticipati e tasso j4 = 8% è:

a 3000E; b 626E; c 2626. 2E; d 2500E;R: d.Trattandosi di ammortamento italiano, la quota capitale è data semplice-

mente da 10000E/4=2500E.

DOMANDA 52In capitalizzazione semplice, il tasso di interesse annuo sul primo anno è del10%, sul secondo anno è 5%, sul terzo anno è 15%.Il tasso di interesse annuomedio è:

a 9.92%; b 10%; c 8%; d 4%;R: b.Il tasso di interesse medio in regime di interesse semplice è dato da:

_i =

nXk=1

τkik

nXk=1

τk

=1 ∗ 0.1 + 1 ∗ 0.05 + 1 ∗ 0.15

1 + 1 + 1= 0.1

DOMANDA 53Sia St il tasso di cambio $/ al tempo t. Si ha che S0 = 0.94. Il tasso di rendi-mento per impieghi di 3 anni in euro è r = 4% mentre quello corrispondenteper operazioni in dollari è r$ = 2.5%. Allora il tasso previsto S3 è:

a 0.8999; b 1; c 0.9818; d 0.94;R. Conviene trattare il dollaro come valuta domestica. Abbiamo quindi che

rd, rf ed ex$ (il tasso di svalutazione del dollaro) soddisfano la relazione:

r$ = r + ex$ + ex$ ∗ r

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 21

e risolvendo rispetto a ex$ si ottiene:

ex$ =r$ − r

1 + r=

2.5100 − 4

100

1 + 4100

= −1. 442 3100

.

Il tasso previsto S3 è quindi dato da:

S3 = S0 (1 + ex$)3

= 0.94 ∗µ1 +

2.5100 − 4

100

1 + 4100

¶3= 0.899 91

DOMANDA 54

Un titolo paga i seguenti flussi di cassatempo 1 2cedole 120 1120

. Se i = 10%

la stima, mediante la duration, della variazione relativa percentuale di prezzo∆P/P , data una variazione del tasso di rendimento ∆i = 0.005 è:

a 0,93%; b −0, 86%; c −0, 93%; d 0,86%;R: b.Si ha:

P =120

(1 + 0.1)+

1120

(1 + 0.1)2= 1034. 7

D =1 ∗ 120 ∗ (1 + 0.1)−1 + 2 ∗ 1120 ∗ (1 + 0.1)−2

1034. 7= 1. 894 6

per cui:

∆P

P= − D

(1 + i)∆i

= −1. 894 61.1

∗ 0.005= −0.008 611 8= −0.86%

DOMANDA 55Individuare il TIR del seguente progetto:

tempo 0 3flussi -100 160

a 12.569%; b 20%; c 25.69%; d 16.96%;R: d.Avendo due soli flussi, il TIR è soluzione di:

100 (1 + TIR)3 = 160

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 22

da cui:

TIR =

µ160

100

¶ 13

− 1 = 0.169 61

DOMANDA 56Oggi il prezzo di un appartamento è pari a 80 e si prevede un suo aumentodell’2% composto annuo. Non possedendo nulla ma accantonando 20 all’anno(posticipatamente) ad un rendimento del 5% dopo quanti anni si è in grado diacquistare l’appartamento?

a 4; b 5; c 6; d mai;R: b.Il prezzo dell’appartamento dopo n anni è:

papp (n) = 80 ∗ (1 + 0.02)n

Se accantoniamo 20E all’anno al tasso del 5%, dopo n anni disponiamo di:

cap (n) = 20 (1 + 0.05)nan|0.05

= 20 (1 + 0.05)n1− (1 + 0.05)−n

0.05

= 20(1 + 0.05)n − 1

0.05

e dobbiamo trovare il primo anno per cui:

papp (n) = cap (n)

Per n = 4, abbiamo:

papp (n = 4) = 80 (1 + 0.02)4 = 86. 595

cap (n = 4) = 20(1 + 0.05)4 − 1

0.05= 86. 203

e la somma accantonata non è ancora sufficiente.Per n = 5, abbiamo:

papp (n = 5) = 80 (1 + 0.02)5 = 88. 326

cap (n = 5) = 20(1 + 0.05)5 − 1

0.05= 110. 51

e la somma accantonata è ora sufficiente. Il grafico seguente illustra l’andamentodi papp (n) e di cap (n) al variare del numero di anni.

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 23

65.554.543.53

120

100

80

60

40

x

y

x

y

DOMANDA 57In un contratto di leasing il valore del bene è pari a 100. Si versa un anticipodi 10. Il tasso di finanziamento è j6 = 2%. Non è previsto riscatto. Dato che sipagano 12 rate mensili posticipate per un anno, l’importo di ciascun canone è:

a 9.43; b 5.32; c 10.23; d 7.581 4;R: d.L’importo del canone di leasing è dato da:

C =100− 10a12|i12

che richiede il calcolo di i12. Dato che j6 = 2%, allora i6 = j6/6 = 2%/6 epossiamo determinare il tasso mensile

(1 + i12)12 =

µ1 +

0.02

6

¶6per cui:

i12 =

µ1 +

0.02

6

¶ 12

− 1 = 0.001665 3

L’importo del canone di leasing è quindi dato:

C =90

1−(1+i12)−12i12

=90

1−(1+0.001665 3)−120.001665 3

= 7.581 4.

DOMANDA 58Sia St il tasso di cambio $/ al tempo t. Si ha che S0 = 0.93. Il tasso direndimento di operazioni in euro è r = 5% mentre quello per operazioni indollari è r$ = 6%. Allora il tasso di cambio previsto fra due anni, S2, è:

a 0.93; b 0.9125; c 0.9287; d 0.9478;R: d.

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Conviene trattare il dollaro come valuta domestica. Abbiamo quindi che rd,rf ed ex$ (il tasso di svalutazione del dollaro) soddisfano la relazione:

r$ = r + ex$ + ex$ ∗ re risolvendo rispetto a ex$ si ottiene:

ex$ =r$ − r

1 + r=

6100 − 5

100

1 + 5100

=0.9523 8

100.

