γλώσσες
Σελίδες
Νομικός
1 Aproksimacija funkcija polinomom – motivacija
• Linearni harmonijski oscilator (LHO): x(t) + w20x(t) = 0 (linearna diferencijalna
jednacina drugog reda)
• Matematicko klatno je kretanje cestice po kruznici u vertikalnoj ravni, pod uticajemsile Zemljine teze. Polozaj cestice je odreden uglom ϕ, skretanja od vertikale
– Nelinearna DJ: ϕ(t) + gl sinϕ = 0
– l . . . duzina neistegljive niti na kojoj visi kuglica
• Kada mozemo reci da se matematicko klatno ponasa kao LHO?Samo u slucaju malih otklona od vertikale, jer je tada sinϕ ≈ ϕ.
• Na eksperimentalnim vezbama iz Mehanike se rade samo mali otkloni kuglice odvertikale
Meri se period oscilovanja i pomocu formule T = 2π
√l
gse racuna gravitaciono
ubrzanje g (ali formula vazi samo u slucaju malih otklona).
• Inace za nelinearnu DJ (resava se na trecoj godini studija) period oscilovanja je
T = 2π
√l
g
(1 +
(1
2
)2k2 +
(1
2
3
4
)2k4 +
(1
2
3
4
5
6
)2k6 + . . .
)k je faktor koji zavisi od amplitude oscilacija
• Dakle, ako nemamo male uglove, period oscilovanja matematickog klatna zavisi i odamplitude oscilovanja.
2 Aproksimacija funkcija polinomom
Jednacina tangente na grafik funkcije f u tacki (x0, f(x0)) je
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)⇒ y = f ′(x0)x+ f(x0)− f ′(x0)x0
sto je linearna funkcija po x.Uocavamo da je grafik funkcije u okolini tacke x0 veoma blizu svoje tangente u tacki(x0, f(x0)).Linearna aproksimacija (tj. aproksimacija polinomom prvog stepena) funkcije f u okolinitacke x0 se moze dobiti pomocu linearne funkcije ciji je grafik tangenta na grafik funkcijef u (x0, f(x0)):
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0), x→ x0.
(linearna aproksimacija je najbolja aproksimacija prvog reda, jer ima istu stopu promenekao f(x) u x0)
Primer 1. Linearizovati funkciju f(x) = 4√x+ 3 u okolini tacke x0 = 1.
f(1) = 8, f ′(x) =2√x+ 3
, f ′(1) = 1 ⇒ f(x) ≈ 8 + 1 · (x− 1) = x+ 7
1
tj. 4√x+ 3 ≈ x+ 7 za x u okolini tacke 1:
Za npr. x = 0.98 vazi 4√x+ 3 ≈ 0.98 + 7 = 7.98
Za npr. x = 1.05 vazi 4√x+ 3 ≈ 1.05 + 7 = 8.05
Primer 2.sinx ≈ x, x→ 0
Za bolju aproksimaciju od linearne mozemo da probamo sa kvadratnom:Aproksimirajmo funkciju f(x) pomocu kvadratne funkcije Q(x) = ax2 + bx + c u okolinineke tacke x0 (aproksimiramo grafik funkcije f pomocu parabole umesto pomocu pravelinije).Zahtevamo:
(i) Q(x0) = f(x0) tj. Q i f bi trebalo da imaju istu vrednost u x0,
(ii) Q′(x0) = f ′(x0) tj. Q i f bi trebalo da imaju isti koeficijent pravca u x0,
(iii) Q′′(x0) = f ′′(x0) tj. koeficijent pravca Q i f bi trebalo da se istom brzinom menjajuu x0.
Kako Q′(x) = 2abx + b i Q′′(x) = 2a sledi a = 12f′′(x0), pa iz f ′(x0) = f ′′(x0)x + b sledi
b = f ′(x0)−f ′′(x0)x0. Tada f(x0) = ax2 + bx+ c = 12f′′(x0)x
20 + (f ′(x0)−f ′′(x0)x0)x0 + c
pa sledi c = f(x0) + 12f′′(x0)− f ′(x0)x0.
Q(x) =1
2f ′′(x0)x
2 + f ′(x0)x− f ′′(x0)x0x+ f(x0) +1
2f ′′(x0)x
20 − f ′(x0)x0
1
2f ′′(x0)(x
2 − 2x0x+ x20) + f ′(x0)(x− x0) + f(x0)
= f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1
2f ′′(x0)(x− x0)2.
