ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 1 από 78

3 Ο Ε Π Α Λ Χ Α Λ Α Ν ∆ Ρ Ι Ο Υ Ε Ρ Ε Υ Ν Η Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ – Τ Μ Η Μ Α Α 1

««ΤΤΑΑ ΜΜΑΑΘΘΗΗΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΑΑ ΣΣΤΤΗΗΝΝ ΑΑΡΡΧΧΑΑΙΙΑΑ ΕΕΛΛΛΛΑΑ∆∆ΑΑ»»

ΧΧΧ ΑΑΑ ΛΛΛ ΑΑΑ ΝΝΝ ∆∆∆ ΡΡΡ ΙΙΙ 222 000 111 333

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 2 από 78

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 3 από 78

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 4 από 78

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 5 από 78

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ......................................................................................... 6

2. Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ............................ 10

3. Ο ΑΡΧΙΜΙ∆ΗΣ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ..................................................................... 20

4. Ο ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ................................................................. 31

5. Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ....................................................................... 37

6. Ο ∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ............................................................... 48

7. Ο ΘΑΛΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ........................................................................ 59

8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ........................................................................................ 70

9. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ – ΤΕΧΝΗΜΑ ........................................................................... 74

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 6 από 78

1. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 7 από 78

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ο άνθρωπος χρειάστηκε 1.000.000 χρόνια για να οδηγηθεί στην αφηρηµένη έννοια των αριθµώv. Ο Homo sapiens (300.000 χρόνια πριν) κάνει µια µικρή αρίθµηση µε κλαδιά. Ο Homo sapiens (100.000 χρόνια πριν) χρησιµοποιεί κάποιες αριθµητικές λέξεις. Οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες (70.000-20.000 χρόνια πριν) καταλάβαιναν την απλή πρό-σθεση, τον πολλαπλασιασµό και την αφαίρεση. Το µοίρασµα της τροφής τους σηµαίνει ότι κατανοούσαν τη διαίρεση. Η παλαιότερη ένδειξη αριθµητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι µια περόνη µπαµπουίνου µε 29 εµφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το 35.000 π.χ. Μοιάζει µε τα «ηµερολογιακά ραβδιά» που ακόµα χρησιµοποιούν στη Ναµίµπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου. Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη ∆υτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το 30.000 π.χ. φέρει 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε, οι οποίες µάλλον αποτελούν καταγραφή θηραµάτων. Μέσω της αστρονοµίας, της αστρολογίας ή της κοσµολογίας, ο ουρανός άσκησε τη µε-γαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των µαθηµατικών. 2500 π.χ. Οι Σουµέριοι ζύγιζαν, υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ», µετρούσαν τα υγρά σε «κα», χρησιµοποιούσαν κλάσµατα και είχαν σύστηµα αριθµών µε βάση το 60. 2.000-538 π.χ. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο µαθηµατικής κουλτούρας, µεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα το είχαν ανακαλύψει και οι Βαβυλώνιοι τον 16ο π.χ. αιώνα (1.000 χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγό-ρα!!!). Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήµατα πρώτου και δεύτερου βαθµού, υπολόγιζαν εµβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλό-γραµµων, τραπεζίων καθώς και το εµβαδόν του κύκλου (π=3 αντί π=3,14). Το αριθµη-τικό τους σύστηµα είχε ως βάση το 60 , ήταν µη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς µηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστηµα. Το εξηνταδικό σύστηµα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει µέχρι σήµερα στο µέτρηµα του χρόνου. Έτσι π.χ. όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθµό 75, έλεγαν «1,15», όπως κι εµείς σήµερα τα 75 λεπτά τα εκφράζουµε σαν 1 ώρα και 15 λεπτά. 5000-332 π.χ. Οι Αιγύπτιοι χρησιµοποιούν σύστηµα αριθµών µε βάση το 10. Το σύστη-µά τους ήταν δεκαδικό, επαναληπτικό, µη θεσιακό.2852 π.χ. Ο Κινέζικος πολιτισµός χρησιµοποιεί σύστηµα αριθµών µε βάση το 60. Κάνανε αστρονοµικούς υπολογισµούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Γνώριζαν γραµµικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθµούς και το π.. Τα µαθηµατικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυ-λωνίων και των Αιγυπτίων. Το παλαιότερο κινέζικο µαθηµατικό κείµενο είναι το Τσόου Πέϊ Σαουντσινγκ, που γράφτηκε µεταξύ του 500 και του 200 π.χ. 1410-1530 µ.Χ. Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθµητικό σύστηµα µε βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθηµερινές δραστηριότητες του µεγάλου πληθυσµού τους (Μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσµό 6-12.000.000 άτοµα). Το αριθµητικό τους σύστηµα βασιζό-ταν στα κουιπού. Τα κουιπού ήταν περίπλοκα συστήµατα σπάγκων µε κόµπους που χρησίµευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθµητικών πληροφοριών. Το σύστη-µά τους ήταν δεκαδικό, θεσιακό, µη ψηφιακό. Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησι-µοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν µια πλάκα χωρισµένη σε

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 8 από 78

τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαµποκιού που τους µετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασµούς τους. Η Πρώτη προ-σπάθεια εισαγωγής των Ινδοαραβικών αριθµητικών ψηφίων στην Ευρώπη έγινε από τον Φιµπονάτσι (1180-1250 µ.Χ.). Για να τα υιοθετήσουν όµως οι Ευρωπαίοι χρειάστηκαν ακόµα 400 χρόνια. Ακόµα και στο τέλος του 16ου αιώνα, η αποδοχή των αρνητικών αριθµών, των ρητών αριθµών (που ανακάλυψε ο Βραγµαγκούπτα τον 70 µ.Χ. αιώνα) και του µηδέν δεν ήταν πλήρης (πολλοί θεωρούσαν το µηδέν δηµιούργηµα του ∆ιαβό-λου).Όλα τα συστήµατα του άνθρωπου περιλαµβάνουν την πενταδική, δεκαδική και εικοσαδική αρίθµηση. Επαναλαµβανόµενα θέµατα των αριθµητικών συστηµάτων του ανθρώπου είναι: µια βάση που σχετίζεται µε την αρίθµηση µε τα δάκτυλά µας (πέ-ντε=ένα χέρι, δέκα=δύο χέρια, είκοσι=δάχτυλα των χεριών και των ποδιών), το σύστη-µα τιµής – θέσης και το µηδέν …… 600 π.χ. – 300 µ.Χ. Τα επιτεύγµατα των Ελλήνων, για 1000 χρόνια επισκιάζουν όλα τα πνευµατικά επιτεύγµατα των επόµενων 1500 ετών. Οι Έλληνες όµως στηρίχτηκαν στις παλαιότερες αρχαίες κοινωνίες των Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων. Χρησιµοποιούσαν δύο είδη αριθµητικών συστηµάτων µε βάση το 10: το Ηρωδιανό ή Αττικό και το Ιωνικό ή Αλεξανδρινό. ∆ε χρησιµοποιούσαν τιµές θέσεις όπως έκανα οι Βαβυλώνιοι και όπως γίνεται σήµερα. Επίσης δε χρησιµοποιούσαν το µηδέν και τα κλάσµατα. Οι Έλληνες θεµελίωσαν τη γεωµετρία ως µια αµιγώς µαθηµατική ενασχό-ληση: διατύπωσαν και απέδειξαν θεωρήµατα. Το πρώτο Ελληνικό µαθηµατικό βιβλίο (σε παπύρους) είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη (300 π.χ.) Ο Πυθαγόρας (580-500 π.χ.) υπήρξε ο σπουδαιότερος µαθηµατικός όλων των εποχών. Αυτός έπλασε τη λέξη µαθηµατικά, δηλαδή εκείνο που έχουµε µάθει. Ο Πυθαγόρας µεταµόρφωσε την επιστήµη των µαθηµατικών σε στοιχείο ελεύθερης µόρφωσης. Ο Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 π.χ.) Οι γραµµές για το Θαλή δεν ήταν κάτι που µπορείς να δεις στην άµµο, αλλά ήταν αντικείµενα σκέψης στη φαντασία µας. Πήρε φυσικά σχήµατα και τα έκανε νοητικά σχήµατα. Όλα αυτά ήταν επανάσταση για την εποχή του. Επίσης έκανε λογικές απαγωγές, που τον οδήγησαν από τη µία αλήθεια που αφορούσαν τα θεωρητικά σχήµατά του στην ανακάλυψη κι άλλων αληθειών, αυτό επηρέασε τη ∆υτική σκέψη για 2.000 έτη. Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα Μαθηµατικά προπαρασκευαστικό µάθηµα για τη φιλοσοφία. Η εµβάθυνση στον κόσµο των νοητικών αναπαραστάσεων, που είναι ο κατεξοχήν κόσµος που ζει ένας µαθηµατικός, οδηγεί στον κόσµο των ιδεών του Πλάτωνα. Αυτός ο κόσµος, όχι µόνο είναι « αντικειµενικός » , αλλά είναι ο µόνος που δυνάµεθα να κατανοήσουµε εις βάθος. ∆εν είναι τυχαίο ότι σήµερα οι περισσότεροι ώριµοι µαθηµατικοί είναι Πλατω-νιστές. Η «Οδός Μαθηµατικής» είναι το πρώτο ελληνικό µαθηµατικό εγχειρίδιο της νεότερης ιστορίας µας, γραµµένο από τον Μεθόδιο Ανθρακίτη και τον Μπαλάνο Βασιλόπουλο, για χρήση µαθητών στα ελληνικά σχολεία την εποχή της Τουρκοκρατίας. Οι σπουδαιότεροι Μαθηµατικοί όλων των εποχών είναι: Ο Πυθαγόρας, ο Ευκλείδης, ο Θαλής, ο Αρχιµήδης, ο Γκαλουά, ο Καρτέσιος, Ο Νεύτων, ο Γκάους, ο Φερµά, ο Ντέντεκιντ, ο Κάντορ, ο Νόιµαν, ο Γκέντελ, ο Ράσελ, ο Γαλιλαίος, ο Ώιλερ και ο Ουάϊλς. Στην κορυφή της πυραµίδας των Μαθηµατικών πρέπει να τοποθε-τήσουµε τον Αρχιµήδη, τον Νεύτωνα και τον Γκάους. Γυναίκες µαθηµατικοί ήταν η Υπατία (370-415 µ.Χ.), η Μαρία Γκαετάνα Ανιέζι (1718-1799 µ.Χ.), η Σοφί Ζερµαίν (1776-1831), η Αουγκούστα Άντα Κινγκ, κόρη του Λόρδου Βύρωνα, θεωρείται σήµερα η πρώτη προγραµµατίστρια υπολογιστών στον κόσµο, η Σοφία Κοβαλέβσκαγια (1850-1891) και η καθηγήτρια Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου του Μπέρκλει Τζούλια Ρόµπινσον (1919-1985). Ζώα που ξέρουν να µετρούν είναι: τα δελφίνια, οι φάλαινες, οι φώκιες, οι σκίουροι, οι αρουραίοι, τα έντοµα και οι παπαγάλοι.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 9 από 78

