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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 1 ( ≈ 2 Punkte)
Eine homogene Walze (Gewicht G) lehnt an einerglatten Wand. Die Walze wird, wie in der Zeich-nung dargestellt von einem masselosen Stab ge-stützt.
Gegeben: G, tan α =3
4.
a) Zeichnen Sie den Kräfteplan für das beschrie-bene System!
b) Ermitteln Sie die in dem Stab wirkendeKraft S!
glattg
G
G
S G
N
G
G
G
G
S =
G
G
�
glattg
G
G
S G
N
G
G
G
G
S =
G
G
�
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Lösung
a) Kräfteplan:
glattg
G
G
S G
N
G
G
G
G
S =
G
G
�
b)
S =G
sin α=
5
3G
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 2 (≈ 2 Punkte)
Bestimmen Sie alle offensichtlichen Nullstäbe desdargestellten Fachwerks!
Stabnummern:
FFFFFFFFF
FFFFFF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Lösung
Nullstäbe: Stabnummern 1,2,7,12
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 3 (≈ 1 Punkt)
Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf des Biegemo-ments für das dargestellte Tragwerk!
Biegemomentenverlauf:
F
Lösung
Biegemomentenverlauf:
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 4 (≈ 2 Punkte)
Für das abgebildete dünne Blech mit Loch sind derFlächeninhalt A, sowie die Schwerpunktskoordina-te xS bezogen auf das eingezeichnete Koordinaten-system zu ermitteln!
Gegeben: a, r =a
2.
A = xS =
x
y
a 2aa
a
2a
a
r
Lösung
Flächeninhalt: A = 12a2 + πr2 = a2(12− π
4) =
a2
4(48− π)
Schwerpunkt: xS =20a3 − aπr2
A=
a3(20− π4)
A=
a3(20− π4)
a2
4(48− π)
=80− π
48− πa
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 5 (≈ 2 Punkte)
Eine Kiste ist wie skizziert durch eine Kraft F be-lastet. Die rechte Wand ist glatt, die linke Wandist rau (Haftreibkoeffizient µ0).
Gegeben: a, h, F .
a) Bestimmen Sie die Normalkräfte, die in A undB zwischen den Wänden und der Kiste wirken!
NA = NB =
b) Wie groß muss der Haftreibkoeffizient µ0 in A
mindestens sein, damit die Kiste klemmt?
µ0 ≥
rauglatt
F
a
h
A
B
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Lösung
a)
F
a
h
NB
NA
H
NA = NB = Fa
h
b)
µ0 ≥h
a
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 6 (≈ 2 Punkte)
Gegeben ist ein Balken der Länge `. Der Balken istinhomogen und besitzt die Massenbelegung ν(x).
a) Bestimmen Sie die Masse m des Balkens!
b) Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinate xS!
Gegeben: m0, `, ν(x) = 4m0
`2x.
Hinweis: xS =
∫̀0
x · ν(x)dx
∫̀0
ν(x)dx
m = xS =
�
x
Lösung
a) m =
`∫0
ν(x)dx = 4m0
`2
[1
2x2
]`
0
= 2m0
b) xS =1
m
`∫0
x · ν(x)dx =1
m4m0
`2
[1
3x3
]`
0
=2
3`
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 7 (≈ 2 Punkte)
Ein Seil ist wie skizziert über zwei feststehende Zy-linder geführt. Auf der einen Seite hängt ein Klotz(Masse m) und auf der anderen Seite wirkt dieKraft F . Der Haftreibwert zwischen Seil und Zy-linder beträgt µ0.
a) Wie groß ist der Umschlingungswinkel α?
b) Welche minimale Kraft F = Fmin ist notwendig,damit gerade noch kein Rutschen auftritt?
Gegeben: β =π
6, m, g, µ0 = 0, 25.
α = Fmin =
�F
m
��
��
g
Lösung
Umschlingungswinkel: α =4
3π = 240◦
Fmin = mg · e−µ0α = mg · e−π/3
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Frage 8 (≈ 2 Punkte)
Für den skizzierten Balken ist der Schnittgrößenverlauf der Querkraft gegeben. Schließen Sie rück-wirkend aus dem Querkraftverlauf auf die Last, die am Balken angreift. Tragen Sie diese Belastungan den Balken an und geben Sie Eckwerte an!
Gegeben: `, F .
