6 Kurventheorie
6.1 Kurven
6.1.1 Beispiele zur Erinnerung
Kreis in der Ebene: x2 + y2 = r2 ,
siehe Figur 6-1-1-Kreis
Das ist eine implizite Gleichung.
implizite Darstellung: f(x, y) = const.
Mittelpunkt (0,0), Radius r > 0
(
xy
)
= r ·(
cos tsin t
)
Das ist eine Parameterdarstellung, kurz:
eine PD.
Parameter t ∈ R oder t ∈ [0,2π[ odert ∈]− π, π], je nachdem.
Kreis mit Mittelpunkt
(
ab
)
?
PD:
(
xy
)
=
(
ab
)
+ r ·(
cos tsin t
)
implizit: (x− a)2 + (y − b)2 = r2Beachte die Minuszeichen! Vgl. Pythagoras.
1
6.1.2 Zum Kurvenbegriff
Eine (Cr-)Kurve c (0 ≤ r mal stetig diff.-bar) im Sinn der Differentialgeometrie ist
im Rn (z.B. n = 2 oder n = 3)
gegeben durch eine Cr-Abbildung
~x : I → Rn, ~x : t 7→ ~x(t) eines IntervallsI ⊂ R in den Rn.t . . . ein Parameter von c
~x . . . eine Parameterdarstellung von c
I . . .Parameterintervall
t . . . tempus, temps, time
Schreibweise: c : ~x(t) =
x1(t)x2(t)x3(t)
, t ∈ I
6.1.3 Bsp.: Gerade
~x = ~a+ t · ~v, t ∈ RDabei: ~v 6= ~o
6.1.4 Bsp.: Strecke
~x = ~a+ t · (~b− ~a), t ∈ [0,1]Dabei: ~b 6= ~a
6.1.5 Bsp.: Ein Halbkreis
a) x = t, y = f(x) =√
r2 − t2, − r ≤ t ≤ rExplizite Darstellung als Graph einer Funktion f .
b) x = r cosu, y = r sinu, 0 ≤ u ≤ π2
6.1.6 Geschlossene Kurven
Eine Kurve
c : ~x(t), t ∈ [a, b], mit ~x(a) = ~x(b)heißt eine geschlossene Kurve.
6.1.7 Reguläre Kurven, Tangente
Erkunde Figur 6-1-7-reguläreRaumkurve.
Sei c : ~x(t), t ∈ I, eine C1-Kurve. Eint0 ∈ I mit ~̇x(t0) 6= ~o heißt eine reguläreStelle von c, sonst singulär.
~̇x(t0) 6= ~o ist ein Tangentenvektor unddie Gerade g : ~y = ~x(t0) + v ~̇x(t0), v ∈ Rdie Tangente von c an der Stelle t0.
Sind alle t ∈ I reguläre Stellen von c, soheißt c regulär, die PD heißt zulässig.
6.1.8 Einfache Kurven
Ist c : ~x(t), t ∈ I, regulär, u ∈ I fest, und~x(v) 6= ~x(u) für alle v 6= u, so heißt ~x(u)ein einfacher (Kurven-)Punkt von c.Sind alle Punkte von c einfach, so heißt ceine einfache Kurve.
Der Begriff ”einfach” ist in der Literatur nicht einheitlich!
Ist ~x(v) = ~x(u) mit v 6= u, so heißt ~x(u)ein Doppelpunkt von c.
3
6.1.9 Lokale Einfachheit regulärer Kur-
ven (nur für Interessierte)
Sei c : ~x(t), t ∈ I, eine C1-Kurve und t0 ∈ Ieine reguläre Selle von c. Dann gibt es ein
offenes Intervall J ⊂ I mit t0 ∈ J, so dassgilt: c : ~x(t), t ∈ J, ist einfach.
Bew.: t0 regulär ⇒ ~̇x(t0) 6= ~o ⇒ Für ein kgilt: ẋk(t0) 6= 0 = (Stetigkeit von ẋk) ⇒Es gibt ein Intervall J ⊂ I mitt0 ∈ J : ẋk(t) 6= 0 ∀ t ∈ J.Damit ist c regulär auf J.
Wegen der Stetigkeit von ẋk gilt:
Entweder ẋk(t) > 0 ∀ t ∈ Joder ẋk(t) < 0 ∀ t ∈ J ⇒
xk ist streng monoton
{
steigendfallend
}
auf J
⇒ xk(u) 6= xk(v) ∀ u, v ∈ J mit u 6= v⇒ ~x(u) 6= ~x(v) ∀ u, v ∈ J mit u 6= v
4
6.1.10 Wechsel der Parametrisierung
Erkunde Figur 6-1-10-Halbkreis und
Figur 6-1-10-Parameterwechsel bei einer
Raumkurve.
