Probabilidade – Matemática II

Prof. Jomoaldo – 3º EM

Experimento aleatório

Todo experimento aleatório - os

fenômenos casuais onde as experiências são

repetidas inúmeras vezes sob condições iguais, mas

não apresentam os mesmos resultados - constitui o

conjunto formado por todos os resultados possíveis.

Esse conjunto é denominado de espaço amostral

(Ω)ou (U), e qualquer subconjunto dele é chamado de

evento (E). Portanto, temos que o espaço amostral

constitui todos os resultados possíveis e o evento, os

casos favoráveis. Vamos abordar alguns exemplos

que exploram de forma geral essas definições.

Exemplo 1:

No lançamento simultâneo de dois dados, um branco

e um preto, há um espaço amostral gerado. Vamos

determinar todos os possíveis resultados deste

lançamento.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

O resultado possível no lançamento simultâneo de

dois dados resulta em 36.

Com base nesse espaço amostral, podemos

determinar qualquer evento pertencente ao conjunto

dos possíveis resultados.

Evento A – faces iguais

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Evento B – soma maior que 10

B = {(5,6), (6,5), (6,6)}

Evento C – sair soma 6

C = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}

Evento D – soma 7

D = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}

Evento E – soma menor que 5

E = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2)}

Exemplo 2:

Uma urna contém uma bola verde e três brancas.

Defina o espaço amostral do experimento “retirar

uma bola ao acaso” e os eventos: retirar bola verde e

retirar bola branca.

Possíveis resultados (espaço amostral): {verde, branca

1, branca 2, branca 3}, constituído de 4 elementos.

Evento retirar bola verde: {verde}, possui 1 elemento.

Evento retirar bola branca: {branca 1, branca 2, branca

3}, possui 3 elementos.

Exemplo 3:

Numa caixa existem fichas numeradas de 1 a 10.

Defina o espaço amostral do experimento “retirar

fichas ao acaso” e defina os eventos: ocorrência de

número ímpar, ocorrência de número primo e

ocorrência de número maior que 4.

Possíveis resultados (espaço amostral):

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Evento ocorrência de número ímpar:

{1, 3, 5, 7, 9}

Evento ocorrência de número primo:

{2, 3, 5, 7}

Evento ocorrência de número maior que 4: {5, 6, 7, 8,

9, 10}

Conceito elementar de Probabilidade

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e E

um determinado evento ou seja, um subconjunto de

U. A probabilidade p(E) de ocorrência do evento E será

calculada pela fórmula

p(E) = n(E) / n(U)

onde:

n(E) = número de elementos de E e n(U) = número de

elementos do espaço amostral U.

Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver

os seguintes exercícios introdutórios:

1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a

probabilidade de:

a) sair o número 3:

Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e E = {3} [n(E) = 1].

Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A)

= 1/6.

b) sair um número par: agora o evento é E = {2, 4, 6}

com 3 elementos; logo a probabilidade procurada

será p(E) = 3/6 = 1/2.

c) sair um múltiplo de 3: agora o evento E = {3, 6} com

2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(E)

= 2/6 = 1/3.

d) sair um número menor do que 3: agora, o evento E

= {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(E) = 2/6 = 1/3.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento AE= {1,4}

com dois elementos. Portanto, p(E) = 2/6 = 1/3.

2. Considere o lançamento de dois dados. Calcule a

probabilidade de:

a) sair a soma 8

Observe que neste caso, o espaço amostral U é

constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i =

número no dado 1 e j = número no dado 2.

É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis

do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo

ocorrendo com j.

As somas iguais a 8, ocorrerão nos

casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento

"soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a

probabilidade procurada será igual a p(E) = 5/36.

b) sair a soma 12

Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6).

Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(E) =

1/36.

Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4

bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição,

calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

p(E) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(E) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

p(E) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades

podem ser expressas como porcentagem. Esta forma

é conveniente, pois permite a estimativa do número

de ocorrências para um número elevado de

experimentos. Por exemplo, se o experimento acima

for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em

aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50%

dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá

bola amarela. Quanto maior a quantidade de

experimentos, tanto mais a distribuição do número de

ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.

Propriedades da probabilidade de um evento

P1: A probabilidade do evento impossível é nula.Com

efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø),

teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,

a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento

impossível, neste caso) é nula.

