1 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Έστω RA και RB .

Συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β λέγεται κάθε διαδικασία με την οποία

κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του Β. Τις συναρτήσεις

τις ονομάζουμε συνήθως με τα γράμματα ,,, hgf κ.λ.π.

Μία συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β συμβολίζεται: :f .

Το Α λέγεται πεδίο ορισμού της f .

Αν το στοιχείο Ax αντιστοιχίζεται στο By , γράφουμε )(xfy και το )(xf το

λέμε τιμή της συναρτήσεως f στο x .

Το x παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου Α και ονομάζεται ανεξάρτητη

μεταβλητή, ενώ το y παριστάνει την τιμή της f στο Ax και ονομάζεται

εξαρτημένη μεταβλητή.

Με )(Af συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f . Δηλαδή:

AxxfyByAf ),(/)(

Επομένως μία συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β συμβολίζεται

αναλυτικότερα ως εξής:

:f

)(xfyx

Σύμφωνα με τα παραπάνω κατανοούμε ότι μια συνάρτηση f είναι καλά ορισμένη

όταν γνωρίζουμε:

i. Το πεδίο ορισμού της Α

ii. Το σύνολο Β

iii. Τον τύπο με τον οποίο δίνονται οι τιμές της f , δηλαδή το )(xf .

Πολλές φορές στις ασκήσεις μας δίνουν μόνο τον τύπο )(xf μιας συνάρτησης. Τότε

ως Β θα παίρνουμε το R , ενώ ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του R για

κάθε στοιχείο x του οποίου το )(xf θα έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f το συμβολίζουμε με fA ή fD .

2 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

i) 8635)( 24 xxxxf

ii) 9

3)(

2

2

x

xxg

iii) 209

3)(

2

xx

xxh

iv) 2

1)(

2

2

xx

xxx

Λύση:

i) Παρατηρούμε ότι για κάθε Rx το Rxf )( , οπότε RAf .

ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R .

ii) Πρέπει:

3303030)3)(3(092 xxxxxxx

Επομένως ),3()3,3()3,( gA .

ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε ρητή συνάρτηση (δηλαδή κάθε κλασματική συνάρτηση της οποίας

ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι πολυώνυμα) έχει ως πεδίο ορισμού όλο το

R εκτός από εκείνες τις τιμές του R που μηδενίζουν τον παρανομαστή του

κλάσματος.

iii) Πρέπει 03 x και 02092 xx , δηλαδή 3x και ( 4x ή 5x )

Επομένως: ),5()5,4()4,3[ hA .

iv) Πρέπει 022 xx . Επειδή 07 η ανίσωση αυτή ισχύει για κάθε Rx .

Επομένως RA .

Υπάρχουν συναρτήσεις που ορίζονται με ένα τύπο ο οποίος έχει δύο ή

περισσότερους κλάδους.

3 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Δίνονται οι συναρτήσεις:

i) 1,

1,

31

1)(

2

x

xx

xxf

ii)

0,

0,

0,

.

53

4

13

)(2

2

x

x

x

xx

xx

xg

Να βρεθούν οι τιμές )2(),0(),2(),3(),1(),0(),2( gggffff .

Λύση:

3

5

3

14

12

1)2()2(

2

f

110

1)0()0(

2

f

3)1( f

52

10

13

13)3(

2

f

111641)2(3)2()2( 2 g

4)0( g

155645232)2( 2 g

4 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω μία συνάρτηση Rf : και ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy στο

επίπεδο.

Για κάθε Ax ορίζεται το διατεταγμένο ζεύγος ),( yx με )(xfy . Και για κάθε

διατεταγμένο ζεύγος ),( yx με )(xfy ορίζεται στο επίπεδο ένα σημείο ),( yxM .

Το σύνολο των σημείων ),( yxM , )(xfy λέγεται γραφική παράσταση της f και

συμβολίζεται με fC .

Επομένως η εξίσωση )(xfy με αγνώστους x και y επαληθεύεται από τις

συντεταγμένες κάθε σημείου της fC και μόνο αυτές. Γι’ αυτό η εξίσωση αυτή

λέγεται εξίσωση της fC .