Za aproksimaciju funkcije polinomom n−tog reda koristimo Tejlorovu formulu. Polinom
Tn[f ;x0](x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)
2(x− x0)2 + · · ·+ f (n)(x0)
n!(x− x0)n
=n∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k
naziva se Tejlorov polinom n−tog stepena za funkciju f u tacki x0.Specijalno, za x0 = 0 imamo Maklorenov polinom Tn[f ; 0] = Mn[f ](x) = Mn(x).Primetimo, (
Tn[f ;x0])(m)
(x0) = f (m)(x0), ∀m ≤ n.
Da bismo koristili Tejlorov polinom Tn(x;x0) umesto funkcije f(x), potrebno je znatiprocenu izraza
Rn(x) = f(x)− Tn(x;x0),
koji nazivamo ostatkom. Procenom ostatka zapravo ocenjujemo gresku aproksimacijef(x) ≈ Tn(x;x0) u okolini tacke x0.
2
Teorema 1 (Langranzov oblik ostatka). Ako je funkcija f (n+ 1)−puta diferencijabilnau nekoj okolini tacke x0, tada za svako x iz te okoline postoji c ∈ (x0, x) tako da
f(x) = Tn[f ;x0](x) +f (n+1)(c)
(n+ 1)!(x− x0)n+1
Napomena 1. Ako je funkcija f polinom n−tog stepena tada je f(x) = Tn[f ;x0](x).
Napomena 2. Tejlorov polinom je jedinstveno odreden.
Teorema 2 (Peanov oblik ostatka). Neka funkcija f(x), neprekidna zajedno sa svim svo-jim izvodima do (n − 1)−tog reda u nekoj okolini tacke x0, ima n−ti izvod u toj okolini.Tada za x iz okoline tacke x0 vazi formula
f(x) = Tn(x;x0) +Rn(x),
pri cemu ostatak ima oblikRn(x) = o((x− x0)n).
Procena greske aproksimacije:Ako postoji M > 0 tako da |f (n+1)(ξ)| ≤M za ξ ∈ (x0, x) onda
|f(x)− Tn[f ;x0](x)| ≤ M
(n+ 1)!|x− x0|n+1
Primer 3. Razviti polinom P (x) = x4 − 5x3 − 3x2 + 7x+ 6 po stepenima od (x− 2).
P (2) = −16
P ′(x) = 4x3 − 15x2 − 6x+ 7⇒ P ′(2) = −33
P ′′(x) = 12x2 − 30x− 6⇒ P ′′(2) = −18
P ′′′(x) = 24x− 30⇒ P ′′′(2) = 18
P iv(x) = 24⇒ P iv(2) = 24
P (x) = T4[f ; 2](x) = P (2) + P ′(2)(x− 2) +P ′′(2)
2(x− 2)2 +
P ′′′(2)
3!(x− 2)3
+P iv(2)
4!(x− 2)4 = −16− 33(x− 2)− 9(x− 2)2 + 3(x− 2)3 + (x− 2)4.
Tablica Maklorenovih polinoma
1. f(x) = ex
Mn(x) =n∑k=0
1
k!(ex)(k)
∣∣∣x=0
xk =n∑k=0
1
k!ex∣∣∣x=0
xk =n∑k=0
1
k!xk
2. f(x) = 11−x
Mn(x) =n∑k=0
1
k!(
1
1− x)(k)∣∣∣x=0
xk =n∑k=0
1
k!
k!
(1− x)k+1
∣∣∣x=0
xk =n∑k=0
xk
3
3. f(x) = (1 + x)α, α ∈ R, x ∈ (−1, 1)
Mn(x) =n∑k=0
1
k!((1 + x)α)(k)
∣∣∣x=0
xk =n∑k=0
(α
k
)xk
4. f(x) = ln(1 + x)
Mn(x) = 0 +
n∑k=1
1
k!(ln(1 + x))(k)
∣∣∣x=0
xk =
n∑k=1
(−1)k−1
k!
(k − 1)!
(1 + x)k
∣∣∣x=0
xk =
n∑k=1
1
k!(−1)k−1xk
5. f(x) = sinx
M2n+1(x) = x− x3
3!+x5
5!+ . . .+ (−1)n
1
(2n+ 1)!x2n+1
6. f(x) = cosx
M2n(x) = 1− x2
2!+x4
4!+ . . .+ (−1)n
1
(2n)!x2n
Napomena 3. (i) Ako je funkcija f parna, f′
ce biti neparna:
f(−x) = f(x)⇒ f′(−x)(−1) = f
′(x)⇒ f
′(−x) = −f ′
(x).
(ii) Ako je funkcija f neparna, f′
ce biti parna:
f(−x) = −f(x)⇒ f′(−x)(−1) = −f ′
(x)⇒ f′(−x) = f
′(x).
