• L’ interferogramma misurato Wi non e’ una funzione continua, ma campionata su un insieme di punti a posizioni xi dello specchio mobile, separate da Δx
• Quindi si puo’ calcolare solo una trasformata di Fourier discreta.• Esiste un insieme di frequenze σi alle quali la trasformata
discreta di Fourier dell’ interferogramma campionato e’esattamente uguale alla trasformata di Fourier dell’interferogamma, cioe’ allo spettro vero. Queste frequenze sono
• A queste frequenze
• Lo spettro campionato e’ ambiguo: ci sono due frequenze possibili che possono generare esattamente gli stessi segnali diinterferenza nei punti xi .
Campionamento
,...2,1,02
±±=Δ
= nx
nnσ
( ) ( ) ( ) xxmxmWS n
N
Nmns ΔΔΔ= ∑
−=
πσσ 4cos
( ) ( )xmmxmxmx
Δ=+Δ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Δ+ πσππσσπ 4cos24cos
24cos l
l
• Per ogni frequenza dello spettro campionato esistono infinite altre frequenze che generano uno spettro indistinguibile dal primo.
• Quindi lo spettro campionato sara’ corretto solo nel primo intervallo, poi si ripetera’ uguale.
• L’ intervallo spettrale libero e’ quindi
Campionamento( )
( ) ( ) ( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Δ+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ΔΔΔ=
Δ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Δ+
∑−=
xSS
xxmxmWS
xmxmx
nsns
n
N
Nmns
24cos
4cos2
4cosl
l
σσπσσ
πσσπ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Δ∈
xn 21,0σ
• Inoltre:
• quindi
Aliasing( )
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ Δ+
Δ=ΔΔ+=ΔΔ−−=
=ΔΔ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ Δ−
Δ
xmx
xmmxmm
xmmxmx
σπσππσππ
σππσπ
414cos4cos4cos
4cos4
14cos
• Quindi, all’ interno dell’intervallo spettrale libero, lo spettro campionato si rifletteattorno alla frequenza di Nyquist:
xN Δ=
41σ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Δ+Δ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Δ−Δ
σσx
Sx
S ss 41
41
xΔ41
xΔ21 σ
S
• Si noti che σN e’ meta’ della freq. di campionamento σC=1/(2Δx).• Questo fenomeno e’ caratteristico di tutti i segnali campionati. Da
segnali campionati ad intervalli Δx non c’e’ modo di sapere se il segnale proviene dalla frequenza σ o dalla frequenza σN+(σN-σ).
• E’ quindi necessario rimuovere con un filtro passa-basso molto efficiente tutte le frequenze superiori a quella di Nyquist.
• Esempio tipico: musica digitale. Nei CD il suono e’ campionato ad una frequenza di 44kHz. In questo modo, tutte le frequenze udibili dall’ orecchio umano (10Hz-20 kHz) sono inferiori alla frequenza di Nyquist di 22kHz. Solo frequenze superiori a 22kHz potrebbero contaminare le frequenze udibili. Ma sono inudibili, e quindi possono essere rimosse con un filtro passa-basso opportuno, che taglia le frequenze inudibili e lascia inalterate quelle udibili.
Aliasing
xN Δ=
41σ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ Δ+Δ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Δ−Δ
σσx
Sx
S ss 41
41
• L’ aliasing negli spettri FTS deve essere ridotto in due modi:– Utilizzando filtri passa basso ottici
opportuni– Infittendo il passo di
campionamento Δx finche’ la frequenza di Nyquist diventa superiore a quella della massima frequenza contenuta nel segnale da analizzare.
• Il problema e’ particolarmente sentito nel lontano IR, sub-mm e mm, dove la radiazione da analizzare ha normalmente intensita’ molto inferiore a quella di frequenze piu’ alte (IR e visibile). Queste ultime devono quindi essere rimosse con filtri passa-basso estremamente efficienti.
Aliasing
mm IR Vis
Logν
LogB(ν)
• Esempio tipico: misura dello spettro della CMB:• L’ intensita’ di un corpo nero a 2.728K e’ 100 volte
inferiore a quella di un corpo nero a 273K nella regione di Raileigh-Jeans, ma e’ enormemente inferiore nella regione di Wien.
• Esercizio: ricavare il fattore di reiezione che deve avere un filtro passa-basso per permettere la misura al 10% della brillanza CMB a σ=5,10 e 20 cm-1, in presenza di un fondo di origine strumentale a 273K con emissivita’ del 5%.
•
Aliasing
• Ma come si fa la divisione del fascio in due da ritardare e ricombinare ?
• Ci vuole un beamsplitter.
• Soluzione piu’semplice: film dielettrico
• Indice di rifrazione n, angolo di incidenza θ, angolo di rifrazione θ’.
