Fourier-Transformation

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen

17. Oktober, 2017

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 1 / 57

Inhalt

1 EinleitungSignaldarstellungFourier-TransformationSignalraume

2 Mathematische GrundlagenKomplexe Zahlen CVektorraume von Funktionen

3 Fourier-ReiheL2([−π, π))Satz von FourierFourier-ReiheKomplexe Fourier-Reihe

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 2 / 57

Inhalt

4 Fourier TransformationL2(R)HerleitungBeispiele

5 Diskrete Fourier Transformation`2(Z/N)Diskrete Fourier-TransformationLaufzeit

6 Short Time Fourier-TransformationDefinitionSpektrogramme

7 Literaturverzeichnis

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 3 / 57

Einleitung

Signaldarstellung

Fourier-Transformation

Signalraume

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 4 / 57

Signaldarstellung: Was ist ein Signal?

Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

0

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

0

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

0

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

0

t

Ja, denn die Funktionen sind Signale.

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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?

Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1

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t

Ja, denn die Funktionen sind Signale.

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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?

Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

0

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1

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t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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0

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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t

Ja, denn die Funktionen sind Signale.

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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?

Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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2

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t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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−1

1

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0

t

Ja, denn die Funktionen sind Signale.

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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?

Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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t

Ja, denn die Funktionen sind Signale.

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Signaldarstellung: Was ist ein Signal?

Reprasentieren folgende Funktionen Signale (z.B. einzelne Tone oderMusik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

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t

Ja, denn die Funktionen sind Signale.

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Signaldarstellung: Zeitdomane

Signale sind Funktionen f : R→ R oder f : Z→ R, die die Zeit t aufeinen reellen Funktionswert f (t) abbilden und messbar sind.

f (t) reprasentiert eine physikalische Große, z.B. den Luftdruck derSchallwelle (in dB) oder die Stromspannung eines analogen Signals(in V).

Zeitdomane

Sei R := {Z,R} gegeben.Wird ein Signal f : R → R, t 7→ f (t) in Abhangigkeit von der Zeit tdargestellt, so ist f eine Funktion der Zeitdomane.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 6 / 57

Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?

Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

0

ω

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

0

ω

Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.

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Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?

Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

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ω

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

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0

ω

Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 7 / 57

Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?

Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

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0

ω

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

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0

ω

Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 7 / 57

Signaldarstellung: Was ist ein Spektrum?

Reprasentieren folgende Funktionen ebenfalls Signale (z.B. einzelneTone oder Musik)?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

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0

ω

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

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3

4

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0

ω

Ja, denn es sind die Spektren der jeweiligen Funktion.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 7 / 57

Signaldarstellung: Frequenzdomane

Das Spektrum eines Signals ist eine Funktion f : R→ R oderf : Z→ R, die die Frequenz ω auf einen reellen Funktionswert f (ω)abbildet.

f (ω) beschreibt die Amplitude der Schwingungen mit der Frequenz ω.

Frequenzdomane

Sei R := {Z,R} gegeben.Das Spektrum f : R → R, ω 7→ f (ω) eines Signals ist eine Funktion derFrequenzdomane.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 8 / 57

Signaldarstellung: Spektrogramme

Gibt es eine Moglichkeit Zeit- und Frequenzdomane in einer Darstellung zuvereinen?

Spektrogramm

Ein Spektrogramm ist ein zwei- bzw. dreidimensionales Diagramm,welches die Frequenzen eines Signals in Abhangigkeit der Zeit darstellt.

Die x-Achse beschreibt die Zeit t, die y-Achse die Frequenz ω und diefarbliche Kodierung bzw. die z-Achse zeigt die Amplitude (Intensitat) derFrequenz an.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 9 / 57

Signaldarstellung: Spektrogramme

Gibt es eine Moglichkeit Zeit- und Frequenzdomane in einer Darstellung zuvereinen?

Spektrogramm

Ein Spektrogramm ist ein zwei- bzw. dreidimensionales Diagramm,welches die Frequenzen eines Signals in Abhangigkeit der Zeit darstellt.

