90

Demonstraţie: Pentru funcţia ω dată, se construiesc funcţiile ωω∆

1 =x

d şi

ωω∆

2 =y

d, iar pentru ω1 şi ω2 date ω

ω ω=

+1 2∆ ∆x yd

.

Ţinând seama de Lema 1 relaţia (18) de definiţie a diferenţiabilităţii, se mai scrie sub forma: (22) ( )∆ ∆ ∆f x y x y x y0 0 1 2, = + + +λ∆ µ∆ ω ω . Propoziţia 2. Dacă funcţia f definită pe mulţimea deschisă X ⊂ R 2 cu valori în R este diferenţiabilă în punctul ( )x y0 0, ∈ X, atunci ea are derivate parţiale în

punctul ( )x y0 0, şi mai mult ( )λ = ′f x yx 0 0, şi ( )µ = ′f x yy 0 0, .

Demonstraţie: Din relaţia (22) pentru ( ) ( )x y V x y, ,∈0 0

, x x≠ 0 şi y y= 0

obţinem: ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x y

x xx x x y x x

, ,,0 0 0

00 0 0

−−

= − + −λ ω .

Trecând la limită pentru x tinzând la x0 , obţinem ( )′ =f x yx 0 0, λ . La fel se arată

că ( )′ =f x yy 0 0, µ . Observaţia 7. Afirmaţia reciprocă, în general nu este adevărată, adică există funcţii care au derivate parţiale într-un punct, dar care sunt diferenţiabile în acel punct. Un astfel de exemplu este funcţia f:R R2 2→ ,

( )( ) ( )

( ) ( )f x y

xy

x ydaca x y

daca x y,

, ,

, ,= +

≠

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 20 0

0 0 0

care are derivate parţiale în (0, 0) dar nu este diferenţiabilă în (0, 0). Propoziţia 3. Dacă funcţia f:X → R, ( )X ⊂ R 2 este diferenţiabilă în punctul

( )x y X0 0, ,∈ atunci funcţia f este continuă în punctul ( )x y0 0, ,

( )( )x y IntX0 0, ∈ . Demonstraţia rezultă imediat din relaţia de definiţie a diferenţiabilităţii (22). Observaţia 8. Afirmaţia reciprocă nu este adevărată, în sensul că există funcţii

continue care nu sunt diferenţiabile. De exemplu funcţia ( )f x y x y, = +2 2 este continuă în (0, 0) dar nu are derivate parţiale în acest punct deci nu poate fi diferenţiabilă. Următoarea propoziţie dă o condiţie suficientă de diferenţiabilitate a unei funcţii într-un punct (din o mulţime deschisă).

91

Propoziţia 4. Dacă funcţia f X: ⊂ →R R2 are derivate parţiale continue pe o vecinătate ( )V x y0 0, a punctului ( )x y0 0, ∈ X şi acestea sunt continue în acest

punct, atunci funcţia f este diferenţiabilă în punctul ( )x y0 0, . Demonstraţie: Aplicând formula lui Lagrange pentru fiecare punct (x, y) ∈ ∈ ( )V x y0 0, , există un punct ξ cuprins între x0 şi x un punct η cuprins între y0 şi

y, astfel încât să aibă loc relaţia: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( )f x y f x y f x y x x f x y y y

f y f x y x x f x f x y y y

x y

x x y y

, , , ,

, , , ,

− = ′ − + ′ − +

+ ′ − ′ − + ′ − ′ ⋅ −

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0ξ η

care este de forma (22) şi condiţiile diferenţiabilităţii sunt satisfăcute. Observaţia 9. Afirmaţia reciprocă, în general nu este adevărată, în sensul că există funcţii diferenţiabile într-un punct care nu au derivate parţiale continue în acel punct. De exemplu, funcţia:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )f x y

x yx y

daca x y

daca x y,

sin , ,

, ,=

++

≠

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 22 2

10 0

0 0 0

care este diferenţiabilă în origine, dar nu are derivate parţiale continue în origine. Observaţia 10. Pentru funcţii de n variabile, n > 2, f X X n: ,→ ⊂R R şi un punct

( )x x x xn0 10

20 0= , ,..., din Int X relaţia de definiţie a diferenţiabilităţii în punctul

x0 este:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x x x f x x x

x x x x x x x

n n

k k kk

n

n k kk

n

1 2 10

20 0

0

11 2

0 2

1

, ,..., , ,...,

, ,..., ,

− =

= − + ⋅ −= =∑ ∑λ ω

pe baza căreia se obţin aceleaşi proprietăţi ca în cazul funcţiilor de două variabile. Dacă considerăm din nou o funcţie de două variabile definită pe o submulţime deschisă X a lui R 2 cu valori reale şi revenim asupra relaţiei (18) de definiţie a diferenţiabilităţii funcţiei f, într-un punct ( )x y0 0, din X ţinând seama de Propoziţia 2, obţinem relaţia de aproximare: (23) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )f x y f x y f x y x x f x y y yx y, , , ,− ≈ ′ − + ′ −0 0 0 0 0 0 0 0 . Să notăm cu u şi v creşterile variabilelor u x x v y y= − = −0 0, . Definiţia 3. Funcţia liniară de două variabile reale df ( )x y0 0, :R × R → R definită prin: (24) ( )( ) ( ) ( )df x y u v f x y u f x y vx y0 0 0 0 0 0, , , ,= ′ + ′

92

se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul ( )x y0 0, .

Observăm că df ( )x y0 0, este definită pe R 2 , dar numai când (u,v) ∈ ( )V 0,0 are

loc relaţia de aproximare: (25) ( ) ( ) ( )( )f x y f x y df x y u v, , , ,− ≈0 0 0 0 . Să considerăm funcţiile ϕ(x, y) = x, ψ(x, y) = y. Observăm că

( )′ =ϕx x y, 1, ( )′ =ψ x x y, 0 , ( )′ =ϕy x y, 0 , ( )′ =ψ x x y, 1 , iar ( )d x y uϕ 0 0, = ,

( )d x y vψ 0 0, = . Înlocuind funcţia ϕ cu x şi ψ cu y obţinem dx = u şi dy = v, care înlocuită în (24) dau relaţia de definiţie a diferenţialei: (26) ( )( ) ( ) ( )df x y dx dy f x y dx f x y dyx y0 0 0 0 0 0, , , ,= ′ + ′ .