Sei c : ~x(t), t ∈ I, eine Cr-Kurve (r ≥ 0)und J ⊂ R ein Intervall sowie f : J → I einebijektive Cr-Funktion. Dann ist
~y(u) := ~x(f(u)), u ∈ J, eine PD dersel-ben Cr-Kurve c. Die Abb. f heißt eine Cr-
Parametertransformation (PT).
Ist r ≥ 1 und ḟ(u) 6= 0 ∀ u ∈ J, so heißt fCr-zulässig.
Ist f zulässig, so ist entweder
ḟ(u) > 0 ∀ u ∈ J, und f heißt gleichsinnig,oder es ist
ḟ(u) < 0 ∀ u ∈ J, und f heißt gegensinnig.
6.1.11 Satz: Sei c : ~x(t), t ∈ I, eine re-guläre Cr-Kurve, f : J → I, f(u) = t eineCr-zulässige PT.
Dann ist ~y(u) := ~x(f(u)), u ∈ J, einezulässige Cr-PD der Kurve.
5
Bew.: Aus Analysis: ~x ◦ f ist eine Cr-Funktion.
~̇y(u) = (Kettenregel) = ~̇x(f(u)) · ḟ(u).~̇x(f(u)) 6= ~o und ḟ(u) 6= 0 ⇒ ~̇y(u) 6= ~o.(Jeweils ∀u) Insgesamt: ~y ist zulässig.
Auswirkung der PT ~y(u) := ~x(f(u)) an
regulärer Stelle t0 = f(u0) mit ḟ(u0) 6= 0:~̇y(u) = (Kettenregel) = ~̇x(f(u)) · ḟ(u)
⇒ ~̇y(u0) = ~̇x(t0)ḟ(u0) mit ḟ(u0) 6= 0⇒ für die Tangenteneinheitsvektoren:
~̇y(u0)|~̇y(u0)|
= ~̇x(t0)|~̇x(t0)|· sgn(ḟ(u0))
und für die Tangente von c in t0 = f(u0):
g : ~z = ~y(u0) + v ~̇y(u0) =
= ~x(f(u0)) + (v ḟ(u0)) ~̇x(t0) =
= ~x(t0) + ṽ ~̇x(t0) mit ṽ := v ḟ(u0).
Die Kurventangente bleibt bei PT erhal-
ten, die Richtung ändert sich für ḟ(u0) < 0
6.1.12 Vereinbarung: Zwei zulässige Cr-
PDen beschreiben dieselbe Kurve, wenn
eine aus der anderen durch eine Cr-zulässi-
ge PT hervorgeht.
In der Differentialgeometrie (DG) werden i.d.R. bei verschie-
denen PD derselben Kurve die Parameter durch verschiedene
Buchstaben zu bezeichnen. Manchmal wird aber ~y(u) =: ~x(u)
gesetzt.
6
6.2 Geometrische Eigenschaften von
Kurven
Eine Eigenschaft (eine Größe) einer Kurve
heißt geometrisch, wenn sie unabhängig
ist von der PD und vom KS.
Um zu zeigen, dass eine Eigenschaft geometrisch ist, zeigt
man die Invarianz gegenüber PTen (manchmal nur gegenüber
gleichsinnigen) und gegenüber KTen/Bewegungen (manch-
mal nur gegenüber gleichsinnigen).
6.2.1 Tangentenvektor, Tangentenein-
heitsvektor, Tangente
Das Verhalten dieser Größen unter PT ha-
ben wir schon in 6.1.11 untersucht.
Auswirkung einer KT/Bewegung:
Basiswechsel bzw. Bewegung ~y = A~x+~b
mit einer orthogonalen Matrix A (d.h.
ATA = E = Einheitsmatrix) und ~b ∈ Rn(n = 2,3 die Raumdimension).
Gegeben: C1-Kurve c : ~x(t), t ∈ I, undBewegung ~y = A~x+~b. PD der Bildkurve:
~y(t) := A~x(t) +~b ⇒ ~̇y(t) = A ~̇x(t)
7
Tangente an Bildkurve (reguläre Stelle t0):
z = ~y(t0) + v~̇y(t0) = A(~x(t0) + v~̇x(t0)) +~b
ist Bild der Tangente an c.
Insbesondere: |~̇y(t)| = |~̇x(t)|, da A orthog.
|~̇y| =√
~̇yT ~̇y =
√
~̇xTATA~̇x =
√
~̇xT ~̇x = |~̇x|
Damit gilt:
Der Begriff Tangenteneinheitsvektor ist
ein geometrischer Begriff bezüglich gleich-
sinniger zulässiger PTen.
Der Begriff Tangente ist ein geometrischer
Begriff bezüglich zulässiger PTen.