�
+
-
� � �Q(x)
x
F
F-
x
Lösung
�
+
-
� � �Q(x)
x
F
F-
x
FF2�2�
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Aufgabe 9 (≈ 7 Punkte)
Ein homogener Klotz (Gewicht G) liegt reibungs-frei auf einem gewichtslosen, schräg eingespanntenBalken und wird durch einen Puffer gehalten.Der Puffer ist biegesteif mit dem Balken verbun-den und gewichtslos. Die Koordinate x verläuftlängs des Balkens. An der Einspannung istx = 0. Bei x = ` greift eine Kraft F am Balken an.
Gegeben: `, G, F .
a) Zeichnen Sie die Freikörperbilder für den Klotz und den Balken!
b) Berechnen Sie sämtliche Lagerreaktionen in der Einspannung!
c) Wie groß muss die Kraft F = F ∗ gewählt werden, damit die Einspannung durch ein Festlagerersetzt werden kann?
F
�
�
2�
�
�/2
reibungsfrei
30°
150° gG
x
Lösung
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
a)
FKB:
x
y
g
FAx
�
�
�/2
�
MA
FAy
A
�
�/2
G
Gx=sin(30°)G
Gy=cos(30°)G
F
F Fx=cos(30°)
F Fy=sin(30°)
30°
30°
Fy
Fx
GxGy
Nx
Nx
Ny
Ny
b)
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für den Klotz:∑Fx = 0 = Gx −Nx ⇒ Nx = Gx =
1
2G
∑Fy = 0 = Ny −Gy ⇒ Ny = Gy =
√3
2G
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für den Balken und Berechnung der Lagerreaktionen:∑Fx = 0 = FAx − Fx + Nx
⇒ FAx =
√3
2F − 1
2G
∑Fy = 0 = FAy + Fy −Ny
⇒ FAy =
√3
2G− 1
2F
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
∑ xMA
z = 0 = MA + Fy`−Ny3`−Nx1
2`
⇒MA = −1
2F` +
3√
3
2G` +
1
4G`
⇒MA = −1
2F` +
6√
3 + 1
4G`
c) Formulierung des Momentengleichgewichts um den Punkt A unter Berücksichtigung von MA = 0 :
(Oder MA = 0 setzen! aus Aufgabenteil b))∑ xMA
z = 0 = Fy`−Ny3`−Nx1
2`
⇒ 1
2F` =
3√
3
2G` +
1
4G`
⇒ F =1
2G(6
√3 + 1)
Bei Verwendung eines alternativen Koordinatensystems mit horizontal und vertikal wirken-den Einspannkräften FAh und FAv folgt
FAh =1
2F
FAv = G−√
3
2F
als Ergebnis in Aufgabenteil b)
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Aufgabe 10 (≈ 8 Punkte)
Der skizzierte masselose Balken wird durch einedreieckförmige Streckenlast (Maximalwert q0) be-lastet und durch ein Seil gestützt. In dem Seil wirddie Kraft F mit einer Spannvorrichtung eingestellt.Der Balken ist in der Wand fest eingespannt.
a) Bestimmen Sie die resultierende Ersatzkraft fürdie Streckenlast!
b) Stellen Sie die auf den Balken wirkende Seil-kraft vektoriell nach Betrag und Richtung auf!
c) Zeichnen Sie das vollständige Freikörperbild desSystems!
d) Berechnen Sie die Reaktionsgrößen in der Ein-spannstelle!
Gegeben: `, F , q0 =2F
`.
2�
6�
3�
q0
3�
x
y
z
Lösung
Resultierende Ersatzkraft für die Streckenlast: FRes =1
2q0 · 3` =
3
2q0` = 3F
Angriffspunkt von FRes: −→r Res =
4`
0
6`
Seilkraftvektor:−→S = S · −→eS = F
1
7
−2
3
−6
Freikörperbild:
q0�=3Fx
y
z
Fz
F
Mz
2�
Fx
Fy
Mx
My
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Kräftesumme:∑−→
F =−→0 =
Fx
Fy
Fz
+ F1
7
−2
3
−6
+ 3F
0
−1
0
⇔
Fx
Fy
Fz
= F1
7
2
18
6
Momentensumme:∑−→
M =−→0 =
Mx
My
Mz
+ F1
7
2`
0
6`
×−2
3
−6
+ 3F
4`
0
6`
× 0
−1
0
⇔
Mx
My
Mz
= F`1
7
−108
0
78
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Aufgabe 11 (≈ 6 Punkte)
Das dargestellte ebene Fachwerk wird durch zweiKräfte F belastet.
a) Ist das System statisch bestimmt? BegründenSie Ihre Antwort!
b) Bestimmen Sie die Nullstäbe!
c) Bestimmen Sie die Auflagerkräfte!
d) Bestimmen Sie die Kräfte in den Stäben 4, 5und 6!