Die x-Achse beschreibt die Zeit t, die y-Achse die Frequenz ω und diefarbliche Kodierung bzw. die z-Achse zeigt die Amplitude (Intensitat) derFrequenz an.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 9 / 57

Spektrogramm

Beispiel

Welche Frequenzensind im Signaldominant?:

ω1 = 100Hz

ω2 = 250Hz

ω3 = 200Hz

ω4 = 400Hz

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57

Spektrogramm

Beispiel

Welche Frequenzensind im Signaldominant?:

ω1 = 100Hz

ω2 = 250Hz

ω3 = 200Hz

ω4 = 400Hz

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57

Spektrogramm

Beispiel

Welche Frequenzensind im Signaldominant?:

ω1 = 100Hz

ω2 = 250Hz

ω3 = 200Hz

ω4 = 400Hz

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57

Spektrogramm

Beispiel

Welche Frequenzensind im Signaldominant?:

ω1 = 100Hz

ω2 = 250Hz

ω3 = 200Hz

ω4 = 400Hz

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57

Spektrogramm

Beispiel

Welche Frequenzensind im Signaldominant?:

ω1 = 100Hz

ω2 = 250Hz

ω3 = 200Hz

ω4 = 400Hz

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 10 / 57

Einleitung: Fourier-Transformation

Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, um einSignal von der Zeit- in die Frequenzdomane zu transformieren undumgekehrt:

Signal Fourier-Transformation Spektrum

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 11 / 57

Einleitung: Fourier-Transformation

Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, um einSignal von der Zeit- in die Frequenzdomane zu transformieren undumgekehrt:

Signal Fourier-Transformation Spektrum

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 11 / 57

Fourier-Transformation: Anwendungen

Die Fourier-Transformation wird in der Musikverarbeitung unter Anderemfur:

die Spektralanalyse von Signalen,

die Analyse von Musik (→ Pitch and Chord Recognition)

das Filtern von Signalen

die Implementierung von Equalizer

benutzt.Weiterhin findet die Fourier-Transformation Anwendung in Bereichen wie:

Bildverarbeitung,

Magnetresonanztomographie.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 12 / 57

Signalraume

Um Signale in Spektren zu zerlegen, teilen wir die Signale in dreiSignalraume:

Signale

kontinuierliche,periodische Signale

kontinuierliche,aperiodische Signale

zeitdiskreteSignale

Fourier-ReiheFourier-

TransformationFourier-

Transformation

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Mathematische Grundlagen

Komplexe Zahlen CSatz von Euler

Polardarstellung

Vektorraume von Funktionen

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 14 / 57

Mathematische Grundlagen: Komplexe Zahlen C

Definition: CDie Menge C der komplexen Zahlen ist gegeben durch:

C := {x + iy | x , y ∈ R},

wobei i2 = −1 gilt. Der Real- und Imaginarteil einer komplexen Zahlz = x + iy ist gegeben durch:

Re(z) := x , Im(z) := y

Der Betrag von z ist gegeben durch:

|z | :=√

x2 + y2

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 15 / 57

Mathematische Grundlagen: Satz von Euler

Satz: Euler-Identitat

Die Euler-Identitat ist gegeben durch:

e ix = cos(x) + i · sin(x)

Daraus folgt die Darstellung von Sinus und Kosinus:

cos(x) = Re(e ix) =1

2(e ix + e−ix)

sin(x) = Im(e ix) =1

2i(e ix − e−ix)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 16 / 57

Mathematische Grundlagen: Polardarstellung

z ∈ C kann zur Reprasentation zweier Variablen x , y ∈ R genutzt werden.Diese konnen als Real- und Imaginarteil kodiert sein oder als:

Polardarstellung

Sei |z |, γ ∈ R, dann ist:

z = |z | · e iγ ∈ C

die Polardarstellung von z , wobei |z | der Betrag von z ist und γ derWinkel von z bezuglich des Einheitskreises ist. Aus der Polardarstellungfolgt:

C = {x + iy | x , y ∈ R} = {|z | · e iγ | |z |, γ ∈ R}

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 17 / 57

Mathematische Grundlagen: Polardarstellung

Zusammenhang zwischen Polardarstellung, Real- und Imaginarteil

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

0

Re(z)

Im(z)

Einheitskreis

z = 2 + 2i

γ 1

1

cos(γ)

sin(γ)e iγ

45◦

Jeder Punkt der GausschenZahlenebene kann alsKombination eines Vektor imEinheitskreis mit Winkel γund eines Skalars |z |dargestellt werden.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 18 / 57

Mathematische Grundlagen: Vektorraume von Funktionen

Lineare Funktionenraume

Es sind CR und CZ lineare Funktionenraume. Diese Funktionenraumesind Vektorraume mit Funktionen als Elemente:

CR = { f | f : R→ C}CZ = { f | f : Z→ C}

Die Addition und Skalarmultiplikation sind definiert als:

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

(af )(x) = a · f (x)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 19 / 57

Fourier-Reihe

L2([−π, π))

Satz von Fourier

Fourier-Reihe

Komplexe Fourier-Reihe

Fourier-Transformation fur f ∈ L2([−π, π))

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Fourier-Reihe: L2([−π, π))

2π-periodische Signale

Hilbertraum : L2([−π, π)) ⊆ C[−π,π),

∫ π

−π|f (t)|2dt <∞

Beispiel

−π −π2

π2

π

−2

−1

1

2

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 21 / 57

Fourier-Reihe: Satz von Fourier

Satz von Fourier

Jede periodische Schwingung lasst sich als Summe von Sinus- undKosinusschwingungen beschreiben

Basis des L2([−π, π))

{1, cos(nt), sin(nt) | n ∈ N}

Beispiel

f (t) = sin(t) + cos(t) + 0.5 · cos(3t)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 22 / 57

Fourier-Reihe: Reihendarstellung

Reihendarstellung

Fur f ∈ L2([−π, π)) existieren a0 und ak , bk ∈ R fur k ∈ N mit:

f (t) =a02

+∞∑k=1

(akcos(kt) + bksin(kt))

Beispiel

a1 = 1, a3 = 0.5, b1 = 1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 23 / 57

Fourier-Reihe

Fourier Reprasentation

f (t) =a02

+∞∑k=1

(akcos(kt) + bksin(kt))

Fourier Transformation

Fur n ∈ N:

a0 =1

π

∫ π

−πf (t)dt

an =1

π

∫ π

−πf (t)cos(nt)dt

bn =1

π

∫ π

−πf (t)sin(nt)dt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 24 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 25 / 57

Fourier-Reihe

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

0.5

1

1.5

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 26 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57

Fourier-Reihe

−π −π2

π2

π

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 27 / 57

Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe

Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation

f (t) = a02 +

∞∑k=1

(akcos(kt) + bksin(kt))

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

Fourier Transformation

Fur n ∈ N: an = 1π

∫ π−π f (t)cos(nt)dt

Fur k ∈ Z:

ck =1

2π

∫ π

−πf (t) · e−iktdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 28 / 57

Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe

Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation

f (t) = a02 +

∞∑k=1

(akcos(kt) + bksin(kt))

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

Fourier Transformation

Fur n ∈ N: an = 1π

∫ π−π f (t)cos(nt)dt

Fur k ∈ Z:

ck =1

2π

∫ π

−πf (t) · e−iktdt

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Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe

Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation

f (t) = a02 +

∞∑k=1

(akcos(kt) + bksin(kt))

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

Fourier Transformation

Fur n ∈ N: an = 1π

∫ π−π f (t)cos(nt)dt

Fur k ∈ Z:

ck =1

2π

∫ π

−πf (t) · e−iktdt

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Fourier-Reihe: Komplexe Fourier-Reihe

Komplexe Darstellung, T = 2π, Fourier Reprasentation

f (t) = a02 +

∞∑k=1

(akcos(kt) + bksin(kt))

