PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 75 N y Q= 125 N, determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante empleando: a) La ley del paralelogramo.b) La regla del triángulo.
Solución:
a) La ley del paralelogramo.
A
α70° 55°
75 N125 N
R
Ley de Coseno:
R2=P2+Q2−2PQCos125 °
R2=752+1252−2(75)(125)cos125 °
R=179N
A
R
P
Q
125°
20+α
b) La regla del triángulo.
A
75 N
R
20°+α
35°
125 N
R = 179 N
75.11°
X
Y
α
Ley de Seno:
RSen125 °
= QSen(20+α)
179Sen125 °
= 125Sen(20+α)
179∗Sen (20+α )=125∗Sen125
Sen (20+α )=125∗Sen125179
Sen (20+α )=0.572
20+α=34.89 °
α=14.89 °
Dirección = 90° – 14.89° = 75.11°
2. Dos fuerzas P Y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si se sabe que P = 60 lb y Q = 25 lb, determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante mediante:a) La ley del paralelogramo.b) La regla del triángulo.
Solución:
a) La ley del paralelogramo.
20°
70°
55°35°20°
70°
α
125°P⃗=60
Y
R⃗
X
Q⃗=25
R⃗
Q⃗
Ley de Coseno:
R2=P2+Q2−2PQCos125 °
R2=602+252−2(60)(25)cos125 °
R=77.1Lb
b) La regla del triángulo.
3. Los tirantes de cable AB y AD ayudan a sostener al poste AC. Si se sabe que la tensión es de 120 Lb en AB y 40 Lb en AD, determinar gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A mediante:a) La ley del paralelogramo.b) La regla del triángulo.
Solución:
a) La ley del paralelogramo.
125°
P⃗=60Lb
α
R⃗
Q⃗=25Lb
Ley de Seno:
RSen125 °
= QSen(α)
77.1Sen125 °
= 25Sen(α)
77.1∗Sen (α )=25∗Sen125 °
Sen (α )=25∗Sen125 °77.1
Sen (α )=0.27
α=15.4 °
Dirección = 70° + 15.4° = 85.4°
b) La regla del triángulo.
α = 51.3°
δ
β = 59.0°
40 Lb
120 Lb
R⃗
A
α=tan (α )
α=108
=54
α=tan−1(5 /4)
α=51.3°
β=tan (β )
β=106
=53
β=tan−1(5 /3)
β=59.0 °
α+β=51.3+59.0=110.4
Ley de Coseno:
R2=(AD)2+(AB)2−2(AD)(AB)cos (110.4 °)
R2=402+1202−2 (40 ) (120 )cos (110.4 °)
R=139.1Lb
Ley de Seno:
RSen110.4 °
= ADSen(θ)
139.1Sen110.4 °
= 40Sen(θ)
139.1∗Sen (θ )=40∗Sen110.4 °
Sen (θ )=40∗Sen110.4 °139.1
Sen (θ )=0.27
θ=15.6 °
Dirección = α + θ
Dirección = 51.3° + 15.6° = 66.9°≈ 67°
α = 51.3°
δ
59.0°
120 Lb
R⃗
40 Lb
θ
A
4. Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga AB que se muestra en la figura. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de su resultante mediante:a) La ley del paralelogramo.b) La regla del triángulo.
Solución:
a) La ley del paralelogramo.
Ley de Coseno:
R2=(P)2+(Q)2−2(P)(Q)cos (80 ° )
R2=22+32−2 (2 ) (3 ) cos (80 °)
R=3.30KN
R⃗
3 kN
α
B
50° 30°
2 kN
b) La regla del triángulo.
Ley de Seno:
RSen80 °
= QSen(40+α)
3.30Sen80 °
= 3Sen(40+α)
3.30∗Sen (40+α )=3∗Sen80 °
Sen (40+α )=3∗Sen80 °3.30
Sen (40+α )=0.9
40+α=63.54 °
α=23.54 °
Dirección :90 °−α=90 °−23.54 °=66.46 °
R⃗
3 kNα
B
30°
2 kN
40°
5. Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría:a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el
gancho debe ser horizontal.b) La magnitud correspondiente de R.
