2. 2 F a) b) c) 210 d) e)

Lista Trigonometria SP

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1. O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados

AB 4, BC 2 e BF 2.

O seno do ângulo HAF é igual a

a) 1

2 5

b) 1

5

c) 2

10

d) 2

5

e) 3

10

2. Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm, BC 1cm e CD 5 cm.

Então, o ângulo θ é igual a

a) 15 .

b) 30 .

c) 45 .

d) 60 .

3. Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:

2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π

em que t é medido em horas e V(t) é medido em 3m . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2]

ocorre no instante a) t 0,4

b) t 0,5

c) t 1

d) t 1,5

e) t 2


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4. O gráfico que melhor representa a função 2f(x) sin (x) é

a)

b)

c)

d)

e) 5. Seja x um número real, 0 x 2,π tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética

(PA). Então, a razão dessa PA é igual a a) 1. b) 5 4.


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c) 4 3.

d) 1 3.

6. A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor

máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quando eles estão em repouso. Suponhamos que a variação da pressão arterial (em mmHg) de um cidadão

portoalegrense em função do tempo (em segundos) é dada por 8

P(t) 100 20 cos t .3

π

Diante disso, os

valores da pressão diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a

a) 60 e 100

b) 60 e 120

c) 80 e 120

d) 80 e 130

e) 90 e 120

7. No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P

pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a

a) 2 2 2

b) 3 2 2

c) 4 2 2

d) 5 2 2

e) 6 2 2

8. As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P,

conforme figura abaixo.

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se

BC 6 3 km, então CP é, em km, igual a

a) 6 3

b) 6 3 3

c) 9 3 2

d) 9 2 1

9. Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015 x, com

x {0,1, 2, , 9,10}, o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em

milhões de dólares, poderia ser obtido pela função f(x) 250 12cos x .3

π

Caso essa previsão se confirme,

então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que:


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a) o valor máximo ocorrerá apenas em 2021. b) atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões. c) poderá superar 300 milhões de dólares. d) nunca será inferior a 250 milhões de dólares.

10. No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ˆABC e ˆADC são retos, AB AD 1, BC CD 2 e BD é uma

diagonal.

O cosseno do ângulo ˆBCD vale

a) 3

5

b) 2

5

c) 3

5

d) 2 3

5

e) 4

5

11. Se x , então a equação cos(x) cos( x) apresenta o conjunto solução

a) b) [ 1;1]

c) [0; )

d) ( ; 0]

e) { 1, 0,1}

12. O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado

na praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar.

Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na representação gráfica de uma função a) logarítmica. b) exponencial. c) seno ou cosseno. d) polinomial de grau 1. e) polinomial de grau 2. 13. No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC mede 6cm.


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Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a

a) 2

7

b) 3

7

c) 2

7

d) 2 2

7

e) 2 3

7

14. A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular

ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de

bilhar, sendo PB 1,5 m e PA 1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com

BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola segue, em trajetória

reta, diretamente até a caçapa D.

Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de

a) 2,42.

b) 2,08.

c) 2,28.

d) 2,00.

e) 2,56.


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15. Sabe-se que existem números reais A e 0x , sendo A 0, tais que

0senx 2 cosx A cos(x x )

para todo x real. O valor de A é igual a

a) 2

b) 3

c) 5

d) 2 2

e) 2 3

16. A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.

A medida do ângulo θ é igual a

a) 105 .

b) 120 .

c) 135 .

d) 150 .

17. Na equação tan(x) cot(x) em , onde 0 x ,2

π o valor de x é

a) 1 b) 1

c) 3

π

d) 4

π

e) 6

π

18. O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo

ˆAOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se

Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679

tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317

a) 14 28θ

b) 15 60θ

c) 20 90θ

d) 25 120θ

e) 30 150θ

19. A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.


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Usando a aproximação 3,π a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central

agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20.

20. O conjunto solução (S) para a inequação 22 cos x cos(2x) 2, em que 0 x ,π é dado por:

a) S x (0, ) | 0 x6

ππ

ou 5

x6

ππ

b) 2

S x (0, ) | x3 3

π ππ

c) S x (0, ) | 0 x3

ππ

ou 2

x3

ππ

d) 5

S x (0, ) | x6 6

π ππ

e) S x (0, )π

21. Seja x real tal que cos x tg x. O valor de sen x é

a) 3 1

.2

b) 1 3

.2

c) 5 1

.2

d) 1 5

.2

22. Se 0 x 2 ,π então o conjunto solução da equação 2sen(x) 1 cos x é

a) S 0;2

π

b) S ;2

ππ

c) 3

S ;2

ππ

d) S 0;2π

e) S 0;π

Gabarito:


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Resposta da questão 1: [E]

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

22 2 2 2

ABF y 4 2 y 20 y 2 5

EHF z 4 2 z 20 z 2 5

EHA x 2 2 x 8 x 2 2

Lei dos Cossenos :

z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa

18 10 cosa 8 cosa

10

1 391sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a10 1010 10

Resposta da questão 2: [C] Calculando:

2 2 2

2 2 2

2 22

AC 2 1 AC 5

AD 2 6 AD 40

5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20

10 2cos cos 45

210 2

θ θ

θ θ θ

Resposta da questão 3: [D] Pela equação de Clapeyron (da Química): PV nRT

P pressão

V volume

n quantidade de matéria (nº mols)

R cons tante universal dos gases

T temperatura

Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja:


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mín

logaritmando (5 2 sen( t))

f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo

3 3 3t 2k t 2k t 1,5

2 2 2

π

π π

ππ π

Resposta da questão 4: [B] Como 1 senx 1,

20 sen x 1

0 f x 1

O único gráfico que apresenta fIm 0,1 é o que aparece na alternativa [B].