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

Fourier Transformation

Fur n ∈ N: an = 1π

∫ π−π f (t)cos(nt)dt

Fur k ∈ Z:

ck =1

2π

∫ π

−πf (t) · e−iktdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 28 / 57

Fourier-Reihe

Rechenbeispiel:f : [−π, π)→ C, t 7→ 1.5 sin(t − π

4 )

−π −π2

π2

π

−2

−1

1

2

c1 =1

2π

∫ π

−π1.5 · sin(t − π

4) · e−itdt = −1.5

√2

4− 1.5

√2

4i

c−1 =1

2π

∫ π

−π1.5 · sin(t − π

4) · e itdt = −1.5

√2

4+

1.5√

2

4i

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 29 / 57

Fourier-Reihe: Eigenschaften

Eigenschaften der komplexen Fourier Koeffizienten

Falls f nur auf reelle Werte abbildet, gilt:

ck = c−k

Somit kodieren die positiven und negativen Frequenzen die (fast) gleicheInformation, denn es gilt:∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt = f (t) = f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e−ikt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 30 / 57

Fourier-Reihe

Nun besitzen wir komplexe Fourier Koeffizienten, aus denen wir die:

Amplitude lk

Phasenverschiebung φk

bestimmen konnen und somit f (t).Wir berechnen die Amplitude:

l1 = |c1| =

√√√√(−1.5√

2

4

)2

+

(−1.5

√2

4

)2

=

√2 · 2.25 · 2

16

=

√2.25

2= 0.75 = |c−1| = l−1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 31 / 57

Fourier-Reihe

Wir formen unsere Koeffizienten in die Polardarstellung um und lesen denWinkel ab.

φ1 = −3

4π, φ−1 =

3

4π

c1 · e it = l1eiφ1 · e it

= 0.75e i(t+5π/4) = 0.75e i(t−3π/4)

c−1 · e−it = l−1eiφ−1 · e−it

= 0.75e−i(t−3π/4)

−1 1

−1

1

γ1γ−1

Damit folgt dann:

f (t) = c1eit + c−1e

−it = 0.75 · e i(t−3π/4) + 0.75 · e−i(t−3π/4)

= 1.5 sin(t − π

4)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 32 / 57

Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0

Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikω0t

Fourier Transformation

Fur k ∈ Z: ck = 12π

∫ π−π f (t) · e−iktdt

ck =1

T

∫ T/2

−T/2f (t) · e−ikω0tdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57

Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0

Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikω0t

Fourier Transformation

Fur k ∈ Z: ck = 12π

∫ π−π f (t) · e−iktdt

ck =1

T

∫ T/2

−T/2f (t) · e−ikω0tdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57

Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0

Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikω0t

Fourier Transformation

Fur k ∈ Z: ck = 12π

∫ π−π f (t) · e−iktdt

ck =1

T

∫ T/2

−T/2f (t) · e−ikω0tdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57

Fourier-Reihe: Komplexe Darstellung T > 0

Komplexe Darstellung, T > 0 beliebig, Fourier Reprasentation

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikt

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikω0t

Fourier Transformation

Fur k ∈ Z: ck = 12π

∫ π−π f (t) · e−iktdt

ck =1

T

∫ T/2

−T/2f (t) · e−ikω0tdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 33 / 57

Fourier Transformation

L2(R)

Herleitung

Beispiele

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 34 / 57

Fourier-Transformation: L2(R)

Aperiodische Signale

Hilbertraum : L2(R) ⊆ CR,

∫ ∞−∞|f (t)|2dt <∞

Beispiel

π2

π 3π2

2π 5π2

3π

−3−2−1

123

f (t) = 3 · cos(2t) · e−0.15t · H(t)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 35 / 57

Fourier-Transformation: Herleitung

Notwendige Umformungen

f (t) =∑

k∈(−∞,∞)

ck · e ikω0t =1√2π

∑k∈(−∞,∞)

√2π∆ω

∆ω· ck · e ikω0t

=1√2π

∑k∈(−∞,∞)

F (ωk) · e iωk t ·∆ω

F (ωk) =

√2π · ck∆ω

=

√2π · Tck

2π=

T√2π

1

T

∫ T/2

−T/2f (t) · e−ikω0tdt

=1√2π

∫ T/2

−T/2f (t) · e−iωk tdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 36 / 57