Considerând că funcţia f este diferenţiabilă pe întreaga mulţime deschisă X şi considerând ( )x y0 0, = (x, y) arbitrar şi omiţându-l împreună cu dx şi dy din membrul stâng al relaţiei (26) obţinem pentru diferenţiala funcţiei f exprimarea:

(27) dffx

dxfy

dy= +∂∂

∂∂

,

operatorul de diferenţiere pentru funcţii de două variabile fiind:

(28) dx

dxy

dy= +∂∂

∂∂

.

Observaţia 11. Pentru o funcţie f X n: ⊂ →R R , X fiind o mulţime deschisă, în acelaşi mod ca mai sus, se defineşte diferenţiala funcţiei f într-un punct, ca fiind funcţionala liniară de n variabile reale df n:R R→ dată prin :

(29) ( ) ( )df x x xf

xx x x dxn

ii

n

n i10

20 0

110

20 0, ,..., , ,...,=

=∑ ∂

∂.

Definiţia 4. Fie funcţia f definită pe mulţimea deschisă X ⊂ R 2 cu valori în R şi ( )x y0 0, ∈ X. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul ( )x y0 0, dacă toate derivatele parţiale de ordinul n-1, ale funcţiei f există pe o vecinătate a punctului ( )x y0 0, şi sunt diferenţiabile în punctul ( )x y0 0, . Diferenţiala de

ordinul n a funcţiei f în punctul ( )x y0 0, este un polinom omogen de ordinul n în dx, dy dat prin:

(30) ( ) ( )d f x yx

dxy

dy f x ynn

0 0 0 0, ,= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂∂

∂∂

,

93

unde n arată că binomul din paranteză se dezvoltă formal după formula binomului

lui Newton, iar prin produsul ( )∂

∂ ∂

n

n k kn k k

x ydx dy f x y−

− ⋅ 0 0, înţelegem

( )∂

∂ ∂

n

n k kn k kf

x yx y dx dy k n−

− =0 0 0, , .

Observaţia 12. Pentru o funcţie f : X ⊂ R k → R, diferenţiabială de n ori pe mulţimea deschisă X, diferenţiala de ordinul n este dată prin:

(31) d fx

dx fn

ii

i

k n

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑ ∂

∂1.

Exemplul 5. Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi doi ale funcţiei f : R 2 → R, prin ( )f x y x x y y, = + +3 2 23 2 .

( ) ( )

( )

dffx

dxfy

x xy dx x y dy

d fx

dxy

dy ff

xd x

fx y

dxdyf

yd y

x y d y x dxdy d y

= + = + + +

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + + ⋅

= + + ⋅ +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂ ∂

∂

∂

3 6 3 4

2

6 6 12 4

2 2

22 2

22

2 2

22

2 2

.

Următorul rezultat oferă condiţii ca o funcţie compusă f : X ⊂ R 2 → R să fie diferenţiabilă într-un punct, respectiv pe o mulţime. Fie X şi Y două submulţimi deschise ale planului R 2 şi u, v două funcţii definite pe X şi cu valori în R. Dacă considerăm o funcţie ϕ : Y → R, atunci, dacă Im(u,v) ⊂ Y, putem să definim funcţia compusă f : X → R, f(x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y)). Fie acum un punct (a, b) fixat din X, să notăm c = u(a, b), d = v(a, b). O reprezentare a corespondenţei (a, b) → f (a, b) este dată prin:

y y

x u Ra

b

O O

X(a,b)

Y(c,d)

C=u (a,b) f (c,a)

u

f

vv(a,b)=d ϕ

O

94

Teorema 2. Dacă funcţiile u, v : X → R sunt diferenţiabile în punctul (a, b) ∈ X şi funcţia ϕ : Y → R este diferenţiabilă în punctul corespunzător (c, d) = (u(a, b), u(a, b)) ∈ Y, atunci funcţia compusă f : X → R prin: (32) f(x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y)) este diferenţiabilă în punctul (a, b). Mai mult:

(33)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

df a bu

c dux

a bv

c dvx

a b dx

uc d

uy

a bv

c dvy

a b dy

, , , , ,

, , , ,

= ⋅ + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+

+ ⋅ + ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

Dacă în formula de mai sus omitem punctele (a, b) şi (c ,d), considerăm pe (a, b) un punct arbitrar din X şi pe (c, d) punctul corespunzător prin aplicaţia (u, v) : X → Y, atunci obţinem următoarea formă pentru diferenţiala funcţiei compuse: f = ϕ(u, v):

(34) dfu

ux v

yx

dxu

uy v

vy

dy= ⋅ + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⋅ + ⋅ + ⋅

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

Observăm că în (33) şi (34) u şi v apar atât ca variabile ale funcţiei

ϕ,∂ϕ∂

∂ϕ∂u v

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cât ca funcţii de x şi y

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ux

uy

vx

vy

, , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Demonstraţia Teoremei 2 porneşte de la relaţiile de definiţie a diferenţiabilităţii pentru funcţiile u, v sub forma (22) în punctul (a, b) şi pentru funcţia ϕ sub aceeaşi formă în punctul corespunzător (c, d) şi evaluând cu ajutorul acestor relaţii creşterea funcţiei f în punctul (a, b), adică evaluând diferenţa f(x, y) - f(a, b) se obţine relaţia (33). Ţinând seama că, pe de altă parte, difenţiala funcţiei f se exprimă sub forma:

(35) dffx

dxfy

dy= +∂∂

∂∂

,

şi comparând (34) cu (35), rezultă următoarele exprimări ale derivatelor parţiale ale funcţiei compuse f = ϕ(u(x, y), v(x, y)):

(36)

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

fx u

ux

uv

vx

fy u

uy v

vy

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

Pornind de la relaţia (34), pentru diferenţiala funcţiei compuse f se mai obţine următoarea formă:

dfu

ux

dxuy

dyv

vx

dxvy

dyu

duv

dv= +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

∂ϕ∂

∂∂

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

∂∂

∂ϕ∂

∂ϕ∂

.