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 10 από 78

2. Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 11 από 78

2.1. Ιστορία των µαθηµατικών .

Ο Έλληνας µαθηµατικός Πυθαγόρας που γενικά πιστώνεται την ανακάλυψη του ονώνυµου

θεωρήµατος.

Μια απόδειξη από τα Στοιχεία Ευκλείδη, που θεωρούνται πλατιά ως το βιβλίο µε τη µεγα-

λύτερη επιρροή όλων των εποχών.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 12 από 78

Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων (1643–1727), ένας (µεταξύ άλλων) εφευρέτης του απειροστικού λο-

γισµού.

Η περιοχή µελέτης που είναι γνωστή ως «ιστορία των µαθηµατικών» είναι πρωτίστως µια έρευνα στις αρχές των ανακαλύψεων στα µαθηµατικά και σε µικρότερο βαθµό µια έρευνα στις µαθηµατικές µεθόδους και στους µαθηµατι-κούς συµβολισµούς του παρελθόντος. Η µελέτη της δοµής, που θεµατοποιείται σήµερα στα πλαίσια της άλγεβρας, προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εµπορικών υπολογισµών και ξεκίνησε µε την πρακτική αριθµητική, δηλαδή µε τους φυσικούς αριθµούς και τις τέσσερις βασικές αριθµητικές πράξεις, καθώς και µε την επίλυση απλών γραµµικών εξι-σώσεων. Γενικότερες ιδιότητες των αριθµών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθµών, ενώ οι γραµµικές εξισώσεις θα µελετηθούν στα πλαίσια της γραµµικής άλγεβρας. Πριν από την σύγχρονη εποχή και την παγκόσµια διάδοση της γνώσης, γρα-πτά παραδείγµατα νέων µαθηµατικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως µόνο σε µερικά τοπικά σύνολα. Η µελέτη του χώρου και του σχήµατος, που ξεκίνησε από αστρονοµικές παρατηρήσεις (Βαβυλώνιοι) ή και από µετρήσεις εµβαδών (Αιγύπτιοι), θεµελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωµετρία του Ευκλείδη. Το έργο του Ευκλείδη υπήρξε ίσως ο πρώτος µεγάλος σταθµός στην ιστορία των µαθηµατι-κών, καθώς εισήγαγε την αξιωµατική µέθοδο, η οποία δεν εγκατέλειψε από τότε ποτέ τα µαθηµατικά. Ακόµη, οι κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη -βασική αποδεικτική µέθοδος και στον Ευκλείδη- απασχόλησαν τους µαθηµατι-κούς για πολύ καιρό: ο τετραγωνισµός του κύκλου, ο διπλασιασµός του κύβου και η τριχοτόµηση της γωνίας, αποδείχτηκε µόλις το 19ο αιώνα ότι δεν µπο-ρούν να επιτευχθούν µε αυτήν τη µέθοδο. Τέλος την ίδια περίπου περίοδο, το περίφηµο αξίωµα της παραλληλίας, ή αλλιώς «πέµπτο αίτηµα του Ευκλείδη», στάθηκε η αφορµή να ανακαλυφθούν οι λεγόµενες µη ευκλείδειες γεωµετρίες από τον Ντάβιντ Χίλµπερτ και τον Νικολάι Λοµπατσέφσκι. Τα πιο αρχαία µα-θηµατικά κείµενα που είναι διαθέσιµα είναι τα Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά (πι-νακίδα Plimpton 322, ~1900 π.χ.), και τα Αιγυπτιακά Μαθηµατικά (ο Πάπυρος Μαθηµατικών Rhind, ~2000-1800 π.χ. και ο Πάπυρος Μαθηµατικών Μόσχας ~ 1890 π.χ.). Όλα αυτά τα κείµενα περιλαµβάνουν το αποκαλούµενο Πυθα-γόρειο Θεώρηµα, που φαίνεται να είναι η πιο αρχαία και διαδεδοµένη µαθηµα-τική εξέλιξη µετά τη βασική Αριθµητική και Γεωµετρία.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 13 από 78