Αν στο επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς,

έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f , τότε κάθε ευθεία ε παράλληλη

στον άξονα yy θα έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την fC .

Επομένως αν στο επίπεδο αυτό έχει χαραχθεί μια γραμμή κατά τέτοιο τρόπο ώστε

τουλάχιστον μια ευθεία ε παράλληλη στον άξονα yy να έχει περισσότερα από ένα

κοινά σημεία με τη γραμμή, τότε η γραμμή αυτή δεν είναι γραφική παράσταση

συνάρτησης.

Σχήμα 1

y

x O

y'

x’

C1

ε

5 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Σχήμα 2

Στο σχήμα 1 η γραμμή 1C είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, ενώ στο σχήμα 2

η 2C δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

Στα επόμενα μαθήματα θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις των οποίων το πεδίο

ορισμού θα είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

Αν έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο επίπεδο, στο οποίο έχει

οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς, τότε μπορούμε να βρούμε το πεδίο

ορισμού της Α και το σύνολο τιμών της )(Af . Επίσης μπορούμε να βρούμε την τιμή

)( oxf της συνάρτησης f στο Axo .

Σχήμα 3

Στο σχήμα 3 έχουμε ],( aA και ],[)( Af , ενώ στο σχήμα 4 έχουμε

),[ aA και ],()( Af .

y

x O

y'

x’

C2

ε

y

x O

y'

x’

Cf

δ f(xo)

xo α β

γ

M(xo,f(xo))

6 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Σχήμα 4

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς

τον άξονα xx . Πράγματι αν ))(,( xfxM είναι ένα σημείο της fC , το ))(,( xfxN

είναι το αντίστοιχο σημείο της fC . Επειδή τα σημεία Μ και Ν έχουν την ίδια

τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες, είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από τα τμήματα εκείνα

της fC που βρίσκονται πάνω από τον άξονα xx , και από τα συμμετρικά τμήματα

ως προς άξονα συμμετρίας τον xx , των τμημάτων εκείνων της fC που βρίσκονται

κάτω από τον άξονα xx .

y

x O

y'

x’ Cf

γ

α

β

y

x O

y'

x’

Cf

f(x)

x

Μ

Ν

C-f

-f(x)

y

7 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

x O

y'

x’

C f

Cf

8 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1) Η συνάρτηση axxf )( , ( Ra , ).

2) Η συνάρτηση xaxf )( , ( Ra ).

Cf

Cf

Cf

β β

β

y

O

y'

x’

α>0

y

O

y'

x’

α<0

9 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Η συνάρτηση xaxf )( ισοδύναμα γράφεται:

0,

0,)(

x

x

ax

axxf

Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy . Αν 1a τότε

οι δύο ημιευθείες που αποτελούν τη γραφική της παράσταση σχηματίζουν ορθή

γωνία και διχοτομούν τις γωνίες των τεταρτημορίων στις οποίες βρίσκονται.

3) Η συνάρτηση 2)( axxf , ( *Ra ).

Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy .

4) Η συνάρτηση 3)( axxf , ( *Ra ).

Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

10 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

5) Η συνάρτηση x

axf )( , ( *Ra ).

Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

6) i) Η συνάρτηση xxf )( , ( ),0[ x ).

ii) Η συνάρτηση xxf )( , ( Rx ). Έχουμε: 0,

0,)(

x

x

x

xxf

Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy .

11 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

7) i) Η συνάρτηση xxf )( , ( Rx ).

Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

ii) Η συνάρτηση xxf )( , ( Rx ).

Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy .

iii) Η συνάρτηση xxf )( , (

ZkkxRxRx ,2

/1

).

Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

iv) Η συνάρτηση xxf )( , ( ZkkxRxRx ,/2 ).

12 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

8) i) Η συνάρτηση xaxf )( με 0a και 1a . Προφανώς RAf .

Αν 1a τότε ισχύει η ισοδυναμία:

21

21

xx aaxx

Αν 10 a τότε ισχύει η ισοδυναμία:

21

21

xx aaxx

ii) Η συνάρτηση xxf alog)( με 0a και 1a . Προφανώς ),0( fA .