Il tasso previsto S2 è quindi dato da:

S2 = S0 (1 + ex$)2

= 0.93 ∗µ1 +

0.9523 8

100

¶2= 0.947 80.

DOMANDA 59

Un titolo paga i seguenti flussi di cassatempo 0.5 1cedole 6 106

. Se i = 5% la

stima, mediante la duration, della variazione relativa percentuale ∆P/P , datauna variazione del tasso di rendimento ∆i = −0.5% è:

a 0, 463%; b 0,86%; c −0, 463%; d −0, 86%;R: a.Si ha:

P =6

(1 + 0.05)0.5 +

106

(1 + 0.05)1 = 106. 81

D =0.5 ∗ 6

(1+0.05)0.5+ 1 ∗ 106

(1+0.05)1

6(1+0.05)0.5

+ 106(1+0.05)1

= 0.972 59

∆P

P=

µ− D

(1 + i)∆i

¶= −0.972 59

1 + 0.05(−0.5%) = 0.463 14%

DOMANDA 60

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi 100 -80 -60

ha un TIR pari a:

a 31,2569%; b 20%; c 25,69%; d 27,18%;R: d.Il TIR è soluzione della seguente equazione:

100− 80

(1 + TIR)− 60

(1 + TIR)2= 0

la cui unica soluzione ammissibile è TIR∗=√19−35 = 0.271 78.

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 25

DOMANDA 61In un piano di ammortamento italiano, di un debito di ammontare pari a 1200euro da ammortizzare in 3 anni con pagamenti annuali posticipati e tasso i =10%, l’importo della quota interessi della seconda rata è di euro:

a 80; b 120; c 60; d 40;R: a.La quota capitale è pari a 400 (=1200/3). La seconda quota interessi sarà

quindi pari a 80 (=(1200-400)*0.1).

DOMANDA 62In capitalizzazione composta, il tasso di interesse annuo sul primo anno è del10%, sul secondo anno è 6%. Quale deve essere il tasso vigente nel terzo annoaffinché il montante di un capitale iniziale pari a 100 sia pari a 120?

a 2.916%; b 5%; c 8%; d 4%;R: a.Devo determinare il tasso i per cui:

100 ∗ (1 + 0.1) (1 + 0.06) (1 + i) = 120

da cui:i =

120

100 ∗ (1 + 0.1) (1 + 0.06) − 1 = 2. 916 0%

DOMANDA 63Sia St il tasso di cambio /$ al tempo t. Si ha che S0 = 1.0753 Il tasso direndimento di operazioni in euro è r = 5% mentre quello per operazioni indollari è r$ = 6%. Allora il tasso di cambio previsto fra due anni, S2, è:

a 1.075 3; b 1.0551; c 1.0768; d 1.0959;R: b.Conviene trattare l’euro come valuta domestica. Abbiamo quindi che rd, rf

ed ex$ (il tasso di svalutazione del dollaro) soddisfano la relazione:

r = r$ + ex + ex ∗ r$e risolvendo rispetto a ex si ottiene:

ex =r − r$1 + r$

=5100 − 6

100

1 + 6100

= −0.9434 0100

.

Il tasso previsto S2 è quindi dato da:

S2 = S0 (1 + ex )2

= 1.0753 ∗µ1− 0.9434 0

100

¶2= 1.055 1.

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DOMANDA 64Il tasso di mercato sia i = 5%. Se un titolo subisce una variazione del +0, 463%a fronte di una variazione del tasso di rendimento ∆i = −0.5%, allora la stimadella sua duration è:

a 0.9723; b 0,86876; c 1, 046387; d 1, 86;R: a.Si ha:

∆P/P = − D

(1 + i)∆i

per cui

D = −∆PP

(1 + i)

∆i

= −0.463100

∗ 1 + 0.05− 0.5100

= 0.972 3

DOMANDA 65

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi -2000 1600 1200

ha un TIR pari a:

a 31,2569%; b 20%; c 27,18%; d 25,69%;R: c.Trattandosi di un progetto con due soli flussi, il TIR è soluzione della

seguente equazione:

−2000 + 1600

(1 + TIR)+

1200

(1 + TIR)2 = 0

la cui unica soluzione ammissibile è TIR∗=√19−35 = 0.271 78.

DOMANDA 66In un piano di ammortamento italiano, di un debito di ammontare pari a 1800euro da ammortizzare in 3 anni con pagamenti annuali posticipati e tasso i =10%, l’importo della quota interessi della terza rata è di euro:

a 80; b 120; c 60; d 40;R: c.Poichè il debito si riduce annualmente di un ammontare costante pari alla

quota capitale di 600E (=1800/3), si ha che la quota interessi dell’ultimo annoè pari a 0.1*600E = 60E.

DOMANDA 67In capitalizzazione composta, il tasso di interesse annuo sul primo anno è del10%, successivamente è del 6%. Qual è il tasso composto costante che in capoa 3 anni fornisce lo stesso montante?

a 5, 92%; b 5%; c 8%; d 7. 316 9%;

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 27

R: d.Si deve trovare i per cui:

(1 + 0.1) (1 + 0.06)2= (1 + i)

3

da cui:i = (1 + 0.1)

13 (1 + 0.06)

23 − 1 = 7. 316 9%.

DOMANDA 68Il tasso di mercato sia i = 0%. Un titolo è caratterizzato dai seguenti flussi di

cassa:tempo 1 5 30flussi 10 10 100

. Allora il titolo ha duration pari a:

.....

