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iv:0

801.

4087

v1 [

hep-

th]

27

Jan

2008

Sur les corrections de la géométrie

thermodynamique des trous noirs.

Bhupendra Nath Tiwari ∗

Department of Physics,

Indian Institute of Technology,Kanpur-208016, India.

Abstract

We study thermodynamic geometry of certain black holes and black branes

with and without generalized uncertainty principle or stringy α′-corrections

to the entropy. From this perspective, we analyze Ruppenier geometry of

Reissner-Nordström black holes and show that it is well defined and corre-

sponds to a non-interacting statistical system. We investigate that the Wein-

hold geometry of dilatonic black holes is regular everywhere and that of large

mass Reissner-Nordström black holes in the Poincaré patch of AdS4 contains

certain narrow range of thermodynamically unstable regions in the statespace.

We obtain that the generalized uncertainty principle corrected Ruppenier ge-

ometry of Reissner-Nordström black holes correspond to a non-interacting

statistical system unlike the magnetically charged black holes. We show that

the stringy α′-corrections do not introduce singularity in the statespace ge-

ometry of non-supersymmetric extremal black holes in D = 4. Interestingly,

the degree of scalar curvature and that of the determinant of this Ruppenier

geometry can be written as an integer multiple of the order of α′-correction.

We further show that the statespace geometry of Gauss- Bonnet corrected

supersymmetric extremal black holes in D = 4 as well as non-extremal D1D5and D2D6NS5 black branes in D = 10 is regular everywhere. Furthermore,

the thermodynamic geometry of four dimensional rotating Kerr-Newman ex-

tremal black holes in Einstein-Maxwell theory is everywhere ill-defined and

that of the Kaluza-Klein black holes in Einstein-Maxwell theory or the one

arrising from heterotic string compactification is ill-defined only at the points

of the ergo-branch.

Keywords: Thermodynamic Geometries, Higher Derivative Gravity, General-ized Uncertainty Principle, Black Hole Physics .

PACS numbers: 04.70.-s: Physics of black holes; 04.70.Dy: Quantum aspectsof black holes, evaporation, thermodynamics; 11.25.-w: Strings and branes .

∗bntiwari@iitk.ac.in

1

http://arxiv.org/abs/0801.4087v1

Table des matières

1. Introduction.2. L’origine de la géométrie thermodynamique.3. Les géométries thermodynamiques des trous noirs:3.1 La géométrie de Ruppenier des trous noirs de Reissner-Nordström.3.2 La géométrie de Wienhold des trous noirs dilatoniques.3.3 La géométrie de Wienhold des solutions de M2-branes:Les trous noirs de Reissner-Nordström dans la nappe de Poincaré d’ADS4.4. Les corrections de lP dans la géométrie thermodynamique:4.1 La géométrie de Ruppenier des trous noirs de Reissner-Nordström.4.2 La géométrie de Ruppenier des trous noirs chargés magnétiquement.5 Les corrections d’α′ dans la géométrie thermodynamique:5.1 La géométrie de Ruppenier des trous noirs dyoniques extrémals supersymétriques

en quatre dimensions.5.2 La géométrie de Ruppenier des trous noirs dyoniques extrémals non-supersymétriques

en quatre dimensions.5.3 L’Observation: La nature de la courbure scalaire de Ruppenier d’après les

corrections d’α′ des trous noirs dyoniques extrémals non-supersymétriques en quatredimensions.

6. La géométrie de Ruppenier des solutions non-extrémales de branes D1D5 etD2D6NS5 en dimensions D = 10:

6.1 La géométrie de Ruppenier des solutions non-extrémales de branes D1D5.6.2 La géométrie de Ruppenier des solutions non-extrémales de branesD2D6NS5.7. La géométrie de Ruppenier des trous noirs extrémals en rotation en quatre

dimensions:7.1 Les trous noirs de Kerr-Newman dans la théorie d’Einstein-Maxwell.7.2 Les trous noirs de Kaluza-Klein dans la théorie d’Einstein-Maxwell.7.3 Les trous noirs de la théorie des cordes hétérotiques compactifiée toroidale-

ment.8. Remarques et conclusions.9. Les appendices:L’annexe A: La géométrie thermodynamique de Ruppenier pour les trous noirs

avec deux paramètres.L’annexe B: La géométrie thermodynamique de Ruppenier pour les trous noirs

avec trois paramètres.L’annexe C: La géométrie thermodynamique de Ruppenier pour les trous noirs

dyoniques extrémals non-supersymétriques.

Mots-clés: Les géométries thermodynamiques, la théorie de la gravité des dérivéessupérieures, le principe d’incertitude généralisée, la physique des trous noirs oubranes noirs .

2

1 Introduction:

Motivés par la méthode de la fonction de l’entropie et le principe d’incertitudegénéralisée, nous examinons la géométrie thermodynamique associée à l’entropieou à la masse des différents trous noirs ou branes noirs. Nous avons considéréune série de systèmes de trous noirs et analysons leur géométrie thermodynamique.Notre perspective de l’étude géométrique est divisée en deux partiés: la premièreest les corrections dans l’entropie des trous noirs en raison du principe d’incertitudegénéralisée et la seconde est les corrections supérieures à l’entropie des trous noirspar la méthode de la fonction de l’entropie [1].

Les propriétés thermodynamiques, du trou noir de la théorie des cordes, sontélégamment résumées par l’assignment d’une entropie du trou noir [2]. Il existeune structure riche dans le cadre des trous noirs demi-BPS dans les théories dessupercordes en N = 2 et D ≥ 4, par le biais de certaines compactifications desdimensions supérieures des théories des supercordes. En raison de la compactifica-tion, certains champs scalaires apparraissent dans la théorie, avec des valeurs prochede l’horizon sont déterminées uniquement par les charges portées par le trou noir.Les valeurs proches de l’horizon sont donc indépendantes de leur valeur asympto-tique. Ces champs scalaires constituent l’espace de modules scalaires sur lesquelsl’entropie des trous noirs est indépendante [1, 3, 4, 5, 6]. Ces trous noirs, des su-percordes compactifiées, ont le pouvoir d’être liés au système dynamique par cemécanisme attracteur. C’est-à-dire les équations de la structure complexe appeléesles équations d’attracteur pour les charges, ont certaines conditions sur les struc-tures d’Hodge de la variété complexe, particulièrement avec le tore T6 ou la variétéde Calabi-Yau.

En revanche, l’entropie des différents trous noirs dépend des termes dérivéssupérieures se figurant dans le prepotentiel généralisé [7, 8, 9, 10]. De plus, danscertain cas, la partie réelle de l’espace des modules scalaires des multiples vecteursest proportionnelle aux champs magnétiques, alors que la partie imaginaire est pro-portionnelle aux champs électriques à l’horizon du trou noir [1, 10]. Cette propriétéde dépendance de l’entropie des trous noirs des termes dérivés supérieures peut êtrecodée dans le nombre de la deuxième classe de Chern de l’espace topologique sous-jacent sur lequel la théorie des supercordes est compactifiée. En outre, à proximitéde l’horizon des trous noirs de la théorie des supercordes de N = 2, il est bien connuque tous les termes de la densité langrangianne s’éclipsent, à l’exception d’un seulterme proportionnel à la partie imaginaire du prepotentiel généralisé. L’une des plusintéressantes corrections de la densité lagransianne dans le cas de la courbure carréde l’espace-temps à l’aire de l’horizon des trous noirs, est le terme: 4πIm(ΥFΥ)[7, 8, 9, 10].

Comme il est désormais bien connu, la méthode de la fonction de Sen de l’entropieest la meilleure méthode pour calculer les contributions d’α′ des dérivées supérieuresd’une classe de trous noirs découlant des théories des cordes. Un exemple de basede notre compréhension du mécanisme attracteur et de l’entropie d’un trou noirextrémal avec les charges électriques et magnétiques, est la solution de Reissner-Nordström. Cette solution décrit un trou noir chargé et sphériquement symétrique,dans les quatre dimensions de la théorie d’Einstein-Maxwell. Il s’agit d’une solu-tion classique exacte pour toute distance finie r qui décrit une sphère ordinaire S2

de deux dimensions et un espace-temps bidimensionel connu AdS2. Donc, cettesolution décrit également la gravité d’Einstein en deux dimensions avec une valeurnégative de la constante de cosmologie.

De plus, cette situation a une isométrie de SO(3) agissant sur la sphère S2, quireflète la symétrie sphérique du trou noir original et est présente également dansla solution complete de ce trou noir. Elle a également une isométrie de SO(2, 1)agissant sur l’espace d’AdS2, alors qu’elle n’était pas présente initialement dans

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la solution complete de ce trou noir. Dans ce cas, il est facile de montrer que lamétrique et les champs de jauge peuvent être écrits invariablement par la transfor-mation de SO(2, 1)×SO(3). En fait, cette manière de définir un trou noir extrémalfonctionne en général bien avec les dérivées supérieures de la théorie de la gravité.En particulier, 〈〈 dans toute la théorie de la gravité généralement covariante et con-juguée aux champs de la matière, la géométrie proche de l’horizon d’un trou noirextrémal présentent une symétrie de la sphère en quatre dimensions a l’isométriede SO(2, 1)× SO(3)〉〉 [11, 12].

En outre, l’entropie des trous noirs extrémals chargés et en rotation est bien con-nue dans la théorie des cordes hétérotiques depuis très longtemps [13]. Sen et.al.considèrent que dans la théorie générale de la gravité des dérivées supérieures, quiest conjuguée aux champs de jauge et aux champs scalaires neutres, l’entropie ainisique l’arrière-plan proche de l’horizon d’un trou noir extrémal en rotation, peuventêtre déterminés par extremisation de la fonction d’entropie de Sen. Actualement,il ne dépend que des paramètres de caratérisation de l’horizon comme par exem-ple, les charges électriques, les charges magnétiques et le moment cinétique du trounoir. Toutes les solutions de trous noirs extrémals, comme dans le cas du trou noirextrémal de Kerr-Newmann ou celui de Kaluza-Klein dans la théorie d’Einstein-Maxwell, ou bien aussi des trous noirs extrémals découlant de la théorie des cordeshétérotiques compactifiée toroidalement, ont également deux types différents de lim-ites extrémales que l’on appelle la branche d’ergonomie et la branche d’ergonomie li-bre. Dans la limite extrémale correspondante à la branche d’ergonomie, l’expressionde l’entropie du trou noir extrémal de la théorie des cordes hétérotiques compactifiéetoroidalement peut être obtenue par la méthode de la fonction de l’entropie qui estdonnée par S(P1, Q2, P3, Q4, J) := 2π

√J2 + P1Q2P3Q4, où P1, P3 et Q2, Q4 sont

respectivement les charges électriques et magnétiques dans la théorie des cordeshétérotiques tronquée [14]. Il est également bien connu que cette entropie est in-variante par transformation de la dualité dans le cadre d’une transformation deSO(2, 2) pour les vecteurs des charges électriques et magnétiques caractérisant lasolution du trou noir.