13 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Γνωρίζουμε ότι αν 10 a και ),0(,, 21 xxx ισχύουν:

i. xayx y

a log

ii. xa x

a log και xaxa

log

iii. 01log a και 1log aa

iv. 2121 loglog)(log xxxx aaa

v. 21

2

1 loglog)(log xxx

xaaa

vi. xkx a

k

a loglog , Rk

vii. Αν 1a τότε ισχύει η ισοδυναμία: 2121 loglog xxxx aa

viii. Αν 10 a τότε ισχύει η ισοδυναμία: 2121 loglog xxxx aa

ix. aea ln και axx ea ln ( ...)718,2e

Συμβολίζουμε: ax elogln (Οι λογάριθμοι με βάση το e λέγονται φυσικοί ή

νεπέριοι λογάριθμοι).

Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A ( RA ) και fC η

γραφική της παράσταση. Η fC έχει με τον άξονα yy το πολύ ένα κοινό σημείο. Το

κοινό σημείο της fC και του άξονα yy , αν υπάρχει, είναι το σημείο ))0(,0( fM .

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της fC και του άξονα xx (αν υπάρχουν) λύνουμε

την εξίσωση 0)( xf . Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής μας δίνουν τις τετμημένες των

κοινών σημείων της fC και του xx . (Επειδή τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω στον

άξονα xx έχουν τεταγμένες μηδέν).

Αν η εξίσωση 0)( xf είναι αδύνατη, η fC και ο άξονας xx δεν έχουν κοινά

σημεία.

14 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Γενικά η λύση του συστήματος

axy

xfy )( μας δίνει τις συντεταγμένες των

κοινών σημείων της fC και της ευθείας ε: axy , εφ’ όσον η ε και η fC έχουν

κοινά σημεία. Αν η ε και η fC δεν έχουν κοινά σημεία, τότε το παραπάνω σύστημα

είναι αδύνατο.

Ομοίως αν στο ίδιο σύστημα αξόνων έχουμε τις γραφικές παραστάσεις fC και gC

δύο συναρτήσεων f και g , τότε τα κοινά τους σημεία, αν υπάρχουν, τα βρίσκουμε

λύνοντας το σύστημα

)(

)(

xgy

xfy.

Τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx τα βρίσκουμε

λύνοντας την ανίσωση 0)( xf .

Ομοίως τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx τα

βρίσκουμε λύνοντας την ανίσωση 0)( xf .

Γενικά αν έχουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις fC και gC

δύο συναρτήσεων f και g με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, τότε τα διαστήματα στα

οποία η fC είναι πάνω από τη gC τα βρίσκουμε λύνοντας την ανίσωση

)()( xgxf , ενώ τα διαστήματα στα οποία η fC είναι κάτω από τη gC τα

βρίσκουμε λύνοντας την ανίσωση )()( xgxf .

15 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Δίνονται οι συναρτήσεις:

i) x

xf1

)( , ii) 2

1)(

xxg , iii)

2

3)(

x

xxh

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους.

β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική τους παράσταση.

Λύση:

α) Προφανώς έχουμε: *RA f , ),2()2,(2 RAg και gh AA .

β) Αρχικά κατασκευάζουμε τη fC . Η gC προκύπτει από την fC αν τη

μετατοπίσουμε προς τα δεξιά κατά δύο μονάδες.

Επίσης έχουμε 12

1)(

2

11)(

2

3)(

xxh

xxh

x

xxh

Η hC προκύπτει από τη gC , αν τη μετατοπίσουμε προς τα κάτω μία μονάδα.

y

x

O

y'

x’

Cf

Cf

Cg

Cg

Ch

Ch

-1 1

2 3

1

-1

-2

16 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

2) Δίνονται οι συναρτήσεις:

i) xxf ln)( , ii) )2ln()( xxg , iii) 2)2ln()( xxh

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους.

β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική τους παράσταση.

Λύση:

α) Είναι: ),0( fA , ),2( gA και gh AA .

β) Κατασκευάζουμε την fC . Η gC προκύπτει από την fC αν τη μετατοπίσουμε

προς τα αριστερά κατά δύο μονάδες.