• Trattazione identica al Fabry-Perot
Il beamsplitter
rrt2
r3t2
r5t2
r7t2
t rtr2t
t2
r2t2
r4t2
r6t2
n
• Come per il FP lo sfasamento tra un raggio e il successivo e’
• Il campo riflesso totale sara’ la somma di tutti i campi riflessi:
Il beamsplitter
rrt2
r3t2
r5t2
r7t2
t rtr2t
t2
r2t2
r4t2
r6t2
n
σθπδ 'cos4 nd=
( ) ( )( ) ...32cos
22cos2cos2cos(25
232
+++
+++++−=
δπσ
δπσδπσπσ
cttr
cttrctrtctrEE o
La riflessione in un mezzo con n inferiore di quello dello specchio provoca uno sfasamento di π(equazioni di Fresnel)
• E passando alla notazione esponenziale
• Analogamente si trovail campo trasmesso
Il beamsplitter( ) ( )
( ) ...32cos
22cos2cos2cos(25
232
+++
+++++−=
δπσ
δπσδπσπσ
cttr
cttrctrtctrEE oR
( )[ ]( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+−=
=+++++−=
=+++++−=
δ
δπσ
δ
δπσ
δδπσ
δδδδπσ
δδδδπσ
i
icti
oR
i
icti
oiicti
o
iiiictio
iiiictioR
erereEE
ererreE
eretreE
erereretreE
etretretretreEE
22
2
22
222
3624222
42632422222
11
111
111
...11
....)1(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= δπσ
icti
oT erteEE 2
22
1
Il beamsplitter
rrt2
r3t2
r5t2
r7t2
t rtr2t
t2
r2t2
r4t2
r6t2
n
( ) ctioi
icti
oR eErerereEE πσδ
δπσ 2
22 ˆ
11
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=
ctioi
ctioT eEt
erteEE πσ
δπσ 2
2
22 ˆ
1=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
ctioeE πσ2
Specchio fisso
Specchio Mobile
Rivelatore
Beamsplitter
Sorgente
Ambedue i fasci vengono sia riflessi che trasmessi dal beamsplitter prima di arrivare al rivelatore
treEE ctio
ˆˆ2 2Riv
πσ=
• L’ intensita’ trasmessa fino al rivelatore e’quindi
• Che diventa nulla quando
Il beamsplitter
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )22
2
Riv242
222
Riv
242
422
2422
422
2
2
2
2
222
2**22*RivRivRiv
cos21cos1)1(8
cos21cos1)1(8
cos21cos124
1114
1111
114
ˆˆˆˆ4
RRRRII
rrrrII
rrtrE
rerereetrE
ert
ert
erer
ererE
tretreEEEI
oo
oii
ii
o
iii
i
i
i
o
ctictio
+−
−−=→
+−
−−=
→+−
−=
++−
++−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=
===
−
−
−−
−
−
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδδ
δ
δ
δ
πσπσ
'cos2'cos41cos
θσπσθπδ
ndmmnd mm =→=→=
'cosθσ
ndm
m =
Il beamsplitter
• Piu’ sottile e’ il beamsplitter e piu’separati sono gli zeri (quindi e’ piu’ampio l’ intervallo di frequenze utilizzabile, e piu’bassa e’ la frequenza minima osservabile..)
PolyethyleneTerephthalate(mylar or melinex)n=1.7
• Inoltre faremo in modo che la potenza trasmessa sia massima alla frequenza σi che ci interessa di piu’. Quindi per σ=σi deve essere
• Siccome l’ assorbimento del dielettrico di solito aumenta all’ aumentare della frequenza, in pratica si scegliera’ d tale che (con M=1)
Il beamsplitter( )
( )22
2
Rivcos21
cos1)1(8RR
RRII o+−
−−=
δδ
( ) ( )'cos4
1212'cos41cosθ
σπσθπδnd
MMnd mM−
=→−=→−=
'cos41
θσ ind =
( ) [ ]{ }
( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]{ } σπσ
σθπσθπσ
σπσσσ
dxRndR
ndRRS
dxrtSxI
4cos1'cos4cos21
'cos4cos1)1(8
4cos1)()(
022
2
0
++−
−−=
=+=
∫
∫∞
∞
Facendo la antitrasformata di Fourier del segnale si ricava il prodotto dello spettro da analizzare per la funzione di efficienza del beamsplitter. Questa deve essere nota per ritrovare S(s) !!!
Solo nel caso si facciano misure di trasmissione non c’e’ problema: si fa uno spettro con il filtro T (s) da caratterizzare e poi uno senza che serve per normalizzare. Ovviamente dove rt e’ basso il rapporto segnale-rumore cala drasticamente…
Per le basse frequenze, ci sono 2 soluzioni:
• Il Michelson e’ uno strumento a divisione di intensita’• Il Lamellar Grating e’ uno strumento a divisione di
fronte. Funziona bene anche a basse frequenze, fino a lunghezze d’ onda confrontabili con il passo a (di solito dell’ ordine di 1 cm).
FTS a divisione di fronte
Top Related