P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas

vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola

vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer é um

número real situado no intervalo real [0, 1].

Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2

acima.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu

evento complementar é igual a unidade.Seja o

evento A e o seu complementar A'. Sabemos

que A U A' = U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante

pois facilita a solução de muitos problemas

aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais

fácil calcular a probabilidade do evento complementar

e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a

probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A B)Observe que se A

B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é

o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a

definição de probabilidade, concluímos rapidamente a

veracidade da fórmula acima.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P.

Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J,

4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de

ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de

que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de

ambos os jornais?

SOLUÇÃO:

Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto

universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:

n(U) = n(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.

n(U) = n(J) + n(P) – n(J P) + 800

n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada será igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte:

escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade,

a probabilidade de que ela seja assinante de ambos

os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de

probabilidade de não ser).

Probabilidade condicional - conceito e exemplos

A probabilidade condicional trata da probabilidade

de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B,

ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada

sobre o evento B e não em função o espaço

amostral S.

A probabilidade de ocorrência de um evento A em

relação a um evento ocorrido B é expressa como:

Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula:

Sabemos que , a probabilidade da

intersecção, é a razão do seu número de elementos,

para o número de elementos do espaço amostral:

A probabilidade de B também é a razão do seu número

de elementos, para o número de elementos do espaço

amostral:

Os substituindo na fórmula original temos:

Para uma melhor compreensão da teoria, vejamos os

exemplos a seguir.

Exemplo 1:

Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,

registrou que 650 deles trabalham com cartões de

crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham

com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200

trabalham com cartões de crédito de ambas as

bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos

deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,

ser também um dos consumidores que utilizam

cartões de crédito da bandeira MasterCard?

Observe a figura abaixo e a compare com as

informações do enunciado. Fazer isto poderá lhe

ajudar na resolução de outros problemas:

De onde tiramos que:

A probabilidade procurada é dada pela fórmula:

Como supracitado a probabilidade da intersecção é a

razão do seu número de elementos, para o número de

elementos do espaço amostral, então a fórmula acima

pode ser reduzida a:

O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras,

ou seja, a quantidade de elementos da intersecção é

igual a 200, já o número de consumidores que utilizam

ao menos a bandeira VISA é 550, portanto:

Portanto:

A probabilidade de escolhida uma pessoa que utiliza a

bandeira VISA, ser também um usuário da bandeira

MASTERCARD é 4/11.

Acima tratamos da probabilidade da ocorrência de um

evento A tendo ocorrido um evento B.

Exemplo 2:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas

brancas.

Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola

retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma

bola branca (B).

Solução:

p(V B) = p(V) . p(B/V)

p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).

Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada,

ficaram 6 bolas na urna. Logo:

p(B/V) = 2/6 = 1/3

Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente

que:

P(V Ç B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola

retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola

branca.

Solução:

Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos

ficam independentes. Neste caso, a probabilidade

buscada poderá ser calculada como:

P(V B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 =

20,41%

Observe atentamente a diferença entre as soluções

dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento

perfeito daquilo que procuramos transmitir.

Exemplo 3:

Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores

sobre a preferência da marca de sabão em pó,

verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500

utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi

sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que

ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa

pessoa ser também usuária da marca Y?

Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.

A: Usuário da marca Y.

B: Usuário da marca X.

Queremos determinar P(A|B) e sabemos que o

número de elementos do espaço amostral é n(S) =

10000.

Temos, também, que:

n(A∩B) = 2000

Segue que:

Mas

Da teoria de conjunto, temos que:

n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500

Assim, teremos:

Logo,

Questões resolvidas de vestibulares sobre

probabilidade

1) Três estudantes A, B e C estão em uma competição

de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer

e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer

do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C

vencer.

Solução:

Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais

de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado,

temos:

p(A) = p(B) = 2.p(C).

Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) +

p(B) + p(C) = 1.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de .A

vencer ou B vencer ou C vencer é igual a (evento

certo).

Assim, substituindo, vem:

k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5. Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) =

2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.

A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas

probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5.

2) Um cartão é retirado aleatoriamente de um

conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50.

Determine a probabilidade do cartão retirado ser de

um número primo.

Solução:

Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números

primos.