6.2.2 Bogenlänge einer C1-Kurve
Geometrische Überlegung:
Figur 6-2-2-Bogenlänge: Kurve mit Teil-
punkten ~x(t0), ~x(t1), ~x(t2), . . . , ~x(tn−1), ~x(tn)
a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn−1 < tn = b
Ein einer Kurve einbeschriebener Polygon-
zug hat die Länge
n∑
i=1
|~x(ti)− ~x(ti−1)| =
n∑
i=1
|~x(ti)− ~x(ti−1)|ti − ti−1
· (ti − ti−1) =
8
n∑
i=1
∣
∣
∣
∣
∣
~x(ti)− ~x(ti−1)ti − ti−1
∣
∣
∣
∣
∣
·∆ti , mit ∆ti := ti−ti−1 > 0.
Satz/Def.: Eine C1-Kurve
c : ~x(t), t ∈ [a, b], hat die Bogenlänge
L :=∫ b
a|~̇x(t)| dt.
Beweisskizze: Man kann zeigen:
limn→∞, ∆ti→0
n∑
i=1
∣
∣
∣
∣
∣
~x(ti)− ~x(ti−1)ti − ti−1
∣
∣
∣
∣
∣
·∆ti =
(MWS k.w.)= · · · =
∫ b
a|~̇x(t)| dt,
dabei muss der MWS komponentenweise angewendet werden,
d.h. für jede der k Komponente des Differenzvektors erhält
man die Ableitung von xk(t) an einer Stelle ξk zwischen ti−1
und ti.
Satz: Die Bogenlänge ist ein geometri-
scher Begriff bezüglich KTen/Bewegun-
gen und gleichsinniger zulässiger PTen.
9
Bew.: Geg.: C1-Kurve c : ~x(t), t ∈ [a, b],PT f : [c, d] → [a, b], t=f(u) mit ḟ(u) > 0und KT ~y = A~x+~b.c : ~y(u) = A~x(f(u)) +~b.⇒ ~̇y(u) = A · ~̇x(f(u)) · ḟ(u)Da A orthogonal: |~̇y(u)| = |~̇x(f(u))||ḟ(u)|
∫ d
c|~̇y(u)| du =
∫ d
c|~̇x(f(u))|ḟ(u)du
∫ b=f(d)
a=f(c)|~̇x(t)| dt =
∫ b
a|~̇x(t)| dt
Verwendet: Substitutionsregel für Integra-le (t = f(u), dt = ḟ(u)du und Grenzen int: a = f(c), b = f(d)) und ḟ(u) > 0
6.2.3 Beispiele:
(1) Ellipse mehrfach durchlaufen
c :
(
x1(t)x2(t)
)
=
(
a cos tb sin t
)
, t ∈ R
Dabei: a, b > 0 konstant gewählt.
Figur 6-2-3-Ellipse mit Punkten (Schei-teln) in t = 0, π2, π,
32π,2π.
Es gilt:
(x1(t)
a)2 + (
x2(t)
b)2 = cos2 t+ sin2 t = 1.
Daher ist c in einer Ellipse enthalten.
10
(
ẋ1(t)ẋ2(t)
)
=
(
−a sin tb cos t
)
6= ~o
c ist eine reguläre Cω-Kurve, lokal einfach
aber nicht einfach (da 2π-periodisch).
~̇x(t)2 = a2 sin2 t+ b2 cos2 t
Die Bogenlänge führt auf ein elliptisches
Integral, nicht elementar auswertbar.
Ellipse einfach und ”ganz” für t ∈ [0,2π[.
(2) Hyperbel
c :
(
x1(t)x2(t)
)
=
(
a cosh tb sinh t
)
, t ∈ R
Dabei: a, b > 0 konstant gewählt.
Figur 6-2-3-Hyperbelbogen und Graphen
von cosh und von sinh im selben KS
Es gilt:
cosh2 x− sinh2 x = 1Folglich ist
(x1(t)
a)2 − (x2(t)
b)2 = cosh2 t− sinh2 t = 1.
Daher ist c in einer Hyperbel enthalten.
c ist ”nur” ein Hyperbelast!
11
6.2.4 Bogenlänge als Funktion des Pa-
rameters
Betrachte Figur: Neilsche Parabel
6-2-4-PT-Bogenlänge
Sei c : ~x(t), t ∈ I, eine reguläre C1-Kurveund a ∈ I und sei:
s(t) :=∫ t
a|~̇x(τ)| dτ.
Dann ist ṡ(t) = |~̇x(t)| > 0 ∀ t ∈ I, also dieAbb. s : I → J; t 7→ s = s(t) streng mo-noton zunehmend und stetig (sogar C1).
Folglich ist sie umkehrbar auf J. Es gibt
f : J → I, s 7→ f(s) = t. Damit istc : ~x(f(s)), s ∈ J, auf die Bogenlänge alsParameter bezogen. Die PD mit der Bo-
genlänge als Parameter ist eindeutig bis
auf die Anfangsstelle und die Orientierung.