Nous pourrions bien sûr refaire le même genre de calcul dans le cas des trousnoirs ou branes noirs non-extrémals. Pour cela, on a démontré que le formalisme dela fonction de l’entropie fonctionne bien pour certains cas spéciaux des trous noirsnon-extrémals et également pour des branes noirs non-extrémals, malgré le faitque l’horizon de ces branes n’est pas attracteur. Selon l’explication du mécanismed’attracteur considéré par Kallosh et.al.[15], la distance physique à partir d’un pointarbitraire de l’horizon attracteur est infinie. Explicitement, au niveau de la super-gravité, cette distance propre d’un point arbitraire de l’horizon est finie ou infinie,selon le cas de trous noirs considérés comme trou noir non-extrémal ou trou noirextrémal. Par exemple, on a démontré que la fonction de l’entropie a un extremumproche de l’horizon d’un trou noir extrémal [16, 17]. C’est-à-dire, le formalisme dela fonction de l’entropie ne doit pas être quelque chose de spécifique pour les trousnoirs extrémals. On a aussi spéculé que le formalisme de la fonction de l’entropie estutilisable pour les trous noirs/ branes non-extrémals, dont les géométries proches del’horizon sont des extensions de l’espace d’AdS, comme le trou noir de Schwarzschilddans AdS [18]. Maintenant, compte tenu des corrections spécifiques des dérivéesplus élevées des contributions du tenseur de Weyl, comme les corrections des termesdérivés supérieurs de la théorie effective. Ensuite, pour les cas des termes dérivésplus élevées qui respectent la symétrie des solutions au niveau de l’arbre, l’entropiede ces systèmes de branes est donnée par la valeur de la fonction de l’entropie auxextremums. En outre, les corrections d’α′3 n’ont pas d’effets sur la température dusystème thermodynamique sous-jacente, mais elles diminuent la valeur de l’entropie[16, 19]. En fait, Pour incorporer les corrections d’α′ à l’entropie d’un trou noir oubrane noir, la méthode de la fonction de l’entropie de Sen est une des techniques les

4

plus efficaces. Cela n’exige pas que la fonction de l’entropie doit avoir un minimumlocal à proximité de l’horizon.

D’autre part, afin de décrire les structures de l’espace-temps à petite échelle demanière adéquate, une extension de la mécanique quantique pourrait être nécessaire.Et afin de tenir compte de la gravité, nous avons besoin de modifier la géométrieclassique continue, voir par exemple la géométrie non-commutative de Connes [20].Et bien, le principe d’incertitude généralisée peut être analysé à travers les conceptsde base de la limite et de la transformation de Fourier. Ensuite, la gravité quan-tique ou la théorie des cordes peut être étudiée dans la perspective d’une fonctioncomplexe, avec certaines modifications des conditions quantificatives dans la théoriequantique. En particulier, on peut décrire le principe d’incertitude généralisée dela théorie des cordes aux conditions d’analyticité d’une certaine fonction complexeselon le mélange d’UV/IR [21]. Cette considération est fondée sur le fait que l’échellede Planck est la longueur minimale de la nature; ainsi, il existe une longueur max-imale de la nature.

En outre, l’existence des symétries de la dualité non-perturbative de la théoriedes cordes indique que les théories des cordes ne distinguent pas les petites échellesde l’espace-temps à partir des grandes échelles de l’espace-temps. Cela nécessiteune modification du principe d’incertitude d’Heisenberg, comme par exemple pourles énergies au-delà de l’échelle de Planck, la taille de la corde grandit avec letemps au lieu de chuter. À la suite de la théorie des cordes, une introduction surcette description de l’espace-temps T-duale est donnée par Witten [22, 23], où endessous de la longueur de Planck, le concept même de l’espace-temps change sonsens et le principe d’incertitude d’Heisenberg a besoin d’être modifié. Le principed’incertitude généralisée est aussi motivé par l’étude du comportement pour les pe-tites distances de la théorie des cordes [24, 25, 26, 27], la physique des trous noirs[28] et les espaces de de-Sitter [29]. On peut révéler des indices thermodynamique-ment importants avec les corrections existentes dans la nature mais aussi l’originegéométrique de la M-théorie fondamentale [30, 31].

De plus, l’analyse des perturbations linéarisées des trous noirs de Reissner-Nordström du grand anti-de Sitter en quatre dimensions est importante pour avoirla dichotomie de la physique des trous noirs, comme l’instabilité thermodynamique.Par exemple, au cours des dernières années, on a exposé l’existence de certainsmodes tachyoniques de ces trous noirs [32, 33]. En outre, dans la limite de grandstrous noirs, il existe un écart, et lorsque ce trou noir devient thermodynamique-ment instable, le tachyon apparâıt dans le grand espace d’anti-de Sitter. Il y a eudes progrès remarquables dans la compréhension de la mécanique statistique mi-croscopique compte tenu de la thermodynamique des trous noirs, en utilisant lesconstructions de la théorie des cordes comme les D-branes [34]. Il y a une règlegénérale pour les solutions des trous noirs quasi-extrémals obtenus par les compact-ifications aux dimensions D = 4, 5 de la théorie des cordes avec plusieurs chargesélectriques, magnétiques et une masse saturant presque la limite de BPS, qui ontsans exception une chaleur spécifique positive. C’est parce que la mécanique statis-tique de l’entropie repose sur une théorie des champs des D-branes de basse énergieà partir de laquelle les trous noirs sont construits [35, 36, 37, 38, 39, 40].

Dans le prolongement de ces trous noirs les plus pertinentes dans la théorie descordes commes les trous noirs d’astrophysiques, une étape naturelle examiner lesvariantes des trous noirs thermodynamiquement instable pour lesquels la théoriedes cordes donne une description duale de la théorie des champs conformes. Leplus simple exemple d’une telle solution est la solution de Reissner-Nordström dansl’espace d’AdS. Cette solution démontre son instabilitée thermodynamique et quela solution est instable dans une analyse linéarisée [41]. On a aussi conjecturé dansle passé qu’il existe une relation générale entre l’instabilité thermodynamique etl’instabilité de Gregory-Laflamme pour les branes noirs [42, 43]. Voir pour plus de

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détails dans le cas de l’évolution des trous noirs instables dans l’espace d’anti-deSitter [32, 33].

Dans l’étude géométrique de la thermodynamique, il existe deux types de géométriesthermodynamiques. L’une dans la representaion de l’entropie qui s’appelle la géométriede Ruppenier et l’autre dans la représentation de la masse qui est dite la géométriede Wienhold. En fait, il est bien connu que ces deux géométries thermodynamiquessont liées par une transformation conforme avec le facteur conforme à la températuredu système considéré [44, 45]. De cette manière, nous pouvons calculer la métriquede la géométrie thermodynamique dans n’importe quelle représentation et puisl’obtenir dans l’autre représentation seulement en tenant compte du facteur dela température. C’est-à-dire que les enquêtes d’une géométrie sont eqiuvalentes àcelles de l’autre. Donc, nous pouvons obtenir la métrique d’une géométrie par uneautre déjà connue, et ainsi calculer facilement les quantités géométriques dans lareprésentation souhaitée. C’est pourquoi dans la plupart des cas de notre étude,nous avons analysé le rôle des corrections de la géométrie thermodynamique quenous avons examiné, soit pour la géométrie de Ruppenier, soit pour la géométrie deWienhold.

Dans l’article [46], nous avons déjà analysé la géométrie thermodynamique destrous noirs de BTZ. Nous avons montré que l’espace d’état n’a pas d’interactionsthermodynamiques et la courbure scalaire de Ruppenier est partout nulle, et cecireste également le cas avec les corrections de Chern-Simons. De plus, les interac-tions thermodynamiques sont finies et non nulles lorsque les petites fluctuationsthermiques de l’ensemble canonique sont prises en compte. Cela reste le cas avecune petite courbure scalaire de Ruppenier, pour des trous noirs de BTZ ou bienceux de BTZ-Chern-Simons, si bien qu’on choisit le paramètre de rotation J = 0,voir [46] pour le détails. Hormis cela, nous avons étudié la géométrie de Rup-penier de certains trous noirs et branes noirs extrémals. Nous avons montré quela géométrie thermodynamique des branes noirs D1D5 et D2D6NS5 extrémals enD = 10 découlant de la théorie des cordes de type-II, et les petits trous noirs enD = 4 découlant de la théorie des cordes hétérotiques, est bien définie [47]. En-suite, il est analysé que la courbure scalaire de Ruppenier est partout régulière, etla nature reste inchangée, si on ajoute les corrections d’α′. Bien que la correctiond’α′ de l’ordre premier modifie l’entropie des petits trous noirs, la géométrie ther-modynamique n’est pas bien définie, mais les corrections d’α′ des ordres supérieursla rendent bien définie et partout régulière.

Dans cet article, nous étudions la géométrie thermodynamique et les effets descorrections des dérivées supérieures de la géométrie thermodynamique. En par-ticulier, nous étudions les corrections de la géométrie thermodynamique dûe auprincipe d’incertitude généralisée, et celles en raison des corrections d’α′ de lathéorie des cordes. Le reste de l’article est organisé en plusieurs sections. Lapremière section introduit les problèmes et les motivations. Dans la section 2, nousavons examiné les origines de la géométrie thermodynamique dans la mécaniquestatistique. Nous avons expliqué que la géométrie thermodynamique se pose na-turellement dans l’approximation gaussienne de la fonction de partition des grandescanoniques, alors que l’ensemble des canoniques a seulement la transformation del’échelle. Dans la section 3, nous avons analysé la géométrie thermodynamique decertains trous noirs et branes noirs dans la théorie des cordes. De plus, nous avonsdonné une reformulation du problème en termes de l’énergie libre topologique dutrou noir et ainsi de la fonction de partition de trou noir. Ceci est comptible pourle cas des petits trous noirs que l’ensemble doit être un ensemble mélangé. Enparticulier, nous considérons la géométrie de Ruppenier des trous noirs de Reissner-Nordström et également la géométrie de Wienhold des trous noirs dilatoniques etde la solution de Reissner-Nordström dans la nappe de Poincaré d’ADS4. Dansla section 4, nous avons incorporé les corrections dûes au principe d’incertitude

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généralisée dans la géométrie thermodynamique. Ici, nous analysons la géométriede Ruppenier corrigée par le principe d’incertitude généralisée pour le cas de trousnoirs de Reissner-Nordström et celui des trous noirs chargés magnétiquement.