Ωστόσο, η µελέτη των Μαθηµατικών ως ένα αυτοτελές πεδίο άρχισε πράγµατι τον 6ο αιώνα π.χ. µε τη Σχολή των Πυθαγορείων, που πιστώνονται και τον όρο «Μαθηµατικά», από την αρχαία ελληνική λέξη «µάθηµα», που σηµαίνει «πεδίο µάθησης». Οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηµατικοί σε µεγάλο βαθµό εξευγέ-νησαν τις µεθόδους (κυρίως µέσω της εισαγωγής της επαγωγικής λογικής και της µαθηµατικής ακρίβειας στις αποδείξεις) και επέκτειναν το πεδίο της ύλης των Μαθηµατικών. Οι αρχαίοι Κινέζοι µαθηµατικοί έκαναν επίσης από νωρίς κάποιες συνεισφορές στο πεδίο των µαθηµατικών, συµπεριλαµβάνοντας ένα σύστηµα τοπογραφικής αξιολόγησης. Το ινδοαραβικό σύστηµα αρίθµησης και οι κανόνες χρήσης των πράξεών του, που βρίσκεται σε χρήση παγκοσµίως σύστηµα, πιθανώς να αναπτύχθηκε κατά την 1η χιλιετία π.χ. στην Ινδία και µεταδόθηκε στη ∆ύση µέσω των Ισλαµικών µαθηµατικών. Οι ίδιοι οι ισλαµικοί µαθηµατικοί, µε τη σειρά τους, ανέπτυξαν, επέκτειναν και διέδωσαν τα µαθη-µατικά µεταξύ των αυτών των πολιτισµών[34]. Πολλά ελληνικά και αραβικά κείµενα µεταφράστηκαν στα Λατινικά, γεγονός που οδήγησε σε παραπέρα α-νάπτυξη των Μαθηµατικών στη Μεσαιωνική Ευρώπη. Από την Αρχαία Εποχή και µέσω του Μεσαίωνα, εκρήξεις µαθηµατικής δηµι-ουργικότητας συχνά ακολουθήθηκαν από αιώνες στασιµότητας. Με την έναρ-ξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 16ο αιώνα, εµφανίστηκε µια νέα µα-θηµατική ανάπτυξη, αλληλεπιδρώντας µε τις νέες επιστηµονικές ανακαλύψεις στα υπόλοιπα επιστηµονικά πεδία, η οποία ουσιαστικά συνεχίζεται, και µάλιστα επιταχυνόµενη, ως τις µέρες µας. Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωµετρίας αρχίζει να φθίνει µετά την ανα-κάλυψη του απειροστικού λογισµού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελµ Λάιµπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των µαθηµατικών στρέφεται στην έννοια της µεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήµατα της φυσικής. Σύντοµα θα αρχίσουν να α-ναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της µαθηµατικής ανάλυσης. Προκειµένου να αποσαφηνιστούν τα θεµέλια των µαθηµατικών και να διερευ-νηθούν οι σχέσεις φαινοµενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηµατική λογική. Επίσης σε σύνδεση µε προβλήµατα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής. Σήµερα, οι βασικοί κλάδοι των µαθηµατικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρµογές τους: στην Επιστήµη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονοµία, την Οικολογία κ.λπ., τα µαθηµατικά παίζουν ολοένα και σηµαντικότερο ρόλο. ∆ιάσηµες µαθηµατικές προτάσεις είναι το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, το Τελευταίο θεώρηµα του Φερµά, η Υπόθεση του συνεχούς του Γκέοργκ Κάντορ, το Θεµε-λιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας, το θεώρηµα µη πληρότητας του Κουρτ Γκέ-ντελ κ.ά., ενώ πολύ γνωστές εικασίες που µένουν να αποδειχτούν είναι µετα-ξύ άλλων η Υπόθεση του Ρήµαν, η Εικασία του Γκόλντµπαχ και η "P ≠ NP". Τα 23 προβλήµατα του Νταβίντ Χίλµπερτ, διατυπωµένα στις αρχές του 20ου αιώ-να, αν και σήµερα ως επί το πλείστον απαντηµένα, έδωσαν νέες κατευθύνσεις στην µαθηµατική έρευνα. Μερικά από τα υψηλότερα βραβεία στα µαθηµατικά είναι το µετάλλιο Fields, το βραβείο Abel και το βραβείο Wolf. ∆εν υπάρχει Βραβείο Νόµπελ για τα µα-θηµατικά.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 14 από 78

2.2. Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά

2.2.1 Περιοδολόγηση Πρώιµη περίοδος (6ος-5ος π.χ. αι.) Κλασική περίοδος (4ος π.χ. αι.) Ελληνιστική περίοδος (τρεις τελευταίοι αι. π.χ.) Ύστερη Αρχαιότητα (έως τον 6ο αι. µ.Χ.)

Πρώιµη περίοδος

ΤΑ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Θαλής & Σχολή της Ιωνίας Το Σχήµα, δηλ. η Γεωµετρία Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι Ο Αριθµός, δηλ. η Αριθµητική

Ιπποκράτης & Σχολή της Χίου (περ. 525 π.χ.)

Τα Στοιχεία, δηλ. η αρχή της συγκρό-τησης των µαθηµατικών σε αξιωµατι-

κή-παραγωγική βάση

Κλασσική περίοδος

ΤΑ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Θεαίτητος ο Αθηναίος (περ. 417-369 π.χ.)

• Ανθυφαίρεση • Ταξινόµηση ασύµµετρων µεγεθών • Βιβλία 10 & 13 των Στοιχείων

Εύδοξος ο Κνίδιος (περ. 408-355 π.χ.)

• Mαθηµατική αστρονοµία • Μέθοδος εξάντλησης • Θεωρία αναλογιών • Βιβλία 5 &12 των Στοιχείων

Ευκλείδης (ήκµασε το 300 π.χ.)

• Τα Στοιχεία • Ο άλλος Ευκλείδης: ∆εδοµένα, Ο-πτικά, Κατοπτρικά …

Ελληνιστική περίοδος ΤΑ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Αρχιµήδης (περ. 287-212 π.Χ.)

• Ανάπτυξη των απειροστικών µεθό-δων του Ευδόξου (µέθοδος εξάντλη-σης) και εφαρµογή τους στον υπολο-γισµό εµβαδών και όγκων. • Ανάπτυξη ευρετικών µεθόδων. • Επεξεργασία µαθηµατικών µοντέ-λων για τη µελέτη φυσικών φαινοµέ-νων. • Μηχανικές κατασκευές.

Απολλώνιος (περ. 250-175 π.Χ.)

• Κωνικές τοµές • Μαθηµατική αστρονοµία (µοντέλα επικύκλων και έκκεντρων κύκλων)

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 15 από 78

Ύστερη Αρχαιότητα

ΤΑ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ Κλαύδιος Πτολεµαίος (2ος µ.Χ. αι.)

Μαθηµατική Σύνταξις (Μεγίστη, Αλµαγέστη). Το έργο όπου εκτίθεται η µακροβιό-τερη θεωρία στην ιστορία της επιστή-µης.

∆ιόφαντος (3ος – 4ος µ.Χ. αι.)

Τα Αριθµητικά. Οι απαρχές της αλγεβρικής σκέψης.

2.2.2 Η ιστορία των Μαθηµατικών αρχίζει στην αρχαία Ελλάδα.

Το έργο του µαθηµατικού: λύνει προβλήµατα & αποδεικνύει θεωρήµα-τα.

Οι δύο παραδόσεις, της επίλυσης προβληµάτων και της απόδειξης θεω-ρηµάτων.

Ποια από τις δύο παραδόσεις αρχίζει στην αρχαία Ελλάδα. Οι αρχαίοι Έλληνες αναγνώριζαν τη συµβολή τους στους προηγούµε-νους πολιτισµούς – δεν ήσαν στενόµυαλοι (όπως δυστυχώς είναι µερι-κοί σύγχρονοι Έλληνες).

Σήµερα υπάρχει διεθνώς µια δραστήρια κοινότητα ιστορικών που α-σχολούνται µε την ιστορία των προελληνικών µαθηµατικών (ιδίως της Μεσοποταµίας).

Είναι γνωστό ότι η Αρχαία Ελλάδα έβαλε τα θεµέλια των µαθηµατικών Επι-στηµών και ειδικά στον τοµέα της Γεωµετρίας και της Λογικής. Τα έργα των αρχαίων Ελλήνων Μαθηµατικών όσα βέβαια διασώθηκαν αποτέλεσαν την βά-ση για την πιό πέρα εξέλιξη των µαθηµατικών Επιστηµών. Ονόµατα όπως Ευ-κλείδης , Αρχιµήδης, Πυθαγόρας, Θαλής έγιναν αντικείµενο µελέτης της ιστο-ρίας των Μαθηµατικών. Η αξιωµατική τοποθέτηση των Μαθηµατικών ξεκίνησε από την αρχαία Ελλά-δα. Τότε θεµελιώθηκε η επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος µε την διαδι-κασία ανάλυσης, σύνθεσης, απόδειξης καθώς και της απόδειξης ισχύος του αντιστρόφου. Τα Μαθηµατικά αναπτυχθήκανε στην Αρχαία Ελλάδα για να ε-φαρµοσθούν στην γεωργία, µηχανική, πολεµική τέχνη, αστρονοµία, γεωδαι-σία. Αναπτυχθήκανε όµως και για να αποτελέσουν προϊόν της ανθρώπινης σκέψης και χρησιµοποιηθήκανε στην δοµηµένη λογική και την φιλοσοφία. Οι βιογραφίες αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών έχουν γραφτεί από τον συγγρα-φέα-µελετητή αρχαίων µαθηµατικών κειµένων ∆. Τσιµπουράκη Μαθηµατικό-Αρχιτέκτονα. Πολλά από τα κείµενα που περιέχονται στη στήλη Αρχαιότητα @TeleMath είναι από τα βιβλία "Η Γεωµετρία στην Αρχαία Έλλάδα", "Το Ό-ρυγµα του Ευπαλίνου" και "Μαθηµατικές µετρήσεις στην Αρχαία Έλλάδα" του συγγραφέα ∆. Τσιµπουράκη εκδόσεις "Αίολος".