Weil ṡ(t) 6= 0 ∀ t ∈ I, ist f ∈ C1(J) unddf
ds=
dt
ds=
1
ṡ(t)=
1
|~̇x(t)|6= 0
Damit ist fast schon gezeigt:
Satz: Jede reguläre Cr-Kurve (r ≥ 1) lässtsich auf ihre Bogenlänge als Parameter
beziehen. Diese PT ist zulässig. Die PD
mit der Bogenlänge ist eine Cr-PD.
12
Bem.: Obiger Satz ist ein Existenzsatz.
Es ist in der Regel nicht möglich, die Pa-
rametrisierung mit der Bogenlänge explizit
anzugeben, aus zwei Gründen:
(1) Das Integral
s(t) :=∫ t
a|~̇x(τ)|dτ
lässt sich i. allg. nicht explizit auswerten.
(2) Die Abb. t 7→ s(t) lässt sich i. allg. nichtexplizit umkehren.
Für rein theoretische Überlegungen kann
man aber stets die PD auf Bogenlänge vor-
aussetzen.
6.2.5 Auf ihre Bogenlänge bezogene
Kurven
Die Bogenlänge als Kurvenparameter wird
mit s bezeichnet, wenn nichts anderes ver-einbart ist.
Die Ableitung nach s wird mit einem Strich’ bezeichnet.
Die Bogenlänge s heißt auch natürlicherParameter.
Es gilt:
~x ′(s) =d~x
ds=
d~x
dt· dtds
=d~x
dt· 1ṡ(t)
=~̇x(t)
|~̇x(t)|13
Stets ist
|~x ′(s)| = 1 ∀ s, (1)also
~x ′2(s) = ~x ′(s)~x ′(s) = 1 ∀ s. (2)Ableiten von (2) (~x ′′(s)~x ′(s) + ~x ′(s)~x ′′(s) = 0 ⇒2~x ′(s)~x ′′(s) = 0) liefert nach Division durch 2:
~x ′(s)~x ′′(s) = 0 ⇔ ~x ′′(s)⊥ ~x ′(s) ∀ s (3)Bem.: Da Formeln unter Verwendung der Bogenlänge beson-
ders einfach werden, entwickeln wir die Theorie der Kurven
unter Verwendung der Bogenlänge.
Satz: Parameter t ist die Bogenlänge s von
c : ~x(t), t ∈ I ⇔ |~̇x(t)| = (dsdt) = 1 ∀ t ∈ I.
6.2.6 Beispiel: Schraub(en)linie
c : ~x(t) =
r cos tr sin tpt
, t ∈ R,
mit konstanten r > 0, p ∈ R ist PD ei-ner Schraublinie. Diese kann in sich bewegt
(verschraubt) werden.
Blick in z-Richtung: Kreis mit Radius r ⇒ Drehung um z-Achse mit Winkel t und linearem Vorschub pt || z-Achse.
t . . .Schraubwinkel
p . . .Schraubparameter
r . . .Schraubradius
14
~̇x(t) =
−r sin tr cos t
p
⇒ ~̇x2 = r2 + p2 > 0
c ist eine reguläre Cω-Kurve.
Bogenlänge mit Anfangsstelle t = 0:
s(t) =∫ t
0|~̇x(τ)| dτ =
∫ t
0
√
r2 + p2 dτ =
=
√
r2 + p2 · t
t(s) =s
√
r2 + p2
PD von c mit der Bogenlänge s:
c : ~x(s) =
r · cos s√r2+p2
r · sin s√r2+p2
p·s√r2+p2
Spezialfall: p = 0 . . .Kreis mit Radius r:
c : ~x(s) =
r · cos srr · sin sr
0
Vgl Figur 6-2-6-Schraublinie-Bogenlänge
Schritte 1 - 4 r = 85, p =65 ⇒ r2+ p2 = 4
15
6.2.7 Begleitendes Dreibein
Geg.: reguläre C2-Kurve c : ~x(s), s ∈ Is Bogenlänge von c, d.h. |~x ′(s)| = 1 ∀ s ∈ I
Ein Punkt ~x(s0) heißt W-Punkt von c :⇔~x ′′(s0) = ~o.
Um Eigenschaften von c zu ermitteln, ord-
nen wir jedem s ∈ I eine Orthonormalbasis(ONB) ~t(s), ~n(s), ~b(s) zu, die von der Kur-
ve abhängt.
Wir setzen dazu voraus:
c sei W-Punkt-frei, also ~x ′′(s) 6= ~o ∀ s ∈ I.
Dann heißen:
~t(s) := ~x ′(s). . .Tangenteneinheitsvektor
~n(s) := ~x′′(s)
|~x ′′(s)...|. . .Hauptnormalenvektor(vgl. 6.2.5(3))
~b(s) := ~t(s)× ~n(s) . . .Binormalenvektorvon c an der Stelle s.
(~t(s), ~n(s),~b(s)) ist eine Rechts-ONB und
heißt das begleitende Dreibein (kurz: 3-
Bein) oder Frenet-3-Bein von c an der
Stelle s.