R: D = 25.5.Si ha:

D =1 ∗ 10 + 5 ∗ 10 + 30 ∗ 100

10 + 10 + 100= 25. 5

DOMANDA 69

Il seguente progetto:tempo 0 30flussi -7 100

ha un TIR pari a:

a 9,269%; b 3.1%; c 4,428%; d 7,69%;R: a.Poichè il progetto ha due soli flussi, il TIR è soluzione di:

7 (1 + TIR)30= 100

da cui:

TIR =

µ100

7

¶ 130

− 1 = 9. 268 9%

DOMANDA 70In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare pari a 100euro da ammortizzare in 3 anni con pagamenti annuali posticipati e tasso i =10%, l’importo della quota interessi della terza rata è di euro:

a 4,0211; b 3,6556; c 0; d 40,2115;R: b.Costruiamo il piano d’ammortamento. L’importo della singola rata è pari a:

R =100

a3|0.1=

1001−(1+0.1)−3

0.1

= 40. 211

per cui si ha:

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 28

t Ct It Rt Dt

0 - - - 1001 30.211 10 40. 211 100-30.211= 69. 7892 40.211-6.9789= 33. 232 6.9789 40. 211 69. 789-33. 232= 36. 5573 36. 557 3.6557 40. 211 0

DOMANDA 71In capitalizzazione composta, il tasso di interesse annuo sul primo anno è del10%, successivamente è del 6%. Qual è il tasso composto trimestrale costanteche in capo a 3 anni fornisce lo stesso montante?

a 1, 78%; b 1,85%; c 1,75%; d 2,32%;R: a.Si deve trovare i4 per cui:

(1 + 0.1) (1 + 0.06)2 = (1 + i4)3∗4

da cui:i4 = (1 + 0.1)

112 (1 + 0.06)

212 − 1 = 1. 781 1%.

DOMANDA 72In un’operazione finanziaria si investe un capitale di 1000Euro prima per unperiodo di 6 mesi ad un tasso semestrale composto del 3% e poi per altri 6 mesiad un tasso annuo semplice dell’8%. Il capitale maturato al termine dell’annoammonta a:R: Il montante è dato da:

1000E (1 + 0.03)

µ1 +

0.08

2

¶= 1071. 2E

DOMANDA 73

Il seguente progetto:tempo 0 30flussi 3.5 −50 ha un TIR pari a:

a 9,269%; b 3.1%; c 4,428%; d 7,69%;R: a.Il Tir è dato da:

3.5 (1 + Tir)30 = 50

da cui:

Tir =

µ50

3.5

¶ 130

− 1 = 9. 268 9%

DOMANDA 74Sia St il tasso di cambio $/ al tempo t. Si ha che S0 = 0.985. Il tasso direndimento annuo per operazioni in euro è r = 5% mentre quello per operazioniin dollari è r$ = 6%. Allora il tasso di cambio previsto fra 3 anni, S3, è:

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 29

a 1.0125; b 1.0134; c 1.0468; d 0.9574;R: b.Conviene trattare il dollaro come valuta domestica. Abbiamo quindi che rd,

rf ed ex$ (il tasso di svalutazione del dollaro) soddisfano la relazione:

r$ = r + ex$ + ex$ ∗ re risolvendo rispetto a ex$ si ottiene:

ex$ =r$ − r

1 + r=

6100 − 5

100

1 + 5100

=0.9523 8

100.

Il tasso previsto S2 è quindi dato da:

S2 = S0 (1 + ex$)3

= 0.985 ∗µ1 +

0.9523 8

100

¶3= 1. 013 4.

DOMANDA 75Si intende attivare un progetto che richiede un investimento iniziale di 100 ri-correndo a capitale di debito. Si considerano le seguenti alternative:

a b c d%mezzi propri 100 90 70 60ROE 0,2 0,25 0,3 0,35

.

Dato un costo opportunità del capitale proprio pari a i = 0.15 e dato che ilTIR del progetto è pari a 0.2, allora la scelta ottima è:

a a; b b; c c; d d;R: d.La valutazione deve tenere conto che ciò che non è impiegato nel progetto

ottiene una remunerazione data dal costo opportunità del capitale proprio. Siha quindi:

Risultato finalea 100(1 + 0.2) = 120.0b 90(1 + 0.25) + 10 (1.15) = 124.0c 70(1 + 0.3) + 30 (1.15) = 125. 5d 60(1 + 0.35) + 40 (1.15) = 127.0

e dunque la scelta migliore risulta essere la d).

DOMANDA 76Si intende costituire in 10 anni un capitale di 10 ml mediante versamenti semes-trali anticipati costanti. Se il tasso di interesse annuo composto che viene ri-conosciuto è il 5% allora occorre che l’ammontare della rata sia

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 30

a 325000; b 383210; c 385375; d 500000;R: b.Costituire un capitale in 10 anni di 10 ml significa disporre oggi di 10 (1 + 0.05)−10

ml di Euro. L’importo della rata deve quindi essere:

R..a20|i2 = 10 (1 + 0.05)

−10

dove i2 = (1 + 0.05)12 − 1 = 0.02469 5. Quindi:

R =10 (1 + 0.05)

−10..a20|i2

mlE =10 (1 + 0.05)

−10

(1 + 0.02469 5) 1−(1+0.02469 5)−20

0.02469 5

= 0.383 21mlE

cioè 383 210E.

DOMANDA 77Un finanziamento di ammontare pari a 100 euro è ammortizzato in 3 anni conpagamenti annuali posticipati di 40 euro. Il tasso di interesse dell’operazionerisulta:

a =6,66%; b >10%; c <10%; d =10%;R: c.Poichè l’importo di ciascun versamento è costante si tratta di ammorta-

mento francese. Per cui il tasso di interesse del finanziamento è soluzionedell’equazione:

40a3|i = 100

da cui:1− (1 + i)−3

i= 2.5

Se proviamo con i = 6.66%, al primo membro si ottiene:

1− (1 + 0.066)−30.066

= 2. 643 6

che risulta essere un importo più alto rispetto al valore desiderato di 2.5.Se proviamo con i = 10%, al primo membro si ottiene:

1− (1 + 0.1)−30.1

= 2. 486 9

che risulta essere un importo più basso rispetto al valore desiderato di 2.5.Poichè il valore attuale an|i risulta essere decrescente rispetto ad i , il tasso di

finanziamento dovrà essere compreso tra il 6.66% e il 10%. La risposta correttaè quindi la c). La figura seguente illustra l’andamento di y = an|x in funzionedel tasso x e il punto di intersezione con la retta al livello 2.5 da appunto iltasso di finanziamento che risulta essere appena più basso del 10% (esattamentei = 9.7 01%).

