ΥΟΙΖ ΔΠΑΓΓΔΙΚΑΣΩΛ ΤΓΔΗΑ & ΠΡΟΛΟΗΑ

ΣΚΖΚΑ ΔΠΗΘΔΠΣΩΛ/ΣΡΗΩΛ ΤΓΔΗΑ

ΖΚΔΗΩΔΗ

ΒΗΟΣΑΣΗΣΗΘΖ

ΓΗΓΑΘΩΛ :

Απόστολος Λέτσιος BSc, MSc Statistics

ΑΘΖΛΑ 2010

Περιγραθή ηης ύλης

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ειζαγωγή

Σηαηιζηική ‐ Δεδομένα ‐ Πίνακες

Γραθικές Παραζηάζεις

Μέζοι Όροι και Εκαηοζηημόρια

Διακύμανζη

Χ2 Καηανομή

Κανονική Καηανομή (Normal)

Η Καηανομή t (Student’s t)

Ελεγχοι Υποθέζεων

2

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Γηαηί ζα πξέπεη ζαλ ζηέιερνο ζηνλ ηνκέα

ηεο Τγείαο λα γλσξίδσ ζηαηηζηηθή ;

3

ηαηηζηηθή ‐ Αλαγθαίν Κακό ;

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 4ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ζ ΤΓΔΗΑ γίλεηαη ζπλερώο πην «πνζνηηθή» .. Από

πεξηγξαθηθή πιεξνθνξία .. Γείθηεο πγείαο : αηκαηνθξίηεο,

ρνιεζηεξόιε θιπ

Ο ζρεδηαζκόο, ε δηεμαγσγή θαη ε αλάιπζε κεγάινπ κέξνπο

ηεο ηαηξηθήο έξεπλαο εμαξηώληαη από ζηαηηζηηθή

κεζνδνινγία όιν θαη πεξηζζόηεξν..

Δίλαη απηό ην θάξκαθν θαιύηεξν από ην πξνεγνύκελν ή

όρη; Πόζν θαιύηεξν είλαη;

Ζ ζηαηηζηηθή είλαη παληνύ ζηελ ηαηξηθή βηβιηνγξαθία

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 5ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηελ θαζεκεξηλή καο δσή :

Οηθνλνκία (Υξεκαηηζηήξην, Πιεζσξηζκόο

Πνιηηηθή (εθινγέο, exit polls..)

Δθπαίδεπζε (Πνζνζηό Δπηηπρόλησλ)

Άιινη ηνκείο..

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 6ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Παξαδείγκαηα :

Πόζνπο ρώξνπο parking αλά δηακέξηζκα έρεη θαηά κέζν όξν

κηα πνιπθαηνηθία ζηελ Βνύια; ηα Παηήζηα;

Τπάξρεη δηαθνξά ζηηο δπν ζπλνηθίεο;

Δίλαη ε πνζόηεηα ρνιεζηεξόιεο ζηελ νκάδα Α κεγαιύηεξε ε

κηθξόηεξε από όηη ζηελ νκάδα Β;

Πσο κεηαβάιιεηαη ε εθπνκπή ξύπσλ (π.ρ. ληηξηθό νμύ) κε ηελ

παιαηόηεηα ελόο ηύπνπ κεραλήο; Κπνξνύκε λα πξνβιέςνπκε

γηα θάπνηα κεραλή ηέηνηνπ ηύπνπ πνπ γλσξίδνπκε ην ρξόλν

ιεηηνπξγίαο ηεο πόζνπο ξύπνπο εθπέκπεη;

Πσο ζα απαληήζνπκε; ⇒ ηαηηζηηθή

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 7ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Δίλαη αδύλαην λα γίλεη θάπνηνο επηζηήκνλαο ζην ρώξν ηεο

Τγείαο, ρσξίο ηελ θαηαλόεζε βαζηθώλ ζηαηηζηηθώλ

ελλνηώλ. Γηαηί ;

Θα ρξεηαζηεί λα πινπνηήζεηε δηθέο ζαο έξεπλεο θαη δηθέο

ζαο αλαιύζεηο.

Θα ρξεηαζηεί λα εξλελεύζεηε αλαιύζεηο άιισλ

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 8ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ση είλαη ηαηηζηηθή ;

«ε επηζηήκε πνπ έρεη αληηθείκελν ηελ αλάπηπμε κεζόδσλ γηα

ηε ζπιινγή, παξνπζίαζε, αλάιπζε θαη εξκελεία δεδνκέλσλ»

(Fisher)

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 9ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ση δελ είλαη ηαηηζηηθή ;

Ζ ηαηηζηηθή δελ είλαη απιά ε ζπιινγή ησλ δεδνκέλσλ

Ειζαγωγή

Γελ είλαη ην εξγαιείν πνπ ρξεζηκνπνηεί ν εηδηθόο γηα λα

απνδείμεη απηό πνπ ζέιεη.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 10ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ση είλαη ηαηηζηηθή ;

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 11ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή (Descriptive Statistics)

Δίλαη ν θιάδνο ηεο ηαηηζηηθήο πνπ έρεη σο αληηθείκελν ηελ αλάπηπμε

κεζόδσλ γηα ηε ζπλνπηηθή θαη ηελ απνηειεζκαηηθή παξνπζίαζε ησλ

δεδνκέλσλ

ρεδηαζκόο Πεηξακάησλ (Experimental Design) θαη

Θεσξία Γεηγκαηνιεςίαο (Sampling Theory)

Δίλαη θιάδνη ηεο ηαηηζηηθήο πνπ, ζε γεληθέο γξακκέο, έρνπλ σο

αληηθείκελν ηελ αλάπηπμε κεζόδσλ γηα ηε ζπιινγή δεδνκέλσλ

κέζσ ηεο εθηέιεζεο πεηξακάησλ ε κέζσ δεηγκαηνιεςηώλ αληίζηνηρα

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Δίλαη ν θιάδνο ηεο ηαηηζηηθήο πνπ έρεη σο αληηθείκελν ηελ αλάπηπμε

κεζόδσλ γηα ηελ αλάιπζε ησλ δεδνκέλσλ θαη ηελ εμαγσγή

ζπκπεξαζκάησλ γηα ηνλ πιεζπζκό από ηνλ νπνίν πξνέξρνληαη.

Ειζαγωγή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics Περιγραθική Σηαηιζηική

12ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ειζαγωγή

Ση είλαη ηαηηζηηθή ;

Στημαηικά :

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 13ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 14ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

ηπραία κεηαβιεηή : νπνηνδήπνηε ραξαθηεξηζηηθό ηνπ νπνίνπ ε ηηκή

αιιάδεη ζηα δηάθνξα ζηνηρεία ηνπ πιεζπζκνύ,

πρ. ρνιεζηεξόιε ζηνλ νξό αίκαηνο

Υξήζηκνη όξνη ηεο ηαηηζηηθήο:

Γεδνκέλα : έλα ζύλνιν ηηκώλ κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο

πνπ έρνπκε ζηε δηάζεζε καο

Πιεζπζκόο : κηα νκάδα ή κηα θαηεγνξία ζηελ νπνία αλαθέξεηαη ε η.κ

Γείγκα : έλα ππνζύλνιν ηνπ πιεζπζκνύ πνπ κειεηάκε

Παξάκεηξνο : έλα κέγεζνο πνπ ζπλνςίδεη κε θάπνην ηξόπν ηηο ηηκέο

ηεο η.κ. ζηνλ πιεζπζκό

ηαηηζηηθή : έλα κέγεζνο πνπ ζπλνςίδεη κε θάπνην ηξόπν ηηο ηηκέο

ηεο η.κ. ζην δείγκα

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 15ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Σύπνη Αξηζκεηηθώλ Γεδνκέλσλ

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Γεδνκέλα Ολνκαζηηθήο Θιίκαθαο (nominal data), ησλ νπνίσλ νη ηηκέο

πέθηνπλ ζε κε δηαηεηαγκέλεο θαηεγνξίεο (ε ηάμεηο).