Dar, în acelaşi timp are loc:

95

dfu

duv

dv= +∂ϕ∂

∂ϕ∂

.

Am obţinut, formal pentru df şi dϕ aceleaşi exprimări, ceea ce arată invarianţa diferenţialei faţă de compunerea funcţiilor, această invarianţă este totuşi una formală, spre dosebire de invarianţa diferenţiabilităţii care este una reală (Teorema 2). Corolarul 2. Dacă funcţiile u, v şi ϕ considerate în Teorema 1 au derivate parţiale continue pe domeniile lor de definiţie atunci şi funcţia compusă f(x, y) = ϕ(u(x, y), v(x, y)) are derivate parţiale continue pe domeniul său de definiţie. Observaţia 13. Rezultatul din Teorema 2 rămâne valabil şi pentru funcţii compuse de mai multe variabile. Dacă:

( ) ( ) ( )( )f x x x u x x x u x x xn n m n1 2 1 1 2 1 2, , , , , , , , , , ,K K K K= ϕ

şi atât funcţiile u i mi , ,= 1 cât şi funcţia ϕ sunt diferenţiabile şi compunerea are sens, atunci şi funcţia f este diferenţiabilă şi mai mult au loc relaţiile:

(37) dfu

ux

dxij

j

ij

m

i

n= ⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

==∑∑ ∂ϕ

∂

∂

∂11;

(38) ∂∂

∂ϕ∂

∂

∂fx u

uxi j

j

ij

m= ⋅

=∑

1.

Să dezvoltăm relaţiile de mai sus în câteva cazuri particulare: 1. m = 1 şi n = 2, adică X ⊂ R 2 ,Y ⊂ R, avem u : X → Y ϕ : Y → R şi f : X

→ R, f(x, y) = ϕ(u(x, y)):

dfddu

ux

dxddu

uy

dy= ⋅ + ⋅ϕ ∂

∂ϕ ∂

∂,

∂∂

ϕ ∂∂

fx

ddu

ux

= ⋅ , ∂∂

ϕ ∂∂

fy

ddu

uy

= ⋅ ;

2. m = 1 şi n = 3 X ⊂ R 3 , Y ⊂ R u : X → Y ϕ : Y → R şi f : X → R, f(x, y, z) = ϕ(u(x, y, z)):

dfddu

ux

dxddu

uy

dyddu

uz

dz= ⋅ + ⋅ + ⋅ϕ ∂

∂ϕ ∂

∂ϕ ∂

∂,

∂∂

ϕ ∂∂

fx

ddu

ux

= ⋅ , ∂∂

ϕ ∂∂

fy

ddu

uy

= ⋅ , ∂∂

ϕ ∂∂

fz

ddu

uz

= ⋅ .

3. m = 2 şi n = 1 X ⊂ R, Y ⊂ R 2 , u, v : X → Y şi ϕ : Y → R f(x) = = ϕ(u(x), v(x)):

dfu

dudx v

dvdx

dxu

duv

dv= ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

∂ϕ∂

∂ϕ∂

∂ϕ∂

∂ϕ∂

.

96

Considerând funcţia ϕ(u, v) = u ± v obţinem d(u ± v) = du ± dv, ϕ(u, v) = u ⋅ v

rezultă d(u, v) = vdu + udv, ( )ϕ u vuv

, = (v ≠ 0) rezultă duv

vdu udvv

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−2

Alte cazuri pot fi deasemenea considerate şi se obţin reguli de diferenţiere similare celor de derivare. Observaţia 14. Pentru a calcula diferenţiala unei funcţii f(x1,x2,…,xn), calcu-

lăm mai întâi derivatele parţiale nixf

i,1=

∂∂ . Atunci :

n21 dxdxdxdfn21 x

fxf

xf

∂∂

++∂∂

+∂∂

= ...

Folosind regulile de diferenţiere putem calcula direct diferenţiala funcţiei f,

de aici rezultând şi derivatele parţiale ale lui f şi anume ix

f∂∂ este

coeficentul lui dxi Ca exemplu să luăm f(x,y) = sinxy , unde f : R2 → R deci

d(sin xy) = cos(xy) ⋅ d(xy) = cos(xy)(ydx + xdy). Deducem că xycos=∂∂xf şi

xyx cos=∂∂yf

Definiţi derivatele parţiale de ordinul întâi, respectiv de ordin superior pentru funcţii reale de două variabile. Enunţaţi condiţiile în care are loc teorema lui Schwarz. Scrieţi diferenţialele de ordinul unu, doi, trei pentru următoarele funcţii f : D ⊂ R2 → R şi g : D1 ⊂ R3 → R. Scrieţi diferenţialele funcţiilor compuse de ordinul întâi, respectiv doi pentru următoarele funcţii : f : D ⊂ R2 → R f(x) = g(u(x),v(x)), g: D2 ⊂ R2 → R, unde g ∈ C2. f : D1 ⊂ R2 → R f(x,y) = g(u(x,y),v(x,y)), g: D3 ⊂ R2 → R, unde g ∈ C2 iar u,v admit derivate parţiale de ordinul doi.