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 16 από 78

2.3. Τρία 'Αλυτα Προβλήµατα 2.3.1. Το ∆ήλιο πρόβληµα Το δήλιο πρόβληµα ή ο διπλασιασµός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωµέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε µια έντονη ανάπτυ-ξη της Γεωµετρίας. Το δήλιο πρόβληµα απόκτησε δηµοσιότητα όταν το ανέφερε, σε µια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαµαρτυρόµενος γιατί το κενοτάφιο, που προο-ριζόταν για το γιό του Γλαύκο, ήταν πολύ µικρό για βασιλικό µνηµείο και α-παιτούσε το διπλασιασµό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχή-µα. Πανελλήνια γνωστό όµως έγινε το πρόβληµα αυτό όταν αναφέρθηκε από το µαντείο του ∆ήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το µαντείο, τι πρέ-πει να κάνουν για να απαλλαγούν από το λοιµό που µάστιζε το νησί ∆ήλο, απάντησε ότι τούτο θα συµβεί αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωµό του Απόλ-λωνα. Έτσι το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου πέρασε στην ιστορία µε το όνοµα "∆ήλιο πρόβληµα". Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβληµα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθη-καν και φθάσανε σε µάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιµήδη Ευτόκιο (6 αι. µ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβληµα του Αρχιµήδη και τη µέ-θοδο που αυτός χρησιµοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεµ-βολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οι λύσεις που δίνει είναι 12 και η αρχαιότερη είναι του Αρχύτα. Οι κυριότερες από τις γνωστές λύσεις προέρχονται από τους : � Ο Ιπποκράτης ο Χίος (470-400 π.χ) � Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος (428-365 π.χ) � Ο Πλάτων (427-347 π.χ) � Ο Μέναιχµος (375- π.χ) � Ο Αρχιµήδης (287-212 π.χ) � Ο Ερατοσθένης (276-194 π.χ) � Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) � Ο Νικοµήδης (έζησε γύρω στο 200 π.χ) � Ο Ήρων ο Αλεξανδρινός (1ος -2ος αι. µ.χ) � Ο ∆ιοκλής (1ος αι. π.χ) � Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. µ.χ) 2.3.2 Η Τριχοτόµηση γωνίας Σήµερα δεν γνωρίζουµε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβληµα της τριχοτόµησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουµε όµως ότι αποτε-λούσε το ένα από τα τρία µεγάλα προβλήµατα µετά το ∆ήλιο και τον τετρα-γωνισµό του κύκλου. Ουσιαστικά το πρόβληµα έγκειται στην τριχοτόµηση ο-ξείας γωνίας, διότι αν είναι αµβλεία αφαιρούµε από αυτήν την ορθή που µπο-ρεί να τριχοτοµηθεί µε χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόµηση όµως µιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγµατοποιηθεί µόνο µε χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθµού χωρίς να µπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγµατι από τη τριγωνοµετρία µας είναι γνωστή η σχέση

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 17 από 78

στην οποία αν θέσουµε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουµε τις πράξεις θα φθά-σουµε στη x3-3αx2-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόµησης. Η κατα-σκευή µε χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή µό-νο αν µπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθµιο και ένα δευτεροβάθµιο, όµως αυτό αποδείχθηκε µόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο. Οι αρχαίοι Έλληνες γεωµέτρες όταν οι προσπάθειές τους µε το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καµπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες µεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσµα αυτής της προσπάθειας ήταν η ε-πινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καµπύλης στην ελληνική Γεω-µετρία, µετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, µε τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήµατος.

Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωµέτρες που ασχοληθήκανε µε το πρόβληµα της τριχοτόµησης της γωνίας είναι : � Ο Ιππίας ο Ηλείος (περίπου 430 π.χ) � Ο Αρχιµήδης (287-212 π.χ) � Ο Νικοµήδης (περίπου 200 π.χ) � Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. µ.χ). 2.3.3 Ο Τετραγωνισµός του κύκλου Η µέτρηση του εµβαδού του περικλειοµένου από κάποιο σχήµα, ήταν σε ό-λους τους λαούς, από την εποχή που ακόµη η γεωµετρία ήταν εµπειρικής µορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωµετρών. Από τη στιγµή που διαλέξανε σαν µονάδα µέτρησης των εµβαδών, το τετράγωνο µε πλευρά τη µονάδα µή-κους, αυτόµατα τέθηκε και το πρόβληµα του τετραγωνισµού των διαφόρων σχηµάτων. Αρχικά "τετραγωνίστηκαν" δηλαδή προσδιορίστηκε το εµβαδόν τους, τα ορ-θογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραµµα και ορισµένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισµός σχηµάτων περι-κλειοµένων από καµπύλες γραµµές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τε-

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 18 από 78

τραγωνισµός του κύκλου, το τρίτο από τα µεγάλα προβλήµατα της αρχαιότη-τας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το µεγά-λο εµπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν µεγάλα ονόµατα. Η απαίτηση του προβλήµατος είναι να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναµο µε δοσµένο κύκλο, αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και x η ζητούµενη πλευρά του τετραγώνου, πρέπει να αληθεύει η σχέση :

όπου π ο λόγος του µήκους της περιφέρειας προς το µήκος της διαµέτρου του κύκλου. Παρόλο που εµπειρικά είχε διαπιστωθεί ότι ο λόγος π της περιφέρει-ας προς τη διάµετρο διατηρείται σταθερός, ωστόσο η κατασκευή αυτού του λόγου και όταν ακόµη η Γεωµετρία εφοδιασµένη µε την απόδειξη είχε γίνει επιστήµη, στάθηκε αδύνατη. Υπήρξαν κατασκευές του π µεγαλοφυείς κατά τη σύλληψη όχι όµως πραγµατοποιηµένες σύµφωνα µε την απαίτηση του "χάρα-κα και του διαβήτη" που έθεταν τότε. Παράλληλα έγιναν µεγαλειώδεις προ-σπάθειες υπολογισµού της τιµής του π, οι οποίες µε πρωτεργάτη τον Αρχιµή-δη, έδωσαν ένδοξα αποτελέσµατα.

Ο πρώτος που ασχολήθηκε µε τον τετραγωνισµό του κύκλου είναι ο Αναξα-γόρας ο Κλαζοµένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ) ο σοφιστής Α-ντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώ-της σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβληµα του τετρα-γωνισµού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β' µισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. µ.χ) και τον ∆εινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του Μέναιχµου. Ο Ιάµβλιχος (250-325 µ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισµό του κύκλου κα-τόρθωσαν : � O Αρχιµήδης (267-212 π.χ) µε τη βοήθεια της "Έλικας". � Ο Νικοµήδης (περίπου 200 π.χ) µε την καµπύλη που ονοµαζόταν "ιδί-ως τετραγωνίζουσα". � Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) µε την καµπύλη που ονόµαζε ο ίδιος "α-δελφή της κοχλοειδούς" που ήταν όµως ίδια µε την καµπύλη του Νικοµήδη. � Ο Κάρπος µε κάποια καµπύλη την οποία ονοµάζει απλά "εκ διπλής κι-νήσεως προερχοµένη".

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 19 από 78

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 20 από 78

3. Ο ΑΡΧΙΜΙ∆ΗΣ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΤΟΥ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 21 από 78

3.1. Αρχιµήδης

Ο Αρχιµήδης (287π.Χ.-212π.Χ.) ήταν ένας από τους µεγαλύτερους µαθηµατικούς ,φυσικούς και µηχανικούς της αρχαιότητας. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, τη µεγάλη ελληνική αποικία της Σικελίας. Πατέρας του Αρχιµήδη ήταν ο αστρονόµος Φειδίας ενώ συγγενής του ήταν και ο βασιλιάς των Συρακουσών, Ιέρων Α΄. Παρ' όλο που καταγόταν από ευγενική γε-νιά, ο Αρχιµήδης αρνήθηκε να πάρει οποιοδήποτε αξίωµα, επιµένοντας να διαθέτει όλο του τον χρόνο στη σπουδή και τη µάθηση. Γι' αυτόν τον λόγο ταξίδεψε στην Αλεξάνδρεια και ήρθε σε επαφή µε τους Ερατοσθένη και ∆οσίθεο, ενώ ήταν φίλος και συµµαθητής του Κόνωνα του Σάµιου.