Γεδνκέλα νλνκαζηηθήο θιίκαθαο πνπ παίξλνπλ κόλν κία από δύν

ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο, όπσο άλδξεο θαη γπλαίθεο, θαινύληαη δηρνηόκα

ε δπαδηθά (dichotomous, binary)

Γεδνκέλα Γηαηεηαγκέλεο Θιίκαθαο Όηαλ ε ζεηξά (δηάηαμε) κεηαμύ

θαηεγνξηώλ έρεη ζεκαζία , ηα δεδνκέλα αλαθέξνληαη ζαλ δεδνκέλα

δηαηεηαγκέλεο θιίκαθαο ε δηαηάμηκα δεδνκέλα (ordinal data)

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 16ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Σύπνη Αξηζκεηηθώλ Γεδνκέλσλ

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Γηαηεηαγκέλα Γεδνκέλα ε κεξηθέο πεξηπηώζεηο έρνπκε κηα νκάδα

παξαηεξήζεσλ πνπ πξώηα ηνπνζεηνύληαη ζηε ζεηξά από κεγαιύηεξε

ζε κηθξόηεξε θαη θαηόπηλ αληηθαζηζηνύληαη από αξηζκνύο πνπ

αληηζηνηρνύλ ζηε ζέζε θάζε παξαηήξεζεο ζηελ αθνινπζία.

Σα δεδνκέλα απηνύ ηνπ ηύπνπ θαινύληαη δηαηεηαγκέλα δεδνκέλα

(ranked data)

Γηαθξηηά Γεδνκέλα Γηα ηα δηαθξηηά ε αζπλερή δεδνκέλα (discrete data)

παίδεη ξόιν θαη ε δηάηαμε θαη ην κέγεζνο

πλερή Γεδνκέλα Σα δεδνκέλα πνπ παξνπζηάδνπλ κεηξήζηκεο

πνζόηεηεο αιιά δελ πεξηνξίδνληαη ζην λα παίξλνπλ κόλν θάπνηεο

ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο ιέγνληαη ζπλερή δεδνκέλα (continuous data)

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics Περιγραθική Σηαηιζηική

17ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Δίδε Κεηαβιεηώλ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics Περιγραθική Σηαηιζηική

18ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Δίδε Κεηαβιεηώλ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics Περιγραθική Σηαηιζηική

19ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Δίδε Κεηαβιεηώλ

Αλ Υ είλαη ε κεηαβιεηή θύιν, ηόηε νη δύν ηηκέο πνπ κπνξεί

λα πάξεη ε Υ είλαη x1=άλδξαο θαη x2=γπλαίθα.

Αλ Τ είλαη ε κεηαβιεηή ειηθία ηόηε απηή ζα κπνξνύζε λα

πάξεη ηηο ηηκέο y1= λένο, y2=κέζεο ειηθίαο, y3=κεγάιεο

ειηθίαο.

Θα κπνξνύζε επίζεο λα πάξεη νπνηαδήπνηε ηηκή από ην

δηάζηεκα [0,120).

Αλ Ε είλαη ε κεηαβιεηή πνπ κεηξάεη ηελ νηθνγελεηαθή

θαηάζηαζε ηόηε νη ηηκέο ηεο ζα κπνξνύζαλ λα είλαη z1=

παληξεκέλνο, z2= ζε δηάζηαζε, z3= ζπκβηώλσ κε

θάπνηνλ/α, z4=ρσξηζκέλνο, z5=ρσξίο κόληκε ζρέζε.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics Περιγραθική Σηαηιζηική

20ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Δίδε Κεηαβιεηώλ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 21ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Πίλαθεο

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Οη πίλαθεο είλαη έλαο από ηνπο θαιύηεξνπο ηξόπνπο

παξνπζίαζεο ελόο ζπλόινπ δεδνκέλσλ.

Ο ζθνπόο ηεο θαηαζθεπήο ελόο πίλαθα είλαη λα δώζεη ζε

έλα ζύλνιν αξηζκώλ κηα πην εύιεπηε κνξθή.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 22ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Πίλαθεο

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Θαηαλνκή πρλνηήησλ - Θαηαλάισζε ηζηγάξσλ αλά άηνκν 18 εηώλ ή

κεγαιύηεξν ΖΠΑ 1900-1990

Έηνο Αξηζκόο Σζηγάξσλ

1900 54

1910 151

1920 665

1930 1.485

1940 1.976

1950 3.522

1960 4.171

1970 3985

1980 3851

1990 2.828

Περιγραθική Σηαηιζηική

Οξίδνπκε σο ζπρλόηεηα

κηαο ηηκήο κηαο

κεηαβιεηήο ην θπζηθό

αξηζκό πνπ δειώλεη ην

πόζεο θνξέο εκθαλίδεηαη

ε ζπγθεθξηκέλε απηή

ηηκή ζην ζύλνιν ησλ

δεδνκέλσλ.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 23ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Πίλαθεο

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

ρεηηθή πρλόηεηα -

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 24ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Πίλαθεο

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

ρεηηθή πρλόηεηα - Απόιπηεο θαη ζρεηηθέο ζπρλόηεηεο επηπέδσλ

ρνιεζηεξόιεο ζηνλ νξό γηα 2.294 άλδξεο, ΖΠΑ, 1976-1980

Δπίπεδο Φοληζηερόλης (mg/100ml)

Αριθμός Ανδρών

Ηλικία 25-34

Στεηική Σστνόηηηα (%)

Ηλικία 25-34

Αριθμός Ανδρών

Ηλικία 55-64

Στεηική Σστνόηηηα (%)

Ηλικία 55-64

80-119 13 1,2 5 0,4

120-159 150 14,1 48 3,9

160-199 442 41,4 265 21,6

200-239 299 28,0 458 37,3

240-279 115 10,8 281 22,9

280-319 34 3,2 128 10,4

320-359 9 0,8 35 2,9

360-399 5 0,5 7 0,6

Σύνολο 1.067 100,0 1.227 100,0

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 25ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Πίλαθεο

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Αζξνηζηηθή ρεηηθή πρλόηεηα

Δπίπεδο Φοληζηερόλης (mg/100ml)

Αριθμός Ανδρών

Ηλικία 25-34

Στεηική Σστνόηηηα (%)

Ηλικία 25-34

Αθροιζηική Στεηική Σστνόηηηα (%) Ηλικία 25-34

80-119 13 1,2 1,2

120-159 150 14,1 15,3

160-199 442 41,4 56,7

200-239 299 28,0 84,7

240-279 115 10,8 95.5

280-319 34 3,2 98,7

320-359 9 0,8 99,5

360-399 5 0,5 100

Σύνολο 1.067 100,0

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 26ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Ραβδνγξακκαηα

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Δηος

Αρ

ιθμ

ός Τ

ζιγ

άρ

ων

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 27ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Ηζηνγξάκκαηα

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

80 - 119 120 - 159 160 - 199 200 - 239 240 - 279 280 - 319 320 - 359 360 - 399

Δπίπεδο τοληζηερόλης ορού (mg/100ml)

Στ

εηι

κή

Σσ

τνό

ηη

ηα

(%

)

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 28ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Πνιύγσλα πρλνηήησλ

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%

80 - 119 120 - 159 160 - 199 200 - 239 240 - 279 280 - 319 320 - 359 360 - 399

Δπίπεδο τοληζηερόλης ορού (mg/100ml)