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 31

0.150.1250.10.0750.050.0250

4

3

2

1

0

x

y

x

y

DOMANDA 78Sia j4 = 6%. Il tasso equivalente i2 è:

a 3%; b 3,02%; c 1,5%; d 12%.R: b.Si ha:

(1 + i2)2 = (1 + i4)

4 =

µ1 +

j44

¶4e quindi:

i2 =

µ1 +

0.06

4

¶ 42

− 1 = 3. 022 5%

DOMANDA 79Una casa costa 100000 euro. Se il costo opportunità del decisore è per i prossimi10 anni pari al 5%, e oltre al pagamento in contanti vi è la possibilità di accederead un mutuo decennale con rata annua posticipata pari a 13500 euro, quale delleseguenti alternative risulta finanziariamente più conveniente?

a accedere completamente al mutuo decennale; b non si sa;c pagare in contanti; d accedere al mutuo per una metà del valore;

R: c.Scelgo l’operazione che garantisce il VAN più elevato.Caso a):

V ANa = −100000 + 100000− 13500a10|5%

= −135001− (1 + 0.05)−10

0.05= −1 042 40

Caso c):V ANc = −100000

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 32

Caso d):

V ANd = −100000 + 50000− 135002

a10|5%

= −50000− 135002

1− (1 + 0.05)−100.05

= −1021 20

Poichè V ANc > V ANd > V ANa, la scelta ricadrà sull’ipotesi c.

DOMANDA 80In un piano di ammortamento francese di un debito di 100E della durata di 3anni a tasso 10% la quota interessi del terzo anno è pari a:

a 3,656E; b 10E; c 3,333E; d 40,211.R: a.Costruiamo il piano d’ammortamento. L’importo della singola rata è pari a:

R =100

a3|0.1=

1001−(1+0.1)−3

0.1

= 40. 211

per cui si ha:

t Ct It Rt Dt

0 - - - 1001 30.211 10 40. 211 100-30.211= 69. 7892 40.211-6.9789= 33. 232 6.9789 40. 211 69. 789-33. 232= 36. 5573 36. 557 3.6557 40. 211 0

DOMANDA 81Il valore attuale di una cambiale di importo 100, scadente fra 3 anni, calcolatocon lo sconto commerciale a tassi del 4%,5%,6% per i tre rispettivi anni è:

a 85E; b 86, 3 92E; c 86, 957E; d 117,65E.R: a.Il fattore di sconto in regime di sconto commerciale è 1− dt. Se i tassi sono

variabili, è dato da 1-nX

k=1

τkdk. Quindi:

100E (1− 0.04− 0.05− 0.06) = 85E

DOMANDA 82In regime di interesse semplice, la rata necessaria per costituire un montanteMdi 10000E mediante il versamento di rate semestrali (m = 2) per n = 3 annidato un tasso i del 5% semplice annuo è:

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 33

R. Si utilizza la formula:

M = nmr

µ1 + i

nm− 12m

¶da cui risolvendo rispetto a r si ha:

r =M

nm¡1 + inm−12m

¢e quindi:

r =10000

3 ∗ 2 ∗ ¡1 + 0.05 ∗ 3∗2−12∗2¢ = 1568.6

DOMANDA 83Se i = 5% composto annuo allora il valore attuale di una rendita di durata n = 2anni con rate unitarie posticipate, trimestrali (m = 4) è:R. Considerando il tasso periodale im :

im = (1 + i)1m − 1

per cui il valore attuale è

A = anm|im =1− (1 + im)

−n

im

im = (1 + i)1m − 1 = (1 + 0.05) 14 − 1 = 0.01227 2

A = anm|im =1− (1 + im)

−nm

im=1− (1 + 0.01227 2)−2∗4

0.01227 2= 7.575 7

DOMANDA 84In regime di sconto commerciale, il valore attuale di una rendita con rate diimporto r =5E, mensili (m = 12) per n = 1 anno ammonta a r = 50 E. Allorail tasso di sconto annuo d dell’operazione è:R. Il valore attuale di una rendita in regime di sconto commerciale con

versamenti periodici per n anni è:

A = nmr

µ1− d

nm+ 1

2m

¶da cui risolvendo rispetto a d si ha:

d =

µnmr −A

nmr

¶2m

nm+ 1

d =

µnmr −A

nmr

¶2m

nm+ 1=

µ1 ∗ 12 ∗ 5− 501 ∗ 12 ∗ 5

¶2 ∗ 12

1 ∗ 12 + 1 = 0.307 69

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 34

DOMANDA 85Si ammortizza con il metodo francese un debito di ammontare S =200E contre rate semestrali (m = 2) ad un tasso i del 10.25% c. a. L’importo R dellarata semestrale è:R. L’importo della rata è soluzione di

S = Ranm|im

da cui:

R =S

anm|im=

S1−(1+im)−nm

im

Poichèi2 = (1 + 0.1025)

12 − 1 = 0.05

si ha:

R =S

1−(1+im)−nmim

=200

1−(1+0.05)−30.05

= 73. 442

DOMANDA 86Il signor M. M. acquista un BOT all’emissione ad un prezzo di 93 e lo rivendedopo 60 giorni ad un prezzo di 95. Ha pagato commissioni pari a 0,2% del prezzosia all’acquisto sia alla vendita. L’imposta sostitutiva alla vendita ammonta a0,26. Il signore MM ha quindi ottenuto un rendimento semplice annuo al nettodi tasse (12,5%) e commissioni di:R.Il prezzo di acquisto al netto di tasse e commissioni è dato da:

A = 93 ∗µ1 +

0.2

100

¶+ 0.125 ∗ (100− 93) = 94.061

Il prezzo di vendita al netto di tasse e commissioni è dato da:

V = 95 ∗µ1− 0.2

100

¶+ 0.26 = 95. 07

Il rendimento semplice annuo è:

r =

ÃV − A

A

!1gg360

=

µ95.07− 94.061

94.061

¶160360

= 6. 436 2%.