Solución:
a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal.
P = 35 N50 N
β
α
R⃗
25°
Senα50N
=Sen25 °35N
Senα∗35N=50N∗Sen25 °
Senα=50N35N
∗Sen25 °
Senα=0.6037
α=37.14 °
b) La magnitud correspondiente de R.
6. Un carrito que se mueve a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestra en la figura.a) Si se sabe que α = 25°, determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P
tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical.b) ¿Cuál es la magnitud correspondiente de la resultante?
Solución:
a) Si se sabe que α = 25°, determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la fuerza resultante ejercida sobre el carrito sea vertical.
P = 35 N50 N
Β = 117.86°
α = 37.14°
R⃗
25°
R2=(N )2+(P)2−2(N )(P)cos (117.86° )
R2=502+352−2 (50 ) (35 )cos (117.86° )
R=73.2N
b) ¿Cuál es la magnitud correspondiente de la resultante?
7. Un carrito que se mueve a lo largo de una viga horizontal está sometido a dos fuerzas, como se muestra en la figura. Determine por trigonometría la magnitud de la fuerza P tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N.
15°
1600
α = 25°
P
1600Sen65
= PSen75
P= Sen75∗1600Sen65
P=1705.25
RSen 40
= 1600Sen65
R=1600∗Sen 40Sen65
R=1134.8
8. Un tanque de acero es colocado dentro de una excavación. Si se sabe que α = 20°, determine por trigonometría:a) La magnitud requerida de la fuerza P, si la resultante de R de las dos fuerzas
aplicadas en A debe ser vertical.b) La magnitud correspondiente de R.
15°
1600
α = 25°
P
R = 2500
RSen140
= PSen65
2500Sen140
= PSen65
P=2500∗Sen65Sen140
P=3524.9
a) La magnitud requerida de la fuerza P, si la resultante de R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser vertical.
b) La magnitud correspondiente de R.
P
425 Lb
P
30°
A
α = 20°
425 Lb
30°
α = 20°
425Sen70
= PSen60
P∗Sen70=425∗Sen60
P=425∗Sen60Sen70
P=3 91.68
RSen50
= 425Sen70
R=425∗Sen50Sen70
R=346.46
9. Un tanque de acero es colocado dentro de una excavación. Si se sabe que la magnitud de P es de 500 Lb, determine por trigonometría:a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe
ser verbal.b) La magnitud correspondiente de R.
a) El ángulo α requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe ser verbal.
425 Lb
30°
A
α
500 Lb
P = 500425
Β
α
R⃗
30°
b) La magnitud correspondiente de R.
10. Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 15KN y en el elemento B es de 10 KN, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.
Senα425
=Sen30 °500
Senα∗500=425∗Sen30 °
Senα=425500
∗Sen30°
Senα=0.425
α=25.15 °
P = 500425
Β = 124.85°
α = 25.15°
R⃗
30°
R2=(Q)2+(P)2−2(Q)(P)cos (124.85° )
R2=4252+5002−2 (425 ) (500 )cos (124.85 °)
R=820.66
11. Dos elementos estructurales A y B están remachados al apoyo mostrado en la figura. Si se sabe que ambos elementos están en compresión y que la fuerza en el elemento A es de 10KN y en el elemento B es de 15 KN, determine por trigonometría la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas aplicadas al apoyo por los elementos A y B.
15
β
70
50
120°
10
50°
R2=152+102−2 (15 ) (10 )cos (120 °)
R=21.8KN
21.8Sen120
= 15Senα
21.8∗Sen α=15∗Sen120
Senα=15∗Sen12021.8
Senα=0.596
α = 35.6°Β = 180 – 50 – 35.6 = 94.6°
10
β
70
50
120°
15
50°
R2=102+152−2 (10 ) (15 ) cos (120 °)
R=21.8KN
21.8Sen120
= 10Sen α
21.8∗Sen α=10∗Sen120
Senα=10∗Sen12021.8
Senα=0.397
α = 23.4°
Β = 180 – 50 – 23.4 = 106.59°
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