Fourier-Transformation: Herleitung

T →∞

f (t) = limT→∞

1√2π

∑k∈(−∞,∞)

F (ωk) · e iωk t ·∆ω

=1√2π

∫ ∞−∞

F (ω) · e iωtdω

F (ω) = limT→∞

1√2π

∫ T/2

−T/2f (t) · e−iωk tdt

=1√2π

∫ ∞−∞

f (t) · e−iωtdt

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 37 / 57

Fourier-Transformation: Rechenbeispiel

f (t) = 3 · cos(2t) · e−0.15t · H(t)

F (ω) =1√2π

∫ ∞−∞

f (t) · e−iωtdt

=1√2π

∫ ∞−∞

3 · cos(2t) · e−0.15t · H(t) · e−iωtdt

=1√2π

∫ ∞0

3 · cos(2t) · e−0.15t · e−iωtdt

=3

2√

2π

∫ ∞0

(e2it + e−2it) · e−0.15t · e−iωtdt

=3

2√

2π

∫ ∞0

e2it−0.15t−iωt + e−2it−0.15t−iωtdt

=3

2√

2π

(∫ ∞0

e(2i−0.15−iω)tdt +

∫ ∞0

e(−2i−0.15−iω)tdt

)Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 38 / 57

Fourier-Transformation: Rechenbeispiel

F (ω) =3

2√

2π

(∫ ∞0

e(2i−0.15−iω)tdt +

∫ ∞0

e(−2i−0.15−iω)tdt

)=

3

2√

2π(

[1

2i − 0.15− iωe(2i−0.15−iω)t

]∞0

+

[1

−2i − 0.15− iωe(−2i−0.15−iω)t

]∞0

)

=3

2√

2π

(0− 1

2i − 0.15− iω+ 0− 1

−2i − 0.15− iω

)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 39 / 57

Fourier-Transformation: Rechenbeispiel

F (ω) =3

2√

2π

(0− 1

2i − 0.15− iω+ 0− 1

−2i − 0.15− iω

)=

3

2√

2π

(− 1

2i − 0.15− iω− 1

−2i − 0.15− iω

)= − 3

2√

2π

(1

−0.15 + (2− ω)i+

1

−0.15− (2 + ω)i

)= − 3

2√

2π

(−0.15− (2− ω)i

0.152 + (2− ω)2+−0.15 + (2 + ω)i

0.152 + (2 + ω)2

)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 40 / 57

Fourier-Transformation

−3 −2 −1 1 2 3−1134

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5-3i-1i1i3i

−3 −2 −1 1 2 3-1134

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 41 / 57

Fourier-Transformation

−3 −2 −1 1 2 3−1134

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5-3i-1i1i3i

−3 −2 −1 1 2 3-1134

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 41 / 57

Fourier-Transformation

−3 −2 −1 1 2 3−1134

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5-3i-1i1i3i

−3 −2 −1 1 2 3-1134

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 41 / 57

Fourier-Transformation

1 2 3 4

−1

1

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 42 / 57

Fourier-Transformation

−10 −5 5 10−1−0.5

0.51

−10 −5 5 10-1i

-0.5i

0.5i1i

−10 −5 5 10−1−0.5

0.51

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 43 / 57

Fourier-Transformation

−10 −5 5 10−1−0.5

0.51

−10 −5 5 10-1i

-0.5i

0.5i1i

−10 −5 5 10−1−0.5

0.51

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 43 / 57

Fourier-Transformation

−10 −5 5 10−1−0.5

0.51

−10 −5 5 10-1i

-0.5i

0.5i1i

−10 −5 5 10−1−0.5

0.51

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 43 / 57

Diskrete Fourier Transformation

`2(Z/N)

Diskrete Fourier-Transformation

Laufzeit

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 44 / 57

DFT: `2(Z/N)