DOMANDA 87Un’azione del titolo MM2 è stata collocata ad un prezzo di mercato di 50E. Lastima del primo dividendo ammonta a 2E. Dato un tasso di interesse del 5%composto annuo, allora la stima del tasso implicito di crescita g dei dividendi è:

a g = 0, 01; b g =0,06; c g =0,03; d g = 0, 025;R.

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 35

Secondo il modello di Gordon si ha:

P =D

i− g

da cui:

g = i− D

P

e quindi:

g = 0.05− 2

50= 0.01

DOMANDA 88Si intende attivare un progetto che richiede un investimento iniziale di 1500ricorrendo a capitale di debito. Si considerano le seguenti alternative:

a b c d%mezzi propri 100 90 70 60ROE 0.2 0.3 0.35 0.36

. Dato un costo opportunità

del capitale proprio pari a i = 0.15 e dato che il TIR del progetto è pari a 0.2,allora la scelta ottima è: a a; b b; c c; d d;R. La decisione scaturisce dal calcolo della ricchezza finale W nei diversi

casi. Questa è data da::

W = W0 ∗%mp ∗ (1 +ROE) +W0 ∗ (1−%mp) ∗ (1 + i)

= W0 ∗ (1 + i) +W0 ∗%mp ∗ (ROE − i)

dove W0 è la ricchezza iniziale dove i è il costo opportunità del capitale proprio.Quindi:

Wa = 1500 (1 + 0.2) + 0 (1 + 0.15) = 1800

Wb = 1500 ∗ 0.9 ∗ (1 + 0.3) + 1500 ∗ 0.1 ∗ (1 + 0.15) = 1927. 5Wc = 1500 ∗ 0.7 ∗ (1 + 0.35) + 1500 ∗ 0.3 ∗ (1 + 0.15) = 1935Wd = 1500 ∗ 0.6 ∗ (1 + 0.36) + 1500 ∗ 0.4 ∗ (1 + 0.15) = 1914.0

e la scelta migliore è la c.

DOMANDA 89In un contratto di leasing a canoni costanti, il valore del bene è A = 1000,l’anticipo B è pari al 3% del valore del bene, il prezzo di riscatto, E, ha valore at-tuale pari a 4, an|i = 3. Allora l’importo del singolo canone è: a C = 448; b C = 379; c C = 322;R. La condizione di equivalenza finanziaria è data da:

A = B +E (1 + i)−n + Can∗m|im

da cui:

C =A−B −E (1 + i)−n

an∗m|im

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 36

e quindi:

C =A−B −E (1 + i)−n

an∗m|im=1000− 0.03 ∗ 1000− 4

3= 322.0

DOMANDA 90

Il progetto descritto dai flussi:tempo 0 1 2flussi -500 450 450

ha un TIR su base

annua pari a: a 0.2; b 0.5; c 0.3; d 0.4;R.L’equazione che definisce il TIR è data da:

500 =450

1 + x+

450

(1 + x)2

da cui:x =

1

2= 0.5

DOMANDA 91Si completi il piano d’ammortamento italiano di un debito di ammontare 200Econ rate annue per 4 anni, dato un tasso del 10% composto annuo.R. I dati in tabella sono ordinati nel seguente ordine a b c

t Ct It Rt Dt

0 - - - 200 1000 800

150 250 200

20 50 24 70 300 224 150 750 600

250 250 200

15 37, 5 18 65 287, 5 218 100 500 400

350 250 200

10 25 12 60 275 212 50 250 200

450 250 200

5 12, 5 6 55 262, 5 206 0 0 0

DOMANDA 92Un progetto è caratterizzato da un esborso iniziale di 2000E e da flussi positividi 40E mensili posticipati per i prossimi 20 anni. Il VAN del progetto, dato un

costo opportunità dell’1% composto mensile, è: R:

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 37

R.1632. 8.

V AN = −2000 + 40a20∗12|0.01

= −2000 + 401− (1.01)−240

0.01= −2000 + 40 ∗ 90. 819= 1632. 8

DOMANDA 93In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 10000E,l’importo della rata costante in caso di durata di un anno, pagamenti trimestrali

posticipati e tasso j4 = 8% è: R:

R. 2626. 2.R =

10000

a4∗1|0.08/4=

100001−(1+0.02)−4

0.02

= 2626. 2

DOMANDA 94

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi -100 70 70

ha un TIR annuo pari a:

a 1,2569%; b 20%; c 25,69%; d 37,98%;

R. c.Il TIR=x risolve

−100 + 70

(1 + x)+

70

(1 + x)2= 0

che ha soluzioni: x1 = −1320 − 120

√329 = −1. 5569 (sol. non accettabile), e

x2 = −1320 + 120

√329 = . 25692 (sol. accettabile).

DOMANDA 95Un progetto è caratterizzato da un V AN pari a 123E. Per attivarlo si ricorread un finanziamento con V AN pari a -3. L’APV del progetto è:R. d.L’APV è dato da:

APV = V ANCP + V ANFin = 123− 3 = 120

DOMANDA 96Un Treasury Bill con vita residua di 250 gg (anno commerciale) ha una quo-tazione pari a 5. Il suo bond equivalent yield è (assumendo anno civile) pari a:a 0; b 0.05251 5; c 0.06; d 0.05;R. b.