Napomena 4. U Maklorenovom polinomu (ne)parne funkcije javljaju se samo (ne)parnistepeni od x.
• f parna funkcija: f(−x) = f(x)⇒ f (k)(−x)(−1)k = f (k)(x) (dokaz indukcijom).Za x = 0: f (k)(0)(−1)k = f (k)(0), odnosno f (k)(0)((−1)k − 1) = 0⇒ f (k)(0) = 0, zak neparno.
• f neparna funkcija: f(−x) = −f(x)⇒ f (k)(−x)(−1)k = −f (k)(x).Za x = 0: f (k)(0)(−1)k = −f (k)(0), odnosno f (k)(0)((−1)k + 1) = 0 ⇒ f (k)(0) = 0,za k parno.
Primer 4. Za funkciju sinx vazi: M1 = M2, M3 = M4, . . . ,
M2n+1(x) = x− x3
3!+x5
5!+ . . .+ (−1)n
1
(2n+ 1)!x2n+1 = M2n+2(x).
4
3 Landauovi simboli
3.1 ”Veliko O”
Definicija 1. Ako za funkcije f(x) i g(x) postoji konstanta M > 0 takva da je
|f(x)| 6M |g(x)|, za x u okolini tacke x0
kazemo da je u okolini tacke x0 funkcija f ogranicena u odnosu na funkciju g i to simbo-lizujemo sa f(x) = O(g(x)), x→ x0 (f(x) je veliko O od g(x) za x u okolini x0 ).
Teorema 3. Ako je limx→x0
|f(x)||g(x)|
<∞, tada je f(x) = O(g(x)), x→ x0.
Primer 5. cosx− 1 = O(x2), x→ 0
3.2 ”Malo o”
Definicija 2. Ako za funkcije f(x) i g(x) u okolini tacke x0 vazi
f(x) = α(x)g(x), pri cemu limx→x0
α(x) = 0,
to simbolizujemo sa f(x) = o(g(x)), x→ x0 (f(x) je malo o od g za x u okolini x0).
Primer 6. cosx− 1 = o(x), x→ 0, cosx− 1 + 12x
2 = o(x2), x→ x0
Definicija 3. Ako za funkcije f(x) i g(x) u okolini tacke x0 vazi
f(x) = γ(x)g(x), pri cemu je limx→x0
γ(x) = 1
kazemo da se funkcija f(x) ponasa kao funkcija g(x) kada x→ x0 i pisemof(x) ∼ g(x), x→ x0.
Teorema 4. f(x) ∼ g(x), x→ x0 ako i samo ako f(x) = g(x) + o(g(x)), x→ x0.
Teorema 5. Ako je limx→x0
f(x)
g(x)= 1, tada f(x) ∼ g(x), x→ x0.
Primer 7. x ∼ sinx ∼ tg x ∼ arcsinx ∼ arctanx ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1, x→ 01− cosx ∼ 1
2x2, x→ 0 (1 + x)α − 1 ∼ αx, x→ 0 ax − 1 ∼ (ln a)x, x→ 0
Tejlorova formula zapisana pomocu simbola:
• malo o: f(x) = Tn[f(x);x0](x) + o((x− x0)n), x→ x0,
• veliko O: f(x) = Tn[f(x);x0](x) +O((x− x0)n+1), x→ x0.
Osobine
• O(cf(x)) = O(f(x)), c ∈ R \ {0}, x→ x0 (Primer. O(2x2) = O(x2)),
• O(f(x)) · O(g(x)) = O(f(x)g(x)), x→ x0 (Primer. O(x3)O(x5) = O(x8)),
• f(x) · O(g(x)) = O(f(x)g(x)), x→ x0 (Primer. x3O(x5) = O(x8)),
5
• Ako je limx→x0
|f(x)||g(x)|
< ∞, tada je f(x) + O(g(x)) = O(g(x)), x → x0 (Primer. x5 +
O(x3) = O(x3), x→ 0, limx→0x5
x3= 0).
Primer 8. Kada zelimo da se zadrzimo na kvadratnom clanu razvoja na primer funkcijef(x) = ex u Maklorenovoj formuli, to zapisujemo kao
ex = 1 + x+x2
2+O(x3).
O(x3) oznacava clanove reda 3 i vise po x.
Napomena 5.
x− x3
3!+x5
5!+ . . .+ (−1)n
x2n+1
(2n+ 1)!= M2n+1[sinx](x) = M2n+1[sinx](x)
sinx = M2n+1 +O(x2n+3)
sinx = M2n+1 + o(x2n+2)
6
Top Related