Στ

εηικ

ή ζ

στ

νό

ηηηα

(%

)

Ηλικίες 25-34

Ηλικίες 55-64

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 29ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Πνιύγσλα αζξνηζηηθήο ζπρλόηεηαο

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

80 -

119

120 -

159

160 -

199

200 -

239

240 -

279

280 -

319

320 -

359

360 -

399

Δπίπεδο τοληζηερόλης ορού (mg/100ml)

Αθρ

οιζ

ηική

Στ

εηικ

ή ζ

στ

νό

ηηηα

(%

)

Ηλικίες 25-34

Ηλικίες 55-64

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 30ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Γηαγξάκκαηα Πιαηζίνπ (Box Plots) ζύγθξηζε πεξηεθηηθόηεηαο

ξαδηελέξγεηα ζε ράιπβα από δπν εξγνζηάζηα

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 31ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Γηαγξάκκαηα εκείσλ Γύν-Θαηεπζύλζεσλ – Two way scatter plot

Θάζε ζεκείν ζην δηάγξακκα αληηπξνζσπεύεη έλα δεπγάξη ηηκώλ

2

3

4

5

6

7

8

2 3 4 5 6 7 8

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 32ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Γξαθήκαηα

Παξνπζίαζε Γεδνκέλσλ :

Γξακκνγξαθήκαηα

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 33ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Θέζεο ή Θεληξηθήο Σάζεο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

ε πνιιέο θαηαλνκέο παξαηεξείηαη κηα ηάζε ζπγθέληξσζεο ησλ

δεδνκέλσλ γύξσ από κηα θεληξηθή ηηκή, ε νπνία πξνζδηνξίδεη ηε

ζέζε ηεο θαηαλνκήο ηνπο. Απηό ην ραξαθηεξηζηηθό νλνκάδεηαη

θεληξηθή ηάζε ή ζέζε. Αλ π.ρ. ην παξαθάησ δηάγξακκα εθθξάδεη ηηο

επηδόζεηο ησλ καζεηώλ δύν ηύπσλ ζρνιείσλ Α θαη Β, παξαηεξνύκε

όηη ζην Α ζρνιείν νη επηδόζεηο ζπγθεληξώλνληαη γύξσ από ην 6 ελώ

ζην Β ζρνιείν γύξσ από ην 8.5.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 34ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Θέζεο ή Θεληξηθήο Σάζεο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Κέζνο (arithmetic mean, average, mean)

n

1i

in1 xx

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 35ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 36ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 37ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Θέζεο ή Θεληξηθήο Σάζεο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Ο αξηζκεηηθόο κέζνο ησλ αξηζκεηηθώλ κέζσλ k δεηγκάησλ κεγέζνπο

αληίζηνηρα , είλαη :knnn ...,,, 21

k

i

i

k

i

ii

n

n

1

1

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 38ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Θέζεο ή Θεληξηθήο Σάζεο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Γηάκεζνο (median) - Ζ δηάκεζνο νξίδεηαη σο ην 50ζηό εθαηνζηηαίν

ζεκείν κηα νκάδαο κεηξήζεσλ Οη κηζέο παξαηεξήζεηο ζα βξίζθνληαη

πάλσ από ηε δηάκεζν θαη νη κηζέο θάησ από απηήλ

Αλ ην πιήζνο λ ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη αξηζκόο πεξηηηόο ηόηε :

2

1

αλ είλαη άξηηνο ηόηε :

2

122

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 39ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 40ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Θέζεο ή Θεληξηθήο Σάζεο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Δπηθξαηνύζα Σηκή (mode) - Ζ επηθξαηνύζα ηηκή κηαο νκάδαο ηηκώλ

Δίλαη ε παξαηήξεζε πνπ ζπκβαίλεη πην ζπρλά. Άξα, ε επηθξαηνύζα

ηηκή είλαη ε ηηκή ζηελ νπνία αληηζηνηρεί ε κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα.

Περιγραθική Σηαηιζηική

Τπάξρνπλ όκσο πεξηπηώζεηο ζηηο νπνίεο δελ κπνξνύκε λα

ππνινγίζνπκε ηελ επηθξαηνύζα ηηκή. Π.ρ. ζηελ πεξίπησζε όπνπ

όιεο νη ηηκέο εκθαλίδνληαη από κηα θνξά ή όηαλ ε κεγαιύηεξε

ζπρλόηεηα αληηζηνηρεί ζε πεξηζζόηεξεο από κηα ηηκέο.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 41ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Θέζεο ή Θεληξηθήο Σάζεο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Δπηθξαηνύζα Σηκή (mode) - Αλ ηα δεδνκέλα καο είλαη ηαμηλνκεκέλα

ζε θαηεγνξίεο, ηόηε κηιάκε γηα επηθξαηέζηεξν δηάζηεκα:

Περιγραθική Σηαηιζηική

Οξηζκόο: ε κηα θαηαλνκή ζπρλνηήησλ κε ηζνκήθε δηαζηήκαηα

θαηεγνξηώλ ηαμηλόκεζεο επηθξαηέζηεξν δηάζηεκα ηηκώλ

νλνκάδεηαη εθείλν ζην νπνίν αληηζηνηρεί ε κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα.

Οξηζκόο: Όηαλ ζε κηα θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ε κεγαιύηεξε

ζπρλόηεηα αληηζηνηρεί ζε δύν ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο, ηόηε ε

θαηαλνκή νλνκάδεηαη δηθόξπθε (bimodal).

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 42ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Κεηαβιεηόηεηαο ή Γηαζπνξάο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Δύξνο (range) - Σν εύξνο κηαο νκάδαο κεηξήζεσλ νξίδεηαη σο ε

δηαθνξά κεηαμύ ηεο κεγίζηεο θαη ηεο ειαρίζηεο παξαηήξεζεο

minmax R

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 43ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 44ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Κεηαβιεηόηεηαο ή Γηαζπνξάο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Πνζνζηηαία ζεκεία ε Πνζνζηεκόξηα (quantiles)- Σν πνζνζηεκόξην

είλαη ην ζεκείν ηεο θαηαλνκήο γηα ην νπνίν ην α% ησλ παξαηεξήζεσλ

είλαη κηθξόηεξεο ε ίζεο από απηό θαη ην ππόινηπν (1-α)% ησλ

παξαηεξήζεσλ είλαη κεγαιύηεξεο ε ίζεο από απηό

Δθαηνζηεκόξηα (percentiles)

Γεθαηεκόξηα (deciles)

Σεηαξηεκόξηα (quartiles)

9921 ...,,, ppp

902010 ...,,, ppp

375250125 ,, QpQpQp

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 45ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Κεηαβιεηόηεηαο ή Γηαζπνξάο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Γηαζπνξά θαη Σππηθή Απόθιηζε (variance) & standard deviation-

2

1

2

1

22

1

1)(

1

1

i

i

i

is

2

1

2

1

2

1

1)(

1

1

i

i

i

is

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 46ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 47ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Κέηξα Κεηαβιεηόηεηαο ή Γηαζπνξάο

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

πληειεζηήο Κεηαβιεηόηεηαο –Coefficient of Variation

%100

sCV

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 48ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 49ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Οκαδνπνηεκέλα δεδνκέλα

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Οκαδνπνηεκέλνο Κέζνο

k

i i

k

i ii

f

fm

1

1

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 50ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 51ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Γηαζπνξά Οκαδνπνηεκέλσλ δεδνκέλσλ

1

)(

1

1

2

2

k

i i

k

i ii

f

fxms

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 52ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Πεξηγξαθηθή ηαηηζηηθή

Αξηζκεηηθά Πεξηιεπηηθά Κέζα :

Περιγραθική Σηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 53ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 54ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Έλα ηπραίν “πείξακα” ή “δνθηκαζία” είλαη ε δηαδηθαζία πνπ

κπνξεί λα έρεη ζαλ απνηέιεζκα, νπνηνδήπνηε από έλα

πεπεξαζκέλν ζύλνιν απνηειεζκάησλ.