Η hC προκύπτει από τη gC , αν τη μετατοπίσουμε προς τα πάνω κατά δύο μονάδες.

3) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

i) xxf )( , ii) 1)( xxg , iii) 21)( xxh

Λύση:

Αρχικά κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση fC της συνάρτησης xxf )( ,

Rx .

y

x

O

y'

x’

Cf

Cg

Ch

-1 1 -2

2

17 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Η Η gC προκύπτει από την fC αν τη μετατοπίσουμε προς τα δεξιά κατά μία

μονάδα.

Η hC προκύπτει από τη gC , αν τη μετατοπίσουμε προς τα πάνω κατά δύο μονάδες.

y

x

O

y'

x’

Cf

Cg

Ch

1

1

2

3

18 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Θα λέμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού A

και αν για κάθε Ax ισχύει )()( xgxf . Τότε γράφουμε gf .

Έστω δύο συναρτήσεις f , g με πεδία ορισμού τα σύνολα A και B αντίστοιχα. Αν

υπάρχει ένα σύνολο Γ τέτοιο ώστε να ισχύουν:

i. A και B και

ii. για κάθε x να έχουμε )()( xgxf

τότε θα λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο Γ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Δίνονται οι συναρτήσεις 32

94)(

2

x

xxf και

2

23 32)(

x

xxxg

. Να βρεθεί το

ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει gf .

Λύση:

Έχουμε ),2

3()

2

3,( fA και *RAg .

Για κάθε fAx έχουμε: 32)(32

)32)(32()(

xxf

x

xxxf και για κάθε

gAx έχουμε: 32)()32(

)(2

2

xxgx

xxxg .

Επομένως για κάθε ),0()0,2

3()

2

3,( gf AAx έχουμε )()( xgxf

οπότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο gf AA .

19 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού τα σύνολα A και B

αντίστοιχα.

Αν BA τότε ορίζονται οι συναρτήσεις gf (άθροισμα), gf (διαφορά)

και gf (γινόμενο) ως εξής:

Για κάθε BAx έχουμε:

)()())(( xgxfxgf

)()())(( xgxfxgf

)()())(( xgxfxgf

Τέλος στο σύνολο 0)(/ xgBAxRx ορίζεται η συνάρτηση g

f

(πηλίκο) ως εξής:

)(

)())((

xg

xfx

g

f

Έστω τώρα μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και έστω *Nv .

Τότε στο σύνολο Α ορίζεται η συνάρτηση vf ως εξής: vv xfxf )]([))(( ή

απλούστερα vv xfxf )]([)( .

ΠΡΟΣΟΧΗ: Έστω οι συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού τα σύνολα A και B

αντίστοιχα.

Αν BA και αν για κάθε BAx ισχύει 0)()( xgxf τότε 0)( xf για

κάθε BAx και 0)( xg για κάθε BAx .

Αν όμως για κάθε BAx ισχύει 0)()( xgxf τότε δεν ισχύει πάντοτε 0)( xf

για κάθε BAx ή 0)( xg για κάθε BAx . Όμως για κάθε BAx

ισχύει 0)( xf ή 0)( xg .

Πράγματι έστω οι συναρτήσεις:

3,

3,

3

0)(

2

x

x

xxxf και

3,

3,

0

1053)(

2

x

xxxxg

Τότε για κάθε 3x έχουμε: 0)1053(0)()( 2 xxxgxf και για κάθε 3x

έχουμε 00)3()()( 2 xxxgxf .

20 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Δηλαδή για κάθε Rx ισχύει 0)()( xgxf , ενώ δεν ισχύει 0)( xf για κάθε

Rx ή 0)( xg για κάθε Rx .

Όμως για κάθε Rx ισχύει 0)( xf ή 0)( xg .

Τέλος έστω ο αριθμός BAxo . Επειδή οι τιμές )( oxf και )( oxg είναι

πραγματικοί αριθμοί ισχύει η ισοδυναμία:

0)(0)(0)()( oooo xgήxfxgxf

21 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω οι συναρτήσεις RAf : και RBg : και έστω

AxxfyRyAf ),(/)( το σύνολο των τιμών της f .