Dans la section 5, en prenant les corrections d’α′ de la théorie des cordes, nousconsidérons la géométrie de Ruppenier corrigée par les termes d’α′ des trous noirsextrémals dans D = 4. Nous avons montré que dans le cas des trous noirs non-supersymétriques, les corrections d’α′ d’ordre différents n’introduisent pas la sin-gularité dans la courbure de Ruppenier, et le sous-espace d’état est partout régulièr.Cela est également vrai pour les corrections des trous noirs supersymétriques extrémalsdans D = 4 de Gauss-Bonnet. En outre, nous avons observé une tendance biendéfinie pour la courbure scalaire de Ruppenier et pour le déterminant de la métriquecomme le polynômes. Aussi, il est intéressant de noter que le degré de ces courbu-res de Ruppenier et des déterminants peuvent être déterminés par l’ordre supérieurdes corrections d’α′, à tous les ordres d’α′ plus grand qu’un. Dans le section 6,nous examinons la géométrie de Ruppenier des branes noirs D1D5 et D2D6NS5non-extrémals en D = 10 et montrons que ces systèmes thermodynamiques sontpartout réguliers et bien définis. Dans le section 7, nous concentrons notre atten-tion sur les trous noirs en rotation, obtenus à partir de la théorie des cordes. Nousavons expliqué que la courbure sous-jacente de Ruppenier diverge aux succursalesd’ergo et en ces points, la géométrie thermodynamique devient mal définie. Enfin,la section 8 contient des questions et des remarques de conclusion pour l’avenir.

2 L’origine de la géométrie thermodynamique:

Dans cette section, nous allons tout d’abord faire une petite introduction de lagéométrie thermodynamique. Et le but de cette section est principalement de placerles notations et les conventions qui seront suivies dans le reste du cet article. Com-mençons en considérant les dispositifs de base nécessaires de la mécanique statis-tique pour expliquer les concepts géométriques thermodynamiques [48, 49]. Nousmontrons que la géométrie thermodynamique découle naturellement de la théoriedes ensembles.

Il est bien connu que la fonction de cloison de l’ensemble canonique est Z =∑E e

− EkT =∫Γ(E)e−

EkT dE =

∫e−

1kT {E−TS(E)}dE, où Γ(E) est le nombre des

micro-états entre l’énergie E et E + dE avec l’hypothèse du Boltzmann: S =k ln Γ(E). Puisque E − TS ∼ ♥(N) ainsi pour N → ∞, l’intégral est dominépar le minimum de E−TS. La condition d’un minimum de E−TS est à obtenir àE = E par 1 = T ( ∂S∂E )E . C’est la relation qui définit la température T

−1 = ( ∂S∂E )Eet bien c’est une relation thermodynamique entre l’entropie et la température, doncE est l’énergie thermodynamique. L’expansion de Taylor de E − TS(E) à E estsimplement, E − TS = E + E − E − TS(E) − T ( ∂S∂E )E(∆E) + T2 ( ∂

2S∂E2 )(∆E)

2 +

♥((∆E)3)+ . . . = F − T2 ∂∂E ( 1T )(∆E)2 = F +(∆E)2

2TC , où F = E−TS(E) est l’énergielibre, c’esct à dire, F est une valeure minimume de (E − TS) quand la correctionest positif ce qui se produit ssi C > 0. En d’autres termes, l’intégral est dominé ssi

la chaleur spécifique C est positive. Donc, Z = e− FkT∫e−

∆E2

2kT2C dE. Il implique quela distribution canonique correspond à une fluctuation gaussienne avec de l’énergiethermodynamique moyenne. On peut voir facilement, Z ∼ ♥(

√C) ∼ ♥(

√N) qui

entrâıne, lnZ = − FkT + ln(♥(√N)). Dans la limite thermodynamique, ln(♥(

√N))

ne domine pas parce que − FkT ∼ ♥(N). Enfin, on a une relation entre la mecaniquestatistique et la thermodynamique qui sont représentés respectivement par Z et F .Cette relation est donnée par l’énergie libre thermodynamique F = kT lnZ.

De la même manière, la fonction de cloison de l’ensemble grand canonique estdonné par Q =

∫Γ(E,N)e−

1kT (E−µN)dEdN , où Γ(E,N) est le nombre des états

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avec E,N . On peut écrire facilement, Q =∫e−

1kT (E−TS−µN)dEdN . Dans la

limite, N → ∞, l’intégral va dominer par le minimum de (E − TS − µN), à qui lesconditions extrêmumes sont: T−1 = ( ∂S∂E )V,N et µ = T (

∂S∂N )V,E . On peut résoudre

ces équations avec les solutions: E = E,N = N . Écrivant (E − TS − µN) =E − µN − TS(E,N)− T2 {( ∂

2S∂E2 )N,V (∆E)

2 + 2 ∂2S

∂E∂N (∆E∆N) + (∂2S∂N2 )E,V (∆N)

2 +

. . .} = −PV + T2 {α(∆E)2 + 2β(∆E∆N) + γ(∆N)2}, où E,N sont les valeursthermodynamiques des E,N . Nous avons défini α := ( ∂

2S∂E2 )N,V , β := (

∂2S∂E∂N )V et

γ := ( ∂2S

∂N2 )E,V . Pour avoir le minimum du (E − TS − µN), la forme quadratiquedans la parenthèse {..} doit être définie positive, ce qui est ainsi, ssi α > 0, β > 0 etαγ > β2. Donc Q = ePVkT

∫d(E − E)d(N − N)e−12k {α(∆E)2+2β(∆E∆N)+γ(∆N)2}. À

la mesure, N → ∞, nous avons: kT lnQ = PV + ♥(ln√N). Ainsi la distribution

grande canonique est une distribution quadratique des fluctuations dans E et N . End’autres termes, la distribution grande canonique est équivalente à une distributiongaussienne des fluctuations dans l’énergie et le nombre de particules.

Et bien, les lois thermodynamiques ne sont pas fondamentales mais elles viennentdes propriétés microscopiques du système. Dans ce cas, nous voyons trivialement,TdS = dE+PdV −µdN où l’entropie joue un rôle important. Si la dépendance del’entropie S(U, V,N) aux variables U, V,N est connue alors la connaissance complètede tous les paramètres thermodynamiques peut être obtenue. En effet, il est facile devoir que l’entropie du système caractérise les fluctuations thermiques de l’énergieet du nombre de particules du système. Définissons, ds2 := αdE2 + 2βdEdN +

γdN2 avec gij(x) =

(α ββ γ

)où x :=

(EN

). On peut observer que la gij est

symétrique et positive définie pour toute la variable thermodynamique x ∈ R2.L’entropie statistique d’un système est S = kB ln Γ(U, V,N), où Γ représente lenombre quantique de tous les constituants des sous-ensembles. Nous avons Γ = 1si il n’y a aucun désordre.

De plus, pour un corps macroscopique dans l’équilibre, les quantités physiquesont généralement de petites déviations de leurs valeurs moyennes. Nous pou-vons trouver une distribution de probabilité de ces fluctuations thermiques enconsidérant Γ = eS comme un commencement de la théorie de fluctuation. Soitle P une distribution de probabilité, c’estr à dire que P ∝ eS. En particulier,considérons la distribution gaussienne de plusieurs quantités thermodynamiqueset leurs fluctuations simultanées de leurs valeurs moyennes. Nous pouvons définirl’entropie S(x1, x2, . . . , xn) d’un corps macroscopique dans l’équilibre dependant sur{xi} avec leur déviations par l’expension du Taylor juaqu’à deuxième ordre: S =S0− 12

∑ni,j=1 gijx

ixj , où la métrique de Ruppenier gij est définie par gij := − ∂2S

∂xi∂xj

[44, 45, 46, 47, 50, 51, 52]. Ainsi la distribution de probabilité peut être écrite sim-

plement: P = Ae−12gijx

ixj , avec la normalisation∫ ∏n

i=1 dxiP ({xj}nj=1) = 1. Il estfacile d’obtenir: A =

√g

(2π)nn

avec g = ‖gij‖, donc nous avons: P =√g

(2π)n2e−

12gijx

ixj .

Définissons, l’élément de la ligne entre les deux états arbitraires d’équilibre qui estdonnée par ds2 :=

∑i,j gijdx

idxj . Ainsi Xi =∂S∂xi = gijxj , puis les fonctions de

corrélation de paire sont < xixj >= gij =< XiXj >. Nous appelerons {Xi} comme

variables thermodynamiques et assignons gij pour être la métrique parce que Xi est

conjugué à xi. Nous pouvons obtenir les propriétés thermodynamiques en limitantnous-même, aux coordonnées qui sont des paramètres extensives de la thermody-namique ordinaire. C’est un modèle géométrique qui est basé sur l’inclusion de lathéorie des fluctuations dans les axiomes de la thermodynamique d’équilibre. Cettegéométrie (M, g) est appelée la géométrie thermodynamique de Ruppenier. C’est lagéométrie dans laquelle les états d’équilibre peuvent être représentés par les pointsde la variété riemannianne (M, g) et la distance entre ces points d’équilibre est liée à

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la fluctuation thermique entre eux. De cette façon, nous pouvons avoir une relationentre la géométrie et la probabilité, en particulier, 〈〈 moins probable 〉〉 signifie que〈〈 dans le lointain 〉〉.

Nous considérons la géométrie de Ruppenier des systèmes de trous noirs. Cettegéométrie donne une méthode directe pour analyser les points critiques des trousnoirs. Cette méthode géométrique est un domaine important de la recherche courantepour comprendre la thermodynamique d’un trou noir. Les observations sont impor-tantes parce que la courbure scalaire thermodynamique de Ruppenier est propor-tionnelle au volume de la corrélation qui signifie l’interaction du système statistiquefondamental. C’est à dire que, soit ξ est longueur de corrélation puis on a R ∼ ξd,où d est la dimension spatiale du système statistique [44]. En fait, c’est la base d’unmodèle géométrique qui est basée sur l’inclusion de la théorie de fluctuations dansles axiomes de la thermodynamique d’équilibre. C’est pourquoi, dans ce modèlegéométrique qui est lié à la probabilité, on a un élément de la ligne entre les deuxétats d’équilibre avec la métrique gij = −∂i∂jS(x1, . . . , xn). Dans le cas particulier,il existe les états d’équilibre qui peuvent être représentés par des points dans labidimensionnelle surface M2 et la distance entre les points arbitraires de la variétéM2 est liée aux fluctuations entre les états correspondants d’équilibres.

3 Les géométries thermodynamiques des trous noirs:

Dans cette section, nous avons analysé la thermodynamique d’équilibre des systèmesde trous noirs possèdent intéressantes caractéristiques géométriques. En effet, lagéométrie thermodynamique peut être appliquées pour étudier la nature de l’entropiedes trous noirs qui sont chargés soit électriquement, soit magnétiquement, soitles deux. Et surtout, le produit intérieur de l’espace d’état thermodynamiqued’équilibre dans la représentation d’énergie a été fournie par Weinhold, ainsi que lamatrice d’Hessian de l’énergie intérieure, en respectant la vaste thermodynamiquedes variables a été déjà expliquée dans l’introduction. Après tout, les correctionsthermiques disparaissent dans la limite thermodynamique où les entropies canon-ique et micro-canonique d’un trou noir deviennent identiques. Bien que l’originestatistique de l’entropie des trous noirs est encore incertaine, il va de soi que d’untrou noir en équilibre avec le rayonnement thermique d’Hawking à un terme fixe dela température d’Hawking est décrit par un ensemble canonique. Nous allons main-tenant discuter de la géométrie thermodynamique des trous noirs avec plusieurscharges. Parce que l’entropie de trou noir est la valeur de l’extremum de la fonctionde l’entropie. C’est pourquoi, la géométrie thermodynamique des trous noirs peutêtre déterminée par référence à l’ensemble canonique par la fonction de l’entropieà des points fixe de l’attracteur. En particulier, l’enquête de la géométrie thermo-dynamique covariante de Ruppeiner des trous noirs peuvent être mise en lumièredes aspects intéressants comme la transitions de phase et les géométries de l’espacedes modules de trou noir. De toute manière, dans la suite de cette section, nousferons une brève introduction sur les trous noirs, puis nous introduirons la géométriethermodynamique par la fonction de cloison de trou noir et ainsi l’énergie libre descordes topologiques. Ce sont deux outils que nous pouvons également utiliser avecl’aide de la conjecture d’OSV, donc nous conclurons en parlant du lien entre trousnoirs et les géométries thermodynamiques.