3.2. Το έργο του Το έργο του Αρχιµήδη υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, και η ε-ρευνητική µατιά του κάλυψε πολλούς το-µείς: γεωµετρία, οπτική (κατοπτρική),υδραυλική, µηχανική, αρχιτεκτονική και την πολιορκητική. Συνέδεσε το όνοµά του µε τη γένεση της µηχανικής στην αρχαία Ελλάδα, τη λύση περίφηµων µαθηµατικών προβληµάτων, καθώς και µε τις αµυ-ντικές εφευρέσεις του που χρησιµοποιήθηκαν όταν οι Ρωµαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του, τις Συρακούσες. Σχολιαστής του έργου του Αρχιµήδη υπήρξε ο Ευτόχιος ο Ασκαλωνίτης. Ο Αρχι-µήδης έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωµετρία και στερεοµετρία, την αριθµητική και τα µαθηµατικά. Επίσης ανακάλυψε την αρχή του ειδικού βά-ρους και του µοχλού. Μία µέρα ο βασιλιάς παρήγγειλε στο µεγαλύτερο καλλιτέχνη των Συρακουσών να του φτιάξει µία κορώνα από καθαρό χρυσάφι. Όταν ο βασι-λιάς πήρε την κορώνα, άρχισαν να διαδίδονται φήµες πως ο καλλιτέχνης τον είχε κοροϊδέψει, παίρνοντας ένα µέρος από το χρυσάφι και αντικαθιστώντας το µε άλ-λο µέταλλο.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 22 από 78

Ωστόσο, η τελειωµένη κορώνα είχε το ίδιο βάρος µε το χρυσάφι του βασιλιά. Ο βασιλιάς κάλεσε τότε τον Αρχιµήδη να εξετάσει το ζήτηµα. Στα πειράµατά του, ο Αρχιµήδης βρήκε τον νόµο του ειδικού βάρους. Ανακάλυψε πως όταν έ-να στερεό σώµα µπει µέσα σε υγρό χάνει τόσο βάρος όσο είναι το βάρος του όγκου του υγρού που εκτοπίζει. Ο Αρχιµήδης επινόησε το σύστηµα να παίρνει το ειδικό βάρος των στερεών σωµά-των. Ζύγιζε πρώτα το στερεό στον αέρα και έπειτα το ζύγιζε µέσα στο νερό. Και αφού το στερεό ζύγιζε λιγότερο µέσα στο νερό, αφαιρούσε το βάρος που είχε µέ-σα στο νερό από το βάρος που είχε στον αέρα. Τέλος, διαιρούσε το βάρος του στερεού σώµατος στον αέρα µε την απώλεια βάρους που είχε το σώµα µέσα στο νερό. Έµαθε έτσι, πως ένας δοσµένος όγκος από χρυσάφι ζυγίζει 19,3 φορές τον ίσο όγκο νερού. Όµως, καθώς δεν µπόρεσε να προχωρήσει περισσότερο στο πρόβληµα της βασιλι-κής κορώνας, ο Αρχιµήδης σηκώθηκε να πάει στα λουτρά για να ξεκουραστεί. Εκεί βρήκε τη λύση. Μέσα στον ενθουσιασµό του βγήκε από το λουτρό γυµνός στο δρόµο φωνάζοντας: "Εύρηκα! Εύρηκα!".

3.3. Ο θάνατος του Όταν άρχισε η πολιορκία των Συρακουσών από τους Ρωµαίους, οι πολεµικές µη-χανές του Αρχιµήδη αποδείχτηκαν εξαιρετικά χρήσιµες: αρχιτρόνιτο (πυροβόλο ατµού), καταπέλτες, άρπαγες (µηχανισµός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοί-α) και κάτοπτρα για την καύση των Ρωµαϊκών εχθρικών πλοίων (µε παραβολι-κά ηλιακά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράµατα του µηχανικού Ιωάννη Σακκά, ο οποίος το 1973 απέδειξε τον τρόπο µε τον οποίο ο Αρχιµήδης έκαψε τον ρωµαϊκό στόλο). Ωστόσο οι Ρωµαίοι όλο και πλησίαζαν. Ο Αρχιµήδης µισούσε τους εισβολείς αλλά δεν τους φοβότανε. Σύµφωνα µε την παράδοση, όταν η πόλη µετά από τριετή α-ντίσταση των Ελλήνων, κατελήφθη µε προδοσία, ένας Ρωµαίος στρατιώτης µπήκε µέσα στο σπίτι του Αρχιµήδη την ώρα που µελετούσε κάποιο γεωµετρικό πρόβλη-µα. Ο Αρχιµήδης είπε στον στρατιώτη να βγει έξω και να µη διαταράξει τη σκέψη του, λέγοντάς το περίφηµο "Μη µου τους κύκλους τάραττε". Όµως ο στρατιώτης έβγαλε το σπαθί του και τον σκότωσε. Ο Αρχιµήδης αγαπούσε τόσο πολύ την εργασία του Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, ώστε είπε ότι θα ήθελε όταν πεθάνει να χαραχτεί στον τάφο του το σχήµα µι-ας σφαίρας εγγεγραµµένης σε κύλινδρο. Ο κατακτητής Μάρκελλος είχε αναπτύξει τέτοιο θαυµασµό και εκτίµηση για τον Αρχιµήδη ως αντίπαλο, ώστε όταν έµαθε πως σκοτώθηκε, τον έθαψε µε µεγάλη µεγαλοπρέπεια και τελετές και έστησε στον τάφο του µια πέτρινη στήλη πάνω στην οποία ήταν σκαλισµένο το σχήµα που είχε ζητήσει ο Αρχιµήδης. Πολλά χρόνια αργότερα, όταν ο Κικέρωνας επισκέφτηκε τις Συρακούσες σαν Ρω-µαίος έφορος, κανείς δεν ήξερε να τον οδηγήσει στον τάφο του Αρχιµήδη. Μετά από πολλές έρευνες βρήκε την ταφόπετρα ανάµεσα σε ψηλούς βάτους και ξανά-φτιαξε το έδαφος γύρω από τον τάφο. Με το πέρασµα του χρόνου όµως, ο τάφος παραµελήθηκε και όλα έδειχναν ότι µε την αύξηση της πόλης ο τάφος θα χανόταν οριστικά. Όµως το 1965, σκάβοντας για τη θεµελίωση ενός νέου ξενοδοχείου στις Συρακούσες, ένας εκσκαφέας σήκω-σε µία ταφόπετρα µε σκαλισµένο πάνω της το σχήµα µιας σφαίρας εγγεγραµµένης σε κύλινδρο σκαλισµένο. Έτσι ανακαλύφτηκε ο τάφος του Αρχιµήδη.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 23 από 78

3.4. Οι εφευρέσεις του

• Αστρονοµική συσκευή • Βαρουλκός • Γερανοί" (Αρπάγες) • Καταπέλτες • Κάτοπτρα • Κοχλίας ή έλιξ • Οδόµετρο (δροµόµετρο) • Πλανητάριον (σφαίρα) • Πολύσπαστον" (Βαρούλκο), "τρίσπαστο" • Σίφων • Οστοµάχιον (επιτραπέζιο παιγνίδι το πρώτο παζλ) • Τηλεβόλον Αρχιµήδους • Χαριστίων (µοχλός) • Ωρολόγιο υδραυλικό • Αραιόµετρον • Η Σιδηρά χειρ

3.4.1. Η «σιδηρά χειρ»

Εντυπωσιακή αµυντική πολεµική µηχανή που επινόησε ο Αρχιµήδης για την αντι-µετώπιση των ρωµαϊκών πεντηκοντόρων στην πολιορκία των Συρακουσών. Απο-τελούνταν από µία µακριά αρθρωτή δοκό που στηριζόταν σε µια περιστρεφόµενη κατακόρυφη δοκό ή πλατφόρµα. Στο ένα άκρο της η δοκός έφερε µία αρπάγη

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 24 από 78

(«σιδηρά χειρ») που αιωρείτο µέσω αλυσίδας και στο άλλο άκρο της ένα ολισθαί-νον αντίβαρο. Η µηχανή σε ηρεµία ήταν τοποθετηµένη κατά µήκος του τείχους σε οριζόντια θέ-ση (ώστε να µην είναι ορατή από τη θάλασσα) τανυσµένη και ασφαλισµένη µέσω σχοινιού και χειροκίνητου βαρούλκου (για την εξισορρόπηση του αντιβάρου). Όταν ένα σκάφος πλησίαζε το τείχος οι χειριστές έριχναν την αρπάγη εναντίον του και περιστρέφανε την κατακόρυφη δοκό (µέσω οριζόντιων χειροµοχλών). Ό-ταν η αρπάγη προσκολλιόταν πάνω στο σκάφος οι χειριστές µε το τράβηγµα µιας ειδικής λαβής («κατακλείς») απελευθέρωναν το σχοινί εξισορρόπησης του αντιβά-ρου και το άκρο της δοκού που έφερε το αντίβαρο χαµήλωνε προς το έδαφος ενώ το άκρο που έφερε την αρπάγη σηκωνόταν ανατρέποντας ή ανυψώνοντας το αγ-γιστρωµένο πλοίο. Με την κλίση της ράβδου το αντίβαρο ολίσθαινε προς τα πίσω εξασκώντας ακόµη µεγαλύτερη ροπή και κλίση στη δοκό. Όταν το ολισθαίνον αντίβαρο έφθανε στο τέλος της διαδροµής του και αφού σταθεροποιούνταν η δοκός οι χειριστές έκοβαν το σχοινί συγκράτησης της αλυσίδας της αρπάγης ώστε το αιωρούµενο πλοίο τσα-κιστεί στο νερό ή τα παρακείµενα βράχια. 3.4.2. Ο λιθοβόλος γερανός