Diskrete Signale

Hilbertraum : `2(Z)→ `2(Z/N),N−1∑k=0

|f(k · T

N

)|2 <∞

`2(Z/N) ⊆ CZ/N

Example

−π −π2

π2

π

−2

−1

1

2

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 45 / 57

DFT

Fur 0 ≤ k , j < N:

Fourier Reprasentation

f (t) = 1√2π

∫∞−∞ F (ω) · e iωtdω

f

(kT

N

)=

√2π

T

N−1∑j=0

F (jω0) · e2ikπjN

Fourier Transformation

F (ω) = 1√2π

∫∞−∞ f (t) · e−iωtdt

F (jω0) =T√2πN

N−1∑k=0

f

(kT

N

)· e−2ijπ

kN

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 46 / 57

DFT

Fur 0 ≤ k , j < N:

Fourier Reprasentation

f (t) = 1√2π

∫∞−∞ F (ω) · e iωtdω

f

(kT

N

)=

√2π

T

N−1∑j=0

F (jω0) · e2ikπjN

Fourier Transformation

F (ω) = 1√2π

∫∞−∞ f (t) · e−iωtdt

F (jω0) =T√2πN

N−1∑k=0

f

(kT

N

)· e−2ijπ

kN

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 46 / 57

DFT

Fur 0 ≤ k , j < N:

Fourier Reprasentation

f (t) = 1√2π

∫∞−∞ F (ω) · e iωtdω

f

(kT

N

)=

√2π

T

N−1∑j=0

F (jω0) · e2ikπjN

Fourier Transformation

F (ω) = 1√2π

∫∞−∞ f (t) · e−iωtdt

F (jω0) =T√2πN

N−1∑k=0

f

(kT

N

)· e−2ijπ

kN

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 46 / 57

DFT: Laufzeit

Transformationsformeln

f

(kT

N

)=

√2π

T

N−1∑j=0

F (jω0) · e2ikπjN

F (jω0) =T√2πN

N−1∑k=0

f

(kT

N

)· e−2ijπ

kN

Laufzeit

⇒ O(N2)

Es existiert ein Divide-And-Conquer-Algorithmus mit Laufzeit:

O(N · log(N))

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 47 / 57

DFT: Laufzeit

Transformationsformeln

f

(kT

N

)=

√2π

T

N−1∑j=0

F (jω0) · e2ikπjN

F (jω0) =T√2πN

N−1∑k=0

f

(kT

N

)· e−2ijπ

kN

Laufzeit

⇒ O(N2)

Es existiert ein Divide-And-Conquer-Algorithmus mit Laufzeit:

O(N · log(N))

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 47 / 57

Short TimeFourier-Transformation

Definition

Spektrogramme

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 48 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Probleme derFourier-Transformation

Problem

gegeben: Musikstuck f in der Zeitdomane der Lange N Sekunden.

gesucht: Akkord, der wahrend der Bridge gespielt wird t ∈ [0,N].

Strategie:

Nutze die Fourier-Transformation und analysiere die auftretendenFrequenzen.

⇒ Falsch, denn es werden alle in [0,N] auftretenden Frequenzen in dieFrequenzdomane uberfuhrt. Ergo kann man den Akkord nicht mehrwiederfinden! Das Spektrum hat durch die Fourier-Transformation seineZeitinformation versteckt.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 49 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Probleme derFourier-Transformation

Problem

gegeben: Musikstuck f in der Zeitdomane der Lange N Sekunden.

gesucht: Akkord, der wahrend der Bridge gespielt wird t ∈ [0,N].

Strategie:

Nutze die Fourier-Transformation und analysiere die auftretendenFrequenzen.

⇒ Falsch, denn es werden alle in [0,N] auftretenden Frequenzen in dieFrequenzdomane uberfuhrt. Ergo kann man den Akkord nicht mehrwiederfinden! Das Spektrum hat durch die Fourier-Transformation seineZeitinformation versteckt.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 49 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Grundidee

Die einzige Zeitinformation, die uns bleibt, ist, dass das Spektrum nurdie Frequenzen aus [0,N] enthalt.