Nous savons qu’un trou noir est une solution classique de la relativité générale,qui peut être pensé comme un point-particule de la très grande masse. Comme, toutle trou noir ont grande force d’attraction et la même que la lumière ne peut pasaussi l’échapper. Ce fait conduit à la notion d’un événement horizon d’un trou noir,dont pas une particule physique peut le franchir. Dans les années 1970, Hawking etBekenstein ont constaté par la voix de la mécanique quantique [53, 54, 55] que le

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trou noir est un objet thermique avec certains temperature non-zéro. Comme toutles systèmes thermiques, un trou noir vient avec certaines entropie liée à la domainede l’événement horizon, ce qui est donné par la formule célébrée: SBH = A/4.En outre, du point de vue de la mécanique statistique, cette entropie est liée à unproblème de comptage pour l’ensemble de charges avec certaine énergie fixe ou cellede la masse. Précisément, la relation est donnée par Smicro = lnΩ(

−→Q,

−→P ,M),

où Ω(−→Q,

−→P ,M) est la dégénérescence d’etats avec diverses charges électriques,

magnétiques et la masseM du système. En d’autres termes, un trou noir a l’entropiequi réponde jusqu’à la deuxième loi de la thermodynamique. De plus, Les systèmesayant une plus grande entropie sont thermodynamiquement plus susceptibles desubvenir à la nature.

Souvenons-nous, comment un trou noir peut être comprise à partir des notionsde la théorie des cordes. Il est bien connu que les particules élémentaires sontcaractérisées par les états vibrationnels d’une corde. En outre, il n’y a que cinqthéories des cordes cohérentes, en particulier du type-I, du type-IIA, du type-IIB,hétérotique E8 × E8 et hétérotique SO(32); qui tous vivent dans les dimensionsd’espace-temps D = 9 + 1 [56, 57]. Pour venir à l’observations physiques des di-mensions (3 + 1), nous utilisons la procédure de la compactification pour les sixdimensions intérieures et donc les six dimensions compactifiées ne sont pas vuesdans les accélérateurs presents. De plus, chacun de ces spectres de la théorie descordes contient le graviton, qui est le médiateur de la gravité. Comme nous le savonsqu’une corde peut être pensée d’une collection d’oscillateurs harmoniques de nom-bre infini et chaque corde a d’états quantiques ou excitations d’un nombre infini.C’est-à-dire, la quantification d’une corde donne la tour infinie des etats qui peuventêtre décrits les différentes particules élémentaires. Et en particulier, les états d’unegrande masse ne sont pas observables dans les expériences des laboratoires.

Maintenant, pour avoir une idée de la dégénérescence, on peut la définir commele nombre d’états ayant certaine énergie ou celle de la masse fixe. On sait que ladégénérescence augmente rapidement, dont la masse est augmentée. Pour l’ensemblede diverses charges électriques et magnétiques (

−→Q,

−→P ) caractérisant le système

statistique, l’entropie de comptage associée au système est définie comme: Smicro =lnΩ(

−→Q,

−→P ,M). Une impprtante question pour demander est: Est-ce que Smicro =

SBH ∈ R? Pour avoir une réponse, nous allons examiner la théorie des cordeshétérotiques qui soit E8 × E8 soit SO(32) avec certains nombre d’enroulement wenroulée sur un tore. En général, cela correspond au nombre des modes de gaucheet ceux de droites de la théorie des cordes qui se déplacent avec les conditionspériodiques de la frontière des champs bosoniques. En outre, ces modes de gaucheet ceux de droites peuvent s’affronter et s’annihiler au temps ce qui correspond à unsystème instable. C’est la compréhension microscopique d’instabilités thermody-namiques en termes d’états élémentaires d’une corde hétérotique. Afin d’examinerles états stables, nous devons considérer seulement l’états en mouvement des gauchesou ceux d’états de droites, ce que l’on appelle les états de BPS.

Ces états sont décrites par deux nombres quantiques: le nombre d’enroulementw et l’élan total porté par osscilation n/k, n ∈ Z. C’est à dire qu’on a un sim-ple problème de la quantification d’une particule dans une bôıte. Ici, les w et nsont les deux nombres quantiques qui nivelent le niveau d’états quantiques d’unecorde hétérotique. Maintenant, soit Ω(n,w) le nombre d’états avec des nombresquantiques w et n. Puis, dans la limite des grandes charges: w, n → ∞, la cordehétérotique comporte comme un trou noir avec la dégénérescence des etats [58]:Ω(n,w) = exp(4π

√nw). C’est-à-dire, l’entropie de comptage ou de la mécanique

statistique est juste: Smicro = 4π√nw. Afin d’avoir une compréhension micro-

scopique d’un trou noir à partir de la théorie des cordes, nous avons besoin deSmicro = SBH .

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Il n’est pas surprenant qu’il existe les différentes corrections, par exemple: (i)les corrections d’α′ qui arrisent dûe au fait que les cordes ne sont pas des points-particules, et seulement aux grandes distances, la corde se comporte comme unpoint-particule. (ii) les corrections quantiques qui arrisent par la considération quela gravité elle-même, est une théorie quantique et pas seulement une théorie dela supergravité. C’est-à-dire qu’un trou noir est un objet quantique. En fait, lechamp de dilaton définit le paramètre de ces effets quantiques, comme 1/

√nw.

Bien que, les effets quantiques sont très faibles dans la limite des grandes charges,mais les corrections d’α′ sont d’ordre de l’unité. En fait, dans cette limite, Sena montré que les symétries des cordes heterotiques classiques avec les correctionsd’α′ donnent lieu à: Smicro = aπ

√nw, où le paramètre a dépend sur les corrections

d’α′. Par conséquent, nous voyons que la théorie des cordes fournit une explicationmicroscopiques de la théorie des trous noirs. En fait, ces trous noirs considérés sontuniquement électriquement chargées et ce sont appelés les petits trous noirs. Dansce cas, Sen a également montré qu’au niveau d’arbre d’α′, l’entropie macroscopiquedes petits trous noirs est: SBH = A/4 = 0, pour le détails voir [59]. En revanche,nous considérons maintenant les trous noirs avec SBH = A/4 6= 0 qui sont chargésélectriquement et magnétiquement [34, 60]. Dans ce cas, le comptage microscopiquecomporte sur certains D-branes et on peut récupérer dans la limite des grandscharges que Smicro = SBH [35, 36, 37, 38, 39, 40]. Maintenant sans la chargemagnétique: p = 0, on a SBH = 0 qui cöıncide avec les petits trous noirs chargéesélectriquement découlant de la théorie des cordes hétérotiques.

Donc, la théorie effective d’énergie faible de la supergravité de N = 2 inter-agissante avec le multiple vecteurs suivants de la théorie des cordes implique qu’ona les corrections de la courbures supérieures. Les efect des dérivées supérieuresmodifient la loi d’aire d’Hawking-Bekenstein et introduisent les corrections d’ordressupérieures à l’entropie thermodynamique des trous noirs. À l’échelle macroscopique,l’entropie résulte par le traitement de Walds de la gravité des courbures supérieuresgénéralement covariantes, comme une intégrante de la surface d’horizon du trounoir par une densité de la charge de Noether. En outre, les corrections des dérivéessupérieures sont encodées dans le prepotential généralisé qui est une fonction ho-mogène, holomorphes des deux degrés des champs scalaires rescaladés et la partiede l’anti-selfduale du champ graviphoton. Le mécanisme attracteur continue à teniren présence des dérivée supérieures et une application de l’analyse de Walds donnel’entropie macroscopique du trou noir. De plus, les équations d’attracteurs peuventêtre résolues, et afin de déterminer les champs scalaires en termes des charges, cequi garantit à l’horizon que l’entropie macroscopique est seulement une fonctiondes charges. Comme, nous avons expliqué, les solutions de trous noirs tombentdans deux distinctes catégories: les grands trous noirs qui ont une zone non-nullelors au niveaux des deux dérivées, et les petits trous noirs qui ont une zone nulleet transportent uniquement des charges électriques. Pour les grands trous noirsde la théorie des cordes de type-IIA compactifiée sur une variété de Calabi-Yau,on a une description en termes de certains des branes sur les cycles non-trivials.L’entropie microscopique est alors déterminé en termes de comptage de micro-étatspar la formule de Cardy dans la théorie bidimensionnelle des champs conformesde la frontière sous-jacente associées à ces branes. Ceci est perturbativement enaccord avec la précision d’ordonnance de l’entropie macroscopique. De plus, on aune reformulation du problème en termes de l’énergie libre topologique du trou noirlié au logarithme de la fonction de partition de trou noir qui indique dans le cas despetits trous noirs que l’ensemble doit être un ensemble mélangé.