Αµυντική πολεµική µηχανή που επινόησε ο Αρχιµήδης για την αντιµετώπιση των ρωµαϊκών πεντηκοντόρων στην πολιορκία των Συρακουσών. Αποτελούνταν από µία µακριά αρθρωτή δοκό που στηριζόταν σε µια περιστρεφόµενη κατακόρυφη δοκό ή πλατφόρµα. Στο ένα άκρο της η δοκός έφερε ένα αντίβαρο και από άλλο αναρτιόταν µέσω σχοινιού το φορτίο (π.χ. ένας µεγάλος λίθος ή ένα µολύβδινο βάρος). Η µηχανή σε ηρεµία ήταν τοποθετηµένη κατά µήκος του τείχους σε ορι-ζόντια θέση (ώστε να µην είναι ορατή από τη θάλασσα) τανυσµένη και ασφαλι-σµένη µέσω σχοινιού και χειροκίνητου βαρούλκου (για την εξισορρόπηση του α-ντιβάρου). Όταν ένα σκάφος πλησίαζε το τείχος, οι χειριστές ελευθέρωναν ελεγ-χόµενα το βαρούλκο ώστε να ανυψωθεί ελαφρά το άκρο της δοκού και να περάσει µε ασφάλεια το φορτίο από τα τείχη, περιστρέφοντας τη σταθµισµένη κατακόρυ-φη δοκό (µέσω οριζόντιων χειροµοχλών). Όταν το φορτίο βρισκόταν από πάνω από το πλοίο έκοβαν το σχοινί για να πέσει µε σφοδρότητα στο στόχο.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 25 από 78

3.4.3. Το αραιόµετρο του Αρχιµήδη

Πρόκειται για ένα όργανο ελέγχου της πυκνότητας των υγρών. Η λειτουργία του βασίζεται στην περίφηµη αρχή της άνωσης του Αρχιµήδη που εικάζεται ότι είναι και ο εφευρέτης του. Αποτελούνταν από ένα µεταλλικό σωληνίσκο µε διαβαθµί-σεις (φραγµένο στο ένα άκρο του) που βυθιζόταν στο ελεγχόµενο υγρό. Η πυκνό-τητα του υγρού υποδεικνυόταν από την υποδιαίρεση του οργάνου που αντιστοι-χούσε στη θέση ισορροπίας του. 3.4.4. «Εύρηκα» Ο Αρχιµήδης µπαίνει στη µπανιέρα για να πλυθεί και η µπανιέρα είναι γεµάτη µε νερό . Εστιάζει την προσοχή του ότι κατά τη διάρκεια της δικής του εισόδου χύνε-ται έξω όλο και περισσότερο νερό καθώς εκείνος συνεχίζει να µπαίνει , καθώς δη-λαδή όλο και περισσότερο µέρος από το σώµα του βυθίζεται στο νερό. Το έχει προσέξει κι άλλες φορές αλλά αυτή τη φορά τον επισκέπτονται δύο ιδέες, η µία µετά την άλλη. Η πρώτη η Ι∆ΕΑ είναι ότι το νερό που χύνεται είναι ίσο σε όγκο µε τον όγκο-εκτόπισµα- του σώµατός του και ότι αυτό θα έπρεπε να ισχύει µε οποιοδήποτε α-ντικείµενο. Θα µπορούσε δηλαδή να ανάγει τον όγκο οποιουδήποτε στερεού αντι-κειµένου σε ίσο όγκο νερού και να τον υπολογίζει µε βάση τη Γεωµετρία του Ευ-κλείδη. Η δεύτερη Ι∆ΕΑ είναι εκείνη που συσχετίζει το νερό της µπανιέρας µε το πρόβλη-µα για το στέµµα. Φαντάζεται ότι ΑΝ το βύθιζε στο νερό της µπανιέρας - ή σε ο-ποιαδήποτε ποσότητα νερού σε άλλο δοχείο µικρότερο- το πόσο νερό θα χυνόταν

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 26 από 78

έξω εάν η µπανιέρα ήταν γεµάτη ή «το πόσο θα ανέβαινε η στάθµη» εάν δεν ήταν γεµάτη θα τον οδηγούσε στην απάντηση στο ερώτηµα «πόσο όγκο έχει το στέµ-µα». Με παρόµοιο τρόπο θα υπολόγιζε τον όγκο καθαρού χρυσού µε βάρος όσο το βάρος του στέµµατος και είναι γνωστό ότι διέθετε καθαρό χρυσάφι. Η σύγκριση των τιµών των όγκων θα έδινε απάντηση στο ερώτηµα « το στέµµα είναι από κα-θαρό χρυσάφι ; ». Οι δύο ιδέες τον οδηγούν στη λύση του προβλήµατος και – σύµφωνα µε τον θρύ-λο και µε Ρωµαίους χρονικογράφους µεταγενέστερους– ενθουσιάστηκε, και βγήκε γυµνός στους δρόµους των Συρακουσών φωνάζοντας

3.4.5. Το Βοεικό Πρόβληµα Το πρόβληµα ζητά να βρεθεί το πλήθος βοδιών και αγελάδων ενός κοπαδιού, από κάποια απλά αριθµητικά δεδοµένα. Ένας έµπειρος µαθηµατικός δεν έχει καµία δυ-σκολία να καταστρώσει γρήγορα τις εξισώσεις από τα επιτάγµατα του προβλήµα-τος. Όµως ο Αρχιµήδης αναφέρει στους τελευταίους στίχους του ποιήµατος ότι «αν καταφέρεις, ξένε, να εκφράσεις όλα τα µεγέθη των πληθών, πήγαινε υπερη-φανευόµενος ότι αναδείχθηκες νικητής γνωρίζοντας ότι κρίθηκες τέλειος σε αυτού του είδους την σοφία (δηλαδή στην ικανότητα µε τους αριθµούς)». Ο τελευταίος αυτός στίχος φαίνεται προκλητικός. Είναι σαν να λέει ο Αρχιµήδης ότι δεν θα τα καταφέρει ο λύτης. Πού όµως έγκειται η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαµβάνεται ο ανυποψίαστος επίδοξος λύτης είναι ότι ο Αρχιµήδης επέλεξε µε τέτοια µαεστρία τα δεδοµένα του προβλήµατος ώστε η απάντηση, χωρίς να προδί-δεται κάτι τέτοιο από τα δεδοµένα, είναι τόσο µεγάλος αριθµός, που είναι αδύνα-τον να το γράψει κάτω κανείς. Πράγµατι, µόνο το 1965 και µε χρήση ισχυρότα-των ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η καταγραφή των πληθών. Πρόκει-ται για οκτώ αριθµούς µε 200.000 ψηφία ο καθένας. Για να καταγράψει κανείς τους οκτώ αριθµούς του Αρχιµήδη, πρέπει να γράψει περισσότερα ψηφία από όσα γράµµατα έχουν 600 σελίδες κειµένου, χώρια οι πράξεις για να φτάσει κανείς µέ-χρι εκεί. Κάτι, φυσικά, πέρα από τις ανθρώπινες δυνάµεις.

