Lista Trigonometria SP
Página 1 de 15
1. O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados
AB 4, BC 2 e BF 2.
O seno do ângulo HAF é igual a
a) 1
2 5
b) 1
5
c) 2
10
d) 2
5
e) 3
10
2. Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm, BC 1cm e CD 5 cm.
Então, o ângulo θ é igual a
a) 15 .
b) 30 .
c) 45 .
d) 60 .
3. Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π
em que t é medido em horas e V(t) é medido em 3m . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2]
ocorre no instante a) t 0,4
b) t 0,5
c) t 1
d) t 1,5
e) t 2
Lista Trigonometria SP
Página 2 de 15
4. O gráfico que melhor representa a função 2f(x) sin (x) é
a)
b)
c)
d)
e) 5. Seja x um número real, 0 x 2,π tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética
(PA). Então, a razão dessa PA é igual a a) 1. b) 5 4.
Lista Trigonometria SP
Página 3 de 15
c) 4 3.
d) 1 3.
6. A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor
máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em repouso. Suponhamos que a variação da pressão arterial (em mmHg) de um cidadão
portoalegrense em função do tempo (em segundos) é dada por 8
P(t) 100 20 cos t .3
π
Diante disso, os
valores da pressão diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a
a) 60 e 100
b) 60 e 120
c) 80 e 120
d) 80 e 130
e) 90 e 120
7. No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P
pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a
a) 2 2 2
b) 3 2 2
c) 4 2 2
d) 5 2 2
e) 6 2 2
8. As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P,
conforme figura abaixo.
Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se
BC 6 3 km, então CP é, em km, igual a
a) 6 3
b) 6 3 3
c) 9 3 2
d) 9 2 1
9. Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015 x, com
x {0,1, 2, , 9,10}, o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em
milhões de dólares, poderia ser obtido pela função f(x) 250 12cos x .3
π
Caso essa previsão se confirme,
então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que:
Lista Trigonometria SP
Página 4 de 15
a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. c) poderá superar 300 milhões de dólares. d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares.
10. No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ˆABC e ˆADC são retos, AB AD 1, BC CD 2 e BD é uma
diagonal.
O cosseno do ângulo ˆBCD vale
a) 3
5
b) 2
5
c) 3
5
d) 2 3
5
e) 4
5
11. Se x , então a equação cos(x) cos( x) apresenta o conjunto solução
a) b) [ 1;1]
c) [0; )
d) ( ; 0]
e) { 1, 0,1}
12. O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado
na praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar.
Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na representação gráfica de uma função a) logarítmica. b) exponencial. c) seno ou cosseno. d) polinomial de grau 1. e) polinomial de grau 2. 13. No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm.
Lista Trigonometria SP
Página 5 de 15
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a
a) 2
7
b) 3
7
c) 2
7
d) 2 2
7
e) 2 3
7
14. A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular
ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de
bilhar, sendo PB 1,5 m e PA 1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com
BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola segue, em trajetória
reta, diretamente até a caçapa D.
Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de
a) 2,42.
b) 2,08.
c) 2,28.
d) 2,00.
e) 2,56.
Lista Trigonometria SP
Página 6 de 15
15. Sabe-se que existem números reais A e 0x , sendo A 0, tais que
0senx 2 cosx A cos(x x )
para todo x real. O valor de A é igual a
a) 2
b) 3
c) 5
d) 2 2
e) 2 3
16. A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a
a) 105 .
b) 120 .
c) 135 .
d) 150 .
17. Na equação tan(x) cot(x) em , onde 0 x ,2
π o valor de x é
a) 1 b) 1
c) 3
π
d) 4
π
e) 6
π
18. O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo
ˆAOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
a) 14 28θ
b) 15 60θ
c) 20 90θ
d) 25 120θ
e) 30 150θ
19. A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
Lista Trigonometria SP
Página 7 de 15
Usando a aproximação 3,π a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central
agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20.
20. O conjunto solução (S) para a inequação 22 cos x cos(2x) 2, em que 0 x ,π é dado por:
a) S x (0, ) | 0 x6
ππ
ou 5
x6
ππ
b) 2
S x (0, ) | x3 3
π ππ
c) S x (0, ) | 0 x3
ππ
ou 2
x3
ππ
d) 5
S x (0, ) | x6 6
π ππ
e) S x (0, )π
21. Seja x real tal que cos x tg x. O valor de sen x é
a) 3 1
.2
b) 1 3
.2
c) 5 1
.2
d) 1 5
.2
22. Se 0 x 2 ,π então o conjunto solução da equação 2sen(x) 1 cos x é
a) S 0;2
π
b) S ;2
ππ
c) 3
S ;2
ππ
d) S 0;2π
e) S 0;π
Gabarito:
Lista Trigonometria SP
Página 8 de 15
Resposta da questão 1: [E]
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
22 2 2 2
ABF y 4 2 y 20 y 2 5
EHF z 4 2 z 20 z 2 5
EHA x 2 2 x 8 x 2 2
Lei dos Cossenos :
z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa
18 10 cosa 8 cosa
10
1 391sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a10 1010 10
Resposta da questão 2: [C] Calculando:
2 2 2
2 2 2
2 22
AC 2 1 AC 5
AD 2 6 AD 40
5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20
10 2cos cos 45
210 2
θ θ
θ θ θ
Resposta da questão 3: [D] Pela equação de Clapeyron (da Química): PV nRT
P pressão
V volume
n quantidade de matéria (nº mols)
R cons tante universal dos gases
T temperatura
Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja:
Lista Trigonometria SP
Página 9 de 15
mín
logaritmando (5 2 sen( t))
f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo
3 3 3t 2k t 2k t 1,5
2 2 2
π
π π
ππ π
Resposta da questão 4: [B] Como 1 senx 1,
20 sen x 1
0 f x 1
O único gráfico que apresenta fIm 0,1 é o que aparece na alternativa [B].