En fait, il est vraiment intéressant de savoir, qu’elles sont les significations ther-modynamiques: (a) De la méthode de la fonction d’entropie fournissant certaineséquations d’attracteur ou d’unattracteur en présence des termes dérivés supérieursde l’espace-temps. (b) des equations d’attracteurs sous la méthode de la fonction

11

d’entropie mènent pendant que l’EOM et l’autre viennent pendant que l’état deSUSY. En général, ceux-ci sont les équations qui peuvent nous mener à compren-dre un ensemble possible associé au trou noir correspondant. Plus rigoureusement,les équations d’attracteurs pour le trou noir de BPS dans N = 2, D = 4 avecl’aide d’OSV définissent la fonction de cloison pour le trou noir correspondant par:ZBH(p, φ) := |expftop(p+ i2φ)|2 = |Ztop|2. C’est à dire que pour tout le prepoten-tial F, l’entropie du trou noir SBH(−→p ,−→q ) est égal à la transformation de Legendred’une fonction f , ce qui est définie par f = Im(F )|attracteur aux points d’attracteur.Donc, SBH(−→p ,−→q ) = f(−→e ,−→p )− eI ∂∂eI f(−→e ,−→p ), où ∀

−→Q = (−→q ,−→p ) et les potentiels

électriques sont définis par eI := − ∂∂qI SBH(−→p ,−→q ) ou qI =∂

∂eI f(−→e ,−→p ). Ainsi,

l’ensemble correspondant des trous noirs extermal est un ensemble mélangé [6].De même, ce système est un ensemble microcanonical du point de vue magnétique

dont les p sont maintenues fixe, tandis qu’on a besoin d’employer l’ensemble canon-ique pour les charges électriques avec les potentiels électriques eI . Et ainsi, nousdéfinissons une fonction mélangée de cloison pour ces trous noirs par ZBH(−→e ,−→p ) =∑−→q Ω(−→p ,−→q )e

−→e ·−→p , où Ω(−→p ,−→q ) est un nombre entier qui définit la dégénérescencede trou noir. De cette façon nous avons: ZBH(−→e ,−→p ) =

∑−→q elnΩ(−→p ,−→q )+−→e ·−→p =

ef(−→e ,−→p ) où f(−→e ,−→p ) = Smicro(−→p ,−→q ) +−→e · −→p . Puisque ZBH(−→e ,−→p ) est une fonc-

tion mélangée de cloison, tellement a priori il n’est pas assez clair, que la fonctionf(−→e ,−→p ) puisse être interprétée comme énergie libre du trou noir ou pas. N’importecomment, l’entropie microscopique de trou noir est donnée par Smicro = lnΩ(p

I , qI).Donc, la dégénrescence peut être obtenue en tant que la transformation inverse de

Laplace pour être: Ω(−→p ,−→q ) =∫ef(

−→e ,−→p )−−→e ·−→p d−→e , où d−→e := ∏I deI est unemesure produit. Nous pouvons noter pour les trous noirs grand qu’on peut utiliserà l’approximation de point-selle entrâıne: Smicro(p

I , qI) = SBH(pI , qI).

Nous savons que l’énergie libre des cordes topologiques peut être identifiée avec lafonction de cloison de trou noir [6]. Ainsi nous pouvons écrire l’énergie libre F(p, φ)et la fonction de cloison ZBH(p, φ) par πF(p, φ) = lnZBH(p, φ). Nous avons parla transformation de Legendre, Smacro(p, q) := π(F(p, φ)− qIφI) où qI := ∂F∂φI puisil existe une fonction holomorphique dans φ tels que la fonction de cloison de trou

noir peut écrire: ZBH(p, φ) =∑

q Ω(p, q)eiqIφ

I

= eπF(p,φ). C’est l’énergie librequi définit thermodynamiquement la fonction de cloison de l’ensemble canoniqueen considérant le volume occupé dans l’espace de Γ qui est simplement donné parQN (V, T ) := e− 1kT F(V,T ), par exemple l’énergie libre de Helmholtz est définie parF := M − TS où T := ∂M∂S . Nous pouvons écrire simplement la transformationinverse de Legendre, F = φ · q + S avec φI = − ∂S∂qI . Ainsi, l’élément de la lignede la géométrie thermodynamique peut être paramétrisée en termes d’énergie libre

topologique: ds2 = 1kB∂2F

∂Qi∂Qj dQidQj où nous avons pris

−→Q = (−→q ,−→p ). Donc, la

métrique gFij est définie par gFij :=

1kB

∂2F∂Qi∂Qj . Dans le cas des deux variables, nous

pouvons écrire que cette métrique est gF = 1kB

(∂2F∂p2

∂2F∂φ∂p

∂2F∂φ∂p

∂2F∂φ2

). Nous pouvons

également donner la métrique en termes de fonction de cloison ZBH parce que noussavons F(p, φ) = 1π lnZBH(p, φ). Donc, il est facile de voir qu’en cette terme lamétrique peut être donnée par

gZ := 1πkBZ2BH

(ZBH∂p∂pZBH − (∂pZBH)2 ZBH∂φ∂pZBH − ∂pZBH∂φZBH

ZBH∂φ∂pZBH − ∂pZBH∂φZBH ZBH∂φ∂φZBH − (∂φZBH)2).

Il est bien connu que la fonction de cloison ZBH(p, φ) des trous noirs soit associéeà la théorie des cordes topologiques, à la géométrie de Calabi Yau, à l’AdS/CFT,à l’holographie . . . etc [35, 36, 37, 38, 61]. C’est pourquoi nous avons le grandintérêt d’analyser les significations et les interprétations géométriques et thermo-dynamiques en termes des ZBH ou bien F . En particulier, il est vraiment une

12

question importante à la mode, qu’elles sont les significations thermodynamiquesdes equations d’attracteur en présence des dérivées supérieures de l’espace-temps?

De plus, les résultats de l’entropie macroscopiques et ceux de microscopiquespour les petites corrections d’α′ sont perturbativement les mêmes et ainsi nous de-vons avoir: SBH > A/4 + . . ., où . . . représentent les corrections d’α

′ à l’entropiemacroscopiques. Pour le cas de zéro magnétique charge, Dabholker a montré quedans la limite des grands charges, nous avons [62]: Sstate = 4π

√nw. Pour ces

petits trous noirs des deux charges, nous avons analysé la géométrie thermody-namique des différents ordres de corrections d’α′, voir [47] pour le détails. Nousavons démontré que la géométrie thermodynamique des petits trous noirs corrigéepar les dérivées supérieures au premier ordre des corrections d’α′ est mal définie.Cependant, avec les prochaines ordre des corrections d’α′, la géométrie thermo-dynamique des petits trous noirs est bien définie et l’espace de l’état est partoutordinaire. Dans l’analyse des branes noirs extrémalsD1D5 et D2D6NS5, nous trou-vons que la géométrie thermodynamique de ces branes est bien définie et la courburede Ruppenier reste partout finie avec ou sans les corrections d’α′. Maintenant, dansla suite de cet article, nous allons analyser la géométrie thermodynamique des trousnoirs de Reissner-Nordstörm, des trous noirs dilatoniques topologiques, des trousnoirs de Reissner-Nordström dans la nappe de Poincaré d’ADS4, des trous noirsde Reissner-Nordström corrigé par le principe d’incertitude généralisée et celle destrous noirs magnétisés. Ensuite, nous allons voir les corrections d’α′ des trous noirsdyoniques extrémals supersymétriques et celle des non-supersymétriques, des solu-tions non-extrémales de branes D1D5 et D2D6NS5, des trous noirs extrémals enrotation comme les trous noirs extrémals de Kerr-Newman dans la théorie d’EinsteinMaxwell, les trous noirs extrémals de Kaluza-Klein dans la théorie d’Einstein-Maxwell et les trous noirs extrémals de la théorie des cordes hétérotiques com-pactifiée toroidalement. Nos résultats sont éclairantes et sont en accord avec lathermodynamique et mécanique statistique des trous noirs et branes noirs.

3.1 La géométrie de Ruppenier des trous noirs de Reissner-

Nordström.

Dans cette sous-section, nous analysons la géométrie de Ruppenier d’un trou noirde Reissner-Nordström. C’est le plus simple système de trou noir pour lequel il estfacilement possible d’analyser la géométrie thermodynamique. Du point de vue dela thermodynamique des trous noirs, l’enquête de la géométrie thermodynamiquecovariante de Ruppeiner peut être appliquée pour étudier la nature de l’entropiedes trous noirs de Reissner-Nordström. Cela a été explorée pour la première foisdans le contexte des configurations de trous noirs extrémals chargés de BPS de lasupergravité de N = 2 [63]. Ensuite, plusieurs auteurs ont essayé de comprendrece sujet [52, 64, 65, 66], à la fois pour des trous noirs supersymétriques, et ainsique celui des non-supersymétriques. Les trous noirs chargés extrémals de la super-gravité de N = 2 interagissant avec le multiple vecteurs et celui du multiples hyperssont décrits par la métrique de Reissner-Nordstörm. Ce sont les BPS-solitons del’interpolation entre les espaces asymptotiquement plat de Minkowski et celui dela géométrie proche de l’horizon de Bertotti-Robinson. Du mécanisme attracteur,l’entropie macroscopique des trous noirs est déterminée uniquement, comme unefonction des charges du trou noir et donc est indépendant de la valeur asympto-tique des modules de champs. Cette solution a un point fixe d’attracteur qui estatteint à l’horizon du trou noir. Et ainsi, l’aire de l’horizon du trou noir est définiepar extremum de la charge centrale d’espace des modules.

De toute manière, l’entropie est une fonction de la masse et des charges électriqueset magnétiques du trou noir. Cela correspond à l’entropie d’Hawking-Bekensteinaux deux dérivés. De plus, ce système est un exemple typique d’un trou noir

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extrémal sphériquement symétrique dans quatre dimensions sans avoir à prox-imité de l’horizon singulier, la géométrie de l’horizon est AdS2 × S2. Et donc,le trou noir de Reissner-Nordström a une symmétrie de SO(2, 1) × SO(3). Dansla théorie d’Einstein-Maxwell en quatre dimensions, nous savons par la fonctionde l’entropie de Sen que l’entropie du trou noir de Reissner-Nordström est donnéepar [11]: SBH(q, p) =

14 (p

2 + q2). Ainsi, la métrique tenseur covariante thermo-dynamique de Ruppenier pour le trou noir de Reissner-Nordstrom est donnée par:

gij(x) := − ∂2S(x)

∂xi∂xj =

(− 12 00 − 12

). Dans ce cas, le premier résultat est immédiat

que le déterminant du tenseur métrique est: g = 1/4 et bien aussi les symbols deChristoffel sont trivialement nuls. Donc, on voit très simplement que la courburescalaire de Ruppenier est aussi nulle. En conclusion, cette géométrie thermody-namique est bien définie et décrite un système statistique sans interactions.

3.2 La géométrie de Wienhold des trous noirs dilatoniques.

Dans cette sous-section, nous étudions une famille de trous noirs en gravitation.Dans le cadre des théories de la gravitation dilatonique inspirées par les théoriesdes cordes, nous considérons les effects thermodynamiques de quelques nouvelles so-lutions de trous noirs ou branes noires asymptotiquement non-plates. Puis nous cal-culons leurs effets thermodynamiques comme l’interaction, la transition de phase,..,etc dans les systèmes des trous noirs. Ici, les tous ce qu’il nous concerne, sont lesproduits et accessoires de la géométrie thermodynamique, voir l’annex [A] pour lagémétrie de Ruppenier d’une famille de trou noir des deux paramètres.