97

6.4. FORMULA LUI TAYLOR PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

Fie f : X ⊂ R 2 → R o funcţiei de două variabile reale şi (a, b) un punct din X, dacă X este o mulţime deschisă, altfel vom presupune că (a, b) ∈ Int X. Următorul rezultat este util în cele de urmează. Teorema 1.(Criteriul lui Young). Dacă funcţia f are derivate parţiale de ordinul întâi într-o vecinătate V(a,b) a punctului (a,b) şi acestea sunt diferenţiabile în punctul (a, b), atunci derivatele parţiale mixte, de ordinul doi ale funcţiei f ,există în punctul (a, b) şi sunt egale: (1) ( ) ( )′′ = ′′f a b f a bxy yx, , . Corolarul 1. Dacă funcţia f este de două ori (n ori) diferenţiabilă în punctul (a, b), atunci derivatele parţiale mixte de ordinul doi (n) există în punctul (a, b) şi sunt egale. Să presupunem că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul (a, b), deci funcţia f are derivate parţiale până la ordinul n în punctul (a, b) iar pentru derivatele parţiale mixte, până la ordinul n inclusiv nu are importanţă ordinea variabilelor în raport cu care se efectuează derivarea. În aceste condiţii, putem să considerăm polinomul de gradul n de două variabile x şi y:

(2)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

T x y f a bfx

a b x ay

a b y b

fx

a b x af

x ya b x a y b

fy

a b y bn

Cf

f fa b x a y b

n

ni

n

i n in in

, ,!

, ,

!, ,

,!

,

= + − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

+ − + − −⎡

⎣⎢⎢

+

+ −⎤

⎦⎥⎥+ − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

−

=∑

11

12

1

2

22

2

2

21

1 0

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂ ∂

∂

∂

∂

∂ ∂

numit polinomul lui Taylor de ordinul n, asociat funcţiei f în punctul (a, b). Dacă pentru fiecare (x, y) ∈ X notăm: (3) ( ) ( ) ( )R n nx y f x y T x y, , ,= − , atunci are loc formula: (4) ( ) ( ) ( )f x y T x y x yn n, , ,= + R , numită formula lui Taylor de ordinul n, asociată funcţiei f în punctul (a, b). Funcţia ( )R x yn , definită pe X, prin relaţia (3), se numeşte restul de ordinul n al formulei lui Taylor (4).

98

Dacă ţinem seama de relaţia de definiţie a diferenţialei de un ordin oarecare a funcţiei f, în punctul (a, b), formula (4) ia forma:

(5) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x y f a b df a b d f a b

nd f a b R x yn

n

, ,!

,!

,

!, ,

= + + +

+ +

11

12

1

2 K

K

Dacă în formula (4) facem (x,y) = (a,b), ţinând seama că ( ) ( )T a b f a bn , ,= , rezultă că ( )R a bn , = 0 .

În cazul când ( )R x yn , este o funcţie continuă în (a, b) vom avea:

(6) ( ) ( )

( )lim ,, ,x y a b

nR x y→

= 0 ,

şi pentru (x, y) suficient de aproape de (a, b) ((x, y) ∈ V(a, b)) putem aproxima f(x, y) prin ( )T x yn , cu o eroare cât de mică se doreşte. În anumite condiţii, care vor fi precizate, se poate arăta că nu numai (6) are loc, dar mai mult:

(7) ( ) ( )

( )( )

lim,

,, ,x y a b

nn

R x y

x y→=

ρ0 ,

unde ( ) ( ) ( )ρ x y x a y b, = − + −2 2 . Teorema 2. Dacă funcţia f : X ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă de n ori într-o vecinătate V(a, b) a punctului (a, b) şi derivatele parţiale de ordinul n ale funcţiei f sunt continue în punctul (a, b) atunci restul de ordinul n al formulei lui Taylor asociată funcţiei f în punctul (a, b) se scrie sub forma:

(8) ( ) ( ) ( )R x yn

x y x ynn,

!, ,=

1ω ρ ,

unde funcţia ω(x, y) este continuă şi nulă în punctul (a, b). Următoarea teoremă dă o exprimare a funcţiei rest ( )R x yn , utilă în aproximarea funcţiilor f(x, y) prin polinoame Taylor şi în evaluarea erorii făcute: Teorema 3. Dacă funcţia f : X ⊂ R 2 → R este diferenţiabilă de n + 1 ori într-o vecinătate V(a, b) a punctului (a, b), atunci pentru orice (x, y) din V(a, b) există un punct (ξ,η) din V(a,b) situat pe segmentul ce uneşte punctele (a, b) şi (x, y) astfel încât are loc:

(9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

R x yn

x ax

y by

f

nd f

n

n

n

,!

,

!,

=+

− + −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=+

+

+

11

11

1

1

∂∂

∂∂

ξ η

ξ η

99

Demonstraţie: Fie ( )x y0 0, un punct arbitrar din V(a, b), să considerăm

segmentul ce uneşte punctele (a, b) şi ( )x y0 0, . Ecuaţiile parametrice ale acestui segment sunt:

(10) ( ) ( )( ) ( )

x t a x a t

y t b y b t

= + − ⋅

= + − ⋅

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

0

t ∈ [0, 1]

Mai mult, (x(0), y(0)) = (a, b) şi (x(1), y(1)) = ( )x y0 0, iar când t parcurge segmentul [0, 1] punctul corespunzător (x(t), y(t)) se deplasează de la (a, b) la ( )x y0 0, . În condiţiile precizate mai sus putem să construim funcţia compusă F : [0, 1] → R definită prin: (11) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )F t f x t y t f a x a t b y b t= = + − + −, ,0 0 ,

care este diferenţiabilă de n + 1 ori pe [0, 1] şi derivata sa de ordinul k cu 1 ≤ k ≤ n+1 este dată de:

(12) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ty,txfy

byx

axtFk

k⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

∂∂

∂∂

00 .

Deoarece x(0) = a şi y(0) = b vom avea:

(13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b,afy

byx

axFk

k⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

∂∂

∂∂

000 .