Resposta da questão 5: [D] Calculando:
1 2 3 2 1 3
2
2 2 2 2
PA a , a , a 2a a a
1 senx2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx
cosx cosx
sen x 1 cos x
1 cos x 2 2cosx 1 cos x 4 8cosx 4cos x 5cos x 8cosx 3 0
3cosx ou cosx 1 (não convém)
5
5 4sec x ; tgx
3 3
5 4 1PA r r
3 3 3
Resposta da questão 6:
[C]
Sabendo que o valor máximo de 8
cos t3
π
é 1, podemos concluir que o valor da pressão diastólica é
100 20 80mmHg.
Por outro lado, sendo 1 o valor mínimo de 8
cos t ,3
π
segue que o valor da pressão sistólica é
100 20 ( 1) 120mmHg.
Resposta da questão 7:
[B]
Considere a figura, em que PQ a e 2OQ b a .
Lista Trigonometria SP
Página 10 de 15
Sabendo que y x é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos POQ 22 30'.
Além disso, do triângulo OPQ, vem
PQtgPOQ a cotg22 30'.
OQ
Logo, sendo
1 cos45cotg22 30' 2 1,
1 cos45
concluímos que a 2 1 e, portanto, 2b a 3 2 2.
Resposta da questão 8: [B] Com os dados da figura, pode-se escrever:
BA 3 BAtg 30 BA 6
3BC 6 3
Ainda, pelo Teorema de Pitágoras:
22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12
E finalmente pelo teorema da bissetriz interna:
BC BA 6 3 672 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3
PC PA PC 12 PC
1 372 36 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3
1 3 1 3
Resposta da questão 9: [B] O valor máximo para f(x) ocorre quando:
k 0 x 0x0 k 2
k 1 x 63
ππ
O valor mínimo ocorre quando:
k 0 x 3xk 2
k 1 x 93
ππ π
Lista Trigonometria SP
Página 11 de 15
Portanto, f(x) atingirá seu valor mínimo em apenas duas ocasiões.
Resposta da questão 10: [C] Considere a figura.
Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos
2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2
AC 5.
Desse modo, vem
CD 2cosACD cosACD .
AC 5
Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD 2 ACD e, portanto,
2
2
cosBCD 2 cos ACD 1
22 1
5
3.
5
Resposta da questão 11: [A] Desde que a função cosseno é par, temos cos(x) cos( x) cosx cosx
0 cosx 0.
Portanto, segue que S .
Resposta da questão 12: [C] A função seno ou a função cosseno são as únicas, dentre as alternativas, cujos gráficos se assemelham ondas. Resposta da questão 13:
Lista Trigonometria SP
Página 12 de 15
[B] Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem
2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6
AB 108
AB 6 3 cm.
Do triângulo ABM encontramos
BM 3 3tgBAM tgBAM .
6AB 6 3
É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos
2
2
tgMAC tg(BAC BAM)
2 tgBAM tgBAM
1 2 tgBAM tgBAM
tgBAM
1 2 tg BAM
3
6
31 2
6
3 6
6 7
3.
7
Resposta da questão 14:
[A]
Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo BPT, vem
BP 1,5tgPTB BT m.
1,73BT
Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos
CD 2,7tgCTD CT .
1,73CT
Em consequência, segue que o resultado pedido é
4,2BT CT 2,43 m.
1,73
Resposta da questão 15: [C]
Lista Trigonometria SP
Página 13 de 15
Tomando arbitrariamente x 0, obtemos
0 02
sen0 2cos0 Acos(0 x ) cosx .A
Por outro lado, fazendo x ,2
π vem
0 01
sen 2cos Acos x senx .2 2 2 A
π π π
Por conseguinte, sabendo que A 0 e 2 20 0sen x cos x 1, encontramos
2 2
1 21 A 5.
A A
Resposta da questão 16:
[B] Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura.
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED.
Sabendo que BAE 90 , tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2. Em
consequência, sendo ABC 135 , concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 3.
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem
2 2 2 1( 3) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ
Resposta da questão 17: [D]
Sabendo que 1
cotgx ,tgx
temos
Lista Trigonometria SP
Página 14 de 15
2
1tgx cotgx tgx
tgx
tg x 1
tgx 1 ou tgx 1.
Portanto, como x é um arco do primeiro quadrante, só pode ser x .4
π
Resposta da questão 18:
[E] Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.
Do triângulo retângulo OMB, obtemos
BM ABtgMOB MO .
MO 2tg2
θ
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim,
AB MO 1(AOB) .
24 tg
2
θ
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se
2 1(ABCD) (AOB) 1
4 tg2
1tg 0,25.
2 4
θ
θ
Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ vem que 30 180 .θ Note que ]30 ,150 [ ]30 ,180 [.
Resposta da questão 19: [B]
Lista Trigonometria SP
Página 15 de 15
Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos: 60min 30
54min
β
Logo, 27 ,β portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
93 2 2031 cm (considerando, 3)
360
ππ
Resposta da questão 20: [A]
2
2 2 2
2 2 2
2
2cos x cos 2x 2
2cos x cos x – sen x 2
2cos x cos x – 1– cos x 2
4cos x – 3
3 3cosx ou cosx
2
0
2
Logo, o conjunto solução será:
5S x (0, ) | 0 x ou x
6 6
π ππ π
Resposta da questão 21:
[C]
Top Related