PN 1Einführung in die Experimentalphysik für

Chemiker und Biologen

Karin Beer, Paul Koza, Nadja Regner, Thorben Cordes, Peter Gilch

Lehrstuhl für BioMolekulare OptikDepartment für Physik

Ludwig-Maximilians-Universität München

22.12.2006

ErinnerungHarmonische Schwingung

T

mD

txtx

πω

ω

ϕω

2

)cos()( 0

=

=

−=

0 20 40

0

Excu

rsio

n / a

.u.

Time / a.u.

Gedämpfte Schwingung

0 20

20

Am

plitu

de

ω/ω0

Getriebene Schwingung

Nicht jedeSchwingungist harmonisch!

Wellen und Akustik

Beispiele für Wellen

R. Kienberger et al. Nature 427 (2004) 817

Wasserwellen Schallwellen

P gross

P kleinPhononen

EM-Wellen GravitationswellenQM-Wellen

ψψ EH =ˆ

Gravitationswellendetektor GEO600 in Ruthe

600 m

Von der Schwingung zur WelleBisher: 1 Masse an 1 Feder

Jetzt: Viele (gleiche) Massen und Federn

ExperimentMagnetrollen

Abstoßende Kraft zwischen Magnetrollen sorgt für~ harmonisches Kraftgesetz.

Typen von Wellen

Aus P.A. Tipler, Physik

Longitudinal• Richtungen von Auslenkung undAusbreitung sind parallel

• einzig mögliche Wellenform inGasen und Flüssigkeiten

Transversal• Richtungen von Auslenkung undAusbreitung sind senkrecht

• Polarisation möglich• Beispiele: „optische Phononen“ inFestkörpern, elektromagnetische Wellen

Wasserwellen (Oberfläche)?

ExperimentSeilwelle

Beschreibung von Wellen: Allgemeine Wellenfunktion

C

Ein Wellenberg wird erzeugt und pflanzt sich mit der Geschwindigkeit c fort. Ein mitbewegter Beobachter photographiert die Welle und zeichnet einen Graph in seinem Koordinatensystem S´. Idealerweise (ohne Dispersion) zeichnet er zu allen Zeiten t den gleichen Graphen!

x´

y´y´ = y´(x´)y = y(x) = ??

Wellengleichung

Wellenphänome gehorchen allgemein folgender(partiellen) Differentialgleichung. (Hier 1-D Fall, allgemein natürlich 3D):

2

2

2

2

tyconst

xy

∂∂

=∂∂

Wie groß ist const? - allgemein

Die Phasengeschwindigkeit c

Die Geschwindigkeit c, mit der sichein „bestimmter“ Zustand(z.B. maximale positive Auslenkung)fortpflanzt, nennt man Phasengeschwindigkeit.

0 1 2 3 4 5 6-2

0

2

Exc

ursi

on [a

.u.]

Position [a.u.]

Phasengeschwindigkeit hängt natürlich von Art der Welle ab und von Eigenheiten des Trägers.

z. B. Seilwelle:

Seilspannung σ = F/A

AF

Größenordnungen:

Dichte ρ

Wichtiger Spezialfall: Harmonische Wellen

Ein gespanntes Seil werde an einem Ende sinusförmig (bzgl. der Zeit) y = sin (ωt ) ausgelenkt. Verhalten des Seiles (ohne Dämpfung):

)sin(),( φω −−= tkxatxy

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Aus

lenk

ung

y

Zeit t-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Aus

lenk

ung

y

Weg x

k = 1ω = 2

Harmonische Verhalten bezüglich x und t !

Bei nicht harmonischen Wellen hilft Herr Fourier

Im allgemeinen werden Wellen nicht harmonisch sein, sonderneinen sehr komplexen zeitlichen und räumlichen Verlauf haben.z.B.:

0 5 10 15 20 25 30

-2

0

2

Exc

ursi

on [a

.u.]

Time / Position [a.u.]

Jede periodische Funktion läßt sich als

unendliche Summe von Sinus- und Kosinus-

Funktionen schreiben

Akustik: Was schwingt da eigentlich?

ExperimentKlingel unter Käseglocke

Klingel (oder andere Schallquelle) erzeugt in Luft periodische Druck-schwankungen. Dadurch wird Energie aber keine Materie transportiert!

Intensität, Dezibel und Phon

Intensität einer (Schall-)welle:

Punktförmige Schallquelle:(Kugelwellen)

Intensität und Druckamplitude p0:

log

Das Ohr logarithmiert!

Lautstärke in dB

Atmen 10 dB

Rockkonzert 120 dB

Phon ist dB bei 1 kHz

Stehende Wellen

Wenn sich Wellen nicht beliebig im Raum ausbreiten können, kannes zu stehenden Wellen kommen.

Experiment Stehende Seilwelle ExperimentStehende Schallwelle,Kundtsches Rohr

Jeweils wird die Frequenz ν des Erregers durchgestimmt. Bei bestimmten Frequenzen νi ergeben sich stehende Wellen.

Für feste Enden gilt:

Messung der Phasengeschwindigkeit!

Superposition und Interferenz

Wellen überlagern sich ungestört (Superpositionsprinzip),d.h. die Wellenfunktionen zweier Wellen werden einfach addiert.Da die Auslenkung y ein Vorzeichen hat, kann diese Additionzu einer Verstärkung (konstruktive Interferenz) oder Abschwächung(destruktive Interferenz) führen

Experiment:Wellen im 2-Dimensionalen (Wasserwelle)Zwei räumlich getrennte Erreger mit gleicher Frequenz und Phase (d.h. im Takt)Wenn der Gangunterschied von den Erregernzu einem Punkt P gleich λ (λ/2) kommt eszu maximal konstruktiver (destruktiver)Interferenz.

Experiment: Destruktive Interferenz von Schallwellen

Wellenlänge

Wegunterschied

Allgemein

Konstruktiv:

Destruktiv:

Das Huygens-Prinzip

Bei der Behandlung von Wellen-Phänomen darf jeder Punkt einerWellenfront (2D oder 3D) als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden.

Beispiel:Ebene WellenWie sieht die nächste Front aus?

λ

Brechung und Huygens

Brechung: Eine Welle pflanzt sich in einem Medium mit c1 fort.Sie trifft auf eine Grenze zu einem zweiten Medium; dort pflanztsie sich mit c2< c1 fort.

c1

C2

θ1

θ2

An der Grenzfläche wird derStrahl gebrochen. Es gilt dasSnelliussche Brechungsgesetz:

2

2

1

1 sinsinccθθ

=

Herleitung aus dem Huygens-Prinzip

Experiment: Brechung einer Wasserwelle

c1

c2

θ1

θ2

Weitere Wellenphänomene (Stichworte)

• Reflektion• Schwebung• Beugung• Doppler-Effekt• Dispersion• Polarisation

Mehr Wellen gibt es nächstes Semester in der Optik!