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 38

Il prezzo di acquisto del TB è dato da:

PTB = 100

µ1− 0.05 ∗ 250

360

¶= 96. 528

per cui il bond equivalent yield o rendimento annuo semplice del TB è (as-sumendo anno civile) pari a:

1250365

µ100− 96. 52896. 528

¶= 0.05251 5

DOMANDA 97Un investimento in senso stretto è caratterizzato da un TIR del 10%. Se il costoopportunità del cap.proprio è i = 5%:

a V ANInv > 0; b V ANInv = 0; c V ANInv < 0; d non si sa;

R. aIl VAN in un ISS è funzione decrescente di i. Per cui se i < TIR, il VAN è

positivo.DOMANDA 98

In regime di interesse semplice, il montante dopo 1 anno di una rendita conversamenti mensili posticipati di importo 10E, dato un tasso di interesse mensile

del 1%, ammonta a: R:

R. M = 126.6Il montante è dato da:

M = nmr

µ1 + i

nm− 12m

¶= nmr

µ1 + im

nm− 12

¶dove i è il tasso annuo semplice e im quello periodale. Per cui si ha:

M = 1 ∗ 12 ∗ 10 ∗µ1 + 0.01

1 ∗ 12− 12

¶= 126.6

DOMANDA 99In un piano di ammortamento italiano di un debito di ammontare 10000E,durata di 20 anni, pagamenti semestrali posticipati e tasso j2 = 8% l’importo

della prima rata, è: R:

R. R = 650Trattandosi di un ammortamento italiano, si ha che la quota capitale è data

da:C =

10000

20 ∗ 2 = 250

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 39

e quindi la prima rata ammonta a:

R = 250 + i210000

= 250 + 0.04 ∗ 10000= 650.

DOMANDA 100

Un finanziamento è caratterizzato dai seguenti flussi:tempo (anni) 0 1 2

flussi 100 -70 -70.

Inoltre le rate di rimborso sono caricate di spese fisse di 2E e spese variabilidell’1%. Al momento del finanziamento si hanno anche spese di istruzione prat-ica di 6E, di cui 1E per oneri fiscali. Il TAEG del finanziamento è soluzionedell’equazione:

a 100 = 70(1+x) +

70(1+x)2

; b 100 = −6 + 72.7(1+x) +

72.7(1+x)2

;

c 100 = 6 + 72.7(1+x) +

72.7(1+x)2

; d 100 = 5 + 72.7(1+x) +

72.7(1+x)2

;

R. cDOMANDA 101

Un progetto è caratterizzato da un V AN pari a 123E. Per attivarlo si ricorre ad

un finanziamento con V AN pari a -3. L’APV del progetto è: R:

R. APV = 120Si ha:

APV = V ANCP + V ANFIN = 123− 3 = 120DOMANDA 102

In regime di sconto commerciale il montante tra tre mesi di un capitale di 50E,

dato un tasso di sconto mensile del 3% è pari a: R:

R. M=54.945Si ha che il montante è dato da:

M =50

1− dt=

50

1− 0.03 ∗ 3 = 54.945.

DOMANDA 103In regime di interesse composto, il fattore di montante dopo 30 anni con tassipari al 3% per i primi 10 anni, al 4% per i secondi 10 anni e al 2,5% per gliultimi 10 anni risulta pari a:R.

M = (1 + 0.03)10(1 + 0.04)

10(1 + 0.025)

10

= 2. 546 5

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 40

DOMANDA 104In un piano di ammortamento italiano di un debito di ammontare 10000E,durata di 20 anni, pagamenti semestrali posticipati e tasso j2 = 6% l’importodell’ultima rata, è:

a 550; b 515; c 265; d 257,5;

R. dPoichè la quota capitale ammonta a 10000/40= 250E, il debito residuo

all’inizio dell’ultimo semestre ammonta ancora a 250E. Quindi la rata sarà paria:

R = 250

µ1 +

0.06

2

¶= 257. 5

DOMANDA 105Oggi posso investire 100 euro per 1 anno al tasso del 5% composto o per 2 annial tasso del 6% composto. Se scelgo di investire per 1 solo anno con l’obiettivodi reinvestirne il montante per il secondo anno al tasso di mercato (semprecomposto) vigente fra un anno, qual è il tasso di reimpiego che mi garantisce lostesso risultato dell’investimento a 2 anni?

a 6%; b 5, 5%; c 7%; d 6, 5%;R. cIl tasso di reinvestimeno è soluzione:

(1 + 0.05)1(1 + x)

1= (1 + 0.06)

2

da cui:

x =(1 + 0.06)

2

(1 + 0.05)− 1 = 1. 070 1− 1 = 0.0701

DOMANDA 106Si presenta allo sconto una cambiale con scadenza 9 mesi; l’operazione vieneeffettuata applicando un tasso di sconto commerciale del 3% (annuo). Qual è il

tasso composto (annuo) che pago: R:

R.Si ha:

A = N

µ1− 0.03 9

12

¶= N (1 + x)−

912

da cui:

x =

Ã1¡

1− 0.03 912¢! 12

9

− 1 = 3. 080 8× 10−2

DOMANDA 107Un decisore di 35 anni valuta l’ipotesi di ritirarsi in qualche isoletta dei Caraibiper il “resto” dei suoi giorni. Avendo stimato pari a 100 anni (stima prudenziale,dal punto di vista economico) il proprio orizzonte di vita e volendo garantirsiuna rendita annua anticipata di 6000 euro per tutta la vita, con quale sommadeve partire se il tasso di valutazione è del 5%?

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 41

a 114966,4; b 390000; c 124417,8; d 120714,7;R. dIl valore attuale della rendita è dato da:

A = 6000 (1 + 0.05) a100−35|0.05

= 6000 (1 + 0.05)1− 1.05−65

0.05

1. 207 1× 105

DOMANDA 108Il tasso di mercato sia i = 3%. Un titolo è caratterizzato dai seguenti flussi di

cassa:tempo 1 2 3flussi 10 10 110

. Allora il titolo ha prezzo pari a:

RP =

10

(1 + 0.03)+

10

(1 + 0.03)2 +

110

(1 + 0.03)3 = 119. 8

DOMANDA 109

Il seguente progetto:tempo 0 2 3flussi -7 3 10

ha un TIR pari a:

a 29,269%; b 25,26%; c 40,428%; d 17,69%;

R. bIl TIR x risolve:

−7 + 3

(1 + x)2+

10

(1 + x)3= 0

Sostituendo i diversi valori si trova che x = 0.252 61 è il TIR del progetto.Infatti:

−7 + 3

(1 + 0.292 69)2 +

10

(1 + 0.292 69)3 = −0.575 4

−7 + 3

(1 + 0.252 6)2 +

10

(1 + 0.252 6)3 = 0

−7 + 3

(1 + 0.40428)2+

10

(1 + 0.40428)3= −1. 867 6

−7 + 3

(1 + 0.1769)2 +

10

(1 + 0.0.1769)3 = 5. 165 9

DOMANDA 110In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 10000E,l’importo della rata costante in caso di durata di un anno, pagamenti trimestraliposticipati e tasso j4 = 12% è:R. 2690. 3.