16
~y = ~x(s0) + v · ~t(s0), v ∈ R . . .Tangente~y = ~x(s0) + v · ~t(s0) + w · ~n(s0), v, w ∈ R
. . .Schmiegebene
jeweils von c an der Stelle s0.
HESSE-Normalform der Schmiegebene
σ von c an der Stelle s0:
σ : ±~b(s0) · (~y − ~x(s0)) = 0
Das ist eine Gleichung in ~y = (x, y, z)T .
(Das Zeichen + steht, falls ~b(s0) · ~x(s0) ≥ 0.)
Vgl Figur 6-2-6-Schraublinie-Bogenlänge
Schritte 5 - 9
6.2.8 Berechnung von ~t, ~n, ~b bei allge-
meinem Parameter t
Geg.: reguläre C2-Kurve c : ~x(u), u ∈ Iu nicht notwendig die Bogenlänge von c.
Ein Punkt ~x(u0) heißt W-Punkt von c :⇔~̇x(u0), ~̈x(u0) sind linear abhängig.
Dann spannen ~̇x(u0), ~̈x(u0) keine Ebene auf.
Wir setzen voraus: c sei W-Punkt-frei,
also ~̇x(u), ~̈x(u) linear unabhängig ∀u ∈ I17
Dann sind:
~y = ~x(u0) + v · ~̇x(u0), v ∈ R . . .Tangente~y = ~x(u0) + v · ~̇x(u0) + w · ~̈x(u0), v, w ∈ R
. . .Schmiegebene
von c an der Stelle u0 und:
~t(u) := ~̇x(u)|~̇x(u)| Tangenteneinheitsvektor
~b(u) := ~̇x(u)×~̈x(u)|~̇x(u)×~̈x(u)| Binormalenvektornormal zur Schmiegebene
~n(u) = ~b(u)×~t(u) Hauptnormalenvektordes begleitenden Dreibeins von c in u.
6.2.9 Beispiel: Schraublinie
c : ~x(t) =
r · cos tr · sin tp · t
, t ∈ R
~̇x(t) =
−r · sin tr · cos t
p
, ~̈x(t) =
−r · cos t−r · sin t
0
~̇x× ~̈x =
rp · sin t−rp · cos t
r2
⇒
~b =
p · sin t−p · cos t
r
· 1√
r2 + p2
18
~t =
−r · sin tr · cos t
p
· 1√
r2 + p2
~n = ~b× ~t = . . . =
− cos t− sin t
0
Vgl. 6-2-9-Schraublinie-allgemein oder
6-2-9-allgemeineRaumkurve bis Schritt 11
6.2.10 Ableitungsgleichungen von
FRENET
Sei c : ~x(s), s ∈ I, eine reguläre W-Punkt-freie C3-Kurve. Da (~t, ~n,~b) eine Basis des
R3, gibt es a11(s), a12(s), . . . , a33(s), mit:
~t ′(s) = a11~t(s) + a12~n(s) + a13~b(s) (1)
~n ′(s) = a21~t(s) + a22~n(s) + a23~b(s) (2)
~b ′(s) = a31~t(s) + a32~n(s) + a33~b(s) (3)
Ableiten nach s liefert:
Aus ~t 2(s) = 1 folgt ~t~t ′ = 0, also a11 = 0.Aus ~n2(s) = 1 folgt ~n~n′ = 0, also a22 = 0.Aus ~b 2(s) = 1 folgt ~b~b ′ = 0, also a33 = 0.Letzeres folgt nach Multiplikation von (1)
mit ~t, von (2) mit ~n und von (3) mit ~b.
19
Analog schließt man:
Aus ~t ~n = 0 folgt ~t ′~n+ ~t ~n ′ = 0, also mit(1)·~n und (2)·~t: a12 + a21 = 0.Aus ~t~b = 0 folgt ~t ′~b+ ~t~b ′ = 0, also mit(1)·~b und (3)·~t: a13 + a31 = 0.Aus ~n~b = 0 folgt ~n ′~b+ ~n~b ′ = 0, also mit(2)·~b und (3)·~n: a23 + a32 = 0.
Bem.: Die Matrix der aik ist schiefsymme-trisch, weil (~t, ~n,~b) eine ONB ist.
Weil ~t = ~x ′, ist ~t ′ = ~x ′′= |~x ′′|~n (6.2.7)⇒ a11 = 0 (klar), a12 = |~x ′′| und a13 = 0.