Idee

Fuhre eine Fourier-Transformation nur fur ein beschranktes Zeitintervallaus. Somit beschrankt sich das Spektrum nur auf einen kleinenZeitbereich ⇒ genauere Zeitinformation.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 50 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Grundidee

Die einzige Zeitinformation, die uns bleibt, ist, dass das Spektrum nurdie Frequenzen aus [0,N] enthalt.

Idee

Fuhre eine Fourier-Transformation nur fur ein beschranktes Zeitintervallaus. Somit beschrankt sich das Spektrum nur auf einen kleinenZeitbereich ⇒ genauere Zeitinformation.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 50 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Definition

Definition

Sei f ∈ L2(R) gegeben, dann ist die Short TimeFourier-Transformation f von f gegeben durch:

fg (t, ω) =1√2π

∞∫∞

f (u)g(u − t) exp(−2πiωu)du,

wobei g die Fensterfunktion, t der Referenzzeitpunkt und ω die Frequenzist.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 51 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Eigenschaften

Die Fensterfunktion g bestimmt, welcher Ausschnitt des Signals vomReferenzpunkt t aus analysiert wird.

Neben der Rechteckfunktion konnen auch andere Funktionen alsFensterfunktion verwendet werden.

Die STFT erlaubt somit eine Darstellung des Spektrums inAbhangigkeit eines Zeitintervalls ⇒ Spektrogramme.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 52 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Eigenschaften

Die Fensterfunktion g bestimmt, welcher Ausschnitt des Signals vomReferenzpunkt t aus analysiert wird.

Neben der Rechteckfunktion konnen auch andere Funktionen alsFensterfunktion verwendet werden.

Die STFT erlaubt somit eine Darstellung des Spektrums inAbhangigkeit eines Zeitintervalls ⇒ Spektrogramme.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 52 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Eigenschaften

Die Fensterfunktion g bestimmt, welcher Ausschnitt des Signals vomReferenzpunkt t aus analysiert wird.

Neben der Rechteckfunktion konnen auch andere Funktionen alsFensterfunktion verwendet werden.

Die STFT erlaubt somit eine Darstellung des Spektrums inAbhangigkeit eines Zeitintervalls ⇒ Spektrogramme.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 52 / 57

Short Time Fourier-Transformation: Spektrogramme

Berechnung

Die Berechnung der farblichen Kodierung/z-Achse ist gegeben durch:

Spec(t, ω) = |fg (t, ω)|2

Beispiel

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 53 / 57

Literaturverzeichnis

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 54 / 57

Literaturverzeichnis

Goyal, Vivek K. et al.

”Foundations of Signal Processing”,

2014 unter: http://fourierandwavelets.org/ (Stand: 16. Oktober 2017)

Jeschke, Harald O.

”Fourierreihe und Fouriertransformation”,

Okayama unter: http:

//www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel1_2up.pdf

Stand (16.Oktober 2017)

Krieg, Aloys/Walcher, Sebastian

”Analysis fur Informatiker. Skript zur Vorlesung”,

Aachen 2016.

Muller, Meinard

”Fundamentals of Music Processing. Audio, Analysis, Algorithms, Applications”,

2015.

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 55 / 57

Literaturverzeichnis

Scholz, Jan

”Diskrete FOURIER-Transformation” in: ”FOURIER-Transformation undSaitenschwingung”,

Gießen 2003 unter:https://www.staff.uni-giessen.de/~gd1186/F-Prak/node8.html (Stand: 16Oktober 2017)

Thomas, Sebastian

”Lineare Algebra fur Informatiker. Manuskript”,

Version 2.4.1, Aachen 1. August 2017

Westermann, Thomas

”Mathematik fur Ingenieure. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch”,

7. Auflage 2015 unter: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~weth0002/

buecher/mathe/downloads/kap18ext1059.pdf (Stand: 16.Oktober 2017)

mathe-online.at Redaktion

”Fourierreihen”,

unter: http://www.mathe-online.at/mathint/fourier/i.html (Stand:16.Oktober 2017)

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 56 / 57

Noch Fragen?

Andreas Bruggemann & Lukas Westhofen 17. Oktober, 2017 57 / 57