Μέθοδος Newton-Raphson Για την εύρεση των πραγµατικών ριζών θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν όλες οι µέθοδοι που αναπτύχθηκαν στις προηγούµενες παραγράφους. 'Όµως η µέθοδος που βρίσκεται να είναι η πιο "κατάλληλη" είναι η µέθοδος των Newton-Raphson. Με τη λέξη κατάλληλη εννοούµε την απλότητα στην εφαρµογή της µεθόδου και την ταχύτητα της.

Αν µε Pν(x)=0 συµβολίσουµε την πολυωνυµική εξίσωση βαθµού ν, δηλαδή

𝑃! 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!!!𝑥 + 𝑎! = 0

τότε η µέθοδος Newton-Raphson είναι

𝑥!!! = 𝑥! −𝑃!(𝑥!)𝑃′!(𝑥!)

Αν θέλουµε λοιπόν να εφαρµόσουµε τη µέθοδο Newton-Raphson θα πρέπει να υπολογίζουµε σε κάθε επανάληψη τις τιµές του πολυωνύµου και της πρώτης παραγώγου του.

Για την αποφυγή σφαλµάτων υπερχείλισης και για οικονοµία αριθµητικών πράξεων ακολουθούµε την παρακάτω διαδικασία.

'Έστω ρ είναι το σηµείο που θέλουµε να υπολογίσουµε την αντίστοιχη τιµή του πολυωνύµου. Γράφουµε κατ' αρχάς το πολυώνυµο στη µορφή

𝑃! 𝜌 = (((… 𝛼!𝜌 + 𝑎! 𝜌 + 𝑎! 𝜌 +⋯+ 𝑎!!! 𝜌 + 𝑎!

και ακολουθείται η τεχνική "της αλυσίδας των πολλαπλασιασµών". Δηλαδή

Θέτουµε 𝐵! = 𝑎!

Υπολογίζουµε

𝐵! = 𝐵!𝜌 + 𝑎!

𝐵! = 𝐵!𝜌 + 𝑎!

𝐵! = 𝐵!𝜌 + 𝑎!

.

.

𝐵! = 𝐵!!!𝜌 + 𝑘

𝐵! = 𝐵!!!𝜌 + 𝑎!

Είναι προφανές ότι η τιµή του Βν είναι η τιµή του πολυωνύµου στο σηµείο ρ.

Ορίζουµε τώρα το πολυώνυµο

𝑄 𝑥 = 𝐵!𝑥!!! + 𝐵!𝑥!!! +⋯+ 𝐵!!!𝑥 + 𝐵!!!

και εκτελούµε την πράξη

𝑥 − 𝜌 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 𝜌 𝐵!𝑥!!! + 𝐵!𝑥!!! +⋯+ 𝐵!!!𝑥 + 𝐵!!!= 𝐵!𝑥! + 𝐵! − 𝐵!𝜌)𝑥!!! + (𝐵! − 𝐵!𝜌)𝑥!!! +⋯+ 𝐵!!! − 𝐵!!!𝜌 𝑥+ 𝐵!!!𝜌 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥!!! + 𝑎!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!!!𝑥 + 𝑎! − 𝐵! = 𝑃(𝑥) − 𝐵!

Δηλαδή 𝛲(𝑥) = (𝑥 − 𝜌)𝑄(𝑥) + 𝛣!

και παραγωγίζοντας

𝛲′(𝑥) = 𝑄(𝑥) + (𝑥 − 𝜌)𝑄′(𝑥)  

και για x=ρ

𝛲′(𝜌) = 𝑄(𝜌)    

Δηλαδή µε την ίδια διαδικασία όχι µόνο υπολογίζουµε την τιµή του πολυωνύµου στο σηµείο x=ρ αλλά συγχρόνως υπολογίζουµε και την τιµή της πρώτης παραγώγου του στο ίδιο σηµείο, µε αποτέλεσµα να έχουµε µεγάλη οικονοµία σε αριθµητικές πράξεις.