3.4.6. Το υδραυλικό ρολόι. Για το υδραυλικό ρολόι του Αρχιµήδη µας πληροφορούν τρεις αρχαίες πηγές: ο Βιτρούβιος (1ος π.χ. αι.), ο Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος µ.Χ. αι.) και ένα αραβικό σχόλιο πολύ µεταγενέστερο, δευτερευούσης σηµασίας. Στη νεότερη εποχή πρώτος ο βαρόνος Καρά ντε Βο (Carra de Vaux) το 1981 ανέφερε ότι υπήρχε ένα αραβικό χειρόγραφο µε περιγραφή ενός υδραυλικού ρολογιού που αποδίδεται στον Αρχι-µήδη. Πρόκειται για το χειρόγραφο «Kitab Arshimidas fi’ amai al binkamat» («To βιβλίο του Αρχιµήδη για την κατασκευή των υδραυλικών ρολογιών»). Στα 1918 οι Ε. Βίντεµαν (E. Wiedemann) και Φ. Χάουζερ (F. Hauser) δηµοσίευσαν µια γερµα-νική µετάφραση του έργου από τα αραβικά, χρησιµοποιώντας δύο χειρόγραφα, από το Πάριοι και το Λονδίνο, συν ένα απόσπασµα από την Οξφόρδη. Τη γερµανι-κή µετάφραση χρησιµοποίησε ο Ευάγγ. Σταµάτης και µετέφρασε το κείµενο του Αρχιµήδη στα ελληνικά, ενσωµατώνοντας το στα Άπαντα του Αρχιµήδη. Τονίζο-ντας τη µεγάλη αξία του έργου αυτού σηµειώνει: «∆ια πρώτην φοράν περιλαµβά-νεται η πραγµατεία αυτή εις έκδοσιν έργων του Αρχιµήδους. Εκ της σπουδής του γερµανικού κειµένου πειθόµεθα ότι η µετάφρασις των Αράβων δεν είναι η ακριβής απόδοσις του Αρχιµηδείου κειµένου αυτής. Πιθανόν και οι Άραβες µεταφρασταί να παρέλαβαν το κείµενον της ελληνικής πραγµατείας εις την γλώσσαν του Βυζαντί-ου της εποχής εκείνης. Το ωρολόγιον του Αρχιµήδους δεν είναι τύπος κλεψύδρας, αλλά µηχανισµός ωρολογίου, όπου αντί του σηµερινού ελατηρίου χρησιµοποιείται

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 27 από 78

ροή ύδατος. Λεν είναι γνωστόν αν υπήρχεν αρχαιότερον συναφές αυτόµατον µη-χάνηµα και θεωρούµεν πολύ πιθανόν ότι τα αυτόµατα µηχανήµατα του Ήρωνος (1ος µ.Χ. αιώνας) και τα αυτόµατα µηχανήµατα των ανακτόρων του Βυζαντίου έχουν την αρχήν των εις το υδραυλικόν ωρολόγιον του Αρχιµήδους». Μέσω αυτής της συγκλονιστικής εργασίας γνωρίζουµε σήµερα ότι ο µεγάλος Συ-ρακούσιος είχε γράψει πραγµατεία για κάποιο υδραυλικό ρολόι, της οποίας γνωρί-ζουµε µόνο τον αραβικό τίτλο, «Ωρολόγιον».

Πρόκειται, αναµφισβήτητα, για µοναδικό ντοκουµέντο, που εµπλουτίζει την ελλη-νική βιβλιογραφία σχετικά µε τις δυνατότητες της υδραυλικής µηχανικής την επο-χή εκείνη. Η πραγµατεία αναφέρεται στις αραβικές βιβλιογραφίες από τον Ιµπν Ισχάκ αλ Ναντίµ (Ibn Ishaq al Nadim) (πέθ. 995) µε τον τίτλο «Συγγραφή περί του οργάνου των ωρών, το οποίον ρίπτει σφαιρίδια» και στην Ιστορία των Λογίων (Ta' rich al Huqama), από τον Ιµπν αλ Κίφπ (Ibn al- Qifti) (πέθ. 1248) µε τον τίτ-λο «Συγγραφή περί των ωρών των οργάνων τα οποία ρίπτουν σφαιρίδια». Επι-πρόσθετα, ο Αλ Ακφάνι (Al-Akfani) (πέθ. 1348), στο έργο του «Ορθή κατεύθυνσις του επιδιώκοντας προς τα ύψη των επιδιωκοµένων», δίνει έµφαση στην αξία της γνώσης του Αρχιµήδη για τα ρολόγια, λέγοντας ότι: «Η συγγραφή του Αρχιµή-δους παρέχει το υπόβαθρον δια την γνώσιν αυτών». Ακόµη πρέπει να προστεθεί ότι τόσο ο Αλ Γκαζάρι (Al-Gazari), όπως επίσης και ο Ρίντβαν (Ridwan) - όπως δηλώνουν και οι ίδιοι - γνώριζαν το έργο αυτό του Αρχιµήδη και το χρησιµοποίη-σαν στην κατασκευή των δικών τους ρολογιών. Αµέσως µετά τη δηµοσίευση του έργου στα ελληνικά ο Ι. Σακάς άρχισε να µελετά επισταµένως το µηχανισµό, να κάνει διάφορα σχέδια και πειραµατισµούς, πάντα «...µε το πνεύµα και τις γνώσεις του Αρχιµήδη», όπως δήλωσε σε σχετικό κείµενο του, και τούτο επειδή - κατά την άποψη του - οι αραβικές πηγές δεν έδιναν σαφή στοιχεία για το όργανο. Τελικά, έπειτα από αρκετά χρόνια µελέτης κατ πειραµατισµών, ο Ι. Σακάς ανακοί-νωσε στον Τύπο την κατασκευή του ρολογιού κατ το γεγονός έγινε ευρύτατα γνωστό. Σε σχετικό ολιγοσέλιδο έντυπο που µοίρασε αναφορικά µε τη δηµοσίευση του έργου του, το Σεπτέµβριο του 1991, σηµειώνει ότι «το ρολόι κατασκεύασα µε υλικά πρόχειρα και παλαιά, αλλά τα κατασκεύασµα µου έχει πιθανότητα να οµοιά-ζει λειτουργικώς µε εκείνο του Αρχιµήδους, επειδή αφ’ ενός περιέκοψα τις κατά τη

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 28 από 78

γνώµη µου βοηθητικές λειτουργίες, εκείνες που θα προσετέθησαν κατά την επα-νάληψη του, στο πέρασµα των αιώνων, από τους Βυζαντινούς, τους Πέρσες κατ τους Άραβες, αφ’ ετέρου διαµόρφωσα σε τέτοιο τρόπο το ανατρεπόµενο δοχείο των βοηθητικών λειτουργιών, µε τη βοήθεια της θεωρίας του κέντρου βάρους και των µοχλών του Αρχιµήδους και αλληλοσυνέδεσα τις βοηθητικές λειτουργίες έτσι ώστε να εξασφαλισθεί ο ταυτοχρονισµός των και να βελτιωθεί η όλη λειτουργία του ρολογιού».

3.4.7 Τηλεβόλον Αρχιµήδους Το Τηλεβόλον ήταν ένα βαρύ όπλο του πυροβολικού της αρχαίας Ελλάδας που εφευρέθηκε από τον Αρχιµήδη. Η κατασκευή του ήταν απλή και αποτελείτο από έναν µπρούτζινο σωλήνα µε κλει-στό το ένα άκρο και λειτουργούσε σαν κανόνι. Στο κανόνι έβαζαν λίγο νερό και µετά το έκλειναν µε µια σφαίρα βάρους 8 κιλών. Πρόσθεταν την απαιτούµενη ενέργεια υπό την µορφή φωτιάς κάτω από το κλειστό άκρο του κανονιού. Το νερό θερµαινόταν και µετατρεπόταν σε ατµό, µετατρέπο-ντας την σφαίρα σε βλήµα που εκτινασσόταν σε αρκετή απόσταση. Ένας άλλος µεγάλος εφευρέτης, ο Λεονάρντο ντα Βίντσι µελέτησε αργότερα τις περιγραφές και µε υπολογισµούς βρήκε ότι το Τηλεβόλο πρέπει να είχε βεληνεκές 1.250 µέτρων. ∆εν είναι γνωστό αν η εφεύρεση αυτή του Αρχιµήδη µπήκε ποτέ σε λειτουργία.

3.4.8. Ο κοχλίας ή έλιξ Μία συσκευή που χρησίµευε στην άντληση νερού από ποτάµια, φρεάτια και στοές µεταλλίων. Σύµφωνα µε τον ∆ιόδωρο τον Σικελιώτη, στην Αίγυπτο την χρησιµοποιούσαν για την άρδευση αγρών που δεν πληµµύριζαν από τα νερά του Νείλου και στην Ισπα-νία για την άντληση νερού από τους υπονόµους και τα αδαµαντορυχεία. Στην πραγµατεία του «Βιβλιοθήκης Ιστορικής Βίβλος Πέµπτη» αποδίδει την ανακάλυψη αυτή στον Αρχιµήδη γράφοντας: «Η δέ νήσος αύτη πολλαίς διώρυξι χειροποιήτοις διείληπται καί χώραν περιέχει καλλίστην της Αιγύπτου. Ποταµόχωστος γάρ ουσα καί κατάρρυτος πολλούς καί

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 29 από 78

παντοδαπούς εκφέρει καρπούς, του µέν ποταµου διά τήν κατ’ έτος ανάβασιν νεα-ράν ιλύν αεί καταχέοντος, των δ’ ανθρώπων ραδίως άπασαν αρδευόντων διά τινος µηχανης, ήν επενόησε µέν Αρχιµήδης ο Συρακόσιος, ονοµάζεται δέ από του σχή-µατος κοχλίας».