Mit κ := a12 = −a21, 0 = a13 = −a31 undτ := a23 = −a32 folgt:
~t ′ = κ~n
~n ′ = −κ~t + τ ~b
~b ′ = − τ ~n
Berechnung von κ: κ(s) = a12 = |~x ′′(s)|
κ . . .Krümmung von c
τ . . .Torsion oder Windung von c1κ =: ρ . . .Krümmungsradius von c1τ . . .Torsionsradius von c
20
Berechnung von τ (= ~n ′ ·~b) nach (2):Mit κ(s) = |~x ′′(s)| gilt ~n(s) = ~x
′′(s)κ(s)
⇒
~n ′(s) = −κ′(s)
κ2(s)~x ′′(s) + 1
κ(s)~x ′′′(s) ⇒
τ(s) = ~b · ~n ′ = (~t× ~n) · ~n ′ = det(~t, ~n, ~n ′) == det(~x ′(s), ~x
′′(s)κ(s)
, −κ′(s)
κ2(s)~x ′′(s)+ 1
κ(s)~x ′′′(s))
(addiere das κ′/κ-fache der zweiten Spalte zur dritten Spalte
und ziehe zweimal den Faktor 1/κ aus der Determinante.)
= 1κ2(s)
det(~x ′(s), ~x ′′(s), ~x ′′′(s))
Satz: Für das begleitende Dreibein (~t, ~n,~b)
einer regulären W-Punkt-freien auf ihre
Bogenlänge s bezogenen C3-Raumkurve
c : ~x(s), s ∈ I, gelten die Ableitungs-gleichungen von Frenet:
~t ′ = κ~n
~n ′ = −κ~t + τ~b mit
~b ′ = − τ~n
κ(s) = |~x ′′| > 0 und τ(s) = det(~x′, ~x ′′, ~x ′′′)~x ′′2 .
Vgl Figur 6-2-6-Schraublinie-Bogenlänge
21
Deutung von |~t ′| = κ und |~b ′| = |τ |
Die Krümmung κ ist ein Maß für die Ab-
weichung der Kurve vom geradlinigen Ver-
lauf. (~t ′ Änderung der Tangente)
Die Torsion τ ist ein Maß für die Abwei-
chung der Kurve vom ebenen Verlauf. (~b ′
Änderung der Schmiegebene)
6.2.11 Berechnung von κ, τ bei allge-
meinem Parameter t
Sei c : ~y(t), t ∈ I die PD mit allgemeinemParameter t und ~x(s) := ~y(t(s)) die PD
von c nach der Bogenlänge von c.
Dann gilt nach der Kettenregel:
~x ′ = ~̇y · dtds
=~̇y
|~̇y|mit
dt
ds=
1
|~̇y|
~x ′′ = ~̈y · (dtds
)2 + ~̇y · d2t
ds2
~x ′′′ =...~y · (dt
ds)3 +3 · ~̈y · dt
ds· d
2t
ds2+ ~̇y · d
3t
ds3
und es folgt:
~x ′ × ~x ′′ = ~̇y dtds
× (~̈y (dtds
)2 + ~̇yd2t
ds2) =
22
= ~̇y × ~̈y · (dtds
)3 =~̇y × ~̈y|~̇y|3
Mit |~x ′×~x ′′| = |~x ′′| (siehe 6.2.10 (*)) folgt:
κ = |~x ′′| = |~x ′ × ~x ′′| = |~̇y × ~̈y||~̇y|3
und
det(~x ′, ~x ′′, ~x ′′′) = det(~̇y
|~̇y|,
~̈y
|~̇y|2+. . . ,
...~y
|~̇y|3+. . .)
=det(~̇y, ~̈y,
...~y )
|~̇y|6
τ =det(~x ′, ~x ′′, ~x ′′′)
|~x ′′|2 =det(~̇y, ~̈y,
...~y )
|~̇y|6· |~̇y|
6
|~̇y × ~̈y|2
=det(~̇y, ~̈y,
...~y )
(~̇y × ~̈y)2Merkregel: Anzahl der Punkte in Zähler und Nenner gleich!
Satz: Ist c : ~x(t), t ∈ I, eine reguläre W-Punkt-freie C3-Raumkurve, so ist
κ(t) =|~̇x× ~̈x||~̇x|3
> 0, τ(t) =det(~̇x, ~̈x,
...~x )
(~̇x× ~̈x)2
Bem.: κ, τ sind geometrische Größen bzgl.
PT und gleichsinnigen Bewegungen.
23
6.2.12 Beispiel: Schraublinie
c : ~x(t) =
r · cos tr · sin tp · t
, t ∈ R,
~̇x(t) =
−r · sin tr · cos t
p
, ~̈x(t) =
−r · cos t−r · sin t
0
,
...~x =
r · sin t−r · cos t
0
~̇x× ~̈x =
rp · sin t−rp · cos t
r2
~̇x2 = r2 + p2; (~̇x× ~̈x)2 = r2 · (p2 + r2)
κ(t) =|~̇x× ~̈x||~̇x|3
=r√
p2 + r2
(√
r2 + p2)3=
r
r2 + p2
det(~̇x, ~̈x,...~x ) = p·det
(
−r cos t r sin t−r sin t −r cos t
)
= pr2
τ(t) =pr2
r2(p2 + r2)=
p
r2 + p2
Vgl. 6-2-9-Schraublinie-allgemein oder
-allgemeineRaumkurve Schritte 12+13
24
6.2.13 Krümmungskreis Schmiegebene
Sei c : ~x(s), s ∈ I, eine W-Punkt-freie C2-Kurve. d.h. κ(s) 6= 0:
Liegen ~x(s), ~x(s+h), ~x(s+l) nicht auf einerGeraden, so bestimmen sie eindeutig einen
Kreis k(s, h, l) in der von den drei Punktenaufgespannten Ebene ε(s, h, k). Es gilt:limh,k→0 ε(s, h, k) = σ(s) =Schmiegebenelimh,l→0 k(s, h, l) ist der Krümmungskreisvon c an der Stelle s Sein Mittelpunkt ist
~m(s) := ~x(s) +1
κ(s)· ~n(s),
der Krümmungsmittelpunkt von c an derStelle s.