Βέβαια το πολυώνυµο µπορεί να έχει περισσότερες πραγµατικές ρίζες από µία. Με την παραπάνω διαδικασία υπολογίσθηκε η ρίζα που είναι πιο κοντά στο αρχικό σηµείο που δώσαµε. Για την εύρεση και της επόµενης πραγµατικής ρίζας εφαρµόζουµε την ίδια διαδικασία για την πολυωνυµική εξίσωση

Q(x)=0

και η διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου βρεθούν όλες οι πραγµατικές ρίζες. Στην πρόγραµµα αυτό ερµηνεύεται στο πώς, όταν υπάρξει σφάλµα υπερχείλισης, η ακολουθία δεν συγκλίνει, δηλαδή δεν έχουµε άλλη πραγµατική ρίζα.

Θα µπορούσαµε να ακολουθήσουµε και παρόµοια διαδικασία

Οι πολυωνυµικές εξισώσεις είναι της µορφής

𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!!!𝑥   + 𝑎! = 0  

Αν αj , j=0,1,...,ν είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε οι ρίζες είναι µιγαδικές συζυγείς.

Η µέθοδος Newton-Raphson εφαρµόζεται εδώ για εύρεση µόνο των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης (2.9). Για την εύρεση και των µιγαδικών ριζών χρησιµοποιούµε τη µέθοδο Bairstow που βρίσκεται στο επόµενο εδάφιο.

Κατά την εφαρµογή της µεθόδου Newton-Raphson πρέπει να υπολογίζεται σε κάθε επανάληψη η f(xk) και η f’(xk) για k=1,2,..., Προκειµένου να αποφύγουµε σφάλµατα υπερχείλισης χρησιµοποιούµε την τεχνική της "αλυσίδας πολλαπλασιασµών". Δηλαδή

𝑏! = 𝑎!

𝑏! = 𝑏!𝑥! + 𝑎!

.

.

.

𝑏! = 𝑏!!!𝑥! + 𝑎!        για  j = 2,3, . . . , ν

Είναι προφανές ότι η τιµή του bν είναι η τιµή της f(x) στο σηµείο xk

Aν 𝑔 𝑥 = 𝑏!𝑥!!! + 𝑏!𝑥!!! +⋯+  𝑏!!!𝑥   + 𝑏!!!

αποδεικνύεται ότι f'(xk) = g(xk)

Επίσης αν ρ είναι πραγµατική ρίζα της f(x)=0, τότε ισχύει

f(x) = (x-ρ)g(x)

Αν η ίδια διαδικασία συνεχισθεί για την εξίσωση g(x)=0, θα βρούµε τη δεύτερη πραγµατική ρίζα της f(x)=0. κ.ο.κ.

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Το πρόγραµµα υπολογίζει τις πραγµατικές ρίζες µιας πολυωνυµικής εξίσωσης µε τη µέθοδο Newton-Raphson. Στην περίπτωση που όλες οι ρίζες δεν είναι πραγµατικές, τότε στην προσπάθεια ανεύρεσης ανύπαρκτης πραγµατικής ρίζας έχουµε σφάλµα υπερχείλισης (overflow), οπότε και διακόπτεται η λειτουργία του προγράµµατος..

Δεδοµένα του προγράµµατος είναι ο βαθµός του πολυωνύµου και οι συντελεστές της πολυωνυµικής εξίσωσης.

Τρέχουµε το πρόγραµµα για τις πολυωνυµική εξίσωση

x4 - 2x3 - 3x2 + 8x - 4 = 0

που οι ρίζες της είναι -2,1,1,2

Δώσε το βαθµό του πολυωνύµου ? 4

Η Χ(0) είναι = 2

Η Χ(1) είναι = 1.000124

Η Χ(2) είναι = 0.999876

Η Χ(3) είναι = -2

Παρατηρούµε ότι η διπλή ρίζα βρέθηκε µε περιορισµένη ακρίβεια, όπως εξάλλου αναµενόταν.