Ściskanie osiowe – przykład (jednoosiowy stan naprężeń)
Obliczyć naprężenia w słupie ściskanym osiowo, uwzględnić ciężar własny słupa.
Siła podłużna w górnej części słupa – odcinek AC
NAC=NPAC(x )+NG
AC (x)=−P−A1 x1γ =−P−a12 x1γ
x1= 0 → NAC=− P
x1=L1 → NAC=−P−a12L1γ
Siła podłużna w dolnej części słupa – odcinek CB
NCB=NAC+NGCB (x )=−P−A1 L1γ −A2 x2γ =−P−a1
2 L1γ −a22 x2γ
x2=0 → NCB=−P−a12 L1γ
x2=L1 → NCB=−P−a12L1γ −a2
2L2γ
Zakładając
a2= 1,5a1 , L1= 0,6 L , L2= 0,4 L
NAC=−P−0,6 a12Lγ
NCB=−P−1,5a12 Lγ
Naprężenia normalne w słupie
Naprężenia w górnej części słupa
σAC=NAC
A1
=−P−A1 x1γ
A1
=− PA1
−x1γ
x1= 0 → σAC=− PA1
x1=L1 → σAC=− P
A1
−L1γ =−PA1
−0,6 Lγ
Naprężenia w dolnej części słupa
σCB=NCB
A2
=−P−A1L1γ −A2 x2γ
A2
=−P−A1 L1γ
A2
−x2γ
x2=0 → σCB=−P−A1L1γ
A2
=
=−0,445Pa1
2−0,267 Lγ `
x2=L2 → σCB=−P−A1L1γ
A2
−L2γ =
=−0,445Pa1
2−0,667 Lγ
PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ
Stan równowagi na kierunku X' ∑ X '= 0
− σ x⋅ cosα⋅ Aα⋅ sinα+ σ y⋅ sinα⋅ Aα⋅ cosα−τ yx⋅ cosα⋅ Aα⋅ cosα+ τ xy⋅ sinα⋅ Aα⋅ sinα− τα⋅ Aα= 0
τ α=σ x− σ y2⋅ sin2α+ τ xy⋅ cos2α
Stan równowagi na kierunku Y' ∑ Y '=0
− σ y⋅ cosα⋅ Aα⋅ cosα− σ x⋅ sinα⋅ Aα⋅ sinα−τ yx⋅ sinα⋅ Aα⋅ cosα− τ xy⋅ cosα⋅ Aα⋅ sinα+ σ α⋅ Aα= 0
σ α=σ x+ σ y2+σ x− σ y2⋅ cos2α− τ xy⋅ sin2α dla α
σα+ π2
=σ x+ σ y2−σ x− σ y2⋅ cos2α+ τ xy⋅ sin2α dla α+ π
2
Zadanie 1. Wyznaczyć naprężenia w przekroju α.
Dane: σ x=−80MPa , σ y=100MPa , τ xy=80MPa , α=450
Szukane: σ α , σα+π2
, τ α
σ α=σ x+σ y2+σ x−σ y2⋅cos 2α−τ xy⋅sin 2α
σ α=−80+100
2+−80−100
2⋅cos(2⋅45)−80⋅sin (2⋅45)=−70MPa
σα+π2
=σ x+σ y2−σ x−σ y2⋅cos2α+ τ xy⋅sin 2α
σα+π2
=−80+1002
−−80−1002
⋅cos (2⋅45)+80⋅sin (2⋅45)=90MPa
τ α=σ x−σ y2⋅sin 2α+τ xy⋅cos 2α
τ α=−80−100
2⋅sin (2⋅45)+80⋅cos(2⋅45)=−90MPa
Zadanie 2. Wyznaczyć naprężenia w przekroju α.
Dane: σ x=0 MPa , σ y=−20 MPa , τ xy=100MPa , α=−150
Szukane: σ α , σα+π2
, τ α
σ α=σ x+σ y2+σ x−σ y2⋅cos 2α−τ xy⋅sin 2α
σ α=0−202+0+20
2⋅cos(2⋅−15)−100⋅sin (2⋅−15)=48,7MPa
σα+π2
=σ x+σ y2−σ x−σ y2⋅cos2α+ τ xy⋅sin 2α
σα+π2
= 0−202− 0+20
2⋅cos (2⋅−15)+100⋅sin (2⋅−15)=−68,7MPa
τ α=σ x−σ y2⋅sin 2α+τ xy⋅cos 2α
τ α=0+202⋅sin (2⋅−15)+100⋅cos (2⋅−15)=76,6MPa
Naprężenia główne (ekstremalne)
Ekstremalne naprężenia normalne występują w przekroju, gdzie τα=0
τ α=σ x−σ y2⋅sin 2α+ τ xy⋅cos 2α=0
stąd tg 2α=−2⋅τ xyσ x−σ y
, → α
i są równe σ 1,2=σ x+σ y2± 12⋅√(σ x−σ y )2+4⋅τ xy2
Zadanie 1. Wyznaczyć kierunek i wielkość naprężeń głównych.
Dane: σ x=80MPa , σ y=−40MPa , τ xy=−60MPa
Szukane: σ 1 , σ 2
tg 2α=−2⋅τ xyσ x−σ y
tg 2α= −2⋅(−60)80−(−40)
=1 stąd α=22,50
σ α=σ x+σ y2+σ x−σ y2⋅cos (2 α )− τ xy⋅sin (2α )
σ α=80−402+ 80+40
2⋅cos (45)+60⋅sin (45)=104,6 MPa
σα+ π2
=σ x+σ y2−σ x−σ y2⋅cos (2α )+ τ xy⋅sin (2 α)
σα+ π2
= 80−402− 80+40
2⋅cos (45)−60⋅sin (45)=−64,6 MPa
Na podstawie wzorów na naprężenia główne
σ 1,2=σ x+σ y2± 12⋅√(σ x−σ y )2+4⋅τ xy2
σ 1,2=80−402± 12⋅√(80−(−40))2+4⋅(−60 )2
σ 1=104,6MPa
σ 2=−64,6MPa
Top Related