Ζ ηύρε παίδεη ζεκαληηθό ξόιν ζην πνην – άξα δελ κπνξνύκε λα

πξνβιέςνπκε πνην ζα ζπκβεί – πνην ζα είλαη ην απνηέιεζκα.

Π.ρ. Ρίρλνπκε έλα λόκηζκα : {Θ,Γ}

Ρίρλνπκε έλα δάξη : {1,2,3,4,5,6}

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Σν ζύλνιν όισλ ησλ πηζαλώλ απνηειεζκάησλ ελόο πεηξάκαηνο

ζπκβνιίδεηαη κε Ω. Ω={ Θ,Γ }

Έλα ελδερόκελν (event) είλαη έλα ππνζύλνιν ηνπ Ω.

Π.ρ. Δ = άξηηνο αξηζκόο ζην δάξη Δ = {2,4,6}

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 55ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ιέκε όηη έλα “ελδερόκελν” ζπκβαίλεη εάλ έλα από ηα

απνηειέζκαηα ζπκβαίλεη, δειαδή 2, ή 4, ή 6

Απιό ελδερόκελν = θάπνην απνηέιεζκα π.ρ. {2}

Ø = θελό{ ελδερόκελν}, Ø.

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Ση ελλννύκε κε ηνλ όξν “πηζαλόηεηα”;

Αμησκαηηθά δίλνπκε έλαλ αξηζκό ζε έλα ελδερόκελν, αιιά ζηελ

πξάμε ηί είλαη απηόο ν αξηζκόο; Από πνύ πξνέξρεηαη;

Τπάξρνπλ δηαθνξεηηθέο πξνζεγγίζεηο ζε απηή ηελ εξώηεζε :

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 56ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

1. Ζ Θιαζζηθή πξνζέγγηζε

Πξνϋπόζεζε είλαη ηα απνηειέζκαηα λα ζπκβαίλνπλ “ηζόηηκα”

π.ρ. {Θ,Γ} ζπκβαίλνπλ ηζόηηκα, εάλ ην λόκηζκα είλαη ζσζηό.

{1,2,3,4,5,6} ζπκβαίλνπλ ηζόηηκα εάλ ην δάξη είλαη ζσζηό.

Απηή ε ππόζεζε ησλ ίζσλ πηζαλνηήησλ ησλ απνηειεζκάησλ είλαη

βγαικέλε από κηα πξσζύζηεξε γλώζε ηνπ κεραληζκνύ ησλ

δνθηκώλ.

Θάησ από απηή ηελ ππόζεζε ιέκε όηη:

ε πηζαλόηεηα ελόο “ελδερνκέλνπ” (ή εθδνρήο)

P(Δ) = (Λν ησλ “απνηειεζκάησλ” πνπ αλήθνπλ ζην Δ) /

(πλνιηθνύ αξηζκνύ “απνηειεζκάησλ” )

π.ρ. Ρ(άξηηνο αξηζκόο / δάξη) = 3/6 = 1/2.

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 57ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

2. Ζ πξνζέγγηζε ηεο ρεηηθήο πρλόηεηαο

[Εσρύηερη ζε εθαρμογή - δεν περιορίζεηαι ζε ιζοπιθανοθεωρηηικές

εκδοτές (αποηελέζμαηα)]

Έζησ έλα πείξακα πνπ κπνξεί λα επαλαιεθζεί αξθεηέο θνξέο.

Ιέκε όηη:

Ζ πηζαλόηεηα Ρ(Α) ελόο ελδερνκέλνπ ή εθδνρήο Α λα ζπκβεί ζε

κηα πξνζπάζεηα (δνθηκή) είλαη ε ζρεηηθή ζπρλόηεηα κε ηελ νπνία

ζα ζπκβαίλεη εάλ ζπλερίδακε λα επαλαιακβάλνπκε ηελ

πξνζπάζεηα (δνθηκή) έλα άπεηξν αξηζκό θνξώλ.

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 58ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Π.ρ. Δάλ ξίμνπκε έλα λόκηζκα πνιιέο θνξέο θαη θάλνπκε έλα

γξάθεκα κε ηελ αληίζηνηρε ζρεηηθή ζπρλόηεηα ηόηε

ρήκα

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 59ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

3. Ζ Τπνθεηκεληθή πξνζέγγηζε

Π.ρ Πνηά ε πηζαλόηεηα όηη ππάξρεη δσή ζηνλ Άξε;

Πξνθαλώο είλαη έλα πείξακα πνπ δελ επαλαιακβάλεηαη, ή ππάξρεη

ή όρη, θάπνηνη ιέλε όηη είλαη πηζαλόλ, θάπνηνη απίζαλν.

Κε ηελ είζνδν λέσλ ζηνηρείσλ κπνξεί λα αιιάμνπκε ηελ

πηζαλόηεηα κε ηελ νπνία πηζηεύνπκε απηό.

Όπνηα θαη λα είλαη ε ζεώξεζε ησλ πξαγκάησλ ζην ηέινο

βάδνπκε έλαλ αξηζκό ζην “ελδερόκελν” κε αμησκαηηθό ηξόπν.

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 60ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

“πκπιεξσκαηηθά” ελδερόκελα :

Σν ελδερόκελν Ā (= όρη Α) πεξηιακβάλεη όιεο ηηο εθδνρέο ζην

δηάζηεκα ηνπ δείγκαηνο πνπ δελ πεξηιακβάλνληαη ζην ελδερόκελν

Α.

ρήκα

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Ā

A

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 61ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Σνκή δύν “ελδερνκέλσλ” :

Σν ελδερόκελν Α ∩ Β (= Α ηνκή Β) ζπκβαίλεη όηαλ θαη ηα δύν Α θαη

Β ελδερόκελα ζπκβαίλνπλ.

ρήκα

A Β

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 62ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

εκείσζε:

Α ∩ Α = Α

Α ∩ Β = Β ∩ Α

Π.ρ. Ρίρλνπκε έλα δάξη: Α = άξηηνο αξηζκόο ζην δάξη

Β = αξηζκόο ≤ 4

Α = {2,4,6}

Β ={1,2,3,4}

Α ∩ Β = {2,4}

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 63ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Έλσζε δύν ελδερνκέλσλ:

Σν ελδερόκελν Α U Β (Α έλσζε Β) ζπκβαίλεη εάλ Α ή Β ή θαη ηα

δύν ζπκβαίλνπλ

ρήκα

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

BA

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 64ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Α U Β = {1,2,3,4,6}

εκείσζε : 1. Α U Α = Α

2. Α U Β = Β U Α

3. Α U (Β ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 65ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Ακνηβαία Απνθιεηόκελα ελδερόκελα:

είλαη ηέηνηα ελδερόκελα ώζηε, όηαλ ζπκβαίλεη ην έλα, δελ

ζπκβαίλεη ην άιιν.

ρήκα

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Α θαη Β είλαη ακνηβαία απνθιεηόκελα ηόηε θαη κόλν ηόηε Α ∩ Β = Ø

A Β

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 66ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Π.ρ. ξίρλνπκε έλα δάξη, Α = πεξηηηόο αξηζκόο

Β = άξηηνο αξηζκόο

Α = {1,3,5}

Β = {2,4,6} Α ∩ Β = Ø

ε απηό ην παξάδεηγκα Α = Β => Β θαη Β ακνηβαία

απνθιεηόκελα.