Temos, portanto, 15 chances de escolher um número

primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a

probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

3) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a

mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e

5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao

acaso alguém escolher uma destas travessas e

também ao acaso pegar um dos salgados, qual a

probabilidade de se ter pegado um pastel?

Solução:

A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas

é igual 1/2. A probabilidade de escolhermos um pastel

na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a

probabilidade de escolhermos a primeira travessa

é 1/2, temos:

A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda

travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de

escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:

Então a probabilidade de escolhermos um pastel é

igual a:

A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.

4) O jogo de dominó é composto de peças retangulares

formadas pela junção de dois quadrados. Em cada

quadrado há a indicação de um número, representado

por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de

nenhuma a seis. O número total de combinações

possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça

qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos

um 3 ou 4 na sua face?

Solução:

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:

A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:

B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos,

logo .

Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção,

temos:

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada

vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de

dois eventos:

Repare que 13 é o número total de peças que

possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que

se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).

A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4

na sua face é 13/28.

5) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500

alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de

espanhol e 200 cursam ambos os cursos.

Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual

a probabilidade dele também estar cursando o curso

de espanhol?

Solução:

Chamemos de A o evento que representa o curso de

espanhol e B o evento que representa o curso de

inglês.

Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo

ocorrido B através da fórmula:

Segundo o

enunciado e ,

então:

Note que no caso da probabilidade condicional, ao

invés de calcularmos a probabilidade em função do

número de elementos do espaço amostral, a

calculamos em função do número de elementos do

evento que já ocorreu.

A probabilidade do aluno também estar cursando o

curso de espanhol é 2/5.

6) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7

fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a

probabilidade dela ser verde ou amarela?

Solução:

Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de

dois eventos pode ser calculada através da

fórmula

e

no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não

haver elementos em comum aos dois eventos,

podemos simplesmente

utilizar .

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a

quantidade 14. Esta quantidade é o número total de

elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter

ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a

ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não

há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não

há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso

então podemos utilizar a fórmula:

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da

probabilidade de cada um dos eventos.

O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos

e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o

número total de fichas, então a probabilidade do

evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha

amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14:

Observe que poderíamos ter simplificado as

probabilidades, quando então 7/14 passaria

a 1/2 e 2/

14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para

somarmos as duas probabilidades precisamos que elas

tenham um denominador comum:

Este exercício foi resolvido através da fórmula

da probabilidade da união de dois eventos para que

você tivesse um exemplo da utilização da mesma e

pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você

prestar atenção ao enunciado, poderá ver que

poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que

em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida.

Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha

azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a probabilidade

de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:

O 1 que aparece na expressão acima se refere à

probabilidade do espaço amostral.

Note que utilizamos o conceito de evento

complementar, pois se não tivermos uma ficha azul,

só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha

amarela, pois não há outra opção.

A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.

7) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a

15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta

bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Solução:

Vamos representar por E3 o evento da ocorrência das

bolas divisíveis por 3:

E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 }

E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das

bolas divisíveis por 4:

E4 = { 4, 8, 12 }

O espaço amostral é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:

Como estamos interessados em uma ocorrência ou em

outra, devemos somar as probabilidades, mas como

explicado no tópico união de dois eventos, devemos

subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais

eventos não são mutuamente exclusivos. Como

podemos ver, o número 12 está contido tanto

em E3 quanto em E4, ou seja:

A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou

divisível por 4 é 7/15.

8) Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são

cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as

caras. Determine a probabilidade de num lançamento

sair coroa.

Solução:

5/6 = 83,33%

9) Num clube desportivo 30 meninos praticam futebol.

Doze treinam para o ataque, quinze para a defesa e

cinco para goleiro.

Qual é a probabilidade de escolhendo um desportista

ao acaso ele treinar para a defesa e o ataque?

Solução:

Para ajudar vamos fazer um esquema:

30 - 5 = 25 ......

Não treinam para goleiro.

12 + 15 = 27 ... Treinam para defesa ou ataque.

27 - 25 = 2 ...... Treinam para defesa e

ataque.Casos favoráveis: 2

Casos possíveis: 30

Logo, P = 2/30 = 1/15

10) Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que

contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis.

Determine a probabilidade de a bola extraída ser:

(a) vermelha;

Temos que,

(b) vermelha ou branca;

Temos que,

11) No lançamento de dois dados, calcule a

probabilidade de se obter soma igual a 5.

