Ściskanie osiowe – przykład (jednoosiowy stan naprężeń)

Obliczyć naprężenia w słupie ściskanym osiowo, uwzględnić ciężar własny słupa.

Siła podłużna w górnej części słupa – odcinek AC

NAC=NPAC(x )+NG

AC (x)=−P−A1 x1γ =−P−a12 x1γ

x1= 0 → NAC=− P

x1=L1 → NAC=−P−a12L1γ

Siła podłużna w dolnej części słupa – odcinek CB

NCB=NAC+NGCB (x )=−P−A1 L1γ −A2 x2γ =−P−a1

2 L1γ −a22 x2γ

x2=0 → NCB=−P−a12 L1γ

x2=L1 → NCB=−P−a12L1γ −a2

2L2γ

Zakładając

a2= 1,5a1 , L1= 0,6 L , L2= 0,4 L

NAC=−P−0,6 a12Lγ

NCB=−P−1,5a12 Lγ

Naprężenia normalne w słupie

Naprężenia w górnej części słupa

σAC=NAC

A1

=−P−A1 x1γ

A1

=− PA1

−x1γ

x1= 0 → σAC=− PA1

x1=L1 → σAC=− P

A1

−L1γ =−PA1

−0,6 Lγ

Naprężenia w dolnej części słupa

σCB=NCB

A2

=−P−A1L1γ −A2 x2γ

A2

=−P−A1 L1γ

A2

−x2γ

x2=0 → σCB=−P−A1L1γ

A2

=

=−0,445Pa1

2−0,267 Lγ `

x2=L2 → σCB=−P−A1L1γ

A2

−L2γ =

=−0,445Pa1

2−0,667 Lγ

PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ

Stan równowagi na kierunku X' ∑ X '= 0

− σ x⋅ cosα⋅ Aα⋅ sinα+ σ y⋅ sinα⋅ Aα⋅ cosα−τ yx⋅ cosα⋅ Aα⋅ cosα+ τ xy⋅ sinα⋅ Aα⋅ sinα− τα⋅ Aα= 0

τ α=σ x− σ y2⋅ sin2α+ τ xy⋅ cos2α

Stan równowagi na kierunku Y' ∑ Y '=0

− σ y⋅ cosα⋅ Aα⋅ cosα− σ x⋅ sinα⋅ Aα⋅ sinα−τ yx⋅ sinα⋅ Aα⋅ cosα− τ xy⋅ cosα⋅ Aα⋅ sinα+ σ α⋅ Aα= 0

σ α=σ x+ σ y2+σ x− σ y2⋅ cos2α− τ xy⋅ sin2α dla α

σα+ π2

=σ x+ σ y2−σ x− σ y2⋅ cos2α+ τ xy⋅ sin2α dla α+ π

2

Zadanie 1. Wyznaczyć naprężenia w przekroju α.

Dane: σ x=−80MPa , σ y=100MPa , τ xy=80MPa , α=450

Szukane: σ α , σα+π2

, τ α

σ α=σ x+σ y2+σ x−σ y2⋅cos 2α−τ xy⋅sin 2α

σ α=−80+100

2+−80−100

2⋅cos(2⋅45)−80⋅sin (2⋅45)=−70MPa

σα+π2

=σ x+σ y2−σ x−σ y2⋅cos2α+ τ xy⋅sin 2α

σα+π2

=−80+1002

−−80−1002

⋅cos (2⋅45)+80⋅sin (2⋅45)=90MPa

τ α=σ x−σ y2⋅sin 2α+τ xy⋅cos 2α

τ α=−80−100

2⋅sin (2⋅45)+80⋅cos(2⋅45)=−90MPa

Zadanie 2. Wyznaczyć naprężenia w przekroju α.

Dane: σ x=0 MPa , σ y=−20 MPa , τ xy=100MPa , α=−150

Szukane: σ α , σα+π2

, τ α

σ α=σ x+σ y2+σ x−σ y2⋅cos 2α−τ xy⋅sin 2α

σ α=0−202+0+20

2⋅cos(2⋅−15)−100⋅sin (2⋅−15)=48,7MPa

σα+π2

=σ x+σ y2−σ x−σ y2⋅cos2α+ τ xy⋅sin 2α

σα+π2

= 0−202− 0+20

2⋅cos (2⋅−15)+100⋅sin (2⋅−15)=−68,7MPa

τ α=σ x−σ y2⋅sin 2α+τ xy⋅cos 2α

τ α=0+202⋅sin (2⋅−15)+100⋅cos (2⋅−15)=76,6MPa

Naprężenia główne (ekstremalne)

Ekstremalne naprężenia normalne występują w przekroju, gdzie τα=0

τ α=σ x−σ y2⋅sin 2α+ τ xy⋅cos 2α=0

stąd tg 2α=−2⋅τ xyσ x−σ y

, → α

i są równe σ 1,2=σ x+σ y2± 12⋅√(σ x−σ y )2+4⋅τ xy2

Zadanie 1. Wyznaczyć kierunek i wielkość naprężeń głównych.

Dane: σ x=80MPa , σ y=−40MPa , τ xy=−60MPa

Szukane: σ 1 , σ 2

tg 2α=−2⋅τ xyσ x−σ y

tg 2α= −2⋅(−60)80−(−40)

=1 stąd α=22,50

σ α=σ x+σ y2+σ x−σ y2⋅cos (2 α )− τ xy⋅sin (2α )

σ α=80−402+ 80+40

2⋅cos (45)+60⋅sin (45)=104,6 MPa

σα+ π2

=σ x+σ y2−σ x−σ y2⋅cos (2α )+ τ xy⋅sin (2 α)

σα+ π2

= 80−402− 80+40

2⋅cos (45)−60⋅sin (45)=−64,6 MPa

Na podstawie wzorów na naprężenia główne

σ 1,2=σ x+σ y2± 12⋅√(σ x−σ y )2+4⋅τ xy2

σ 1,2=80−402± 12⋅√(80−(−40))2+4⋅(−60 )2

σ 1=104,6MPa

σ 2=−64,6MPa