Αν BAf )( , ορίζεται το σύνολο BxfAxA )(/1 ( AA 1 ) και

επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το σύνολο 1A και τύπο

))(())(( xfgxgof .

H συνάρτηση gof λέγεται η σύνθεση της f με τη g .

Έστω οι συναρτήσεις hgf ,, και έστω ότι ορίζεται η συνάρτηση )(gofho . Τότε

ορίζεται και η συνάρτηση ofhog)( και μάλιστα ισχύει: )()( gofhoofhog .

Επομένως ορίζεται η συνάρτηση )(gofhohogof η οποία ονομάζεται η σύνθεση

των συναρτήσεων gf , και h .

Α Α1

x

f f(A) B

f(x)

g gof

g(f(x) g(B)

BAf )(

22 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Δίνονται οι συναρτήσεις )1ln()( xxf και 5)( xxg . Να βρεθούν αν

υπάρχουν, οι συναρτήσεις: α) gof , β) fog .

Λύση:

Πρέπει 101 xx και 505 xx .

Επομένως ),1( fA και ),5[ gA .

α) Πρέπει:

11

1

1

1

5)1ln(

1

5)(

1

)(

5

5

5

exex

x

ex

x

x

x

xf

x

Axf

Ax

g

f

Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ),1[ 5 e και τύπο:

5)1ln())1(ln())(())(( xxgxfgxgof

β) Πρέπει:

66

5

15

5

15

5

1)(

5

)(

x

x

x

x

x

x

x

xg

x

Axg

Ax

f

g

Επομένως ορίζεται η fog με πεδίο ορισμού το διάστημα ),6( και τύπο:

)15ln()5())(())(( xxfxgfxfog

ΠΡΟΣΟΧΗ: Με τη βοήθεια της παραπάνω εφαρμογής κατανοούμε ότι γενικά ισχύει

goffog . Όμως υπάρχουν και περιπτώσεις για τις οποίες ισχύει foggof .

23 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1) Δίνονται οι συναρτήσεις xxf )( και 23)( xxg . Να βρεθούν οι συναρτήσεις α)

gof , β) fog .

Λύση:

Προφανώς RAf και RAg .

α) Πρέπει:

RxRx

Rx

Axf

Ax

g

f

)(

Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

23)())(())(( xxgxfgxgof

β) Πρέπει:

RxRx

Rx

Axg

Ax

f

g

23)(

Επομένως ορίζεται η fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

22 3)3())(())(( xxfxgfxfog

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εδώ ισχύει foggof .

Η συνάρτηση xxf )( , Rx λέγεται ταυτοτική συνάρτηση. Γενικά αν μία από τις

συναρτήσεις gf , είναι η ταυτοτική συνάρτηση (π.χ. xxf )( ) τότε ισχύει

gfoggof

2) Δίνονται οι συναρτήσεις xxf )( και )ln()( xexg . Να βρεθούν οι

συναρτήσεις α) gof , β) fog .

Λύση:

Έχουμε RAf και ),( eAg .

α) Πρέπει:

24 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

exex

Rx

Axf

Ax

g

f

),()(

Επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ),( e και

τύπο:

)ln()())(())(( xexgxfgxgof

β) Πρέπει:

exRxe

ex

Axg

Ax

f

g

)ln()(

Επομένως ορίζεται και η συνάρτηση fog με πεδίο ορισμού το διάστημα ),( e

και τύπο:

)ln())(ln())(())(( xexefxgfxfog

Άρα ισχύει foggof .

3) Δίνονται οι συναρτήσεις 22)( xxf και 32

1)( xxg . Να αποδείξετε ότι

ισχύει foggof .

Λύση:

Έχουμε RAA gf .

α) Πρέπει:

RxRx

Rx

Axf

Ax

g

f

22)(

Επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

43)22(2

1)22())(())(( xxxgxfgxgof

β) Πρέπει:

RxRx

Rx

Axg

Ax

f

g

32

1)(

Επομένως ορίζεται και η συνάρτηση fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

25 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

42)32

1(2)3

2

1())(())(( xxxfxgfxfog

Άρα foggof .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Δίνονται οι συναρτήσεις 23

6)(

x

xxf και 2)( xxg . Να βρεθούν οι

συναρτήσεις α) gof , β) fog .