Solução:

Casos possíveis: 36

Casos favoráveis: (1+4, 2+3, 3+2, 4+1) 4

Probabilidade: 4/36

12) (CESGRANRIO/PETROBRAS/ENGENHEIRO DE

PRODUÇÃO JR/2011/FEVEREIRO)

Um estudo sobre fidelidade do consumidor à

operadora de telefonia móvel, em uma determinada

localidade, mostrou as seguintes probabilidades sobre

o hábito de mudança:

A probabilidade de o 1º telefone de um indivíduo ser

da operadora A é 0,60; a probabilidade de o 1o

telefone ser da operadora B é de 0,30; e a de ser da

operadora C é 0,10. Dado que o 2o telefone de um

cliente é da operadora A, a probabilidade de o 1o

também ter sido é de

(A) 0,75

(B) 0,70

(C) 0,50

(D) 0,45

(E) 0,40

Solução:

Temos uma questão de probabilidade condicional que

pode ser identificada na pergunta: Dado que o 2o

telefone de um cliente é da operadora A, a

probabilidade de o 1o também ter sido é de.

O condicionamento reduz o espaço amostral.

Dados do enunciado:

P(1°A) = 0,6

P(1°B) = 0,3

P(1°C) = 0,1

Então usando a fórmula de probabilidade condicional

de Bayes:

P(1°A/2°A) = [P(1°A) x P(2°A/1°A)] / [P(1°A) x P(2°A/1°A)

+ P(1°B) x P(2°A/1°B) + P(1°C) x P(2°A/1°C)]

P(1°A/2°A) = [0,6 x 0,5] / [0,6 x 0,5 + 0,3 x 0,2 + 0,1 x 0,4]

= 0,75

Gabarito letra A

13) Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta

até obter duas caras consecutivas ou duas coroas

consecutivas. Na primeira situação, ao obter duas caras

consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter

duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A

probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o

sexto lance, é

(A) 7/16

(B) 31/64

(C) 1/2

(D) 1/32

(E) 1/64

Solução:

Para resolver essa questão montamos um quadro:

Como está pedindo a probabilidade de vitória até o

sexto lance, o jogo pode terminar com vitória do 2° ao

6° lance.

A probabilidade será a soma de todas essas

probabilidades, pois o jogo pode terminar com vitória

no 2° ou 3° ou 4° ou 5° ou 6° lances.

= ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 31/64

Gabarito letra B

14) (CESGRANRIO/PETROBRAS/ENG DE

PRODUÇÃO/2005) Uma determinada fábrica produz

peças tipo A e B nas proporções 1/3 e 2/3,

respectivamente. A probabilidade de ocorrência da peça

defeituosa do tipo A é de 20% e do tipo B é 10%. Retirando-

se, ao acaso, uma peça produzida na fábrica, a

probabilidade de ela de ser defeituosa é de:

(A) 1/30

(B) 1/15

(C) 1/10

(D) 1/6

(E) 2/15

Solução:

Probabilidade de ser do tipo A = 1/3

Probabilidade de ser do tipo B = 2/3

Prob. Def. A = 0,2

Prob. Def. B = 0,1

A probabilidade da peça ser defeituosa é a

probabilidade da peça ser do tipo A Edefeituosa OU ser

do tipo B E defeituosa.

Sabe-se que E implica em multiplicação e OU implica

em adição.

Probabilidade da peça ser do tipo A E defeituosa =

(1/3)x(0,2) = 1/15

Probabilidade da peça ser do tipo B E defeituosa = (2/3)

x (0,1) = 1/15

Então, a probabilidade da peça ser defeituosa é (1/15)

+ (1/15) = 2/15

Gabarito letra E.

15) Um grupo de amigos contém 5 torcedores do São

Paulo, 4 torcedores do Flamengo, 2 torcedores do

Grêmio e 1 torcedor do Bahia. Calcule as

possibilidades:

a) Sortearmos um torcedor do Flamengo:

P = 4/12 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%

b) Sortearmos um torcedor do São Paulo ou do Bahia:

P = 6/12 = 1/2 = 0,5 ou 50%

c) Sortearmos os dois torcedores do Grêmio:

P = 2/12 x 1/11 = 1/66 = 0,01515 ou 1,5151%

d) Sortearmos dois torcedores do São Paulo:

P = 5/12 x 4/11 = 0,1515 = 15,15%

16) Um casal planeja ter 5 filhos. Qual a probabilidade

de nascerem 3 meninos e 2 meninas?