Resposta da questão 5: [D] Calculando:

1 2 3 2 1 3

2

2 2 2 2

PA a , a , a 2a a a

1 senx2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx

cosx cosx

sen x 1 cos x

1 cos x 2 2cosx 1 cos x 4 8cosx 4cos x 5cos x 8cosx 3 0

3cosx ou cosx 1 (não convém)

5

5 4sec x ; tgx

3 3

5 4 1PA r r

3 3 3

Resposta da questão 6:

[C]

Sabendo que o valor máximo de 8

cos t3

π

é 1, podemos concluir que o valor da pressão diastólica é

100 20 80mmHg.

Por outro lado, sendo 1 o valor mínimo de 8

cos t ,3

π

segue que o valor da pressão sistólica é

100 20 ( 1) 120mmHg.


[B]

Considere a figura, em que PQ a e 2OQ b a .


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Sabendo que y x é bissetriz dos quadrantes ímpares e OP é bissetriz de SOQ, temos POQ 22 30'.

Além disso, do triângulo OPQ, vem

PQtgPOQ a cotg22 30'.

OQ

Logo, sendo

1 cos45cotg22 30' 2 1,

1 cos45

concluímos que a 2 1 e, portanto, 2b a 3 2 2.

Resposta da questão 8: [B] Com os dados da figura, pode-se escrever:

BA 3 BAtg 30 BA 6

3BC 6 3

Ainda, pelo Teorema de Pitágoras:

22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12

E finalmente pelo teorema da bissetriz interna:

BC BA 6 3 672 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3

PC PA PC 12 PC

1 372 36 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3

1 3 1 3

Resposta da questão 9: [B] O valor máximo para f(x) ocorre quando:

k 0 x 0x0 k 2

k 1 x 63

ππ

O valor mínimo ocorre quando:

k 0 x 3xk 2

k 1 x 93

ππ π


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Portanto, f(x) atingirá seu valor mínimo em apenas duas ocasiões.

Resposta da questão 10: [C] Considere a figura.

Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos

2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2

AC 5.

Desse modo, vem

CD 2cosACD cosACD .

AC 5

Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por LAL, segue que BCD 2 ACD e, portanto,

2

2

cosBCD 2 cos ACD 1

22 1

5

3.

5

Resposta da questão 11: [A] Desde que a função cosseno é par, temos cos(x) cos( x) cosx cosx

0 cosx 0.

Portanto, segue que S .

Resposta da questão 12: [C] A função seno ou a função cosseno são as únicas, dentre as alternativas, cujos gráficos se assemelham ondas. Resposta da questão 13:


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[B] Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem

2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6

AB 108

AB 6 3 cm.

Do triângulo ABM encontramos

BM 3 3tgBAM tgBAM .

6AB 6 3

É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos

2

2

tgMAC tg(BAC BAM)

2 tgBAM tgBAM

1 2 tgBAM tgBAM

tgBAM

1 2 tg BAM

3

6

31 2

6

3 6

6 7

3.

7


[A]

Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo BPT, vem

BP 1,5tgPTB BT m.

1,73BT

Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos

CD 2,7tgCTD CT .

1,73CT

Em consequência, segue que o resultado pedido é

4,2BT CT 2,43 m.

1,73

Resposta da questão 15: [C]


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Tomando arbitrariamente x 0, obtemos

0 02

sen0 2cos0 Acos(0 x ) cosx .A

Por outro lado, fazendo x ,2

π vem

0 01

sen 2cos Acos x senx .2 2 2 A

π π π

Por conseguinte, sabendo que A 0 e 2 20 0sen x cos x 1, encontramos

2 2

1 21 A 5.

A A


[B] Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura.

É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED.

Sabendo que BAE 90 , tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2. Em

consequência, sendo ABC 135 , concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.

Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 3.

Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem

2 2 2 1( 3) 2 cos cos

2

120 .

θ θ

θ

Resposta da questão 17: [D]

Sabendo que 1

cotgx ,tgx

temos


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2

1tgx cotgx tgx

tgx

tg x 1

tgx 1 ou tgx 1.

Portanto, como x é um arco do primeiro quadrante, só pode ser x .4

π


[E] Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.

Do triângulo retângulo OMB, obtemos

BM ABtgMOB MO .

MO 2tg2

θ

Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim,

AB MO 1(AOB) .

24 tg

2

θ

A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se

2 1(ABCD) (AOB) 1

4 tg2

1tg 0,25.

2 4

θ

θ

Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ vem que 30 180 .θ Note que ]30 ,150 [ ]30 ,180 [.

Resposta da questão 19: [B]


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Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α

Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos: 60min 30

54min

β

Logo, 27 ,β portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.

Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:

93 2 2031 cm (considerando, 3)

360

ππ

Resposta da questão 20: [A]

2

2 2 2

2 2 2

2

2cos x cos 2x 2

2cos x cos x – sen x 2

2cos x cos x – 1– cos x 2

4cos x – 3

3 3cosx ou cosx

2

0

2

Logo, o conjunto solução será:

5S x (0, ) | 0 x ou x

6 6

π ππ π


[C]

2. 2 F a) b) c) 210 d) e)

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