R =10000

a4∗1|0.12/4=

100001−(1+0.03)−4

0.03

= 2690. 3

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 42

DOMANDA 111Si intende costituire in 10 anni un capitale di 1 ml mediante versamenti semes-trali anticipati costanti. Se il tasso di interesse annuo composto che viene ri-conosciuto è il 5% allora occorre che l’ammontare della rata sia

R.Si deve trovare R in modo che :

1 = R (1 + i)10 a2∗n|i2

dove n è il numero di anni, i2 il tasso semestrale, R l’importo della rata dadeterminare. Si ha:

n = 10

i2 = (1 + 0.05)12 − 1 = 0.02469 5

a20|i2 = (1 + 0.02469 5)1− (1 + 0.02469 5)−20

0.02469 5= 16. 02

Di conseguenza:

R =1

(1 + 0.05)1016. 02

= 0.03832 2ml = 38321.

DOMANDA 112Un finanziamento di ammontare pari a 2000 euro è ammortizzato in 3 anni conpagamenti annuali posticipati di 800 euro. Il tasso di interesse dell’operazionerisulta:

a =6,66%; b >10%; c <10%; d =10%;

R. cTrattandosi di un finanziamento, il suo VAN è funzione crescente del tasso

di interesse.Calcoliamo il VAN al 10%:

+2000− 800

(1.1)− 800

(1.1)2− 800

(1.1)3= 10. 518

Calcoliamo il VAN al 6.66%

+2000− 800

(1.0666)− 800

(1.0666)2− 800

(1.0666)3= −112. 56

Il Tasso dell’operazione dovrà quindi essere compreso tra il 6,66% e il 10%.La risposta corretta è la c)DOMANDA 113

Una motocicletta costa 10000 euro. Se il costo opportunità del decisore è per iprossimi 5 anni pari al 5%, e oltre al pagamento in contanti vi è la possibilità diaccedere ad un mutuo quinquennale per 7000 euro con rata annua posticipata

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 43

pari a 1600 euro, quale delle seguenti alternative risulta finanziariamente piùconveniente?

a non è dato sapere; b accedere completamente al mutuo;c pagare in contanti; d accedere al mutuo per una metà del valore;

R. b.La scelta ottima deve essere o b) o c). Nel caso b)

APV = −10000 + 7000− 1600a5|0.05

= −10000 + 7000− 16001− (1 + 0.05)−5

0.05= −9927. 2

Nel caso c):V AN = −10000

DOMANDA 114Un progetto è caratterizzato da un esborso immediato di 1000 da un altro es-borso dopo un mese di 3000 e da flussi positivi di 80 mensili posticipati peri successivi 10 anni. Il VAN del progetto, dato un costo opportunità del 4%composto annuo è:

R: VAN = 3912.1Il VAN è dato da:

V AN = −1000− 3000 (1 + 0.04)− 112 + 80a120|i12 (1 + 0.04)

− 112

dove:i12 = (1 + 0.04)

112 = 0.0032737

Per cui:

V AN = −1000− 3000 · (1 + 0.04)− 112 + (1 + 0.04)−

112 80

1− (1 + 0.0032737)−1200.0032737

= 3912.1

DOMANDA 115In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 1000, l’importodella rata costante in caso di durata di un anno, pagamenti mensili anticipati etasso annuo i = 10% è:

R: 87.022La rata è data da:

1000 = R (1 + i12) a12|i12per cui:

i12 = (1 + 0.1)112 − 1 = 0.007974 1

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e la rata ammonta a:

R =1000

(1 + 0.007974 1) 1−(1+0.007974 1)−12

0.007974 1

= 87. 022

DOMANDA 116

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi -100 90 70

ha un TIR annuo pari a:

R: 0.4Il TIR è soluzione dell’equazione:

−100 + 90

1 + x+

70

(1 + x)2 = 0

la cui soluzione accettabile, ottenibile ponento t = 1/ (1 + x) , è data da:

x =2

5= 0.4

DOMANDA 117Un progetto è caratterizzato da un V AN pari a 123. Si può ricorrere ad unfinanziamento che se attivato completamente ha V AN pari a -9. L’APV delprogetto congiunto in cui si attiva 1

3 del finanziamento è:

a 121; b 123; c 126; d 120;R. d

APV = V ANprogetto +1

3V ANfin

= 123 +1

3(−9)

= 120

DOMANDA 118Un BOT avente vita residua di 250 gg (anno solare) ha una quotazione pari a95. Allora il tasso di interesse semplice lordo che esso garantisce è pari a:

a 7.68%; b 5.251%; c 7.3%; d 7.78%;R. aIl tasso di rendimento semplice dell’operazione è dato da:

1250365

µ1

0.95− 1¶= 7. 684 2%.

DOMANDA 119In regime di sconto commerciale gli anni necessari affinchè il v.a. di una renditaannua unitaria posticipata sia 12.6, se d = 2.5% è:

a n = 16; b n = 64; c n = 6; d n = 15;R. a.

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 45

Ricordiamo il valore attuale di una rendita posticipata in regime di scontocommerciale è dato da:

A = nmr

µ1− d

mn+ 1

2m

¶ed occorre trovare n. Dato che A = 12.6, d = 0.025, m = 1, r = 1:

12.6 = n ∗ 1 ∗ 1 ∗µ1− 0.025n+ 1

2

¶da cui si ottiene una equazione di secondo grado rispetto a n che risolta da comesoluzione accettabile n = 16.