Solução:

Primeiramente, devemos observar que não importa a

ordem de nascimento, assim, temos 6 opções:

- 5 meninos

- 4 meninos e 1 menina

- 3 meninos e 2 meninas

- 2 meninos e 3 meninas

- 1 menino e 4 meninas

- 5 meninas

Logo, a probabilidade de nascerem 3 meninos e 2

meninas é:

P = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

17) (Fundação Carlos Chagas - Escriturário BB -

2011) Para disputar a final de um torneio internacional

de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-

americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2

brasileiros. Considerando que todos os atletas

classificados são ótimos e têm iguais condições de

receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a

probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja

entre os três primeiros colocados é igual a:

Dica: Quando aparecer na questão `pelo menos um`,

devemos encontrar a probabilidade de não acontecer

nenhum, ou seja, de não termos brasileiros no pódio,

e depois diminuirmos de 1.

Probabilidades:

De nenhum brasileiro ganhar ouro = 6/8 = 3/4

De nenhum brasileiro ganhar prata = 5/7

(desconsideramos a medalha de ouro)

De nenhum brasileiro ganhar bronze = 4/6 = 2/3

(desconsideramos as medalhas de ouro ou prata)

Então:

P (não termos brasileiros no pódio) = 3/4 x 5/7 x 2/3 =

5/14

P (termos pelo menos um brasileiro no pódio) = 1 -

5/14 = 14/14 - 5/14 = 9/14

18) (CESGRANRIO - BB 2012) Uma moeda não

tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois

resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade

de a moeda ser lançada exatamente três vezes?

(A) 1/8

(B) 1/4

(C) 1/3

(D) 1/2

(E) 3/4

Solução:

Primeira jogada: qualquer resultado serve

(probabilidade 1)

Segunda jogada: só serve o resultado que não

aconteceu da segunda vez (probabilidade ½)

Terceira jogada: só serve o mesmo resultado da

segunda jogada (probabilidade ½)

Logo: 1 x ½ x ½ = ¼

19) (Assessor Legislativo-PA) Um Shopping

Center possui dois sistemas automáticos de proteção

contra incêndios. A eficiência de cada sistema, segundo

o fabricante, é de 99%. Sabendo-se que os sistemas

funcionam de modo totalmente independente e que

ambos permanecem ligados 24 horas por dia, qual é a

probabilidade de que um incêndio seja detectado e

neutralizado?

A) 99,99%

B) 99,00%

C) 98,01%

D) 97,00%

E) 96,66%

Solução:

Nessa questão, devemos lembrar o conceito de

eventos ou sistemas independentes. Na figura abaixo,

imaginemos 3 eventos independentes. Nesse caso,

percebemos que a ocorrência de um não exclui a do

outro, e vice-versa. Em eventos independentes, há

ocorrência simultânea, sem problemas!

Na questão dada, a eficiência

individual de cada um dos sistemas de proteção contra

incêndios é de 99%. Ou seja, a chance de que cada um

venha a falhar é de 1% (100% – 99%). Ou o sistema

funciona, ou falha! Desse modo, a chance de que os

dois venham a falhar será de 1% x 1%. Uma chance

pequena, convenhamos. (1/100) x (1/100) = 1/10.000,

que fica em 0,0001. Multiplicamos esse valor por 100, e

teremos a forma percentual de que os dois sistemas

falhem: 0,01%. Somente nesse caso vai dar furo no

sistema de segurança do Shopping Center. Em

quaisquer outras circunstâncias, o sistema detectará

um possível incêndio. Então, para sabermos a

probabilidade de que um incêndio seja detectado e

neutralizado, basta fazermos 100% – 0,01% = 99,99%.

Somente 0,01% não pode ocorrer, o resto pode!. Letra

A.

21) (PETROBRAS-2012.1) Sabe-se por estudos

estatísticos que as probabilidades de haver num certo

almoxarifado os materiais A, B e C disponíveis para uso

são de, respectivamente, 80%, 80% e 90%.

Qual é a probabilidade de, num dado momento,

estar faltando pelo menos um desses materiais no

almoxarifado?