Scriind formula lui Mac-Laurin de ordinul n pentru funcţia F cu restul sub forma lui Largrange obţinem:

(14) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )τ1

1

100

10 +

+

++++′+= n

nn

nF

!ntF

!ntF

!tFtF K

unde τ este cuprins între 0 şi t. Pentru t = 1 obţinem:

(15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )!n

F!n

F!

FFFnn

11001

1

++++

′+=

+ τK ,

unde τ este cuprins între 0 şi 1. Notând ξ = x(η), η = y(τ) şi observând că F(1) = f ( )x y0 0, iar F(0) =

f(a, b) şi considerând ( )x y0 0, = (x, y) un punct arbitrar din V(a, b) din (15) se obţine formulă lui Taylor (4) pentru funcţiile de două variabile f(x, y) cu restul sub forma (9); tocmai ceea ce trebuia demonstrat. Cu ajutorul diferenţialei această formulă are forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x y f a b

df a b d f a b d f a bn

d fn

n n, ,

,!

,!

,!

,!

= + + + + ++

+

1 2 1

2 1K

ξ η,

100

care se păstrează în aceleaşi condiţii pentru funcţii de un număr oarecare de variabile k ≥ 2. Observaţia 1. Dacă funcţia f(x, y) este diferenţiabilă într-o vecinătate V(a, b) a punctului (a, b), atunci pentru orice (x, y) ∈ V, scriind formula lui Taylor (15) pentru n = 1, rezultă că există ξ cuprins între a şi x şi η cuprins între b şi y astfel că are loc relaţia: (16) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )f x y f a b f x a f y bx y, , , ,− = ′ − + ′ −ξ η ξ η , ce reprezintă formula lui Lagrange pentru funcţii de două variabile. Exemplul 1. Să se scrie polinomul:

( )f x y x y x xy y x y, = + + + − + + −3 3 2 22 4 2 6 2 10 6 , după puterile lui x +2 şi y - 1. Folosind formula lui Taylor de ordinul 3 în punctul (-2, 1) se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x y x y x x y, = + + − − + + + −2 2 1 2 2 2 2 13 3 2 . Fie f : D1 ⊂ R2→ R , g : D2 ⊂ R3→ R. Enunţaţi condiţiile în care funcţiile f , g se pot dezvolta după formula lui Taylor de ordinul patru şi scrieţi aceste dezvoltari. 6.5. EXTREME PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE

VARIABILE REALE. EXREME CU LEGĂTURI

Vom considera o mulţime X ⊂ R n şi o funcţie f : X → R. Vom spune că funcţia f are un minim (maxim) local în punctul ( )x x x xn0 1

020 0= , , ,K din X dacă

există o vecinătate Vx0 a punctului x0 astfel încât pentru orice

( )x x x x V Xn x= ∈ ∩1 2 0, , ,K să avem:

(1) f( x0 ) ≤ f(x) (f( x0 ) ≥ f(x)). Punctele din X în care f ia valori minime sau maxime se numesc puncte de extrem local ale funcţiei f. Dacă în (1) inegalitaţile sunt satisfăcute înlocuind “ ≤ ” prin “ < ” spunem că x0 este un punct de extrem local strict. Dacă inegalităţile (1) sunt satisfăcute pentru orice x ∈ X spunem că x0 este un punct de extrem absolut al funcţiei f. Rezultatul fundamental legat de extremele absolute ale unei funcţii f definită pe o mulţime compactă K ⊂ R n (mărginită şi închisă) îl constituie teorema lui Weierstrass care afirmă că orice funcţie continuă pe un compact îşi

101

atinge efectiv valorile maxime şi minime. Teorema nu dă însă metode de obţinere a punctelor de extrem.

Utilizând proprietăţile de diferenţiabilitate pentru anumite clase de funcţii se pot obţine efectiv punctele de extrem ale unei funcţii f. Diferenţiabilitatea obligă să se ia în considerare doar punctele interioare de extrem, lăsând la o parte cazul când punctul de extrem este pe frontiera domeniului de definiţie sau cazul când funcţia nu este diferenţiabiă în punctele de extrem. Vom considera mai întâi cazul funcţiilor de două variabile independente, f X: ⊂ →R R2 . Presupunem că (a, b) ∈ Int X. Propoziţia 1. Dacă funcţia f are derivate parţiale în punctul (a, b) şi acesta este un punct de extrem local al funcţiei f, atunci derivatele parţiale ale funcţiei f în acest punct sunt nule, adică: (2) 00 =′=′ )b,a(f)b,a(f yx . Demonstraţie: Fie funcţia ϕ(x) = f(x, b), ϕ : bX → R, bX = {x ∈ R : (x, b) ∈ X}, atunci punctul a este un punct de extrem al funcţiei ϕ şi funcţia ϕ este derivabilă în punctul a. Aplicând teorema lui Férmat pentru funcţii de o variablă ′ = ′ =ϕ ( ) ( , )a f a bx 0 . Analog se arată că ′ =f a by ( , ) 0 . Propoziţia 1 este o extensie a teoremei lui Férmat pentru funcţii de o variabilă şi evident, în acelaeşi condiţii are loc pentru funcţii de n variabile (n ≥ 2): Definiţia 1. Un punct interior (a, b) ∈ X se numeşte punct punct staţionar al funcţiei f, dacă funcţia f este diferenţiabilă în (a, b) şi df(a, b) = 0. Deoarece ( )df a b f a b dx f a b dyx y, ( , ) ( , )= ′ + ′ , din faptul că (a, b) este un punct staţionar rezultă că relaţiile (2) au loc. Mai mult, din Propoziţia 1 rezultă: Propoziţia 2. Orice punct de extrem local al funcţiei f X: ⊂ →R R2 din interiorul mulţimii X în care funcţia f este diferenţiabilă este un punct staţionar al funcţiei f. Următorul exemplu arată că există funcţii care admit puncte staţionare, care nu sunt puncte de extrem local. Fie funcţia f x y x y( , ) = −2 2 f:R R2 → , f este diferenţiabilă în (0, 0) şi ( )df f dxx0 0 0 0, ( , )= ′ + + ′f dyy ( , )0 0 = 0 dx + 0 dy.