Die Kurve der Krümmungsmittelpunkte
von c mit der PD ~m(s), s ∈ I, heißt dieEvolute von c.
Vgl Figur 6-2-6-Schraublinie-Bogenlänge
Schritt 12 oder 6-2-9-Schraublinie-
allgemein oder -allgemeineRaumkurve
Schritt 14. Die Spur von M ist Evolute
von c.
Sprechweise: c berührt an der Stelle s dieSchmiegebene und den Krümmungskreis
dreipunktig oder von zweiter Ordnung.
25
6.2.14 Hauptsatz der Kurventheorie
I ein Intervall, κ : I → R eine C1-Funktionmit κ(s) > 0 ∀ s ∈ I, τ : I → R stetig.
Beh.: Es gibt eine C3-Kurve c : ~x(s), s ∈ I,mit der Bogenlänge s, der Krümmung κ
und der Torsion τ . Die Kurve ist eindeutig
bestimmt bis auf gleichsinnige Bewegun-
gen. Ohne Bew.
6.2.15 Kurven mit konstanter
Krümmung und Torsion
Wegen 6.2.12 und 6.2.14 gilt: Jede Kurve
mit konstanter Krümmung κ > 0 und kon-
stanter Torsion τ ∈ R ist eine Schraublinie.Zur Begründung zeigen wir, dass zu geg. κ und τ der Schraub-radius r und der Schrauparameter p einer Schraublinie eindeu-tig bestimmt ist:
Aus 6.2.12: κ =r
r2 + p2, τ =
p
r2 + p2
⇒ τκ=
p
rund κ =
1r
1+ (pr)2
⇒ r = 1κ· 11+ (p
r)2
=1
κ· 11+ (τ
κ)2
=κ
κ2 + τ2
und p = r · τκ=
τ
κ2 + τ2
p = 0 . . . Kreis mit Radius 1κ.
26
6.3 Ebene Kurven
6.3.1 Raumkurven in einer Ebene
Eine W-Punkt-freie (reguläre) C3-Kurve
c : ~x(t), (t ∈ I) in E3 ist in einer Ebeneenthalten ⇔ τ = 0 ∀t ∈ I.
Beweis: (⇒) Ist c in einer Ebene enthal-ten, so sind ~̇x, ~̈x und
...~x parallel zu dieser
Ebene, also linear abhängig.
Daher ist det(~̇x, ~̈x,...~x ) = 0
und damit
τ =det(~̇x, ~̈x,
...~x )
(~̇x× ~̈x)2= 0.
(⇐) c besitzt ein begleitendes Dreibein(~t, ~n,~b) mit ~b ′ = −τ~n = ~o (o.E. PD aufBogenlänge s),
also ist ~b = ~b(s) konstant.
Die Schmiegebene σ(s) hat die Ebenen-
gleichung
~b · (~y − ~x(s)) = 0 ⇔ ~b · ~y = ~b · ~x(s)Dabei ist ~y = (x1, x2, x3)
T ein Punkt und~b der Normaleneinheitsvektor von σ(s).
27
Da ~b = ~b(s) konstant ist, sind alle Schmie-
gebenen von c zueinander parallel.
Zudem gilt mit ~b ′(s) = 0:
d
ds(~b(s)·~x(s)) = ~b ′(s)·~x(s)+~b(s)·~x ′(s) = ~b·~t = 0.
Also ist ~b · ~x(s) = d konstant,damit σ(s) =: σ : ~b · ~y = d konstantund c eine Kurve, die in einer Ebene liegt,
d.h. in der konstanten Schmiegebene σ.
6.3.2 Ebene Kurven
Betrachtet man eine Kurve in einer Ebene
ohne umgebenden Raum, so kann man
• die Ebene orientieren durch Auszeich-nung einer Rechts-Basis und
• die Kurve beschreiben durch eine PD mitzwei Koordinatenfunktionen.
Wir werden für ebene Kurven eine vorzei-
chenbehaftete Krümmung definieren.
28
6.3.3 Parameterdarstellung ebener
Kurven
Sei c : ~x(t) (t ∈ I) eine reguläre C1-PDeiner ebenen Kurve. Dann ist
~x(t) =
(
x(t)y(t)
)
.