Solução:

Calcule a chance de terem todos, ou seja:

0,8 * 0,8 * 0,9 = 0,576 = 57,6% de terem os tres ao

mesmo tempo.

A chance de estar faltando pelo menos um, é o total

menos a chance de ter todos:

P(falta) = 100% - 57,6%

P(falta) = 42,4%

22) (UFSCar) Dois dados usuais e não viciados são

lançados. Sabe-se que os números observados são

ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles

seja 8 é:

a) 2/36

b) 1/6

c) 2/9

d) 1/4

e) 2/18

Solução:

No lançamento de dois dados temos que a soma

entre as faces ímpares em que o resultado seja 8 é

dado pelos pares (5, 3) e (3, 5). Somente 2 eventos dos

36 pertencentes ao espaço amostral satisfazem a

situação proposta. Portanto:

Temos que o item a fornece a resposta correta.

23) (FUVEST) Um dado cúbico, não viciado, com faces

numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada

lançamento, anota-se o número obtido na face

superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c).

Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou

que c seja sucessor de b?

a) 4/27

b) 11/54

c) 7/27

d) 10/27

e) 23/54

24) (FGV) Uma urna contém cinco bolas numeradas

com 1, 2, 3, 4 e 5. Sorteando-se ao acaso, e com

reposição, três bolas, os números obtidos são

representados por x, y e z . A probabilidade de que xy

+ z seja um número par é de

(A) 47/125

(B) 2/5

(C) 59/125

(D) 64/125

(E) 3/5

25) (PUCCAMP) Numa certa população são daltônicos

5% do total de homens e 0,05% do total de mulheres.

Sorteando-se ao acaso um casal dessa população, a

probabilidade de ambos serem daltônicos é

(A) 1/1.000.

(B) 1/10.000.

(C) 1/20.000.

(D) 1/30.000.

(E) 1/40.000.

26) (ESPM) Uma urna contém 1 bola branca, 1 bola

preta e 8 bolas verdes, distinguíveis apenas pela cor.

Essas bolas vão sendo retiradas uma a uma,

aleatoriamente e sem retorno, observando-se suas

cores. A probabilidade de que a cor branca seja a

primeira cor a se esgotar nessa urna é de:

a) 22/45.

b) 43/90.

c) 49/100.

d) 12/25.

e) 7/15.

27) (PUC-03) De sua turma de 30 alunos, é escolhida

uma comissão de 3 representantes. Qual a

probabilidade de você fazer parte da comissão?

A) 1/10

B) 1/12

C) 5/24

D) 1/3

E) 2/9

28) Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52

cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as

cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro.

Retirando, em seguida, uma carta do segundo

baralho, a probabilidade de se obter uma dama é:

A) 3/51

B) 5/53

C) 5/676

D) 1/13

E) 5/689

29) Três pessoas A, B e C vão participar de um

concurso num programa de televisão. O apresentador

faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um

sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em

cada sorteio as duas pessoas têm a mesma "chance"

de ganhar, qual é a probabilidade de A iniciar o

concurso?

A) 12,5%

B) 25%

C) 50%

D) 75%

E) 95%

30) (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores

marcarem um gol cobrando pênalti são,

respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um

único pênalti, a probabilidade de todos errarem é

igual a:

a) 3%

b) 5%c) 17%

d) 20%

e) 25%

31) (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa

loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a

1/1000, independentemente dos resultados

anteriores.

a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar

ao menos uma vez?

1 - (0,999)30

b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá

jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao

menos uma vez seja maior do que 0,3%?

o menor número inteiro n tal que n >

log0,9990,997.

32) Numa pesquisa sobre preferência entre dois

refrigerantes, Coca-Cola e guaraná, obtivemos o

seguinte resultado:

20 tomam guaraná

15 tomam Coca-Cola

08 tomam os dois

03 não tomam nenhum dos dois.

Sorteando-se uma pessoa ao acaso, calcule a

probabilidade de ela tomar guaraná ou Coca-Cola?

a) 5/6

b) 10/5

c) 10/6

d) 5/3

e) 5/12

33) Lançado simultaneamente dois dados, qual

a probabilidade de que a soma seja 7?

a) 32%

b) 16,66%

c) 32,22%

d) 8,88%

e) 28,88%