Deci (0, 0) este un punct staţionar pentru funcţia f. În acelaşi timp f x x( , )0 2= şi

f y y( , )0 2= − arată că oricât de aproape de (0, 0), pe axa Ox f ia valori pozitive, iar pe axa Oy ia valori negative, deci (0, 0) nu este un punct de extrem local al funcţiei f.

102

Punctele staţionare ale funcţiei f X: ⊂ →R R2 care nu sunt puncte de extrem local, se numesc puncte şa ale funcţiei f. Denumirea este naturală dacă ţinem seama că în vecinătatea unui astfel de punt suprafaţa z = f(x, y) are forma de şa, punctul staţionar fiind la intersecţia liniilor ( )C1 şi ( )C2 . Planul tangent în

acest punct la suprafaţă fiind paralel cu planul xOy. Din cele de mai sus se constată că, dacă o funcţie f X: ⊂ →R R2 este definită pe o mulţime deschisă şi este diferenţiabilă pe acea mulţime, atunci punctele de extrem local ale funcţiei f se găsesc printre punctele staţionare ale funcţiei f, care sunt soluţiile sistemului: (3) ′ = ′ =f x y f x yx y( , ) ; ( , )0 0 Aceeaşi concluzie rămâne valabilă pentru funcţii de n variabile ( )f x x xn1 2, , ,K . În acest caz sistemul (3) devine:

(4) ( ) ( ) ( )′ = ′ = ′ =f x x f x x f x xx n x n x nn1 21 1 10 0 0, , , , , , , , ,K K K K .

Pentru a preciza care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem se recurge la derivatele parţiale de ordinul II. În cazul funcţiilor de două variabile are loc: Teorema 1. Dacă (a, b) este un punct staţionar al funcţiei f şi dacă funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi, continue într-o vecinătate V a b( , ) a punctului (a, b), atunci:

a) Dacă [ ]∆ f xy x ya b f a b f a b f a b( , ) ( , ) ( , ) ( , )= ′′ − ′′ ′′ <2

2 2 0 , atunci punctul (a, b)

este un punct de extrem local al funcţei f. Mai mult: )a1 dacă ′′ <fx2 0 , atunci (a, b) este un punct de maxim local;

)a2 dacă ′′ >fx2 0 , atunci (a, b) este un punct de minim local;

c2

x

y

z ( )a b f a b, , ( , )

O

c1

103

b) Dacă ∆ f a b( , ) > 0 , atunci punctul (a, b) nu este un punct de extrem local al funcţiei f.

Demonstraţie: Punctul (a, b) fiind un punct staţionar avem ′ =f a bx ( , ) = ′ =f a by ( , ) 0 . În condiţiile teoremei, pentru (x, y) din vecinătatea V a b( , ) a punctului (a, b), formula lui Taylor de ordinul al doilea în punctul (a, b) se poate scrie sub forma:

(5) [ ]f x y f a b A x a B x a y b C y b( , ) ( , ) ( ) ( )( ) ( )= + − + − − + − +12

22 2

+12

2ω ρ( , )x y , unde:

A f a bx= ′′2 ( , ) , B f a bxy= ′′ ( , ), C f a by= ′′2 ( , ) , ρ = − + −( ) ( )x a y b2 2 ,

(6) lim ( , )( , ) ( , )x y a b

x y→

=ω 0 .

Pentru ρ ≠ 0 să notăm αρ

βρ

=−

=−a x y b

, , observăm că α β2 2 1+ = . Pentru β

≠ 0 notăm αβ

γ= . Cu aceste notaţii formula (5) devine:

(7) ( )[ ]f x y f a b A B C( , ) ( , )− = + + +12

22 2 2γ γ β ω ρ .

Ţinând seama de (6) rezultă că semnul diferenţialei f(x, y) - f(a, b) în vecinătatea punctului (a, b) este dat de semnul trinomului de gradul II: (8) ( )h A B Cγ γ γ= + +2 2 .

Dacă ∆ f a b( , ) < 0 şi A > 0, h(γ) are semn pozitiv, deci f(x, y) - f(a, b) > 0, ceea ce arată că punctul (a, b) este un punct de minim local al funcţiei f.

Dacă ∆ f a b( , ) < 0 şi A < 0, h(γ) are semn negativ, deci f(x, y) - f(a, b) < 0, ceea ce arată că punctul (a, b) este un punct de maxim local al funcţiei f.

Dacă ∆ f a b( , ) > 0 , h(γ) = 0 are rădăcini reale şi deci h(γ) are semn atât pozitiv cât şi negativ pentru (x, y) oricât de aproape de (a, b), ceea ce arată că (a, b) nu poate fi punct de extrem local al funcţiei f.

Exemplul 1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f x y x y xy( , ) = + +3 3 3 . Rezolvând sistemul ′ = ′ =f x y f x yx y( , ) ( , )0 0 rezultă că funcţia f admite ca puncte staţionare punctele O(0, 0) şi M(-1, -1).

∆ f (0, 0) = 9 > 0 arată că O(0, 0) este un punct staţionar care nu este punct de extrem local al funcţiei f.

104

∆ f (-1, -1) = -27 < 0 şi ′′fx2 (-1, -1) = -6 < 0 arată că punctul M(-1, -1) este un punct de maxim local al funcţiei f.

Pentru funcţii de p variabile reale ( )f x x xp1 2, , ,K , cu p > 2, se poate

demonstra, folosind deasemenea formula lui Taylor şi proprietăţi ale formelor pătratice următorul rezultat:

Teorema 2. Dacă funcţia f X p: ⊂ →R R este de două ori derivabilă parţial pe o

vecinătate a punctului ( )a a a a p= 1 2, , ,K şi are derivate parţiale continue atunci

are loc: a) Dacă toate numerele:

∆ ∆ ∆1 11 211 12

21 22

11 1

21 2

1

= = =AA A

A A

A A

A A

A A

p

p

p

p pp

, , ,K

L

L

M M

L

,

unde Af a b

x xi j pij

i j= ≤ ≤∂∂ ∂

21

( , ),

, , , sunt pozitive, atunci funcţia f are în

punctul a un punct de minim local. b) Dacă toate numerele ( )− =1 1k

k k p∆ , , sunt pozitive, atunci punctul a este un punct de maxim local.