Ein Tangentenvektor von c an der Stelle t
ist gegeben durch
~̇x(t) =
(
ẋ(t)ẏ(t)
)
,
der Tangenteneinheitsvektor von c an
der Stelle t ist gegeben durch
~t :=~̇x(t)
|~̇x(t)|=
(
ẋ(t)ẏ(t)
)
· 1√ẋ2(t) + ẏ2(t)
,
der Hauptnormalenvektor von c an der
Stelle t ist gegeben durch
~n(t) :=
(
−ẏ(t)ẋ(t)
)
· 1√ẋ2(t) + ẏ2(t)
.
Die Vektoren (~t, ~n) bilden eine Rechts-
ONB, das begleitende Zweibein von c.
29
6.3.4 Die Frenetschen Ableitungsglei-
chungen für ebene Kurven
Sei c : ~x(s) (Bogenlänge s ∈ I) eine C2-PDeiner ebenen Kurve. Dann ist
~x(s) =
(
x(s)y(s)
)
.
Der Tangenteneinheitsvektor von c an der
Stelle s ist gegeben durch
~t(s) = ~x ′(s) =(
x ′(s)y ′(s)
)
,
der Hauptnormalenvektor von c an der
Stelle s ist gegeben durch
~n(s) :=
(
−y ′(s)x ′(s)
)
.
Da ~x ′2 = 1 auf I, ist ~x ′~x ′′ = 0 auf I, also
~x ′′ = ~t ′ =: κ~n.
Dabei heißt κ(s) die Krümmung von c an
der Stelle s.
In den beiden Koordinaten:
x ′′ = −κy ′, y ′′ = κx ′.
~n ′(s) :=(
−y ′′(s)x ′′(s)
)
=
(
−κx ′(s)−κy ′(s)
)
= −κ~t(s).
30
Die Frenet-Gleichungen für ebene Kurven
lauten damit
~t ′ = κ~n, ~n ′ = −κ~t.
6.3.5 Vorzeichen der Krümmung einer
ebenen Kurve
Sei c : ~x(s) (Bogenlänge s ∈ I) eine C2-PDeiner ebenen Kurve. Dann ist
det(~x ′, ~x ′′) = det(~t, κ ~n) = κ
also
κ(s) = det(~x ′(s), ~x ′′(s)).
Die Krümmung κ(s) einer regulären ebe-
nen C2-Kurve ist
{
> 0< 0
}
⇔ Die Vekto-
ren (~x ′, ~x ′′) bilden eine{
RechtsbasisLinksbasis
}
⇔Die Kurve c ist an der Stelle s{
linksgekrümmtrechtsgekrümmt
}
.
31
6.3.6 Die Krümmung einer ebenen
Kurve bei allgemeinem Parameter
Sei c : ~x(t) (t ∈ I) eine reguläre C2-PDeiner ebenen Kurve. Dann ist
κ(t) =det(~̇x, ~̈x)
|~̇x|3.
Beweis: vgl. 6.2.11
c : ~x(s) = ~y(t(s)) ⇒ ~x ′ = ~̇y · dtds mitdtds =
1|~̇y|
und ~x ′′ = ~̈y · (dtds)2 + ~̇y ·d2tds2
det(~x ′, ~x ′′) = det(~̇y
|~̇y|,
~̈y
|~̇y|2+~̇y·d
2t
ds2) =
det(~̇y, ~̈y)
|~̇y|3.
6.3.7 Der Hauptsatz der Kurventheorie
für ebene Kurven
Seien I ein Intervall und κ :
{
I → Rs 7→ κ(s)
}
stetig. Dann gibt es bis auf gleichsinnige
Bewegungen genau eine Kurve in der Ebe-
ne mit der Krümmung κ(s) an jeder Stelles ∈ I.
Beweis: Sei α(s) der Winkel, den ~x ′(s) mitder positiven x-Achse einschließt. Dann ist
~x ′(s) =(
cosα(s)sinα(s)
)
32
und
~t ′(s) = ~x ′′ =(
− sinα(s)cosα(s)
)
·α′(s) = ~n(s)·α′(s).
Folglich ist
α′(s) = κ(s),
also
α(s) =∫ s
s0κ(u)du+ α0
mit einer Integrationskonstanten α0. Da-
mit ist
~x(s) =∫ s
s0
(
cos(∫ vs0
κ(u)du+ α0)
sin(∫ vs0
κ(u)du+ α0)
)
dv+ ~x0
mit einer Integrationskonstanten ~x0.
Aus einer vorgegebenen stetigen
Krümmung lässt sich eine ebene Kurve
bis auf ihre Lage in der Ebene eindeutig
explizit berechnen (bis auf sogenannte
Quadraturen = Integrationen).
Bsp.: Figur 6-3-7-Hauptsatz-Klothoide
33
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