DOMANDA 120Un progetto è caratterizzato da un esborso immediato di 3000 da un altro es-borso dopo un mese di 1000 e da flussi positivi di 90 mensili posticipati peri successivi 8 anni. Il VAN del progetto, dato un costo opportunità dell’3%composto annuo è:

R: VAN= 3668.6Il VAN è dato da:

V AN = −3000− 1000 · (1 + 0.03)− 112 + 90 · a96|i12 · (1 + 0.03)−

112

dove:i12 = (1 + 0.03)

112 = 0, 2466%

Per cui:

V AN = −3000− 1000 ∗ (1 + 0.03)− 112 + (1 + 0.03)−

112 90

1− (1 + 0.002466)−960.002466

= 3668.6

DOMANDA 121In un piano di ammortamento francese, di un debito di ammontare 2000, l’importodella rata costante in caso di durata di un anno, pagamenti mensili anticipati etasso annuo i = 5% è:

R: 170. 42La rata è data da:

2000 = R (1 + i12) a12|i12per cui:

i12 = (1 + 0.05)112 − 1 = 0.004074 1

e la rata ammonta a:

R =2000

(1 + 0.004074 1) 1−(1+0.004074 1)−12

0.004074 1

= 170. 42

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 46

DOMANDA 122

Il seguente progetto:tempo 0 1 2flussi -100 70 90

ha un TIR annuo pari a:

R: 0.361 19Il TIR è soluzione dell’equazione:

−100 + 70

1 + x+

90

(1 + x)2= 0

la cui soluzione accettabile, ottenibile ponento t = 1/ (1 + x) , è data da:

x =1

20

√409− 13

20= 0.361 19

DOMANDA 123Un progetto è caratterizzato da un V AN pari a 129. Si può ricorrere ad unfinanziamento che se attivato completamente ha V AN pari a -12. L’APV delprogetto congiunto in cui si attiva 2

3 del finanziamento è:

a 121; b 123; c 126; d 120;R. a

APV = V ANprogetto +1

3V ANfin

= 129 +2

3∗ (−12)

= 121

DOMANDA 124Un BOT avente vita residua di 150 gg (anno solare) ha una quotazione pari a98. Allora il tasso di interesse semplice lordo che esso garantisce è pari a:

a 5.04%; b 4.97%; c 4.87%; d 4.78%;R. bIl tasso di rendimento semplice dell’operazione è dato da:

1150365

µ1

0.98− 1¶= 4. 966 0%.

DOMANDA 125In regime di sconto commerciale gli anni necessari affinchè il v.a. di una renditacon rata annua posticipata pari a 2, sia 25.2, se d = 2.5% è:

a n = 6; b n = 64; c n = 16; d n = 15;R. c.Ricordiamo il valore attuale di una rendita posticipata in regime di sconto

commerciale è dato da:

A = nmr

µ1− d

mn+ 1

2m

¶

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 47

ed occorre trovare n. Dato che A = 25.2, d = 0.025, m = 1, r = 2:

25.2 = n ∗ 1 ∗ 2 ∗µ1− 0.025n ∗ 2 + 1

2 ∗ 2¶,

da cui si ottiene una equazione di secondo grado rispetto a n :

25. 2 = 1. 987 5n− 0.025n2

La soluzione è n = 15. 832, per cui il numero di anni necessario è 16. La soluzionen = 63. 668 non è invece accettabile perchè implicherebbe un fattore di scontonegativo (1− 0.025 ∗ 63. 668 = −0.591 7) .DOMANDA 126

Un progetto è caratterizzato da un V AN pari a 1000. Per attivarlo si ricorre alfinanziamento i cui flussi sono sotto indicati.

tempo (anni) 0 1 2flussi 50 -30 -30

Se il decisore ha un costo opportunità pari al 10% allora l’APV dell’interoprogetto è:R:997. 93

APV = 1000 + 50− 30

(1.1)1− 30

1.12= 997. 93

:

DOMANDA 127Si vuole incassare oggi 100 da un cliente che, relativamente ad un suo acquistopresso di noi, intende pagare con una cambiale a 90 giorni (anno commerciale).Se la nostra banca ci pratica un tasso di sconto commerciale del 10% (annuo)quale deve essere l’importo della fattura?R:102. 56

x =100

1− 0.1 ∗ 90360

DOMANDA 128In regime di interesse composto con un tasso di interesse j12 = 6%, il montantefra 2 anni di una rendita avente rata mensile posticipata di 10 e durata 1 anno,ammonta a:R: 130. 96

M = 10

µ1 +

0.06

12

¶24a 0.06

12 |12

= 10 ∗µ1 +

0.06

12

¶24 1− ¡1 + 0.0612

¢−120.0612

= 130. 96

M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria 48

DOMANDA 129In un piano di ammortamento italiano di un debito di ammontare 20000, du-rata 5 anni, pagamenti semestrali posticipati e tasso j2 = 8% l’importo dellapenultima rata, è:R: 2160

DOMANDA 130

Un finanziamento è caratterizzato dai seguenti flussi:tempo (anni) 0 1 2

flussi 1000 -650 -650. Inoltre, le rate di rimborso sono caricate di spese fisse di 10 e al momento delfinanziamento si hanno anche spese di istruzione pratica di 50. Il TAEG delfinanziamento risulta:R. 0.250 36Si deve risolvere:

1000− 50− 650 + 10(1 + x)

− 650 + 10(1 + x)

2 = 0

la cui soluzione accettabile è x = 195

√7359− 62

95 =0.250 36

DOMANDA 131Si intende attivare un progetto che richiede un investimento iniziale di 1000ricorrendo a capitale di debito. Si considerano le seguenti alternative:

a b c d%mezzi propri 100 80 60 50ROE 20% 21,25% 23,33% 25%

.

Dato un costo opportunità del capitale proprio pari a i = 10% e dato che il TIRdel progetto è pari al 20%, allora la scelta ottima è:R:La valutazione deve tenere conto che ciò che non è impiegato nel progetto

ottiene una remunerazione data dal costo opportunità del capitale proprio. Siha quindi:

Risultato finalea 100(1 + 0.2) = : 120.0b 80(1 + 0.2125) + 10 (1.2) = : 109.0c 60(1 + 0.2333) + 30 (1.2) = : 110. 00d 50(1 + 0.25) + 40 (1.2) = : 110. 5

e dunque la scelta migliore risulta essere la a).