Ici, nous considérons maintenant la géométrie thermodynamique des trous noirschargés dilatoniques topologiques. En particulier, nous expliquons une autre géométriepour le cas de ces trous noirs dilatoniques topologiques, qui est associée conforme-ment à la géométrie de Ruppenier. Cette géométrie thermodynamique s’appellela géométrie de Wienhold. Afin de faire ceci, considérons (n + 1) dimensionnellearbitraire gravité dilatonique d’Einstein-Maxwell pour ∀n ≥ 3. En fait, nous avonsbesoin d’obtenir la masse M comme une fonction des quantités extensives S,Qet alors, nous avons un type de formule de Smarr, donné par [67]: M(S,Q) =

−k(n−1)(n−2)(α2+1)b−α

2

16π(α2−1)(α2+n−2) (4S)α2+n−2

n−1 + Λ8π(α2+1)bα

2

α2−n (4S)n−α2

n−1 + 2π(α2+1)bα

2

α2+n−2 Q2(4S)

α2+n−21−n ,

où k détermine la nature de l’horizon de trou noir ou celui d’horizon cosmologique.En particulier, les valeurs de k = 0, 1,−1 sont respectivement des hypersurfacesde courbure constantes plates, elliptiques et hyperboliques. La α est une con-stante d’accouplement du dilaton, b est une constante arbitraire et paramètre libre

Λ := −n(n−1)2l2 joue le rôle de la constante de cosmologie.De plus, nous pouvons bien sûr étudier la stabilité des trous noirs dilatoniques

topologiques. La stabilité d’un système thermodynamique avec les petites fluc-tuations thermiques est analysé par le comportement de l’entropie S(Q,M) au-tour d’equlibrium. Pour avoir la stabilité locale dans n’importe quel ensemble,nous exigeons que S(Q,M) doit être une fonction convexe des variables extensives.En d’autres termes, c’est la transforme de Legendre où M doit être une fonctionconcave des variables intensives. La stabilité est également bien obtenue par lecomportement de l’énergie M(S,Q) en ce qui concerne les varibles extensives, cequi dans ce cas-ci devrait être une fonction convexe. Ainsi la stabilité locale enprincipe peut être analysée en obtenant le determinant de la matrice d’Hessian dela masse M(S,Q) avec les variables extensives. En considérant S et Q commeensemble complet des variables extensives pour la masse M(S,Q), nous pouvonsdéfinir les paramètres intensifs conjugués aux S et Q qui sont respectivement as-sociées à la température T et au potentiel électrique φ, ce qui sont donnés parT := (∂M∂S )Q, φ := (

∂M∂Q )S et se satisfont facilement la première loi de la thermody-

14

namique: dM = TdS + φdQ [68].En cette case, considérant ∀xa = (S,Q) ∈ M2, comme une paramétrisation

de la masse M(S,Q) avec la métrique gab :=∂2

∂xa∂xbM(S,Q), alors l’élément de la

ligne pour cette variété thermodynamique (M2, g) peut être écrite comme: ds2 =(∂

2M(S,Q)∂S2 )dS

2 +2(∂2M(S,Q)∂S∂Q )dSdQ+(

∂2M(S,Q)∂Q2 )dQ

2. Alors que la masse de ce trounoir chargé dilatonique topologique est donnée par un formule de Smarr, ci-dessus.Il est facile d’obtenir que les composantes de la métrique de Wienhold sont:

gSS =k(n−2)(α2+1)b−α2 (1−α2)

16π(α2−1)S2(n−1) (4S)α2+n−2

n−1 +Λ(α2+1)bα

2(n2−α2)(n2−α2−n+1)

8π(α2−1)(n−1)2S2 (4S)n2−α2

n−1 +

2πbα2(α2+1)Q2(α2+2n−3)

(1−n)2S2 (4S)α2+n−2

1−n ,

gSQ =4πbα

2(α2+1)Q

(1−n)S (4S)α2+n−2

1−n et

gQQ =4πbα

2(α2+1)

α2+n−2 (4S)α2+n−2

1−n .

On peut voir que le déterminant de la métrique de Wienhold est donné par:

‖gab‖ = gSSgQQ − g2SQ = − (α2+1)2bα

2(4S)

−α2+n−2

n−1

4(α2+n−2)(α2−n)(n−1)2S2 [2Λbα2(−α4 + α2 − n4 − n2 +

n3 − nα2 + 2n2α2)(4S)−α2−n2

n−1 + 32π2bα2

Q2(n + α4 − nα2 − α2)(4S)−α2+n−2n−1 +

kb−α2

(−3nα2 + 2α2 + n2α2 − 2n+ 3n2 − n3)(4S)α2+n−2n−1 ].

Maintenant, nous pouvons calculer les Γabc, Rabcd, Rab et alors la courbure scalairede Wienhold est obtenue pour être:

R = − 16π(α2−n)(α2+n−2)

α2+1 {2Λbα2

(−α4+α2−n4−n2+n3−nα2+2n2α2)(4S)−α2−n2

n−1 +

32π2bα2

Q2(n + α4 − nα2 − α2)(4S)−α2+n−2n−1 + kb−α

2

(−3nα2 + 2α2 + n2α2 − 2n+3n2 − n3)(4S)α

2+n−2n−1 }−2[kb−α2(−2α2 + 2α4 + 2n− n3α2 + nα2 − 3nα4 + 2n2α2 +

n2α4 − 3n2 + n3)(4S)α2+n−2n−1 + Λbα

2

(−2n4 + 2n5 − n6 + 2n4α2 − n2α4 + 2n2α2 −3n3α2 + nα4 − nα2 + n3)(4S)−α

2−n2

n−1 ].Nous voyons que pour toutes les paramétrisation bien définies de la géométrie

thermodynamique, cette courbure de Weinhold est partout régulière. Donc, il s’agitd’un système thermodynamique stable et il n’ya pas d’instabilités dans l’espace ther-modynamique à la représentation de l’énergie des trous noirs chargés dilatoniquestopologiques.

En outre, il y certains cas d’α pour que la courbure scalaire de Wienhold soitégale à la zéro. Ces valeurs d’α sont données par les equations suivantes: (n2 −3n + 2)α4 − (n3 − 2n2 − n + 2)α2 + n3 − 3n2 + 2n = 0 et (1 − n)α4 + (2n3 −3n2 + 2n − n)α2 + n2 − 2n3 + 2n4 − n5 = 0. Ce sont les valeurs de la constanted’accouplement du dilaton dont lesquelles la courbure scalaire de Wienhold estnulle. Ces solutions sont simplement |α| = {1/2(n2 − 3n+2)−1(n3 − 2n2 − n+2±√n6 − 8n5 + 26n4 + 60n3 + 41n2 − 8n+ 4)}1/2 et |α| = {1/2(n− 1)−1(2n3− 3n2+

2n−1∓√n4 − 6n2 − 4n+ 1)}1/2. De plus, le cas de n6−8n5+26n4+60n3+41n2−

8n+4 ≥ 0 et n4−6n2−4n+1 ≥ 0 implique des constantes d’accouplement du dilatonphysiques et ainsi nous permettre de déterminer le rôle de la constante de cosmologieou celui de la dimension de l’espace-temps des théories de la gravité dilatoniqued’Einstein-Maxwell. C’est-à-dire que ∀2 < n ∈ Z, la constante d’accouplement dudilaton appartient à un système statistique sans les interactions, dont lesquels nsatisfait ces deux équations.

15

3.3 La géométrie de Wienhold des solutions de M2- branes:

Les trous noirs de Reissner-Nordström dans la nappe de

Poincaré d’ADS4.

Dans cette sous-section, nous analysons la géométrie de Weinhold des trous noirsde la solution de Reissner-Nordström dans AdS4 découlant naturalement dans laM-théorie. La relation entre l’instabilité thermodynamique et celle de Gregory-Laflamme est un problème important pour comprendre la condensation de cer-tains bosons ayant en charge globale, par exemple le cas des trous noirs chargésélectriquement dans AdS5. Maintenant, nous allons examiner le plongement dela solution de Reissner-Nordström d’AdS4 dans la M- théorie. Cette incorporationpeut être faite comme suite: Envisagons un grand nombre de M2-branes cöıncidantsdans la supergravité d’onze dimensions, avec la géométrie de proche de l’horizond’AdS4 × S7. Puis, il y a huit dimensions transversales aux M2-branes, et qua-tre moments angulaires indépendants ce que les branes peuvent acquérir, s’ils sontproches de l’extremal. Pour l’ensemble des quatre moments d’angulaire égale, lasolution est un produit enroulé de la solution de Reissner-Nordström dand AdS4 etune déformation de S7, voir [69] pour le détails.

Précisément, la réduction de la filature sur S7 pour la solution quasi-extrémaledes M2-branes noirs dans l’espace-temps asymptotiquement plats d’onze dimensionest la limite de la solution de Reissner-Nordström dans AdS4. Cette solution est laréduction bien connue de la supergravité d’onze dimensions qui est asymptotique-ment l’AdS4 × S7. C’est parce que la solution de Reissner-Nordström dans AdS4est une solution dans la supergravité jaugée de N = 8, dont le vide d’AdS4 super-symétrique maximum est la réduction de Kaluza-Klein du vide de l’AdS4 × S7 dela M-théorie. De plus, la supergravité jaugée de N = 8 est une truncation consis-tente de la supergravité de D = 11 [70]. Donc, toutes les solutions classiques de lathéorie de D = 4 ont des ascenseurs à une solution exacte classique de la théorie deD = 11. Ainsi, toute les instabilités actuellent en D = 4 sont garantiement à per-sister dans la dimension D = 11. Notez que seulement pour les gammes spécifiquesde paramètres, nous avons les solutions souhaitées. Sinon, les solutions ont ten-dance à avoir certaines singularités nues. Par exemple, nous considérons certainescharges physiques conservées correspondant aux quatre indépendantes momentsd’angulaires des M2-branes en onze dimensions.

En ce qui concerne avec la correspondence d’AdS/CFT, Maldacena a conjecturé[2, 35] qu’il y a une théorie de la supergravité en D = 11 sur l’AdS4 × S7 qui estphysiquement équivalent á la limite de grand N de certaines théories de champsconformes vivant à la frontière d’AdS4 et représente la limite de l’énergie basse dela dynamique de 〈〈 worldvolume 〉〉 des M2-branes cöıncidantes de nombre N. Donc,les charges électriques de la théorie devenues les charges globales de la R-symmétriedans la théorie des champs conformes à la frontière. Pour la masse suffisammentegrande, les solutions correspondentes aux états thermiques de la théorie des champsconformes avec les potentiels chimiques lorsque les charges globales sont non nulles.En fait, pour le cas des trous noirs avec les charges électriques dans AdS5, la descrip-tion duale de l’instabilité thermodynamique est une instabilité vers la condensationdes bosons transportant les charges globaux d’U(1). Pour les raisons de la sim-plicité, nous tournons maintenant pour le cas de Q1 = Q3 et Q2 = Q4 et de neconsidérer que la limite de grands trous noirs: M/L >> 1. Comme M/L → ∞,on obtient une solution des branes noirs dans la nappe de Poincaré d’AdS4. Danscette limite, la S2 est remplacé par R2 dans la métrique de l’espace-temps, et ainsila masse de ces trous noirs de Reissner-Nordström est donnée par une expression

simple [32, 33]: M(S,Q1, Q2) :=1

2πL2

√S3

π + πL2(Q21 +Q

22)S +

π3L4

S Q21Q

22.