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 67ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

εκείσζε: Α ∩ Β = Α - Β

Α – Β = Α ρσξίο ην Β

A Β

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 68ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Α c B = A πεξηέρεηαη κέζα ζην Β

B

A

εκείσζε : Δάλ Α c Β ηόηε 1. Α ∩ Β = Α

2. Α U B = B

Δάλ Α c B θαη Β c A => A = B 1. A U B = A ∩ B

2. A ∩ B = A U B

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 69ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Tα Αμηώκαηα ησλ Πηζαλνηήησλ

Γηα θάζε ελδερόκελν (είηε είλαη κία παξαηήξεζε ή πιήζνο

παξαηεξήζεσλ) ζε έλα δηάζηεκα ηηκώλ Ω ππάξρεη έλαο αξηζκόο

Ρ(Α), (πηζαλόηεηα ηνπ Α), ν νπνίνο εθπιεξεί ηα παξαθάησ

αμηώκαηα: i. Ρ(Α) ≥ 0

ii. Ρ(Ω)=1

iii. Γηα κηα αθνινπζία από ακνηβαία αλά δεύγε

απνθιεηόκελα ελδερόκελα Α1,Α2… (δει. ελδερόκελα έηζη ώζηε

Αi ∩ Aj = i,j)

ηόηε : Pr(A1 U A2 U A3 U ….) =

Γειαδή έζησ δύν ακνηβαία απνθιεηόκελα ελδερόκελα Α1 Α2 έηζη

ώζηε Α1 ∩ Α2 = Ø

Ρ(Α1 U Α2)=Ρ(Α1)+P(Α2)

)(

1

i

i

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 70ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Υξεζηκνπνηώληαο ηα αμηώκαηα ησλ πηζαλνηήησλ κπνξνύκε λα

απνδείμνπκε ηα παξαθάησ:

1) Θεώξεκα: P(Ø)=0

Aπόδεημε: 1 = Ρ(Ω) = Ρ(Ω U Ø) = Ρ(Ω)+Ρ(Ø)

Αμίσκα ii) Ω = Ω U Ø επεηδή Ω θαη Ø είλαη ακνηβαία

απνθιεηόκελα

= 1 + Ρ(Ø) => 1 = 1 + Ρ(Ø) => Ρ(Ø)=0

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 71ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

2) Αζξνηζηηθόο Λόκνο

Γηα θάζε δύν ελδερόκελα ζε έλα δηάζηεκα Ω

Ρ(Α U Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α ∩ B)

A Β

B ∩ Ā

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 72ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Απόδεημε : Α U Β = Α U (Β ∩ Ā)

Σα ελδερόκελα Α θαη Β ∩ Ā είλαη ακνηβαία απνθιεηόκελα

Κε βάζε ην αμίσκα (iii)

Ρ(Α U Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β ∩ Ā) (1)

Eπίζεο : (Β ∩ Ā) U (B ∩ A) = B

θαη (Β ∩ Ā) θαη (B ∩ A) είλαη ακνηβαία απνθιεηόκελα.

Κε βάζε ην αμίσκα (iii)

Ρ(Β) = Ρ(Β ∩ Ā) + Ρ(B ∩ A) (2)

Από ηηο (1), (2) =>

Ρ(Β) = Ρ(Α U Β) - Ρ(Α) + Ρ (B ∩ A) =>

Ρ(Α U Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α ∩ B)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 73ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Mπνξνύκε λα επεθηείλνπκε απηό ζε 3 ελδερόκελα

Ρ(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) – P(B ∩C)

+ P(A ∩ B ∩ C)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 74ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Δπίζεο:

i) Γηα θάζε ελδερόκελν Δ 0 ≤ P(E) ≤ 1

ii) Γηα θάζε ελδερόκελα Α, Β πνπ είλαη ακνηβαία απνθιεηόκελα

ηόηε Ρ(Α U B) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

iii) P(Ā) = 1 – P(A)

iv) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - Ρ(Α U B)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 75ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Παξάδεηγκα: Έζησ 100 ζπνπδαζηέο θαη νη γιώζζεο Γεξκαληθά ,

Γαιιηθά

28 θάλνπλ Γαιιηθά (F)

24 θάλνπλ Γεξκαληθά (G)

10 θάλνπλ θαη ηα δύν (F ∩ G)

Ρ (ζπνπδαζηήο θάλεη Γαιιηθά)= 28/100 =0,28

Ρ (ζπνπδαζηήο θάλεη Γεξκαληθά)= 24/100= 0,24

Ρ (ζπνπδαζηήο θάλεη θαη ηα δύν) = 10/100= 0,1

Ρ (θάλεη Γαιιηθά ή Γεξκαληθά ή θαη ηα δύν ) = Ρ(F U G) =

P(F) + P(G) - P(F ∩ G) = 0,28 + 0,24 – 0,1 = 0,42.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 76ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

πλδπαζηηθή Αλάιπζε:

Ζ ζεκειεηώδεο αξρή ηεο απαξηζκήζεσο :

ε πνιιέο πεξηπηώζεηο ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ηνπ δεηγκαηνρώξνπ

δελ είλαη πνιύ κεγάιν θαη δελ είλαη δύζθνιν λα απαξηζκεζνύλ ηα

δηάθνξα γεγνλόηα ζηνπο ππνινγηζκνύο ησλ πηζαλνηήησλ.

Τπάξρνπλ όκσο πξνβιήκαηα όπνπ ε απ’ επζείαο απαξίζκεζε είλαη

πξαθηηθά δύζθνιε ή θαη αδύλαηε. ε ηέηνηεο πεξηπηώζεηο

ρξεζηκνπνηείηαη ή “ζπλδπαζηηθή αλάιπζε” πνπ κπνξεί λα

ζεσξεζεί ζαλ κηα απνηειεζκαηηθή κέζνδνο απαξηζκήζεσο.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 77ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Ζ ζεκειηώδεο αξρή ηεο απαξηζκήζεσο

Δάλ θάηη κπνξεί λα γίλεη κε n1 δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο

θαη κεηά θάηη άιιν κε n2 δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο

θαη κεηά θάηη άιιν κε n3 δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο

. . . .

. . . .

. . . .

θαη κεηά θάηη άιιν κε nθ δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο

ηόηε όια ηα «θάηη» κπνξνύλ λα γίλνπλ κε n1.n2.n3…….nθ

ηξόπνπο.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 78ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Θάπνηνο έρεη 2 πνπθάκηζα θαη 4 γξαβάηεο

Κπνξεί λα θαλεί

2.4 = 8 ζπλδπαζκνύο s1,s2 γξαβάηεο

r1,r2,r3,r4 πνπθάκηζα

ρήκα

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 79ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

Γηαηάμεηο (Permutations)

Έζησ n δηαθνξεηηθά αληηθείκελα θαη ζέινπκε λα δηαηάμνπκε r από

απηά ζε κηα επζεία.

Δπεηδή ππάξρνπλ n δηαθνξεηηθνί ηξόπνη λα δηαιέμνπκε ην πξώην

n-1 γηα ην δεύηεξν (αθνύ ην πξώην έρεη ρξεζηκνπνηεζεί)

.

.

(n-r+1) γηα ην r αληηθείκελν.

ιόγσ ηεο ζεκειηώδνπο αξρήο ηεο απαξηζκήζεσο ην πιήζνο

ησλ δηαηάμεσλ είλαη nPr = n.(n-1).(n-2) ….. (n-r+1)

εάλ r=n nPn = n.(n-1).(n-2) ….. 1 = n!

ή αιιηώο r)!(n

n!Pr

n

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 80ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

π.ρ. Έζησ Α Β C D F G H θαη ζέινπκε ην πιήζνο ησλ 3

δηαηεηαγκέλσλ πξαγκάησλ

Έζησ n αληηθείκελα από ηα νπνία n1 είλαη έλα είδνο

n2 είλαη άιιν είδνο

.