Gegeben: a, F .
F
A
B
C
F
a aa
a
a
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
Lösung
a) 2k = s + f ⇔ 2 · 8 = 13 + 3X
b) Nullstäbe: Stabnummern 12 und 3
c)F
F
a aa
a
a
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
FC
FB
FA
FKB:
∑FV = 0 = FA − 2F ⇒ FA = 2F∑M (B) = 0 = FCa + Fa + F3a ⇒ FC = −4F∑FH = 0 = −FC − FB ⇒ FB = 4F
d)
F
1
2
3
4
5
6
F4
FKB:
F5
F6
Aus Momenten und Kräftesummen folgt F4 = 2F ; F5 = −√
2F ; F6 = −F
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Frühjahr 2010Seite 18/20
Musterlösungen (ohne Gewähr)
Aufgabe 12 (≈ 9 Punkte)
Ein L-förmiger Rahmen ist wie skizziert gelagert.Auf den kürzeren Abschnitt wirkt eine konstanteStreckenlast mit Höhe
√2q0.
a) Zeichnen Sie das Freikörperbild des Systems!
b) Bestimmen Sie sämtliche Auflagerreaktionen!
c) Berechnen Sie die Schnittgrößenverläufe derbeiden Teilsysteme als Funktionen von x1 bezie-hungsweise x2 in den angegebenen lokalen Ko-ordinatensystemen!
Gegeben: `, q0.
2q0x
1
z1
x 2
z 2
2�
�
45o
Lösung
a) FKB:A
H
AV
BR
�/2
45o
2� �/2
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
b) Resultierende der Streckenlast
R =√
2q0`
Auflagerreaktionen ∑FH = 0 = AH −B ⇒ AH = B
∑FV = 0 = AV −R ⇒ AV = R =
√2q0`
∑ xMA = 0 = −R ·
√2
2
5
2`−B ·
√2
2` ⇒ B = −5
2R = −5
2
√2q0` = AH
c) Bereich I: (0 ≤ xI ≤ 2`) positives Schnittufer
45o
xI
Mb,I
QI NI
x1
z1
�-x I
Mb,II
QII
NII
x 2
z 2
2q0�
2
5
2q0�
2q0�
2
5
x I
q0( -x )� I q
0( -x )� IN(xI) =
√2
2
5
2
√2q0` +
√2
2
√2q0` =
7
2q0`
Q(xI) = −√
2
2
5
2
√2q0` +
√2
2
√2q0` = −3
2q0`
Mb(xI) = −√
2
2
5
2
√2q0` · xI +
√2
2
√2q0` · xI = −3
2q0` · xI
Eckwerte (nicht gefragt):⇒
{Mb(xI = 0) = 0
Mb(xI = 2`) = −3q0`2
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Musterlösungen (ohne Gewähr)
d) Bereich II: (0 ≤ xII ≤ `) negatives Schnittufer
45o
xI
Mb,I
QI NI
x1
z1
�-x II
Mb,II
QII
NII
x 2
z 2
2q0�
2
5
2q0�
2q0�
2
5
x II
q0( -x )� II q
0( -x )� II
N(xII) = −q0(`− xII) +
√2
2
5
2
√2q0` =
3
2q0` + q0xII
Eckwerte (nicht gefragt):⇒
N(xII = 0) =
3
2q0`
N(xII = `) =5
2q0`
Q(xII) = q0(`− xII) +
√2
2
5
2
√2q0` =
7
2q0`− q0xII
Eckwerte (nicht gefragt):⇒
Q(xII = 0) =
7
2q0`
Q(xII = `) =5
2q0`
Mb(xII) = −√
2
2
5
2
√2q0`(`− xII)− q0(`− xII)
1
2(`− xII)
Mb(xII) = −5
2q0`
2 +5
2q0`xII − q0
1
2(`2 − 2`xII + x2
II)
Mb(xII) = −3q0`2 +
7
2q0`xII − q0
1
2x2
II
Eckwerte (nicht gefragt):⇒
{Mb(xII = 0) = −3q0`
2
Mb(xII = `) = 0
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