16

Donc, les composantes de la métrique de Wienhold sont données par

gSS = − 18( 3S

2

π +πL2Q21+πL

2Q22−π3L4Q2

1Q2

2

S2)2

πL2(S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S )

3/2

+3S2π +

π3L4Q21Q2

2

2S3

πL2

√S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S

,

gSQ1 = − 14(πL2Q1S+

π3L4Q1Q22

S )(3S2

π +πL2Q21+πL

2Q22−π3L4Q2

1Q2

2

S2)

πL2(S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S )

3/2

+πL2Q1

2−π

3L4Q1Q22

2S2

πL2

√S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S

,

gSQ2 = − 14(πL2Q2S+

π3L4Q2Q21

S )(3S2

π +πL2Q21+πL

2Q22−π3L4Q2

1Q2

2

S2)

πL2(S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S )

3/2

+πL2Q2

2−π

3L4Q21Q2

2S2

πL2

√S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S

,

gQ1Q1 = − 12(πL2Q1S+

π3L4Q1Q22

S )2

πL2(S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S )

3/2

+πL2S

2+

π3L4Q22

2S

πL2

√S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S

,

gQ1Q2 = − 12(πL2Q1S+

π3L4Q1Q22

S )(πL2Q2S+

π3L4Q2Q21

S )

πL2(S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S )

3/2

+ π2L2Q1Q2

S

√S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S

et

gQ2Q2 = − 12(πL2Q2S+

π3L4Q21Q2

S )2

πL2(S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S )

3/2

+πL2S

2+

π3L4Q21

2S

πL2

√S3

π +πL2Q2

1S+πL2Q2

2S+

π3L4Q21Q2

2S

.

Ainsi, le déterminant du tenseur métrique de Wienhold est simplement,

g = − 132π3L2S6 {S4+π2L2Q21S

2+π2L2Q22S2+π4L4Q21Q

22

πS }−5/2(π6L6S6Q62+π6L6S6Q42Q21−7π4L4S8Q21Q

22+5π

8L8S4Q41Q42−3S12+3π8L8S4Q62Q21−5π2L2S10Q21−5π2L2S10Q22−

π4L4S8Q42−π4L4S8Q41+3π10L10S2Q42Q61+π6L6S6Q41Q22+3π8L8S4Q61Q22+3π10L10S2Q62Q41+π6L6S6Q61 + π

12L12Q62Q61).

Alors, la courbure scalaire de Wienhold peut être obtenue à:

R = −(3π2L2S)√

S4+π2L2Q21S2+π2L2Q2

2S2+π4L4Q2

1Q2

2

πS {(π6L6Q41Q22 + π4L4Q41S2 +2π4L4Q21S

2Q22−2π2L2Q21S4+π2L2S4Q22−3S6)(π4L4Q21Q22+π2L2Q21S2+π2L2Q22S2−3S4)(S2+π2L2Q22)}−1(π8L8Q41Q42+2π6L6Q41S2Q22+2π6L6Q42S2Q21+π4L4Q41S4−12π4L4S4Q21Q

22 + π

4L4Q42S4 − 14π2L2S6Q21 − 14π2L2S6Q22 + S8).

Dans la grande masse limite, cette solution de branes noirs dans la nappe dePoincaré d’AdS4 a l’instabilité thermodynamique locale dont les comportementspeuvent être vus facilement dans la courbure scalaire de Weinhold, comme ci-dessus. Nous voyons que l’instabilité thermodynamique locale peut être étudiée parla géométrie de Weinhold dont la métrique est la hessienne de la masseM(S,Q1, Q2)et donc cette géométrie décrit la convexité de la fonction de la masse. Nous avonsobservé, si on augmente l’une de charge électrique alors l’autres diminue qui ne peutse produire que lorsqu’elle détient localement sur une compte de la conservation dela charge globale [71].

Ici, nous voyons clairement que la courbure scalaire de Wienhold diverge pourtoute l’entropie données par les equations suivantes: π2L2Q22+S

2 = 0, π4L4Q21Q22+

π2L2(Q21 + Q22)S

2 − 3S4 = 0 et π6L6Q41Q22 + π4L4Q21(Q21 + 2Q22)S2 + π2L2(Q22 −2Q21)S

4 − 3S6 = 0. Il est important de noter qu’il existe certaines gammes thermo-dynamiquements limitées d’instabilités pour les trous noirs de Reissner-Nordströmdans l’AdS4, par exemple les racines réeles de l’entropie sont données par l’équationquadratique ci-dessus: S = πL

6 {Q21 +Q22 +√Q41 +Q

42 + 12Q

21Q

22}1/2 ou bien celles

d’autres données par les racines réeles de l’équation cubique ci-dessus, dont lesquelles,on a les frontières des solutions de l’entropie avec lesquelles les singularités ther-modynamiques existent. En outre, la courbure scalaire de Wienhold est nulle

17

dont l’entropie est données par, π8L8Q41Q42 + 2π

6L6Q41S2Q22 + 2π

6L6Q42S2Q21 +

π4L4Q41S4 − 12π4L4S4Q21Q22 + π4L4Q42S4 − 14π2L2S6Q21 − 14π2L2S6Q22 + S8 = 0.

Dans les sections suivantes nous allons considéré les corrections dans la géométriethermodynamique des trous noirs.

4 Les corrections de lP dans la géométrie thermo-

dynamique.

Dans cette section, motivés par la théorie des cordes, nous étudions les effets duprincipe d’incertitude généralisée sur la géométrie thermodynamique des trous noirs.En fait, la nature non-commutative de l’espace-temps à l’échelle de Plank impliquequ’il existe la distance observables minimale de l’ordre de la longueur de Plank oùtoutes les mesures de la limite d’extrême de la gravité quantique sont gouvernés.Cette distance minimale observable dite que le principe d’incertitude généralisé peut

être écrite comme [72, 73, 74, 75]: ∆x ≥ h̄∆p +α̃l2ph̄ ∆p. Bien que dans toutes les

théories générales, les contributions de l’ordre supérieur peuvent être non nullesmais la longueur minimale dans la théorie est simplement régie par le paramètre α̃[21], comme au-dessus. Le principe d’incertitude généralisée montre qu’il y a unedispersion minimume ∆x pour toute valeur de ∆p du moins aussi longtemps ce queles deux premiers termes de cette expansion soient non nulles.

Un exemple de la motivation provient grâce à l’étude des conditions d’analyticitéd’une fonction complexe conduisant au principe d’incertitude complètement généralisée,fait apparâıtre les concepts physiques bien connues [21]. Nous avons étudié ces ef-fets sur la physique du principe d’incertitude et avons expliqué que le principed’incertitude de la théorie des cordes se pose naturellement de l’analyse des fonc-tions holomorphes. Ces considérations illustrent le récit de la forme et de la taillecorrespondant au principe d’incertitude d’Heisenburg bien connue pour toutes lesfonctions arbitraire de L2. De plus, nous pouvons arriver au principe d’incertitudede la théorie des cordes avec toutes les corrections d’ordre supérieur, la physiquede la gravité quantique, la physique des trous noirs, l’existence des échelles dela longueur minimale et maximale de la nature, la géométrie des distances cour-tes versus la théorie des cordes, la transformation de Fourier par rapport à lathéorie des distributions. Voir [21] pour détail de l’état d’actuel des correctionsdu lP . Dans les deux sous-sections prochaines, nous souhaitons analyser les effetsde principe d’incertitude généralisé sur la géométrie thermodynamique des trousnoirs de Reissner-Nordström et ceux de trous noirs chargés magnétiquements.

Maintenant, nous ferons donc une brève rappelle de la géométrie de Ruppenieret ensuite l’appliquons à l’entropie des trous noirs corrigé par les corrections duprincipe d’incertitude généralisée. De plus, nous allons voir, quelles sont les effetsdes corrections de lP dans la géométrie thermodynamique de Ruppenier? Pour ça,

définissons la métrique thermodynamique pour être: gij(x) = −(

SMM SQMSQM SQQ

)

avec i, j = M,Q [46, 47]. Alors, l’élément de la ligne est ds2 = −SMMdM2 −2SMQdMdQ − SQQdQ2, dont le déterminant est juste det(g) = SMMSQQ − S2MQ.En utilisant cette forme générale de la métrique de Ruppeiner, il n’est pas diffi-cile de voir que les symboles de Christoffel, qui sont définis comme Γijk = gij,k +gik,jgjk,i, sont donnés par: ΓMMM = − 12SMMM ,ΓQQQ = − 12SQQQ,ΓMMQ =− 12SQMM ,ΓMQM = − 12SQMM ,ΓMQQ = − 12SMQQ,ΓQQM = − 12SQQM ; avec lessymétries reliant les autres composants. Ensuite, nous pouvons voir facilementque le seul composant différent de zéro du tenseur de la courbure de Ruppeiner-Riemann-Christoffel est obtenu pour être: RMQMQ =

14(SMMSQQ−S2QM )

(−SQMSMMMSQQQ+SQQMSMMMSQQ−SMMS2QQM+SMMSQMMSQQQ+SQMMSQMSQQM−S2QMMSQQ).

18

Nous pouvons la contracter avec la gij et obtenir Rij et puis la courbure scalaire deRuppenier est donnée par: R = 1

2(SMMSQQ−S2QM )2(−SQMSMMMSQQQ+SQQMSMMMSQQ−

SMMS2QQM +SMMSQMMSQQQ+SQMMSQMSQQM −S2QMMSQQ). Enfin, dans ce

cas, il n’est pas difficile de voir que la courbure scalaire de Ruppenier est reliée avecla courbure de Riemann-Christoffel par: R = 2det(g)RMQMQ.

4.1 Les trou noirs de Reissner-Nordström.

La métrique de l’espace-temps de trou noir de Reissner-Nordström avec la masse M

et la charge Q est donné par: ds2 = −f(r)dt2+ dr2f(r) +r2dθ2+r2sin2θdφ2 où f(r) =1− 2Mr +

Q2

r2 . L’horizon intérieur et extérieur sont simplement, r∓ = M∓√M2 −Q2.

Nous pouvons voir que la tempéreture est donnée par T = κ2π =r+−r−4πr2

+

où κ est

la gravité de la surface du trou noir. On a vu récemment [76] qu’il n’y a aucunenécessité de la limite de Brick-Wall dans le calcul de l’entropie parce qu’on peutavoir un champ scalaire satisfaisant l’équation de Klein-Gordon, avec laquelle dansl’approximation de WKB, t’Hooft a montré que le nombre d’états quantiques estfini, qui reste également le même à l’horizon du trou noir [77].

En considérant une couche mince entre r+ et r+ + ǫ pour un trou noir non-extrémal de Reissner-Nordström. Puisque la densité des états est dominante prèsde l’horizon du trou noir de Reissner-Nordström, pour le comptage des modes. C’est

à dire que, soit x = ω2kBT → 0 et x0 =µ√

f

2kBTpuis près de l’horizon la longueur min-

imume du GUP est 2√λ =

√2ǫκ , ce qui entrâıne à l’entropie suivante du trou noir

de Reissner-Nordström: S(M,Q) =4πr2+3λ (

π24 − 2532π +

ζ(3)π ), ce qui est fini dans la

limite près de l’horizon. Cette entropie peut être écrite S(M,Q) = (14AH)δλ , où

δ := 13 [4π ζ(3) − 258π − π6 ][76]. En mettant la valeur de la r+, nous pouvons écrire

l’entropie comme suivante: S(M,Q) = πδλ [2M2 −Q2 +2M

√M2 −Q2]. Pour cette

entropie de trou noir de Reissner-Nordström avec des corrections de lP , les com-posantes de la métrique de Ruppenier {gij}i,j∈{M,Q} sont données par

gMM =πδλ (−4− 6M√M2−Q2 +

2M3

(M2−Q2)3/2 ),

gMQ =πδλ (

2Q√M2−Q2

− 2M2Q(M2−Q2)3/2 ) et

gQQ =πδλ (2 +

2M√M2−Q2

+ 2MQ2

(M2−Q2)3/2 ).