Λύση:

Έχουμε ),3

2()

3

2,( fA και ),2[ gA .

α) Πρέπει:

3

2

3

23

2

0)23(43

2

023

43

2

023

4663

2

0223

63

2

223

63

2

)(

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

Axf

Ax

g

f

Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ),3

2( και τύπο:

23

2

23

42

23

6)

23

6())(())((

xxx

x

x

xgxfgxgof

β) Πρέπει:

),9

22()

9

22,2[

9

222

9

42

2

3

22

2

)(

x

x

x

x

x

x

x

Axg

Ax

f

g

Επομένως ορίζεται και η fog με πεδίο ορισμού το σύνολο ),9

22()

9

22,2[ και

τύπο:

26 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

229

)223(26

4)2(9

)223(26

)223)(223(

)223(26

223

26)2())(())((

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xxfxgfxfog

Προφανώς εδώ ισχύει: foggof .

2) Δίνονται οι συναρτήσεις 24)( xxf και xxg 2)( . Να βρεθούν οι

συναρτήσεις α) gof , β) fog .

Λύση:

Έχουμε ]2,2[fA και RAg .

α) Πρέπει:

]2,2[4

22

)( 2

x

Rx

x

Axf

Ax

g

f

Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ]2,2[ και τύπο:

22 42)4())(())(( xxgxfgxgof

β) Πρέπει:

Rxx

Rx

x

Rx

x

Rx

Axg

Ax

f

g

11222]2,2[2)(

Επομένως ορίζεται η fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

xxxxfxgfxfog 21244)2())(())(( 22

3) Δίνεται η συνάρτηση 2

12)(

x

xxf . Να βρεθεί η fof .

Λύση:

Προφανώς έχουμε ),2()2,( fA .

α) Πρέπει:

27 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

20

2

32

022

122

22

122

)(

x

x

x

x

xx

x

xx

Axf

Ax

f

f

Επομένως ορίζεται η fof με πεδίο ορισμού το σύνολο ),2()2,( και τύπο:

xx

xx

xx

x

xx

x

x

xfxffxfof

3

3

4212

224

22

12

12

122

)2

12())(())((

4) Δίνεται η συνάρτηση 23

14)(

x

xxf . Να βρεθεί η

ffo

1.

Λύση:

Η συνάρτηση 23

14)(

x

xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

),3

2()

3

2,(

3

2

RAf ,

ενώ η συνάρτηση 14

23

23

14

1

)(

1))(

1(

x

x

x

xxfx

f έχει πεδίο ορισμού

),3

2()

3

2,

4

1()

4

1,(

3

2,

4

11

RAf

.

α) Πρέπει:

43

2

4

1

28693

2

4

1

3

2

14

233

2

4

1

))(1

(

1

x

xx

xx

xx

x

x

xx

Axf

Ax

f

f

Επομένως ορίζεται η συνάρτηση f

fo1

με πεδίο ορισμού το σύνολο

),4()4,3

2()

3

2,

4

1()

4

1,(4,

3

2,

4

1

R και τύπο:

28 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

4

78

2869

14812

214

233

114

234

)14

23()))(

1(())(

1(

x

x

xx

xx

x

xx

x

x

xfx

ffx

ffo

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η συνάρτηση f

1 λέγεται συμμετρική της f .

5) Να βρείτε συνάρτηση f για την οποία ισχύει 23))(( xexfog για κάθε

Rx , αν 52)( xxg .

Λύση:

Έχουμε 23)52(23))((23))(( xxx exfexgfexfog (1)

Θέτουμε 2

552

yxyx οπότε η (1) γράφεται:

23)( 2

5

y

eyf , Ry ή

23)( 2

5

x

exf , Rx

6) Να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία ισχύει 23))(( xexfog για κάθε

Rx , αν 52)( xxf .

Λύση:

Έχουμε

2

73)(235)(223))((23))((

xxxx e

xgexgexgfexfog ,

Rx

7) Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων,

αν: α) )1()( 2 xxxf , β) )1ln()( 2 xexf .