.

nk είλαη άιιν είδνο

θαη n = n1+n2+…..+nk.

ην πιήζνο ησλ δηαθνξεηηθώλ δηαηάμεσλ είλαη

2107.6.54!

7!

3)!(7

7!P3

7

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 81ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

π.ρ. MISSISSIPPI 1 M

4 S

4 I

2 P

!....nnn

n!P

k21

,....nn,n

n

k21

346501!4!4!2!

11!P1,4,4,2

11

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 82ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

πλδπαζκνί

ε κία δηάηαμε ιακβάλεηαη ππόςε θαη ε ζεηξά ησλ αληηθεηκέλσλ.

Έηζη ε δηάηαμε abc είλαη δηαθνξεηηθή από bca.

ε πνιιά πξνβιήκαηα όκσο δελ ελδηαθέξεη ε ζεηξά εθινγήο ή

δηάηαμεο. Γειαδή abc είλαη ν ίδηνο κε bca.

Σν πιήζνο ησλ ζπλδπαζκώλ r αληηθεηκέλσλ από n

π.ρ. ην πιήζνο ησλ δηαθνξεηηθώλ ηξηάδσλ πνπ κπνξνύλ λα

πξνθύςνπλ από 8 δηαθνξεηηθά ηξαπνπιόραξηα είλαη

r)!(nr!

n!nCn

n

rr

n

r!

P

r!

1)r1)...(nn.(n r

n

653!

8.7.6C

8

33

8

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 83ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

ΓΗΩΛΤΚΗΘΟΗ ΤΛΣΔΙΔΣΔ

Πξνζέγγηζε ηνπ STIRLING γηα ην n!

e=2.71828

4n

4

22nn

ε

1nn

1

nn y.....yxyxxy)x(

44

4

34

3

224

2

34

1

44 yxy.yxyxxy)(x

432234 y4xyy6xy4xx

n enn π2n! n

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 84ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΔ ΤΠΟ ΤΛΘΖΘΖ

Έζησ Β ην γεγνλόο όηη ην άζξνηζκα 2 δαξηώλ είλαη άξηην

Έζησ όηη ην άζξνηζκα 2 δαξηώλ είλαη ≤ 5 (Α) θαη θάπνηνο ξσηά

πνηα ή πηζαλόηεηα λα είλαη άξηηνο;

Γειαδή πνηα ε πηζαλόηεηα ηνπ Β δεδνκέλνπ όηη έρεη ζπκβεί ην Α

1,1 1,2 1,3 1,4

21 2 2 2,3

3,1 3,2

4,1

2

1P(B)

0,410

4(B/A)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 85ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΔ ΤΠΟ ΤΛΘΖΘΖ

Οη 4 άξηηνη (αζξνίζκαηα) είλαη ην ζύλνιν Β ∩ Α

2

1P(B)

0,410

436/1036/4(B/A) /

36

4B)P(A

36

10)( AP

P(A)

B)P(AP(B/A)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 86ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ΘΔΩΡΗΑ ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΩΛ

ΠΗΘΑΛΟΣΖΣΔ ΤΠΟ ΤΛΘΖΘΖ

100 ζπνπδαζηέο

P(F) = 0.28

P(G) = 0.24

P(F ∩ B) = 0.10

Γεδνκέλνπ όηη έλαο θνηηεηήο θάλεη Γαιιηθά (F) πνηα ε

πηζαλόηεηα όηη θάλεη θαη Γεξκαληθά (G);

P(A)

B)P(AP(B/A)

0.360.28

0.1

P(F)

G)P(FP(G/F)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 87ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Σπραία Κεηαβιεηή (random variable)

Σπραία Κεηαβιεηή Υ είλαη κία ζπλάξηεζε νξηζκέλε κέζα ζ’ έλα

δεηγκαηνρώξν Ω. Γηα θάζε ζεκείν ηνπ δείγκαηνο σ ζηνλ Ω ε

ζπλάξηεζε ρ παίξλεη κηα κνλαδηθή ηηκή ρ(σ)

Γηαθξηηή Θαηαλνκή Πηζαλνηήησλ

Σν ζύλνιν ησλ ηηκώλ πνπ παίξλεη ε ρ καδί κε ηηο αληίζηνηρεο

πηζαλόηεηεο γηα θάζε ηηκή ηεο ρ είλαη ε θαηαλνκή πηζαλνηήησλ

ηεο ρ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 88ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Γιακριηή - Σσνετής

πλερήο Σπραία κεηαβιεηή

Κπνξεί λα πάξεη νπνηνδήπνηε ζύλνιν από ζπλερείο ηηκέο ζέλα

δηάζηεκα κέζα ζην ρξόλν

πλάξηεζε Ππθλόηεηαο Πηζαλόηεηαο

Δπεηδή νη ζπλερείο ηπραίεο κεηαβιεηέο κπνξνύλ λα πάξνπλ

“ακέηξεηεο” ηηκέο δελ κπνξνύκε λα κηιάκε γηα ηελ πηζαλόηεηα

όηη ε ρ παίξλεη κηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή – (γηαηί απηή είλαη κεδέλ

γηα θάζε ζπγθεθξηκέλε ηηκή.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 89ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Ιδιόηηηες ηων ζσναρηήζεων καηανομών

Fx(-∞) = 0 & Fx(∞) = 1

Fx(a) = 0 < Fx(b) a < b

Fx(a) = 0 Fx(b) a b

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 90ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή Poisson

Ζ θαηαλνκή Poisson (Poisson distribution) ρξεζηκνπνηείηαη

γηα ηε κνληεινπνίεζε αζπλερώλ ελδερνκέλσλ πνπ ζπκβαίλνπλ

όρη ζπρλά αλά κνλάδα ρξόλνπ ή ρώξνπ. Γη' απηόλ ην ιόγν,

κεξηθέο θνξέο θαιείηαη ε θαηαλνκή ζπαλίσλ ελδερνκέλσλ

(distribution of rare EVENTS).

Αο ζπκβνιίζνπκε κε ι κία ζηαζεξά πνπ εθπξνζσπεί ην κέζν

αξηζκό θνξώλ πνπ ζπκβαίλεη ην ελδερόκελν ζε έλα δηάζηεκα.

Δάλ ε πηζαλόηεηα όηη ε Υ παίξλεη ηελ ηηκή ρ είλαη ηόηε ε Υ

ιέγεηαη όηη αθνινπζεί ηελ Poisson θαηαλνκή κε παξάκεηξν ι

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 91ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή Poisson

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 92ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή

Poisson

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 93ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή Poisson

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 94ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Αλ ε θαηαλνκή ησλ δεδνκέλσλ έρεη «ζρήκα θακπάλαο», ιέκε όηη ηα

δεδνκέλα αθνινπζνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή επίζεο γλσζηή σο ε

θαηαλνκή ηνπ Gauss (Gaussian Distribution), ή θσδσλνεηδήο

θακπύιε (bell-shaped curve)

Ζ θαλνληθή θαηαλνκή είλαη ε ζεκαληηθόηεξε θαηαλνκή ζηε

ηαηηζηηθή.

ε απηήλ ηελ θαηαλνκή νη πεξηζζόηεξεο παξαηεξήζεηο

ζπγθεληξώλνληαη γύξσ από ηε κέζε θαη ιηγόηεξεο ζηα άθξα.

