TEORIJA PLASTIČNOSTI ZADATAK 13. Za zadani okvir konstantnog poprečnog presjeka koji je opterećen prema slici, treba po teoriji plastičnosti odrediti dopuštenu veličinu sile F.
Zadano je: - granica tečenja materijala MPaT 230=σ - koeficijent sigurnosti 80,1=k .
6
l=4 m
l/2 l/2
a=2,
5 m
b=2
m
h=4,
5 m
53
2
1
4
F
1,5 F
a a
a a
a
a
100
60
20
2020
100
mm
PRESJEK a - a Najprije ćemo odrediti granični moment ili moment plastičnosti poprečnog presjeka.
Površina poprečnog presjeka: 2520020100100202060 mmA =⋅+⋅+⋅=
U graničnom stanju neutralna os dijeli poprečni presjek na dva jednaka dijela: 221AAA ==
Položaj neutralne osi: 22 2600
25200202060
2mmAA ==⋅+⋅== ξ ⇒ mm70=ξ
ξ
n.o.
1
2
σT
σT
2020
3070
Moment plastičnosti dobijemo iz izraza: plTpl WM ⋅= σ , gdje je W plastični moment otpora presjeka pri savijanju.
pl
1 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo
Plastični moment otpora dobijemo zbrajanjem apsolutnih vrijednosti statičkih momenata vlačne i tlačne zone s obzirom na neutralnu os:
21 SSWpl +=
( ) ( ) 3234000145000890003570208020601530204020100 mmWpl =+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= Tako je granični moment ili moment plastičnosti zadanog poprečnog presjeka:
kNmNmmWM plTpl 82,531082,53234000230 6 =⋅=⋅=⋅= σ Zadani okvir je jedan put statički neodređen, da bi se pretvorio u kinematički mehanizam, potrebno je da se pojave dva plastična zgloba. Oblik dijagrama momenata savijanja prikazan je na donjoj slici.
6
53
2
1
4
F
1,5 F
Plastični zglobovi se mogu pojaviti u 4 presjeka 1, 2, 3 i 4, a dovoljna su 2 da dobijemo kinematički mehanizam. Iz toga proizlazi da je moguće 6 kombinacija sa 2 zgloba. Razmatramo te varijante graničnih stanja. 1. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 1 i 2. Kinematički moguće stanje prikazano je isprekidanom linijom.
2
Fpl
ϕ
1
1,5 Fpl
a⋅ϕ
Mpl
Mpl
Mpl
a⋅ϕ
ab
h
l/2 l/2
Principom virtualnih radova dobivamo: 025,1 =⋅⋅−⋅⋅⋅ ϕϕ plpl MaF
kNa
MF pl
pl 704,285,25,1
82,5325,1
2=
⋅⋅
=⋅
⋅=
2 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo
2. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 1 i 3. Kinematički moguće stanje prikazano je isprekidanom linijom.
3
Fpl
ϕ
1
h⋅ϕ
a⋅ϕ
1,5 Fpl
Mpl
h⋅ϕMpl
Mpla
bh
l/2 l/2
Principom virtualnih radova dobivamo:
025,1 =⋅⋅−⋅⋅⋅ ϕϕ plpl MaF
kNa
MF pl
pl 704,285,25,1
82,5325,1
2=
⋅⋅
=⋅
⋅=
3. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 1 i 4.
4
Fpl
ϕ
1
a⋅ϕ
1,5 Fpl
ϕ ϕ
h⋅ϕ
2l
⋅ϕ
Mpl
Mpl Mpl
b⋅ϕ
h⋅ϕ
ab
h
Principom virtualnih radova dobivamo:
032
5,1 =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅ ϕϕϕ plplpl MlFaF
kNla
MFpl
pl 08,28
245,25,1
82,533
25,1
3=
+⋅
⋅=
+⋅
⋅=
l/2 l/2 4. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 2 i 3.
2
Fpl
ϕ
1,5 Fpl
b⋅ϕ
Mpl
Mpl
b⋅
ϕ
MplMpl3
ab
h
Ovakav kinematički mehanizam nije moguć jer nema rada vanjskih sila !!!
l/2 l/2
3 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo
5. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 2 i 4. Kinematički moguće stanje prikazano je isprekidanom linijom.
2
Fpl
ϕ
1,5 Fpl
b⋅ϕ
Mpl
Mpl
b⋅
4 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo
ϕ
MplMpl
2l⋅ϕ
ϕ ϕ4
l/2 l/2
ab
h
Principom virtualnih radova dobivamo:
032
=⋅⋅−⋅⋅ ϕϕ plpl MlF
kNlM
F plpl 73,80
24
82,533
2
3=
⋅=
⋅=
6. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 3 i 4.
3
Fpl
1,5 Fpl
Mpl
b
⋅ϕ
MplMpl
2l⋅ϕ
ϕ ϕ
Mpl
ϕ
4
l/2 l/2
ab
h
Principom virtualnih radova dobivamo:
032
=⋅⋅−⋅⋅ ϕϕ plpl MlF
kNlM
Fpl
3 pl 73,80
24
82,533
2
=⋅
=⋅
=
Granično opterećenje sistema je:
kNFF plpl 08,28min == - 3.varijanta pojavljivanja plastičnih zglobova je mjerodavna !! Dopušteno opterećenje sistema iznosi:
kNk
FF pl
dop 60,1580,108,28min
=== .
Top Related