Donc, le déterminant de cette métrique de Ruppenier peut être obtenus à:

det(g) = − 4π2δ2λ2(Q2−M2)2 (4M4−5M2Q2+Q4+2MQ2√M2 −Q2+5M(M2−Q2)3/2−

M3√M2 −Q2). Ici, nous pouvons voir facilement qu’on a la courbure de Ruppenier-

Riemann-Christoffel: RMQMQ = 0 qui entrâıne que la courbure scalaire de Ruppe-nier est R = 0. En conclusion, bien qu’on ajoute les corrections de lP dans l’entropiedu trou noir de Reissner-Nordström, ce système thermodynamique est bien définiet reste également un système statistique sans interactions.

4.2 Les trous noirs chargés magnétiquement.

Maintenant, considérons un système non-trivial des trous noirs, en particulier les

trous noirs magnétisés. Dans ce cas-ci, soit ds2 = −f(r)dt2 + dr2f(r) + R(r)2dΩ22la métrique de l’espace-temps. Puis dans l’approximation entre r+ and r+ + ǫ

où ǫ → 0, nous pouvons écrire: f(r) = κ(r − r+) + f′′(R+)

2 (r − r+)2 + . . . etR(r)2 = R(r+)+

ddrR(r+)

2(r−r+)+ 12 d2

dr2R(r+)2(r−r+)2+. . .. Soit λ le paramètre de

19

GUP alors qu’il peut être écrit comme: 2√λ ≃

√ǫ√κ(2− f ′′ǫ6κ ). Le trou noir magétisé

avec l’accouplement arbitraire a: f(r) = 1 − r+r , R(r)2 = r(r − r−), 2M = r+et Q = r+r−2 . Pour le cas non-extrémal, nous pouvons voir trivialement que latempérature d’Hawking est donné par: TBH =

12πr+

. Avec la superficie de l’horizon

d’événement AH = 4π(r+ − r−) et ainsi, le paramètre λ de GUP entraêine quel’entropie à l’ordre λ0 est SBH =

aH4GN

+ 49ζ(3) +2r−r+

ζ(7) + ♥(λ) [78]. Commedans ce cas, nous avons: r+ = 2M et r− =

Q2

M . Donc, en termes de paramètresthermodynamiques M et Q, l’entropie du trou noir magnétisé peut être écrite à

SBH(M,Q) =49ζ(3) + 8π(2M

2 − Q2) + Q2M2 ζ(7) + ♥(λ). Pour ce cas de trou noirmagnétisé avec le paramètre λ du principe d’incertitude généralisée, les composantesde la métrique gij de Ruppenier sont simplement:

gMM = −32π − 6Q2ζ(7)M4 ,

gMQ =4Qζ(7)M3 et

gQQ = 16π − 2ζ(7)M2 .

Ainsi, nous voyons immédiatement que le déterminant de cette métrique est,det(g) = − 4M6 (128π2M6−16πζ(7)M4+24πζ(7)Q2M2+ζ(7)2Q2). Il n’est pas diffi-cile d’obtenir que la courbure scalaire de Ruppenier est: R = 8πζ(7)2M4(128π2M6−16πζ(7)M4 + 24πζ(7)Q2M2 + ζ(7)2Q2)−2(3Q2 − 2M2). Les divergences de cetteequation sont données par une equation cubique dans une variable N := M2 quisont seulement les points zéros du déterminant, lesquels sont données par l’équation:(128π2)N3+(−16πζ(7))N2+(24πζ(7)Q2)N+(ζ(7)2Q2) = 0, dont nous n’avons pasd’intérêt parce que det(g) = 0. Maintenant, nous pouvons voir facilement qu’auxracines de cette equation cubique, la géométrie de Ruppenier n’est pas bien définie.Sinon aux tous les autre points de la variété de l’espace d’état, cette curbure de Rup-penier est partout régulière. En outre, il y a quelque cas particulière de la masse:

M =√

32 |Q| dans laquelle ce système devenu sans les interactions statistiques, dont

la curbure scalaire de Ruppenier est nulle.

5 Les corrections d’α′ dans la géométrie thermo-dynamique.

Dans cette section, nous considérons la géométrie thermodynamique de l’entropieobtenu par la fonction de l’entropy de Sen [1]. En fait, nous avons égalementenquêté sur l’utilisation de cette géométrie de Ruppenier dans certains bien connusystèmes de trous noirs, et indiquons que la courbure scalaire de cette géométriefournite quelques résultats physiquement intéressants. Ensuite, nous avons obtenuune généralisation de la courbure de cette géométrie à l’ordre supérieur arbitrairesdes corrections d’α′ en termes des quantités d’espace d’états sous-jacent. Comme,tous les trous noirs extremals ont une géométrie proche d’horizon d’AdS2 × S2, cequi s’appelle la vide habituelle de Robinson-Berttoti. De plus, tous les champs de lathéorie doivent respecter la symétrie de SO(2, 1)×SO(3). Dans ce cadre, l’entropied’un trou noir extrémal est définie par Sen, comme: S

(ext)BH = limh→0 SBH ; où

h = r+ − r− est la différence des distances de l’horizon extérieur et celui d’intérieurdu trou noir. Cette limitation dans la procédure de Sen est nécessaire car les trousnoirs extrémals n’ont pas de l’horizon bifurquant de Killing. En général, considéronsla lagrangianne covariante de la gravité avec des dérivées supérieures que deux,et ainsi cette lagrangianne est: L := L[gµν , Dgµν , ...; Φs, DΦs, ...;F iµν , DF iµν , ...; γ][79, 80, 81], qui peut être aussi écrite dans une forme manifestement covariante. Etbien aussi, il est bien connue par le théorme de remplacement de Thomos que la L

20

est indépendante de la base γ. Dans la consideration de Sen, la théorie de l’intérêtest tel que les dérivées covariantes de tous les champs tenseurs disparâıssent, de sorteque la formule de Walds de l’entropie est donnée par: SBH := 8π

∂LRαβγδ

gαγgβδAH ;

où AH est la zone d’horizon de l’événement.De plus, l’entropie de n’importe quel trou noir extrémal peut être obtenu par la

méthode de la fonction de l’entropie Sen, de la façon suivante [1, 11]. Définissions

une fonction: f(~u,~v, ~e, ~p) :=∫ ∫ 2

S

√−detgL, dθ dφ , où (θ, φ) sont l’éléments de S2qui est l’horizon du trou noir dans D = 4. Ensuite, la fonction de l’entropie cosis-tante avec les équations du mouvement, est donnée par FBH := 2π(ei

∂f∂ei

− f) oùles ei sont les (rt)-composantes d’une force tenseur des champs de jauges, commeF iµν := ∂µA

iν − ∂νAiµ. Ici, les charges électriques sont mesurées par la transforma-

tion de Legendre, qi :=∂f∂ei

. Ainsi, la méthode de la fonction de l’entropie peutêtre considérée comme une manière la plus suggestive du mécanisme d’attracteur.Ensuite, l’entropie de ces trous noirs est définie par l’extremum de F (~u,~v, ~e, ~p) àl’égard de ~u,~v. C’est-à-dire que nous avons SBH := F (−→u ,−→v ,−→e ,−→p )|(−→u0,−→v0).

Donc, la géométrie de Ruppenier est définie comme les fluctuations gaussiennesde la fonction de la distribution de la probabilités ou la négative d’Hessian del’entropie à l’égard des charges invariantes Na, où a = 1, 2, ..., N . Ici, nous con-sidérons la géométrie thermodynamique de l’entropie par la matrice d’Hessiennede l’entropie d’un trou noir extrémal obtenu par la fonction de l’entropie de Sen,tel que la métrique de Ruppenier est définie, ci-dessous: gRij := −∂i∂jS(M,Na) ;où i, j, a = 1, 2, ..., N . Nous voyons qu’il s’agit une forme bilinéaire symétriqueet positive définie. Puis avec ça, l’élément de la ligne est simplement: dS2 :=gRij(M,N

a)dxidxj [44, 45, 46]. En outre, notez que ce cadre géométrique est at-trayant, comme nous allons considérer seulement l’entropie, et nous allons travaillerà l’habitude des points fixes d’attracteur de l’espace de modules. Cela tient au faitque l’entropie d’un trou noir extrémal est l’extremum de la fonction de l’entropieden Sen.

5.1 La géométrie de Ruppenier des trous noirs dyoniques

extrémals supersymétriques en quatre dimensions.

Dans cette sous-section, nous examinons les corrections d’α′ dans la géométrie ther-modynamique dûes aux termes de Gauss-Bonnet de la théorie effective d’une bouclede l’action de la forme: △S =

∫d4x

√−detgφ(a, s)(RµνρσRµνρσ − 4RµνRµν +R2),où Rµνρσ est le tenseur de Riemann-Christoffel construite par la métrique canon-ique: gµν = sGµν et la fonction φ(a, s) apparaissant ci-dessus est donnée dans [82].Voir pour calculer cette fonction φ(a, s) dans la revue d’Ashoke Sen [11] et d’où lerésultat est: φ(a, s) = − 164π2 ((k + 2) ln s + ln g(a + is) + ln g(a + is))+ constant).Dans cette formule, le k est égale à la moitié du nombre de certains formes invari-ants harmoniques de type (1,1) sur M qui dépend des détails de la compactificationet la fonction g(τ) est donnée par: g(τ) = e2πα̂τ

∏∞n=1

∏N−1r=0 (1 − e2πir/Ne2πinτ )sr .

Ici, il est bien connu que les sr compte le nombre de forme harmonique de type psur M avec les valeurs propres e2πir/N pondérée par (−1)p et α̂ est la caractris-tique d’Euler de M divisé par 24 qui est respectivement égal à (1, 0) pour M d’être(K3, T

4) ce qui est la même inquiétude dans la description duale de la théorie de(hétérotique, type-II).

D’autre part, les corrections de l’entropie du trou noir dûe aux termes de Gauss-Bonnet peuvent être obtenus en considérant des corrections au niveau d’arbres dela théorie des supercordes à l’action effective. Puis, par la définition de la fonctionde l’entropie d’Ashoke Sen, on peut avoir les corrections en raison des termes deGauss-Bonnet à l’entropie de ces trous noirs. Par souci de simplicité, considéronsmaintenant une classe spéciale des trous noirs pour lesquels, les vecteurs de charges

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électriques et magnétiques sont données par:

Q =

n0w0

et Q =

0W0N

.

Puis dans le cas de N,W ≫ n,w avec N,W > 0 et n,w < 0 dont au près de