Exemplul 2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f:R R3 → prin f x y z x y z xy xz yz( , , ) = + + − + +2 2 24 2 . Rezolvând sistemul ′ = ′ = ′ =f x y z f x y z f x y zx y z( , , ) , ( , , ) , ( , , )0 0 0 rezultă că punctul O(0, 0, 0) este

un punct staţionar al funcţiei f. Calculând pentru punctul O(0, 0, 0), ∆k , k = 1, 2, 3 obţinem ∆1= 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, ∆3 = 10 > 0, de unde rezultă că O(0, 0, 0) este un punct de minim local al funcţiei f. Fie f X: ⊂ →R R2 o funcţie de n variabile reale şi A o submulţime a lui X. Definiţia 1. Spunem că funcţia f are în punctul a ∈ A un extrem local relativ la mulţimea A dacă restricţia funcţiei f la mulţimea A, fA are în punctul a un punct

105

de extrem local obişnuit, adică există o vecinătate Va a punctului a astfel încât f(x) ≥ f(a), respectiv f(x) ≤ f(a) pentru orice x ∈ Va ∩ A. Punctele de extrem, ale funcţiei f, relative la o submulţime A ⊂ X se numesc puncte de extrem ale funcţiei f condiţionate de submulţimea A sau simplu puncte de extrem condiţionate. Un caz particular important este când mulţimea A este mulţimea soluţiilor unui sistem de forma:

(9)

( )( )

( )

F x x x

F x x x

F x x x

n

n

k n

1 1 2

2 1 2

1 2

0

0

0

, , ,

, , ,

, , ,

K

K

LLLLLLLLL

K

=

=

=

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

adică, { }A x X F x i kni= ∈ ⊂ = =R : ( ) , ,0 1 .

Desigur este interesant cazul când k < n şi sistemul admite o mulţime de soluţii. În acest caz, punctele de extrem local ale funcţiei f relative la submulţimea A se numesc puncte de extrem condiţionate de sistemul (9) sau puncte de extrem ale funcţiei f supuse la relaţile de legătură (9). În cele ce urmează vom presupune că funcţiile F i ki , ,= 1 sunt derivabile parţial şi că determinantul funcţional:

(10) ( )( )

D F F F

D x x x

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

Fx

k

k

k

k

k k

k

k

1 2

1 2

1

1

2

1 11

2

2

2 2

1 2

0, , ,

, , ,

K

K

L

L

M M M

L

= ≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

pe mulţimea X. Următoarea teoremă reduce studiul extremelor condiţionate la cel al extremelor libere (necondiţionate): Teorema 3. Fie funcţia:

(11) ( ) ( ) ( )∑=

+=Φk

iniinkn xxFxxfxx

11111 ,,,,,,,,, KKKK λλλ ,

şi ( ) ( )a a a an k, , , , , , , ,µ µ µ µ= 1 2 1 2K K un punct staţionar (liber) al funcţiei Φ.

Atunci punctul ( )a a a an= 1 2, , ,K este un punct staţionar al funcţiei f care satisface relaţiile de legătură (9).

106

De aici rezultă că punctele de extrem local ale funcţiei f se găsesc printre punctele staţionare ale funcţiei Φ dată prin (11). Numerele λ i i k, ,= 1 se numesc multiplicatorii lui Lagrange, iar metoda folosită se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Pentru a stabili care dintre punctele staţionare condiţionate sunt extreme condiţionate, trebuie să studiem semnul creşterii funcţiei ( ) ( ) ( )f x x f a a pentru x x xn n n1 1 1, , ,K K K− = într-o vecinătate a lui a.

Vom observa mai întâi că: (12) ( ) ( )f x f a x x a an k n k( ) ( ) , , , , , , , , , ,− = −Φ Φ1 1 1 1K K K Kµ µ µ µ . Aplicând formula lui Taylor de ordinul doi funcţiei Φ în punctul ( ) ( )a a a an k, , , , , , , ,µ µ µ µ= 1 2 1 2K K obţinem:

f x f aa

x xdx dx R x

i ji j

i j

k( ) ( )

( , )( , )

,− = +

=∑1

2

2

21

∂ µ∂ ∂

µΦ

,

unde R2 tinde la 0 când x tinde la a. Deci semnul creşterii funcţiei f în vecinătatea punctului a este dat de semnul formei pătratice

∂ µ∂ ∂

2

1

Φ( , )

,

ax x

dx dxi j

i ji j

k

=∑ .

Diferenţiind relaţiile de legătură (9), rezultă:

(13) ∂∂

∂∂

∂∂

Fx

dxFx

dxFx

dx i ki i i

nn

11

22 0 1+ + + = =K , , ,

care, ţinând seama de condiţia (10), permit exprimarea, prin regula lui Cramer, a lui dx dx dxk1 2, ,K în funcţie de dx dx dxk k n+ +1 2, ,K . Astfel vom obţine că:

(14) f x f a A dx dxij i ji j k

n( ) ( )

,− ≅

= +∑

1,

adică pe o vecinătate a lui a diferenţa f(x) - f(a) are acelaşi semn cu forma

pătratică A dx dxij i ji j k

n

, = +∑

1 depinzând numai de n - k variabile dx i k ni , ,= +1 .