(Το νησί λοιπόν αυτό (που σχηµατίζεται από το ∆έλτα) επειδή είναι χωµένο στον ποταµό παράγει σε µεγάλη ποσότητα κάθε είδους καρπών, ενώ ο εν λόγω ποτα-µός (ο Νείλος) εξαιτίας της ετήσιας πληµµύρας κατεβάζει νέα λάσπη και οι άνθρω-ποι αρδεύουν όλη την περιοχή δια µηχανής την οποία επινόησε ο Αρχιµήδης ο Συρακούσιος και ονοµάζεται εξαιτίας του σχήµατος του, κοχλίας). Επιπλέον, σύµφωνα µε τον Αθήναιο αναφέρει ότι µε τη βοήθεια της αντλίας δια-τηρούσαν στεγνά τα αµπάρια του πλοίου «Συρακούσια». Μέθοδος κατασκευής του κοχλία, µε βάση την περιγραφή του Βιτρούβιου από τον J. G. Landels : Ο κοχλίας λειτουργούσε µε τη µυϊκή δύναµη ενός ανθρώπου που πατούσε σε βαθµίδες στο εξωτερικό του κυλίνδρου και χρησιµοποιήθηκε για πολ-λούς αιώνες σε όλη την Μεσόγειο, τις χώρες της Β. Αφρικής και της Μέσης Ανατο-λής. Ειδικά στην Αίγυπτο εξακολουθεί να χρησιµοποιείται µέχρι και σήµερα και παρέχει 160 - 235 λίτρα ανά λεπτό.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 30 από 78

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 31 από 78

4. Ο ΕΥΚΛΕΙ∆ΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 32 από 78

4.1. Ο Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (325 π.Χ.-265 π.χ.), ήταν Έλληνας µαθηµατι-κός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεµαίου Α΄ (323 π.χ. - 283 π.χ.). Στις µέρες µας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωµετρίας. Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς έ-νας µεγάλος καινοτόµος αλλα κυρίως οργανωτής που συστηµατοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συµπεράσµατα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες προσωπικότητες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρηµάτων σε σύντοµους αυστηρούς όρους. Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωµετρικών αντικειµένων και των ακεραίων αριθµών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωµάτων, εµπνέοντας την αξιωµατική µέθοδο των µοντέρνων µαθηµατικών. Παρ' ότι πολλά από τα θεωρήµατα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα επιτεύγµατα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συµπαγές πλαίσιο. Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σηµα-ντικό ώστε η γεωµετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του (η βάση της οποίας εί-ναι: έστω µία ευθεία ε και ένα σηµείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία, τότε υπάρ-χει µόνο µία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α) ονοµάστηκε Ευ-κλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήµερα θεωρούνται ένα από τα σηµαντικότερα µαθηµα-τικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεµαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να µάθει Γεωµετρία η απάντηση του µεγάλου µα-θηµατικού ήταν: «∆εν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωµετρία». Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά µε την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό µέλος της βιβλιοθήκης της Αλε-ξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδηµία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Παλλάδας για τις µαθηµατικές του εργασίες και γι' αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεµαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του µας παραµένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασµένα µε έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.

Το όνοµα του Ευκλείδη είναι συνώνυµο µε την γεωµετρία. Τα «στοιχεία» είναι ένα από τα πιο σηµαντικά έργα στην ιστορία των µαθηµατικών. Έχουν χρησιµοποιηθεί σαν βάση για την γεωµετρική εκπαίδευση όλης της ∆ύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια. ∆εν υπάρχουν πολλές αναφορές στη ζωή του Ευκλείδη. ∆εν ξέρουµε τις ακριβείς ηµεροµηνίες γέννησης και θανάτου του. Γεννήθηκε περίπου το 325 π.χ. και πέθανε το 265 π.χ. Αν και υπάρχουν αµφιβολίες λέγεται ότι µαθήτευσε στην ακαδηµία του Πλάτωνα και έµεινε εκεί µέχρις ότου ο Πτολεµαίος τον προσκάλεσε να δι-δάξει στο νέο του πανεπιστήµιο στην Αλεξάνδρεια. Εκεί ο Ευκλείδης ίδρυσε τη µαθηµατική σχολή του και έµεινε µέχρι το τέλος της ζωής του.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Σελίδα 33 από 78

Οι µέθοδοι διδασκαλίας του είχαν εµπνευστεί από αυτές του Αρχιµήδη. Είχε τη φήµη ότι ήταν δίκαιος, υποµονετικός, έντιµος και ευγενικός. Παρόλα αυτά ήταν και σαρκαστικός: Μια ιστορία λέει ότι ένας από τους σπουδαστές του παραπονέθηκε ότι δεν είχε κανένα κέρδος από τα µαθηµατικά που µάθαινε. Τότε ο Ευκλείδης κά-λεσε γρήγορα στο σκλάβο του για να δώσει στο αγόρι ένα νόµισµα επειδή "έπρεπε να κερδίσει από αυτά που µαθαίνει." Μια άλλη ιστορία λέει ότι ο Πτολεµαίος τον ρώτησε εάν υπάρχει κάποιος ευκολότερος τρόπος να µάθει γεωµετρία απ' ό,τι µε την εκµάθηση όλων των θεωρηµάτων. Ο Ευκλείδης απάντησε ότι «δεν υπάρχει βασιλικός δρό-µος στη γεωµετρία» και έστειλε το βασιλιά στη µελέτη.

4.2. Έργα του Ευκλείδη.

Άλλα έργα του εκτός από τα στοιχεία είναι τα «δεδοµένα», τα «τµήµατα των αριθµών», τα «φαινόµενα» και τα «οπτικά». Όλα είναι στα αρχαία Ελ-ληνικά εκτός από τα «τµήµατα των αριθµών» που έχουν διατηρηθεί µόνο µέρη τους στα Αραβικά. Όλα έχουν την βασική δοµή των «στοιχείων» µε ορισµούς και αυστηρά αποδεδειγµένες προτάσεις.

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑ∆Α ΤΑΞΗ: Α

Σελίδα 34 από 78

Τα «δεδοµένα» είναι άµεσα συσχετιζόµενα µε τα πρώτα τέσσερα βιβλία από τα στοιχεία καθώς αφορούν ορισµούς, αξιώµατα. Τα «τµήµατα των αριθ-µών» αποτελούνται από 36 προτάσεις – υποδείξεις για τον διαχωρισµό διάφορων σχηµάτων σε ένα ή δύο ίσα µέρη ή µε συγκεκριµένες αναλογίες. Τα φαινόµενα έχουν να κάνουν µε τα σφαιρικά σχήµατα και έχουν σα σκο-πό να εξηγήσουν τις κινήσεις των πλανητών. Τα «οπτικά» είναι το πιο πρό-σφατο διασωθείς. Στους ορισµούς του ακολουθεί την Πλατωνική παράδοση που λέει ότι η όραση προέρχεται από ιδιαίτερες ακτίνες που προέρχονται από το µάτι. Σχετίζει το µέγεθος των αντικειµένων µε την απόσταση και την γωνία θέασης.

4.3. Τα στοιχεία Στα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης παρουσιάζει όλη την στοιχειώδη Ελληνική γεωµετρική γνώση. Περιλαµβάνει θεωρήµατα και σύ-νταξη της επίπεδης και στερεάς γεωµετρίας, µαζί µε την θεωρία των ανα-λογιών, συµµετριών, αριθµών και έναν τύπο γεωµετρικής άλγεβρας. ∆εν ήταν ο µόνος που έγραψε στοιχεία γεωµετρίας. Υπήρχαν και άλλοι πριν από αυτόν όπως ο Ιπποκράτης από τη Χίο και άλλοι. Ωστόσο τα έργα του Ευ-κλείδη αναγνωρίστηκαν γρήγορα ως ανώτερα. ∆εν είναι γνωστό κατά πόσο όλα τα θεωρήµατα ήταν δικά του. Υπάρχουν επιρροές από τον Θαλή, τον Ιπποκράτη και τον Πυθαγόρα. Παρόλα αυτά η διαµόρφωση των στοιχείων είναι αποκλειστικά δική του. Κάθε τόµος απαριθµεί διάφορους ορισµούς και αξιώµατα που ακολουθού-νται από τα θεωρήµατα, τα οποία ακολουθούνται από τις αποδείξεις. Κάθε δήλωση αποδείχθηκε, ανεξάρτητα αν είναι προφανής. Ο Ευκλείδης επέλεξε τα αξιώµατά του προσεκτικά, επιλέγοντας µόνο τις πιο βασικές και αυτονό-ητες προτάσεις ως βάση της εργασίας του. Πριν