Λύση:

29 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

α) Θέτουμε 1)( 2 xxxg και xxh )( . Τότε ισχύει ))(()( xhogxf .

Πράγματι έχουμε:

)()1()1())(()))(( 22 xfxxxxhxghxhog

β) Θέτουμε xxg 2)( και 1)( xexh και xx ln)( . Τότε ισχύει

))(()( xohogxf . Πράγματι έχουμε:

)()1ln()1())2(()))((())(( 22 xfeexhxghxohog xx

8) Δίνονται οι συναρτήσεις axxf 42)( και 3)( axxg . Να βρεθεί για ποια

τιμή του Ra ισχύει goffog .

Λύση:

Είναι RAA gf .

α) Πρέπει:

RxRax

Rx

Axf

Ax

g

f

42)(

Επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

3423)42()42())(())(( 2 aaxaxaaxgxfgxgof

β) Πρέπει:

RxRax

Rx

Axg

Ax

f

g

3)(

Επομένως ορίζεται και η συνάρτηση fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:

6424)3(2)3())(())(( aaxaaxaxfxgfxfog

Θέλουμε για κάθε Rx να ισχύει:

0344342642))(())(( 22 aaaaxaaxxgofxfog .

Είναι: 644816)3(44)4( 2 οπότε:

30 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

2

12

3

8

84

42

64)4(2,1

a

9) Δίνεται μία συνάρτηση RRf : για την οποία ισχύει

0)(522)(5 xfxee xxf για κάθε Rx . Να βρεθούν οι συναρτήσεις hg,

τέτοιες ώστε να ισχύει )())(( xhxgof για κάθε Rx .

Λύση:

Για κάθε Rx ισχύει:

xexfexfxee xxfxxf 2)(50)(52 2)(52)(5

Θέτουμε xexg x 5)( 5 και xexh x 2)( 2 οπότε παίρνουμε:

)(5))(())(( )(5 xfexfgxgof xf

Επειδή xexfe xxf 2)(5 2)(5 έχουμε )())(( xhxgof

10) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει

5)(2)5(3 2 xxfxf για κάθε Rx . Να βρεθεί η τιμή )(xf .

Λύση:

Για κάθε Rx ισχύει 5)(2)5(3 2 xxfxf .

Θέτουμε στη θέση του x το x5 και παίρνουμε:

2010)5(2)(35)5()5(2)(3 22 xxxfxfxxfxf

Λύνουμε το σύστημα:

60303)(9)5(6

102)(4)5(6

3

)2(

2010)(3)5(2

5)(2)5(3

2

2

2

2

xxxfxf

xxfxf

xxxfxf

xxfxf

Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:

31 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

1465

1)(7030)(5 22 xxxfxxxf

11) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει

143))(( 23 xxxxff για κάθε Rx . Να βρεθεί το )1(f .

Λύση:

Για κάθε Rx ισχύει 143))(( 23 xxxxff (1)

Θέτουμε στη θέση του x το )1(f και παίρνουμε:

1)1(4)]1([3)]1([)))1((( 23 ffffff (2)

Αλλά για 1x η (1) γράφεται:

1))1((1)1(4)1(3)1())1(( 23 ffff

Επομένως η (2) γράφεται:

1)1(0]1)1([01)1(3)]1([3)]1([

1)1(4)]1([3)]1([)1(

323

23

fffff

ffff

12) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το *R για την οποία ισχύει

3

1)

3()(2

x

xfxf . Να αποδείξετε ότι

x

xxxf

9

332)(

2 .

Απόδειξη:

Για κάθε *Rx ισχύει 3

1)

3()(2

x

xfxf .

Θέτουμε στη θέση του x το x

3 και παίρνουμε:

x

xxf

xfx

x

fx

f3

3)(

32

3

13

3

332

Λύνουμε το σύστημα:

32 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

x

x

xfxf

x

xfxf

x

x

xfxf

x

xfxf

3

3)

3(2)(

3

22)

3(2)(4

1

2

3

3)

3(2)(

3

1)

3()(2

Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:

x

xxxf

x

xxxxf

x

xxxf

9

332)(

3

322)(3

3

3

3

22)(3

22