Deci, pentru a ne pronunţa care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem condiţionat trebuie să studiem semnul formei pătratice de mai sus. Vom proceda astfel în rezolvarea următoarei probleme: Exemplul 3. Să se găsească extremele funcţiei: (15) f(x, y, z) = xy + xz + yz, condiţionate de ecuaţia: (16) xyz = 1, în domeniul x > 0, y > 0, z > 0. Rezolvare: Avem de determinat punctele de extrem local ale funcţiei f:R R+ →3 dată prin (15) care satisface relaţia de legătură:

107

(17) F(x, y, z) = 0, unde F(x, y, z) = xyz - 1. Considerăm funcţia Φ(x, y, z, λ)=xy + xz + yz + λ(xyz-1) şi rezolvăm sistemul:

∂Φ∂

∂Φ∂

∂Φ∂

∂Φ∂λx y z

= = = =0 0 0 0 ,

de unde rezultă x = y = z = 1 şi λ = -2. Am obţinut astfel că punctul A(1, 1, 1) este punct staţionar al funcţiei f care satisface relaţia de legătură (16). Φ(x, y, z, -2) = xy + xz + yz + 2; d2Φ(1, 1, 1, -2) = -(dxdy + dxdz + dydz). Din relaţia xyz = 1 rezultă prin diferenţiere că yzdx + xzdy + xydz = 0, iar în punctul A(1, 1, 1) are loc dx + dy + dz = 0, de unde dz = -dx - dy. Înlocuind în expresia lui d2Φ(1, 1, 1, -2) vom avea:

d dx dxdy dy dx dy dy2 2 22

212

34

0Φ = + + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + > ,

de unde deducem că într-o vecinătate a punctului A(1, 1, 1) f(x, y, z) - - f(1, 1, 1) > 0, adică A(1, 1, 1) este un punct de minim local al funcţiei f. Minimul local al funcţiei f este m = f(1, 1, 1) = 1. Exemplul 4. O intreprindere industrială produce cantităţiile x şi y din două tipuri de produse X şi Y cu preţurile unitare p = 16 - x2 şi q = 8 - 2y. Costul total de producţie este C(x, y) = 10 + 4x + 2y. Să se determine cantităţile şi preţurile unitare respective, astfel încât beneficiul total al intreprinderii să fie maxim. Rezolvare: Avem de determinat maximul funcţiei f(x, y, p, q) = = px + qy - C(x, y) care satisface relaţiile de legătură: p = 16 - x2 , q = 8 - 2y. Utilizând metoda multiplicatorilor lui Lagrange, considerăm funcţia ajutătoare: ( ) ( ) ( )Φ x y p q px qy x y p x q y, , , , ,λ λ λ λ1 2 1

2210 4 2 16 2 8= + − − − + + − + + − Si

stemul:

∂Φ∂

∂Φ∂

∂Φ∂

∂Φ∂

∂Φ∂λ

∂Φ∂λx y p q

= = = = = =0 0 0 0 0 01 2

, , , , ,

conduce la soluţia x = 2, y =32

, p = 12, q = 5, λ λ1 2232

= − = −, ;

( )d dx dxdp dydq2 2232

12 5 4 2Φ , , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − + + .

Prin diferenţierea relaţiilor de legătură obţinem dp = -4dx şi dq = -2dy, care înlocuite în expresia lui d2Φ ne conduc la expresia:

( )d dx dy2 2 2232

12 5 4 3 0Φ , , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − + < ,

108

deci punctul (2,32

, 12, 5) este un punct de maxim al funcţiei beneficiu.

Descrieţi algoritmul pentru determinarea punctelor de extrem ale unei funcţii f : I ⊂ R3 → R, unde f are derivate parţiale continue de ordinul doi. Enunţaţi teorema multiplicatorilor lui Lagrange pentru k = 2 şi n = 3.

109

Probleme finale 1. Să se calculeze derivatele parţiale ale următoarelor funcţii :

a) f(x , y) = ,22 yx

x

+b) f(x , y , z) = (xy)z , c) f(x , y) =

yx arctg

y1

2. Se consideră funcţia f : R2 → R, definită prin

f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

≠++

+

00

01

22

2222

22

yx,

yx,yx

cos)yx(Se cere să se arate că :

a) f admite derivate parţiale de ordinul întâi în origine, dar yf,

xf

∂∂

∂∂

nu sunt continue în origine. b) f este diferenţiabilă în origine.

3. Să se calculeze diferenţialele indicate în exemplele următoare :

a) d2u dacă u = x3-x2y+2xy2-5y+8 b) d3u dacă u = cos(x+y+z).

4. a) Să se calculeze diferenţiala df pentru următoarele funcţii : i) f(x,y) = g(x-2y,x) ii) f(x,y,z) = g(xy,x+z,x2 + y2 + z2)

b) Să se calculeze diferenţiala d2f dacă z = f(u,v) unde u = 3x , v = -2y , f admite derivate parţiale de ordinul doi continue.

5. Să se găsească dezvoltarea Mac-Laurin pentru funcţia f(x) = 12x +

unde f : [-21 ,+∞) → R.

6. Să se scrie dezvoltarea polinomului P(x,y) = x3+xy+3x2+3x-y+6 după puterile lui x+1 , y-2.

7. Să se scrie polinomul Taylor de gradul al doilea în punctul A(1,1)

pentru funcţia f : R2 –{(x,0) | x ∈ R} → R , f(x,y) = arctgyx .

8. Să se determine extremele locale ale următoarelor funcţii :

a) f(x,y) = x3 – y3 +3xy ; b) f(x,y) = sin x + sin y + sin(x + y) cu x,y ∈[0,2π ]

b) f(x,y,z) = yx

zzx

yzy

x+

++

++

cu x,y,z > 0.

9. Să se determine extremele următoarelor funcţii care satisfac la legăturile indicate:

a) f(x,y) = 3x + y2 cu legătura x + y =2 , b) f(x,y,z) = x + y + z cu legăturile x2 + y2 + z2 = 1 , 2x + 2y + z = 1.

10. Să se arate că dacă x2 + y2 + z2 = 9 atunci x – 2y + 2z ≥ 0.

110

)