Όηαλ ηα δεδνκέλα θαηαλέκνληαη ζπκκεηξηθά κε απηόλ ηνλ ηξόπν, ε

κέζε ηηκή θαη ε δηάκεζνο ηαπηίδνληαη.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 95ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 96ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 97ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 98ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 99ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 100ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 101ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 102ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Γεληθά, γηα νπνηαδήπνηε θαλνληθή ηπραία κεηαβιεηή κε κέζν

Κ θαη ηππηθή απόθιηζε ζ, ε αθνινπζεί ηελ ηππηθή

θαλνληθή θαηαλνκή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 103ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 104ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics Περιγραθική Σηαηιζηική

105ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαλνληθή θαηαλνκή (Normal Distribution)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 106ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Στεηική με ηο μέζο μ ενός πληθσζμού, όηαν η διαζπορά ζ2 είναι γνωζηή – ζελ.19

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 107ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 108ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 109ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 110ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 111ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή t (Student’s t)

Όηαλ ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ πιεζπζκνύ είλαη άγλσζηε, κπνξεί λα

θαλεί ινγηθό λα αληηθαηαζηήζνπκε ηε ζ κε ηε s, ηελ ηππηθή απόθιηζε

ελόο δείγκαηνο πνπ επειέγε ηπραία από ηνλ πιεζπζκό.

Απηό, πξάγκαηη θάλνπκε. Όκσο ν ιόγνο δελ αθνινπζεί ηελ ηππηθή

θαλνληθή θαηαλνκή.

Δπηπιένλ ηεο ππάξρνπζαο δεηγκαηηθήο κεηαβιεηόηεηαο ηνπ Υ,

πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζαλ εθηηκήηξηα ηνπ κέζνπ ηνπ πιεζπζκνύ κ,

ππάξρεη επίζεο κεηαβιεηόηεηα ζηελ s. Πξέπεη λα ιάβνπκε ππ’ όςηλ

καο ην γεγνλόο όηη ε s κπνξεί λα κελ είλαη αμηόπηζηε εθηηκήηξηα ηεο ζ,

ηδηαίηεξα όηαλ ην δείγκα κε ην νπνίν δνπιεύνπκε είλαη κηθξό.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 112ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή t (Student’s t)

Γηα έλα δείγκα κεγέζνπο ε, ηπραία επηιεγκέλνπ από έλαλ θαλνληθό

πιεζπζκό, ε θαηαλνκή ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο

είλαη γλσζηή σο ε θαηαλνκή Student’s t κε ε - 1 βαζκνύο ειεπζεξίαο.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 113ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Θαηαλνκέο

Ζ Θαηαλνκή t (Student’s t)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 114ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Βαζκνί δύν νκάδσλ από 8 καζεηέο πνπ δηδάρζεθαλ κε ηελ

παιαηά θαη ηελ λέα εθπαηδεπηηθή κέζνδν

Καζεηέο Λέα Κέζνδνο Παιαηά Κέζνδνο

1 18 16

2 16 14

3 15 12

4 17 18

5 19 18

6 15 15

7 18 16

8 14 15

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 115ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Τπάξρνπλ δύν ππνζέζεηο :

Οη βαζκνί πξνήιζαλ από ηπραίνπο παξάγνληεο

Οη βαζκνί πξνήιζαλ εμαηηίαο ηεο επίδξαζεο ηεο εθπαηδεπηηθήο

κεζόδνπ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 117ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Σν επόκελν εξώηεκα :

Πόζν κηθξή ζα πξέπεη λα είλαη ε πηζαλόηεηα γηα λα κελ έρνπκε

ηπραία απνηειέζκαηα ;

ηηο θνηλσληθέο επηζηήκεο έρεη θαζνξηζηεί όηη γηα λα έρνπκε

ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά απνηειέζκαηα ε πηζαλόηεηα ζθάικαηνο

ζα πξέπεη λα είλαη ην πνιύ

0.05 (5%)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 118ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Δπίπεδα ζεκαληηθόηεηαο

Ζ πηζαλόηεηα λα νθείινληαη ηα απνηειέζκαηα ζε ηπραίνπο

παξάγνληεο

Έρνπκε δηάθνξα επίπεδα ζεκαληηθόηεηαο :

0.05 (5%)

0.01 (1%)

0.001 (1%0)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 119ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Έιεγρνο ησλ ππνζέζεσλ

Ο αληηθεηκεληθόο ζηόρνο είλαη κε ηελ βνήζεηα ηεο ζηαηηζηηθήο,

λα ειέγμνπκε αλ ε ππόζεζε πνπ έρνπκε δηαηππώζεη είλαη

απνδεθηή ή όρη

Δίλαη έλα κνληέιν ιήςεο απόθαζεο, κε ηελ βνήζεηα ηνπ νπνίνπ,

απνθαζίδνπκε αλ ζα δερηνύκε ή ζα απνξξίςνπκε ηελ ππόζεζε

πνπ έρνπκε δηαηππώζεη

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 120ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Ση είλαη ππόζεζε ;

Δίλαη κία ζύληνκε θαη αθξηβήο πξόηαζε ζηελ νπνία πεξηγξάθνπκε

ηη πηζηεύνπκε όηη ζα ζπκβεί ζηελ έξεπλα ε ην πείξακα καο

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 121ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Δίδε ππνζέζεσλ :

ε θάζε έξεπλα δηαηππώλνπκε πάληνηε δύν ππνζέζεηο :

Κεδεληθή Τπόζεζε (Ho)

Δλαιιαθηηθή ε Πεηξακαηηθή Τπόζεζε (H1)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 122ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

ην παξάδεηγκα καο

Κεδεληθή Τπόζεζε (Ho)

Οη καζεηέο πνπ δηδάρζεθαλ ηελ λέα εθπαηδεπηηθή κέζνδν

ΓΔΛ ζα πεηύρνπλ δηαθνξεηηθέο επηδόζεηο ζε ζρέζε κε ηνπο

καζεηέο πνπ δηδάρζεθαλ κε ηελ παιαηά εθπαηδεπηηθή κέζνδν

Δλαιιαθηηθή ε Πεηξακαηηθή Τπόζεζε (H1)

Οη καζεηέο πνπ δηδάρζεθαλ ηελ λέα εθπαηδεπηηθή κέζνδν

ζα πεηύρνπλ δηαθνξεηηθέο επηδόζεηο ζε ζρέζε κε ηνπο

καζεηέο πνπ δηδάρζεθαλ κε ηελ παιαηά εθπαηδεπηηθή κέζνδν

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 123ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Παξάδεηγκα :

Θέινπκε λα κειεηήζνπκε ηελ επίδξαζε πνπ έρεη ε θαθεΐλε

ζην ρξόλν αληίδξαζεο ηνπ αηόκνπ. Δπηιέγνπκε 50 άηνκα θαη

κεηξάκε ην ρξόλν αληίδξαζεο ηνπο ζε δύν δηαθνξεηηθέο

ρξνληθέο πεξηόδνπο. Σελ πξώηε θνξά αθνύ έρνπλ πάξεη κία

ηακπιέηα θαθεΐλεο θαη ηε δεύηεξε θνξά αθνύ έρνπλ πάξεη

ςεπδνθάξκαθν (placebo).

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 124ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Παξάδεηγκα :

65 άηνκα ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζε έλα πείξακα πνπ είρε ζθνπό

λα κειεηήζεη ηελ επίδξαζε ηνπ άγρνπο ζηελ αξηζκεηηθή

ηθαλόηεηα. 30 από απηά ηα άηνκα ραξαθηεξίζηεθαλ σο άηνκα

κε ρακειό άγρνο θαη 35 από απηά κε πςειό άγρνο.

ηε ζπλέρεηα όια ηα άηνκα ζπκπιήξσζαλ έλα ηεζη αξηζκεηηθήο

ηθαλόηεηαο. Ο εξεπλεηήο έςαρλε λα δηαπηζηώζεη θαηά πόζν ην

άγρνο επηδξά ζηελ αξηζκεηηθή ηθαλόηεηα.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 125ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Παξάδεηγκα :

Θέινπκε λα ειέγμνπκε εάλ ην κέζν επίπεδν ρνιεζηεξόιεο

ζηνλ νξό γηα 2294 άλδξεο ζηηο ΖΠΑ είλαη κεγαιύηεξν ζηελ

ειηθία ησλ 55-64 εηώλ από όηη ζηελ ειηθία ησλ 25-34 εηώλ.

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 126ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

ηαηηζηηθή ζπλάξηεζε ειέγρνπ (test statistic)

Γηα λα απνθαζίζνπκε αλ ζα δερηνύκε ε ζα απνξξίςνπκε κηα ππόζεζε

ή γηα λα βξνύκε εάλ ηα απνηειέζκαηα από δείγκαηα δηαθέξνπλ

ζεκαληηθά από απηά πνπ αλακέλνληαη ζύκθσλα κε ηελ ππόζεζε,

ρξεζηκνπνηνύκε δηάθνξεο δηαδηθαζίεο, κεζόδνπο θαη θαλόλεο πνπ

θαινύληαη γεληθά έιεγρνη ππνζέζεσλ ή έιεγρνη ζεκαληηθόηεηαο ή

θαλόλεο απνθάζεσο.

Ο έιεγρνο βαζίδεηαη ζε θάπνηα ηηκή πνπ καο δίλεη θάπνην θαηάιιειν

ηεζη πνπ ππνινγίδεηαη από ηηο παξαηεξήζεηο (data) πνπ ιέγεηαη

ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε ειέγρνπ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 127ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

θάικαηα ΣΤΠΟΤ Η θαη ΣΤΠΟΤ II

Δάλ, κε βάζε ηα δεδνκέλα πνπ έρνπκε, απνξξίςνπκε κηα ππόζεζε,

πνύ ζηελ πξαγκαηηθόηεηα αιεζεύεη θαη ζα έπξεπε λα ηε δερηνύκε,

ηόηε ιέκε όηη θάλνπκε έλα ζθάικα ηύπνπ Η

Αληίζεηα, εάλ δερηνύκε κηα ππόζεζε πνπ ζα έπξεπε λα απνξξίςνπκε,

ηόηε ιέκε όηη θάλνπκε έλα ζθάικα ηύπνπ II

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 128ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Γηα λα ειέγμνπκε ηελ Ζ0 v (versus – ζε ζρέζε κε) Ζ1 δηαηξνύκε ηηο

πηζαλέο ηηκέο ηνπ ηεζη ζε δύν πεξηνρέο

Σελ θξίζηκε πεξηνρή (Critical Region) – είλαη νη ηηκέο ηνπ ηεζη πνπ

καο νδεγνύλ λα απνξξίςνπκε ηελ Η0 και να δετηούμε ηην Η1

Σελ πεξηνρή Απνδνρήο – είλαη νη ηηκέο ηνπ ηεζη πνπ δελ καο δίλνπλ

θακία απόδεημε γηα λα απνξξίςνπκε ηελ Η0

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 129ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Δπίπεδα εκαληηθόηεηαο

Όηαλ ειέγρνπκε κηα ππόζεζε, ε κέγηζηε πηζαλόηεηα κε ηελ νπνία

δερόκαζηε λα θάλνπκε ζθάικα ηύπνπ Η θαιείηαη επίπεδν ή ζηάζκε

ζεκαληηθόηεηαο

Ζ πηζαλόηεηα απηή, πνπ ζπκβνιίδεηαη ζπλήζσο κε

α = P(απνξξίςνπκε ηελ Ζν / όηαλ ε Ζν είλαη αιήζεηα- ηζρύεη)

α = P(θάικα ηύπνπ Η)

Β = P(θάικα ηύπνπ ΗΗ) = P(δερηνύκε ηελ Ho / όηαλ Ζ1 ηζρύεη)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 130ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Ηζρύο ελόο ηεζη -

Ηζρύο = P(απνξξίςνπκε ηελ Ζν / όηαλ ε Ζ1 ηζρύεη) = 1 - β

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 131ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Σύπνη Τπνζέζεσλ

Απιή ππόζεζε

Γηα κία παξάκεηξν ζ είλαη όηη ε ζ παίξλεη κία ζπγθεθξηκέλε

ηηκή ζν δει. Ζν : ζ = ζν

ύλζεηε ππόζεζε

’ απηή ε παξάκεηξνο ζ παίξλεη πνιιέο ηηκέο

δει. Ζ1 : ζ ≠ ζν (Όιεο εθηόο από ηελ ζν)

Ζ1 : ζ > ζν (Όιεο ηηο κεγαιύηεξεο ηνπ ζν)

Ζ1 : ζ < ζν (Όιεο ηηο κηθξόηεξεο ηνπ ζν)

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 132ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Κνλόπιεπξνη έιεγρνη – Έιεγρνη κηαο θαηεύζπλζεο

Διέγρνπκε ηελ : Ζν : ζ = ζν v Ζ1 : ζ > ζν

Ή ηελ Ζν : ζ = ζν v Ζ1 : ζ < ζν

Πρ.

Δίλαη ζήκεξα ηα 5ρξνληα παηδηά κεγαιύηεξα από ηα 5ρξνλα

παηδηά ηνπ 1945;

Τπάξρεη ζήκεξα ιηγόηεξνο κόιπβδνο ζηε βελδίλε από όηη

ην 1968;

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 133ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

Τπνζέζεηο

Ακθίπιεπξνη έιεγρνη – Έιεγρνη δύν θαηεπζύλζεσλ

Διέγρνπκε ηελ : Ζν : ζ = ζν v Ζ1 : ζ ≠ ζν

Πρ.

Τπάξρεη δηαθνξά ζηελ πεξηεθηηθόηεηα κνιύβδνπ βελδίλεο Α

από θάπνηεο πξνδηαγξαθέο ηνπ Γεκνζίνπ;

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 134ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Βαζηθή Γνκή ελόο Διέγρνπ Τπόζεζεο

Γηαηππώζηε ηελ Κεδεληθή Τπόζεζε Ζν

θαη ηελ Δλαιιαθηηθή Τπόζεζε Ζ1

Γηαιέμηε ηελ θαηάιιειε ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε ειέγρνπ

Γλσξίζηε ηελ θαηαλνκή ηνπ ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ

όηαλ ηζρύεη ε Ζν

Γώζηε έλα επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α – P(Σύπνπ Η ζθάικα)=

P(Απνξ. Σελ Ζν / ηζρύεη ε Ζν)

Θαζνξίζηε ηελ θξίζηκε πεξηνρή

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 135ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

Βαζική Γομή ενός Δλέγτοσ Υπόθεζης

πιιέμηε ηα δεδνκέλα – ππνινγίζηε ηελ παξαηεξνύκελε

ηηκή ηνπ ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ

Δάλ ε παξαηεξνύκελε ηηκή βξίζθεηαη ζηελ θξίζηκε πεξηνρή

απνξξίςηε ηελ Ζν κε α επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο αιιηώο δελ

ππάξρεη έλδεημε γηα λα απνξ. ηελ Ζν

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 136ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

ύγθξηζε Γύν Κέζσλ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 137ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

ύγθξηζε Γύν Κέζσλ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 138ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)

ύγθξηζε Γύν Κέζσλ

Απόζηνινο Ιέηζηνο BSc MSc Statistics 139ΤΔΙ ΑΘΗΝΑΣ - ΤΜΗΜΑ ΓΗΜΟΣΙΑΣ ΥΓΙΔΙΝΗΣ / Βιοζηαηιζηική

ηαηηζηηθή πκπεξαζκαηνινγηα (Statistical Inference)